材料力学公式汇总

1材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、拉压 []max maxN A σσ=≤横截2、剪切 []maxQ A ττ=≤受剪挤压 P A σσ⎡⎤=≤⎣⎦挤压挤压挤压挤压投3、圆轴扭转[]max max maxT T P P M M I W ρττ⎛⎞⎛⎞==≤ 4、平面弯曲 ①[]max nmaxn M W σσ=≤②[]max max max nz z M y I σσ+++=≤[]max maxmax nz zM y I σσ−−−=≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5、斜弯曲[]nynz maxnz nymaxM M W W σσ=+≤；6、拉(压)弯组合[]maxmaxn nM N A W σσ=+≤;[]max max z nz M N y A I σσ+++=+≤;[]nz max max z M N y I Aσσ−−−=−≤. 注：“5,6”两式仅供参考.7、轴向拉压斜截面上应力：2cos ;sin 22αασσσατ==横横α8、圆轴弯扭组合： ①第三强度理论[]eq3nnσσ===≤②第四强度理论[]eq4nnσσ===≤9、圆轴拉(压)弯扭组合：①第三强度理论 []eq3σσ=≤ ②第四强度理论 []eq4σσ=≤ 二、变形及刚度条件１、拉压 ∑∫===ΔLEAxx ) N EAL N EANLL d (ii ２、扭转 ()()弧度； T T i i T p p pM x dx M L M LGI GI GI Φ==Σ=∫0180p T L GI θπΦ==⋅（m /D ） ３、弯曲(1)积分法:()'''()();()()()d ;()()d d .n n nEIy x M x EIy x EI x M x x C EIy x M x x x Cx D θ===+=+∫∫∫+边界条件：铰支：挠度为零；固支：挠度和转角都为零。

(2)叠加法:载荷分解法：=()12,...f P P ()()21P f Pf ++…， ()12,...P P θ=()()++21P Pθθ…2逐段刚化法：载荷引起弹性体位移等于将弹性体逐段刚化后该载荷引起位移的叠加。

(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EI MLB =θ ；EIML f B 22=； EI PL B 22=θ；EI PL f B 33=； EI qLB 63；EIqL f B 84PA BMABA BqLLL； =θ=EI ML B 3=θ,EI ML A 6=θ EI PL A B 16==θθEIqLA B 243==θθ LLEI ML f c 162=EI PL f c 483= EIqL f c 3844= (4)弹性杆系变形能(注：以下忽略剪力影响)222222222()();;222222();=++.222n ni i n Ti i T T L L i P Pi i i L i M L M L M x dx M L P M L M U U EI EI EI GI GI GI N L N L N x dxU U U U EA EA EA==Σ===Σ===Σ=∫∫∫弯曲扭转拉压拉压杆系总能弯曲扭转x dx U(5) 功能原理:外力做的功=杆系弹性变形能(6) 卡氏第二定理(注：线弹性杆系在P i 力处和方向上位移计算公式)i ii i ii i i i ()()()()()()n n T T P nk k nk Tk k Tk k k k k k k k kk Pk k k n n T T L L L PU M L M M L M NL NP EI P GI P EA P M L M M L M N L N E I P G I P E A P M x M x M x M x N x N x dx dx dx EI P GI P EA P ∂∂∂∂Δ==++∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂∂∂=++∂∂∑∑∑∫∫∫杆系总能i i ∂ (7)莫尔定理(单位力法):(仅在线性弹性杆系所求位移的点和方向上虚加单位力,引起杆系内力为M n 0(x),M T 0(x)和 N 0(x);线性弹性杆在原有力系作用下的内力M n (x),M T (x)和N(x),那么在单位载荷作用点和方向上的位移δ用下公式计算)00000000()()()()()()n n nk nk k Tk Tk k k k k T T k k k P k k k Pk n n T T L L L P 0k kM M L M M L M M L N N L M M L NN LEI GI EA E I G I E A M x M x M x M x N x N x dx dx dx EI GI EAδ⎛⎞⎛⎞⎛=++=++⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝=++∑∑∑∫∫∫⎞⎟⎠(8) 刚度条件：待考察点的位移不超过允许值 三、应力状态与强度理论 １、二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx −−++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +−=注：使截面受拉的正应力为正;使单元体顺时针转的剪应力为正; x 轴逆时针转α角与截面外法线重合的角α为正(-π≤α≤π).3２、max min 2x y σσσσ+=± 2tg2xy p x y τασσ−=−；0,0,x y p x y p σσασσα−≥−<最大值角最小值角３、二向应力状态的极值剪应力(面内极值剪应力)及所在截面方位角max minmax min;2σστ−==±tg22x ys xyσσατ−=注：正应力极值面与剪应力极值面间夹角为45o ; 正应力极值面上的剪应力为零; 剪应力极值面上的正应力为平均值(σx +σy )/2.４、三向应力状态的主应力： 321σσσ≥≥(整个单元体的)最大剪应力：231max σστ−=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）1();x x y E σμσ=− 1();εy y x E σμσ=− ();y μεz x Eσσ=−+ G xy xy τγ=ε（2）、表达形式之二（用应变表示应力）2();x y E 1x σεμεμ=+−2();x 1y y Eσεμεμ=+−0;z σ= xy xy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()1;i i j k E εσμσσ⎡⎤=−+⎣⎦ ;ij ij Gτγ= (),,,,;i j k x y z i j k =≠≠ 7、平面应力状态下的应变分析主应变及其方位角 （1）αγαεεεεεα2sin2cos 2⎟⎟⎞⎜⎜⎛−−−++=xy y x y x +−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−αεεγα2sin 22yx αγ2cos 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−xy（2）max min 2x y εεεε+=± yx xyεεγα−=02tg()22212312321312;2U E σσσνσσσσσσ⎡⎤=++−++⎣⎦()212312;6V U E νσσσ−=++ ()()()2221223311;6d V d U U E U U νσσσσσσ+⎡⎤=−+−+−=⎣⎦+ 12312312();;;3(12)3EK K E σσσμσσσσσμ++−Θ=++===Θ− 9、四个强度理论及相当应力 (1)[]111;eq σσσ=≤()2123[];eq σσμσσσ=−+≤ []bbn σσ=—脆性断裂强度理论4(2)[]313;eq σσσσ=−≤4[];eq σσ[]≤s s n σσ= —塑性屈服强度理论 四、压杆稳定1、临界应力与临界轴压力公式（把直杆分为三类）①细长受压杆： p ;λλ≥ 2cr 2max;Eπσλ=()2min2cr L EI P μπ=②中长受压杆：p s ;λλλ≥≥ λσb a −=cr③短粗受压杆：s ;λλ≤ cr σ=s σ 或 b σ2、关于柔度的几个公式： max max;L i μλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ p λ= b a s s σλ−= 3、惯性半径公式：A I i z = （圆截面 4di z =，矩形截面12min i =（b 为短边长度）） 4、μ的取值：固支-自由2.0；铰支-铰支1.0；固支-铰支0.7；固支-固支0.5 5、稳定性计算：crmax ]st σσ≥实[n五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）能量方程: U V T Δ=Δ+Δ冲击系数: std 211Δ++=hK （自由落体冲击） st20d Δ=g v K （水平冲击） 六、截面几何性质1、 极惯性矩与惯性矩:2P AI dA ρ=∫；()44=132P D I πα−空圆，()34=116P D W πα−空圆，;d Dα=其中22;;z y A A I y dA I z dA ==∫∫(4344(1);==16432z y nz D D I I W W ππ)αα==−−空心圆空心圆空心圆ny空心圆，3;12z bh I =2;6nz bh W =3;12y hb I =26ny hb W =; 尺寸b 与z 轴平行;尺寸h 与y 轴平行 2、惯性矩平移轴公式:22z zc yc ;;y y z I I a A I I a A =+=+。