电子科大 考研 资料

s2 2
s cosh t (t ) 2 s 2
4.3
拉普拉斯变换的性质
在实际应用中，人们常常不是利用定义式计算拉氏变换， 而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质。这些性质与傅 里叶变换性质极为相似，在某些性质中，只要把傅氏变换 中的j用s替代即可。但是，傅氏变换是双边的，而这里讨 论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。有些性 质与傅氏变换相类似。
然后，由表4－1进行反变换。 2. D(s) = 0有复根且无重复根
D( s) a n ( s s1 )( s s 2 ) ( s s n2 )( s 2 bs c)
D1 ( s)( s 2 bs c)
k1 s k 2 N1 ( s) N ( s) F ( s) 2 D( s ) D1 ( s ) s bs c k1 s k 2 的反变换可用配方法。 其中 2 s bs c
0 为 最 低 限 度 的 值 ， 称 为 收 敛 坐 标 ( abscissa of convergence )，它的取值与函数f ( t ) 的性质有关。经过0的 垂直线是收敛边界，或称为收敛轴。由于单边拉普拉斯变换 的收敛域是由Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛域都 位于收敛轴的右边。凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下去，使之成为收敛函数。
F ( s)
D( s )
式中N(s)和D(s)分别为F(s)的分子多项式和分母多项式。ai ( i= 0,1,…,n) , bj (j = 0,1,…,m)均为实数。如果N(s)的阶次比D(s)的 阶次高，则要用长除法将F(s)化成多项式与真分式之和，即
N ( s) F ( s) D( s )
由于(单边)拉氏变换的收敛域是由Re(s) >0的半平面组成， 收敛域比较容易确定，故在一般情况下，不再加注其收敛域。
我们在此再强调一下，以后讨论的拉普拉斯变换是指单边拉 普拉斯变换。
4.2
典型信号的拉普拉斯变换
下面给出一些典型信号的拉氏变换。因为f ( t )与f ( t ) (t ) 的 单边拉氏变换相同，因此假定这些信号都是有始信号。 1. 指数信号
eb t f (t ) a t e
t0 t0
式中a、b都是正实数，且a > b 。只要选择a > > b，就能 保证当 t 和 t － 时，f ( t )e-t 均趋于零。通常把e-t 称为收敛因子。f ( t )乘以收敛因子e-t 后的信号f ( t )e-t的傅 里叶变换为
)s ( N )s ( N ) n s s ( ) 2 s s () 1s s ( n a ) s (D
双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉 普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完 全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。
4.1.3 （单边）拉普拉斯变换
考虑到实际中遇到的信号都是有始（因果）信号，即 t < 0 时 f ( t ) = 0，以及信号虽然不起始于 0，而问题的讨论只须考虑信 号 0 的部分。在这两种情况下，式（4.1-5）可改写为：
第4章 连续信号与系统的复频域分析 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波 成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十 分有效的。但在应用这一方法时，信号f(t)必须满足狄里赫 勒条件。而实际中会遇到许多信号，例如阶跃信号(t)、斜 坡信号t(t)、单边正弦信号sint(t)等，它们并不满足绝对可 积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其 变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。此外， 还有一些信号，如单边指数信号et(t) (>0)，则根本不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用便受到一定的限 制，其次，求取傅里叶反变换有时也是比较困难的，此处 尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的。因 此，有必要寻求更有效而简便的方法，人们将傅里叶变换 推广为拉普拉斯变换（LT: Laplace Transform）。
st
dt
其傅氏反变换为 最后得到
f (t )e

t
1 2



F ( s )e jt d
（4.1-5） （4.1-6）
F ( s)
f (t )

f (t )e st dt
j
1
2 j j
F se s t d s
式（4.1-5）称为f (t)的双边拉普拉斯变换(bilateral Laplace Transform)，称F(s）是f ( t )的象函数。而式 (4.1-6) 是F（s） 的双边拉普拉斯反变换，称 f (t) 是F(s)的原函数。 式（4.1-5）和（4.1-6）称为双边拉普拉斯变换对，可以用 双箭头表示f ( t )与F(s)之间这种变换与反变换的关系
1 e (t ) s
t
2. 单边阶跃信号
1 (t ) s
3. 单边正弦信号
0 sin 0t (t ) 2 2 s 0
s cos 0t (t ) 2 2 s 0
4. 单边余弦信号cost
5. 单边衰减正弦信号
e
t
0 sin 0t (t ) (s )2 2 0
拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换是将 时间域函数f ( t )变换为频率域函数F( )，或作相反的变换，此 处时域变量 t 和频域变量 都是实数；而拉普拉斯变换则是 将时间域函数f ( t ) 变换为复频域函数F(s)，或作相反的变换， 这里时域变量 t 是实数，复频变量 s 是复数。概括地说，傅里 叶变换建立了时域和频域 ( 域) 间的联系，而拉普拉斯变换 则建立了时域和复频域（S域）间的联系。
信号与系统
第四章
第4章
连续信号与系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
4.2 典型信号的拉普拉斯变换 4.3 拉普拉斯变换的性质 4.4 拉普拉斯反变换 4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
4.6 连续系统的复频域分析
4.7 系统函数 4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性 4.9 连续系统的稳定性 4.10 系统的信号流图 习题4
上 式 称 为 f(t) 的 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 （ unilateral Laplace Transform），记为 £ f (t) ]。相应的反变换为： [
F (s) f (t )e dt
st 0

（4.1-8）
f (t )
1
j
2 j j
F se s t d s t > 0
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L-1[ F (s)]
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出，f ( t ) 的双边拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f ( t )乘以e - t之后 再进行的傅里叶变换，或者说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。 而f ( t )e - t 较容易满足绝对可积的条件，这就意味着许多原来 不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换，即双边拉普 拉斯变换，于是，拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围。
商+真分式
（4.4-2 ）
由于商多项式的拉氏反变换是冲激函数及其各阶导数可由 微分性质直接求得。 所以只需讨论真分式多项式的拉氏反变换。下面着重讨论是 真分式时的拉氏反变换，可以将其分为以下三种情况： 1. D(s) = 0的根都是相异实根 因式分解为
D( s) an ( s s1 )( s s 2 ) (s s n )
s 2 (s )2 0
6. 单边衰减余弦信号
e t cos 0t (t )
7. 单位冲激信号
(t ) 1
8. t的正幂信号t n，（n为正整数）
n! t (t ) n 1 s
n
9.
单边双曲正弦函数sh和余弦函数ch
sinh t (t )

1． 线性
2． 时移性 3． 比例性（尺度变换 4． 频移性 5． 时域微分
6． 时域积分 7． 初值定理 8．终值定理
拉氏变换还有一些其它性质，如时域卷积和复频域卷积等， 它们与傅氏变换的性质类似，不再重复。表4-2列出了常用 拉氏变换的性质。
4.4 拉普拉斯反变换
从象函数F(s)求原函数f (t)的过程称为拉普拉斯反变换。 简单的拉普拉斯反变换只要应用表4-1以及上节讨论的拉氏 变换的性质便可得到相应的时间函数。 求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式 展开法和围线积分法。前者是将复杂变换式分解为许多简 单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于 F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分， 它的适用范围更广。 4.4.1部分分式展开法 常见的拉氏变换式是s的多项式之比（有理函数），一般形 式是： N ( s)
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
从以上讨论可知，当信号f (t)乘以收敛因子e-t后，就有可能 满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看f (t)的 性质与 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数f (t)， 通常并不是在所有的 值上都能使式(4.1-5)的积分收敛， 即并不是对所有的 值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯 变换，而只是在 值的一定范围内，f ( t )才存在拉普拉斯 变换。通常把使 f (t)e-t 满足绝对可积条件的 值的范围称 为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC: region of convergence )。 在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函 数的拉普拉斯变换不存在。