高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)课件2 新人教A版必修4.ppt
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高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1第2课时三角函数线及其应用课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
[ 解 ]
(1) 如 图 ， 由 余 弦 线 知 角 α 的 取 值 范 围 是 .
3π 3π α 2kπ－ ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z 4 4 (2)如图，由正切线知角 α 的取值范围是 αkπ－2＜α≤kπ＋6，k∈Z
一级达标重点名校中学课件
[ 跟踪训练] 2π 2π 2π 2．已知 a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则( 7 7 7 A．a＜b＜c C．b＜c＜a B．a＜c＜b D．b＜a＜c )
一级达标重点名校中学课件
D [由如图的三角函数线知： 2π 2π π MP＜AT，因为 ＞ ＝ ， 7 8 4 所以 MP＞OM， 2π 2π 2π 所以 cos ＜sin ＜tan ， 7 7 7 所以 b＜a＜c.]
[自 主 预 习· 探 新 知]
1．有向线段
方向 (1)定义：带有_____ 的线段．
(2)表示：用大写字母表示，如有向线段 OM，MP. 2．三角函数线 (1)作图：①α 的终边与单位圆交于 P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴，垂足为 M. ②过 A(1,0)作 x 轴的垂线，交 α 的终边或其反向延长线于点 T.
利用三角函数线解三角不等式
[ 探究问题] 1．利用三角函数线如何解答形如 sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)的不等式？ 提示：对形如 sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)
的不等式： 画出如图①所示的单位圆；在 y 轴上截取 OM＝a，过 点(0，a)作 y 轴的垂线交单位圆于两点 P 和 P′，并作射线 OP 和 OP′；写出终边在 OP 和 OP′上的角的集合；图中阴 影部分即为满足不等式 sin α≤a 的角 α 的范围，其余部分即 为满足不等式 sin α≥a 的角 α 的范围．
高中数学1.2.1任意角的三角函数2优秀课件
M
(Ⅱ)
M
P α的终边
三角函数线
y
α
x
O A(1,0)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
y
tanAT
α
M A(1,0)
O
x
(Ⅲ)
(Ⅳ)
PT α的终边
例1 作出以下各角的正弦线，余弦线，正切线
(1) (2)2
3
3
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
例2、设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明 sinα＋cosα>1吗？
y
P
OM x
MP＋OM>OP=1
例3. 比 较 大 小 ：
(1) sin 2 与 sin 4
3
5
(1) sin 2 sin 4
3
5
(2 ) co s 2 与 co s 4
3
5
(2) cos 2 cos 4
限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式 tan0成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来易证明.
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角的
同一三角函数值有何关系？
诱导公式一
sin k • 2 sin cos k • 2 cos
角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值
tan k • 2 tan 将重复出现
其中k Z.
可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°到360°)角的三角函数值.
(Ⅱ)
M
P α的终边
三角函数线
y
α
x
O A(1,0)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
y
tanAT
α
M A(1,0)
O
x
(Ⅲ)
(Ⅳ)
PT α的终边
例1 作出以下各角的正弦线，余弦线，正切线
(1) (2)2
3
3
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
例2、设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明 sinα＋cosα>1吗？
y
P
OM x
MP＋OM>OP=1
例3. 比 较 大 小 ：
(1) sin 2 与 sin 4
3
5
(1) sin 2 sin 4
3
5
(2 ) co s 2 与 co s 4
3
5
(2) cos 2 cos 4
限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式 tan0成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来易证明.
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角的
同一三角函数值有何关系？
诱导公式一
sin k • 2 sin cos k • 2 cos
角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值
tan k • 2 tan 将重复出现
其中k Z.
可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°到360°)角的三角函数值.
(完整版)1.2.1_任意角的三角函数(优秀课件)
故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.
练习：求值
cos
11
3
sin
71
6
tan
19
3
解：cos
11
3
sin
71
6
tan
19
3
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos sin tan
36 3
1 1 3 1 3 22
归纳 总结
例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1）
；（2） 2
．
3
3
例1.在0～2 内，求使 sin a > 3
2
成立的α的取值范围.
y
y= 3 2
P2
P P1
a Î ( p , 2p ) 33
M
x
O
例２．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.
sin 1 2
tan 3
3
解:
y
P2
P1
3
5
S2 S1 P1 B P2
A M2 M1 o
例４.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
sin 2 与sin 4
3
5
tan 2 与tan 4
3
5
解： 如图可知：
S2 S1
B
sin 2 sin 4
3
5
A o
T2
2
4
T1
tan tan
3
5
例5.求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域.
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
1.2.1任意角的三角函数(2)
例2 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 ⑴ sin ; ⑵ tan 2. 2
角的终边
y 1 y
P
1
O 1
1 y 2
1 角的终边 x
P
1
M1
O
- P 1
1
A
x
T
1 变题： 写出满足条件 ≤cosα＜ 2 2 的集合. y
3 的角α 2
3
Q
1
P
6
x
-1
4 3
引入：角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特 征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找 出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
[探索]
三角函数线
三种三角函数能否找到一种几何表示呢？
y MP sin MP (正弦线) r OP x OM cos OM (余弦线) r OP
课后完成《世纪金榜》P8~P10
预习下节内容：同角三角函数的基本关系
O R -1
S1
11 6
2 |2k ＜α≤ 2k ，或 6 3 4 11 2k ，k Z ≤α＜ 2k 3 6
1. 求函数 f (x ) = 2 cos x - 1 的定义域.
解：如右图所示
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα. S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT
y AT tan AT (正切线) x OA
三角函数线
α的终边 P A M o y y P α的终边 T
x T
o
M A x
(Ⅱ) y
y (Ⅰ)
T M o P
M A A x
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)课件
12/7/2021
第十八页，共二十八页。
(2)由题意，要使 f(x)有意义，则s9i－n xx>2≥0，0.
由 sin x>0 得 2kπ<x<2kπ＋π(k∈Z)，
①
由 9－x2≥0 得－3≤x≤3，
②
由①②得：f(x)的定义域为{x|0＜x≤3}．
12/7/2021
第十九页，共二十八页。
规律方法 求三角函数定义域的方法 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值 范围，一般(yībān)通过解不等式或不等式组求得，对于三角函 数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的 交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集 合再求交集．
12/7/2021
第二页，共二十八页。
知识点 1 三角函数的定义域 正弦函数 y＝sin x 的定义域是_____R_____；余弦函数 y＝ cos x 的定义域是_____R_____；正切函数 y＝tan x 的定义域是 {_x_|_x_∈__R_且___x_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_}__________．
规律方法 1.利用三角函数线比较大小的两个注意点 (1)角的终边的位置要找准； (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其 方向(fāngxiàng)． 2．利用三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角 函数线画出角α满足条件的终边范围． (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位 圆交点的纵坐标是该角的正弦值． (3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法 要求．
1.2.1 任意(rènyì)角的三角函数学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解 三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦 和正切(重点).3.能利用(lìyòng)三角函数线解决一些简单的三角函数 问题(难点)．
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(2)课件新人教A版必修4
思考1
在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位
圆交于点P，过点P作PM⊥x轴交α的终边或其反向延
长线于点 T，如图所示，结合三角函数的定义，你能
得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？ 答 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
答案
思考2 答
三角函数线的方向是如何规定的？
答案
1
2
3
4
5
4.函数 y＝ 2cos
π π － ＋ 2 k π ， ＋ 2 k π ，k∈Z. 3 3 x－1 的定义域为________________________________.
答案
1
2
3
4
5
5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角的区域，并写出该 区域的一般表达式： 2 (1)cos α＞－ ； 2 3π 3π 解 {α|2kπ－ ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z}. 4 4
C.正弦线MP，正切线AT
D.正弦线PM，正切线
5
1 3.在[ 0,2π] 上，满足 sin x≥ 的 x 的取值范围为( B ) 2
π A.0， 6 π 2π C. ， 3 6 π 5π B. ， 6 6 5π D. ，π 6
方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.
思考3 答
三角函数线的长度和方向各表示什么？
长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.
答案
图示
正弦线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段
MP 即为正弦线
答案
余弦线
有向线段 OM 即为余弦线
高中数学 1.2.1 任意角的三角函数配套课件 新人教版必
(3)yx叫做 α 的 正切 ，记作 tanα ，即 tan α＝xy(x≠0)． 对于确定的角 α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、 余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 3．正弦函数 sin α 的定义域是 R ；余弦函数 cos α 的定 义域是 R ；正切函数 tan α 的定义域是{x|x∈R，且 x≠kπ ＋π2，k∈Z}．
射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值 sin α＝
a2b＋b2，余弦值 cos终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，求 sin α， cos α，tan α 的值；
【问题导思】 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 P，PM⊥x 轴于 M，设 P(x，y)，|OP|＝r.
1．角 α 的正弦、余弦、正切分别等 于什么？
【提示】 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝xy.
2．对于确定的锐角 α，sin α、cos α、tan α 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变而改变？
【问题导思】 三角函数在各象限的符号由什么来确定？
【提示】 由三角函数的定义知三角函数在各象限的符 号由角 α 终边上任意一点的坐标来确定．
图 1－2－2 口诀：“一全正，二 正弦 ，三 正切 ，四 余弦 ”．
【问题导思】 当角 α 分别为 30°，390°，－330°时，它们的三角函数值 有什么关系？为什么？
1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角 α 终边上一点，会求角 α 的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一．
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1.2任意角的三角函数2课件新人教A版必修409
故满足 tanα≥ 33，有{x|k·180°＋30°≤ α<k·180°＋90°，k∈Z}．
第二十六页，共30页。
|素养提升| 1．三角函数线的主要作用 (1)解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小． (2)是以后学习三角函数图象与性质的基础． 2．对三角函数定义的三点说明 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角 的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
第十一页，共30页。
【解析】 角34π的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直 于 x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线 AT，与34π的终边的反 向延长线交于点 T，则34π的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.
第十二页，共30页。
方法归纳 三角函数线的画法
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比 值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小只与角有关，而与点 P(x，y)的位置无关．
第二十七页，共30页。
|巩固提升| 1．已知角 α 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向 线段，则 α 的终边在( ) A．第一象限角平分线上 B．第四象限角平分线上 C．第二、四象限角平分线上 D．第一、三象限角平分线上 解析：正弦线、余弦线所在线段以及一条半径组成一个直角三 角形，根据题意知角 α 所在的终边在直线 y＝－x 上，∴α 的终边在 第二、四象限角平分线上，故选 C. 答案：C
第一页，共30页。
【课标要求】 1.掌握诱导公式一并会应用. 2.会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切. 3.会用三角函数线来解三角不等式问题．
第二页，共30页。
自主学习 基础认识 |新知预习| 1．相关概念 (1)单位圆： 以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段： 带有方向(规定了起点和终点)的线段． 规定：方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
第二十六页，共30页。
|素养提升| 1．三角函数线的主要作用 (1)解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小． (2)是以后学习三角函数图象与性质的基础． 2．对三角函数定义的三点说明 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角 的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
第十一页，共30页。
【解析】 角34π的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直 于 x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线 AT，与34π的终边的反 向延长线交于点 T，则34π的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.
第十二页，共30页。
方法归纳 三角函数线的画法
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比 值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小只与角有关，而与点 P(x，y)的位置无关．
第二十七页，共30页。
|巩固提升| 1．已知角 α 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向 线段，则 α 的终边在( ) A．第一象限角平分线上 B．第四象限角平分线上 C．第二、四象限角平分线上 D．第一、三象限角平分线上 解析：正弦线、余弦线所在线段以及一条半径组成一个直角三 角形，根据题意知角 α 所在的终边在直线 y＝－x 上，∴α 的终边在 第二、四象限角平分线上，故选 C. 答案：C
第一页，共30页。
【课标要求】 1.掌握诱导公式一并会应用. 2.会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切. 3.会用三角函数线来解三角不等式问题．
第二页，共30页。
自主学习 基础认识 |新知预习| 1．相关概念 (1)单位圆： 以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段： 带有方向(规定了起点和终点)的线段． 规定：方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数课件新人教A版必修
2
2
与单位圆的交点在劣弧 上,
所以所求角 x 的取值范围是{x|2kπ+ π <x<2kπ+ 5 π,k∈Z}.
6
6
答案:(2){x|2kπ+ π <x<2kπ+ 5 π,k∈Z}
6
6
题型五 易错辨析
[例5] 已知角α的终边过点P(-3m,m)(m≠0),则sin α=
.
错解:由题意可得,
|OP|= 3m2 m2 = 10 m,
(2)sin （- 11π ）+cos 12 π·tan 4π.
6
5
解:(2)sin (- 11 π)+cos 12 π·tan 4π
6
5
=sin (-2π+ π )+cos 12 π·tan 0
6
5
=sin π +0= 1 . 62
方法技巧
(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)或f(k·2π+α)= f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等; (2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0～2π角的三角函数值,即可 把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数,亦可把大于2π的角的三角 函数化为0到2π间的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.
5a 5
5a 5
所以 2sin α+cos α=- 8 + 3 =-1. 55
方法技巧 (1)求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上异于原点的 点的横、纵坐标及其到原点的距离.当已知坐标含参数时需注意分 类讨论; (2)若终边在直线上时,因为角的终边是射线,应分两种情况处理; (3)已知角求值时,可依据定义先确定出角的终边与单位圆的交点坐 标再求值.
高中数学必修四人教版1.2.1任意角的三角函数2ppt课件
延长线)交于T点，AT为所求.
当 是第三象的角时，过A(1,0)作x轴的垂线与终边(或反向
延长线)交于T点，AT为所求.
y
T
y
A
O
x
A
O
x
P (x , y)
因为tan =
P (x , y)
T
=AyT，所以AT是的正切线．
x
把有向线段MP、OM、AT 叫做角的
正弦线、余弦线、正切线. 作三角函数线的步骤：
( 1 ) sin x < - 1 ; 2
1 ( 2 ) cos x > .
2
课堂小结
1. 三角函数线的定义；
作业：《作业本》第5
2. 会画任意角的三角函数线；
页1.2.1
3. 利用单位圆比较三角函数值的大小 ,求
角的范围.
x
即 tan = =yAT，
AT 是 的正切x线．
y
的终边
T
P(x , y)
O
x
A (1，0)
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 的终边
y
T
P (x , y)
P (x , y)
A
O
x
A
O
x
T
当 是第二象的角时，过A(1,0)作x轴的垂线与终边(或反向
练习2. 若 sin θ cos θ > 0 , 则θ 在第几象限？ .
练习3. 若 cos θ > 0 ，且 sin2 θ < 0 则 θ 的终
边在 第几象限？
一、三角函数线
1．单位圆：圆心在原点，半径等于单位 长度的圆叫单位圆. 2．有向线段：带有方向（规定了起点和 终点）的线段叫有向线段．
当 是第三象的角时，过A(1,0)作x轴的垂线与终边(或反向
延长线)交于T点，AT为所求.
y
T
y
A
O
x
A
O
x
P (x , y)
因为tan =
P (x , y)
T
=AyT，所以AT是的正切线．
x
把有向线段MP、OM、AT 叫做角的
正弦线、余弦线、正切线. 作三角函数线的步骤：
( 1 ) sin x < - 1 ; 2
1 ( 2 ) cos x > .
2
课堂小结
1. 三角函数线的定义；
作业：《作业本》第5
2. 会画任意角的三角函数线；
页1.2.1
3. 利用单位圆比较三角函数值的大小 ,求
角的范围.
x
即 tan = =yAT，
AT 是 的正切x线．
y
的终边
T
P(x , y)
O
x
A (1，0)
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 的终边
y
T
P (x , y)
P (x , y)
A
O
x
A
O
x
T
当 是第二象的角时，过A(1,0)作x轴的垂线与终边(或反向
练习2. 若 sin θ cos θ > 0 , 则θ 在第几象限？ .
练习3. 若 cos θ > 0 ，且 sin2 θ < 0 则 θ 的终
边在 第几象限？
一、三角函数线
1．单位圆：圆心在原点，半径等于单位 长度的圆叫单位圆. 2．有向线段：带有方向（规定了起点和 终点）的线段叫有向线段．
高中数学第一章三角函数1.1.1任意角课件2新人教A版
方法二：设α=β+k·360°(k∈Z)，
则β=-1910°-k·360°(k∈Z)，
令-1910°-k·360°≥0°，解得k≤
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任 意 角
【知识提炼】 1.任意角 (1)概念：平面内一条__射_线__绕着__端_点__从一个位置__旋_转__到另一个位置 所成的图形. (2)要素：
(3)分类：
类型
定义
正角
按_逆__时__针__方向旋转形成的角
负角
按_顺__时__针__方向旋转形成的角
【总结提升】 1.角的概念的推广 (1)角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转 “方向”，得到正角、负角和零角. (2)表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负.
2.用旋转来描述角时需要注意的三个要素 (1)旋转中心：射线旋转时绕的端点. (2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对 意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正 负数来表示，那么许多问题就可以解决了. (3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360°，角度的绝对值 可大于360°.于是就会出现720°，-540°等角度.
2.象限角的集合表示
象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角
集合表示 {α |k·360°<α <90°+k·360°，k∈Z} {α |90°+k·360°<α <180°+k·360°，k∈Z} {α |180°+k·360°<α <270°+k·360°，k∈Z} {α |270°+k·360°<α <360°+k·360°，k∈Z}
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二课件119
【典例】已知a=sin 2 ,b=cos 2 ,c=tan 2 ,则 ( )
7
7
7
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.b<a<c
【思路导引】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:
①关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
②注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
sin x
2 0, 2
利用三角函数线求解.
1 2cos x 0,
【解析】由题意,得自变量x应满足不等式组
即
cos
x
1 2
,
sin x
2 0, 2
sinx
2. 2
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,
所以 {x|2k x 2k 3 , k Z}.
3
4
【解题策略】 1.利用三角函数线解形如sin α≥m,sin α≤m(|m|≤1)的不等式 (1)画出如图所示的单位圆;在y轴上截取OM=|m|,过点(0,m)作y轴的垂线交单位 圆于两点P和P′,并作射线OP和OP′. (2)写出终边在OP和OP′上的角的集合. (3)图中阴影部分(含边界)即为满足不等式 sin α≤m的角α的范围,其余部分(不含边界) 即为满足不等式sin α>m的角α的范围.
【证明】如图作三角函数线BP,OB,AE,
因为S△OPA<S扇形OPA<S△OAE,
S△OPA=
1 2
·1·BP,S扇形OPA=
1 2
·1·AP,
S△OAE=
1 2
·1·AE,所以BP<AP<AE,所以sin
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9
【变式练习】
tan(-10 )=（ C ） 3
A. 3 B. 3 C. 3
3
3
D. 3
10
探究点2 三角函数线
思考：由任意角三角函数的定义，三角函数可以借助 单位圆用坐标表示，你能借助单位圆找到表示三角函 数的线段吗？ 提示：可以用单位圆中带方向的线段表示
1、有向线段： 带有方向（规定了起点和终点）的线段叫做有向
3
探究点1 终边相同的角的三角函数值 思考：如果角α与β的终边相同，那么sinα与 sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？ tanα与tanβ有什么关系？
提示: 终边相同的角的同一三角函数的值相等.
4
公式一： sin( k 2) sin ,
cos( k 2) cos , tan( k 2) tan , k Z.
可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0到 2π（或0°～360°）范围内的三角函数值的问题.
5
例1.确定下列三角函数值的符号.
（1）cos 250°； （2）sin( )； 4
（3）tan(-672°)；（4）tan 3π.
解：（1）因为250°是第三象限角，所以
cos 250°<0；
（2）因为 是第四象限角，所以sin( )<0;
④不相等的角，同名三角函数也不相同．
A．0
B．1
C．2
D．3
20
2、若角 α 的终边与单位圆相交于点( 22，－ 22)，则 sinα
的值为( B )
2 A. 2
B．－
2 2
1 C.2
D．－1
21
3、已知 α 是第三象限角，设 sinαcosα＝m，则有( A )
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m 的符号不确定
线段． 规定:方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值， 反之为负值．
11
想一想：
有向线段OM， MO， AT， TA ，MP， AO的符号
是怎样的？
y
提示：MO,AT为正；
T
OM,TA,MP,AO为负. M
A(1,0)
O
x
P
12
⑴正弦线： 图中的圆为单位圆，从P点向x轴作 垂线,垂足为M
sin =y=MP，所以MP叫做角的正弦线.
22
4、已知 sin5.1°＝m，则 sin365.1°＝( C )
A．1＋m
B．－m
C．m
D．与 m 无关
23
5、确定下列三角函数值的符号.
1 tan
17 8
2
s in
4 3
3 tan 5 5 6
24
解析：
1 tan
17 8
tan82tan80
2
s
in
4 3
sin432sin230
在[0,2π]上满足sin x 1 的x的取值范围是（ B ） 2
A.[0, ] 6
C.[ ，2] 63
B.[ ，5] 66
D.[ 5，] 6
19
1、有下列命题，其中正确的个数是( B )
①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数值相同，角不一定相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
作三角函数线的步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P．
⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过点A(1, 0)作x轴的垂线与终边(或反向延长 线)交于点T．
17
例3.作出角 2 的正弦线、余弦线、正y)
A
MO
x
T
18
【变式练习】
若 c o s θ 1 , 且 θ [ , ] ， 则 θ 的 范 围 是 （ A ） . 2
A .[ - ， ] B .[ - ， ] C .[ - ， ] D .[ - ， ]
3 3
6 6 6 3 3 6
8
例2.求下列三角函数值.
(1)sin1 48010；（2）cos 9； 3tan(11).
4
4
6
(3)因为 tan(672) tan(48 2 360) tan 48, 而 48 是第一象限角,所以 tan(672) 0 ; (4)因为 tan 3π=tan(π+2π)=tan π, 而 的终边在 x 轴上,所以 tan π=0 .
终边相同的角 的同名三角函 数值相等
7
【变式练习】
4
6
解：
(1) sin1 48010= sin(4010 4 360) sin 4010 0.645；
(2) cos 9 cos( 2)= cos = 2 ；
4
4
42
(3) tan( 11) tan( 2)= tan = 3 .
6
6
63
根据终边相同的 角的同名三角函 数值相等，转化 为特殊角求值.
3 t a n 5 5 6 ta n 3 6 0 1 9 6 s in 1 9 6 ＜ 0
25
1.三角函数的符号. “一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
2.诱导公式一. 3.三角函数线.
26
把别人的幸福当做自己的幸福，把鲜花奉 献给他人，把棘刺留给自己！
——巴尔德斯
27
y
y
M
Ox
P(x , y)
M
O
x
P(x , y)
13
⑵余弦线：图中的圆为单位圆，从P点向x轴作垂线,垂足
为M ．
y
y
M Ox
P(x , y)
M
O
x
P(x , y)
因为cos =x=OM，所以OM叫做角的余弦线.
14
由于tan
=
y x
，能否找到使x
=1的点？
过点A(1,0)的切线上的点.
能否找到有向线段使其 大小恰为
1.2.1 任意角的三角函数（二）
1
三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P（x，y），
y
α的终边
sin y
P(x，y)·
cos x
Ox
tan y (x 0)
x
2
1.进一步巩固任意角的三角函数的定义. 2.掌握三角函数在不同象限内的符号及诱导公式一.
(重点) 3.了解三角函数线的含义.(难点)
y？ x
T 的终边
y P(x , y)
AT = y ,
x
A(1,0)
O
x
15
⑶正切线：图中的圆均为单位圆，过点A(1, 0)作x轴
的垂线与终边(或反向延长线)交于点T.
y
T
y
A
O
x
A
O
x
P(x , y)
P(x , y)
T
y
因为tan = =AT，所以AT是角的正切线．
x
16
三角函数线 把有向线段MP，OM，AT，分别叫做角的