福建省泉州市安溪八中2021届高三数学上学期第8周质量检测试题扫描版.doc
2024学年福建省安溪第八中学高三数学第一学期期末学业质量监测试题含解析
2024学年福建省安溪第八中学高三数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A ．2B ．1C ．22D ．122．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =，E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．1553．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A ．2B ．2C ．10D ．105．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm6．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<7．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．–1D ．18．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．2D ．410．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 11．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．812．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省安溪第八中学高三数学期中考试卷 人教版
福建省安溪第八中学高三数学期中考试卷 人教版第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合N M R x x y y N R x x y y M ⋂∈+==∈==+则},,2|{},,|{2等于 （ ）A ．MB ．NC ．RD ．{（2，4），（－1，1）} 2．若a ，b ∈R ，则使|a |+|b|>1成立的一个充分不必要条件是 （ ）A ．|a +b|≥1B ．|a |≥21且|b|≥21C ．b<－1D ．a ≥13．如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[0，21]D ．[－21，0]4．已知直线a 和平面α、β，在a a a l ,,,βαβα⊄⊄=⋂α、β内的射影分别为直线b 和c ，则b 、c 的位置关系是（ ）A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交，平行或异面5．若63)1(63216622106=++++++++=+a a a a x a x a x a a mx 且，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．－3D ．1或－36．双曲线12222=-by a x 的右准线与两条渐近线交于A ，B 两点，右焦点为F ，且FA ⊥FB ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．332 B ．2C ．3D ．2 7．已知α、β都是第二象限角，且βαcos cos >，则（ ）A ．α<βB ．βαsin sin >C ．βαtan tan >D ．βαcot cot <8．有一名同学在书写英文单词“error ”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为 （ ）A ．120119B ．109 C ．2019 D ．21 9．棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 是CC 1上两动点，且PQ=1，则三棱锥P—AQD 的体积为 （ ）A ．8B ．316 C ．3D ．38 10．把曲线14:221=+ky x C 按向量a （1，2）平移后得曲线C 2，曲线C 2有一条准线方程为x =5，则k 的值为（ ）A ．±3B ．±2C ．3D ．－311．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{}n a ，数列{}n b 满足1,2,21-=≥=n b n a b n b 时当，则b 5等于（ ）A ．63B ．33C ．17D ．1512．已知函数)10(1)(≠>-=a a ax x f 且，在同一直角坐标系中，|1|1)(--==x a y x f y 与的图象可能是（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．若A （6，m ）是抛物线px y 22=上的点，F 是抛物线的焦点，且|AF|=10，则此抛物线的焦点到准线的距离为 .14．函数x x y cos sin -=的图象可以看成是由函数x x y cos sin +=的图象向右平移得到的，则平移的最小长度为 .15．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 .16．正△ABC 的边长为3，D 、E 分别为BC 边上的三等分点，沿AD ，AE 折起，使B 、C两点重合于点P ，则下列结论：①AP ⊥DE ；②AP 与面PDE 所成的角的正弦值是36；③P 到平面ADE 的距离为36；④AP 与底面ADE 所成的角为.96arccos 其中正确的结论的序号为 （把你认为正确的结论序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）高三（1）班，高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为21. （Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ （Ⅱ）高三（1）班代表队三盘比赛中两胜一负的概率是多少？ 18．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，a R a R x a x OB x OA ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式);(x f （Ⅱ）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.19．（本小题满分12分）如图：直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1,底面ABCD 是边长为2a 的菱形，∠BAD=60°，E 为AB 中点，二面角A 1—ED —A 为60°.（Ⅰ）求证：平面A 1ED ⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）求二面角A 1—ED —C 1的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，已知三角形PAQ 顶点P （－3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，.2,0AQ QM AQ PA ==⋅（Ⅰ）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹E ；（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l 与轨迹E 交于B 、C 两点，点D （1，0），若∠BDC 为钝角，求k 的取值范围. 21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，31=a ，前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S . （Ⅰ）求数列{}n a 的公差d ； （Ⅱ）记11+=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为T n ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，试说明理由. 22．（本小题满分12分）已知函数)(x f 对任意的实数x ，y 都有.1)1(,1)(2)()()(=++++=+f y x y y f x f y x f 且 （Ⅰ）若*,N x ∈试求)(x f 的表达式；（Ⅱ）若2*≥∈x N x 且时，不等式)10()7()(+-+≥a x a x f 恒成立，求实数a 的取值范围.[参考答案]一、选择题：1．B 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．C 12．D 二、填空题： 13．8； 14．2π； 15．2512； 16．①②③ 三、解答题： 17．（Ⅰ）)(12223种=⨯A ……6分（Ⅱ）设A={1班第1盘胜} B={1班第2盘胜} C={1班第3盘胜}83818181)()()(=++=++∴C B A P BC A P C AB P ……12分 18．（1）,2sin 3cos 22a x x OB OA y ++=⋅=……2分分单调减区间是的单调增区间是可解得函数分解得由取最大值时解得分分12).](32,6[:).](6,3[:)(9.1,23,3)(,]6,0[6,2626.1)62sin(2)()2(4.12sin 32cos )( Z k k kx Z k k kx x f a a a x f x x a x x f a x x x f ∈++∈+--==++∈==+∴+++=+++=∴πππππππππππ19．（Ⅰ）证明：连结BD ，在菱形ABCD 中：∠BAD=60°，∴△ABD 为正三角形,AB ED AB E ⊥∴,中点为 ……1分在直六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：平面ABB 1A 1⊥平面ABCD 且交于AB∵ED ⊂面ABCD ∴ED ⊥面ABB 1A 1 ∴平面A 1ED ⊥平面ABB 1A 1……3分（Ⅱ）解：（解法一）由（Ⅰ）知：ED ⊥面ABB 1A 1∵A 1E ⊂面ABB 1A 1 ∴A 1E ⊥ED 直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：AA 1⊥面ABCD由三垂线定理的逆定理知：AE ⊥ED ，∴∠A 1EA 为二面角A 1—ED —A 的平面角，∴∠A 1EA=60°…4分111111111121//,//:21//,,,DC EF DC AB D C B A ABCD AB EF AB EF F BB ===∴-中在直平行六面体则连中点取∴E 、F 、C 1、D 四点共面……5分分的余弦值为二面角中在分中在中在中在分的平面角为二面角面且面81471472722419474cos :7219434:2743:360sin 260cos :,6,11222112211122111111111111C ED A aa a a a EF A EF A a a a F A F B A Rt aa a EF AE A Rt aE A AA aAEE A AE A Rt C ED A EF A EDEF A ABB EF A ABB ED --∴=⨯⨯-+=∠∆=+=∆=+=∆=⋅===∆--∠∴⊥∴⊂⊥.147,772arccos32772arccos 3772arccos:,.3:)(11111111的余弦值为二面角所以的大小为故二面角求得的平面角为二面角可证得为二面角由已知得解法二C ED A C ED A DC C C ED C DC C A ED A ---=----=∠--∠--ππππ20．解（Ⅰ）)0)(0,(),0)(,0(),,(>=<==b b OQ a a OA y x OM 设b a AQ PA a b AQ a PA 3,0),,(),,3(2=∴=⋅-==又则①……2分⎩⎨⎧-==∴=-=-=ay b x AQQM a b AQ y b x QM 232),,(),,( 又②……4分 由①②)0(42≠=⇒x x y ……6分（Ⅱ）),1(),,1(),,(),,(22112211y x DC y x DB y x OC y x OB -=-===设0,0||||cos ,,cos ||||<⋅∴<⋅⋅=∠∴∠∠⋅⋅=⋅DC DB DC DB BDC BDC BDC DC DB DC DB 为钝角 ……8分01)(212121<+++-∴y y x x x x ……③)0(0)42()1(422222≠=+-+⎩⎨⎧+==k k x k x k y x k y x y 得消去由1,24212221=-=+x x k k x x 则……④ y 1y 2=k (x 1+1)·k (x 2+1)=k 2[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]……⑤……10分④⑤代入③得0,2222212>∆<<-⇒-<此时k k )22,0()0,22(,0⋃-∴≠的范围是k k ……12分21．（Ⅰ）由已知2,5,1)1)(12(211222212=-=∴=∴-++=+=a a d a a a a S ……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得122)1(3)1(1+=⨯-+=-+=n n d n a a n分的最小值是都成立对一切正整数使存在只要都成立对一切正整数要使分的增函数是而分分1261,,61,61))32(2161(lim lim 10)(,0)521321(21)52131(21861)32(2161)32131(21)32112112112112171515131(216)321121(21)32)(12(11111 M n M T M M n M T n T N n n T n n T T n T n n n n n n n T n n n n a a b n n n n n n n n n n n n n ≤∴≥≤∴=+-=∈∴>+-+=-+-=∴<+-=+-=+-+++----++-+-=∴+-+=++==∴∞→∞→*+++22．解：（Ⅰ）令y =1，则1)1(2)1()()1(++++=+x f x f x f42)()1(+=-+∴x x f x f ……2分412)1()2(,+⨯=-∈∴*f f N x 有时当分54)1(2)1()(432)3()4(422)2()3(+-=--+⨯=-+⨯=-x x f x f f f f f将上面各式相加得：)(33)(2+∈-+=N x x x x f ……7分 （Ⅱ）33)(,22-+=≥∈*x x x f x N x 时且当恒成立即恒成立时不等式且即为当恒成立不等式)1(74,)10()7(332,.)10()7()(22-≥+-+-+≥-+≥∈+-+≥∴*x a x x a x a x x x N x a x a x f分故的最小值是分时取即当且仅当又分恒成立14.2,217411)""3141(2214)1(1749174,2222 ≤-+-∴==-=-≥--+-=-+-≥-+-∴≥a x x x x x x x x x x x a x x x x。
福建省安溪八中高三第一学段质量检测(期中)数学(理)试题.pdf
安溪八中2012-2013学年高三年第一学段质量检测 数学，，则Ｍ∩Ｎ＝ ( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．下列命题中是假命题的是（ ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 4. 如图，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播. 若D是DFE弧与x 轴的交点，设OD=x)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为(图中阴影部分)，则函数的图象大致是（ ） 5．已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足则的最大值是（ ） A．5 B．-1 C．2 D. 7．设函数，其中是非零向量，则 “函数的图像是一条直线”的充分条件是( ) A 、 B、 C 、 D、 8．已知函数是的导函数，则函数的最大值是（ ）A、3B、C、D、 9．已知是上的偶函数，若将的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若，则（ ） A．－1006B．－1 C． D．1 10.已知函数，且关于x的方程有6个不同的实数解，若最小实数解为，则的值为（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．不能确定 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．平面向量，，若与共线，则的值为____________; 12．已知是第二象限角，，则sin2=对一切实数都满足，有3个实根，则这3个实根之和为_____________; 14. 已知，设，则在y轴右侧由函数的图象与 轴、直线所围成的封闭图形的面积为 _____ ; 15．设，其中. 若对一切恒成立，则; ② ； ③ 既不是奇函数也不是偶函数； ④ 的单调递增区间是； ⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交． 以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（本小题13分）已知集合,,. 求, ;若,求a的取值范围. （本小题13分）在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设＝(cos，sin)，＝(cos，－sin )，，的夹角为.(Ⅰ)求C的大小；已知c＝，三角形的面积S ＝ ，求a ＋b的值．（本小题13分）（本小题13分）已知函数时，；当时，。
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安溪八中-年度高三上学期期中考数学(理科)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．复数i z i z -=+=1,321，则21z z 在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．4(2x 展开式中含3x 系数等于（ ）A ．6B ．12C ．24D ． 483．22132lim 2x x x x x →-+=+- （ ） A ．1 B 13-C 1-D 不存在 4 ()f x x x()=⎛⎝ ⎫⎭⎪<≤1212的反函数fx -1()等于（ ）A ()log 1212x x <≤B -≤<⎛⎝⎫⎭⎪log 21412x x ()log 1224x x <≤D -≤<⎛⎝⎫⎭⎪log 2121x x 5．下列判断错误的是 ( ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若p ⌝则q ⌝”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件 C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“{1,2}4{1,2}φ⊂∉或”为真（其中φ为空集）6 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且)2(f =0，则使得)(x f <0的x 的取值范围是 ( )A (-∞,2)B (2,+∞)C (-∞,2)⋃(2,+∞)D (-2,2)7 某产品直径误差()ξ~N 01，（单位：mm ），其总体密度曲线如图所示，图中阴影部分的面积是0 8，从中任取一件产品， 该产品的直径误差大b mm 的概率是（ ）A 0 1B 0 2C 0 25D 0 48 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是 底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成角的大小为 ( )A 45ºB 90ºC 60ºD 不能确定9 已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象中错．误的．．是( )10 二次函数c bx ax x f ++=2)(中，10≠>a a 且，对于任意的R x ∈都有)1()3(x f x f -=-，设])1[(),1(log2log a af n a f m a==，则 （ ） A n m < B n m = C n m > D n m ,的大小关系不确定11 已知函数f(x)=2lg(87)x x -+-在(m,m+1)上是增函数,则m 的取值范围是( )A 3m ≤B 4m ≥C 13m <<D 13m ≤≤12AA 1 P PD 1 DOMD.C.B.A.f (｜x|)的图象f (－x)的图象f (x-1)的图象2121y xO若P(2x ξ<)=1211，则实数x 的取值范围是( ) A ()2,3 B (]2,3 C （4，9] D ()4,9二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上13若定义在区间[3-a,5]上的函数x x b ax x f 3cos )(3--=是奇函数，则a+b=_______14 设y=)(x f 是二次函数，方程)(x f =0有两个相等的实根，且)(/x f =2x+2 则y=)(x f 的表达式是15 已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f ( x + 2) =)x (f 1)x (f 1-+, 若f ( 1 ) = 2 + 3,则f ( ) =16 定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f(x)=x x cos sin *的值域为三、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分12分）已知}0log )(log {222<-=x x x A ，}012{22>-+-=a ax x x B ，且B A ⊆，求实数a 的取值范围18 （本小题满分12分）编号1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ（1）求随机变量ξ的概率分布；（2）求随机变量ξ的数学期望和方差 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD//AE ，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F 为CD 中点 （1）求证：EF ⊥面BCD ；（2）求面CDE 与面ABDE 所成二面角的余弦值B C D20 (本小题满分12分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2002年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销ｔ万元之间满足3－x 与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2002年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完(Ⅰ)将2002年的利润y (万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数； (Ⅱ)该企业2002年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，21()2g x x a =+（a 为常数），直线l 与函数()f x ()g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 图像的切点的横坐标为1（1）求直线l 的方程和a 的值；（2）求函数2(1)()y f x g x =+-的最大值22．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=xa ax --+1，a ∈R ．(1)当x ∈[a+1，a+2]时，求f （x ）的取值范围；(2)证明：函数y=f （x ）的图象关于点（a ，－1）成中心对称图形；(3)我们利用函数y=f （x ）构造一个数列{x n }，方法如下：对于给定的定义域中的x 1， 令x 2=f （x 1），x 3=f （x 2），…，x n =f （x n1-），… 在上述构造数列的过程中，如果x i （i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x i 不在定义域中，则构造数列的过程停止①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x n }，求实数a 的取值范围；②如果取定义域中任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x n }，求实数a 的值安溪八中-年度高三上学期期中考数学(理科)试题 参考答案一、选择题：1-5 DCBBB 6-10 DABDA 11-12 DC二、 填空题： 13 8 , 14 f （x ）=x 2+2x+1, 152 , 16 [－1，2] 三、解答题：17 （本小题满分12分）解：由222(log )log 0x x -< 得 20log 1x << 即1<x<2∴}21{<<=x x A ， 3分 由22210x ax a -+-<得11x a x a >+<-或∴}11{-<+>=a x a x x B 或 6分2111,≥-≤+∴⊆a a B A 或 10分30≥≤∴a a 或 12分18 （本小题满分12分）（Ⅰ）;611)3(;0)2(;21)1(;312)0(33331333===========A P P A C P A P ξξξξ 4分分（Ⅱ）1613211=⨯+⨯=ξE 9分 .161)13(0)21(21)11(31)01(2222=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-=ξD 12分注：可以不列出“P （0)2==ξ”19．（本小题满分12分）解法一（1）证明：取BC 中点G ，连FG ，AG∵AE ⊥面ABC ，BD //AE ，∴BD ⊥面ABC ， 又AG ⊂面ABC ，∴BD ⊥AG ， 又AC=AB ，G 是BC 中点，∴AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面BCD 3分 ∵F 是CD 中点且BD =2，∴FG //BD 且FG =21BD =1， ∴FG //AE又AE =1，∴AE=FG ，故四边形AEFG 是平行四边形，从而EF //AG ∴EF ⊥面BCD 6分（2）解：取AB 中点H ，则H 为C 在平面ABDE 上的射影 过C 作CK ⊥DE 于K ，连接KH ，由三垂线定理的逆定理得KH ⊥DE ，∴∠HKC 为二面角C —DE —B 的平面角 8分易知5=EC ，5=DE ，22=CD ，∴EF⊥CD 又由CK S DCE ⨯⨯=⨯⨯=∆52132221，可得=CK 在Rt ΔCHK 中，410sin ==CK CH HKC ，故46cos =HKC ∴面CDE 与面ABDE 4612分 解法二:建立空间直角坐标系求解,比照给分20 (本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意：13+=-t k x 将123,21,0+-=∴===t x k x t 代入 2分 当年生产x (万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x ＋3＝32（3－12+t ）＋3，当销售x （万件）时，年销售收入＝150%［32（3－2)1t +＋3］＋t 21由题意，生产x 万件化妆品正好销完∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费即)1(235982+++-=t t t y （t ≥0） 8分（Ⅱ）∵)13221(50+++-=t t y ≤50－162＝42万件 10分当且仅当13221+=+t t 即t ＝7时，y max ＝42 ∴当促销费定在7万元时，利润增大 12分21．（本小题满分12分） 解:（1）因为直线l 与函数()f x 图像的切点的横坐标为1，则此切点为(1,0)P ，又'1()f x x=所以切线l 的斜率'(1)1k f ==，于是切线l 方程为y x =- 3分 又()g x x '=，所以切线l 在函数21()2g x x a =+上的切点也为(1,0)P ，从而2a = 6分（2）22211(1)()ln(1)22y f x g x x x =+-=+-+，令20x t =≥，则11()ln(1)22y h t t t ==+-+， 8分从而111()122(1)t h t t t -'=-=++，由1()02(1)t h t t -'=>+，得0t <<所以函数()h t 在区间(0,1)上是增函数，在区间(1,)+∞上是减函数，则max ()(1)ln h t h ==即211(1)()ln 2.x x y f x g x ==-+-当或时，=有最大值 12分22．（本小题满分14分） 解:⑴ f(x)=－1－a x -1在[a+1，a+2]上是增函数，又f (a+1)=－2，f (a+2)=－23， ∴ f (x)∈[－2，－23](2)证明：设点P （x 0，y 0）是函数y=f (x)图象上任一点，则y 0=－1－ax -01，点P 关于点（a ，－1）的对称点为'P （2a －x 0，－2－y 0）00000011f (2a x )=11,2112211a x a a x y x a a x ---=-------=-++=----∴ f (2a －x 0)=－2－y 0，即点'P （2a －x 0，－2－y 0）在函数y=f (x)的图象上， ∴所以函数y=f (x)的图象关于点（a ，－1）成中心对称图形（3）①根据题意，只需x ≠a 时，f(x)=x 有解，即x xa ax =--+1有解，即x 2+(1－a)x+1－a=0有不等于a 的解将x=a 代入方程左边，得左边=1，故方程不可能有解x=a 由△≥0时，得a ≤－3或a ≥1，即为所求实数a 的取值范围②根据题意，a xa ax =--+1 在R 中无解，即x ≠a 时，（1+a ）x=a 2+a －1无解 由于x=a 不是方程（1+a ）x= a 2+a －1的解， 所以对于任意x ∈R ，（1+a ）x= a 2+a －1无解∴a=－1，即为所求a 有值。
福建省安溪第八中学高三上学期期中质量检测数学(理)试
2014年秋季安溪八中高三年期中质量检测数学试题 (理科)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1.已知集合，集合，则（ ） A ． B ．C ．D ． 2.函数()2lg 21y x =++的定义域是( ) A.B. C.D.3.等于 ( )A. B. C. D. 4.函数的图像大致是( )5. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式的解集为 ( ) A ．(－∞，－2)∪(0,2) B ．(－∞，－2)∪（2，＋∞) C ．（－2,0）∪（2，＋∞) D ．（－2,0)∪(0,2)7.若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(]－∞，4上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤－3C ．a <5D ．a ≥－3 8．函数f (x )＝A si n (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0) 的部分图像如图1所示，则=( ) A. B. C. D.9.若实数，则函数f （x ）＝2sinx 十acosx 的图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D.10．已知方程,若对任意，都存在唯一的使方程成立；且对任意，都有使方程成立，则的最大值等于（ ）A ．2B ． 0C ．1D ． -2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卷相应位置． 11．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________;12．已知函数2cos ,10()310,10x x f x x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩ ，则__________； 13. 已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是___________________．14． 函数与轴，直线围成的图形的面积是__________； 15．设()sin2cos2f x a x b x＝＋，其中. 若对一切恒成立，则 ①; ②的图像关于对称；③的单调递增区间是()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ④；⑤存在经过点的直线与函数的图象相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知函数，求在区间上的最值.17. （本小题满分13分）如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点 P 的坐标为.(Ⅰ)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(Ⅱ)若，求sin(α＋β)．18. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =++ （Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的值域． 19. （本小题满分13分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是(亿元)和 (亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式，,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x(亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元)．求: (Ⅰ)y 关于x 的函数表达式； (Ⅱ)求总利润的最大值．20.（本小题满分14分）在中，角、、的对边分别为、、，若函数为偶函数，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若△的面积为，其外接圆半径为，求△的周长．21．（本小题满分14分）设函数（），．(Ⅰ) 若函数与在点P（1,c）处有相同的切线，求实数的值；(Ⅱ) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；(Ⅲ) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．2014年秋季安溪八中高三年期中质量检测数学试题 (理科)参考答案一、选择题：DADBB CBDCA10．解析：原方程化为：画出此函数的图象，由图象知：对任意y ∈[0，1]，都有x ∈[a ，b]（a ，b ∈Z ）使方程成立，得出：[a ，b]⊂[-2，2]；又对任意 x ∈[a ，b]（a ，b ∈Z ），都存在唯一的y ∈[0，1]使方程成立；得出：[a ，b]可能为[-2，0]， [-2，1]，[0，2]，[-1，2]，[-2，2]五种情况；故a+b 的最大值为：2． 二、填空题：11． 12． -1 13. (－∞，－3)∪(6，＋∞) 14． 15．①④⑤ 三、解答题： 16．解:∵∴2()23(3)(1)f x x x x x '=--=-+………………3分 ∴2()230f x x x '=--= 解得或3. ………………5分 x,取值情况列表如下3 + 0 - 0 +极大值极小值………………8分∴5()(1),()(3)93f x f f x f =-===-极大极小.………………10分 又(3)9,(6)18,f f -=-= ∴()(6)18,()(3)(3)9f x f f x f f ====-=-最大最小……13分17.解：(Ⅰ)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45. ………… 2分∴原式＝2221sin cos cos sin cos ααααα++………… 4分=2()cos sin cos sin cos cos αααααα++＝ ………… 6分 == ………… 7分(Ⅱ)∵，∴α－β＝π2.∴β＝α－π2，………… 9分∴sin β＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35，cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ………… 11分 ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝725. ………… 13分 18.解：2()2cos cos 1f x x x x =++cos 222x x =++ ………… 4分（Ⅰ）由226222πππππ+≤+≤-k x k ，得，所以的单调递增区间为， ………… 8分 （Ⅱ）∵∴∴ ………… 12分∴42)62sin(23≤++≤πx∴函数的值域为 ………… 13分19. 解：(Ⅰ)根据题意，得y=x ∈[0，5]．………… 4分 (Ⅱ)令t=，t ∈［0,］，则x=，………… 7分2211517y t t (t 2).1648168=-++=--+………… 10分 因为2∈［0,］，所以当=2时，即x=2时，y 取最大值0.875．………… 12分答：总利润的最大值是0.875亿元．………… 13分20.解：（Ⅰ）∵41)(2-+=mx x x f 是偶函数，∴，即221144x mx x mx +-=--，∴…………………2分又，∴，即，………………4分∴，又∴．……………………6分 （Ⅱ）∵△的外接圆半径为，∴根据正弦定理得，2sin 3b π=，．…………8分又1sin 2ABC S ac B ∆==，∴． ……………………10分在△中，根据余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，即22230cos493a c π+-=， …………12分∴222()264a c a c ac+=++=，∴，∴△的周长等于．……………………………………13分20.解：（Ⅰ）∵，∴，……1分依题意的''(1)(1)(1)(1)f hf ch c⎧=⎪=⎨⎪=⎩即2221a ba cc⎧=⎪=⎨⎪=⎩……3分解得121abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩…………4分（Ⅱ）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，令22()(1)21h x a x x=--+，由且，所以函数22()(1)21h x a x x=--+的一个零点在区间，则另一个零点一定在区间，故解之得．…8分…………9分…………10分…………11分…12分下面证明()(0)2eg x x ≤->恒成立．设()ln 2eG x e x =-，则)()e x G x x x '==．所以当时，；当时，．因此时取得最大值，则()(0)2ef x x ≤->成立．………13分故所求“分界线”方程为：． …………14分。
福建省泉州市2021届高三数学毕业班单科质量检查试题 文(含解析).doc
福建省泉州市2021届高三数学毕业班单科质量检查试题 文（含解析）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =-≥，则A =R（ ）A. (,0]-∞B. [2,)+∞C. (0,2)D.(,0][2,)-∞+∞【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再进行集合的补运算，即可得答案. 【详解】因为{}220A x x x =-≥， 所以(,0][2,)A =-∞+∞，则(0,2)A =R.故选：C ．【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、补集的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.2.若复数(2i)(1i)a -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先对得数进行乘法运算，再利用纯虚数的概念，得到实数a 的值. 【详解】复数(2i)(1i)a -+(2)(2)i a a =++-为纯虚数， 所以20a +=，解得2a =-. 故选：A.【点睛】本题考查复数的四则运算、纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3.若ππ2sin()cos()445αα--=-，则cos2=α（ ） A. 45-B. 25-C.25D.45【答案】A 【解析】 【分析】先利用倍角公式得到π4sin(2)25α-=-，再利用诱导公式求得cos2α的值. 【详解】因ππ1ππ2sin()cos()2sin()cos()442445αααα--=⋅⋅--=-，所以π4sin(2)25α-=-，即4cos 25α=-. 故选：A ．【点睛】本题考查倍角公式、诱导公式的应用，考查基本运算求解能力，求解时注意符号的正负.4.新中国成立70周年，社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国，其中，“快闪”因其独特新颖的传播方式吸引大众眼球.根据腾讯指数大数据，关注“快闪”系列活动的网民群体年龄比例构成，及男女比例构成如图所示，则下面相关结论中不正确的是（ ）A. 35岁以下网民群体超过70%B. 男性网民人数多于女性网民人数C. 该网民群体年龄的中位数在15～25之间D. 25～35岁网民中的女性人数一定比35～45岁网民中的男性人数多 【答案】D 【解析】 【分析】对A ，利用频率分布直方图可得比例；对B ，由男女比例构成图可得结论；对C ，由频率分布直方图可估计中位数；对D ，无法判断；故可得答案.【详解】对A ，依题意可得，35岁以下网民群体所占比例为74%，故A 正确； 对B ，由男女比例构成图可得男性所占比例55%，故B 正确；对C ，因为15岁以下所占比例为23%，35岁以下所占比例为54%，故该网民群体年龄的中位数在15～25之间，故C 正确； 对D ，答案无法判断，故D 错误． 故选：D.【点睛】本题考查统计中的频率分布直方图和丙图，考查数据处理能力和阅读理解能力，求解时要充分提取图中的信息，防止对问题的片面理解.5.设E 是中心在坐标原点的双曲线．若(2,0)A 是E 的一个顶点，(4,0)F -是E 的一个焦点，则E 的一条渐近线方程为（ ） A. 13y x =B. 33y x =C. 3y x =D. 3y x =【答案】C 【解析】【分析】由已知条件得,,a b c 的值，从而得到双曲线的方程，再利用渐近线方程的定义，求得答案. 【详解】由已知双曲线的焦点在x 轴上，2a =，4c =， 所以2223b c a =-=， 所以双曲线E 的渐近线方程为by x a=±，即3y x =±. 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线方程、渐近线方程，考查基本运算求解能力，属于基础题. 6.已知等差数列{}n a 中，36+8a a =，则475+a a =（ ） A. 32 B. 27C. 24D. 16【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，将等式36+8a a =化成关于1,a d 的方程，再整体代入，求得式子475+a a 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差d ，则361278a a a d +=+=， 所以471156213(27)24a a a d a d +=+=+=. 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列中的基本量运算，考查整体思想的运用，求解的关键是将1278a d +=整体代入所求的式子，考查运算求解能力.7.“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于（ ）A. 12B. 8C. 6D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可得该几何体为直三棱柱，再利用体积的计算公式求得答案. 【详解】由已知可得该“堑堵”是直三棱柱， 所以体积123262V =⨯⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题以数学文化为背景，考查三视图还原几何体的直观图，并求柱体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力.8.函数()sin f x x x =的图象大致为（ ）A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除两个选项，再根据π[0,]2上的单调性，即可得到正确答案.【详解】因为()sin f x x x =的定义域为R 关于原点对称，且()()[sin()]()f x x x f x -=--=， 所以()f x 为偶函数，故排除C ，D ；因为'()sin cos 0f x x x x =+≥在π[0,]2x ∈恒成立，所以()sin f x x x =在π[0,]2上单调递增.故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性选择函数图象，考查数形结合思想的运用，求解时要注意排除法的应用.9.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A. n k -B. n -C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.10.若直线0x ay -=与函数e ()xf x x=的图象有且只有一个公共点，则a 的取值范围为（ ）A. 24(,0)(,)e -∞+∞B. 24(,)e+∞C. 2e (,)4+∞D. 21e (,)e 4【答案】B 【解析】 【分析】由0ex x ay y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得2(0)e x x a x =≠，将问题转化为直线y a =与曲线2(0)e x x y x =≠恰有一个公共点，利用导数研究函数2(0)ex x y x =≠的图象，从而求得a 的取值范围.【详解】由0ex x ay y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得2(0)e x x a x =≠，则依题意，可知直线y a =与曲线2(0)ex x y x =≠恰有一个公共点，令2()(0)ex x f x x =≠，则22'22e e 2()(e )e x x x x x x x x f x ⋅-⋅-==， 当'()002f x x >⇒<<；当'()00f x x <⇒<或2x >； 所以()f x 在(,0),(2,)-∞+∞单调递减，在(0,2)单调递增，如图所示，作出y a =与2(0)ex xy x =≠的图象，因为两个函数图象有且只有一个公共点， 所以24e a >.故选：B【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合思想的运用，求解时要注意利用导数的工具性研究函数的单调性，从而作出函数的草图，考查运算求解能力.11.若椭圆E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E 的离心率等于（ ）A.2B.12C.12或2D.2或【答案】D 【解析】 【分析】由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只须考虑三种情况，作出图形，从而求得椭圆的离心率. 【详解】依题意，由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只须考虑三种情况：（1）如图1，若以顶点D 焦点B 为菱形顶点，C 为中心，则DC BC ⊥，由勾股定理得，2222()()a b a a c ++=+，由222b a c =-化简得220c ac a +-=，两边同除以2a ，得210e e +-=，又因为01e <<，可得12e =． （2）如图2，若以焦点A ,B 为菱形顶点，C 为中心，则AC BC ⊥，故45OCB ∠=，易得2c e a ==；（3）如图3，若以焦点B 为菱形的中心，C ,E 为顶点，则CB EB ⊥，易得2c e a ==，故选D.【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的对称性性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是画出几何图形，并能进行完整的分类讨论. 12.已知函数π()sin()(0,02f x x ωϕωϕ=+><<）．若π()8f x -为奇函数，π()8f x +为偶函数，且2()2f x =在π(0,) 6至多有2个实根，则ω的最大值为（ ）A. 10B. 14C. 15D. 18【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，求出π4ϕ=后，再利用换元法，求出2()2f x =在π(0,) 6至多有2个实根时，ω的取值范围，从而得到ω的最大值.【详解】由题意，得π(0)8-，为()f x 的图象的对称中心，直线π8x =为()f x 的图象的一条对称轴，所以1122ππ8,ππ+π82k k k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩Ζ（），两式相加得12ππ42k k ϕ+=+， 又因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，代入2ππ+π82k ωϕ+=，得82()k k ω=+∈Ζ， 因为π(0,) 6x ∈时，ππππ(,) 4464t x ωω=+∈+， 即由已知可得2sin 2t =，πππ(,) 464t ω∈+至多有2个实根，即ππ11π644ω+≤，由此可得015ω<≤，又因为82()k k ω=+∈Ζ，所以1k =时ω的最大值为10， 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的图象和性质的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意三角函数的周期性特点，同时要注意换元法的灵活运用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b ，且()=3,2a -，()=52a b +，，则b =____________.【答案】25 【解析】 【分析】先根据向量的坐标运算求得b 的坐标，再代入向量模的公式中. 【详解】因为()(2,4)b a b a =+-=，所以222425b =+=.故答案为：25【点睛】本题考查向量坐标运算及模的求解，属于基础题.14.若,x y 满足约束条件0,10,220,x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则32z x y =+的最大值为___________.【答案】4 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的可行域，再根据直线截距的最大值，求得目标函数的最大值. 【详解】不等式组表示的可行域如图所示：由32z x y =+得322zy x =-+在y 轴上的截距越大，z 越大， 所以当直线322zy x =-+过点()0,2A 时，z 取得最大值，所以z 的最大值为4. 故答案为：4【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合思想的运用，求解时要注意将目标函数的最大值看成直线在y 轴上截距的最大值.15.已知直线:(1)10()l mx m y m R +--=∈与圆22:8O x y +=交于,A B 两点，,C D 分别为,OA AB 的中点，则AB CD ⋅的最小值为____________. 【答案】43 【解析】 【分析】先求出直线l 恒过点(1,1)P ，再观察AB CD ⋅中可转化成只含||AB 的变量，进而研究||AB 的最小值，即可得到答案.【详解】直线l 的方程可化为()10m x y y -+-=，由0,10,x y y -=⎧⎨-=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩，直线l 恒过点(1,1)P ，因为,C D 分别为,OA AB 的中点，所以1=22CD OB =. 当OP AB ⊥时，AB 最小，此时22=222226AB -=()， 所以=2226=43AB CD AB ⋅⋅≥． 故答案为：43【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想、转化与化归思想的运用，求解的关键是找到以||AB 为变量进行研究最值.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在棱1AA 上，四棱锥11P BDD B -的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积取值范围是_____________． 【答案】25π[3π,]8【解析】 【分析】设11,O P x O G y ==，根据几何关系得到222R x y =+，2223222R y ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到,x y 的关系，再利用消元法，得到2222524R x y y y =+=-+，最后利用一元二次函数的性质，得到2R 的取值范围，从而得到球O 的表面积取值范围.【详解】如图，设球O 的球心为G ，1AA 的中点1O ，1CC 的中点2O ，12O O 的中点O ， 且122OO =，3OA OB ==. 因11,,,B D D B 在球面上，所以球心在线段2OO 上，点P 也在球面上，GP GB R ==. 设11,O P x O G y ==.则22OG y =-. 在1Rt O PG △中，222R x y =+…………①在Rt BOG △中，22232R y ⎛=+ ⎝⎭⎝⎭…………②,联立①②，得254x =-，因为102x ≤≤y .所以2222253325([,]44432R x y y y =+=-+=-+∈， 所以球O 的表面积取值范围为25[3π,π]8. 故答案为：25π[3π,]8【点睛】本题考查四棱锥与球的切接问题、球的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，求解的关键是先确定以什么为变量进行研究. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ．若233n n S a =-. （1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设9log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）n T =41nn +. 【解析】 【分析】（1）利用临差法得到()132nn a n a -=≥，从而证明数列{}n a 为等比数列； （2）根据对数运算得到2n nb =，再利用裂项相消法对数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭进行求和.【详解】（1）由已知，得233n n S a =-，……① 当2n ≥时，11233n n S a --=-，……②①—②，得-1-122(33)(33)n n n n S S a a -=---，即-1233n n n a a a =-，整理，得()132nn a n a -=≥，又由11233S a =-，得1=30a ≠，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得=3nn a ，所以9log 32nn nb ==， 所以()11411=4()11n n b b n n n n +=-++， 故n T =111111144()+4()++4()4(1)1223111n n n n n ---=-=+++.【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列的定义、裂项相消法求和，考查转化与化归思想的运用，考查基本运算求解能力.18.ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知cos)cos a C c A =． （1）求ba； （2）求cos A 的最小值． 【答案】（1；（2. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将等式cos )cos a C c A =进行“边化角”得到sin()A A C =+，再利用三角形的内角及正弦定理进行“角化边”，从而求得ba的值； （2）利用余弦定理求得cos A 的表达式，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理，得sin sinsin a b cA B C==， 从而由cos )cos a C c A =，可得sin cos )sin cosA C C A =， sin cos cos sin A A C A C=+sin()A AC =+， 又因为πA B C ++=，所以sinB A ，所以ba=（2）由（1）不妨设b ==11c <<，在ABC 中，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，所以2222(3)126cos ()3232323c A c cc c +-===+⨯≥， 当2c c =即2c =时，等号成立，故cos A 取到最小值为63． 【点睛】本题考查正余弦定理、三角形内角和、三角恒等变换的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，求解cos A 的最小值时，要注意基本不等式的运用及取到最值的条件验证.19.如图，MA ⊥平面ABCD ，CN ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，1CN =，3AM =.（1）证明：//BN 平面ADM ； （2）求三棱锥N ADM -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（23. 【解析】 【分析】（1）证明平面//BCN 平面ADM ，从而得到线面平行；（2）由（1）知，//BN 平面ADM ，所以点N 到平面ADM 的距离等于点B 到平面ADM 的距离．取AD 的中点E ，连接BE ，BD ．证明BE ⊥平面ADM ，故所以点N 到平面ADM 的距离为BE ，再将数据代入体积公式求解．【详解】（1）因为MA ⊥平面ABCD ，CN ⊥平面ABCD ，所以//MA NC ， 又MA ⊂平面ADM ，NC ⊄平面ADM ，所以//NC 平面ADM . 因为四边形ABCD 是菱形，所以//BC AD ， 又AD ⊂平面ADM ，BC ⊄平面ADM ，所以//BC 平面ADM ， 又BCNC C =，BC ⊂平面BCN ，CN ⊂平面BCN ，所以平面//BCN 平面ADM ，又BN ⊂平面BCN ，所以//BN 平面ADM .（2）由（1）知，//BN 平面ADM ，所以点N 到平面ADM 的距离等于点B 到平面ADM 的距离． 取AD 的中点E ，连接BE ，BD ．因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以ABD △是边长为2的等边三角形，所以BE AD ⊥，且3BE =，又因为MA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以MA BE ⊥， 又MAAD A =，MA ⊂平面ADM ，AD 平面ADM ，所以BE ⊥平面ADM ，故所以点N 到平面ADM 的距离为BE ． 所以三棱锥N ADM -的体积1112333332N ADM ADM V S BE -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查线面平行、面面平行的位置关系、三棱锥体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，在证明平行关系时，注意定理条件的完整性.20.已知抛物线E 的顶点在原点，焦点在y 轴上，过点(1,0)A 且斜率为2的直线与E 相切． （1）求E 的标准方程；（2）过A 的直线l 与E 交于,P Q 两点，与y 轴交于点R ，证明：2AR AP AQ =⋅． 【答案】（1）22x y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由判别式等于0，求得抛物线方程中的参数值，进而得到抛物线的方程；（2）设l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，利用两点间的距离公式，并进行消参，将线段AR AP AQ ，，分别用k 进行表示，从而证明等式成立. 【详解】（1）过点(1,0)A 且斜率为2的直线方程为2(1)y x =-，即22y x =-， 设E 的方程为2(0)x ay a =≠，由222,,y x x ay =-⎧⎨=⎩消去y ，得2220x ax a -+=， 因为直线与E 相切，所以2480a a ∆=-=， 解得0a =（舍去）或2a =， 所以E 的标准方程为22x y =.（2）设l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ． 令0x =，得yk =-，即(0,)R k -，由2(1),2,y k x x y =-⎧⎨=⎩消去y ，得2220x kx k -+=， 因为l 与E 相交，所以2480k k ∆=->，解得2k >或k 0<， 设，则12122,2x x k x x k +==，2111AP k x =+-，2211AQ k x =+-，从而222211212(1)11(1)()11AP AQ k x x k x x x x k ⋅=+--=+-++=+， 又221AR k =+， 所以2AR AP AQ =⋅.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解、考查弦长公式、韦达定理等知识，考查方程思想、转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，求解时注意变量思想和消元思想的灵活运用. 21.已知函数2()(1)ln 2a f x x a x x =+--． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当1x ≥时，e()2f x -≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）1[,)e+∞. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再利用导数对函数进行求导，对参数分0a ≤和0a >两种情况讨论后，得到函数的单调区间；（2）先证当0a ≤不等式在1x ≥不会成立，再进一步证明0a >时，()f x 在1(0,)a单调递减，在1()a +∞，单调递增．再对a 分1a ≥和01a <<两种情况，研究各自的最小值大于等于e 2-，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--==， 当0a ≤时，10ax ，则()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减；当0a >时，令()0f x '>，得1x a >；令()0f x '<，得10x a <<， 故()f x 在1(0,)a上单调递减，在1()a+∞，单调递增. 综上，可得当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递减；当0a >时，()f x 在1(0,)a 单调递减，在1()a+∞，单调递增. （2）①当0a ≤时，因为242e(e )e (1)e 2222a f a =+--<-<-，所以0a ≤不符合题意；②当0a >时，由（1），知()f x 在1(0,)a 单调递减，在1()a+∞，单调递增． （ⅰ）当11a≤即1a ≥时，1()(1)()0a x x a f x x-+'=≥，所以()f x 在[1,)+∞单调递增， 故31e()(1)1222f x f a =->-≥≥，故1a ≥满足题意. （ⅱ）当11a >即01a <<时，()f x 在1[1,)a 单调递减，在1(,)a+∞单调递增， 故min 111()()1ln 2f x f aa a==--， 当1x ≥时，e ()2f x -≥，当且仅当1e ()2f a -≥，令1()1ln (0)2g t t t t =-->，则11()02g t t '=--<，故()g t 在(0,)+∞单调递减， 又e (e)2g =-，从而由1e ()2f a -≥即1()(e)g g a ≥，可得1e a ≤，解得11ea <≤，综上，可得a 的取值范围为1[,)e+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，分类讨论时要做到不重不漏.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．【答案】（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）2-或()2【解析】 【分析】（1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.【详解】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……①将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P 到直线OA的距离为d ==，所以111222OAP S OA d d =⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP △， 此时P的坐标为或(. 【点睛】本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力. 23.已知函数1()||||f x x a x a=++-． （1）证明：()2f x ≥；（2）当12a =时，()f x xb +≥，求b 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）1(,]2-∞.【解析】 【分析】优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - （1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x 写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b 的取值范围.【详解】（1）1111()||||||||||2||||2f x x a x a a a a a a a=++-+=+⋅=≥≥； （2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x x f x x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ 作出()f x 的图象，如图由图，可知()f x x b +≥，当且仅当(2)2f b +≥，解得12b =， 故b 的取值范围为1(,]2-∞． 【点睛】本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。
福建省安溪第八中学2024年高三数学第一学期期末达标检测试题含解析
福建省安溪第八中学2024年高三数学第一学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．23．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．53C ．1316D ．1134．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种5．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160B ．240C ．280D ．3206．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23B ．17C ．20D ．637．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 28．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 9．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．310．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1311．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±12．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。