2014届高三理科数学七校(宝安中学,潮阳一中,桂城中学,南海中学,普宁二中,中山一中,仲元中学)第二次联考

U
A
B

图1

图2

2013～2014学年度 高三第二次联考
理 科 数 学
命题人: 宝安中学 胡士军 南海中学 钱耀周
★祝同学们考试顺利★

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉
原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.

1. 已知全集UR,集合09,AxxxR和44,BxxxZ
关系的韦恩图如图1所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．无穷多个

2. 若复数2321iaaa是纯虚数,则实数a的值为( )
A．2 B．1 C．2 D．1或2
3. 已知等差数列na的前n项和为nS,且24S,420S,则该数列的公差d( )
A．2 B．3 C．6 D．7
4. 已知抛物线22ypx(0p)的准线与圆22(3)16xy相切,则p的值为( )
A．12 B．1 C．2 D．4

5. 如图2,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落
在椭圆外．的黄豆数为96颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的
面积约为( )
A．16.32 B. 15.32

C．8.68 D. 7.68
6. 已知平面、和直线m,给出条件:①//m；②m；③m；④；⑤//.能推导出
//m

的是( )
A．①④ B．①⑤ C．②⑤ D．③⑤

宝安中学 潮阳一中 桂城中学
南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学
2 3 1
正视图
侧视图
图3

图4

7. 若变量,xy满足约束条件02143yxyxy,则35zxy的取值范围是( )
A．,9 B．3, C．8,9 D．8,3
8. 对任意实数,xy,定义运算xyaxbycxy,其中,,abc是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.
已知123,234,并且有一个非零常数m,使得xR,都有xmx,则34的值是( )
A. 4 B. 4 C. 3 D. 3

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）
(一)必做题(9～13题)
9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图3所示(均为直角三角形),则
该三棱锥的俯视图的面积为 .

10. 二项式532xx的展开式中常数项为_______.
11．不等式215xx的解集为___________．
12. 已知函数cos,01,0xxfxx,则22dfxx的值等于 .
13. 已知ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,,且26120cbB,,,则ABC的面积等于
________.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系与参数方程选做题) 若直线π2sin42与直线31xky垂直,则常数k ．
15.(几何证明选讲选做题)如图4,在ABC中,//DEBC,//EFCD,
若3BC,2DE,1DF,则AB的长为________．

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本题满分12分)
图5
P
A
B

C
D
E
F

设函数2sinsin)(xxxf,Rx．
(Ⅰ) 若21＝,求)(xf的最大值及相应的x的取值集合；
（Ⅱ）若8x是)(xf的一个零点,且100,求的值和)(xf的最小正周期.

17．(本题满分12分)
某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

甲 乙
男 3
2
女 5
2

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（Ⅱ）记X为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.

18.(本题满分14分)
如图5,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD底面ABCD,且
2
2
PAPDAD
,E、F分别为PC、BD的中点.

(Ⅰ) 求证://EF平面PAD；
(Ⅱ) 求证:面PAB平面PDC；

(Ⅲ) 在线段AB上是否存在点G,使得二面角CPDG的余弦值为13?说明理由.

19.(本题满分14分)
已知nS为数列na的前n项和,且有111,1nnaSa(*nN).

(Ⅰ) 求数列na的通项na；

组别
性别
(Ⅱ) 若nnanb4,求数列nb的前n项和nT；
（Ⅲ）是否存在最小正整数m,使得不等式121nkkkkmSTk对任意正整数n恒成立,若存在,求出m的
值；若不存在,说明理由.

20.(本题满分14分)
已知定点11,0F,21,0F,动点,Pxy,且满足1122,,PFFFPF成等差数列.
(Ⅰ) 求点P的轨迹1C的方程；

(Ⅱ) 若曲线2C的方程为22222xtytt(202t),过点0,2A的直线l与曲线2C相切,求直线
l
被曲线1C截得的线段长的最小值.

21.(本题满分14分)
已知函数22211xfxaxaxaae(其中aR).
(Ⅰ) 若0x为fx的极值点,求a的值；
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式21112fxxxx；
(Ⅲ) 若函数fx在区间1,2上单调递增,求实数a的取值范围.