广东省佛山市南海区桂城中学2017-2018学年高一下学期第一次段考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年广东省佛山市南海区桂城中学高一（下）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（3，7）D．（﹣3，﹣7）2．若向量、满足||=||=1，与的夹角为60°，则=（）A．B．C．D．23．已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），与垂直，则λ是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．若，且，则锐角α=（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形6．将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）A．y=cosx B．y=sin4x C．y=sin（x﹣）D．y=sinx7．已知数列{a n}中，a1=1，且=+3（n∈N*），则a10=（）A．28 B．C．D．338．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为（）A．81 B．120 C．168 D．1929．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11=，则tan（π+a6）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣10．已知，则cos2α=（）A．B．C．D．11．设a=cos6°﹣sin6°，b=，c=，则有（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b12．已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）A．（1﹣）B．（1﹣）C．（1﹣）D．（1﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应的横线上．13．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知，a=2b，则b 的值为．14．已知等比数列{a n}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项a n= ．15．如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（）到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2，若点P2的横坐标为，则cosα的值等于．16．将数列{2n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，5），（7，9，11），…，则第100组中的第三个数是．三、解答题．本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在答题区域作答．17．已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）求++…+的值．18．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．19．已知数列{a n}的首项为6，且满足a n=3a n﹣1﹣6（n＞2）．（1）求证数列{a n﹣3}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式．（2）设b n=a n+2n﹣3，求数列{b n}的通项公式及前n项和T n．20．已知在△ABC中，，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．（1）求tan2A；（2）若，求△ABC的面积．21．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？22．已知数列{a n}的前n项和为S n=+pn，{b n}的前n项和为T n=2n﹣1，且a4=b4．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对于数列{c n}有，c n=2（a n﹣4）b n，请求出数列{c n}的前n项和R n．2017-2018学年广东省佛山市南海区桂城中学高一（下）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（3，7）D．（﹣3，﹣7）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据即可得到答案．【解答】解：．故选B．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算．属基础题．2．若向量、满足||=||=1，与的夹角为60°，则=（）A．B．C．D．2【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【分析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故=||2+||||cos60°，将||=||=1，与的夹角为60°，代入即可得到答案．【解答】解：∵||=||=1，与的夹角为60°，∴=||2+||||cos60°=1+=故选B【点评】向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质： ==，3．已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），与垂直，则λ是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由于，所以，即（λ+4）﹣3（﹣3λ﹣2）=0，整理得λ=﹣1．【解答】解：∵，∴，即（λ+4）﹣33λ﹣2）=0，整理得10λ+10=0，∴λ=﹣1，故选A．【点评】高考考点：简单的向量运算及向量垂直；易错点：运算出错；全品备考提示：高考中每年均有相当一部分基础题，要想得到高分，这些习题均不能大意，要争取多得分，最好得满分．4．若，且，则锐角α=（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出算式，求出α的值．【解答】解：∵，且，∴×﹣sinαcosα=0，∴sinαcosα=；即sin2α=1；又α为锐角，∴2α=90°，∴α=45°．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了三角函数求值运算问题，是基础题目．5．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】在△ABC中，总有A+B+C=π，利用此关系式将题中：“2cosBsinA=sinC，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．【解答】解析：∵2cosBsinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C【点评】本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路．6．将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）A．y=cosx B．y=sin4x C．y=sin（x﹣）D．y=sinx【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=f（x）的图象向左平移a个单位，得到函数y=f（x+a）的图象；将函数y=f（x）的图象横坐标变为原来的2，得到函数y=f（x）的图象；【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，可得函数y=sin=sin2x 的图象，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sinx 的图象， 故选：D【点评】图象的变换中要特别注意：左右平移变换和伸缩变换的对象是自变量x ，即将函数y=f （x ）的图象向右平移a 个单位，是将原函数解析式中的x 代换为（x ﹣a ）；将函数y=f （x ）的图象横坐标变为原来的ω倍，是将原函数解析式中的x 代换为x/ω．7．已知数列{a n }中，a 1=1，且=+3（n ∈N *），则a 10=（ ）A ．28B ．C ．D ．33 【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式可得数列{}是等差数列，求出其通项公式后得到a n ，则a 10可求．【解答】解：由=+3，得﹣=3，∴数列{}是等差数列，且首项为1，公差为3，∴，则．∴．故选：B ．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是基础题．8．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，{a n }的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．192 【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{a n}的前4项和．【解答】解：因为==q3=27，解得q=3又a1===3，则等比数列{a n}的前4项和S4==120故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．9．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11=，则tan（π+a6）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】等差数列的前n项和；三角函数的化简求值．【分析】由等差数列{a n}的性质可得：S11==11a6，解得a6．再利用诱导公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：S11===11a6=，∴a6=．则tan（π+a6）=tan=tan=﹣，故选：A．【点评】本题考查了等差数列的性质、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（三角求值）已知，则cos2α=（）A ．B ．C ．D ．【考点】二倍角的余弦．【分析】把已知的等式利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到tan α的值，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，并把分母的“1”看做sin 2α+cos 2α，分子分母都除以cos 2α，利用同角三角函数间的基本关系化为关于tan α的式子，把tan α的值代入即可求出值．【解答】解：由tan （α+）===2，解得tan α=，则cos2α=cos 2α﹣sin 2α====． 故选D【点评】此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．11．设a=cos6°﹣sin6°，b=，c=，则有（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b 【考点】三角函数的化简求值．【分析】由三角函数恒等变换化简可得a=sin24°，b=sin26°，c=sin25°．根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小．【解答】解：∵a=cos6°﹣sin6°=sin30°cos6°﹣cos30°sin6°=sin24°，b==sin26°，c==sin25°．∵0°＜24°＜25°＜26°＜90°∴sin26°＞sin25°＞sin24°，即有：a＜c＜b，故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．12．已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）A．（1﹣）B．（1﹣）C．（1﹣）D．（1﹣）【考点】等比数列的性质．【分析】因为数列a1，（a2﹣a1），（a3﹣a2），…，（a n﹣a n﹣1），…，此数列是首项为1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n}的通项．【解答】解：由题意a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=故选：A．【点评】考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应的横线上．13．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知，a=2b，则b的值为．【考点】解三角形．【分析】由c，cosC的值及a=2b，利用余弦定理即可列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．【解答】解：由c=3，cosC=，a=2b，根据余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：5b2﹣2b2=9，即b2=3，所以b=．故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．14．已知等比数列{a n}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项a n= 32n﹣3．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据已知知道数列为等比数列，并且知道第三项和第十项，利用a10=a3q7可以得出公比，进而利用公式求出通项公式即可．【解答】解：已知数列为等比数列，得q7==128=27，故q=2，∴利用通项公式a n=a3q n ﹣3=32n﹣3．故答案为32n﹣3【点评】本题主要求解等比数列的通项公式，属于数列最基本的试题，更应该熟练掌握．15．如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（）到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2，若点P2的横坐标为，则cosα的值等于．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】首先根据P2的横坐标为，求出cos（α+）的值，然后根据同角三角函数的性质求出sin（），最后根据cosα=cos化简即可求出cosα．【解答】解：∵cos（α+）=﹣∴sin（）=∴cosα=cos===；故答案为．【点评】本题考查单位圆与周期性，以及任意角的三角函数的定义及其应用．通过三角函数的转化来求角的余弦值．属于基础题．16．将数列{2n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，5），（7，9，11），…，则第100组中的第三个数是9905 ．【考点】归纳推理．【分析】当n≥2时，前n﹣1组共有1+2+…+（n﹣1）=个奇数．其最后一个奇数为2×﹣1=n2﹣n﹣1．求出第100组中的最后一个奇数为9809，即可得出结论．【解答】解：当n≥2时，前n﹣1组共有1+2+…+（n﹣1）=个奇数．其最后一个奇数为2×﹣1=n2﹣n﹣1．∴第100组中的最后一个奇数为9809，∴第100组中的第三个数是9905．故答案为：9905．【点评】本题考查了等差数列通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题．本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在答题区域作答．17．已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）求++…+的值．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）根据等差中项的性质可知：a2=4，由=a2﹣a1=2 根据等差数列通项公式及前n项和公式即可求得数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）由（1）可知：S n=n（n+1），，采用“裂项法”即可求得++…+的值．【解答】解：（1）由：等差数列性质可知a1+a2+a3=3a2=12，a2=4，…1分由 d=a2﹣a1=2 …2分∴数列{a n}的通项公式为：a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n …4分数列{a n} 的前n 项和为：…6分（2）∵…8分=…9分=…10分∴++…+=．【点评】本题考查等差数列通项公式及前n项和公式的应用，考查采用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．18．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）根据题意求出A，图象经过点，代入方程求出φ，然后求f（x）的解析式；（2），且，，求出，然后求出sinα，sinβ，利用两角差的余弦函数求f（α﹣β）的值．【解答】解：（1）依题意有A=1，则f（x）=sin（x+φ），将点代入得，而0＜φ＜π，∴，∴，故．（2）依题意有，而，∴，．【点评】本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，以及两角差的余弦函数公式的应用，是常考题．19．已知数列{a n}的首项为6，且满足a n=3a n﹣1﹣6（n＞2）．（1）求证数列{a n﹣3}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式．（2）设b n=a n+2n﹣3，求数列{b n}的通项公式及前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由题知a1﹣3=3， ==3，从而证明数列{a n﹣3} 是以3为首项，以3为公比的等比数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，利用分组求和法能求出数列{b n}的通项公式及前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的首项为6，∴由题知a1﹣3=3．…1分∵a n=3a n﹣1﹣6（n＞2），∴===3，…3分数列{a n﹣3} 是以3为首项，以3为公比的等比数列．…4分∴…5分∴．…6分（2）∵b n=a n+2n﹣3，∴…7分∴T n=b1+b2+b3+…+b n=（31+2×1）+（32+2×2）+（33+2×3）+…+（3n+2×n）…8分=（31+32+33+…+3n）+2（1+2+3+…+n）…9分=…10分=．…12分【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．20．已知在△ABC中，，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．（1）求tan2A；（2）若，求△ABC的面积．【考点】解三角形；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）先利用同角三角函数基本关系求得sinA，进而求得tanA，进而利用正切的二倍角公式求得tan2A．（2）运用诱导公式求得cosB，进而利用同角三角函数基本关系求得sinB的值，根据两角和公式求得sin（A+B）的值，进而求得sinC，再由正弦定理求得a，最后根据三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）因为所以，则．所以．（2）由，得，所以则．由正弦定得，得，所以△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．涉及了同角三角函数基本关系，正切的二倍角公式，两角和公式等．考查了考生对三角函数基础知识的掌握．21．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据内角和求得∠DAB和，∠DBA及进而求得∠ADB，在△ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．【解答】解：由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°，在△ADB中，有正弦定理得=∴DB===10又在△DBC中，∠DBC=60°DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900∴DC=30∴救援船到达D点需要的时间为=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．22．已知数列{a n}的前n项和为S n=+pn，{b n}的前n项和为T n=2n﹣1，且a4=b4．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对于数列{c n}有，c n=2（a n﹣4）b n，请求出数列{c n}的前n项和R n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由，求出b n，同理求出，再由a4=b4，能求出数列{a n}、{b n}的通项公式．（2）由c n=2（a n﹣4）b n=n2n，利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和R n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n=+pn，{b n}的前n项和为T n=2n﹣1，且a4=b4．∴n=1时，b1=T1=2﹣1=1，n≥2 时，，n=1时，该式成立，．当n=1时，，n≥2时，，∵，，由a4=b4，得4+9﹣=8，解得p=，∴a n=n+4．（2）由（1）得，c n=2（a n﹣4）b n=n2n，∴，①②②﹣①得，==（n﹣1）2n+1+2，【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．。