机械能守恒定律高考专题

三、机械能守恒定律的综合应用问题 （一）一个物体的运动问题 例2、如图所示，在长1m的线下吊一个质量 为1㎏的小球。当线受到19N的拉力时就被 拉断，现将小球拉起一定高度后放开，小 球到悬点正下方时线刚好被拉断， (g=10m/s2）求： （1）球被拉起的高度 （2）线被拉断后，球 5m 落于悬点正下方5m的 s 水平面上的位置。
2 2
又 v B 2v A
所以
vA 1.2 gl , vB 4.8 gl
例12、如图所示,半径为r,质量不计的圆盘 与地面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑 水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质 量为m的小球A,在O点的正下方离O点r/2处 固定一个质量也为m的小球B.放开盘让其 自由转动,求： （1）A球转到最低点时的线速度是多少？
一、机械能守恒定律的守恒条件 问题
1、对机械能守恒条件的理解
① 只受重力或系统内弹力。（如忽略空 气阻力的抛体运动） ② 还受其他力，但其他力不做功。（如 物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力， 但支持力不做功）
③ 有其他力做功，但做功的代数和为零。
2、判断机械能是否守恒的常用方法 ①用做功来判断 a.直接看对象总机械能是否 ②用能量角 变化 度来判断 b.看对象是否存在机械能与 其他形式能量转化或与其他 对象机械能转移 ③对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰 撞，除题目特殊说明，机械能必定不守恒 （子弹打击问题）
所以
2H S v 3m g
例3、在高为h=1.2m的光滑平台上有一个质 量m为0.5kg的小球被一细绳拴在墙上，球 与墙之间有一被压缩的轻弹簧，弹簧的弹 性势能Ep1=2J，当细线被烧断后，小球被 弹出，求： (1)小球被弹出后的速度v1多大？ (2)小球的落地速度v2多大？（g=10m/s2） 解：小球被弹出的过 程机械能守恒
故本题的物理过程应划分为两个阶段：从A 球开始下落到A球着地瞬间；第二个阶段， 从A求着地后到B球着地瞬间。 在第一个阶段，选三个球及地球为系统， 机械能守恒，则有： 1 2
EK EP
对B： v2 2( g )h 0
1 2 0 (4m m)v 4mg s sin 30 mgs 2
且 H S h 所以 H 1.2s
例11、如图所示，长为2L的轻杆OB，O端 装有转轴，B端固定一个质量为m的小球B， OB中点A固定一个质量为m的小球A，若 OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位 置的过程中，求A、B球摆到最低点的速度 大小各是多少。 解：选A、B及地球为一系统， 此系统中只有动能和重力势能 发生转化，系统机械能守恒， 1 1 2 有： mvA mvB 2 mgl mg 2l
例9、如图光滑圆柱被固定在水平平台上， 质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量 为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在 平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始 运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然 断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、 乙两球的质量关系。 分析：与上题相似，只是甲乙 m1 的末速度为 v gR ，所以 m2
gr vA 2 5
B A
(2)设在转动过程中半径OA向左 偏离竖直方向的最大角度是 θ(如所示),则据机械能守恒定律 可得:
r (1 sin ) mgr cos mg 0 2
θ
所以
3 arcsin 5
例13、如图所示,将楔木块放在光滑水平面 上靠墙边处并用手固定,然后在木块和墙面 之间放入一个小球,球的下缘离地面高度为 H,木块的倾角为θ,球和木块质量相等,一切 接触面均光滑,放手让小球和木块同时由静 止开始运动,求球着地时球和木块的速度. 解：因为球下落的垂直于斜面 的分速度与斜面该方向的分速 V 度相等，即 V v v1 cos v v2 sin v1 tan v2
E F
B
分析:首先需注意到题目中有两个约束条件, 一个是细线承受的拉力最大不能超过9mg, 再就是必须通过最高点做竖直面上的完整 的圆周运动.这样铁钉在水平线上的取值范 围就由相应的两个临界状态决定.
解:设铁钉在位置D时,球至最低点细线所 承受的拉力刚好为9mg,并设DE=X1,由几 何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径
解:小球释放后,首先在重力作 用下自由下落至C点细绳再次 伸直,由几何关系可知,此时细 绳与水平方向夹角为30°,小 球下落高度h=L。
300
B
根据机械能守恒定律得:
1 mgL mvc 2 2
A
Vc 2 gL
300 F0
C F 在C点细绳突然张紧对小球施 V 以沿细绳的冲量,使小球沿细绳 B 方向的分运动立即消失,其速度 V 0 由Vc变为Vc1 Vc1 Vc cos 30 mg V 之后,小球沿圆弧运动至B点,在此过程中,只 有重力做功,机械能守恒 mgL(1 cos 30 ) 1 mV 1 mV
r`
解以上各式得:
7 x2 L 6
铁钉在水平线EF上的位置范围是:
7 2 Lx L 6 3
（二）“落链”问题 例6、长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬 挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动 一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬 间,绳子的速度为 . 解：由机械能守恒定律，取 小滑轮处为零势球A、B、 C，用两条长均为L的细线相连，置于高为h 的光滑水平桌面上。L>h，A球刚跨过桌面。 若A球、B球下落着地后均不再反弹，则C 球离开桌边缘时的速度大小是多少？ 解：A球下落带动B、C球运 动。A球着地前瞬间，A、B、 C三球速率相等，且B、C球 均在桌面上。因A球着地后 不反弹，故A、B两球间线松弛，B球继续运 动并下落，带动小球C，在B球着地前瞬间 ，B、C两球速率相等。
r L AD L
2 x1
L 2 ( ) 2
球由C点至D点正下方的过程中,遵守机械 能守恒定律,有 mg( L r ) 1 mV12
2 2
球至D点正下方时,由细线拉力和球的重力 的合力提供向心力.根据向心力公式得:
9mg mg 8mg m
2 V1
r
解以上各式得:
c1 c
c2
0
2
2 B
2
2 C
小球运动至B点时,细绳的拉力与重力提供向 2 心力 VB 所以F=3.5mg
F mg m L
例5、质量为m的小球由长为L的细线系住, 细线的另一端固定在A点,AB是过A的竖直 线,E为AB上的一点,且AE=L/2,过E做水平 线EF,在EF上钉铁钉D,如图所示.若线所能 承受的最大拉力是9mg,现将小球和悬线拉 至水平,然后由静止释放,若小球能绕铁钉在 竖直面内做圆周运动,求铁钉位置在水平线 上的取值范围.不计线与铁钉 A 碰撞时的能量损失. D
根据机械能守恒定律得:
h 1 mg MV 2 2 2
设液体密度为ρ有:
h m S 2
M 4hS
所以:
V
gh 8
（四）系统机械能守恒的问题 处理这类问题时,一是要注意应用系统机械 能是否守恒的判断方法;再是要灵活选取机 械能守恒的表达式.常用的是:
E A EB或EP EK 例8、如图所示,两小球m A 、 m B 通过绳绕过固定的半径 为R的光滑圆柱,现将A球由 静止释放,若A球能到达圆柱 体的最高点,求此时的速度 大小(mB=2mA).
1 1 2 2 MgR mg 2 R MVP mVQ 2 2
m
Q
将速度VP分解,如图所示,得:
V2 VQ V P cos 45
0
A V1 M P m V2 B
联立两式得
gR( M 2m) VP 2 2M m
2 gR( M 2 m) VQ 2 2M m
VP
（2）在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角 度是多少？
A B
解：(1)该系统在自由转动过程中,只有重力 做功,机械能守恒.设A球转到最低点时的线 速度为VA,B球的速度为VB,则据 机械能守恒定律可得: A
mgr 1 1 2 2 mgr mvA mvB 2 2 2
B
据圆周运动的知识可知:VA=2VB 所以
1 2 E p1 mv1 2
h
小球被弹出后的速度为：
v1 2 2m / s 2.828m / s
之后，小球做平抛运动，机械能守恒 1 1 2 2 mv1 mgh mv2 2 2
v2 4 2m / s 5.656m / s
例4、如图所示,用长为L的细绳悬挂一质 量为m的小球,再把小球拉到A点,使悬线与 水平方向成30°夹角,然后松手。问:小球 运动到悬点正下方B点时悬线对球的拉力 A 多大?
2 R 解:B球下落得高度为 R 4
A球上升得高度为2R 由A→B根据能量转化守恒定律 ΔEK = -ΔEP
2 R 1 得 mB g ( R ) mA g 2 R (mA mB )v 2 4 2
所以
2 gR V 3
2 R 1 2 m2 g ( R ) m1 g 2R (m2 m1 )v 4 2
m1 : m2 ( 1) : 5
例10、如图所示，质量分别为4m和m的A和B 物体用细绳连接，并跨过装在斜面顶端的 无摩擦滑轮上，A放在倾角为30°的光滑斜 面上，开始时将B按在地面上不动,然后放 开手,让A沿斜面下滑而B上升, 设当A沿斜 面下滑s距离后,细线突然断了,求物块B上 升的最大距离H。 解：取A、B及地球为系统：
解：刚好被拉断瞬间，向心力为
v2 Fn Tmax mg m r
( Fmax mg )r 3m / s 所以 v m
从释放至刚好被拉断瞬间，机械能守恒：
1 2 mgh mv 2
所以
1 2 H gt 2
mv h 0.45m 2mg