湖北省老河口市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理

老河口市第一中学2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（理科）试题时间：120分钟 分值120分第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分） 1．已知关于x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过点（ ）A ．(4,7)B ．(3.5,6.5)C ．(3.5,7.5)D ．(5,6) 2．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．6B ．8C ．5D ．73．已知0a b >> ）A ><C =．无法确定4．已知z ∈C ，若20z z +=，则z =（ ）A ．iB ．i ±C ．0D ．0或i ±5．已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．2(1i)i+= （ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2- 7．下列命题中①若0()0f x '=,则函数()y f x =在0x x =取得极值；②直线5210x y -+=与函数()sin(2)3f x x π=+的图像不相切；③若z ∈C （C 为复数集），且|22i |1,|22i |z z +-=--则的最小值是3；④定积分4-=π⎰．正确的有．（ ）A ．①④B ．③④C ．②④D ．②③④8．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式2100a b -+>成立的事件发生的概率等于（ ） A ．8161 B ．8160 C ．8159 D ．81529．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ） A ．e - B ．1 C ．1- D ．e10．设()52501252x a a x a x a x -=++++ ，那么02413a a a a a +++的值为（ ）A ．122121-B ．6160-C ．244241- D ．1-第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）11．用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____3m ．12．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的件数，则EX = ．13．已知函数()tan f x x =,则()f x 在点(,())44P f ππ处的线方程为 ． 14．已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布2(1000,50)N ，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．15．523)1(xx -展开式中的常数项是 ．16．设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，对于任意,x D ∈都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2015型增函数”，则实数a 的取值范围是______．17．已知过点M （－3,0）的直线l 被圆x 2＋（y ＋2）2＝25所截得的弦长为8，那么直线l 的方程为________．三、解答题（本大题共5小题，共65分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） 18．（本小题满分12分）已知函数3()16f x x x =+-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(26)-，处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．19．（本小题满分12分）已知函数()()3221ln 2f x a x x a a x =+-+（R a ∈），()223ln 2g x x x x x =--．（Ⅰ）求证：()g x 在区间[]2,4上单调递增；（Ⅱ）若2a ≥，函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为()G a ，求()G a 的试题分析式，并判断()G a 是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：0.69ln 20.7<<）．20．（本小题满分12分）已知命题:p 抛物线214y x =的焦点F 在椭圆2212x y b +=上．命题:q 直线l 经过抛物线214y x =的焦点F ，且直线l 过椭圆2212x y b+=的左焦点1F ．p q ∧是真命题．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）直线l 与抛物线相交于A 、B ，直线1l 、2l 分别切抛物线于A 、B ，求1l 、2l 的交点P 的坐标．21．（本小题满分14分）已知xe exx g m x a mx x f =--=)(,ln )(，其中a m ,均为实数， （Ⅰ）求)(x g 的极值； （Ⅱ）设1,0m a ==，求证：对[]2112122121,3,4(),()()()()ex exx x x x f x f x g x g x ∀∈≠-<-恒成立； （Ⅲ）设2=a ，若对∀给定的(]e x ,00∈，在区间(]e ,0上总存在)(,2121t t t t ≠使得)()()(021x g t f t f ==成立，求m 的取值范围．22．（本小题满分15分）如图，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，过2F 且于x 轴垂直的直线与椭圆交于S ，T ，与抛物线交于C ，D两点，且.CD =（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，若过点M （2，0）的直线l 与椭圆相交于不同两点A 和B ，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．参考答案选择：1_5．ADBDC 6_10．CDACB 填空： 11．3 12．53 13．0212=-+-πy xxyOCTSD2F ⋅14．21 15．-10 16．20156a <17．x ＝－3或5x －12y ＋15＝0 解答：18．（Ⅰ）1332y x =-；（Ⅱ）直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，． 试题分析试题分析：（1）求出函数3()16f x x x =+-的导函数()f x '，然后求出(2)f '，由导数的几何意义可知(2)f '就是曲线()y f x =在点(26)-，处的切线的斜率，由直线方程的点斜式即可写出切线方程．（2）设出切点为00()x y ，，则可得直线l 的斜率为0()f x '，且30000()16y f x x x ==+-，从而可用0x 表示出切线l 的方程，然后由其过坐标原点，得到关于0x 的方程，解此方程即可求得0x 的值，进而可写出直线l 的方程及切点坐标． 试题试题分析：（1）'2()31f x x =+Q所以在点(26)-，处的切线的斜率2(2)32113k f '==⨯+=，∴切线的方程为1332y x =-；（2）设切点为00()x y ，，则直线l 的斜率为200()31f x x '=+， 所以直线l 的方程为：230000(31)()16y x x x x x =+-++-所以又直线l 过点(00)，，2300000(31)()16x x x x ∴=+-++-， 整理，得308x =-， 02x ∴=-，30(2)(2)1626y ∴=-+--=-， l 的斜率23(2)113k =⨯-+=，∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，． 19．（Ⅰ）见试题分析；（Ⅱ）332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩；()G a 有最小值，没有最大值.试题分析：（Ⅰ）求函数()g x 的导数()6ln 1g x x x x '=--，对()g x '再次求导，说明()g x 的二阶导数在区间(2,4)上恒大于0，()g x '在[2,4]单调递增，()0g x '>即可； （Ⅱ）求函数()f x 的导数，由导数研究函数的单调性与极值，由a 的范围研究函数()f x 在区间[2,4]上的最大值的试题分析式即可求函数()G a ，再研究分段函数()G a 在各段是的最值情况即可.试题试题分析：（Ⅰ）证明：∵ 22()3ln 2g x x x x x =--， ∴()6ln 1g x x x x '=--，设()6ln 1h x x x x =--，则()6ln 5h x x '=+，∴当24x <<时，()0h x '>，∴()h x 在区间(2,4)上单调递增． ∵(2)3(4ln 21)0h =->，∴当24x <<时，()(2)0h x h >>． ∴()g x 在区间[2,4]上单调递增．（Ⅱ）∵3221()ln ()2f x a x x a a x =+-+(a ∈R )， ∴()f x 的定义域是(0,)+∞，且32()()a f x x a a x '=+-+，即2()()()x a x a f x x--'=． ∵a ≥2，∴2a a <，当x 变化时，()f x 、()f x '变化情况如下表：∴当24a ≤≤时，24a ≥，()f x 在区间[2,4]上的最大值是3321()ln 2f a a a a a =--． 当4a >时，()f x 在区间[2,4]上的最大值为32(4)2ln 2448f a a a =--+．即 332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩（1）当24a <<时，22()3ln 2G a a a a a '=--． 由（Ⅰ）知，()G a '在(2,4)上单调递增．又(2)2(6ln 25)0G '=-<，(4)12(8ln 23)0G '=->，∴存在唯一0(2,4)a ∈，使得0()0G a '=，且当02a a <<时，()0G a '<，()G a 单调递减，当04a a <<时()0G a '>，()G a 单调递增． ∴当24a ≤≤时，()G a 有最小值0()G a ．（2）当4a >时，2228()6ln 2846ln 2()43ln 23ln 2G a a a a '=--=---， ∴()G a '在(4,)+∞单调递增． 又(4)12(8ln 23)0G '=->， ∴当4a >时，()0G a '>． ∴()G a 在(4,)+∞上单调递增．综合（1）（2）及()G a 试题分析式可知，()G a 有最小值，没有最大值． 20．（Ⅰ）1y x =+；（Ⅱ）(2,1)P -.试题分析：（Ⅰ）∵p q ∧是真命题，所以可求b 及椭圆的焦点坐标，从而可求直线方程； （Ⅱ）联立方程组，先求出点,A B 的坐标，再求出相应的切线方程，求两切线的交点坐标即可.试题试题分析：（Ⅰ）抛物线214y x =的焦点为(0,1)F ， ∵p q ∧是真命题，∴将(0,1)F 代入2212x y b +=得，1b =． ∴椭圆方程是2212x y +=，它的左焦点是1(1,0)F - ∴直线l 的方程是1y x =+．（Ⅱ）不妨假定点A 在第二象限，由方程组2,41.x y y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得(2A --，(2B ++．由214y x =得，12y x '=，所以直线1l 、2l 的斜率分别是1-1+∴1l 、2l 的方程分别是(3(12y x --=-+、(3y -+=(12x --．解两个方程构成的方程组得(2,1)P -． 21．（Ⅰ）极大值1)1(=g ，无极小值； （Ⅱ）证明见试题分析； （Ⅲ）31m e ≥- 试题分析：第一问根据函数的极值的定义，结合导数求得函数的极值，注意虽然函数只有极大值，没有极小值，也得说明没有极小值，第二问注意对式子的变形，结合函数的单调性，将绝对值的符号去掉，构造一个新函数，从而判断出函数的单调性，可以有导数的符号来决定，从而求得结果，第三问根据题意，确定出函数的图像的走向以及函数值的取值，确定出两个函数的值域的关系，从而求得结果．试题试题分析：（Ⅰ）()())(,,1,1,,)1()(,)('x g e x e x g e ex x g xx ∴↓+∞↑∞-∴--=∴= 极大值1)1(=g ，无极小值； （Ⅱ）1,0m a == ，1)(-=∴x x f ,在[]3,4上 是增函数x e x g ex=∴)(,在[]3,4上是增函数 设4321≤<≤x x ，则原不等式转化为212121()()()()ex ex f x f x g x g x -<- 即212121()()()()ex ex f x f x g x g x -<- 令()()1,()x exh x f x x e g x =-=-- 即证1221,()()x x h x h x ∀<<，即()h x 在[]3,4↓'()10x h x e =-< 在[]3,4恒成立即()h x 在[]3,4↓，即所证不等式成立 （3）由（1）得()g x 在()()max 0,1,1,,()(1)1e g x g ↑↓== 所以，(]1,0)(∈x g又'2()f x m x =-，当0m ≤时，'()0,()f x f x <在()0e ↓，，不符合题意当0>m时，要12,t t ∃使得12()()f t f t =， 那么由题意知)(x f 的极值点必在区间()e ,0内，即e m<<20 得e m 2>，且函数)(x f 在↑⎪⎭⎫ ⎝⎛↓⎪⎭⎫ ⎝⎛e m m ,2,2,0 由题意得)(x g 在()e ,0上的值域包含于)(x f 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,e m ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域 ⎪⎭⎫⎝⎛∴e ,m 2内，131)(0)2(-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤e m e f mf 下面证⎥⎦⎤ ⎝⎛∈m t 2,0时，1)(≥t f ，取m e t -=，先证2m e m -<，即证20me m -> 令⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞->-=∴-=,13,012)(,2)('e e x w x e x w x x 在内恒成立 02,0)13()(,)(>-∴>-≥∴↑∴m e e w x w x w m 再证13,113)(,1)(-≥∴>-≥>+=≥---e m e m m me e f e f m m m22．（Ⅰ）1222=+y x（Ⅱ）(2,0)(0,2)t ∈-⋃试题分析：第一问根据题中所给的抛物线的方程，可以确定出其焦点的坐标，即椭圆的焦点坐标可以随之而确定，根据抛物线的通径，可以得出线段CD 的长，根据椭圆的通径可以求得线段ST 的长，根据两条线段的长度的关系，从而可以求得,a b 的关系，根据1c =以及,,a b c 三者之间的关系，可以求得相应的量，从而求得椭圆的方程，第二问根据题意，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，根据直线与椭圆有两个交点，从而判别式大于零，求得直线的斜率的取值范围，再根据韦达定理得出方程的根与系数的关系，结合向量满足的条件，可以应用,k t 表示出P 点的坐标，根据椭圆上点的坐标的取值范围，从而求得相应的结果．试题试题分析：（Ⅰ）设椭圆标准方程 )0(,12222>>=+b a by a x 由题意，抛物线x y 42=的焦点为)0,1(2F ，4=CD ．因为CD =，所以ST =又S ),1(2a b ，T ),1(2a b -，22b ST a == 又2221,c a b ==- 1.a b ∴== 所以椭圆的标准方程1222=+y x ．（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2).y k x =-由⎩⎨⎧-==+)2(2222x k y y x 削去y ，得288)21(2222=-+-+k x k x k 设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，则21,x x 是方程的两根，所以 0)28)(21(4)8(2222>-+-=∆k k k 即122<k ，①且2221218k k x x +=+，由OP t OB OA =+，得⎩⎨⎧=+=+021021ty y y tx x x若t=0，则P 点与原点重合，与题意不符，故t≠0[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⋅=-+⋅=+=+⋅=+=2212102221021414)(1)(12181)(1k k t k x x k t y y t y k k t x x t x 因为点),(00y x P 在椭圆上，所以22222002222183222()12(12)k k x y t k k ⎡⎤=+=⋅+⎢⎥++⎣⎦ 422222142118(12)12k k t k k +==-++11 再由①得211082t ≤<又0t ≠， (2,0)(0,2)t ∴∈-⋃．。