专训3 构造三角形中位线的方法

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三角形中位线定理是什么

三角形中位线定理是什么
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

中位线定理是，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

三角形中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线平行且相等于第三边的一半。

逆定理：
1、在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

2、在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

梯形中位线
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

说明
1、要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

2、梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

3、两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时三角形的中位线就变成梯形的中位线。

4、三条中位线形成的三角形的面积是原三角形面积的四分之一。

5、三条中位线形成的三角形的周长是原三角形周长的二分之一。

中位线定理的三种证明方法

中位线定理的三种证明方法
中位线定理是平面几何中的重要定理，它指出三角形中连接一个顶点与对边中
点的线段叫做中位线，三角形的三条中位线交于同一点，这个点叫做三角形的重心。

下面将介绍中位线定理的三种证明方法。

第一种证明方法是向量法。

通过向量的线性组合和中点的定义，可以证明三角
形的三条中位线交于同一点。

我们可以假设三角形的顶点为A、B、C，对应的中
点为D、E、F，通过向量的线性组合可以得到三角形的三条中位线分别为
$\frac{A+B}{2}$、$\frac{B+C}{2}$、$\frac{C+A}{2}$，然后通过向量的运算可以
证明这三条线交于同一点，即三角形的重心。

第二种证明方法是中位线的性质法。

通过中位线的性质可以证明三角形的三条
中位线交于同一点。

中位线的性质包括中位线平行于底边、中位线的长度等于底边的一半等，通过这些性质可以得出三角形的三条中位线交于同一点的结论。

第三种证明方法是面积法。

通过三角形的面积公式和中位线的定义可以证明三
角形的三条中位线交于同一点。

我们可以利用三角形的面积公式S=1/2*底边*高，
将三角形分成三个小三角形，分别计算它们的面积，然后通过中位线的定义可以得出这三条线交于同一点的结论。

综上所述，中位线定理的三种证明方法分别是向量法、中位线的性质法和面积法。

每种方法都有其独特的角度和思路，通过不同的方式可以证明同一个结论，这也展示了数学的丰富性和多样性。

中位线定理在解决三角形相关问题时起着重要的作用，对于理解三角形的性质和性质的应用具有重要的意义。

三角形的中位线知识、方法总结

三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。

需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。

三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。

常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。

可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。

第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。

第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。

中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。

中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。

四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。

中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。

中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。

不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。

构造三角形中位线的五种常用方法

人教版八年级下
期末提分练案
第3讲平行四边形第2课时方法训练构造三角形中位线的五种常用方法
方法训练 1．如图，点 B 为 AC 上一点，分别以 AB，BC 为边在 AC 同侧
作等边三角形 ABD 和等边三角形 BCE，点 P，M，N 分别为 AC，AD，CE 的中点． (1)求证 PM＝PN；
方法训练
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，点 P 是 AD 的中点，延长 BP 交 AC 于点 N.求证 AN＝13AC.
证明：如图，取 NC 的中点 H，连接 DH，过点 H 作 HE∥AD，交 BN 的延长线于 E. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D 为 BC 的中点． ∵H 为 NC 的中点，∴DH∥BN. 又∵PD∥EH，∴四边形 PDHE 是平行四边形．∴HE＝PD.
方法训练 4．如图，在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，M，N 分别
是 AD，BC 的中点．若 AB＝10，CD＝8，求 MN 长度的取值范围．
方法训练解：如图，取 BD 的中点 P，连接 PM，PN. ∵M 是 AD 的中点，P 是 BD 的中点，∴PM 是△ABD 的中位线， ∴PM＝12AB＝5. 同理得 PN＝12CD＝4. 在△PMN 中，∵PM－PN<MN<PM＋PN，∴1<MN<9.
方法训练
∵P 为 AD 的中点，∴AP＝PD. ∴AP＝EH. 又∵HE∥AD，∴∠PAN＝∠EHN，∠APN＝∠HEN. ∴△APN≌△HEN(ASA)． ∴AN＝NH. ∴AN＝NH＝HC. ∴AN＝13AC.
方法训练 2．如图，在△ABC 中，已知 AB＝6，AC＝10，AD 平分∠BAC，
BD⊥AD 于点 D，点 E 为 BC 的中点．求 DE 的长．解：如图，延长 BD 交 AC 于点 F. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF. 又 AD＝AD， ∴△ADB≌△ADF(ASA)． ∴AF＝AB＝6，BD＝FD.

巧构三角形中位线解题

人教版初中巧构三角形中位线解题三角形中位线有着重要的性质：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的长的一半. 在解决与三角形有关的问题时，巧妙构建中位线，会对解题带来事半功倍的效果. 请看以下例子例1在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆交BC于D，E为AB上一点，且13AE AB=，连CE交AD于F.求证：AF=FD.证法1 如图1，过点D作CE的平行线，交AB于M.∵AB=AC，AB为半圆的直径，∴AD⊥BC,且BD=DC.∵DM//EC，∴BM=ME.即DM为△BEC的中位线.∵13AE AB=，∴BM=ME=AE.∴AF=FD.证法2 如图2，过点D作DN//AB，交EC于N.∵AB=AC，AB为半圆的直径，∴AD⊥BC,且BD=DC.∵DN//AB，∴EN=NC.即DN为△BEC的中位线.∴12DN BE=，∵1132AE AB BE==，∴DN=AE.又∵DN//AB，∴∠AEF=∠FND，∠F AE=∠FDN，∴△AEF≌△DNF.∴AF=FD.例2在△ABC中，M为BC的中点，∠B=2∠C，AD⊥BC于D,求证：12DM AB=.证法1 如图3，取AB的中点N，连MN、DN. ∵M为BC的中点，∴MN为△ABC的中位线.∴∠DMN=∠C.∵N为AB的中点，AD⊥BC，∴1.2 NB ND AB ==∴∠B=∠NDB.又∠NDB=∠DMN+∠DNM，∠NDB=∠B=2∠C，∴∠DMN=∠DNM.∴12DM DN AB==.证法2 如图4，取AC的中点N，连MN、DN. ∵M为BC的中点，∴MN为△ABC的中位线.∴∠NMC=∠B，12 MN AB=∵N为AC的中点，AD⊥BC，∴12DN NC AC==.∴∠C=∠NDC.又∠NMC=∠NDM+∠DNM，∠NMC=∠B=2∠C，∴∠NDM=∠DNM.∴12 DM MN AB==例3如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点. 求证：CD=2CE.证法1如图5，取CD的中点F，连BF.∵BD=AB，DF=CF，∴BF是△ADC的中位线.∴BF//AC，且12 BF AC=∴∠CBF=∠ACB.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC =∠CBF.∵1,2BE AB=∴BE=BF又∵BC=BC,∴△BCE≌△BCF.∴CE=CF. ∴CD=2CE.证法2如图6，取AC的中点F，连BF.∵BD=AB，AF=CF，∴BF是△ADC的中位线.∴BF//AC，且12BF CD=.∵E为AB的中点，∴BE=AE，∵AB=AC，∴AE=AF又∠A=∠A，∴△ABF≌△ACE，得CE=BF. ∴CD=2CE.。

专训常用构造中位线的五种方法

4．四周一片（），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（）。
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.
易得ME＝
1 2
AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
3、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一，要想成功，首先必须建立起自信心，而你若想在自己内心建立信心，即应像洒扫街道一般，首先将相当于街道上最阴湿黑暗之角落的自卑感清除干净，然后再种植信心，并加以巩固。信心建立之后，新的机会才会随之而来。

专训3 构造三角形中位线的方法

专训3构造三角形中位线的方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出一个三角形两边的中点时，可以直接连接中点，构造三角形的中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，构造三角形的中位线．连接两点构造三角形的中位线1．如图，已知点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．(第1题)利用角平分线和垂直构造三角形的中位线2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．(第2题)3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E 为BC的中点，连接DE，求DE的长．(第3题)倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△BEF ＝90°，M为AF(第已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．(第5题)已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 的中点，延长BP 交AC 于点N.求证：AN ＝13AC.(第6题)答案1．(1)证明：如图，连接CD ，AE.由三角形中位线定理可得PM12DC ，PN 12AE.∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠DBC.∴△ABE ≌△DBC.∴AE ＝DC. ∴PM ＝PN.(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交DC 于G ，AE 交DC 于H ，由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC.∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°. ∴∠FHG ＝120°.∵PN ∥AE ，PM ∥DC ，∴四边形PFHG 为平行四边形． ∴∠MPN ＝120°.(第1题)2．解：如图，延长BD ，CA 交于N.(第2题)∵AD 为△ABC 的外角平分线， ∴∠NAD ＝∠BAD. 又∵AD ⊥BD ，∴∠ADN ＝∠ADB ＝90°. 在△AND 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠NAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，∠ADN ＝∠ADB ＝90°， ∴△AND ≌△ABD(ASA )． ∴DN ＝DB ，AN ＝AB. ∵M 为BC 的中点，∴DM 是△BCN 的中位线．∴DM ＝12NC ＝12(AN ＋AC)＝12(AB ＋AC)＝15.3．解：如图，延长BD 交AC 于点F.(第3题)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠FAD. ∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADF ＝90°. 又∵AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADF(ASA )． ∴AF ＝AB ＝6，BD ＝FD. ∵AC ＝10，∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4. ∵E 为BC 的中点，BD ＝FD ， ∴DE 是△∴DE ＝12CF 4．证明：(第∵EF ＝EN BF ＝BN. ∴∠BNF ∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝90°， ∴∠BFN ＝∴∠FBN ＝ABN ＝90°. 又∵∠FBA ＋∠CBF ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABN.在△BCF 和△BAN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ， ∴△BCF ≌△BAN. ∴CF ＝AN.∴ME ＝12CF.5．解：如图．连接BD ，取BD 的中点P ，连接PM ，PN. ∵M 是AD 的中点，P 是BD 的中点， ∴PM 是△ABD 的中位线．∴PM ＝12AB ＝5.同理可得PN ＝12CD ＝4.在△PMN 中，∵PM －PN<MN<PM ＋PN ， ∴1<MN<9.(第5题)6．证明：E.∵AB ＝AC ， AD ⊥BC ，∴D 为BC 又∵H 为NC ∴DH 为△∴DH ∥BN. ∵HE ∥AD ，∴四边形∴HE ＝PD.又∵P 为AD ∴AP ＝PD.∴易证△APN 又∵NH ＝HC ∴AN ＝NH ＝(第6题)。

三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法法1：如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法2：如图所示，过C 作交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线BC 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

三角形中位线

三角形中位线在我们学习三角形的众多知识中，三角形中位线是一个非常重要且有趣的概念。

它看似简单，却蕴含着丰富的几何性质和实用价值。

首先，咱们来弄清楚啥是三角形中位线。

三角形中位线，就是连接三角形两边中点的线段。

比如说，在三角形 ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，那么线段 DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。

三角形中位线有几个特别重要的性质。

其中一个关键性质就是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

这可太有用啦！为啥这么说呢？咱们来想想，如果我们知道了一条中位线的长度，那就能马上算出与之平行的那条边的长度。

反过来，如果我们知道了第三边的长度，也能迅速得出中位线的长度。

比如说，在三角形 ABC 中，DE 是中位线，BC ＝ 10 厘米。

因为中位线等于第三边的一半，所以 DE 的长度就是 5 厘米。

又或者，已知中位线 DE 长 6 厘米，那 BC 的长度就是 12 厘米。

那这个性质是咋证明出来的呢？咱们可以通过构造平行四边形来证明。

连接三角形的一个顶点和中位线的一个端点，比如说连接 CE 。

因为 D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，所以 AD ＝ BD ，AE ＝ CE 。

这样一来，四边形 BCED 就是一个平行四边形，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，就可以得出 DE 平行于 BC 且 DE ＝ 1/2 BC 。

三角形中位线的这些性质在解决很多几何问题中都能派上大用场。

比如在求三角形的边长、角度，或者证明线段之间的关系时，中位线往往能成为解题的关键线索。

咱们来看个实际的例子。

有一个三角形的田地，三边长度分别是 12 米、16 米和 20 米。

现在要在这块田地上修一条平行于最长边的小路，并且这条小路恰好是中位线。

那这条小路的长度是多少呢？因为 20 米是最长边，所以与之平行的中位线连接的是另外两条边的中点。

根据中位线的性质，中位线等于第三边的一半，所以这条中位线的长度就是 10 米。

构造三角形的中位线的五种方法

∴AF＝AB＝6，BD＝FD. ∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4. ∵E 为 BC 的中点，BD＝FD， ∴DE 是△BCF 的中位线．∴DE＝12CF＝12×4＝2.
3．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M 为 AF 的中点．求证： ME＝12CF.
解：如图，连接 BD 并取 BD 的中点 P，连接 PM，PN. ∵M 是 AD 的中点，P 是 BD 的中点， ∴PM 是△ABD 的中位线．∴PM＝12AB＝5. 同理可得 PN＝12CD＝4. 在△PMN 中， ∵PM－PN＜MN＜PM＋PN，∴1＜MN＜9.
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，点 P 是 AD 的中点，延长 BP 交 AC 于点 N.求证：AN＝13AC.
证明：如图，取 NC 的中点 H，连接 DH，过点 H 作 HE∥AD，交D 为 BC 的中点．
又∵H 为 NC 的中点， ∴DH 为△BCN 的中位线．∴DH∥BN. ∵HE∥AD，∴四边形 PDHE 是平行四边形．∴HE＝PD. ∵P 为 AD 的中点，∴AP＝PD.∴AP＝HE. 易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH. 又∵NH＝HC，∴AN＝NH＝HC.∴AN＝13AC.
(1)求证：PM＝PN；
证明：如图，连接 CD，AE. ∵M，N，P 分别是 AD，CE，AC 的中点， ∴MP，NP 分别是△ACD 和△ACE 的中位线． ∴PM＝12DC，PN＝12AE. ∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形， ∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°. ∴∠ABE＝∠DBC. ∴△ABE≌△DBC(SAS)．∴AE＝DC.∴PM＝PN.

中位线定理的证明方法

中位线定理的证明方法中位线定理是一种数学定理，用于证明一个三角形的三条中位线共点。

下面将使用中位线定理的证明方法来证明这一定理。

让我们回顾一下中位线的定义。

在一个三角形ABC中，连接顶点A 与边BC的中点D，连接顶点B与边AC的中点E，连接顶点C与边AB的中点F，我们称线段DE、EF和FD为三角形ABC的中位线。

根据中位线的定义，我们可以得到以下结论：结论1：中位线DE与中位线EF的交点G是三角形ABC的重心。

接下来，我们将使用以下证明方法来证明中位线定理：步骤1：假设中位线DE与中位线EF的交点为G。

步骤2：我们需要证明中位线FD经过点G。

为了证明这一点，我们可以使用反证法。

步骤3：假设中位线FD与中位线EF的交点为H。

根据结论1，我们知道中位线EF经过点G，因此线段GH与线段EF平行。

步骤4：根据平行线的性质，我们可以得到三角形GHF与三角形GEF相似。

因此，我们可以得到以下比例关系：GH/GE = HF/EF步骤5：根据结论1，我们知道中位线DE经过点G，因此线段DG 与线段DE平行。

步骤6：根据平行线的性质，我们可以得到三角形DGE与三角形DGF相似。

因此，我们可以得到以下比例关系：DG/DE = GE/GF步骤7：将步骤4和步骤6的比例关系相乘，我们可以得到以下结果：(GH/GE) * (DG/DE) = (HF/EF) * (GE/GF)步骤8：根据相似三角形的性质，我们知道上式左边和右边的比例相等。

因此，我们可以得到以下结果：GH/DG = HF/GF步骤9：根据比例关系的传递性，我们可以得到以下结果：GH/DG = HF/GF = 1步骤10：根据比例关系的定义，我们知道当两个比例相等时，它们的比值等于1。

因此，我们可以得出结论，中位线FD经过点G，即中位线DE、EF和FD交于一点。

通过以上证明过程，我们使用了中位线的定义和数学定理的推导，证明了中位线定理的正确性。

根据中位线定理，我们可以得出一个三角形的三条中位线共点的结论。

三角形中位线定理

三角形中位线定理三角形中位线定理是欧几里得几何学中一个重要的定理，它描述了三角形中位线的性质。

中位线是指连接三角形两边中点的线段。

在三角形中，每条边都有一个对应的中位线，因此一个三角形总共有三条中位线。

定理内容：在任意三角形中，三条中位线相交于一点，这个点被称为三角形的质心（Centroid）。

质心具有以下性质：1. 它将每条中位线分为两段，其中一段是另一段的两倍长。

2. 质心将三角形的每条中线平分，即从质心到三角形顶点的线段是从中点到顶点线段的两倍。

证明：我们可以通过构造辅助线和使用相似三角形的性质来证明这个定理。

1. 考虑任意三角形ABC，设D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。

2. 连接D和E，它们交于点G，这个点就是质心。

3. 连接AG并延长，交BC于点H。

4. 由于D和E是中点，DE是三角形ABC的中位线，所以根据中位线定理，AG是DH的两倍长。

5. 同理，连接BG和CG，它们也会在三角形的边AB和AC上分别找到中点，并且这些线段也会将中位线平分。

6. 由于AG、BG、CG都平分中位线，因此它们必然相交于同一点G。

应用：三角形中位线定理在解决几何问题时非常有用，尤其是在需要找到三角形内某一点到各边距离相等的点时，这个点就是质心。

它也可以用来计算三角形的面积，因为质心到三角形各顶点的距离相等，可以构成三个小三角形，这些小三角形的面积之和等于原三角形的面积。

结论：三角形中位线定理不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也非常重要。

它帮助我们更好地理解三角形的结构和性质，是几何学中不可或缺的一部分。

通过这个定理，我们可以解决许多与三角形相关的几何问题，从而在数学和工程学等领域中发挥重要作用。

找中点构造中位线解题汇总

找中点构造中位线解题三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。

它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。

但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。

本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。

一、知识回顾1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

2、应用时注意的几个细节：①定理的使用前提：三角形。

②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。

③定理的结论：位置上：与第三边是平行的；大小上：等于第三边的一半。

在应用时，要灵活选择结论。

二、应用举例1、直接找线段的中点，应用中位线定理例1、如图1所示，在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是三角形的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM=21AB 。

分析：看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB 上的中位线，再证明这条中位线与DM 是相等的。

证明：如图2所示，取边AC 的中点E ，连接ME ，则ME ∥AB ，ME=21AB ，因为，ME ∥AB ，所以，∠B=∠EMC ，因为，∠B=2∠C ，所以，∠EMC=2∠C ，∠EMC 是三角形DME 的一个外角，所以，∠EMC=∠MDE+∠MED ，所以，2∠C=∠MDE+∠MED ，因为，AD 是三角形的高，所以，∠ADC 是直角，所以，DE 是直角三角形ADC 斜边上的中线，所以，DE=EC ，所以，∠MDE=∠C ，所以，2∠C=∠C +∠MED ，所以，∠MED=∠C ，所以，∠MDE=∠MED ，所以，DM=ME ，所以，DM=21AB 。

2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例2、如图3所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE 的长为。

构造三角形的中位线解题

构造三角形的中位线解题我们学习了三角形中位线的性质：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

在平面几何中，有些问题可以借助中位线来解决。

例、已知：如图①，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相交，试证明：FG=21（AB+BC+AC ）。

（1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（2） B D 为△ABC 的内角平分线，（3）CE 为△ABC 的外角平分线。

则在图②，图③的两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想；并对其中的一种情况给予证明。

证明：延长AF 、CB 相交于M ，延长AE 、BC 相交于N ， ∵BD 是△ABC 的外角平分线，∴∠ABF=∠MBF ，∵AF ⊥BD ∴∠AFB=∠FMB ，又∵BF=BF ，∴△ABF ≌△MBF ，∴AF=BF ，AB=MB ，同理：AG=GN ，AC=CN 。

∴FG=21MN=21（MB+BC+CN ）。

=21（AB+BC+AC ）。

（1）猜想：FG=21（AB +AC －BC ）。

证明：延长AG 交BC 于N ，延长AF 交BC 于M ， ∵BD 是△ABC 的内角平分线，∴∠ABG=∠NBG ，∵AG ⊥BD ∴∠AGB=∠NGB ，又∵BG=BG ，∴△ABG ≌△NBG ，∴AG=GN ，AB=NB ，同理：AF=MF ，AC=CM 。

∴FG=21MN=21（BN ＋CM －BC ）。

=21（AB ＋AC －BC ）。

同学们可以证明一下（2）。

构造中位线的方法

大家好
1
连接两点构造三角形的中位线
1、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在 AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点 P,M,N分别为AC，AD，CE的中点。（1）求证：PM=PN；（2）求∠MPN的度数。
大家好
2
已知角平分线和垂直构造中位线
2、如图，在⊿ABC中，点M为BC的中点，AD为 ⊿ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB=12， AC=18，求DM的长。
大家好
7
结束
大家好
8
大家好
3
已知角平分线和垂直构造中位线【练习】
3、如图，在⊿ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE 的长。
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4
倍长法构造中位线
4、如图，在⊿ABC中，∠ABC=90o，BA=BC， ⊿BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90o，M为AF的中点，求证：CF=2ME。
Байду номын сангаас大家好
5
已知一边中点，取另一边中点构造中位线
5、如图，在⊿ABC中，∠C=90o，CA=BC， E、F分别为CA，CB上一点，CE=CF，M、N分别为AF、 BE中点，求证：AE= 2 MN。
大家好
6
已知两边中点，取第三边中点构造中位线
6、如图，在⊿ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证： AC=3AN。