36.湖南衡阳

2015年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．计算（﹣1）0+|﹣2|的结果是（）A．﹣3 B． 1 C．﹣1 D． 32．下列计算正确的是（）A ．a+a=2a B．b3•b3=2b3C．a3÷a=a3D．（a5）2=a73．如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（）A. B. C. D.4．若分式的值为0，则x的值为（）A．2或﹣1 B． 0 C． 2 D．﹣15．函数y=中自变量x的取值范围为（）A． x≥0 B． x≥﹣1 C． x＞﹣1 D． x≥16．不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.7．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A． 11 B． 16 C． 17 D． 16或178．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B． 2 C． 4 D．﹣39．下列命题是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形10．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是（单位：元）50、20、50、30、25、50、55，这组数据的众数和中位数分别是（）A． 50元，30元B． 50元，40元C． 50元，50元D． 55元，50元11．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A． x（x﹣10）=900 B．x（x+10）=900C． 10（x+10）=900 D． 2[x+（x+10）]=90012．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A ．50B．51 C．50+1 D．101二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

13．在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是．14．如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是．15．计算：﹣=．16．方程的解为．17．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留π）．18．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为m．19．已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为．20．如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△A n B n A n+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、A n在x轴上，点B1、B2、…、B n在直线y=x上，已知OA2=1，则OA2015的长为．三、解答题：本大题共8个小题，满分60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．22．为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为；（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有人；（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有人．23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C （1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．24．某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．25．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？26．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．27．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．28．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．参考答案一、选择题1.D-+-=1+2=3，故答案为D.解析：()012点评：任何一个不等于0的数的0次幂都得1.2．A解析：选项A 中的两项是同类项，根据合并同类项的法则“系数和系数相加作为和的系数，字母与字母的指数均不变”计算，得 a +a ＝（1+1）a ＝2a ，所以A 计算结果正确；选项B 是同底数幂的乘法，根据“底数不变，指数相加”得336b b b =，故B 错误．选项C 是同底数幂的除法，根据“底数不变，指数相减”得32a a a ÷=，故C 错误；选项D 、 点评：本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方、合并同类项，解题的关键是正确掌握幂的运算性质．是幂的乘方，根据“底数不变，指数相乘”得()2510a a =，故D 错误；故选择A ．3.C解析：圆柱的俯视图是一个圆，长方体的俯视图是一个长方形，故选择C .4.C解析：由题意可知x －2=0，得x =2．由x +1≠0，得x ≠－1，所以x =2，故选C ．点评：本题考查了分式的值为0的条件，解题的关键是根据“分式的值为0的条件”列出方程和不等式．5.B解析：∵x ＋1≥0，解得x ≥－1，故选择B ．点评：本题考查函数自变量x 的取值范围，解题的关键是理解二次根式有意义的条件．6.B解析：x ≥—2表示在数轴上时，取向右的方向，－2处用实心点表示；x ＜1表示在数轴上取向左的方向，1处用空心点表示，故选择B .点评：本题考查了一元一次不等式组的解集，解题的关键是掌握解集在数轴上的表达方法．7.D解析：根据等腰三角形的性质可得，等腰三角形的另一腰的长为5或6，所以三角形的周长等于5＋6＋5＝16或6+6+5=17，故选择D ．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求出等腰三角形中未知边的长．8.A解析：方法一：把1x =-代入方程230x x a ++=可得：()()21310a -+⨯-+=，解得：2a ==2.所以一元二次方程为2320x x ++=，解得121,2x x =-=-，故答案为A. 方法二：由12b x x a+=-可得：123x x +=-，因为方程有一个根为－1.所以另一个根是－2，故答案为A.点评：本题考查了一元二次方程根的根与系数的关系以及代入求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键.9.A解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形正确，故选项A 正确；对角线相等的平行四边形才是矩形，故B 选项错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C 选项错误；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D 也错误，所以本题答案为A .10.C .解析：根据题意可知，将这一组数据按从小到大的顺序依次排列可得：20，25，30，50，50，50，55，这一组数据中，出现次数最多的数是50，故众数是50；7个数据的中间位置是第4个数50，所以中位数是50，故答案为C .点评：本题考查了众数、中位数，理解众数和中位数的概念是解题的关键．11.B解析：设矩形的宽为x 米，则矩形的长为（x ＋10）米，由题意得：x （10+x ）＝900，故选择B ．点评：本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出问题中的等量关系．11.C .解析：根据题意可知，∠ACE ＝30°，∠AEG ＝60°，CE ＝DF ＝100米.我们不妨设EG =x 米，在Rt △BCE 中，∵∠AEG ＝60°，∴AG ＝3x ；在Rt △ACG 中，∵AG ＝3x ，∠ACE ＝30°，∴CG ＝333x x = .∵CE ＝DF ＝100∴1003x x +=，解得50x =，∴这个电视塔的高度AB =AG +GB =5031+（米），故答案为C .点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用两个直角三角形的公共边求解.二、填空题（本大题共8个小题）13．－2解析：∵﹣2＜﹣1＜0，∴最小的数是﹣2.点评：本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数大小比较的方法. 14.60°解析：直接利用两直线平行同旁内角互补，求出∠2的度数即可.点评：本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 15.2解析：原式＝2222-=，故答案为2．点评：本题考查了二次根式的化简与加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与合并法则．16.x =－1解析：方程两边同时乘以x （x －2），可化为x －2=3x ，解得x =－1，检验：当x =－1时x （x —2）≠0，所以原方程的解是x =－1，故答案为x =－1.点评：本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法．17.3π解析：扇形的面积=2212033360360n r πππ⨯==．故答案为3π． 点评：本题考查了扇形的面积的计算公式，解题的关键是记住扇形的面积公式． 18.40解析： 因为M 、N 是OA 、OB 的中点，所以MN 为△OAB 的中位线，所以MN ∥AB 且12MN AB =，又因为MN =20m ，所以AB =40m ，故答案为40. 点评：本题考查了三角形中位线的性质，解题关键是根据三角形的中位线定理确定线段AB与线段MN 之间的关系.19.－3解析：a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）=3×（－1）=－3，故答案为－3 .点评：本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式．20.20142解析：因为OA 1=1，所以A 1坐标为（1，0），又因为△A 1B 1A 2为等腰直角三角形，所以B 1A 1⊥x 轴，又因为点B 1在直线y =x 上，所以点B 1的坐标为（1，1），且B 1A 1=A 1A 2=1，所以A 2的坐标为（2，0），即0A 2=2=21；又因为△A 2B 2A 3为等腰直角三角形，所以B 2A 2⊥x 轴，又因为点B 2在直线y =x 上，所以点B 2的坐标为（2，2），且B 2A 2=A 2A 3=2，所以A 3的坐标为（4，0），即OA 3=4=22；……；如此类推，我们可得到OA 4=8=23，OA 5=16=24，……，所以OA 2015=22014，故答案为22014.点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质．三、解答题（本大题共8个小题）21． 解析：先利用完全平方公式和单项式与多项式乘法法则化简、合并同类项，再代入数值进行计算．解析：原式＝22222a ab a ab b -+++＝222a b +∵1a =-，2b =，∴原式＝222a b +＝22+＝4．．点评：本题考查了代数式的化简、求值，解题的关键是根据整式的乘法法则与乘法公式将原式化简．22. 解析：（1）由扇形图的特征可知，扇形图中所有组成部分的百分比的和为1，所以“合 格”占的百分比为1－32%－16%－12%=40%；（2）解法一：由条形统计图知，“优秀”的 有8人，由扇形统计图知，“优秀”的占16%，所以总人数为：8÷16%＝50（人）．所以“不 合格”的人数为50×32%=16人，故答案为16．解法二：同上我们可知，总人数为50人， 所以“不合格”的人数为：50－8－6－20=16（人），故答案为16；（3）∵样本中“不合格” 所占百分比为32%，∴400名学生中“不合格”所占百分比约为32%， “不合格”的人数约 有400×32%=128（人）.解析：（1）40%；（2）16；（3）128．点评：本题考查了条形统计图和扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是会从统计图中读懂信息、发现信息．23. 解析：（1）直接根据关于x 轴对称的点的坐标的特征确定图形（2）根据旋转图形的特征确定旋转中心和旋转角，再根据点所在的象限确定点的坐标. 作图时，先找原图的关键点，根据旋转、轴对称的性质找关键点的对应点，再顺次连接各对应点即可.旋转中心是对应点所连线段的中垂线的交点.解析：（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；（2）①由图可知，旋转角为90°；②点B 2的坐标为（6，2）．点评：本题考查了旋转作图与轴对称作图，解题的关键掌握旋转和对称的性质．24. 解析：根据题意可知，本题属于“摸球不放回”模型，所以第一名主持人有4种可能，而第二名主持人只有在剩下的三个人中选择，根据题意画树形图，再根据树形图确定所求的概率即可得到答案.解析：画树状图如下所示：第一名主持人： 男① 男② 女① 女②第二名主持人： 男② 女① 女② 男① 女① 女② 男① 男② 女② 男① 男② 女① 共有12种可能出现的结果，其中“恰好为一男一女”的有8种；∴P ＝812＝23． 点评：本题考查了本题考查了概的求法，解题的关键是画出树状图或列出表格表示所有可能的结果．25. 解析：（1）根据图象可知，当04x ≤≤时，y 与x 成正比例关系，可利用直线过点（4，8）确定正比例函数的解析式；类似地，由图象可知，当410x ≤≤时，y 与x 成反比例关系，可利用双曲线过点（4，8）确定它的解析式；（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间即是把图象中y ≥4时对应x 的取值范围，可将y =4分别代入所求函数关系式即可找到对应的x 的值，从而确定所求的时间段.解析：（1）由图象可知，当04x ≤≤时，y 与x 成正比例关系，设y kx =．由图象可知，当4x =时，8y =，∴48k =，解得：2k =.∴()204y x x =≤≤又由题意可知：当410x ≤≤时，y 与x 成反比，设m y x=． 由图象可知，当4x =时，8y =，∴4832m =⨯=. ∴()32410y x x =≤≤即：血液中药物浓度上升时()204y x x =≤≤；血液中药物浓度下降下()32410y x x=≤≤． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：4y ≥∴24x ≥且324x ≥，解得2x ≥且8x ≤； ∴28x ≤≤，即持续时间为6小时．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是用待定系数法求出函数的解析式．26. 解析：（1）欲证CE 是切线，注意到点C 在圆上，因此考虑“连半径，证垂直”，则切线可证；（2）根据圆心角、弧弦之间的关系找到相等的线段，得到△AOD 和△COD 都是等边三角形，再通过四条边都相等的四边形是菱形得到结论．解析：（1）证明：连接OD ，∵点C 、D 为半圆O 的三等分点，∴∠BOC ＝12∠BOD 又∠BAD ＝12∠BOD ∴∠BOC ＝∠BAD∴AE ∥OC∵AD ⊥EC∴OC ⊥EC∴CE 为⊙O 的切线．（2）四边形AOCD 是菱形；理由如下：∵点C 、D 为半圆O 的三等分点∴∠AOD ＝∠COD ＝60°∵OA ＝OD ＝OC∴△AOD 和△COD 都是等边三角形∴OA ＝AD ＝DC ＝OC ＝OD∴四边形AOCD 是菱形．点评：本题综合考查了，切线的判定及菱形的判定，解题的关键是能合理构造辅助线．27. 解析：（1）根据直线的解析式及A 、B 两点的坐标特征确定A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）由抛物线的解析式确定其顶点M 的坐标，再根据ABM 三点的坐标确定∠BAC ＝45° 及∠MAC ＝45°，从而得到△ABM 是直角三角形；（3）根据直线与抛物线总有交点可知，将直线的解析式与抛物线的解析式组成的方程组总有解，即所得一元二次方程的判别式为非负数得到答案.解析：（1）∵点A 是直线1y x =+与x 轴的交点，∴A 点为（－1，0）∵点B 在直线1y x =+上，且横坐标为2，∴B 点为（2，3）∵过点A 、B 的抛物线的顶点M 在y 轴上，故设其解析式为：2y ax c =+ ∴043a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：11a c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的解析式为21y x =-．（2）△ABM 是直角三角形，且∠BAM ＝90°．理由如下：作BC ⊥x 轴于点C ，∵A （－1，0）、B （2，3）∴AC ＝BC ＝3，∴∠BAC ＝45°； 点M 是抛物线21y x =-的顶点，∴M 点为（0，－1）∴OA ＝OM ＝1，∵∠AOM ＝90°∴∠MAC ＝45°；∴∠BAM ＝∠BAC ＋∠MAC ＝90°∴△ABM 是直角三角形．（3）将抛物线的顶点平移至点（m ，2m ），则其解析式为()22y x m m =-+．∵抛物线的不动点是抛物线与直线y x =的交点，∴()22x m m x -+=化简得：()222120x m x m m -+++=.∴∆＝()()2221412m m m -+-⨯⋅+⎡⎤⎣⎦＝41m -+. 当410m -+≥时，方程()222120x m x m m -+++=总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点.∴14m≤．点评：本题为二次函数的压轴题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、直角三角形的判定方法及抛物线中的定点问题．28. 解析：（1）作坐标轴的垂线构造三角形全等，利用点的坐标表示线段的长；（2）根据直线的解析式确定点的坐标，再根据点的坐标得到线段的长；（3）根据两角相等的两三角形相似得到△DAP∽△POC，再根据对应边的比相等得到AD APOP OC=，从而用t表示出相关线段的长，得到四边形BNDM的面积与t之间的函数关系式，发现它是二次函数后，利用配方法（或顶点式）确定二次函数的最值．解析：（1）如图，作ME⊥x轴于点E，则∠MEP＝∠POC＝90°∵PM⊥CP，∴∠CPM＝90°；∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90°∴∠MPE＝∠PCO，∵PM＝CP∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME＝PO＝t∴OE＝4＋t；∴点M的坐标为（4＋t，t）．（2）线段MN的长度不变．理由如下：由题意知：OA＝OB＝4，∴点B坐标为（4，4），∴直线OB的解析式为y x=∵MN∥OA，点M为（4＋t，t），点N的坐标为（t，t）∴MN＝()4t t+-＝4，即线段MN的长度不变．（3）由（1）知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90°∴△DAP∽△POC，∴AD AP OP OC=，∵OP＝t，OC＝4，∴AP＝4－t∴AD4tt4-=，∴AD＝()t4t4-，∴BD＝()t4t44--＝2t4t164-+∵MN∥OA，AB⊥OA；∴MN⊥BD∵S 四边形BNDM ＝1MN BD 2⋅ ∴S ＝21t 2t 82-+ ∵1t 02=>，∴S 有最小值， 且当2t 2122-=-=⨯时，S 最小值＝6． 点评：本题是一道动态问题，涉及到点的坐标、全等三角形、一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等几何中的核心知识的整合，解题的关键是画出符合题意的图形，寻找全等三角形与相似三角形．。