(第40讲)高中数学复习专题讲座-化归思想
化归思想在高中数学函数学习中的运用分析
化归思想在高中数学函数学习中的运用分析化归思想是一种在数学中常用的解题方法，可以将复杂的问题转化为简单的问题来解决。
在高中数学函数学习中，化归思想可以帮助学生更好地理解和应用函数的性质和特点，提高解题的效率和准确性。
化归思想可以帮助学生理解函数的定义和性质。
通过将函数表示为关系式或图像的方式，学生可以更直观地理解函数的本质。
对于线性函数y=kx+b，可以通过化归思想将其表示为y=ax，其中a=k，b=k+b。
这样的转化可以帮助学生理解线性函数的斜率和截距与函数图像的关系。
同样，对于二次函数y=ax²+bx+c，化归思想可以将其表示为y=a(x-h)²+k，其中h=-b/2a，k=c-b²/4a。
这样的转化可以帮助学生理解二次函数的顶点和对称轴与函数图像的关系。
通过化归思想，学生可以更深入地了解函数的性质和变化规律。
化归思想可以帮助学生解决函数的特殊问题。
在函数学习中，常常会遇到一些特殊的函数形式或问题类型，如分式函数、绝对值函数、一元n次方程等。
对于这些特殊问题，化归思想可以将其转化为更简单的问题来解决。
对于分式函数，可以通过分解为部分分式来简化计算；对于绝对值函数，可以通过定义绝对值的性质来分情况讨论；对于一元n次方程，可以通过换元法或配方法来化简方程，从而求解。
通过化归思想，学生可以将复杂的函数问题转化为简单的问题，提高解题的效率和准确性。
化归思想还可以帮助学生发现和利用函数的隐藏规律。
在函数学习中，函数的图像、性质和变化规律是学生需要重点掌握的内容。
通过化归思想，学生可以通过转化函数的形式或参数来发现函数的隐藏规律。
对于一元n次方程ax^n+bx^{n-1}+...+k = 0，可以通过换元法将其转化为(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) = 0的形式，从而发现方程的根和系数之间的关系。
通过发现和利用函数的隐藏规律，学生可以更好地理解函数的性质和变化规律，提高解题的能力和灵活性。
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析高中数学是学生学习数理知识的关键阶段，也是培养学生思维能力和逻辑推理能力的重要阶段。
在数学解题过程中，化归思想起着至关重要的作用。
化归思想是一种将问题进行简化、归纳和类比的思维方式，它可以帮助学生在解题过程中找到规律，做到举一反三，提高求解问题的能力。
本文将从化归思想的概念、在高中数学解题中的应用以及化归思想对学生数学思维的培养等方面进行分析和探讨。
一、化归思想的概念化归思想是指将一个有困难的问题转化成为一个相对简单的问题，然后利用简单问题的解题方法解答复杂问题的一种思维方式。
化归思想是数学思维中的一种重要方法，它可以帮助学生把握问题的本质，从而更好地理解和解决问题。
化归思想的核心是找到问题之间的联系和规律，将复杂的问题简化成易解的问题，从而为解决问题提供了思维途径和方法。
化归思想是高中数学解题中十分重要的一环。
在学习数学的过程中，学生们往往会遇到各种各样的难题，有些问题看似复杂，但经过化归思想的分析和转化，往往可以找到解题的新思路，大大提高解题效率。
1. 几何证明在高中数学的几何学中，几何证明是一个十分重要的内容。
几何证明需要学生具备严密的逻辑推理能力和丰富的几何知识。
很多几何证明问题在表面上看似复杂，但通过化归思想可以将其简化成一些基本的几何知识和定理，从而能够更好地解决问题。
在证明一个定理时，学生可以利用化归思想将大问题分解成一系列小问题，逐个地进行推导和证明，从而逐步解决整个问题。
这种分而治之的思维方式，有助于学生更好地理解和掌握几何知识，提高学生的证明能力。
2. 代数方程解题在高中数学学习中，代数方程是一个重要的内容，学生需要具备解方程的能力。
有些代数方程问题看似复杂，需要学生有一定的数学思维和技巧才能解决。
在解决代数方程问题时，学生可以运用化归思想将问题简化，找出方程中的规律和特点，从而更好地解题。
对于一个复杂的代数方程问题，学生可以尝试将其化简成一系列简单的代数方程，逐步解决每一个小问题，最终得到整体的解答。
高中数学复习专题讲座(第40讲)化归思想
高中数学复习专题讲座(第40讲)化归思想高考要求化归与转换的思想，确实是在研究和解决数学咨询题时采纳某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或条件将咨询题通过变换加以转化，进而达到解决咨询题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为，通过变换迅速而合理的查找和选择咨询题解决的途径和方法 重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新咨询题与原咨询题实质是一样的 不等价转化那么部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原那么应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下 ①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②假设x 1∉D ，那么数列发生器终止工作；假设x 1∈D ，那么将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律连续下去现定义124)(+-=x x x f 〔1〕假设输入x 0=6549，那么由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； 〔2〕假设要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；〔3〕假设输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范畴命题意图 此题要紧考查学生的阅读审题，综合明白得及逻辑推理的能力知识依靠 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键确实是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析考生易显现以下几种错因〔1〕审题后不能明白得题意〔2〕题意转化不出数学关系式，如第2咨询〔3〕第3咨询不能进行从一样到专门的转化技巧与方法 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于生疏不易明白得并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 〔1〕∵f (x )的定义域D =〔–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x 〔2〕∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2〔n ∈N *〕 〔3〕解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，那么x 2＜–1或1＜x 1＜2 关于函数164124)(+-=+-=x x x x f 假设x 1＜–1，那么x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2假设1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n 〔n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P〔1〕试用a 表示点P 的坐标；〔2〕设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域； 〔3〕记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 此题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依靠两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式错解分析 第〔1〕咨询中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易显现运算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系 第〔2〕咨询中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件 第〔3〕咨询中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练把握的差不多咨询题，是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有成效解 〔1〕将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+xb a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a 〔舍去〕 故P 的坐标为(aa 2,2) (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2,∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 因此0＜S 〔a 〕＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2〔舍去〕或a ≥46故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为解析 9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔〔不包括两端外边的装置〕插入关闭的过程故有C 35=10种答案 10例4 平面向量a =(3–1), a =(23,21) 〔1〕证明a ⊥b ;〔2〕假设存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);〔3〕据〔2〕的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情形(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +〔t 2–3) b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情形， 能够看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数因此f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t 12=1 的变化情形如下表 t (–∞,–1)–1 (–1,1) 1 (1,+∞) f ′(t ) + 0 – 0 + f (t )↗极大值↘极小值↗当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–33因此f (t )的图象大致如右因此当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，那么方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，那么方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故现在也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，那么方程有三个解学生巩固练习1 两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2)内变动时，a 的取值范畴是( )A 〔0，1〕B 〔33，3〕 C 〔33，1〕∪〔1，3〕 D 〔1，3〕 f(t)=14t(t 2-3)1-1-1212y=koyt2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分不用S n 和T n 表示，假设534+=n n T S n n ，那么nnn b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 943 某房间有4个人，那么至少有2人一辈子日是同一个月的概率是 〔列式表示〕4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在〔0，1〕内有极小值，那么b 的取值范畴是5 f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数〕 (1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)假如x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范畴6 函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2〔1〕求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；〔2〕证明0＜f (31)＜1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y=1上的两点，点N 〔1，2〕是线段AB 的中点〔1〕求直线AB 的方程；〔2〕假如线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？什么缘故？8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范畴参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特点，化数为形，两直线不重合，因此咨询题应该有两个范畴即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人一辈子日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在〔0，1〕内与x 轴有两交点 只须f ′(0)<0且f ′(1)>0答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成赶忙x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，因此转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值咨询题 令μ=1+x ,那么x =μ2–1,那么μ∈［1,2］∴2x +1+x =–2(μ–41)2817 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范畴是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1 故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<17 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1 整理得〔2–k 2〕x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 设A (x 1,y 1)、B 〔x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 因此2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2k k k -- 又N 为AB 中点，有21〔x 1+x 2〕=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A 〔–1，0〕、B 〔3，4〕得CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0 ②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，因此A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点 课前后备注。
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想是高中数学函数学习中的重要内容之一，通过运用化归思想，可以将复杂的问题化简为简单的形式，从而更容易解决问题。
在高中数学的函数学习中，化归思想主要运用在以下几个方面。
在函数的定义和性质的学习中，化归思想可以用来证明和推导函数的一些重要性质。
可以通过化归思想证明函数的奇偶性、周期性等性质，从而更深入地了解函数的特点和性质。
化归思想还可以用来求解复合函数的值域和定义域等问题，通过化归的方法，将复杂的函数化简为简单的形式，从而更易解决问题。
化归思想在函数的图像的研究中也起到了关键作用。
通过将函数进行化归，可以将其图像与标准函数进行比较，从而更加清晰地了解函数的性质和变化规律。
通过将函数进行平移、伸缩和翻转等变换，可以研究函数的平移、伸缩和翻转对其图像的影响，从而进一步深入地理解函数的性质。
在函数的应用问题中，化归思想也发挥着重要的作用。
通过将复杂的实际问题进行化归，可以将其化简为简单的数学模型，从而更轻松地求解实际问题。
在最优化问题中，可以通过将目标函数进行化归，将约束条件进行化简，从而更容易求解最优解。
高考数学复习专题讲座化归思想
高考数学复习专题讲座 化归思想高考要求化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)； ②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值； （3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力知识依托 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析 考生易出现以下几种错因（1）审题后不能理解题意（2）题意转化不出数学关系式，如第2问（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 （1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2 若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式错解分析 第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系 第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件 第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解 （1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+xb a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a（舍去） 故P 的坐标为(aa 2,2) (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2 ∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥46故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为解析9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C 35=10种答案 10例4 已知平面向量a =(3–1), a =(23,21) （1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3) b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况， 可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t )=0,解得t =1 的变化情况如下表 t (–∞,–1)–1 (–1,1) 1 (1,+∞) f ′(t ) + 0 – 0 + f (t )↗极大值↘极小值↗当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–33所以f (t )的图象大致如右于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A （0，1）B （33，3） C （33，1）∪（1，3） D （1，3） 2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 94f(t)=14t(t 2-3)1-1-1212y=koyt3 某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 （列式表示）4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）(1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围6 已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y=1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点只须f ′(0)<0且f ′(1)>0答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值问题 令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］∴2x +1+x =–2(μ–41)2817 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1 ∴t 的取值范围是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *) ∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<1 7 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y=1整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ①设A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2kk k -- 又N 为AB 中点， 有21（x 1+x 2）=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A （–1，0）、B （3，4）得CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点课前后备注。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用1. 引言1.1 引言化归思想在高中数学解题中扮演着重要的角色，它是一种重要的问题解决方法和思维方式。
化归思想源于古代数学思想，是通过将一个复杂问题化简为一个更为简单的问题进行求解的方法。
在现代高中数学教学中，化归思想被广泛运用于各种数学题目的解决中，不仅能够提高学生的问题解决能力，还能够培养学生的逻辑思维和创新意识。
在数学解题中，化归思想可以帮助学生快速找到解题的思路和方法，将复杂的问题简化为易解的小问题。
通过将问题进行化简，学生能够更深入地理解问题本质，找到问题的关键点，从而更快地找到解题的方法。
化归思想的运用不仅可以提高解题的效率，还可以帮助学生更好地理解数学知识，培养他们的问题解决能力和逻辑思维能力。
本文将就化归思想在高中数学解题中的运用进行详细介绍，以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的问题解决方法。
通过学习本文，希望能够帮助学生在数学学习中更好地运用化归思想，提高解题能力，取得更好的学习成绩。
2. 正文2.1 化归思想的概念化归思想是数学解题过程中一种重要的思维方法，也是高中数学中常见的解题技巧。
其核心思想是将复杂的问题转化为简单的问题，从而更容易解决。
化归思想能够帮助我们理清问题的逻辑关系，找到问题的本质，从而更加高效地解决数学问题。
在数学中，化归思想通常可以分为两种情况：一种是将复杂的问题化归为已知的问题，通过逐步分解、转化为已知条件来解决；另一种是将问题简化，通过一系列变化和等价性的变换使得问题更容易被理解和解决。
化归思想的关键在于找到问题中的共性或者规律，将问题进行归纳或者简化，从而减少问题的复杂性。
通过化归，我们可以更好地理解问题的本质，找到解题的途径，提高解题效率。
2.2 化归思想在代数方程中的运用化归思想在代数方程中的运用非常重要，它能够帮助我们简化复杂的方程，找到解题的突破口。
在解代数方程的过程中，我们经常会遇到一些复杂的方程，例如高次方程或者多项式方程。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学中常用的一种解题思想，通常能够将乍一看十分复杂的数学问题化简为简单的形式，并有助于提高解题效率。
以下就是在高中数学解题中常用的化归思想。
1. 化简式子在高中数学中，经常会遇到一些复杂的式子需要进行化简。
这时，可以利用代数恒等式、特殊值、分子分母约分、公因式等方法进行化简，使得式子更加简单明了。
例如，对于下面的式子：$$\frac{3x^2+6x}{3}$$可以通过将分子分母都除以3来化简：2. 找出规律在高中数学中，很多数列题需要找出其中的规律以求得下一项或任意一项。
通常可以通过对前几项进行观察来找出规律，并据此求出剩余的项。
例如，对于下面的题目：已知数列$\{a_n\}$的前3项$a_1=1,a_2=3,a_3=7$，且$a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=0$，求$a_{10}$。
3. 取特例在高中数学中，有时候我们需要回归到一些基本的数学概念，通过取特例来探究问题的本质。
例如，对于下面的问题：已知$a,b>0$，且$a+b=2$，求$ab$的最大值。
由于$a+b=2$，可以取$b=2-a$，则$ab=a(2-a)=-a^2+2a$。
此时，问题就变成了求$-a^2+2a$的最大值。
该函数在$a=1$处取得最大值1，从而得到$ab$的最大值为1。
4. 对称化在高中数学中，一些问题可以通过对称化的方法得到简洁的解决方式。
例如，对于下面的问题：已知正整数$x,y,z$满足$x+y+z=1$，求$x^2+y^2+z^2$的最小值。
由于$x+y+z=1$，可以令$a=\frac{x+y}{2},b=\frac{y+z}{2},c=\frac{z+x}{2}$，则$x=a+c-b,y=b+a-c,z=c+b-a$。
此时，$x^2+y^2+z^2$可以化成$a^2+b^2+c^2$的形式。
由于$x+y+z=1$，可以得到：$$2(a+b+c)=x+y+z+3(a+b+c)-3=2$$从而可得$a+b+c=1$。
题目 高中数学复习专题讲座 化归思想
∴2x+=–2(μ–)2+
当μ=1即x=0时，–2x+有最大值1 ∴t的取值范围是t≥1
6 (1)解 {an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2, 由an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥2),又a1=S1=1满足an=2n–1
故{an}通项公式为an=2n–1(n∈N*) ∴ (2)证明 ∵f()=1·+3·+…+(2n–1) ① ∴f()=1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1) ② ①–②得 f()=1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)· ∴f()=++++…+–(2n–1)=1–
8 直线y=a与函数y=x3–3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围
参考答案
1 解析 分析直线l2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题 应该有两个范围即得解 答案 C 2 解析 化和的比为项的比 ∵
∴,取极限易得 答案 A 3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率
命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力
知识依托
函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言
错解分析 考生易出现以下几种错因 （1）审题后不能理解题意 （2）题意转化不出数学关系式，如第2问 （3）第3问不能进行从一般到特殊的转化 技巧与方法 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换
(第40讲)化归思想
题目 高中数学复习专题讲座 高考要求化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n＜x n +1；求x 0的取值范围命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力知识依托 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析 考生易出现以下几种错因（1）审题后不能理解题意（2）题意转化不出数学关系式，如第2问（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 （1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x 1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式 错解分析 第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系 第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件 第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解 （1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+xb a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去） 故P 的坐标为(a a 2,2) (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a ≥)41(24a- 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0解得a ≤2（舍去）或a故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为解析 9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程 故有C 35=10种答案 10例4 已知平面向量a =(3–1), a=(23,21) （1）证明a ⊥b;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b(2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3) b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况，可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数 于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t=1 的变化情况如下表当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–3所以f (t )的图象大致如右于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( ) A （0，1） B （33，3） C （33，1）∪（1，3） D （1，3）2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 94 3 某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 （列式表示）4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）(1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围6 已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y =1上的两点，点N （1，2）是线段AB的中点（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率 即四人生日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点 只须f ′(0)<0且f ′(1)>0 答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值问题 令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］∴2x +1+x =–2(μ–41)2+817 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范围是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<17 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 设A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2k k k -- 又N 为AB 中点，有21（x 1+x 2）=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A （–1，0）、B （3，4） 得CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0 ②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点 课前后备注。
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析一、化归思想的概念化归思想是指将原来的问题化简为更简单的问题，通过减少问题的复杂程度来解决问题的方法。
在数学解题中，化归思想可以让学生将原来复杂的问题简化，从而更容易解决。
化归思想包括主动化归和被动化归两种。
主动化归是指根据已有的知识和解题经验主动地将问题化简为更简单的问题，以便更好地解决；被动化归是指在解题过程中，遇到问题无法直接解决时，将其化简为更简单的问题以便解决。
二、化归思想的应用方法化归思想在高中数学解题中有许多应用方法，其中比较常用的有以下几种：1. 各种问题归结为代数式计算：在解题过程中，经常会遇到各种几何、物理问题，通过化归思想可以将这些问题归结为代数式计算来解决。
这样可以将原问题转化为更为简单的形式，减少解题难度。
2. 构造化归：通过构造等价的问题，将原问题转化为构造出的等价问题。
通过构造等价问题可以将原问题化简为更容易解决的问题。
3. 引入未知量：通过引入未知量，将原问题化简为包含未知量的代数方程或不等式。
通过代数方法求解未知量，再转化为解原问题。
4. 递推化归：在一些数列或函数的求值问题中，可以采用递推化归的方法，通过递推关系将原问题化简为更简单的问题。
5. 反证法：在一些证明题目中，可以采用反证法将原命题转化为对立命题来证明。
三、化归思想的实际案例1. 有一块面积为100平方米的田地，长方形的一边是正整数米数，另一边是面积的一半的整数米数。
求这块田地边长应该是多少？解析：通过化归思想，我们可以将这个问题化简为求解一个代数方程。
假设长为x米，宽为y米，则有xy=100。
又因为长方形的一边是正整数米数，另一边是面积的一半的整数米数，所以我们有x为正整数，y为整数，并且x=2y。
将x=2y代入xy=100的方程中，得到y^2=100，解得y=10。
所以这块田地的长应该是20米，宽应该是10米。
2. 某地一年四季交替，每个季度的气温和降水量都有所不同。
数学教学过程中的化归思想
数学教学过程中的化归思想化归思想是数学教学过程中的一个重要思维方法，通过将复杂的问题转化为简单的问题，从而解决复杂问题的方法。
化归思想在数学教学中有着广泛的应用，包括代数、几何、概率等方面。
在代数中，化归思想常常用于解决方程问题。
对于一些复杂的方程，可以通过化归思想将其转化为简单的方程，从而求解。
对于二次方程ax^2+bx+c=0，当其不能直接分解时，可以通过配方法化归为(ax-p)(x-q)=0的形式，进而求出方程的解。
在几何中，化归思想可以用来证明几何定理。
通过将复杂的几何问题转化为简单的几何问题，可以更容易地证明定理。
证明柱面的直母线与其准线垂直，可以先将柱体固定在立方体的一侧，再利用正方体的特性证明直母线与准线垂直。
在概率中，化归思想可以用来计算复杂事件的概率。
对于一些复杂的事件，可以将其化归为简单的事件，从而计算概率。
计算从一副扑克牌中抽出5张牌都是红心的概率，可以将其化归为计算第一张牌是红心、第二张牌是红心、第三张牌是红心、第四张牌是红心、第五张牌是红心的概率，再将这些概率相乘。
化归思想在数学教学中的应用不仅可以提高学生的解题能力，还可以培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
化归思想在数学教学中的运用需要注意以下几点：第一，要善于观察和发现问题的内在结构。
通过观察问题的特点，将问题化归为简单的子问题，从而解决复杂问题。
第二，要善于运用数学方法。
化归思想需要学生具备扎实的数学知识基础，只有熟练掌握数学方法，才能将问题化归为简单的形式。
第四，要注重实际问题的应用。
化归思想在解决实际问题时特别重要，通过将实际问题化归为数学问题，可以更好地理解和解决问题。
在数学教学中，教师可以通过举一反三的方式，引导学生运用化归思想解决问题，培养学生的数学思维能力。
通过多样化的例题和习题，让学生在实践中掌握化归思想的运用。
高中数学的化归思想
高中数学的化归思想摘要：化归的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法。
关键词：高中数学化归思想化归的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法。
化归思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略。
笔者结合自己多年的教学经验浅谈以下几点看法，供大家参考：一、对化归思想的认识化归思想是数学中常用的一种重要数学思想，其本质就是转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。
他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。
那么，到底什么是化归思想呢？它怎么有如此大的“本事”呢？所谓化归思想，一般是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。
应用化归思想时要遵循三个基本原则：熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；简单化原则，即将复杂的问题转化为简单的问题；直观化原则，即将抽象问题转化为具体问题。
数学的化归思想包涵化归的对象、目标和方法三要素。
其中化归方法是实现化归的关键。
化归思想方法的实质是转化矛盾的思想方法，其遵循“运动——转化——解决”的基本思想。
这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。
化归思想的实质是通过事物内部的联系将将待处理问题规范化、模式化，从而得到解决。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
高中数学的化归思想与应用
化归思想在高中数学中的应用化归思想是高中数学中一种重要的思想方法，它是一种转化和归结的思想，在解决数学问题时，通过不断的转化和归结，将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而使问题得到解决。
在高中数学中，化归思想的应用非常广泛，本文将从以下几个方面探讨化归思想在高中数学中的应用。
一、化未知为已知未知数的求解是高中数学中的一个难点，而化归思想的应用可以将未知数转化为已知数，从而降低求解难度。
例如，在解方程时，可以将方程转化为标准形式，从而更容易求解；在解不等式时，可以将不等式转化为等价方程或不等式组，从而更容易求解。
二、化复杂为简单高中数学中，有些问题比较复杂，需要使用化归思想将复杂问题简单化。
例如，在求解函数的最值时，可以将函数转化为简单函数，再通过函数的单调性来求解；在解三角形时，可以将三角形的形状和位置转化为正弦定理和余弦定理的形式，从而更容易求解。
三、化抽象为具体高中数学中有些问题比较抽象，需要使用化归思想将抽象问题具体化。
例如，在研究函数的性质时，可以将函数图像转化为具体的图像形式，从而更容易观察和研究函数的性质；在研究数列的性质时，可以将数列转化为具体的数轴形式，从而更容易观察和研究数列的变化规律。
四、化一般化为特殊化在高中数学中，有些问题比较一般化，需要使用化归思想将一般化的问题特殊化。
例如，在研究等差数列的性质时，可以先研究特殊等差数列的性质，再通过特殊到一般的规律来研究一般等差数列的性质。
除了以上几个方面外，化归思想在高中数学中的应用还有很多。
例如，在解决几何问题时，可以将几何问题转化为代数问题；在解决排列组合问题时，可以将排列组合问题转化为组合数学问题；在解决概率问题时，可以将概率问题转化为统计问题等等。
五、小结综上所述，化归思想在高中数学中的应用非常广泛，它可以帮助学生将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题简单化，将抽象的问题具体化，将一般化的问题特殊化。
通过化归思想的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学解题能力和思维能力。
化归的数学思想
化归的数学思想1、化归思想的概念。
人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现出由易到难，由简单到复杂的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，往往是通过把不熟悉的知识变成熟悉的知识，把难懂的知识变成简单的知识，一步步地学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归不仅是一种广义的数学思想方法，而且具有普遍意义。
同时，转化思想也是克服各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2、化归所遵循的原则。
化归思想的实质是在已有的简单、具体、基础知识的基础上，把未知的变成已知的，把复杂的变成简单的，把概括的变成特殊的，把抽象的变成具体的，把非常的规划成常规的，从而解决各种问题。
因此，在应用转换思想时，应遵循以下基本原则:（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，《课程标准》特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
(4)形象化原则，即将抽象的问题变成具体的问题。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用
首先，化归思想在高中数学解题中是一种常见的解题思路。
所谓化归，指的是将问题转化为更为简单、易于处理的形式，便于解题。
在高中数学中，化归思想主要应用于以下几个方面。
一、化归为已知问题
化归为已知问题指的是将待求问题转化为已知问题，以便于求解。
例如，在解决直角三角形的问题中，有时需要求某条边的长度，而这条边不是已知的边，这时可以将问题化归为已知问题，通过已知边长和角度的关系，求出待求边的长度。
再比如，在解决函数的极值问题中，我们可以将函数的极值问题化归为求导数为零的问题，以便于求解。
化归为整体问题指的是将问题拆分成若干小问题，将问题的整体性质与局部性质相结合，以便于解决。
例如，在解决三角函数解析式的问题中，我们可以将三角函数的图像、周期、对称性等整体性质与三角函数的基本定义式相结合，讨论不同情况下三角函数解析式的形式。
再比如，在解决数列的极限问题中，我们可以将数列的整体趋势与局部性质相结合，利用极限定义及其性质求出数列的极限值。
化归为特殊问题指的是将问题简化为特殊情况，以便于求解。
例如，在解决二次方程的问题中，我们可以将二次方程化归为完全平方的形式，消去二次项，从而将问题简化为一次方程的形式。
再比如，在解决概率问题中，我们可以将问题化归为样本空间为有限集合的情况，从而利用计数原理求解概率问题。
综上所述，化归思想是高中数学解题中非常重要的解题思路之一。
通过将问题化归为已知问题、整体问题或特殊问题，可以简化问题的难度，便于求解。
在实际解题过程中，我们可以根据不同的问题特点来选择合适的化归方法，并将化归思想与其他解题思路相结合，以便更好地解决问题。
数学教学过程中的化归思想
数学教学过程中的化归思想化归思想是数学教学中极具重要性的一种思维方式，它在解决数学问题的过程中起着至关重要的作用。
化归思想是数学学习中的一种常见思维方式，它是指将一个问题转化为一个相对简单的形式，以便于更好地进行求解。
在数学教学中，化归思想不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
下文将从化归思想的概念、数学教学中化归思想的应用以及化归思想对学生的作用三个方面来探讨数学教学过程中的化归思想。
一、化归思想的概念化归思想，顾名思义，即是通过一系列的变换，将一个较为复杂的问题化为一个相对简单的问题。
在数学教学中，化归思想是指将一个难以直接求解的问题通过某种变换或者转化，化为一个更容易求解的问题，这样就能够更加清晰地认识问题的本质，更快地找到解决问题的方法。
化归思想的核心在于问题的转化，通过合理的变化使得问题更容易被解决。
化归思想的方法有多种，可以是通过代换，化简，变形，逆向思维等方式来实现。
不同的问题可能需要采用不同的化归方法，因此学生需要在学习中不断地尝试和实践，丰富和提高自己的化归思维能力。
二、数学教学中化归思想的应用在数学教学中，化归思想是一个十分重要的概念和方法，它贯穿于数学的各个领域和各种问题的求解中。
在初中阶段，化归思想主要应用于方程的求解、证明和应用题的解决等方面。
在高中阶段，化归思想更是贯穿于数学的各个分支，如代数、几何、概率统计、数理逻辑等方面。
化归思想在数学教学中的应用有以下几个方面：1. 方程的化归：在数学教学中，方程是一个重要的内容，方程的解法多种多样，而化归思想可以帮助学生找到更有效的解题方法。
对于复杂的高次方程，可以通过合并同类项，利用分解因式等方法，将方程化为一系列更简单的方程，从而更容易求解。
这种化归思想的应用，既能使学生对方程有更深入的理解，又能帮助学生培养解决问题的能力。
2. 几何证明的化归：在几何学习中，许多证明题都是通过化归思想来完成的。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用
化归思想是高中数学解题中经常运用的一种方法。
它通过将复杂问题转化为简单问题来进行求解，从而简化问题的处理过程，提高问题的解决效率。
在高中数学中，化归思想主要应用在代数、几何和数列等知识点的解题过程中。
在代数方面，化归思想通常用于化简问题中的复杂式子。
在求解复杂的方程或不等式时，我们可以通过适当的变量代换或等式变形，将原来复杂的式子化简为简单的形式。
这样可以减少计算的复杂性，更容易找到问题的解。
化归思想还可以帮助我们发现问题中的规律和性质，从而更加深入地理解数学中的代数概念。
在几何方面，化归思想主要用于解决几何问题中的相似性和等价性。
在证明几何定理时，我们可以通过构造新的几何图形，将原问题转化为已知的几何定理或已有的几何性质来证明。
这样，可以将原来复杂的证明过程简化为已知的结论，提高证明的效率。
化归思想还可以帮助我们发现几何图形之间的关系，从而辅助我们解决几何问题。
化归思想在高中数学函数学习中的运用分析
化归思想在高中数学函数学习中的运用分析1. 引言1.1 化归思想在高中数学函数学习中的运用分析化归思想是一种重要的数学思维方法，在高中数学函数学习中发挥着重要的作用。
化归思想可以帮助学生深入理解函数的定义、图像绘制和解题过程，提高他们的数学思维能力和解题能力。
本文将从化归思想的概念和意义、在函数定义中的应用、在函数图像绘制中的运用、在解题过程中的实际案例分析以及对学生数学思维能力的培养等方面进行分析，旨在探讨化归思想在高中数学函数学习中的重要性和应用价值。
通过对化归思想的深入探讨和分析，我们可以更好地理解函数的特点和性质，提高学生的数学思维水平，激发他们对数学的兴趣和热爱。
化归思想不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
通过本文的分析，我们希望能够进一步推动化归思想在高中数学函数学习中的应用，促进学生数学思维能力的全面提升。
2. 正文2.1 化归思想的概念和意义化归思想是一种在数学领域中常用的思维方法，其重要性和意义不可忽视。
化归思想的核心是将复杂的问题简化为简单的结构或形式，从而更容易理解和解决。
通过化归思想，我们可以把问题分解成更小的部分，逐步解决，最终达到整体问题的解决。
化归思想在高中数学函数学习中具有重要意义。
它有助于帮助学生更好地理解函数的定义和性质。
通过将函数拆解为基本部分，学生可以更清晰地把握函数的特点和规律，从而更深入地掌握函数的本质。
化归思想在函数图像绘制中也发挥着关键作用。
将函数图像化归为简单的几何形状或基本图形，可以更轻松地绘制函数的图像，展现函数的特征和规律。
在解题过程中，化归思想能够帮助学生解决复杂的问题。
通过将复杂问题简化为简单问题，学生可以更有条理地进行推理和推导，找出解题的有效方法，提高解题的效率和准确度。
化归思想对学生数学思维能力的培养也具有重要意义。
学生通过运用化归思想，可以培养逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力，提高数学思维水平。
化归思想在高中数学函数学习中的运用分析
化归思想在高中数学函数学习中的运用分析化归思想是数学中一个重要的概念，在高中数学函数学习中也有广泛的运用。
化归思想是指将一个复杂的问题转化为一个简单的问题或者将一个问题转化为另一个问题的过程。
在高中数学函数学习中，化归思想被广泛运用于函数的定义、性质和应用等方面。
本文将从函数的定义、函数的性质和函数的应用三个方面分析化归思想在高中数学函数学习中的运用。
一、函数的定义在高中数学中，函数的定义是学生首先学习的内容之一。
函数的定义是将一个自变量和因变量之间的映射关系表达出来，通常表示为 y=f(x)。
但在实际问题中或者在求解复杂函数关系时，往往需要利用化归思想将问题简化。
对于一些复杂的函数问题，可以先考虑其特殊情况，通过化归思想将问题分解成更为简单的问题，然后再逐步解决。
以求函数的值为例，可以使用化归思想将问题转化为求已知函数值的问题。
当遇到计算 f(x) = g(x)+h(x) 这样的复杂函数时，可以先将 g(x) 和 h(x) 分别计算出来，然后再将结果相加得到最终的函数值。
这样就将一个复杂的函数计算问题化归为求两个简单函数的计算问题，便于学生更好地理解和解决问题。
二、函数的性质在高中数学函数学习中，函数的性质是学生需要掌握的重要知识点之一。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等，这些性质的运用需要化归思想的帮助。
化归思想可以帮助学生将问题简化，并且提供更加直观的角度去理解函数的性质。
三、函数的应用在高中数学函数学习中，函数的应用是一个重要的环节。
函数的应用广泛地涉及到各个方面，包括生活中的实际问题、物理问题、化学问题等。
在解决这些应用问题时，化归思想同样能够发挥作用。
以函数的最大值最小值问题为例，当需要求解一个函数在一定范围内的最大值或最小值时，可以利用化归思想将问题简化。
对于 f(x) = x^2+2x+3 这样的函数，可以通过将其表示为完全平方的形式，然后再通过平方差公式求得最值点。
这种化归思想的运用能够帮助学生更加理解最值问题，以及拓展了其解题的思路和方法。
妙用化归思想,升华数学素养
妙用化归思想，升华数学素养化归是数学中重要的一种思想方法。
它通过将问题化为更为简单的形式，从而解决难题。
化归思想可以应用于各种数学领域，例如代数、几何、概率等。
运用化归思想，不仅可以提高解题效率和准确度，更可以升华数学素养，培养数学敏感度和创造力。
在代数中，化归常常用于求解方程。
以一元二次方程为例，有时候方程可能比较复杂，比如有分数、平方根等。
这时，我们可以通过移项、配方等方法，将方程化成一般形式，然后代入公式求解。
例如，对于方程$x^2-3x+\frac{1}{4}=0$，我们可以先将$\frac{1}{4}$移项，得到$x^2-3x=-\frac{1}{4}$，然后通过平方两边，化为$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$，最后求解得到$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$。
通过这种化归方式，我们可以避免在方程中频繁操作分数或根号，从而更加准确地求出方程的解。
在几何中，化归也是非常常见的思想方法。
例如，对于一段曲线$y=f(x)$，它在$(x_1,f(x_1))$处的切线斜率可以通过极限定义求出，即$\lim_{x\tox_1}\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$。
但是有时候这个极限比较复杂或难以计算。
这时，我们可以通过化归思想，将曲线做一些变形，让计算更加容易。
例如，对于$y=\sqrt{x}$在$x=1$处的切线斜率，我们可以将$\sqrt{x}$变形为$r^2$，即$y=r^2$，然后在$r=1$处求切线斜率，这样计算就变得很容易了。
在概率中，化归也是非常有用的思想方法。
例如，在一场掷骰子的游戏中，我们想知道掷$n$次骰子，至少出现一次6的概率是多少。
直接计算非常麻烦，但是我们可以通过化归思想，将这个问题化为其反面问题——掷$n$次骰子，没有一次出现6的概率是多少，然后用全概率公式求解即可。
这样，整个计算过程就变得简单明了。
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题目 高中数学复习专题讲座化归思想 高考要求化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有 典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), 原理如下①输入数据x 0∈D ②若x 1∉D 入端，再输出x 2=f (x 1)现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549所有项； （2据x 0的值；（3）若输入x 0取值范围本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言考生易出现以下几种错因（1）审题后不能理解题意（2）题意转化不出数学3问不能进行从一般到特殊的转化此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 （1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x（2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2 若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 xn +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+by ax (a ＞b ＞0)，曲线C 2C 2在第一象限内只有一个公共点P（1）试用a 表示点P （2）设A 、B 是椭圆S (a )的值域； （3）记min{y 1,y 2,是以椭圆C 1的半焦距命题意图 综合运用知识解题的能力 知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式错解分析 第（1能借助Δ找到a 、b 的关系 这一隐性条件 第（3）问中考生往往想不起将min{g (a 技巧与方法 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去）故P 的坐标为(aa 2,2)(2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2,∴)41(22221)(422aab a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a2,即a ＞2,得4于是0＜S （a ）＜2(3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2解不等式g (a )≥S (a )整理，得a 8–10a 4+24解得a ≤2故f (a )=min{g (a ), S (a )}闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的C 35=10种例4 已知平面向量a =(3–1), a =(23,21)（1）证明a⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a·b=23)1(213⋅-+⨯=0，∴a⊥b(2)解 ∵x ⊥y ,∴x·y =0即［a +（t 2–3) b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0∵a·b=0, a2=4, b2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3)(3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况，12当k =2或k =–2时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解 学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A （0，1）B （33，3）C （33，1）∪（1，3） D （1，3）2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S nn ，则nn n b a ∞→lim的值为( )A34 B 1 C36 D943 某房间有4个人，那么至少有24 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）(1)当t =–1(2)如果x ∈［0,16 已知函数f (x )=a 1x a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2（1）求数列{a n }（2）证明0＜f (31)＜7 设A 、B 是双曲线AB 的中点的方程；C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围 1 解析 分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=---∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n nn ,取极限易得答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率 即四人生日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点 只须f ′(0)<0且f ′(1)>0 答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎪⎨⎧≥≤>5021x x x 或 ∴x ≥45x ∈［0,1］时，t ∴t 的取值范围是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *) ∴11212limlim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n31 ①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n31+(2n –1)131+n ② ①–②得32f (31)=1·31+2·91+2·271+ (2)n31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n∵n n n n nn+>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221(n ∈N *)∴0<nn 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<17 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y=1整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 与双曲线方程联立 消y 有x =6D 四点到点M 的距离(1)=–2是极小值 当–更多试卷下载请访问：/。