2020中考数学专题10——最值问题之阿氏圆
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
中考数学专题阿氏圆最值问题
阿氏圆阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA、PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△ABC 的边AC 上找一点D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△ABD∽△ACB。
那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点.(1)求12AP BP +的最小值为(2)求13AP BP +的最小值为例题讲解：例1、如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝65，求m 的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋23E ′B 的最小值．第28题图1第28题图2解：（1）把点A （4，0）代入y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3，得16a ＋4(a ＋3)＋3＝0．解得a ＝－34．∴抛物线的函数表达式为：y ＝－34x 2＋94x ＋3．把x ＝0代入上式，得y ＝3．∴点B 的坐标为（0，3）．由A （4，0），B （0，3）可得直线AB 的函数表达式为：y ＝－34x ＋3．（2）根据题意，得OE ＝m ，AE ＝4－m ，AB ＝5，点P 的坐标可表示为(m ，－34m 2＋94m ＋3)．∴PE ＝－34m 2＋94m ＋3……………………………………………………①∵△AEN ∽△AOB ，∴AN AB ＝NE BO ＝AE 4．∴AN 5＝NE 3＝4－m4．∴AN ＝54(4－m )，NE ＝34(4－m )．∵△PMN ∽△AEN ，且12C C ＝65，∴PN AN ＝65．∴PN ＝65AN ＝65×54(4－m )＝32(4－m )．∴PE ＝NE ＋PN ＝34(4－m )＋32(4－m )＝94(4－m )………………………...②由①、②，得－34m 2＋94m ＋3＝94(4－m )．解得m 1＝2，m 2＝4(不合题意，舍去)．∴m 的値为2．（3）在（2）的条件下，m 的値为2，点E （2，0），OE ＝2．∴OE ′＝OE ＝2．如图，取点F (0，43)，连接FE ′、AF ．则OF ＝43，AF ＝42＋(43)2＝4310．第28题答案图∵OF OE ′＝432＝23，OE ′OB ＝23，且∠FOE ′＝∠E ′OB ，∴△FOE ′∽△E ′OB ．∴FE ′E ′B ＝23．∴FE ′＝23E ′B ．∴E ′A ＋23E ′B ＝E ′A ＋FE ′≥AF ＝4310．∴E ′A ＋23E ′B 的最小值为4310．例2、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切，（1）14AP BP 的最小值;（2）PAB S 的最小值.例3、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD的长；（2）如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ.①求证：△OPQ∽△ODP;②是否存在点P，使2有最小值，若存在，试求出点P的坐标；PD PC若不存在，请说明理由.例4、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12 PD PC+的最小值和12PD PC-的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么23 PD PC+的最小值为；23PD PC-的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个动点.那么12PD PC+的最小值为；12PD PC-的最大值为突破练习1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，12AP BP +最小值为（）A 、37B 、6C 、217D 、42、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则22PA PC +的最小值是．3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则32PB PD +的最小值为．4、在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，则2PD ﹢PC的最小值是．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，AP +BP 的最小值为（）6．如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为上一动点，求PC +PD的最小值．yx7.8、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求12AP BP的最小值中考专题---阿氏圆最值问题阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA PB=k （k >0且k 不等于1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆例、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB 上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP,∴PD/BP=1/2,∴PD=1/2BP,∴AP +=AP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +的最小值为自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP ＋BP 的最小为．拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是CD上一点，求2PA ＋PB的最小值31PB 21PB 21PB 21向内构造类型1、如图，已知AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10， C 的半径为4，点D 是 C 上的动点，连接AD ，BD ，则的最小值2、如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形， B 的半径为2，P 是 B 上一动点，则的最小值是，3、如图，已知菱形AB CD 的边长为4，∠B=60,⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则的最小值是4、如图，AB 为 O 的直径，AB ＝2，点C 与点D 在AB 的同侧，且AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝3，点P 是 O 上的一动点，则2PD +PC 的最小值为25、在∆ABC 中，AB =9，BC =8，∠ABC =60ο A 的半径为6，P 是 A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC +2PB 的最小值为PC PD 21+PC PD 21+BD AD 21+6、如图，边长为4的正方形，内切圆记为 O，P是 O上一动点，则2PA+PB的最小值为7、如图，在Rt⊿ABC中，∠A=30︒，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由;（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明⊿FCD∽⊿ACF;1（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+FA的最小值．2向外构造型1、如图,点A，B在圆0上，OA⊥0B,OA=OB=12,点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10,点P是圆O上一动点，则PC+½PD的最小值为3、如图，在扇形CAB中，CA=4,∠CAB=1200,D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C,B重合），则2PD+PB的最小值为（）A.324+ B.74 C.16 D.434+4.如图，圆O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交O于点D，DE为圆O的直径，点P为圆O上动点，则2PC+PE的最小值是34综合题如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC:交y轴于C,点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式；(2)连接GB,EO.当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,FH,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形？求出此时的点E,H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求它的最小值。
2020中考专题10——最值问题之阿氏圆
2020中考专题10——最值问题之阿氏圆班级姓名.【模型解析】“阿氏圆”模型---“PB k PA ⋅+”型最值◆条件：A、B 为定点,P 为⊙O 上一个动点,k OB OP =(10<<k ).◆问题:求PB k PA ⋅+的最小值,并画出点P 的位置.◆方法：连接OP,OB.在OB 上取点C,使k OP OC =.易证得△POC∽△BOP,所以k OBOP PB CP ==,所以PB k CP ⋅=.所以AC CP PA PB k PA ≥+=⋅+,当P 为AC 与⊙O 的交点时，PB k PA ⋅+的最小值为AC.【例题分析】例1.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，求AD+32BD 的最小值。
例2.问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP+12BP 的最小值.P尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=1，则有12CD CP CP CB ==，又∵∠PCD=∠BCP ，∴△PCD ≌△BCP ，12PD BP =，∴PD=12BP ，∴AP+12BP=AP+PD .请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP 的最小值为.自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP+BP 的最小值为.拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求2PA+PB 的最小值.【巩固训练】1.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，AP+21BP 最小值为。
图1图2图32.如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA+22PC 的最小值是。
2020年中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆问题(含答案)
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。
【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。
即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。
【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。
但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。
知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。
【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。
①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。
2020年深圳中考压轴题专题----阿氏圆问题(word33页,后面有教师注解部分)
2020年深圳数学中考压轴题专题研究----阿氏圆问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆Apollonius)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比mn(≠1)，则P点的轨迹，是以定比mn内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴分别有点C(m，0)，D(0，n).点P是平面内一动点，且OP=r，求PC+kPD的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O为圆心、r为半径画圆；第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP、OD；第三步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k；第五步：在OD上取点M，使得OM:OP=OP:OD=k；第六步：连接CM，与圆O交点即为点P．此时CM即所求的最小值.（补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成1k，再构造△相似进行计算）综合练习题【旋转隐圆】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是 .1.Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为 .2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为 .3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为 .4.如图，点A ，B 在⊙O 上，OA=OB=12,OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，OD=10.动5.如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.6.如图，边长为47.如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+21PC 的最小值为 ；2PD+4PC 的最小值为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是 .9.如图，在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC+2PB 的最小值为 .10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，AC=8，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． (1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD=2，试说明△FCD ～△ACF ； (3)点E 是AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+21FA 的最小值.11.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+21PC 的最小值和PD-21PC 的最大值； (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+32PC 的最小值为 ，PD-32PC 的最大值为 ． (3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+21PC 的最小值为 ，PD-21PC 的最大值为 .12.问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点(3)拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.另：练习题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，CA ＝9，⊙C 半径为3，P 为⊙C 上一动点，连结AP ，BP ，则13AP ＋BP 的最小值为 （ ）A . 7B . 5 2C . 4＋10D . 2132．如图，在Rt △ABC 中，CB ＝4，CA ＝5，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，则AP ＋12BP 的最小值为__________．3．如图，正方形ABCD 边长为22，内切圆O 上一动点P ，连接AP 、DP ，则AP +22PD 的最小值为______．BB4．如图，等边三角形ABC 边长为43，圆O 是△ABC 的内切圆，P 是圆O 上一动点，连接PB 、PC ，则BP ＋12CP 的最小值为______________．5．如图，在平面直角坐标系中，M (6，3)，N (10，0)，A (5，0)，点P 为以OA 为半径的圆O 上一动点，则PM ＋12PN 的最小值为_______________6．如图，AC =2，BC =2AB ，则△ABC 面积的最大值为___________．DCBACBCBA7．如图，∠AOB =90°，OA =OB =1，圆O 的半径为2，P 是圆O 上一动点，求PA +2PB 的最小值．8．已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是弧CD 上一点，求2PA +PB 的最小值．9.如图，抛物线y=﹣x 2+bx +c 与直线AB 交于A （﹣4，﹣4），B （0，4）两点，直线AC ：y=﹣x ﹣6交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ． （1）求抛物线y=﹣x 2+bx +c 的表达式；（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标； （3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求AM +CM 它的最小值．BAPO O DA BPC10.如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．11.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．12.如图1，抛物线y=ax ²+(a+3)x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式； (2)设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若5621 C C ，求m 的值； (3)如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+32E ′B 的最小值．典型例题问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB= ，AC= ．问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．注意：以下内容学生可无视阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：222222222222221221221cb a mc b a m b c a m a c b +=++=++=+（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ()()2222y a x y a x +-=++λ化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；3、BNANBM AM = 4、CN CM ⊥5、内在圆点内；在圆时，点O A O B ,101<<>λλ； 6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到BA ,两点的距离之比等于常数λ。
2020年中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆问题(含答案)
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。
【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。
即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。
【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。
但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。
知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。
即“两腰之比”等于“两底边之比”。
其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。
【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。
①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。
2020中考数学专题10——最值问题之阿氏圆
IA2020中考专题10——最值问题之阿氏班级________姓名____________ . 【模型解析】“阿氏圆”樓型——u PA + k PB M型最值♦条件：A、B为定点,P为ΘO±一个动A, —= k (0<i<l). OB♦问題:求PA^k PB的最小血并预出点P的位置・CP ∙k PB•所以PA + k PB∙PAYP≥AC,当P为AC与GlO的交点时■ PA^kPB的最小置为AC・【例題分析】2例 1.⅛ Rt∆ABC 中P ZACB=90β , AC=4, BC=3,点 D 为AABC 内一动点■满足CD=2,求AD÷ jBD 的最小值•例2•问题提出：如图h在RtΔ^5C中.ZACB=90°. CB=A, CA≈69 CDC半径为2, P为SI上一动点，连结肿、BP9求AP丄BP的最小值.2图2图3√2 2尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使CDCP1PD 1 1CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CPCB2 BP 2 2：.AP--BP^AP^PD.2请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ .2自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求的最小值.【巩固训练】2•如BB 2,在Rt∆ABC 中∙ ZB=90t ∙ AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任3•如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点・PA=3■求PC÷- PD 的量小值为.—动点.则PA∙PC 的最小值是 __________1 •如图 1,在 Rt∆ABC 中，ZACB=90∙ , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,国45•如图5,己知点A (4, 0), B (4, 4力点P 在半径为2的圆0上运动•试求丄AP+BP 的最小值• 26•如旳6,己知点A (-3^ 0) ,B (03), C C1, 0),若点P 为ElCJz 的一気 试求, CI)1AP ÷BP ^^5 ⑵的最小值.7.如图 7,扼物线y=-χ2+bx-^c 与直线 AB 交于 A(-4,-4), B(0, 4)两点，直线 AC ： V = -^X-6 交y 轴于点C,点E 是直线AB ±的动点，过点E 作EF 丄X 轴交AC 于点F,交拋物线于点G(I) 求牠物线y = -x 2+bx + C 的表达式；4•如EB 4,己知［S O 半径为1, AC. BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为弧AB 上一动点试求√2 2PC÷PD留5国6(2) 连按GB, EO,当四边形GEOB 是平行四边形时， 求点G 的坐标：(3) ①在y 轴上存在一点H,连按EH, HF,当点E 运动到什么住置时，以A. E l F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点匕H 的坐标： ②在①的前提下，以点E 为El 心，EH 长为半径作Eh 点M 为EIE 上一动点，求ZAM 十CM 的最小值.2图72020中考专题10——最值问題之阿氏圆 参考答案CD 2 例1・分析：由C 为定点D 为动点可知CD 的运动轨迹为以C 为图心半径为2的匮。
2020重庆中考复习阿氏圆及其应用举例(Word版)
阿氏圆及其应用举例一、什么是阿氏圆？阿氏圆是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DPMPDCBA分析：注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，连BM 即可． 二、应用举例例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（ ） A ．7B ．5C ．D ．B PO解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴＝，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝P A，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（）A．B．6C．2 D．4解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A．例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．解：∵2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵求23AD BD +最小值即可,在CA 上截取CM ，使得CM ＝4，连接DM ，BM ． ∵CD ＝6，CM ＝4，CA ＝9，∴CD 2＝CM •CA ，∴＝，∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△ACD ，∴＝＝，∴DM ＝AD ，∴AD +BD ＝DM +BD ，∵DM +BD ≥BM ，在Rt △CBM 中，∵∠CMB ＝90°，CM ＝4，BC ＝12，∴BM ＝＝4，∴AD +BD ≥4，∴AD +BD 的最小值为4．例4、如图，矩形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝8，P 为矩形内部一点，且PB ＝4，则AP +PC 的最小值为 ．A BCDP解：如图2，在AB 上截取BF ＝2，连接PF ，PC ， ∵AB ＝8，PB ＝4，BF ＝2，∴＝＝，且∠ABP ＝∠ABP ，∴△ABP ∽△PBF ，∴＝＝，∴PF ＝AP ，∴AP +PC ＝PF +PC ，∴当点F ，点P ，点C 三点共线时，AP +PC 的值最小，∴CF ＝＝＝2，∴AP +PC 的值最小值为2，例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B 为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是 ．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连结EF，OE，∵，∠EOB为公共角，∴△OBE∽△OEF，∴，∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF，即A、E、F三点共线时取得最小值.即由勾股定理得：AF＝＝. 例6、如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC 的最大值为．解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵＝2，＝2，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝＝5．三、练习巩固1、（2019•郫都区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是．解：如图，在CB 上取一点F ，使得CF ＝2，连接FD ，AF ． ∴CD ＝4，CF ＝2，CB ＝8，∴CD 2＝CF •CB ，∴＝，∵∠FCD ＝∠DCB ，∴△FCD ∽△DCB ，∴＝＝，∴DF ＝BD ， ∴BD +AD ＝DF +AF ，∵DF +AD ≥AF ，AF ＝＝2，∴BD +AD 的最小值是2，2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为 .解：在BM 上截取BQ=23， 2,3BQ BM QBM M BA BM BA '''==∠=∠'Q，.BQM BM A ''∴∆∆∠: 1,3QM BQ M A BM '∴==''1,3QM M A ''∴= 2122()2()33CM AM CM AM CM QM ''''''∴+=+=+当Q M C '、、三点共线时，=CM QM QC ''+有最小值为：22222237=()4.33QC BQ BC +=+=223CM AM ''∴+的最小值为4373.3、已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，则2P A +PB 的最小值为 ．解：延长OA 到点E ，使CE ＝6，∴OE ＝OC +CE ＝12，连接PE 、OP ， ∵OA ＝3，∴，∵∠AOP ＝∠AOP ，∴△OAP ∽△OPE ，∴，∴EP ＝2P A ，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13.4、如图，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，则2P A+PB 的最小值为．解：如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴∴PF＝2AP，∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．5、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．。
2020中考数学复习微专题：最值(阿氏圆问题)突破与提升策略
2020中考数学复习微专题：最值（阿氏圆问题）突破与提升策略所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点； 作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显． 当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。
最值问题——阿氏圆
阿波罗尼斯圆
阿氏圆
• 一动点P到两定点A、B的距 离之比等于定比m:n,则P点的 轨迹是以定比m:n内分和外分 定线段AB的两个分点的连线 为直径的圆，称为阿波罗尼 斯圆,简称阿氏圆
• 专门解决（AP+mBP，m≠1）最小值问题
• 与胡不归模型区别： 胡不归（动点在直线上）；阿氏圆（动点在圆上)
内分点：当点P在线段AB上时，P就是AB的内分点 外分点：当点P在线段AB的延长线上时，P就是AB的外 分点
阿氏圆结论与证明
当P在在圆上运动时,PA、PB的的比值始终保持不变 构造子母型相似
P
O
P2
A
P1
B
模型使P1
B
确定模型五步骤：
①圆心
②圆上动点 ③圆外固定点
④以圆心所在角为公共角
2 37 3
∵AC = 4，CD = 3,在CB上取一点M，使得CM = 2 CD = 4
BC
3
3
AD + 2 BD的最小值 42 4 2 4 10
3
3
3
过关检测
学习从来无捷径，循序渐进登高峰
⑤子交点（位置需要自己找）在圆心与圆外固定点连线上
• 确定动点的运动轨迹,以及轨迹的圆心和半径 • 找到比例为k的边,构成母三角形,标出两边的夹角 • 利用标出两边的夹角,构造一个线段,长度比半径成比例k,构造出子三角形，母子
三角形相似 • 得到去除系数k的线段,结合两点之间线段最短进行求解
解析： 连接CP，在CB上取点D使CD=1 则△PCD∽△BCP AP+½BP=AP+PD 当A、P、D三点共线时,AP+PD的值最小 最小值= AC2 CD2 37
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAkMB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()2222222222222222212210221x m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB的最小值为__________．EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12 PA．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12 PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC =．证明：ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC⨯==⨯ ，即AB DB AC DC =（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
初中数学最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
2020年深圳中考压轴题专题----阿氏圆问题(word33页,后面有教师注解部分)
2020年深圳数学中考压轴题专题研究----阿氏圆问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆Apollonius)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比mn(≠1)，则P点的轨迹，是以定比mn内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴分别有点C(m，0)，D(0，n).点P是平面内一动点，且OP=r，求PC+kPD的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O为圆心、r为半径画圆；第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP、OD；第三步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k；第五步：在OD上取点M，使得OM:OP=OP:OD=k；第六步：连接CM，与圆O交点即为点P．此时CM即所求的最小值.（补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成1k，再构造△相似进行计算）综合练习题【旋转隐圆】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是 .1.Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为 .2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为 .3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为 .4.如图，点A ，B 在⊙O 上，OA=OB=12,OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，OD=10.动5.如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.6.如图，边长为47.如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+21PC 的最小值为 ；2PD+4PC 的最小值为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是 .9.如图，在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC+2PB 的最小值为 .10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，AC=8，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． (1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD=2，试说明△FCD ～△ACF ； (3)点E 是AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+21FA 的最小值.11.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+21PC 的最小值和PD-21PC 的最大值； (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+32PC 的最小值为 ，PD-32PC 的最大值为 ． (3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+21PC 的最小值为 ，PD-21PC 的最大值为 .12.问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点(3)拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.另：练习题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，CA ＝9，⊙C 半径为3，P 为⊙C 上一动点，连结AP ，BP ，则13AP ＋BP 的最小值为 （ ）A . 7B . 5 2C . 4＋10D . 2132．如图，在Rt △ABC 中，CB ＝4，CA ＝5，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，则AP ＋12BP 的最小值为__________．3．如图，正方形ABCD 边长为22，内切圆O 上一动点P ，连接AP 、DP ，则AP +22PD 的最小值为______．BB4．如图，等边三角形ABC 边长为43，圆O 是△ABC 的内切圆，P 是圆O 上一动点，连接PB 、PC ，则BP ＋12CP 的最小值为______________．5．如图，在平面直角坐标系中，M (6，3)，N (10，0)，A (5，0)，点P 为以OA 为半径的圆O 上一动点，则PM ＋12PN 的最小值为_______________6．如图，AC =2，BC =2AB ，则△ABC 面积的最大值为___________．DCBACBCBA7．如图，∠AOB =90°，OA =OB =1，圆O 的半径为2，P 是圆O 上一动点，求PA +2PB 的最小值．8．已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是弧CD 上一点，求2PA +PB 的最小值．9.如图，抛物线y=﹣x 2+bx +c 与直线AB 交于A （﹣4，﹣4），B （0，4）两点，直线AC ：y=﹣x ﹣6交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ． （1）求抛物线y=﹣x 2+bx +c 的表达式；（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标； （3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求AM +CM 它的最小值．BAPO O DA BPC10.如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．11.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．12.如图1，抛物线y=ax ²+(a+3)x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式； (2)设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若5621 C C ，求m 的值； (3)如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+32E ′B 的最小值．典型例题问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB= ，AC= ．问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．注意：以下内容学生可无视阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：222222222222221221221cb a mc b a m b c a m a c b +=++=++=+（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ()()2222y a x y a x +-=++λ化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；3、BNANBM AM = 4、CN CM ⊥5、内在圆点内；在圆时，点O A O B ,101<<>λλ； 6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到BA ,两点的距离之比等于常数λ。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P（x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
中考数学模型阿氏圆专题
中考数学模型阿氏圆专题阿基米德的圆是指周长是半径r的常数倍的圆，即C=2πr。
在数学模型中，阿基米德的圆是一种重要的几何模型。
它的特点是，无论圆的半径大小如何变化，其周长与半径的比值始终保持不变。
这种性质使得阿基米德的圆在工程、物理、生物等领域有着广泛的应用。
首先，阿基米德的圆在工程领域中具有重要意义。
在建筑设计中，通过使用阿基米德的圆模型可以制作出很多典型的建筑结构，比如圆形天花板、拱桥等。
而在工业制造领域，阿基米德的圆也可以应用于机械设计、汽车制造等方面。
例如，在汽车制造中，阿基米德的圆模型可以用来设计轮胎的形状和尺寸，以确保汽车在行驶过程中的稳定性和平衡性。
其次，阿基米德的圆在物理学中也有着广泛的应用。
在力学中，通过使用阿基米德的圆模型可以描述物体的运动轨迹。
例如，在自由落体运动中，物体的竖直位移与时间的关系可以通过阿基米德的圆模型来解释。
在光学中，阿基米德的圆也可以用来解释光的传播规律。
例如，在反射折射现象中，阿基米德的圆模型可以用来解释光线在不同介质间传播时的变化。
此外，阿基米德的圆在生物学中也有一定的应用。
在生物进化研究中，阿基米德的圆模型可以用来描述物种的数量与时间的关系。
例如，根据阿基米德的圆模型，如果假设某一物种的数量每年以相同的速率增加，那么可以预测在未来的某一时刻，该物种的数量将达到一个平衡值。
总的来说，阿基米德的圆是一种非常有用的数学模型，它在工程、物理、生物等多个领域都有着广泛的应用。
通过研究阿基米德的圆模型，我们可以更好地理解和应用这些领域中的相关知识，为实际问题的解决提供更科学、准确的方法。
因此，我们应该深入学习和研究阿基米德的圆模型，以提高我们的数学建模能力和解决实际问题的能力。
(完整版)中考热点题型之阿氏圆
阿氏圆整理例题讲解：例1、如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝65，求m 的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋23E ′B 的最小值．解：（1）把点A （4，0）代入y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3，得 16a ＋4(a ＋3)＋3＝0．解得a ＝－34．∴抛物线的函数表达式为：y ＝－34x 2＋94x ＋3． 把x ＝0代入上式，得y ＝3． ∴点B 的坐标为（0，3）．由A （4，0），B （0，3）可得直线AB 的函数表达式为：y ＝－34x ＋3． （2）根据题意，得OE ＝m ，AE ＝4－m ，AB ＝5，点P 的坐标可表示为(m ，－34m 2＋94m ＋3)． ∴PE ＝－34m 2＋94m ＋3……………………………………………………① ∵△AEN ∽△AOB ，∴AN AB ＝NE BO ＝AE 4．∴AN 5＝NE 3＝4－m4． ∴AN ＝54(4－m )， NE ＝34(4－m )．第28题图1∵△PMN ∽△AEN ，且12C C ＝65， ∴PN AN ＝65．∴PN ＝65AN ＝65×54(4－m )＝32(4－m )．∴PE ＝NE ＋PN ＝34(4－m )＋32(4－m )＝94(4－m )………………………...② 由①、②，得－34m 2＋94m ＋3＝94(4－m )．解得m 1＝2，m 2＝4(不合题意，舍去)． ∴m 的値为2．（3）在（2）的条件下，m 的値为2，点E （2，0），OE ＝2．∴OE ′＝OE ＝2． 如图，取点F (0，43)，连接FE ′、AF ．则OF ＝43，AF ＝42＋(43)2＝4310．∵OF OE ′＝432＝23，OE ′OB ＝23，且∠FOE ′＝∠E ′OB ，∴△FOE ′∽△E ′OB ．∴FE ′E ′B ＝23．∴FE ′＝23E ′B ． ∴E ′A ＋23E ′B ＝E ′A ＋FE ′≥AF ＝4310． ∴E ′A ＋23E ′B 的最小值为4310．巩固练习：1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，12AP BP 最小值为（ ）A 37B 、6C 、17D 、4第28题答案图xyF B AOEE'CBAP2、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则22PA PC +的最小值是 ． CBAP3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则32PB PD +的最小值为 ．CDAPE B4、在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是 ．5、（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值． y x（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值和23PD PC -的最大值． （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦90°，圆B 的半径为,2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值． DACDA CDABBBP PPC图1 图2 图3套路总结阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：PC kPD +第一步：连接动点至圆心O （将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP 、OD ； 第二步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPm OD =； 第四步：在OD 上取点M ，使得OMm OP=；第五步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．。