北京市朝阳区20092010学年上学期高二年级期

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北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷

北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考
试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（）
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
三、单选题
πππ
π3π
（1）求n的值及频率分布直方图中t 的值；
点M 的轨迹方程是()()22
421x y -+-=． (1)求曲线C 的方程；
(2)已知斜率为k 的直线l 与曲线C 相交于异于原点O 的两点E F ，，直线OE OF ，的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =．证明：直线l 恒过定点．
23．设A 是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x A ∈，都有1x A -∈或1x A +∈，则称A 为自邻集.记集合{1,2,}(2,N)n A n n n =>∈L 的所有子集中的自邻集的个数为n a .
(1)直接写出4A 的所有自邻集；
(2)若n 为偶数且6n >，求证：n A 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； (3)若4n ≥，求证：12n n a a -≤.。

2024北京朝阳高二(上)期末英语(教师版)

2024北京朝阳高二（上）期末英语(考试时间100分钟满分100分)第一部分知识运用(共三节，30分)第一节完形填空(共10小题；每小题1分，共10分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

I was in my home office on a cold Sunday when I heard a quick knock on the door. I ___1___ downstairs, threw open the door and saw my dad ___2___ something. wrapped up in paper in his arms. Strangely, he had given no hint (暗示) of it when we spoke on the phone last night.“Open it.” he said.I opened it to find a yellow begonia (秋海棠) It occurred to me that it was Mother’s Day.“But···but I’m not a mother.” I said, ___3___.My dad smiled, “Well, some special people aren’t mothers. but I think they ___4___ to get flowers, too.” With that, he hugged me and drove off.Later, I called to thank him and we got to talking a lot. That’s when he let me in on his little ___5___. He had decided that he would challenge himself to do one act of ___6___ per day. It had started several weeks before when he accidentally knew a friend of his was having a rough day. He knew she loved ice cream, so he drove straight to her house with a huge tub of ice cream.“She laughed ___7___ when she saw it,” he said, “It really delighted me to know that I had ___8___ her day.”When asked why, he added, “I already know about the importance of being ___9___ in the moment. So, I try to be there with each person I am spending time with. I want them to feel important and believe in the goodness in people in that moment.”I realized my dad was making a difference in people’s lives. ___10___, I also want to be more like my dad, who goes out of his way to make people feel loved and cared for.1. A. fell B. waited C. raced D. looked2. A. shaking B. pulling C. holding D. collecting3. A. annoyed B. confused C. worried D. disappointed4. A. deserve B. decide C. promise D. pretend5. A. celebration B. joke C. secret D. excuse6. A. faith B. courage C. appreciation D. kindness7. A. coldly B. excitedly C. proudly D. nervously8. A. kept B. spent C. predicted D. brightened9. A. present B. healthy C. patient D. humorous10. A. Depressed B. Inspired C. Terrified D. Astonished第二节选词填空(共10小题；每小题1分，共10分)(请务必将第11至20题的答案写在答题卡指定区域内)阅读下面句子，根据句意，从方框中选择恰当的词或词组，并用其正确形式填空。

北京朝阳区2023~2024学年度第一学期高二生物期末检测试题(教师版)

2024北京朝阳高二（上）期末生物2024.1（考试时间 90 分钟满分 100 分）第一部分选择题（本部分共 15 题，每题 2 分，共 30 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意要求的。

1.过度换气综合征是由于急性焦虑引起的生理、心理反应。

患者交感神经兴奋，呼吸加深加快，导致CO2不断被排出，血浆CO2浓度过低，引起呼吸性碱中毒。

下列相关叙述错误的是（）A.过度换气会导致内环境中 HCO3-和 H2CO3的浓度比升高B.及时给患者吸 O2能够有效缓解呼吸性碱中毒的症状C.交感神经兴奋还会导致心动过速、出汗量增加等现象D.过度换气综合征说明人体维持稳态的调节能力有一定限度2.某种突变体果蝇在持续受刺激一段时间后，会从运动陷入“瘫痪”状态。

电镜观察该突变体果蝇的突触结构，发现与野生型果蝇相比，其突触小体内囊泡数量明显减少，且突触前膜上存在大量半融合的泡状结构（如右图所示）。

据此对该果蝇突变导致的突触功能缺陷作出的合理推测是（）A.突触后膜 Na+通道持续开放，Na+持续内流B.突触小体中胞吐障碍，导致递质无法释放C.突触小体中线粒体功能缺陷，细胞供能不足D.突触间隙中的递质降解产物胞吞回收困难3.阿尔兹海默症（简称 AD）属于神经退行性疾病，患者神经元渐进性死亡，早期症状是记忆丧失，之后逻辑和语言等其他认知功能丧失，情感淡漠，性格改变，最终出现尿失禁等现象，丧失生活自理能力。

下列相关叙述错误的是（）A.记忆和认知功能丧失都是大脑皮层受损的结果B.大脑皮层言语区神经元死亡导致言语活动功能障碍C.尿失禁的原因是下丘脑对脊髓低级中枢的调控发生障碍D.积极治疗能够有效延缓 AD 病程进展，提高患者生存质量4.醛固酮是肾上腺皮质分泌的一种固醇类激素，在人体水和无机盐的平衡中发挥重要作用。

醛固酮的作用机理如下图所示。

下列相关叙述正确的是（）A.醛固酮促进靶细胞中编码钠通道和钠钾泵的基因表达，有利于重吸收 Na+B.促肾上腺皮质激素释放激素能够直接作用于肾上腺，促进醛固酮的分泌C.醛固酮通过血液到达靶细胞，与靶细胞内受体结合后能长期持续发挥作用D.长期高盐饮食使醛固酮分泌增加，导致内环境 Na+和水增加，易发生高血压5.某患者因多食易饥、心慌急躁、怕热多汗等不适就医，检测血浆中甲状腺激素（FT3、FT4）与促甲状腺激素（TSH）水平，结果如下表。

高中数学选择性必修二北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)

由上知：，所以，故④正确.
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数在和分别单调递减，故②错误；
③因为，则当时，，故时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ，，由解得，由解得，
所以当时，的图象更“陡峭”，当时，的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点在抛物线上，
所以，
则，又，
所以直线方程为，
联立抛物线方程得到，
解得或，
因为点在轴下方，所以 ,
由焦半径公式得：，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式则时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或；
选②，可得在圆上，即为切点，
则切点与圆心连线斜率为，则切线斜率为，
所以直线的方程为，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则（）

2023-2024学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高二上学期10月月考数学试卷含详解

2023-2024学年度第一学期第一次月考高二年级数学学科试卷（考试时间90分钟，总分150分）一、单选题（本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A.2B.2- C.12D.12-2.直线50x ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于（）A.2B.C. D.4.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b，若0a b ⋅=，则（）A.//l αB.l ⊂α C.l α⊥ D.l ⊂α或//l α5.已知(2,1,3)a =- ，(4,1,)b t =- ，且a b ⊥，则实数t 的值为（）A.3- B.3C.4D.66.已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有（）．A.0C < B.0C > C.0BC > D.0BC <7.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a = ，AD b = ，1AA c =，则下列式子中与1MB相等的是（）A.1122-+ a b c B.1122a b c+-C.1122a b c-++D.1122--+a b c8.已知直线1l ：()2140x a y +-+=，2l ：340ax y --=，则“3a =”是“12l l ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.144k -≤≤-B.4k ≤-或14k ≥-C.344k -≤≤D.344k -≤≤10.若直线l：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（）A.12B.2C.14D.34二、多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，请选出所有符合题意的选项，如有错选不得分）12.己知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF =1，点Q 是棱A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则下面结论中正确的是（）A.PQ 与EF 一定不垂直B.平面PEF 与平面EFQ 夹角的正弦值是1010C.三角形PEF的面积是D.点P 到平面QEF 的距离是定值三、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13.已知点()1,1A ，()1,5B -，则线段AB 中点C 的坐标为______.14.若1,,02a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0x >）是单位向量，则x =__________.15.已知向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c = ，则6a b c +- 的坐标为______.16.已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数=a ___________.17.直线1:l y kx k =-+过定点为_____．18.设()()121,2,2,2,3,2v v =-=-分别是空间两直线12,l l 的方向向量，则直线1l ，2l 所成角的大小为___________.19.两个非零向量a ，b ，定义||||||sin ,a b a b a b ⨯=〈〉 ．若(1,0,1)a = ，(0,2,2)b = ，则a b ⨯=___________．20.平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，动点P 在直线CD 上运动，则PA PC ⋅的最小值为_________.四、解答题（本大题共3个小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点(3,1)且与直线31y x =-垂直的直线方程；（2）过点(1,2)且与直线2100x y +-=平行的直线方程；（3）求过点(0,2)A -，斜率是直线61y x =--的斜率的14的直线方程；（4）求过点(1,3)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的直线方程.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，24PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求证：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.23.如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，8AC =，5PA PC ==，O 为AC 中点，H 为PBC 内的动点（含边界）.（1）求证：PO 平面ABC；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值；OH平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.（3）若//2023-2024学年度第一学期第一次月考高二年级数学学科试卷（考试时间90分钟，总分150分）一、单选题（本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A.2B.2- C.12D.12-【答案】A【分析】运用斜率公式计算即可.【详解】由题意知，1(1)210k --==-，即直线l 的斜率为2.故选：A.2.直线50x ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线50x +=可化为35333y x =--，则斜率tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D3.在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于（）A.2 B.C. D.【答案】D【分析】根据空间中两点之间的距离公式即可求解.【详解】根据空间中两点之间的距离公式可得AB =,故选:D4.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b，若0a b ⋅=，则（）A.//l αB.l ⊂αC.l α⊥D.l ⊂α或//l α【答案】D【分析】依题意可得a b ⊥，即可判断.【详解】∵直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b 且0a b ⋅=，即a b ⊥ ，∴l ⊂α或//l α.故选：D5.已知(2,1,3)a =- ，(4,1,)b t =- ，且a b ⊥，则实数t 的值为（）A.3-B.3C.4D.6【答案】B【分析】运用空间向量垂直的坐标公式计算即可.【详解】因为a b ⊥，所以2(4)1130t ⨯--⨯+=，解得3t =.故选：B.6.已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有（）．A.0C <B.0C > C.0BC > D.0BC <【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线的斜率、纵截距，再列不等式求解作答.【详解】依题意，直线0Ax By C ++=的斜率为AB -，纵截距为BC -，又该直线不经过第一象限，因此0A B -<，且0CB-<，即0AB >，0BC >，选项A ，B 不一定正确，D 不正确，C 正确.故选：C ．7.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a = ，AD b = ，1AA c =，则下列式子中与1MB相等的是（）A.1122-+ a b c B.1122a b c+-C.1122a b c-++D.1122--+a b c【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量1MB，即得答案.【详解】111111()22MB MB BB DB AA AB AD AA =+=+=-+1122a b c =-+ ,故选;A8.已知直线1l ：()2140x a y +-+=，2l ：340ax y --=，则“3a =”是“12l l ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充要条件的定义判断.【详解】解：当3a =时，直线1l ：20x y -+=，2l ：3340x y --=，则12l l ∥，当12l l ∥时，()()()23102440a a a ⎧⨯---⨯=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即26020a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得3a =，故“3a =”是“12l l ∥”的充要条件，故选：C9.已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.144k -≤≤- B.4k ≤-或14k ≥-C.344k -≤≤D.344k -≤≤【答案】B【分析】数形结合法，讨论直线l 过A 、B 时对应的斜率，进而判断率k 的范围.【详解】如下图示，当直线l 过A 时，31421k --==--，当直线l 过B 时，211314k -==---，由图知：4k ≤-或14k ≥-.故选：B10.若直线l：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到633023623023k k k⎧+>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，解方程得到33k >，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围.【详解】联立2360y kx x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得6332362323x k k y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以633023623023k k k⎧+>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，解得33k >，所以直线l 的倾斜角的范围为ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.11.已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（）A.12B.22C.14D.34【答案】A【分析】()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()22，距离的平方，求出()22，到直线10x y --=的距离，即可得到答案.【详解】()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()2,2距离的平方，因为点()2,2到直线10x y --=的距离2d ==，所以()2,2的最小值为212d =．故选：A二、多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，请选出所有符合题意的选项，如有错选不得分）12.己知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF =1，点Q 是棱A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则下面结论中正确的是（）A.PQ 与EF 一定不垂直B.平面PEF 与平面EFQ 夹角的正弦值是1010C.三角形PEF的面积是D.点P 到平面QEF 的距离是定值【答案】BCD【分析】根据点P 和点1D 重合时，PQ EF ⊥判断A 选项；根据二面角平面角的定义得到1QAD ∠为平面PEF 与平面EFQ 的夹角，然后求正弦值判断B 选项；根据四边形11ABC D 为矩形得到P 到EF 的距离和1AD 相等，然后求三角形面积即可判断C 选项；根据线面平行的判定定理得到11D C ∥平面QEF ，然后结合线面平行的性质得到点P 到平面QEF 的距离为定值即可判断D 选项.【详解】当点P 和点1D 重合时，PQ EF ⊥，故A 错；取11B C 中点H ，连接QH ，AQ ，1AD ，BH ，1BC ，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11D C AB ∥，QH AB ∥，AB ⊥平面11AA D D ，所以平面PEF 即平面11ABC D ，平面EFQ 即平面ABHQ ，因为1,AQ AD ⊂平面11AA D D ，所以AB AQ ⊥，1AB AD ⊥，因为平面11ABC D ⋂平面ABHQ AB =，所以1QAD ∠为平面PEF 与平面EFQ 的夹角，由题意得，AQ ==，1AD ==2QD =，所以2221111310cos 210QA AD QD QAD QA AD +-∠===⋅⋅，因为()10,QAD ∠∈π，所以110sin QAD ∠==，故B 正确；由题意得四边形11ABC D 为矩形，所以P 到EF 的距离和1AD 相等，所以112EFP S =⨯⨯=V C 正确；因为11D C AB ∥，即11D C EF ∥，11D C ⊄平面QEF ，EF ⊂平面QEF ，所以11D C ∥平面QEF ，又11P D C ∈，所以点P 到平面QEF 的距离为定值，故D 正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13.已知点()1,1A ，()1,5B -，则线段AB 中点C 的坐标为______.【答案】(0,3)【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.【详解】点()1,1A ，()1,5B -，所以线段AB 中点C 的坐标为(0,3).故答案为：(0,3)14.若1,,02a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0x >）是单位向量，则x =__________.【答案】2【分析】运用单位向量的定义及空间向量模长公式计算即可.【详解】由题意知，||1a =r1=，解得32x =或32x =-，又因为0x >，所以x =.故答案为：32.15.已知向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c = ，则6a b c +- 的坐标为______.【答案】()10,3,17-【分析】直接利用向量的运算法则计算即可.【详解】向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c =，则()()()()2,0,30,0,210,3,1762,3,16a b c +-=--+-=- .故答案为：()10,3,17-.16.已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数=a ___________.【答案】0【分析】利用两直线的位置关系求解.【详解】因为直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，且12l l ⊥，所以110a a ⨯+⨯=，解得0a =，故答案为：017.直线1:l y kx k =-+过定点为_____．【答案】()1,1【分析】先把直线化为点斜式，从而可确定定点.【详解】直线l 可化为点斜式()11y k x -=-，所以直线1:l y kx k =-+过定点()1,1.故答案为：()1,1.18.设()()121,2,2,2,3,2v v =-=- 分别是空间两直线12,l l 的方向向量，则直线1l ，2l 所成角的大小为___________.【答案】90︒##π2【分析】空间中直线与直线所成的角，与其对应的方向向量夹角相同，直接利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】因为121212cos ,0v v v v v v ⋅==⋅ ，所以1v 与2v 的夹角为90︒，即直线1l ，2l 所成角的大小为90︒.故答案为：90︒.19.两个非零向量a ，b ，定义||||||sin ,a b a b a b ⨯=〈〉 ．若(1,0,1)a = ，(0,2,2)b = ，则a b ⨯= ___________．【答案】【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可.【详解】因为a b ==== 2a b →→⋅=，所以21cos ,42a b a b a b ⋅===⋅ ，故sin ,2a b == ，所以2a b ⨯== ，故答案为：20.平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，动点P 在直线CD 上运动，则PA PC ⋅ 的最小值为_________.【答案】14-【分析】设1PC D C λ=uu u r uuu r ，然后根据空间向量的线性运算和数量积的运算律得到211224PA PC λ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭uu r uu u r ，最后求最小值即可.【详解】设1PC D C λ=uu u r uuu r，()PA PC PC CB BA PC ⋅=++⋅uu r uu u r uu u r uu r uu r uu u r ()11D C AD AB D Cλλ=--⋅uuu r uuu r uu u r uuu r ()11A B AD AB A Bλλ=--⋅uuu r uuu r uu u r uuu r ()()11AB AA AD AB AB AA λλλλ=---⋅-uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ()()2222111111AB AA AB AD AB AB AA AA AD AA λλλλλλλλ=--⋅-⋅--⋅++⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()222211112AB AA AB AD AB AA AD AA λλλλλλλ=---⋅-⋅++⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ()()221424cos 602cos 6042cos 60λλλλλλλ=-⨯--⨯︒-⨯︒++⋅︒242λλ=-21112244λ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当14λ=时等号成立，所以PA PC ⋅ 的最小值为14-.故答案为：14-.四、解答题（本大题共3个小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点(3,1)且与直线31y x =-垂直的直线方程；（2）过点(1,2)且与直线2100x y +-=平行的直线方程；（3）求过点(0,2)A -，斜率是直线61y x =--的斜率的14的直线方程；（4）求过点(1,3)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的直线方程.【答案】（1）360x y +-=（2）240x y +-=（3）3240x y ++=（4）30x y +=或20x y +-=【分析】（1）由两直线垂直可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（2）由两直线平行可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（3）由已知可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（4）分别研究截距为0与截距不为0时直线方程即可.【小问1详解】因为31y x =-的斜率为3，所以所求直线的斜率为13k =-，所以由点斜式方程可得11(3)3y x -=--，即360x y +-=.【小问2详解】因为2100x y +-=的斜率为2-，所以所求直线的斜率为2k =-，所以由点斜式方程可得22(1)y x -=--，即240x y +-=.【小问3详解】因为61y x =--的斜率为6-，所以所求直线的斜率为13642k =-⨯=-，所以由点斜式方程可得32(0)2y x +=--，即3240x y ++=.【小问4详解】①当截距为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点(1,3)A -，所以3k =-，即3k =-，所以直线方程为3y x =-，即30x y +=.②当截距不为0时，设直线方程为1x y a a+=（0a ≠），因为直线过点(1,3)A -，所以131a a -+=，解得2a =，所以直线方程为221x y +=，即20x y +-=.综述：所求直线方程为30x y +=或20x y +-=.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，24PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求证：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）16【分析】（1）利用中位线定理证得//PA MN ，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角的坐标公式计算即可.【小问1详解】证明：因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点，所以//PA MN ，又因为PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，所以//PA 平面MNC .【小问2详解】由题意知，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,4)P ，(2,2,0)B ，(1,0,0)M ，(0,0,2)N ，(0,2,0)C ，所以(2,2,4)PB =- ，(0,2,2)NC =- ，(1,0,2)MN =- ，设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n NC n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020y z x z -=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则2x =，1y =，所以(2,1,1)n = ，设直线PB 与平面MNC 所成角为θ，则222222|||222141|21sin |cos ,|6||||26622(4)211PB n PB n PB n θ⋅====⨯++-⨯++ ，故直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16.23.如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，8AC =，5PA PC ==，O 为AC 中点，H 为PBC 内的动点（含边界）.（1）求证：PO ⊥平面ABC ；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值；（3）若//OH 平面PAB ，求直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）817（3）3317[,]517【分析】（1）运用面面垂直的性质定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，运用面面夹角的坐标公式计算即可.（3）设点H 坐标，由//OH 平面PAB ，PH ⊂面PBC 可表示H 坐标，结合线面角坐标公式计算可得31122sin x α⎛⎫+ ⎪=02x ≤≤），运用换元法求此函数的值域即可.【小问1详解】证明：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PO AC ⊥，PO ⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABC .【小问2详解】在三棱锥-P ABC 中，连接OB ，因为O 为AC 中点，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，则OB OC ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABC ，所以以O 为原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知，4OB OA OC ===，又5PA PC ==，则3OP =，则(0,0,3)P ，(0,4,0)-A ，(4,0,0)B ，(0,4,0)C ，所以(0,4,3)PA =-- ，(4,0,3)PB =- ，(0,4,3)PC =- ，设平面PAB 的法向量为111(,,)n x y z =，则1111430430n PA y z n PB x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取13x =，则13y =-，14z =，则(3,3,4)n =- ，设平面PBC 的法向量为222(,,)m x y z = ，则2222430430m PB x z m PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取23x =，则23y =，24z =，则(3,3,4)m = ，设平面PAB 与平面PBC 夹角为θ，则||168cos |cos ,|3417||||n m n m n m θ⋅===== ，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为817.【小问3详解】如（2）建系及图可知，平面PAB 的法向量为(3,3,4)n =- ，平面PBC 的法向量为(3,3,4)m =，(0,0,3)P ，设(,,)H x y z ，则(,,)OH x y z = ，(,,3)PH x y z =- ，因为//OH 平面PAB ，PH ⊂面PBC ，所以3340334(3)0n OH x y z m PH x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ，解得33(,2,)24H x x -，所以33(,2,)24PH x x =-- ，又因为OP ⊥平面ABC ，所以(0,0,1)p =是平面ABC 的一个法向量，设直线PH 与平面ABC 所成角为α，则3331|||1|2422sin |cos ,|x x p PH α--+== 又H 为PBC 内的动点（含边界），所以04330324x x ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得02x ≤≤，所以31122sin x α⎛⎫+ ⎪=（02x ≤≤），令112t x =+，则2(1)x t =-，（12t ≤≤），所以3322sin 31t t α=⨯33==（12t ≤≤），因为12t ≤≤，所以1112t ≤≤，所以21110()24t ≤-≤，所以2111732()17252t ≤-+≤，所以117517≤≤，即33173517≤，所以直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围为3317[,]517.。

2010-2023历年吉林省长春外国语学校高二上学期期末考试化学试卷

2010-2023历年吉林省长春外国语学校高二上学期期末考试化学试卷第1卷一.参考题库(共20题)1.下列说法中，正确的是A．ΔH＞0 kJ/mol表示放热反应，ΔH＜0 kJ/mol表示吸热反应B．1 mol H2SO4与1 mol Ba(OH)2反应时放出的热叫做中和热C．1 mol H2与0.5 mol O2反应放出的热就是H2的燃烧热D．热化学方程式中的化学计量数表示物质的量，所以可以是分数2.关于平衡常数的说法中，正确的是A．在平衡常数表达式中，反应物的浓度为初始浓度，生成物的浓度为平衡浓度B．在任何条件下，化学平衡常数都是一个恒定值C．平衡常数的大小只与浓度有关，与温度、压强、催化剂等无关D．从平衡常数的大小可以判断一个反应进行的程度3.有关如图所示装置的叙述不正确的是A．该装置内可发生原电池反应B．该装置中Pt为正极，电极反应为：O2+2H2O+4e-=4OH-C．溶液中会出现红褐色的沉淀D．该装置中Fe为阴极，电极反应为：Fe—2e-+2OH-=Fe(OH)24.用食用白醋（醋酸浓度约1mol/L）进行下列实验，能证明醋酸为弱电解质的是A．白醋中滴入石蕊试液呈红色B．实验测得该白醋的pH为2.3C．蛋壳浸泡在白醋中有气体放出D．白醋加入豆浆中有沉淀产生5.为除去MgCl2酸性溶液中的Fe3+，可在加热搅拌的条件下加入一种试剂，过滤后，再向滤液中加入适量的盐酸，这种试剂是A．NH3·H2OB．NaOHC．Na2CO3D．MgCO36.（16分）电解原理在化学工业中有广泛应用。

下图表示一个电解池，装有电解液a ；X、Y是两块电极板，通过导线与直流电源相连。

请回答以下问题：(1)若X、Y都是惰性电极，a是饱和NaCl溶液，实验开始时，同时在两边各滴入几滴酚酞溶液，则电解池中X极上的电极反应为_________________________，在X极附近观察到的现象是：________（2）用湿润的淀粉碘化钾试纸检验Y电极产生的气体，现象是，发生反应的离子方程式为（3）如果用电解方法精炼粗铜，电解液a选用CuSO4溶液，则X电极的材料是__ _______，电极反应式是__________________，Y电极的材料是_________，电极反应式是__________________7.已知H2(g) + Cl2(g) = 2HCl(g) △H= ―184.6kJ·mol-1，则反应HCl(g) ＝1/2H2(g) + 1/2Cl2(g)的△H为A．+184.6kJ·mol-1B．―92.3kJ·mol-1C．+92.3kJD．+92.3 kJ·mol-18.下列关于原电池和电解池的叙述正确的是A．原电池中失去电子的电极为阴极B．原电池的负极、电解池的阳极都发生氧化反应C．原电池的两极一定是由活动性不同的两种金属组成D．电解时电解池的阳极一定是阴离子放电9.已知某可逆反应mA（g）+ nB（g）pC（g），在密闭容器中进行，下图表示在不同反应时间t、温度T和压强P与反应物B在混合气体中的百分含量B%的关系曲线，由曲线分析，下列判断正确的是A．T1<T2、P1>P2、m+n>p，⊿H <0；B．T1>T2、P1<P2、m+n>p，⊿H >0；C．T1>T2、P1<P2、m+n0；D．T1<T2、P1>P2、m+n<0；10.一种一元强酸HA溶液中加入一种碱MOH后，溶液呈中性，下列判断正确的是A．加入的酸过量B．生成的盐不水解C．混合前酸与碱中溶质的物质的量相等D．反应后溶液中A-与M+物质的量浓度相等11.将Al片和Cu片用导线联接，一组插入浓硝酸中，一组插入稀氢氧化钠溶液中，分别形成的原电池，在这两个原电池中，负极分别为A．Al片、Al片B．Al片、Cu片C．Cu片、Al片D．Cu片、Cu片12.将足量BaCO3粉末分别加入下列溶液中，充分溶解至溶液饱和。

北京市2023-2024学年高二上学期阶段练习数学试题含解析

北京市2023—2024学年第一学期阶段练习高二数学（答案在最后）2023.10班级__________姓名__________学号__________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共12道小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知点()2,1,0A 和点()0,3,4B -，则向量AB =（）A.()2,4,4-- B.()2,4,4- C.()2,2,4-- D.()2,2,4-【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标的定义，即可求解.【详解】由()2,1,0A 和点()0,3,4B -，所以()2,4,4AB =--.故选：A2.设,,i j k 是两两不共线的向量，且向量24a i j k =-++ ，32b i j k =-- ，则23a b -=（）A.1125i j k-+B.1125i j k --+C.111011i j k -++D.111011i j k-- 【答案】C 【解析】【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.【详解】因为24a i j k =-++ ，32b i j k =--，所以()()23224332111011a b i j k i j k i j k -=-++---=-++ .故选：C3.点M (3,-2,1)关于yOz 平面对称的点的坐标是A.(-3,2,1) B.(-3,2,-1)C.(3,2,-1)D.(-3,-2,1)【答案】D 【解析】【分析】根据空间直角坐标系对称点的坐标特点即可得到结果.【详解】点M (3,-2,1)关于平面yOz 的对称点坐标为(-3,-2,1).所以本题答案为D.【点睛】本题考查空间直角坐标系，注意仔细审题，属基础题.4.已知(1,0,1),(1,1,2)a b =--= ，则向量a 在b方向上的投影数量为（）A.3-B.2-C.2-D.62【答案】B 【解析】【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.【详解】向量a 在b方向上的投影数量为cos ,2a b a b a a b a a b b -⨯+⨯+-⨯⋅⋅⋅=⋅==-⋅，故选：B.5.与向量(1,AB =-共线的单位向量是（）A.112,,222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.112,,222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和11,,222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.11,,222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.112,,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和112,,222⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】设与向量(1,AB =- 共线的单位向量为a，则B a A λ= ，再根据1a = 求出λ，即可得解.【详解】设与向量(1,AB =- 共线的单位向量为a，则(),A a B λλλ=-= ，所以1a =，解得12λ=±，所以112,,222a ⎛⎫- ⎪⎝=⎪⎭ 或112,,222a ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B6.已知向量()1,1,0a =r，()1,1,0b =- ，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+= B.1λμ+=- C.1λμ= D.1λμ=-【答案】D 【解析】【分析】首先表示出a b λ+，a b μ+ ，依题意可得()()0a b a b λμ+⋅+= ，由数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1,0a =r，()1,1,0b =- ，所以()1,1,0a b λλλ+=+- ，()1,1,0a b μμμ+=+- ，因为()()a b a b λμ+⊥+ ，所以()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，所以1λμ=-.故选：D7.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.132212a b c-+-r r rC.211322a b c-++ D.121232a b c +- 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】22,3OM MA OM OA =∴= ，N Q 为BC 的中点，()12ON OB OC ∴=+,()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ .故选：C.8.已知平面α⊥平面β，l αβ= ．下列结论中正确的是（）A.若直线m ⊥平面α，则//m βB.若平面γ⊥平面α，则//γβC.若直线m ⊥直线l ，则m β⊥D.若平面γ⊥直线l ，则γβ⊥【答案】D 【解析】【分析】A ，利用线面平行的判定定理；B ，面面垂直没有传递性；C ，利用面面垂直的性质定理；D ，利用面面垂直的判定定理；【详解】A ，若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，故A 错误；B ，若γα⊥，αβ⊥，则//γβ或γ与β相交，故B 错误；C ，若m l ⊥，αβ⊥，l αβ= ，必须m α⊂，利用面面垂直的性质定理可知m β⊥，故C 错误；D ，若l γ⊥，l αβ= ，即l β⊂，利用面面垂直的判定定理知γβ⊥，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线，平面直线的位置关系的判断，熟练掌握平行和垂直位置关系的判定和性质是解题的关键，属于基础题.9.如图，在三棱锥A BCD -中，,,DA DB DC 两两垂直，且2DB DC ==，点E 为BC 中点，若直线AE 与CD 所成的角为60︒，则三棱锥A BCD -的体积等于（）A.23B.43C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由题意可证AD ⊥平面DBC ，取BD 的中点F ，连接EF ，则AEF ∠为直线AE 与CD 所成的角，利用余弦定理求出AD ，根据三棱锥体积公式即可求得体积．【详解】如图，∵2DB DC ==，点E 为BC 的中点，∴DE BC ⊥，DE =∵DA ，DB ，DC 两两垂直，DB DC D = ，∴AD ⊥平面DBC ，取BD 的中点F ，连接EF ，∴AEF ∠为直线AE 与CD 所成的角，且1EF =，由题意可知，60AEF ∠=︒，设AD x =，连接AF ，则222212AF x AE x =+=+，，在AEF △中，由余弦定理，得222cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠=⋅，即2212=x =AD =∴三棱锥A BCD -的体积11122223323BCD V S AD =⋅=⨯⨯⨯=．故选：D ．10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AAAB BC ===，点B 到平面1ACD 的距离为（）A.69B.13C.23D.63【答案】C 【解析】【分析】将点B 到平面1ACD 距离转化为三棱锥1B ACD -的高，然后利用等体积的方法求距离即可.【详解】由题意得点B 到平面1ACD 距离为三棱锥1B ACD -的高，设点B 到平面1ACD 距离为d ，取AC 中点O ，连接1OD ，因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以11AD CD =，所以1OD AC ⊥，221215AD =+=112AC =+=，()221232522OD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11B ACD D ABC V V --=，113211211232232d ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得23d =.故选：C.11.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°【答案】B 【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.12.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，2y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，共30分.把答案填在答题纸中相应的横线上.13.设a ，b 为单位向量，且1a b += ，则a b ⋅= ____________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由向量的数量积及运算律计算可得解.【详解】由题意得1a b == ，又1a b +=，21a b ∴+= 即()21a b+= ，整理得2221a a b b +⋅+= ，代入1a b == ，得12a b ⋅=- .故答案为：12-.14.若空间三点()4,1,3A ，()2,5,1B -，(),4,4C m 共线，则实数m =____________.【答案】5【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量共线，即可求解.【详解】()2,6,2AB =--- ，()4,3,1AC m =-，由空间三点共线，则//AB AC ，即AC AB λ=，所以423612m λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，得12λ=-，5m =.故答案为：515.已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则平面11A BC 与平面ABCD 所成的角的余弦值为____________.【答案】3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则()14,0,2A ，()4,4,0B ，()10,4,2C ，∴()10,4,2A B =-，()114,4,0A C =- ，设平面11A BC 的一个法向量为(),,m x y z=，则111420440A B m y z A C m x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2z =，则()1,1,2m = ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面11A BC 与平面ABCD 所成的角为θ，则平面11A BC 与平面ABCD所成角的余弦值||6cos ||||3m n m n θ⋅===⋅．故答案为：3．16.如图，在棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA两两夹角均为π3，则1AC BD ⋅=____________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线1AC 垂直.这三个顶点可以是____________.【答案】①.0②.点1,,A B D 或点11,,C B D （填出其中一组即可）【解析】【分析】（1）以向量AB ，AD ，1AA为基底分别表达出向量1AC uuu r 和BD ，展开即可解决；（2）由上一问可知10AC BD ⋅=，用上一问同样的方法可以证明出110AC A D ⋅= ，这样就证明了平面1A BD 与直线1AC 垂直.【详解】（1）令1a AA = ，b AB = ，c AD =，则1a b c === ，π,,,3a b a c b c === ，则有BD AD AB c b =-=- ，111AC AC CC AB AD AA b c a =+=++=++ ，故221()()AC BD c b c b a c b c a c b c b a b⋅=-⋅++=+⋅+⋅-⋅--⋅2211111111111111111111022222222=+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯=+--=；（2）令1a AA = ，b AB = ，c AD =，则1a b c === ，π,,,3a b a c b c === 则有11A D AD AA c a =-=- ，111AC AC CC AB AD AA b c a =+=++=++ ，故2211()()AC A D c a c b a c b c a c a c a b a⋅=-⋅++=+⋅+⋅-⋅-⋅- 2211111111111111111111022222222=+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-=+--=，故11AC A D ⊥ ，即11AC A D ⊥，又由（1）知1AC BD ⊥，1A D BD D ⋂=，1,A D BD ⊂平面1A BD ，故直线1AC ⊥平面1A BD ；同理可证直线1AC ⊥平面11B D C .故答案为：0；点1,,A B D 或点11,,C B D 17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA=，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上.点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________.【答案】2【解析】【分析】设点P 在平面ABCD 上的射影为P '，则题意所求距离最小值即为P C '长度的最小值，且P C DE '⊥时P C '的长度最小，利用三角形面积相等关系即可求解.【详解】由题意知，点P 到直线1CC 的距离即为点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离.设点P 在平面ABCD 上的射影为P '，显然点P 到直线1CC 的距离的最小值为P C '长度的最小值，当P C DE '⊥时，P C '的长度最小，此时11111222DCE S DC CE =⋅=⨯⨯=，12DCE S DE CP ''=⋅= ，所以122CP '=，解得2CP '=，即点P 到直线1CC 的距离的最小值为2.故答案为：2.18.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】②④【解析】【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ= ，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ= ，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知向量()236a m = ,,，()1,0,2= b ，()()132R c m =∈ ,,（1）求()a b c ⋅- 的值；（2）求cos b c ,；（3）求a b - 的最小值.【答案】（1）6-（2）104（3）【解析】【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算；（2）根据空间向量夹角公式直接计算即可；（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可.【小问1详解】因为()1,0,2= b，()2c = ，所以()0,b c -= ，又因为()6a m = ,，所以()(6a b c ⋅-==- .【小问2详解】因为()1,0,2= b，()2c = ，所以cos 4b c b c b c⋅=== ,.【小问3详解】因为()6a m = ,，()1,0,2= b ，所以()a b m -=- ，所以()(()2222214128a b m m -=-++=-+ ，当1m =时，2a b - 取得最小值28，则a b -最小值为.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（1）求直线1AC 与直线1B E 所成角的余弦值；（2）求直线11A C 与平面1ACE 所成角的正弦值.【答案】（1）36（2）33【解析】【分析】（1）利用空间向量的方法求异面直线所成角即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可.【小问1详解】如图，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，()12,0,2A ，()0,0,0C ，()10,2,2B ，()1,1,0E ，()12,0,2A C =--uuu r ，()11,1,2B E =--uuu r ，()()1111112,0,21,1,23cos ,6404114AC B E AC B E AC B E ⋅--⋅--===++⨯++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以直线1AC 与直线1B E 所成角的余弦值为36.【小问2详解】()10,0,2C ，()112,0,0AC =- ，()1,1,0CE = ，设平面1A CE 的法向量为(),,m x y z = ，则12200m A C x z m CE x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =-，所以()1,1,1m =-- ，111111cos ,3m AC m AC m AC ⋅===u r uuu u r u r uuu u r u r uuu u r ，所以直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值为33.21.如图，PA ⊥平面ABC ，ABBC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求二面角A PCB --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）首先证明BC ⊥平面PAB ，即可得到AM BC ⊥，再由AM PB ⊥，即可得证；（2）在平面ABC 内，作//Az BC ，则AP ，AB ，Az 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．利用向量法能求出二面角A PC B --的余弦值．【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥．因为BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM BC ⊥．因为PA AB =，M 为PB 的中点，所以AM PB ⊥，BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ．【小问2详解】如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则AP ，AB ，Az 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则()0,0,0A ，()2,0,0P ，()0,2,0B ，()0,2,1C ，()1,1,0M ．所以()2,0,0AP = ，()0,2,1AC = ，()1,1,0AM = ，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AP x n AC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =，得()0,1,2n =- ，由（1）可知()1,1,0AM = 为平面BPC 的法向量，设二面角A PC B --的平面角为α，由图可知二面角A PC B --为锐角，则cos n AM n AM α⋅== A PC B --的余弦值为1010．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE.（1）求证：BE PA ⊥；（2）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PF PB的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）12，理由见解析【解析】【分析】（1）根据菱形和等边三角形的性质得到BE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理得到BE ⊥平面PAD ，最后根据线面垂直的性质证明即可；（2）根据中位线和平行四边形的性质得到EF DH ∥，然后根据线面平行的判定定理即可得到EF ∥平面PCD .【小问1详解】连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，π3BAD ∠=，所以三角形ABD 为等边三角形，因为E 为AD 中点，所以BE AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以BE PA ⊥.【小问2详解】当点F 为PB 中点，即12PF PB =时，EF ∥平面PCD ，理由如下：取PB 中点F ，PD 中点H ，连接EF ，FH ，DH ，因为,F H 分别为,PB PD 中点，所以FH BC ∥，12FH BC =，因为四边形ABCD 为菱形，E 为AD 中点，所以ED BC FH ∥∥，12ED BC FH ==，所以四边形EFHD 为平行四边形，EF DH ∥，因为EF ⊄平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .23.已知集合{}128X x x x = ，，，是集合{20072008200920222023}S = ，，，，，的一个含有8个元素的子集.（1）当{20072008201120132017201920222023}X =，，，，，，，时，设(18)i j x x X i j ∈≤≤，，，（i ）写出方程2i j x x -=的解()i j x x ，；（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；（2）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程()18i j x k i x j -=≤≤，至少有三组不同的解.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）(i)根据两数之差为2进行解答即可；(ii)由题两数的差均为正，利用列举法解答；（2）利用反证法进行证明．【小问1详解】(i)方程2i j x x -=的解为：()2013,2011，()2019,2017，(ii)以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和)：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16．这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．【小问2详解】证明：不妨设12820072023x x x ≤<<<≤ ，记()11,2,,7i i i a x x i +=-= ，()21,2,,6i i i b x x i +=-= ，共13个差数，假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1，两个2，两个3，两个4，两个5，两个6，则()()()1271262126749a a a b b b +++++++≥++++= ，又()()127126a a a b b b +++++++ ()()818721x x x x x x =-++--()()817222161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与上式矛盾.所以假设错误，原命题成立.。

北京市朝阳区2022-2023学年高二上学期期末考试语文试卷参考答案

北京市朝阳区２０２２~２０２３学年度第一学期期末质量检测高二语文参考答案２０２３１一㊁本大题共４小题ꎬ共１５分ꎮ１.(３分)Ｃ㊀㊀㊀㊀２.(３分)Ｂ㊀㊀㊀㊀３.(３分)Ｂ４.(６分)答案要点:①要满足乡村人民对文化的热爱㊁对新时代美好生活的向往ꎬ满足乡村人民对优秀的公共文化产品和服务的强烈需求ꎮ②要扎根群众ꎬ创造条件ꎬ便利渠道ꎬ搭建广阔的群众文化舞台ꎬ让乡村人民人人都能参与到文化活动中来ꎮ③要充分发挥各地自身的乡村文化特长ꎬ深入挖掘各地独特的优秀乡村文化资源ꎬ找到适合本地的乡村文化振兴之路ꎮ④可借助现代科技㊁互联网平台ꎬ加强智慧化建设ꎬ普及乡村文化知识㊁激发群众文化热情㊁扩大乡村文化影响力ꎮʌ评分参考ɔ每点２分ꎬ答出３点即可ꎮ意思对即可ꎮ二㊁本大题共６小题ꎬ共２３分ꎮ５.(３分)Ｂ㊀㊀㊀㊀６.(３分)Ｄ㊀㊀㊀㊀７.(３分)Ａ㊀㊀㊀㊀８.(３分)Ｂ９.(６分)答案要点:①一心抗敌ꎬ毫无个人私念ꎬ襟怀大度ꎮ②英勇无畏ꎬ忠君爱国ꎬ尽忠职守ꎮ③性格宽厚ꎬ德高望重ꎮʌ评分参考ɔ每点２分ꎮ意思对即可ꎮ１０.(５分)答案示例一:赞同比不上 ꎮ孔子认为ꎬ君子不要跟比不上自己的人交朋友ꎮ君子要修养仁德ꎬ就要与仁德之士为友ꎬ与直爽㊁信实㊁见闻广博的人为友会对仁德修养有益ꎬ与虚浮㊁圆滑㊁夸夸其谈的人为友会对仁德修养有害ꎬ所以要与比自己贤能的人为友ꎮ答案示例二:赞同不像 ꎮ孔子认为ꎬ君子不要跟不像自己的人交朋友ꎮ君子通过学问来交朋友ꎬ通过交朋友来帮助仁德的成长ꎬ好朋友间要相互切磋督促ꎬ所以要与志同道合的仁德之士为友ꎮʌ评分参考ɔ言之成理即可ꎮ１１.(３分)Ｃ㊀㊀㊀１２.(３分)Ｄ１３.(６分)答案示例一:诗歌开头写远林暑气薄ꎬ公子过我游 ꎬ本是炎炎夏日ꎬ李公为避暑气ꎬ特来诗人居住的郊野林间作客ꎮ诗人留客人在家饮酒ꎬ却突然清风左右至ꎬ客意已惊秋 ꎬ清风吹进屋中ꎬ客人惊讶不已ꎬ以为竟然到了初秋ꎮ盛夏的季节与凉爽的感受形成了巨大的反差ꎬ造成了客人的错觉ꎮ诗人以出人意料的转折ꎬ写出了村居生活的幽静闲适ꎬ体现出顿挫的风格ꎮ答案示例二:巢多众鸟斗ꎬ叶密鸣蝉稠ꎮ苦道此物聒ꎬ孰谓吾庐幽几句写屋檐下鸟巢众多ꎬ鸟儿们争斗不止ꎬ院中树木枝叶繁密ꎬ蝉鸣声此起彼伏ꎬ诗人嘴上对客人抱怨着这些东西实在是吵闹ꎬ谁说我的草庐幽静呢 ꎬ其实心里却暗自得意ꎬ雀鸟鸣蝉的自在生活恰好反衬出远离都市喧闹的清幽闲适ꎬ诗人以似嗔实喜的手法曲折地表达了对村居生活的喜爱之情ꎬ体现了顿挫的风格ꎮʌ评分参考ɔ结合诗句４分ꎬ内容或表现手法分析２分ꎮ意思对即可ꎮ１４.(１０分)(１)岂曰无衣㊀王于兴师㊀与子同仇死节从来岂顾勋㊀楼船夜雪瓜洲渡㊀㊀铁马秋风大散关(２)谁家今夜扁舟子㊀何处相思明月楼(３)天生我材必有用㊀千金散尽还复来ʌ评分参考ɔ每空１分ꎮ有错别字该空不得分ꎮ１５.(６分)(１)(１分)林黛玉(２)(５分)答案示例:这句批语的意思是ꎬ只有林黛玉才能写出这样的好诗ꎬ只有贾宝玉才能有这样深情的共鸣ꎮ«红楼梦»中的诗词ꎬ大都是为塑造人物服务的ꎮ«葬花吟»是林黛玉思想㊁性格㊁才华的集中体现ꎬ也是喻示她命运的诗谶 ꎬ所以唯有林黛玉能写出ꎮ贾宝玉与林黛玉是有木石前盟的灵魂知己ꎬ也只有他能真正理解㊁体会㊁欣赏林黛玉的情思和才华ꎮʌ评分参考ɔ符合原著ꎬ言之成理即可ꎮ１６.(３分)Ｂ㊀㊀㊀㊀１７.(３分)Ｄ１８.(６分)答案要点:①全文多处写灰色ꎬ写出了对中国色彩从不理解到深刻领悟的过程:初学绘画时学习西方色彩理论ꎬ不了解也不关心中国色彩ꎬ认为灰色是暗淡㊁压抑的ꎻ后来听讲座㊁读散文ꎬ对中国色彩有了新的认识ꎬ从百草霜老僧灰中感悟到中国色彩的文化内涵和美学意境ꎻ现在对中国色彩中的灰色有了更深刻的理解ꎬ喜欢它的内敛低调㊁深情温和ꎮ②运用欲扬先抑的笔法ꎬ为后文对中国色彩的感悟赞美作了铺垫ꎮ③通过前后对灰色认识的对比ꎬ揭示出中西方色彩理论的区别ꎬ表达了对中国色彩蕴含的文化内涵和美学意境的感悟和赞美ꎮʌ评分参考ɔ①４分ꎬ②③各１分ꎮ意思对即可ꎮ１９.(６分)答案要点:①天水碧是一种柔和清雅的浅绿色ꎬ极富诗意ꎮ②宋代的理性审美是平淡㊁典雅㊁沉静的ꎬ天水碧的色彩特点符合这种审美ꎮ③宋代物质文明和精神文明达到高峰ꎬ才能培养出文化型美学ꎬ全社会都向往诗意的生活 ꎬ从而形成了这种理性的审美ꎮʌ评分参考ɔ每点２分ꎮ意思对即可ꎮ五㊁本大题共３小题ꎬ共６６分ꎮ２０.(６分)(１)(３分)Ｂ(２)(３分)乙㊁甲㊁丙ʌ评分参考ɔ每空１分ꎮ２１.(１０分)ʌ评分参考ɔ参考高考微写作评阅标准ꎮ２２.(５０分)ʌ评分参考ɔ参考高考作文评阅标准ꎮʌ附:文言文参考译文ɔ元和二年四月十三日晚上ꎬ我和吴郡张籍翻阅家中的旧书ꎬ发现了李翰所写的«张巡传»ꎮ李翰因文章而自许ꎬ写这篇传记十分详尽严谨ꎮ但(实际上)还遗憾有所缺失:没有为许远立传ꎮ许远虽然才能似乎比不上张巡ꎬ打开城门接纳张巡ꎬ(他)职位本在张巡之上ꎬ(却把)指挥权交给张巡(自甘)在他手下ꎬ毫无猜疑妒忌ꎮ最终和张巡一起守城而死ꎬ成就功名ꎬ城破后被俘ꎬ(不过)与张巡死的时间先后不同罢了ꎮ(张㊁许)两家的后代才智低下ꎬ不能完全明白二位父亲的志向ꎬ认为张巡战死而许远被俘ꎬ怀疑(许远)怕死投降了叛贼ꎮ(如果)许远真的怕死ꎬ何苦守住尺寸大小的地盘ꎬ来与叛军对峙而不投降呢?当他在包围中守城时ꎬ外面没有一点如蚂蚁般力量微弱的援助ꎬ(他)想要效忠的ꎬ就是国家和皇上ꎬ叛军拿国家灭亡和皇上已死的(假)消息告诉(他)ꎮ许远见救兵不来ꎬ而叛军越来越多ꎬ一定会把他们的话当作真的ꎻ外面毫无(援兵的)依靠却仍然死守ꎬ即使(是)愚笨的人也能计算日期知道自己(要)死在哪里了ꎮ许远不怕死也是很明显的了!哪有城破㊁自己的部下都战死ꎬ(他却)独自蒙受愧疚耻辱乞求苟活的?即使最愚昧的人(也)不愿(这样)做ꎬ唉!(怎么)却说许远这般贤明的人会这样做呢?议论的人又认为ꎬ许远和张巡分城门守卫ꎬ城陷落ꎬ(是)从许远分守的城门开始的ꎬ拿这个理由来指责许远ꎮ这又和小孩的见识没有两样ꎮ人将要死的时候ꎬ他的内脏必定有先受到侵害的地方ꎻ扯紧绳子拉断它ꎬ绳的断口必定有先裂开的地方ꎮ旁观者看到这种情况ꎬ就来责怪这先受侵害和先裂开的地方ꎬ这也太不通达事理了!小人喜欢非议(他人)ꎬ不愿成人之美ꎬ(竟)到了这样的地步!像张巡㊁许远所达成的功业ꎬ如此杰出ꎬ尚且不能避免(小人的诽谤)ꎬ其他人又怎么被非议呢!当二公刚开始守城的时候ꎬ怎么能知道别人最终(也)不来救援ꎬ(从而预先决定)弃城逃走呢?如果此城不能守住ꎬ即使逃到其他地方又有什么用处?等到他们没有救兵并且走投无路的时候ꎬ率领那些受伤残废㊁饥饿瘦弱的残余部下ꎬ即使想逃走ꎬ也一定无法成功ꎮ二公这样贤明ꎬ他们已经考虑得很周到了!守住一座孤城ꎬ捍卫天下ꎬ仅凭千百来个濒临灭亡的士兵ꎬ迎战百万天天壮大的敌军ꎬ保护江淮地区ꎬ阻遏叛军的攻势ꎬ天下能够不亡ꎬ这是谁的功劳啊!在那个时候ꎬ丢掉城池而只想保全性命的人ꎬ不在少数ꎻ拥有强兵却安坐观望的人ꎬ一个接着一个ꎮ(议论的人)不追究讨论这些ꎬ却拿死守(睢阳)来责备二公ꎬ也可见这些人把自己等同于逆乱者ꎬ捏造谎言来帮他们一起攻击(有功之人)了ꎮ张籍说: 有个叫于嵩的人ꎬ年轻时跟随张巡ꎻ等到张巡起兵抗击叛军ꎬ于嵩一直在围城之中ꎮ我大历年间在和州乌江县见到于嵩ꎬ于嵩那时已六十多岁了ꎮ我那时还幼小ꎬ粗略地询问过张巡㊁许远的事迹ꎬ不太详细ꎮ(他)说:张巡身高七尺多ꎬ一口胡须活像神灵ꎮ等到城破后ꎬ张巡被杀时ꎬ脸色毫不慌张ꎬ神态安详就和平日一样ꎮ许远是个宽厚的长者ꎬ相貌和他的内心一样ꎻ和张巡同年出生ꎬ月份日子比张巡稍晚ꎬ称张巡为兄ꎬ死时四十九岁ꎮ。

2022-2023学年北京市朝阳区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷1. 已知{a n }为等差数列，a 5=4，则a 4+a 6=( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 已知点M(a,2)(a >0)到直线l ：x −y +3=0的距离为1，则实数a =( ) A. √2−1 B. √2C. 2−√2D. √2+1 3. 设函数f(x)=x +lnx ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. x −y −1=0B. 2x −y −1=0C. x −y −2=0D. 2x −y −2=0 4. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点P(3,y 0)在抛物线C 上，则|PF|=( )A. 2√3B. 2√3+1C. 3D. 45. 已知直线l 1：x +ay +1=0，直线l 2：(a +2)x +3y −1=0，则“a =1”是“l 1//l 2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，在四面体OABC 中，G 是BC 的中点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. a ⃗ −12b ⃗ −12c ⃗B. −a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ C. −12a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ D. 12a ⃗ −b ⃗ −c ⃗7. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+x +1(a ∈R)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( ) A. a <−√3或a >√3 B. x 1是f(x)的极小值点 C. x 1+x 2=13 D. x 1x 2=−138. 在平面直角坐标系xOy 中，设F 1，F 2是双曲线C:x2−y 22=1的两个焦点，点M 在C 上，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则△F 1F 2M 的面积为( )A. √3B. 2C. √5D. 49. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ，B 是直线l 上的两点，C ，D 是平面β内的两点，且DA ⊥l ，CB ⊥l ，DA =4，AB =6，CB =8，若平面α内的动点P 满足∠APD =∠BPC ，则四棱锥P −ABCD 的体积的最大值为( )A. 24B. 24√3C. 48D. 48√310. 斐波那契数列{F n }(n ∈N ∗)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F 1=F 2=1，当n >2时，F n =F n−1+F n−2.若F 100=F 12+F 22+F 32+⋯+F m2F m，则m=( )A. 98B. 99C. 100D. 10111. 函数f(x)=x ⋅e x 的导函数f′(x)=______.12. 已知平面α的法向量为n ⃗ =(1,2,−2)，直线l 的方向向量为u ⃗ =(−2,m,4)，且l ⊥α，则实数m =______.13. 过圆C ：(x +1)2+y 2=1的圆心且与直线x −y =0平行的直线的方程是______.14. 设点F 1，F 2分别为椭圆C:x 22+y 2=1的左、右焦点，则椭圆C 的离心率为______；经过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.15. 已知{a n }是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数n ，2a 2n−1+a 2n >0恒成立，则q 的值可以是______.(只需写出一个)16. 数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D 在平面直角坐标系xOy 中的方程为x 3+y 3−3axy =0.当a =1时，给出下列四个结论： ①曲线D 不经过第三象限； ②曲线D 关于直线y =x 轴对称；③对任意k ∈R ，曲线D 与直线y =−x +k 一定有公共点； ④对任意k ∈R ，曲线D 与直线y =k 一定有公共点．其中所有正确结论的序号是______.17. 设函数f(x)=13x 3−x 2−3x +1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅰ)当x ∈[0,4]时，求f(x)的最大值与最小值．18. 已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，a1=1，a5=9.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n；(Ⅰ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{b n}的前n项和T n.条件①：b n=2a n；条件②：b n=2n+a n；条件③b n=1a n⋅a n+1.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=π2，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，点O是AB的中点．(Ⅰ)求证：PO⊥CD；(Ⅰ)求二面角A−PO−D的余弦值；(Ⅰ)在棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，且点P(1,√32)在椭圆C上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅰ)过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且y1y2≠0.问：x轴上是否存在点N，使得直线NA，直线NB与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 在无穷数列{a n}中，a1=√2，a2=1，a n+2=|a n+1−a n|，n∈N∗.(Ⅰ)求a4a1与a7a4的值；(Ⅰ)证明：数列{a n}中有无穷多项不为0；(Ⅰ)证明：数列{a n}中的所有项都不为0.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵{a n}为等差数列，a5=4，∴a4+a6=2a5=8.故选：C.利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由题意得√2=1，因为a>0，解得a=−1+√2或a=−1−√2(舍).故选：A.由已知结合点到直线的距离公式即可求解．本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：f′(x)=1+1x，则f′(1)=2，又f(1)=1，则由点斜式可得，所求切线方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0.故选：B.先对函数f(x)求导，进而利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式得解．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵抛物线C的方程为：y2=4x，∴抛物线的焦点F到准线的距离p=2，又P(3,y0)在抛物线C上，∴|PF|=p2+3=4.故选：D.根据抛物线的几何性质即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．5.【答案】C【解析】解：a =1时，直线l 1：x +y +1=0，直线l 2：3x +3y −1=0，所以l 1//l 2，充分性成立；直线l 1//l 2时，a(a +2)−3=0，解得a =1或a =−3，因为a =−3时，l 1与l 2重合，所以l 1//l 2时a =1，必要性成立；所以“a =1”是“l 1//l 2”的充分必要条件．故选：C.分别判断充分性和必要性是否成立即可．本题考查了充分必要条件的判断问题，也考查了两直线平行的判断问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(c ⃗ −a ⃗ +b ⃗ −a ⃗ )=−a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ .故选：B.根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：若函数f(x)=x 3+ax 2+x +1(a ∈R)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则f′(x)=3x 2+2ax +1有2个不同零点，则Δ=4a 2−12>0，解得a >√3或a <−√3，故A 正确，由于3>0，则函数f′(x)的图像开口向上，则x 1是f(x)的极大值点，故B 错误，由x 1⋅x 2=13，x 1+x 2=−2a3，则CD 错误，故选：A.求出函数的导数，结合二次函数的性质对各个选项分别判断即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由双曲线的定义知：||MF 1|−|MF 2||=2，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以MF 1⊥MF 2，利用勾股定理可得，MF 12+MF 22=F 1F 22=12，即(MF 1−MF 2)2+2MF 1⋅MF 2=12，所以MF 1⋅MF 2=4，三角形的面积S =12MF 1⋅MF 2=2，故选：B.由双曲线的定义知：||MF 1|−|MF 2||=2，结合MF 1⊥MF 2，利用勾股定理可得，MF 12+MF 22=F 1F 22=12，结合三角形的面积S =12MF 1⋅MF 2，从而可求．本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：在平面β内，由DA ⊥l ，CB ⊥l ，可得DA//BC ，又DA =4，CB =8，∴四边形ADCB 为直角梯形， S ADCB =12×(AD +BC)×AB =12×(4+8)×6=36，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只要四棱锥P −ABCD 的高h 取最大值即可， ∵平面α⊥平面β，α∩β=l ，过点P 向l 作垂线交l 于E ，根据面面垂直的性质得PE ⊥α，则PE =ℎ，∵PE 是△PAB 的高，且由DA ⊥l ，CB ⊥l ，知DA ⊥α，CB ⊥α， ∵AP ⊂α，PB ⊂β，∴DA ⊥AP ，BC ⊥PB ，在Rt △PAD 中，tan∠APD =ADAP，在Rt △PBC 中，tan∠BPC =BC BP， ∵∠APD =∠BPC ，∴ADAP =BCBP ，∴APBP =ADBC =48=12，∴BP =2AP ，设∠APB =θ，AP =m ，在△APB 中，由余弦定理得cosθ=AP 2+BP 2−AB 22AP⋅BP=5m 2−364m 2， ∵sinθ>0，∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−(5m 2−364m 2)2=34m 2√−(m 2−20)2+256，则S △APB =12PA ⋅PBsinθ=34√−(m 2−20)2+256，∵S △APB =12AB ⋅ℎ=3ℎ， ∴ℎ=14√−(m 2−20)2+256，根据三角形三边关系可得{PA +PB >AB =6|PA −PB|<AB =6，∴{3m >6m <6，解得2<m <6，4<m 2<36，∴当m 2=20时，ℎ=14√−(m 2−20)2+256有最大值为14√256=4，∵四棱锥P −ABCD 的体积为V =12×S ADCB ⋅ℎ≤13×36×4=48， ∴四棱锥P −ABCD 的体积的最大值为48. 故选：C.根据已知可得S ABCD =36，则当四棱锥的高h 最大，即△PAB 的高PE 最大即可，根据面面垂直的性质得出线线垂直关系，结合∠APD =∠BPC ，可得BP =2AP ，设∠APB =θ，AP =m ，在△APB 中根据余弦定理结合面积公式得到ℎ=14√−(m 2−20)2+256，由三边关系得到2<m <6，即可得到ℎ<4，代入体积公式能求出四棱锥P −ABCD 的体积的最大值．本题考查四棱锥结构特征、余弦定理、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由已知得F 12=F 2⋅F 1，且F n−1=F n −F n−2，所以F 22=F 2⋅(F 3−F 1)=F 2⋅F 3−F 2⋅F 1， F 32=F 3⋅(F 4−F 2)=F 4⋅F 3−F 3⋅F 2，........F m 2=F m ⋅(F m+1−F m−1)=F m ⋅F m+1−F 3⋅F m−1，累加整理可得F 12+F 22+.....+F m 2=F m ⋅F m+1；又因为F 100=F 12+F 22+F 32+⋯+F m2F m=F m+1.即F m+1是该数列的第100项，所以m =99，所以B 选项正确．故选：B.利用累加法即可求解．本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．11.【答案】(1+x)e x【解析】解：函数的导数f′(x)=e x +xe x =(1+x)e x ，故答案为：(1+x)e x根据函数的导数运算公式即可得到结论．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．12.【答案】−4【解析】解：根据题意，若l ⊥α，则n ⃗ //u ⃗ ，必有1−2=2m =−24，解可得m =−4，故答案为：−4.根据题意，分析可得n ⃗ //u ⃗ ，由此分析可得答案．本题考查空间向量的应用，涉及线面垂直的判断方法，属于基础题．13.【答案】x −y +1=0【解析】解：因为圆C ：(x +1)2+y 2=1的圆心为(−1,0)，故过圆心(−1,0)且与直线x −y =0平行的直线为y =x +1，即x −y +1=0. 故答案为：x −y +1=0.先求出圆心C 的坐标，然后结合直线平行的斜率关系即可求解直线方程．本题主要考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题．14.【答案】√22 0【解析】解：由椭圆C:x 22+y 2=1可得，a =√2,b =1，所以c =1，则离心率e =c a=√22.根据椭圆的对称性可得，P ，Q 点关于原点对称，设P(x 0,y 0)，Q(−x 0,−y 0).且S PF 1QF 2=2S △PF 1F 2=2×12|F 1F 2||y 0|=2|y 0|，当|y 0|最大时，面积最大，则此时P ，Q 为短轴顶点，不妨设P(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×1+(−1)×(−1)=0. 故答案为：√22;0.根据已知求出a ，b ，c 的值，即可得到离心率；根据对称性可得，S PF 1QF 2=2S △PF 1F 2=2|y 0|，所以P ，Q 为短轴顶点写出P ，F 1，F 2的坐标，即可得到结果．本题考查了椭圆的性质，属于基础题．15.【答案】−3(答案不唯一)【解析】解：依题意，2a 1q 2n−2+a 1q 2n−1=a 1q 2n−2(2+q)>0，又a 1<0,q 2n−2=(q n−1)2>0，则2+q <0，即q <−2，所以q 的值可以是−3. 故答案为：−3(答案不唯一).根据题意可建立关于q 的不等式，解不等式可得q 的范围，进而得解．本题主要考查等比数列的通项公式以及不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：当a =1时，方程为x 3+y 3−3xy =0，当x ，y <0时，x 3+y 3−3xy <0，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确；将点(y,x)代入曲线方程，得x 3+y 3−3xy =0，故曲线关于直线y =x 对称，②正确；当k =−1，联立{x 3+y 3−3xy =0x +y =−1，其中x 3+y 3−3xy =(x +y)(x 2+y 2−xy)−3xy =0，将x +y =−1代入，得−(x +y)2=0，即x +y =0，则方程组无解，故曲线D 与直线x +y =−1无公共点，③错误；联立{x 3+y 3−3xy =0y =k，可得x 3+k 3−3xk =0有解，设t(x)=x 3+k 3−3xk ，则t′(x)=3x 2−3k =3(x −√k)(x +√k)，当k >0时，t(x)在(−∞,−√k),(√k,+∞)单调递增， (−√k,√k)单调递减，值域为R ，所以t(x)=0成立，当k =0时，t(0)=0成立；当k <0时，t′(x)=3x 2−3k >0，t(x)单调递增， t(−k)=−k 3+k 3+3k 2>0，t(k)=k 3+k 3−3k 2<0，所以∃x 0∈(k,−k)，t(x 0)=0成立，所以曲线D 与直线y =k 一定有公共点，故④选项正确．故答案为：①②④．当x ，y <0时，判断x 3+y 3−3xy =0是否成立；将点(y,x)代入方程，判断与原方程是否相同；联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解，再逐一判断结论即可．本题主要考查曲线与方程和命题的真假判断与应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)定义域为R ，f′(x)=x 2−2x −3=(x +1)(x −3)，f′(x)>0⇒x <−1或x >3，f′(x)<0⇒−1<x <3，故f(x)的单调递减区间为(−1,3)，单调递增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)； (Ⅰ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，故f(x)min =f(3)=−8，由f(0)=1>f(4)=−173，故f(x)max =1. 【解析】(Ⅰ)求出导数，判断导数的符号解决问题； (Ⅰ)求出当x ∈[0,4]时f(x)的单调性，即可求出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则d=a5−a15−1=9−14=2，∴a n=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N∗，S n=n⋅1+n(n−1)2⋅2=n2.(Ⅰ)方案一：选择条件①由(Ⅰ)，可得b n=2a n=22n−1=2⋅4n−1，则数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，∴T n=2(1−4n)1−4=2(4n−1)3.方案二：选择条件②由(Ⅰ)，可得b n=2n+a n=2n+(2n−1)，则T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n=(21+a1)+(22+a2)+⋅⋅⋅+(2n+a n)=(21+22+⋅⋅⋅+2n)+(a1+a2+⋅⋅⋅+a n)=21−2n+11−2+S n=2n+1−2+n2=2n+1+n2−2.方案三：选择条件③由(Ⅰ)，可得b n=1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12⋅(12n−1−12n+1)，则T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n=12⋅(1−13)+12⋅(13−15)+⋅⋅⋅+12⋅(12n−1−12n+1)=12⋅(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=12⋅(1−12n+1)=n2n+1.【解析】(Ⅰ)先设等差数列{a n}的公差为d，再根据等差数列的定义计算出公差d的值，即可计算出等差数列{a n}的通项公式及S n；(Ⅰ)在选择条件①的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式并进行转化，即可发现数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和T n；在选择条件②的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前n项和T n；在选择条件③的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和T n.本题主要考查数列求通项公式，以及求前n 项和问题．考查了转化与化归思想，等差数列和等比数列求和公式的运用，分组求和法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵PA =PB =3，点O 为AB 的中点，∴PO ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CD.(Ⅰ)取线段CD 的中点E ，OE =2，OE//BC ，∵∠ABC =90∘，∴AB ⊥BC ，AB ⊥OE ，由(1)知，PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0,0)，A(−1,0,0)，P(0,0,2√2)，D(−1,3,0)， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2√2)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3,0)，设平面POD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +3y =0，令x =3，得m ⃗⃗⃗ =(3,1,0)，取平面APO 的法向量为n ⃗ =(0,1,0)，所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√10×1=√1010，因为二面角A −PO −D 的平面角为锐角，所以二面角A −PO −D 的余弦值为√1010.(Ⅰ)设侧棱PC 上存在点M ，使得BM//平面POD ，此时CM CP=λ，因为C(1,1,0)，所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2√2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−λ,2√2λ)，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−λ+1,2√2λ)，因为BM//平面POD ，m ⃗⃗⃗ =(3,1,0)为平面POD 的一个法向量，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−3λ−λ+1=0，解得λ=14，因此侧棱PC 上存在点M ，当CM CP =14时，满足BM//平面POD.【解析】(Ⅰ)根据点O 为AB 的中点，得到PO ⊥AB ，结合平面PAB ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥平面ABCD ，由此证明PO ⊥CD ；(Ⅰ)取线段CD 的中点E ，以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法求出二面角A −PO −D 的余弦值；(Ⅰ)设侧棱PC 上存在点M 且CMCP =λ，使得BM//平面POD ，求出BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，解出λ，由此即可得到在侧棱PC 上存在点M ，当CMCP=14时，满足BM//平面POD.本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得2a =4，即a =2，将P 点的坐标代入椭圆的方程可得14+34b2=1，解得b 2=1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅰ)由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +4，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意可得A ，B 的纵坐标同号，假设存在N(t,0)，t ≠0，联立{x =my +4x 2+4y 2=4，整理可得：(4+m 2)y 2+8my +12=0，可得Δ=64m 2−4×12×(4+m 2)>0，即m 2>12，且y 1+y 2=−8m4+m 2，y 1y 2=124+m 2，设直线NA ，直线NB 与y 轴的交点分别为P ，Q ，设直线NA 的方程为：y =y 1x 1−t (x −t)，令x =0，可得y P =−ty1x 1−t ，同理可得直线NB 与y 轴的交点Q 的纵坐标为y Q =−ty2x 2−t ，由题意可得y P +y Q =0，即=−ty1x1−t+(−ty2x2−t)=0，整理可得：ty1(my2+4−t)+ty2(my1+t−4)，因为t≠0，即2my1y2+(4−t)(y1+y2)=0，即24m4+m2+(4−t)⋅(−8m)4+m2=0，整理可得：m(t−1)=0，t=1时不论m为何值，等式恒成立，即N(1,0)，所以存在N(1,0)满足条件．【解析】(Ⅰ)由题意可得a的值，再将点P的坐标代入椭圆的方程，可得b的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅰ)由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，设直线AN，BN的方程，令x=0，可得两条直线与y轴的交点的纵坐标，由题意可得所得的纵坐标之和为0，可得N点的坐标．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由a1=√2,a2=1,a n+2=|a n+1−a n|,n∈N∗可得，a3=|a2−a1|=√2−1,a4=|a3−a2|=2−√2,a5=|a4−a3|=3−2√2，a6=|a5−a4|=√2−1,a7=|a6−a5|=3√2−4，所以a4a1=√2√2=√2−1，a7a4=√2−42−√2=√2−1；证明：(Ⅰ)假设数列{a n}中有限个项不为0，则会存在一个数m，当n≥m时，a n=0，则a m=0，a m+1=0，由a m+1=|a m−a m−1|可得a m−1=0；由a m=|a m−1−a m−2|可得a m−2=0…由a3=|a2−a1|可得a1=0，与题意矛盾，故假设不成立，所以数列{a n}中有无穷多项不为0；证明：(Ⅰ)由(Ⅰ)可得在无穷处能找到一个a n≠0，因为a n=|a n−1−a n−2|，所以a n−1≠a n−2，所以由a n−1=|a n−2−a n−3|可得a n−3≠0，同理可得a n−6，a n−9，a n−12，⋯，a n−3k≠0(n−3k>0,k∈N)，当n−3k=1即n=1+3k时，因为k∈N，且a1≠0，所以数列{a3k+1}所有项都不为0，当n−3k=2即n=2+3k时，因为k∈N，且a2≠0，所以数列{a3k+2}所有项都不为0，当n−3k=3即n=3+3k时，因为k∈N，且a3≠0，所以数列{a3k+3}所有项都不为0，综上可得数列{a n}中的所有项都不为0.【解析】(Ⅰ)利用递推公式求a4，a7的值即可；(Ⅰ)假设数列{a n}中有限个项不为0，然后推出与题意矛盾即可求证；(Ⅰ)由(Ⅰ)可得在无穷处能找到一个a n≠0，利用递推公式可得数列{a n}呈周期变化，a n+3,a n+6,a n+9,a n+12,⋯,a n+3k≠0(k∈N2)，令n−3k=1，2，3即可证明．本题考查了数列递推式的应用，属于中档题．。

2024北京朝阳高二(上)期末历史试卷及答案

2024北京朝阳高二（上）期末历史2024.1（考试时间90分钟满分100分）第一部分（选择题共45分）本部分共15题，每题3分，共45分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1.“除了自由民和奴隶的差别以外，又出现了富人和穷人的差别——随着新的分工，社会又有了新的阶级划分。

”以下选项中，最接近恩格斯所描述的历史阶段的是A.兴隆洼遗址出土的石锄B.贾湖遗址出土的猪骨标本C.安阳妇好墓出土的铜铲D.乌尔王陵出土的铜斧头2.2002年出土的秦里耶简牍编号为8-461的木方中，“以较为拘谨朴拙正式的官方字体，保留着目前了解秦。

木方中透露出的“同”包括①文字的字形和使用②皇帝的名号和称谓③制度官职专属用语④各地方言异声土语A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3.由此可知政府A.重视技术的研发B.强化对市场的管理C.关注技能的传习D.严控产品制作程序4.魏晋南北朝是中华大地上各民族大迁徙、大交融的历史时期。

（魏主下诏）“北人谓土为拓、后为跋，魏之先出于黄帝，以土德王，故为拓跋氏。

夫土者，黄中之色，万物之元也；宜改姓元氏”“（孝文）帝……雅好读书，手不释卷。

‘五经’之义，览之便讲，学不师受，探其精奥。

史传百家，无不该涉，善谈《庄》《老》，尤精释义”。

此时的北魏①注重对中华文化的传承发展②通过追溯先祖明确王朝正统③改汉姓着汉服学习典章制度④结束了政权长期并存的局面A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④5.下列选项中，比较贴近材料观点的是钱之为体，有乾坤之象，内则其方，外则其圆。

其积如山，其流如川……亲之如兄，字曰‘孔方’，失之则贫弱，得之则富昌。

无翼而飞，无足而走，解严毅之颜，开难发之口。

钱多者处前，钱少者居后。

处前者为君长，在后者为臣仆……不如早归，广修农商，舟车上下，役使孔方。

凡百君子，同尘和光，上交下结，名誉益彰。

——西晋鲁褒《钱神论》A.爱财如命B.生财有道C.为富不仁D.轻财重义6.《______》继承了汉魏以来法律制定和阐释的经验，是中国现存最早、最为完整的封建法典，是中华法系确立的标志。

2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．已知圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C 的标准方程为（） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x +2）2+（y +3）2＝16C ．（x +2）2+（y +3）2＝4D ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝162．直线x +y +1＝0的倾斜角是（） A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π63．已知点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝1外，则直线ax +by ＝1与圆O 的位置关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．设圆M 的圆心为（3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆M 的方程为（） A ．（x +3）2+（y ﹣5）2＝32 B ．（x +3）2+（y +5）2＝32C ．x 2+y 2﹣6x +10y +2＝0D ．x 2+y 2﹣6x +10y ﹣2＝05．已知三点A （1，2，1）、B （1，5，1）、C （1，2，7），则（） A ．三点构成等腰三角形B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是（）A ．（1，﹣1，3）B ．（1，﹣1，﹣3）C ．（2，﹣3，6）D ．（﹣2，3，﹣6）7．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（）A ．√105B ．√155C ．45D ．238．已知椭圆x 2100+y 236=1上的一点P 到焦点F 1的距离为6，点M 是PF 1的中点，O 为坐标原点，则|OM |等于（） A ．2B ．4C ．7D ．149．短轴长为4√5，离心率为23的椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 1的弦为AB ，则三角形ABF 2的周长为（） A ．12√5B ．24C ．24√2D ．18√310．已知地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（） A ．ce ﹣cB ．2ce ﹣2cC ．ce −cD ．2c e−2c11．关于曲线C ：x 2﹣xy +y 2＝1有下列四个结论： ①曲线C 关于y 轴对称； ②曲线C 关于原点对称；③曲线C 上任意一点的横坐标不大于1； ④曲线C 上任意一点到原点的距离不超过√2．其中所有正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知（m ，n ）为直线x +y ﹣1＝0上的一点，则√m 2+n 2+√(m +2)2+n 2的最小值为（） A ．√10B ．2√3C ．4D ．3√2二、填空题（每题5分，共30分）13．经过点（﹣1，1）且与圆x 2+y 2﹣4y +2＝0相切的直线的一般方程为．14．已知直线l 1：ax +4y ﹣2＝0与直线l 2：2x ﹣5y +b ＝0互相垂直，垂足为（1，c ），则a +b +c 的值为． 15．已知向量a →=(x ，1，−1)，b →=(2，1，0)，|a →|=√2，则a →⋅b →= ．16．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是．17．如图，在四面体P ﹣ABC 中，M 在线段PC 上，满足PM ＝2MC ，N 是AB 的中点，D 是线段MN 上一点，且MD =13MN ，若PD →=xPA →+yPB →+zPC →，则x +y +z ＝．18．在棱长为1的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，给出下列命题： ①C ，M ，N ，Q 四点共面；②三棱锥A ﹣DMN 的体积与λ的取值有关； ③当∠QMC ＝90°时，λ＝0；④当λ=12时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的面积为√5+3√22．其中正确的有．（填写序号）．三、解答题（每题15分，共60分）19．（15分）已知直线l ：x ﹣y +1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）求过点（4，﹣1）且与圆C 相切的直线方程．20．（15分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥DB ，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又BO ＝2，PO =√2，PB ⊥PD ．（1）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值；（2）求二面角P ﹣AB ﹣C 的大小；（3）设点M 在棱PC 上，且PM MC=λ，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与椭圆x 25+y 22=1有相同的焦点，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的弦长度为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，若|AB |=85，求实数m 的值． 22．（15分）如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （1，0），且过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x ＝4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ．（ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上；（ⅱ）求△AMN 面积的最大值．2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．已知圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C 的标准方程为（） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x +2）2+（y +3）2＝16C ．（x +2）2+（y +3）2＝4D ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝16解：圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，所以圆的标准方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝42＝16，故选：D ．2．直线x +y +1＝0的倾斜角是（） A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6解：直线x +y +1＝0的斜率k ＝﹣1， ∴直线x +y +1＝0的倾斜角α=3π4．故选：C ．3．已知点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝1外，则直线ax +by ＝1与圆O 的位置关系是（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解：∵点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝1外，∴a 2+b 2＞1． ∴圆O ：x 2+y 2＝1的圆心O （0，0）到直线ax +by ＝1的距离d =1√a 2+b1．则直线ax +by ＝1与圆O 的位置关系是相交．故选：A ．4．设圆M 的圆心为（3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆M 的方程为（） A ．（x +3）2+（y ﹣5）2＝32 B ．（x +3）2+（y +5）2＝32C ．x 2+y 2﹣6x +10y +2＝0D ．x 2+y 2﹣6x +10y ﹣2＝0解：令圆C 的标准方程（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，因为圆M 的圆心为（3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆M 的半径r =|3−7×(−5)+2|√1+(−7)2=4√2，即r 2＝32，因此，圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y +5）2＝32，即x 2+y 2﹣6x +10y +2＝0；5．已知三点A （1，2，1）、B （1，5，1）、C （1，2，7），则（） A ．三点构成等腰三角形B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形解：∵三点A （1，2，1）、B （1，5，1）、C （1，2，7）， ∴AB =√(1−1)2+(2−5)2+(1−1)2=3， AC =√(1−1)2+(2−2)2+(1−7)2=6， BC =√(1−1)2+(5−2)2+(1−7)2=3√5， ∴AB 2+AC 2＝BC 2， ∴三点构成直角三角形．故选：B ．6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是（）A ．（1，﹣1，3）B ．（1，﹣1，﹣3）C ．（2，﹣3，6）D ．（﹣2，3，﹣6）解：设正方体的棱长为1，平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)．则A （1，0，0），E(1，1，13)，F(0，1，23)，所以AE →=(0，1，13)，EF →=(−1，0，13)，则{n →⋅AE →=y +13z =0n →⋅EF →=−x +13z =0，不妨取x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝3，故n →=(1，−1，3)．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（）A ．√105B ．√155C ．45D ．23解：取BC 的中点G ．连接GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角．在△OEH 中，OE =√3，HE =√52，OH =√52．由余弦定理，可得cos ∠OEH =√155．故选：B ． 8．已知椭圆x 2100+y 236=1上的一点P 到焦点F 1的距离为6，点M 是PF 1的中点，O 为坐标原点，则|OM |等于（） A ．2 B ．4 C ．7 D ．14解：∵椭圆x 2100+y 236=1中，a ＝10，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝20，结合|PF 1|＝6，得|PF 2|＝2a ﹣|PF 1|＝20﹣6＝14， ∵OM 是△PF 1F 2的中位线，∴|OM |=12|PF 2|=12×14＝7．故选：C ．9．短轴长为4√5，离心率为23的椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 1的弦为AB ，则三角形ABF 2的周长为（） A ．12√5B ．24C ．24√2D ．18√3解：已知椭圆的短轴长为4√5，离心率为23，则ca =√a 2−b 2a=√a 2−20a=23，即a ＝6，则三角形ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|＝4a ＝24．故选：B ．10．已知地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（） A ．ce ﹣cB ．2ce ﹣2cC ．ce −cD ．2c e−2c解：∵地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆，椭圆的长半轴长为2c e，∴则地球到太阳的最小距离为：12（2c e−2c ）=c e−c ．故选：C ．11．关于曲线C ：x 2﹣xy +y 2＝1有下列四个结论： ①曲线C 关于y 轴对称； ②曲线C 关于原点对称；③曲线C 上任意一点的横坐标不大于1； ④曲线C 上任意一点到原点的距离不超过√2．其中所有正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4解：不妨设曲线上一点A （x 0，y 0），此时x 02−x 0y 0+y 02=1，设A 关于y 轴对称的点为B （﹣x 0，y 0），将点B 代入曲线C 可得x 02+x 0y 0+y 02，随x 0变化x 02+x 0y 0+y 02的值不一定始终为1，故①错误；同理，设A 关于原点对称的点为B （﹣x 0，﹣y 0），将点B 代入曲线C 可得x 02−x 0y 0+y 02=1恒成立，故②正确；易知曲线方程y =x±√4−3x 22，可得−√43≤x ≤√43，令x =√43，可得43−√43y +y 2=1，解得y =√33，即曲线C 上有一点(2√33，√33)，故③错误；易知OA 2=x 02+y 02=1+x 0y 0≤1+x 02+y 022，整理得√x 02+y 02≤√2，故④正确．综上，结论正确的有②④．故选：B ．12．已知（m ，n ）为直线x +y ﹣1＝0上的一点，则√m 2+n 2+√(m +2)2+n 2的最小值为（） A ．√10B ．2√3C ．4D ．3√2解：设P （m ，n ）为直线x +y ﹣1＝0上的一点，则√m 2+n 2+√(m +2)2+n 2为点P （m ，n ）到原点O 和到点A （﹣2，0）的距离之和，即|PO |+|P A |．设O （0，0）关于直线x +y ﹣1＝0对称的点为B （a ，b ），则{a 2+b2−1=0b a=1，得{a =1b =1，即B （1，1）．易得|PO |＝|PB |，当A ，P ，B 三点共线时，|PO |+|P A |取到最小值，且最小值为|PO|+|PA|=|AB|=√10．故选：A ．二、填空题（每题5分，共30分）13．经过点（﹣1，1）且与圆x 2+y 2﹣4y +2＝0相切的直线的一般方程为 x +y ＝0 ．解：由x 2+y 2﹣4y +2＝0，可得x 2+（y ﹣2）2＝2，则圆心M （0，2），且点N （﹣1，1）在该圆上，k MN =1−2−1−0=1，则切线的斜率为﹣1，故所求的切线方程为y ﹣1＝﹣（x +1），即x +y ＝0．故答案为：x +y ＝0．14．已知直线l 1：ax +4y ﹣2＝0与直线l 2：2x ﹣5y +b ＝0互相垂直，垂足为（1，c ），则a +b +c 的值为 ﹣4 ．解：∵直线l 1与直线l 2互相垂直， ∴2a +4×（﹣5）＝0，解得a ＝10， ∴l 1：10x +4y ﹣2＝0， ∵垂足（1，c ）在l 1上， ∴10+4c ﹣2＝0，解得c ＝﹣2，再由垂足（1，﹣2）在l 2上可得2+10+b ＝0，解得b ＝﹣12，∴a +b +c ＝10﹣12﹣2＝﹣4 故答案为：﹣415．已知向量a →=(x ，1，−1)，b →=(2，1，0)，|a →|=√2，则a →⋅b →= 1 ．解：a →=(x ，1，−1)，|a →|=√x 2+1+1=√2，解得x ＝0，故a →=(0，1，−1)，a →⋅b →=(0，1，−1)⋅(2，1，0)=1．故答案为：116．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是（2，4]∪{43} ．解：直线kx ﹣y ﹣2＝0化成y ＝kx ﹣2，可得它必定经过点（0，﹣2），而曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1，可变形整理为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（x ≥1） ∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x ＝1右侧的部分设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k 1，又直线过点（1，0）由点（1，1）到直线kx ﹣y ﹣2＝0的距离d =⬚√k +1=1，解得k 1=43，当直线过点A （1，0）时直线斜率为k 2=−2−00−1=2，当直线过点C （1，2）时直线斜率为k =2+21−0=4，结合图形可得直线与曲线有一个公共点时k 的范围为（2，4]∪{43}故答案为：（2，4]∪{43}．17．如图，在四面体P ﹣ABC 中，M 在线段PC 上，满足PM ＝2MC ，N 是AB 的中点，D 是线段MN 上一点，且MD =13MN ，若PD →=xPA →+yPB →+zPC →，则x +y +z ＝79．解：在四面体P ﹣ABC 中，M 在线段PC 上，满足PM ＝2MC ，N 是AB 的中点，D 是线段MN 上一点，且MD =13MN ，则PD →=PN →+ND →=PN →+23NM → =PN →+23(PM →−PN →) =13PN →+23PM →=16(PA →+PB →)+49PC →=16PA →+16PB →+49PC →，又PD →=xPA →+yPB →+zPC →，则x +y +z =16+16+49=79．故答案为：79．18．在棱长为1的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，给出下列命题： ①C ，M ，N ，Q 四点共面；②三棱锥A ﹣DMN 的体积与λ的取值有关； ③当∠QMC ＝90°时，λ＝0；④当λ=12时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的面积为√5+3√22．其中正确的有 ①③ （填写序号）．解：对①，易知M ∈AC ，又AQ ∩NC ＝N ， ∴C ，M ，N ，Q 四点共面，∴①正确；对②，∵三棱锥A ﹣DMN 的体积等于三棱锥N ﹣ADM 的体积，又易知N 到底面的距离等于定值12，而△ADM 的面积一定，∴三棱锥A ﹣DMN 的体积为定值，∴②错误；对③，当∠QMC ＝90°时，根据三垂线定理易知Q 在底面的射影为D ， ∴Q 与D 1重合，∴λ＝0．∴C 正确；对④，当λ=12时，Q 为A 1D 1的中点，过Q 作QP ∥A 1C 1，且QP ∩D 1C 1＝P ，则易证QP ∥AC ，∴易得过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ ，又易知QP =√22，AC =√2，AQ ＝CP =√52，从而可得等腰梯形ACPQ 的高为2√2，∴截面等腰梯形ACPQ 的面积为12×(√22+√2)×2√2=98，∴④错误．故答案为：①③．三、解答题（每题15分，共60分）19．（15分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；（2）求过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程．解：（1）由圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0可得，圆心C（1，﹣2），半径r=√4+16+162=3，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+1＝0的距离为d=|1+2+1|√2=2√2＜r，所以直线l与圆C相交，直线l被圆C截得的弦长为2√r2−d2=2．（2）若过点（4，﹣1）的直线斜率不存在，则方程为x＝4，此时圆心C（1，﹣2）到直线x＝4的距离为4﹣1＝3＝r，满足题意；若过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线斜率存在，则设切线方程为y+1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣1＝0，则圆心到直线kx﹣y﹣4k﹣1＝0的距离为√k2+1=3，解得k=−43，所以切线方程为−43x−y+133=0，即4x+3y﹣13＝0，综上，过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程为x＝4或4x+3y﹣13＝0．20．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO＝2，PO=√2，PB⊥PD．（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（3）设点M在棱PC上，且PMMC=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．解：∵PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C （﹣1，0，0），D （0，﹣1，0），P （0，0，√2）．（1）∵PD →=(0，−1，−√2)，BC →=（﹣1，﹣2，0）， ∴|PD →|=√3，|BC →|=√5，PD →⋅BC →=2． ∴cos ＜PD →，BC →＞=PD →⋅BC →|PD →||BC →|=2√1515．故直线PD 与BC 所成的角的余弦值为cos(PD →，BC →)=PD →⋅BC →|PD →||BC →|=2√1515．（2）设平面P AB 的一个法向量，由于AB →=(−2，2，0)，AP →=(−2，0，√2)，由{n ⋅AB →=0n ⋅AP →=0，得{x =y z =√2x. 取n =(1，1，√2)，又易知平面ABCD 的一个法向量m ＝（0，0，1）， ∴cos ＜m ，n ＞=m⋅n |m|⋅|n|=√22．又二面角P ﹣AB ﹣C 不是钝角． ∴所求二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为45°（3）设M （x 0，0，z 0），由于P ，M ，C 三点共线，可得z 0=√2x 0+√2，① 若PC ⊥平面BMD 成立则必有OM ⊥PC ．∴(−1，0，−√2)⋅(x 0，0，z 0)=0． ∴x 0+√2z 0=0②由①②知x 0=−23，z 0=√23∴M =(−23，0，√23)．∴λ=PMMC =2．故λ＝2时，PC ⊥平面BMD ．21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与椭圆x 25+y 22=1有相同的焦点，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的弦长度为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，若|AB |=85，求实数m 的值．解：（1）根据题意可得{c 2=5−2=32b 2a =1a 2=b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）联立{y =x +mx 2+4y 2−4=0，可得5x 2+8mx +4m 2﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 1+x 2=−8m5x 1x 2=4m 2−45，且Δ＝80﹣16m 2＞0，∴m 2＜5， ∴|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√64m 225−16m2−165=4√2⋅√5−m 25=85，又m 2＜5，解得m 2＝3，∴m =±√3． 22．（15分）如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （1，0），且过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x ＝4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ．（ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上；（ⅱ）求△AMN 面积的最大值．解：（Ⅰ）由题设a ＝2，c ＝1，从而b 2＝a 2﹣c 2＝3，所以椭圆C 前方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）（i ）由题意得F （1，0），N （4，0）．设A （m ，n ），则B （m ，﹣n ）（n ≠0），m 24+n 23=1．①AF 与BN 的方程分别为：n （x ﹣1）﹣（m ﹣1）y ＝0， n （x ﹣4）+（m ﹣4）y ＝0．设M （x 0，y 0），则有n （x 0﹣1）﹣（m ﹣1）y 0＝0，② n （x 0﹣4）+（m ﹣4）y 0＝0，③ 由②，③得x 0=5m−82m−5，y 0=3n2m−5由于x 024+y 023=(5m−8)24(2m−5)2+3n 2(2m−5)2 =(5m−8)24(2m−5)2+3n 2(2m−5)2=(5m−8)2+12n 24(2m−5)2=(5m−8)2+36−9m 24(2m−5)2＝1所以点M 恒在椭圆G 上．（ⅱ）设AM 的方程为x ＝ty +1，代入x 24+y 23=1，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9＝0．设A （x 1，y 1），M （x 2，y 2），则有y 1+y 2=−6t 3t 2+4，y 1y 2=−93t 2+4． |y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√3⋅√3t 2+33t 2+4，令3t 2+4＝λ（λ≥4），则|y 1﹣y 2|=4√3⋅√λ−1λ=4√3√−(1λ−12)3+14，∵λ≥4，0＜1λ≤14，∴当1λ=14，即λ＝4，t＝0时，|y1﹣y2|有最大值3，此时AM过点F，△AMN的面积S△AMN=|FN||y1−y2|=32|y1−y2|有最大值92．。

北京市教育委员会关于公布20092010学年度教育事业统计工作优秀集体和优秀个人名单的通知

北京市教育委员会关于公布2009/2010学年度教育事业统计工作优秀集体和优秀个人名单的通知文章属性•【制定机关】北京市教育委员会•【公布日期】2010.07.19•【字号】京教函[2010]421号•【施行日期】2010.07.19•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】教育综合规定正文北京市教育委员会关于公布2009/2010学年度教育事业统计工作优秀集体和优秀个人名单的通知（京教函[2010]421号）各区县教委，各高等学校、普通中等专业学校：为加强基层教育事业统计队伍建设，鼓励广大基层统计人员的工作积极性，不断提高教育事业统计工作质量，根据市教委《关于开展2009/2010学年度教育事业统计工作质量评估的通知》（京教函〔2010〕190号）精神，我委组织专家对2009/2010学年度各区县、各高等学校和中等专业学校及其统计人员的教育事业统计工作质量进行了评估，分别评出50个优秀集体和50名优秀个人，现予公布（名单见附件）。

希望受到表彰的优秀集体和优秀个人，珍惜荣誉，戒骄戒躁，再接再厉，发挥模范带头作用，为进一步提高教育事业统计数据质量和公信力，不断提高统计分析水平，推动首都教育事业统计工作的创新发展做出新的贡献。

各教育事业统计部门和统计人员，要以此为契机，认真贯彻落实新统计法，积极推进教育事业统计工作的制度化、规范化和科学化发展，努力适应新形势和新任务的要求，不断提高教育事业统计能力，努力学习，勤于思考，大胆实践，不断提高本市教育事业统计工作水平，努力提供优质教育事业统计服务，不断提高信息咨询、管理监督和决策支持能力，为贯彻落实科学发展观，办好人民满意的教育做出新的贡献。

二〇一〇年七月十九日附件：2009/2010学年度北京市教育事业统计工作优秀集体和优秀个人名单优秀集体一等奖北京市东城区教育委员会北京市西城区教育委员会北京市朝阳区招生考试中心北京市丰台区教育委员会北京市房山区教育委员会北京交通大学北京理工大学北京科技大学北京林业大学北京中医药大学外交学院中国政法大学北京信息科技大学中国地质大学（北京）北京金隅科技学校二等奖北京市宣武区招生考试中心北京市海淀区教育委员会北京市通州区教育委员会北京市顺义区教育委员会北京市怀柔区教育委员会中国人民大学北京航空航天大学北京印刷学院北京建筑工程学院北京师范大学首都师范大学中国戏曲学院北京电影学院北京市东城区职工业余大学北京市商务科技学校北京市中医学校北京商贸学校三等奖北京市崇文区教育委员会北京市石景山教育委员会北京市门头沟区教育委员会北京市平谷区教育考试中心北方工业大学北京化工大学北京工商大学北京邮电大学首都医科大学北京语言大学首都经济贸易大学中央民族大学北京青年政治学院北京培黎职业学院首都联合职工大学北京卫生学校首都铁路卫生学校北京铁路电气化学校优秀个人一等奖北京市东城区教育委员会关英北京市西城区教育委员会朱奕慰北京市朝阳区招生考试中心刘嘉琦北京市房山区教育委员会郑磊北京市顺义区教育委员会李欣北京理工大学荣新岩北京科技大学于成文北京林业大学向文生北京中医药大学张兰芹外交学院袁媛中国戏曲学院曹建勇中国政法大学金林北京信息科技大学刘永林中国地质大学（北京）张丽北京金隅科技学校齐朝湘二等奖北京市崇文区教育委员会崔竞北京市宣武区招生考试中心贾维北京市丰台区教育委员会宋海燕北京市石景山区教育委员会彭山北京市通州区教育委员会姜宁北京市怀柔区教育委员会张立忠北京市平谷区教育考试中心李学永北京交通大学李丽丽北京印刷学院杨蕻首都医科大学王于英首都师范大学刘海龙中国青年政治学院王淑娟北京农业职业学院张海东北京市东城区职工业余大学许海培首都联合职工大学林梅首都铁路卫生学校李晓娟北京市中医学校李江三等奖北京市海淀区教育委员会焦东琴密云县教育委员会夏早顺中国人民大学吕艳北京航空航天大学赵轶姝北方工业大学王丹北京化工大学李洪飞北京工商大学刘菂北京师范大学周晓旭北京语言大学陈雪梅首都经济贸易大学田瑜北京电影学院刘砚彦北京联合大学特教学院XXX萍北京联合大学继续教育学院牟强北京培黎职业学院郭飞飞北京教育学院张艾北京市商务科技学校闫秀华北京铁路电气化学校丰艳北京商贸学校范学丽。

北京市四中高二上学期期中测试英语试卷

北京市四中2011-2012学年高二上学期期中测试数英语试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）第I 卷满分100分第一部分：听力测试（共20小题；每小题1分，满分20分）第一节听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A 、B 、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

1. How long can a book be kept in all?A. 2 weeks.B. 4weeks.C. 6 weeks.2. What was the match like?A. It is too terrible.B. It is full of fun.C. It is successful.3. What is probably the relationship between the speakers?A. Classmates.B. Teacher and student.C. Father and daughter.4. Where does this conversation most probably take place?A. In a kitchen.B. In a restaurant.C. In a furniture shop.5. Why couldn ’t the man help the woman?A. He thinks the woman can manage it herself.B. His mother didn ’t ask him to do that.C. He has got an appointment.第二节听下面4段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A 、B 、C 三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有5秒钟的时间阅读各小题。

2009学年第一学期高二英语期末抽测试卷

2009学年第一学期高二英语期末抽测试卷2009学年第一学期高二英语期末抽测试卷(90 minutes)第I 卷(共64分)I. Listening Comprehension (15%) Section ADirections: In Section A, you will hear five short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard. 1. A. Coke. B. Coffee. 2. A. By bus.B. By underground. 3. A. To tell him they are busy.C. To invite him to see a film. 4. A. The air is fresh.C. The window is open. 5.A. Employer and employee. C. Teacher and student.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard. Questions 6 through 8 are based on the following passage.6. A. He earned it by working for his neighbors. B. He asked his parents to give him some.C. His friends raised it from different people.D. His neighbor Mr. Clay offered him some. 7. A. He didn ?t take care of babies. C. He didn ?t feel proud of himself. 8.A. James?s true friends. C. James?s money problem.Questions 9 through 11 are based on the following passage.9. A. When he has eyes bigger than his stomach. C. When he sets eyes on the woman. 10. A. The apple of one?s eye. C. With stars in one?s eyes. 11. A. We should protect our eyes at any cost. B. Our eyes can tell a lot about our feeli ngs.C. Eyes are of great importa nee for people in love.D. It@ interesting watching people date （男女约会）C. Tea.D. Water. C. On foot. D. By bicycle B. To cancel the appointment. D. T o ask him to get film tickets. B. It?s hot inside.D. It?s noisy outside. B. Husband and wife. D. Patient and doctor.B. He didn ?t try to be independent. D. He didn ?t wash people?s cars. B. James?s new bicycle. D. James?s job business.B. When he gets hit between the eyes.D. When he turns eyes to the woman. B. Catch one?s eye.D. Believe one?s eyes.Section cDirections: In Sectio n C, you will hear a Ion ger con versati on. The con versati on will be read twice. After you hear the con versati on, you are required to fill in the nu mbered bla nks with the in formati on you have heard. Write your an swers on your an swer sheet.II. Grammar （15%）Directions: Ben eath each of the follow ing sentences there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one an swer that best completes the sentence.16. The world climate conferences, organized by the WMO, which stands ____________ World MeteorologicalOrgani zati on, are about global climate issues. A. for B. in C. on D. to 17. I had to buy _____ these dictionaries because I had no idea which one was the better. A. all B. none C. neither D. both 18. The boss has allowed me to take one more day off, so I _____ go to work tomorrow. A. need n?tB. should n?tC. must n?tD. can?t19. -- Mark has won the first prize in this year ? En glish speech con test of our school.--You must be kiddi ng! He was poor at En glish whe n we were classmates five years ago, ____ ? A. were we B. was he C. was n? he D. were n?t we 20. As a new driver, I am driving very carefully to avoid _____ into other cars on road.A. to bumpB. bump ingC. bumpD. bumped21. Dorothy, the main character of The Wonderful Wizard of Oz （绿野仙踪）,didn?t know which way ______ at afork in the road before meeting the straw man. A. taki ng B. to take C. take n D. take 22. My ski instructor told me to point the tips of my skis together _____ I could stop.A. in caseB. so thatC. untilD. while 23. Mary doesn?t eat much. She only drinks juice from fresh fruit _____ on her own farm for breakfast. A. pla nti ng B. being pla nted C. pla nted D. to pla nt 24. John spoke proudly of his part in the game, without mentioning _____ his teammateshad done.A. asB. whichC. thatD. what25. Twilight （暮光之城），a film based on a novel of the same name, is about __________ vampires （吸血鬼）.Surpris in gly, ____ senior high school stude nts love it. A. frightened; interesting B. frightening; interesting C. frightened; interested D. frightening; interested 26.___ Zhujiaqiao is only a small town, it ?s crowded with tourists both at home and abroad all year round. A. Although B. Since C. Unless D. OnceBlanks 12 through 15 are based on the following conversation.Complete the form. Write ONE WORD foreachanswer.27. ___ the first-class training, this teenage hurdler may one day grow into an international star like LiuXiang.A. GivenB. GiveC. To giveD. Giving28. Skipping classes, especially big lectures _____ an absence may not be noticed, is common among collegestudents.A. whoseB. whereC. whichD. when29. ___ any sign of their daughter ?s school, the anxious couple turned to a policeman for help.A. Seeing notB. Not to have seenC. Not seeingD. Having not seen30. People around the world were quite surprised that President Obama won the Nobel Peace Prize for 2009, some of even heldthe opinion that he should give it back.A. whichB. themC. thoseD. whomIII. Reading Comprehension（34% ）Section ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Fashion is a set of styles or customs that are popular for a time and then change. You get fashions in hairstyles, cars, buildings, music, even in eye glasses and curtains.However, the word fashion is most strongly ___31___ clothing. Each season skirts get shorter or longer, heels get higher or lower, black is __________________ 32 __ and then out, and fashion accessories （服装搭配物）such as bags,hats and make-up are fashionable one minute, and out-of-date the next.Fashion is not just about clothes. It often ___33___ society ?s ideals and values. For example, the appearance of ___34___ in Western fashion in the 1920s was a sign of women ?s fight for equal working opportunities with man. While a Western woman today can wear trousers whenever she likes, a hundred years ago, the idea of their wearing ___35___ instead of floor-length skirts or dresses was shocking.Standard（s 标准）in society ___36___ and often new standards are a reaction to what has gone ___37___. For example, the 1950s was a time of very strict, old-fashioned living in the West. This was a ___38___ to the terrible events of World War II （1939-1945）. Then the 1960s was a reaction to the 50s. Instead of __________________ 39 __ morals（道德）and family life, the 60s were a time of free love and open, wild ways.Eve n today, new fashi ons are ofte n a react ion to the old -if tight trousers were in fashi on the early seas on, it is ___40___ that loose trousers will be in fashion the next.31. A. interested in B. impressed with C. linked to D. qualified for32. A. in B. on C. up D. off33. A. reflects B. satisfies C. creates D. ruins34. A. fashion B. society C. trousers D. values35. A. that B. anything C. it D. everything36. A. stay B. change C. exist D. work37. A. down B. round C. over D. before38. A. reacti on B. way C. soluti on D. key39. A. public B. social C. traditi onal D. easy40. A. stra nge B. importa nt C. lovely D. likelySection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished stateme nts. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best accord ing to the in formati on give n in the passage you have just read.AI was i n a rush as always, but this time it was for an importa nt date I just could n?t be late for! I found myself at a checkout counter behind an elderly woman in no hurry as she paid for her groceries （食品杂货）.A PhD student with not a lot of money, I had hurried into the store to pick up some flowers.We were in Bost on, a place not always known for small con versati on betwee n stra ngers. The woma n stopped empty ing her basket and looked up at me. She smiled. It was a nice smile -warm and comfort ing -and I retur ned her gift by smiling back.“ Must be a special lad y, whoever it is that will be getting those beautiful flowers, ” she s “ Yes, she?s special, ” I said, and therptoismWhe words kept coming out.“ lt?s only our second date, but somehow I am just having the feeling she?s ,the one?” Jokingly, I added, “ The only problem is that I can?t figure out why she?d want to date a guy like me. ”“ Well, I think she?s very lucky to have a boyfriend who brings her such lovely flowers and who is obviously in love with her, ” the woman said. “ My husband used to bring me f lowers everyeweeken times were -tough and we didn?t have much money. Those were unbelievable days; he was very romantic and of course -I -misshim since he has passed away. ”I paid for my flowers as she was gathering up her groceries. Almost without any hesitation, I walked up to her. I touched her on the shoulder and said, “ Youwere right, you know. These flowers are in deed for a very special lady. ” I han ded her the flowers and tha nked her for such a nice con versatio n.It took her a mome nt to realize that I was givi ng her the flowers I had just bought . “ You have a won derful evening, ” I said. I left her with a big smile and my heawarmed as I saw her smelling the beautiful flowers.I was slightly late for my date that night and told my girlfriend the above story. A couple of years later, whenI fin ally worked up the courage to ask her to marry me, she told me it was that ni ght that I won her heart.41. What does the phrase her gift" refer to?A. Her smile.B. Her words.C. Her flowers.D. Her politeness.42. The writer gave his flowers to the elderly lady because she _____ .A. started the con versatio n firstB. gave him en courageme ntC. allowed him to pay firstD. liked the flowers very much43. Which of the following is TRUE according to the passage?A. The writer was origi nally quite sure about the reas on why his girlfrie nd was fond of him.B. The writer man aged to buy some flowers for his girlfrie nd on each date.C. People in Bost on did n ? always start small talk with some one they did n ? know.D. It took the writer a while to decide whether to give the elderly lady the flowers or not.44. What can be concluded from the passage?A. Flowers are importa nt for a date.B. Small con versatio n is helpful.C. Elderly people n eed respect ing.D. Love and kindn ess are reward ing.BOut of London ToursStratford, Oxford, Christ Church and the Cotswolds with Lunch Length of timeAbout 10 hoursThis tour starts at 8:45am and fini shes at around 6:30pmDescription* OxfordEnjoy the magnificence of Oxford! Well-known for over 900 years as a centre of academic excellenee. Follow in the footsteps of its famous stude nts, from Bill Cli nto n to Lewis Carroll. Un cover the uni versity tow n of Oxford at a leisurely and relax ing pace.* Christ ChurchLights, camera, actio n! A treat for all Harry Potter fans -see where many scenes from the films have bee nshot! Won der at the magnificence of Christ Church, in cludi ng the Great Hall which Hogwarts Hall is based upon.* CotswoldsDiscover the fascinating Cotswolds! Full of history andheritage （历史遗留物）,the Cotswolds is a charming comb in ati on of breathtak ing n atural beauty, busy market tow ns and sleepy villages.Lunch in the CotswoldsTreat yourself in a traditi onal En glish pub （酒卩巴）and admire the charm of this old wool tow n. The lunch will be taken in the Cotswolds village of Burford.* StratfordShakespeare's birthplaceA market town with a differenee! V isit Shakespeare?s Birthplace, the half-wooded house, where the world ? greatest writer was born, to gain a fasci nati ng in sight into his childhood.Anne Hathaway ' s CottageSatisfy yourself with an eye-opening experienee at the childhood home of William Shakespeare?swife! Wan der around the half-wooded house and its eye-catch ing surro undin gs.Price guideAdult: 7￡00Child （3-18）: 64.00Senior citize n / College stude nt: 69 ￡45. The Greens are planning to book the tour. They are Mr. and Mrs. Green, George Green, who is 15 years old, and Gran dpa, who is 70 years of age. How much will they pay?A. 296B. 286C. 281D. ￡7646. Si nee George is a big fan of magic, he will be very excited whe n visiti ng ____ .A. CotswoldsB. OxfordC. StratfordD. Christ Church47. Which of the following is NOT TRUE according to the leaflet?A. You may eat in the Cotswolds village of Burford and then buy a woolen scarf.B. You can book this tour as a Mother ?s Day gift for your mother in May 2010.C. Shakespeare and his wife were born in the same town called Stratford.D. Oxford Uni versity has a long history of more tha n 900 years.48. Which of the following CANNOT be used to replace “bisurely" in the leaflet?A. hurriedB. gen tleC. easyD. un rushedCBeing conn ected to the Internet has become a n ecessary part of moder n life. Some people actually n eed it as they cannot do their jobs without it, and others simply feel they n eed it as they canno t imagi ne life without it.To think that something that did not even exist 50 years ago has come to play a crucial role in our lives like this in just about 15 years makes one wonder -just what will the future bring?In 2004, a survey was con ducted in the US ask ing a group of tech no logy experts their opinions on the Internet in the next ten years. 57% of them agreed that virtual classes will be morewidely adopted in schools, allow ing stude nts to lear n with those at the same level and with in terests in the same subjects. It ?> quite possiblethat, by the year 2030, every child in every school will do all their schoolwork on their own laptop with all their textbooks available （现成可使用的）on the Internet. No more heavy books to carry around and no more pens and paper!At work, we already use email to deal with people both in side and outside our offices and video conferencing （电话会议）is occurri ng more freque ntly. This means that meet ings can be held betwee n offices in differe ntcoun tries without the trouble caused by bus in ess travel. Busin ess travel will stop to exist in the future, and so will offices as people all start to work from home.It has also become a trend for people to use pocket computers such as Blackberries. With this helpful equipme nt, people can send and receive emails, surf the Web, and read multimedia files from absolutely any where even if we are on a beach holiday.The Internet will have a revolutionary （突破性的）effect on entertainment in the future. Already we can buy and dow nl oad music and movies from the Internet but it is still possible for us to buy a CD or go to the DVD stores to rent the latest movies. However, it?squite possible that in the future, CD shops and DVD ren tal stores will close and cin emas will no Ion ger exist. En terta inment will become completely virtual although hopefully people will still want to get outside to play sports and en terta in themselves in more healthy ways.With the Internet we need only relax in the rocking chair. The Internet, however, has problems to be solved.49. The expression play a crucial role in" can be understood as :______ ".A. cha nge a dull role intoB. play an in teresti ng part inC. act a cruel character inD. have an importa nt effect on50. According to the passage people are satisfied with all the following changes EXCEPT that ________ .A. CD shops and cin emas will shut dow n as a result of the adoptio n of virtual en terta inmentB. virtual classes can make stude nts?dream of gett ing rid of their schoolbags come trueC. people can be kept in formed any time and any where with the help of convenient equipme ntD. people won ? have to make bus in ess travel any more tha nks to the video conference51. What will the writer probably discuss after the last paragraph?A. The possible school life in the future.B. Bad effects the Internet can have on us.C. More excitements the Internet will bring us.D. The likely ways to solve the problems.52. What is probably the best title for the passage?A. Virtual reality, our best friend!B. Goodbye, textbooks and offices!C. What will future life be like with the In ternet?D. How can huma n beings deal with the In ternet?第II卷(共36分)I. Vocabulary ( 6% )Directions: Complete the following passage by using thewords in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need. Please write letters from A to G representing different words on your an swer sheet.A. fearB. grewC. seriousD. feverE. prefere neeF. swept G fitDo ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- you believe a sn eeze in the morni ng can kill you in the after noon? This happe ned in 1918 whe n a deadly form of in flue nza (流感) ________________ 1 _ across the world. Even remote places like Raigili? s village in Alaska were affected. This__ 2 __ d isease killed about 20 to 40 millio n people worldwide, more tha n the Black Death or World War I.The origi n of this in flue nza, flu for short, is not exactly known. After World War I, in fected (受感染的) soldiers carried the disease from the battlefields to their home countries. It started as a simple case of flu, but 3 steadily worse un til it was deadly, and there was n early no place in the world where one could escape it.Spanish Flu had an unusual __ 4 __ in its choice of victims (受害者) —it hunted the young and healthy.Imagi ne a uni versity stude nt who was _ 5 __ and strong. He would no tice a dull headache, develop a ___ 6 __and go home to bed. His muscles would ache and his throat would hurt. His face would slowly tur n a dark purple and he would start to cough up blood. His feet would turn black. Fin ally,he would madly gasp for breath and die -by drowning, actually -as his lungs filled with a reddish liquid.II. Verbs ( 5% )Directions: Complete the followi ng sentences with the proper forms of the give n verbs.1. If time ______ , I will visit an old friend of mine during my stay in Beijing. (permit)2. _____ his En glish, the boy watches En glish n ews on CCTV9 every day. (improve)3. The young girl from An Hui Provi nee ________ Shan ghai dialect (上海话)for two mon ths but still cannotun dersta nd it. (lear n)4. After his retireme nt, the former preside nt lived in his hometow n, ____ the peaceful country life. (enjoy)5. When Bill failed the test, he was en couraged by his pare nts in stead of ____ . (puni sh)III. Translation ( 15% )Directions: Tran slate the followi ng sentences into En glish, using the words give n in the brackets.1. 她对流行歌曲并不着迷。

2022-2023学年北京市朝阳区高二(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．经过A （﹣2，0），B （﹣5，3）两点的直线的斜率是（） A ．1B ．﹣1C ．±1D ．−322．已知向量a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（） A ．a →⊥c →，b →⊥c →B ．a →∥b →，a →⊥c →C ．a →∥c →，a →⊥b →D ．以上都不对3．若两条直线ax +2y ﹣1＝0与3x ﹣6y ﹣1＝0互相垂直，则a 的值为（） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣14．直线y ＝x ﹣2与圆O ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |＝（） A ．2B ．2√2C ．2√3D ．45．已知两圆分别为圆C 1：x 2+y 2＝49和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +9＝0，这两圆的位置关系是（） A ．相离B ．外切C ．内含D ．相交6．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点D 是棱AC 的中点，若OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则BD →等于（）A ．−a →+b →−c →B ．a →−b →+c →C ．12a →−b →+12c →D ．−12a →−b →−12c →7．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ，b ＞0)的一条渐近线方程为y =√3x ，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（） A ．x 22−y 26=1 B ．x 26−y 22=1C ．x 2−y 23=1 D ．y 2−x 23=18．已知直线l ：x +y +t ＝0，曲线C ：y =√x 2−4，则“l 与C 相切”是“t ＝2√2”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知坐标原点到直线l 的距离为2，且直线l 与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝49相切，则满足条件的直线l 有（）条 A ．1B ．2C ．3D ．410．已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（） A ．x 22+y 2=1 B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 23=1 D ．x 25+y 24=1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知向量a →=(0，2，1)，b →=(−1，1，−2)，则|a →−2b →|= ． 12．已知双曲线x 24−y 2＝1，则其渐近线方程为，离心率为．13．已知直线x +ay ﹣1＝0和直线ax +4y +2＝0互相平行，则a 的值为．14．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4与直线l ：y ＝k （x +1），则圆心C 的坐标为，若圆C 关于直线l 对称，则k ＝．15．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC （填“垂直”或“不垂直”）；△AEF 的面积的最大值为．16．已知点P （2，0）和圆O ：x 2+y 2＝36上两个不同的点M ，N ，满足∠MPN ＝90°，Q 是弦MN 的中点，给出下列四个结论： ①|MP |的最小值是4； ②点Q 的轨迹是一个圆；③若点A （5，3），点B （5，5），则存在点Q ，使得∠AQB ＝90°； ④△MPN 面积的最大值是18+2√17．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共5题，共70分）17．（14分）已知点A （1，3），B （3，1），C （﹣1，0），求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程；（3）三角形ABC 的面积．18．（14分）已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．19．（14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段BB 1的中点．（1）求证：BC 1∥平面AED 1；（2）求点A 1到平面AED 1的距离；（3）直线AA 1与平面AED 1所成角的正弦值．20．（14分）如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是PC ，AB 的中点，且P A ＝AB ＝2AD ．（1）求证：MN ⊥CD ；（2）平面P AB 和平面MAB 所成角的余弦值；（3）在线段AD 上是否存在一点G ，使GM ⊥平面PBC ？若不存在，说明理由；若存在，确定点G 的位置．21．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （1，0），离心率为√22．直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．经过A （﹣2，0），B （﹣5，3）两点的直线的斜率是（） A ．1B ．﹣1C ．±1D ．−32解：由题意可知过A （﹣2，0），B （﹣5，3）两点的直线的斜率k =0−3−2−(−5)=−1．故选：B ．2．已知向量a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（） A ．a →⊥c →，b →⊥c →B ．a →∥b →，a →⊥c →C ．a →∥c →，a →⊥b →D ．以上都不对解：∵a →=（﹣2，﹣3，1），b →=（2，0，4），c →=（﹣4，﹣6，2）， ∴a →⋅b →=−4+4=0，c →=2a →， ∴a →∥c →，a →⊥b →．故选：C ．3．若两条直线ax +2y ﹣1＝0与3x ﹣6y ﹣1＝0互相垂直，则a 的值为（） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣1解：∵两条直线ax +2y ﹣1＝0与3x ﹣6y ﹣1＝0互相垂直， ∴a ×3+2×（﹣6）＝0，求得a ＝4，故选：A ．4．直线y ＝x ﹣2与圆O ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |＝（） A ．2B ．2√2C ．2√3D ．4解：圆x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径r 为2，可得圆心到直线y ＝x ﹣2的距离为d =|−2|√2=√2，可得弦长为2√r 2−d 2=2√4−2=2√2，故选：B ．5．已知两圆分别为圆C 1：x 2+y 2＝49和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +9＝0，这两圆的位置关系是（） A ．相离B ．外切C ．内含D ．相交解：圆C 1：x 2+y 2＝49，圆心为C 1（0，0），半径为r 1＝7，圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +9＝0，即（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，圆心为C 2（3，4），半径为r 2＝4， |C 1C 2|＝5，则|r 1﹣r 2|＜|C 1C 2|＜|r 1+r 2|，故这两圆的位置关系是相交．故选：D ．6．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点D 是棱AC 的中点，若OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则BD →等于（）A ．−a →+b →−c →B ．a →−b →+c →C ．12a →−b →+12c →D ．−12a →−b →−12c →解：由题意在三棱锥O ﹣ABC 中，点D 是棱AC 的中点，若OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，可知：BD →=BO →+OD →，BO →=−b →，OD →=12OA →+12OC →=12a →+12c →，BD →=12a →−b →+12c →．故选：C ． 7．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ，b ＞0)的一条渐近线方程为y =√3x ，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（） A ．x 22−y 26=1 B ．x 26−y 22=1C ．x 2−y 23=1D ．y 2−x 23=1解：由题可知双曲线的焦点在x 轴上，一条渐近线方程为y =√3x ，所以有ba =√3，即b =√3a ，一个焦点坐标为（2，0），所以c ＝2，因为c 2＝a 2+b 2，所以可解得a =1，b =√3，所以双曲线的方程为x 2−y 23=1，故选：C ．8．已知直线l ：x +y +t ＝0，曲线C ：y =√x 2−4，则“l 与C 相切”是“t ＝2√2”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：对于曲线C ：y =√x 2−4，则y ≥0，所以y 2＝x 2﹣4，即x 24−y 24=1(y ≥0)，表示的曲线为双曲线的两支中x 轴以上的部分；双曲线的渐近线为y ＝±x ，当直线l ：x +y +t ＝0与渐近线x +y ＝0平行，当t ＝±2时，直线l 与曲线相切，则“l 与C 相切”是“t ＝2√2”的既不充分也不必要条件条件．故选：D ．9．已知坐标原点到直线l 的距离为2，且直线l 与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝49相切，则满足条件的直线l 有（）条 A ．1B ．2C ．3D ．4解：显然直线l 有斜率，设l ：y ＝kx +b ，则√k 2+1=2，即b 2＝4（k 2+1），…①又直线l 与圆相切，∴√k 2=7，…②联立①②，k =−34，b =−52，所以直线l 的方程为y =−34x −52，故选：A ．10．已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（） A ．x 22+y 2=1 B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 23=1D ．x 25+y 24=1解：由题意设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m ，由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m =a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点，令∠OAF 2＝θ（O 为坐标原点），则sinθ=1a，在等腰三角形ABF 1中，cos2θ=a 23a 2=13，所以13=1−2(1a)2，得a 2＝3，又c 2＝1，所以b 2＝a 2﹣c 2＝2，椭圆c 的方程为x 23+y 22=1．故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知向量a →=(0，2，1)，b →=(−1，1，−2)，则|a →−2b →|= √29 ．解：∵a →=(0，2，1)，b →=(−1，1，−2)，∴a →−2b →=（0，2，1）﹣（﹣2，2，﹣4）＝（2，0，5）， ∴|a →−2b →|=√22+02+52=√29．故答案为：√29． 12．已知双曲线x 24−y 2＝1，则其渐近线方程为 y =±12x ，离心率为√52．解：双曲线的标准方程得：x 24−y 2=1，∴a ＝2，b ＝1，∴c 2＝a 2+b 2＝5，∴c =√5∴则其渐近线方程为 y =±12x ，离心率：√52，故答案为：y =±12x ；√52．13．已知直线x +ay ﹣1＝0和直线ax +4y +2＝0互相平行，则a 的值为 2 ．解：因为直线x +ay ﹣1＝0与直线ax +4y +2＝0平行，所以4﹣a 2＝0，所以a ＝±2，当a ＝﹣2时，两直线方程分别为x ﹣2y ﹣1＝0，﹣2x +4y +2＝0，此时两直线重合，不符合题意，所以a ＝2．故答案为：2．14．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4与直线l ：y ＝k （x +1），则圆心C 的坐标为（1，2），若圆C 关于直线l 对称，则k ＝ 1 ．解：由圆C 的标准方程可得圆心坐标为（1，2）；因为圆C关于直线l对称，所以圆心在直线l上，∴2＝k（1+1），解得k＝1．故答案为：（1，2），1．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC垂直（填“垂直”或“不垂直”）；△AEF的面积的最大值为√3．解：因为P A⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC，又底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又AB∩P A＝A，AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB，因为AE⊂平面P AB，所以BC⊥AE，又P A＝AB＝2，所以△P AB为等腰直角三角形，且E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，又BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥与平面PBC．因为AE⊥平面PBC，EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，所以当EF最大时，△AEF的面积的最大，当F位于点C时，EF最大且EF=√EB2+BC2=√6，所以△AEF的面积的最大为12×√2×√6=√3．故答案为：垂直；√3．16．已知点P （2，0）和圆O ：x 2+y 2＝36上两个不同的点M ，N ，满足∠MPN ＝90°，Q 是弦MN 的中点，给出下列四个结论： ①|MP |的最小值是4； ②点Q 的轨迹是一个圆；③若点A （5，3），点B （5，5），则存在点Q ，使得∠AQB ＝90°； ④△MPN 面积的最大值是18+2√17．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．解：点M 在圆O ：x 2+y 2＝36上，设M （6cos θ，6sin θ），则|MP|=√(6cosθ−2)2+(6sinθ)2=√40−24cosθ，当cos θ＝1时，|MP |取得最小值，最小值为4，①正确；设点Q （x ，y ），则由题意得PQ 2＝QM 2＝OM 2﹣OQ 2，则（x ﹣2）2+y 2＝36﹣（x 2+y 2），整理得：（x ﹣1）2+y 2＝17，所以点Q 的轨迹是一个圆，②正确；以AB 为直径的圆，圆心为（5，4），半径为1，方程为：（x ﹣5）2+（y ﹣4）2＝1，下面判断此圆与点Q 的轨迹方程（x ﹣1）2+y 2＝17是否有交点，由于√(5−1)4+42=4√2＞√17+1，两圆相离，故不存在点Q ，使得∠AQB ＝90°，③错误；当PM ，PN 斜率分别为1和﹣1时，且点P ，M 在y 轴左侧，此时△MPN 为等腰直角三角形，面积最大，此时PQ =QM =QN =1+√17，(S △PMN )max =12×2×(1+√17)2=18+2√17，④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5题，共70分）17．（14分）已知点A （1，3），B （3，1），C （﹣1，0），求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程；（3）三角形ABC 的面积．解：（1）由B （3，1），C （﹣1，0），根据两点式，直线BC 方程为：y−11−0=x−33−(−1)，即x ﹣4y +1＝0；（2）由B （3，1），C （﹣1，0）知BC 中点D （1，12），则直线AD 方程为：x ＝1；（3）由于BC =√(3+1)2+(1−0)2=√17，点A 到直线BC 距离为：√12+42=√17，则三角形ABC 的面积为：12×√17×√17=5．18．（14分）已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．解：圆C 的半径为 |OC|=√32+42=5，从而圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25．（Ⅱ）解：作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ．在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3，所以|AD|=√|AC|2−|CD|2=4．所以|AB |＝2|AD |＝8．所以△ABC 的面积S =12|AB||CD|=12．19．（14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段BB 1的中点．（1）求证：BC 1∥平面AED 1；（2）求点A 1到平面AED 1的距离；（3）直线AA 1与平面AED 1所成角的正弦值．解：（1）证明：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段BB 1的中点， ∴AB ∥C 1D 1，且AB ＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形，∴BC 1∥AD 1，∵BC 1⊄平面AED 1，AD 1⊂平面AED 1，∴BC 1∥平面AED 1；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则A 1（0，0，2），A （0，0，0），D 1（2，0，2），E （0，2，1），则AA 1→=（0，0，2），AD 1→=（2，0，2），AE →=（0，2，1），设平面AED 1的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{AD 1→⋅n →=2x +2z =0AE →⋅n →=2y +z =0，取y ＝1，得n →=（2，1，﹣2），则点A 1到平面AED 1的距离为：d =|AA 1→⋅n →||AA 1→|⋅|n →|=43；（3）∵D （ 2，0，0），∴AD →=（2，0，0），设平面AED 的一个法向量m →=（a ，b ，c ），则AD {m →⋅AD →=2a =0m →⋅AE →=2b +c =0，取b ＝1，得m →=（0，1，﹣2），设直线AA 1与平面AED 1所成角为θ，则直线AA 1与平面AED 1所成角的正弦值为：sin θ=|AA 1→⋅m →||AA 1→|⋅|m →|=425=2√55． 20．（14分）如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是PC ，AB 的中点，且P A ＝AB ＝2AD ．（1）求证：MN ⊥CD ；（2）平面P AB 和平面MAB 所成角的余弦值；（3）在线段AD 上是否存在一点G ，使GM ⊥平面PBC ？若不存在，说明理由；若存在，确定点G 的位置．（1）证明：由题可以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝2AD ＝2，则M(1，12，1)，N(1，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，所以MN →=(0，−12，−1)，CD →=(−2，0，0)，因为MN →⋅CD →=0，所以MN →⊥CD →，即MN ⊥CD ；解：（2）易得平面P AB 的一个法向量为AD →=(0，1，0)，因为A(0，0，0)，B(2，0，0)，M(1，12，1)，则AB →=(2，0，0)，AM →=(1，12，1)，设平面MAB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{AB →⋅n →=0AM →⋅n →=0，即{2x =0x +12y +z =0，令y ＝2，则x ＝0，z ＝﹣1，即n →=(0，2，−1)，则cos ＜AD →，n →＞=AD →⋅n →|AD →|⋅|n →|=21×√5=2√55，由图可得平面P AB 和平面MAB 所成角为锐角，所以平面P AB 和平面MAB 所成角的余弦值为2√55．（3）设存在点G 满足AG →=λAD →(λ＞0)，则G （0，λ，0），所以GM →=(1，12−λ，1)，因为P （0，0，2），B （2，0，0），C （2，1，0），所以PB →=(2，0，−2)，BC →=(0，1，0)，因为GM ⊥平面PBC ，则{PB →⋅GM →=0BC →⋅GM →=0，即{2−2=012−λ=0，解得λ=12，所以存在点G ，使GM ⊥平面PBC ，此时G 在AD 中点．21．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （1，0），离心率为√22．直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．解：（Ⅰ）由题意可知，c ＝1，e =c a =√22， ∵a 2＝b 2+c 2，∴a =√2，b =1，∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0，则x 1+x 2=4k22k 2+1，∵M 为线段AB 的中点，∴x M=x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k 2k 2+1， ∴k OM =y M x M =−12k， ∴k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．（Ⅲ）若四边形OAPB 为平行四边形，则OA →+OB →=OP →，∴x P =x 1+x 2=4k22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k 2k 2+1， ∵点P 在椭圆上，∴(4k22k 2+1)2+2×(−2k 2k 2+1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22， ∴当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22．。

2023-2024学年北京十一中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京十一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题；共48分） 1．直线x ＝0的倾斜角为（） A ．0°B ．90°C ．180°D ．不存在2．已知空间向量m →=（3，1，3），n →=（﹣1，λ，﹣1），且m →∥n →，则实数λ＝（） A ．−13B ．﹣3C ．13D ．63．直线ax +2y ﹣1＝0与直线2x ﹣3y ﹣1＝0垂直，则a 的值为（） A ．﹣3B ．−43C ．2D ．34．点A （2，﹣3）关于点B （﹣1，0）的对称点A ′的坐标是（） A ．（﹣4，3） B ．（5，﹣6）C ．（3，﹣3）D ．（12，−32）5．已知椭圆x 2a 2+y 22=1的一个焦点为（2，0），则这个椭圆的方程是（）A ．x 24+y 22=1 B ．x 23+y 22=1C ．x 2+y 22=1D ．x 26+y 22=16．已知直线l 1经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直7．圆（x ﹣1）2+y 2＝2的圆心到直线x +y +1＝0的距离为（） A ．2B ．√2C ．1D ．√228．已知圆C 1：x 2+y 2−2x =0，圆C 2：x 2+y 2+4y =0，则这两个圆的位置关系为（） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切9．平面α的一个法向量为n →=(1，−√3，0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为（） A ．π6B ．π3C ．π4D ．5π610．已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为（） A ．7B ．6C ．5D ．411．已知椭圆M ：x 24+y 2＝1的上、下顶点为A ，B ，过点P （0，2）的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D （C 在线段PD 之间），则OC →•OD →的取值范围（） A ．（﹣1，16）B ．[﹣1，16]C ．（﹣1，134） D ．[﹣1，134）12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③二、填空题（共6小题；共30分）13．直线l ：y ＝x 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y ＝0相交A 、B 两点，则|AB |＝． 14．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则双曲线C 的焦距为． 15．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 29=1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为，△PF 1F 2的周长为．16．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均为4，N 是CC 1的中点．则点C 1到平面ABN 的距离为．17．l 1，l 2是分别经过A （1，1），B （0，﹣1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P 的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，P 的坐标为．三、解答题（共5小题：共72分）19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =5，c =6，cosA =45．（1）求a 的值；（2）求sin B 的值．20．（15分）已知直线l ：x ﹣y +1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）求过点（4，﹣1）且与圆C 相切的直线方程．21．（15分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．（1）证明：BE ⊥PD ；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求平面F AB 与平面ABD 所成角的余弦值．22．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率√22，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0），证明：∠OMA ＝∠OMB ．23．（15分）对于三维向量a k →=（x k ，y k ，z k ）（x k ，y k ，z k ∈N ，k ＝0，1，2，…），定义“F 变换”：a k+1→=F（a k →），其中，x k +1＝|x k ﹣y k |，y k +1＝|y k ﹣z k |，z k +1＝|z k ﹣x k |．记〈a k →〉＝x k y k z k ，||a k →||＝x k +y k +z k ．（1）若a 0→=（3，1，2），求〈a 2→〉及||a 2→||；（2）证明：对于任意a 0→，经过若干次F 变换后，必存在K ∈N *，使〈a K →〉＝0；（3）已知a 1→=（p ，2，q ）（q ≥p ），||a 1→||＝2024，将a 1→再经过m 次F 变换后，||a m →||最小，求m 的最小值．2023-2024学年北京十一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题；共48分） 1．直线x ＝0的倾斜角为（） A ．0°B ．90°C ．180°D ．不存在解：因为直线x ＝0与x 轴垂直，所以直线x ＝0的倾斜角为90°．故选：B ．2．已知空间向量m →=（3，1，3），n →=（﹣1，λ，﹣1），且m →∥n →，则实数λ＝（） A ．−13B ．﹣3C ．13D ．6解：∵m →∥n →，∴可设k m →=n →，∴{−1=3kλ=k −1=3k ，解得λ＝k =−13．故选：A ．3．直线ax +2y ﹣1＝0与直线2x ﹣3y ﹣1＝0垂直，则a 的值为（） A ．﹣3B ．−43C ．2D ．3解：∵直线ax +2y ﹣1＝0与直线2x ﹣3y ﹣1＝0垂直，∴2a +2×（﹣3）＝0，解得a ＝3 故选：D ．4．点A （2，﹣3）关于点B （﹣1，0）的对称点A ′的坐标是（） A ．（﹣4，3）B ．（5，﹣6）C ．（3，﹣3）D ．（12，−32）解：∵点A （2，﹣3）和A ′关于点B （﹣1，0）对称， ∴点A （2，﹣3）和A ′的中点为点B （﹣1，0），设点A ′的坐标为（x ，y ），由中点坐标公式可得{2+x2=−1−3+y 2=0，解得{x =−4y =3，故所求点A ′的坐标是（﹣4，3），故选：A ． 5．已知椭圆x 2a 2+y 22=1的一个焦点为（2，0），则这个椭圆的方程是（）A ．x 24+y 22=1 B ．x 23+y 22=1C ．x 2+y 22=1D ．x 26+y 22=1解：椭圆x 2a 2+y 22=1的一个焦点为（2，0），则椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2，因为b 2＝2，所以a 2＝b 2+c 2＝2+4＝6，所以椭圆的方程是x 26+y 22=1．故选：D ．6．已知直线l 1经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直解：由题意可得直线l 1的斜率k 1=−1−4−8−(−3)=1，又∵直线l 2的倾斜角为135°，∴其斜率k 2＝tan135°＝﹣1，显然满足k 1•k 2＝﹣1，∴l 1与l 2垂直故选：A ．7．圆（x ﹣1）2+y 2＝2的圆心到直线x +y +1＝0的距离为（） A ．2B ．√2C ．1D ．√22解：圆（x ﹣1）2+y 2＝2的圆心坐标为（1，0），则圆心到直线x +y +1＝0的距离为d =2=2=√2．故选：B ．8．已知圆C 1：x 2+y 2−2x =0，圆C 2：x 2+y 2+4y =0，则这两个圆的位置关系为（） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切解：根据题意，圆O 1：（x ﹣1）2+y 2＝1，圆心O 1（1，0），半径R ＝1，圆O 2：x 2+y 2+4y ＝0，即：x 2+（y +2）2＝4，圆心O 2（0，﹣2），半径r ＝2，圆心距|O 1O 2|=√5，有2﹣1＜√5＜2+1，则两圆相交；故选：C ．9．平面α的一个法向量为n →=(1，−√3，0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为（） A ．π6B ．π3C ．π4D ．5π6解：设y 轴与平面α所成的角的大小为θ， ∵在y 轴上的单位向量j →=（0，1，0），平面α的一个法向量为n →=(1，−√3，0)， ∴sin θ＝|cos ＜j →，n →＞||√31×√4|√32，∴θ=π3．故选：B ．10．已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为（） A ．7B ．6C ．5D ．4解：圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1的圆心C （3，4），半径为1， ∵圆心C 到O （0，0）的距离为5， ∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由∠APB ＝90°可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO =12AB ＝m ，故有m ≤6，故选：B ．11．已知椭圆M ：x 24+y 2＝1的上、下顶点为A ，B ，过点P （0，2）的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D （C 在线段PD 之间），则OC →•OD →的取值范围（）A ．（﹣1，16）B ．[﹣1，16]C ．（﹣1，134） D ．[﹣1，134）解：当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0，C （0，1），D （0，﹣1），此时OC →•OD →=−1；当直线斜率存在时，设斜率为k （k ≠0），则直线方程为y ＝kx +2，联立{y =kx +2x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0， Δ＝（16k ）2﹣48（1+4k 2）＝64k 2﹣48＞0，得k 2＞34． x 1+x 2=−16k 1+4k2，x 1x 2=121+4k2，∴y 1y 2＝（kx 1+2）（kx 2+2）＝k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=k 2⋅121+4k2+2k ⋅(−16k 1+4k2)+4=4(1−k 2)1+4k2．∴OC →•OD →=x 1x 2+y 1y 2=121+4k2+4−4k21+4k2=16−4k 21+4k2=−1+4k 2−171+4k2=−1+171+4k2．∵k 2＞34，∴1+4k 2＞4，0＜171+4k2＜174，则−1＜OC →⋅OD →＜134，综上，OC →•OD →的取值范围是[−1，134)．故选：D ．12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③解：将x 换成﹣x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；当x ＞0时，方程变为y 2﹣xy +x 2﹣1＝0，所以Δ＝x 2﹣4（x 2﹣1）≥0，解得x ∈（0，2√33]，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2﹣y ＝0，解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过（1，0），（1，1），根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1），故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x ＞0时，由x 2+y 2＝1+xy 得x 2+y 2﹣1＝xy ≤x 2+y 22，（当x ＝y 时取等）， ∴x 2+y 2≤2，∴√x 2+y 2≤√2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12×2×1=1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误．故选：C ．二、填空题（共6小题；共30分）13．直线l ：y ＝x 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y ＝0相交A 、B 两点，则|AB |＝ 4√2 ．解：因为直线l ：y ＝x 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y ＝0相交A 、B 两点，并且圆心为（1，3），半径为√10，所以弦心距为圆心到直线l 的距离为√2=√2，所以12AB =√(√10)2−(√2)2=2√2，所以AB ＝4√2；故答案为：4√2．14．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则双曲线C 的焦距为 4 ．解：由双曲线方程x 22−y 22=1，可得a 2＝2，b 2＝2，∴c 2＝a 2+b 2＝4，∴c ＝2，故焦距为4．故答案为：4．15．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 29=1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为45，△PF 1F 2的周长为 18 ．解：由已知可得e =√25−9√25=45，△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=2√25+2√25−9=18．故答案为：45；18．16．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均为4，N 是CC 1的中点．则点C 1到平面ABN 的距离为 √3 ．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：A （0，0，0），B(2√3，2，0)，C （0，4，0），C 1（0，4，4），N （0，4，2），∴AB →=(2√3，2，0)，AN →=(0，4，2)，C 1N →=(0，0，−2)，设平面ABN 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2√3x +2y =0n →⋅AN →=4y +2z =0，取n →=(√33，−1，2)，设点C 1到平面ABN 的距离为d 2，则d 2=|C 1N →⋅n →|n →||=−4433=√3．故答案为：√3．17．l 1，l 2是分别经过A （1，1），B （0，﹣1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是 x +2y ﹣3＝0 ．解：由题意可得，l 1，l 2间的距离最大时，AB 和这两条直线都垂直．由于AB 的斜率为 1+11−0=2，故直线l 1的斜率为−12，故它的方程是 y ﹣1=−12（x ﹣1），化简为 x +2y ﹣3＝0，故答案为：x +2y ﹣3＝0，18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P 的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，P 的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．解：设滚动后的圆的圆心为O '，切点为A （2，0），连接O 'P ，过O '作与x 轴正方向平行的射线，交圆O '于B （3，1），设∠BO 'P ＝θ，如图所示：∵⊙O '的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，∴根据圆的参数方程，得P 的坐标为（2+cos θ，1+sin θ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO 'P ＝2，可得θ=3π2−2，可得cos θ＝cos （3π2−2）＝﹣sin2，sin θ＝sin （3π2−2）＝﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P 的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），∴P 点的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）．三、解答题（共5小题：共72分）19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =5，c =6，cosA =45．（1）求a 的值；（2）求sin B 的值．解：（1）因为b =5，c =6，cosA =45，由余弦定理知：a 2=b 2+c 2−2bccosA =25+36−2×5×6×45=13，则a =√13；（2）由cosA =45且A ∈（0，π），则sinA =√1−cos 2A =35，又a sinA =b sinB ，所以sinB =bsinA a =5×35√13=3√1313． 20．（15分）已知直线l ：x ﹣y +1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）求过点（4，﹣1）且与圆C 相切的直线方程．解：（1）由圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0可得，圆心C （1，﹣2），半径r =√4+16+162=3，圆心C （1，﹣2）到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离为d =|1+2+1|√2=2√2＜r ，所以直线l 与圆C 相交，直线l 被圆C 截得的弦长为2√r 2−d 2=2．（2）若过点（4，﹣1）的直线斜率不存在，则方程为x ＝4，此时圆心C （1，﹣2）到直线x ＝4的距离为4﹣1＝3＝r ，满足题意；若过点（4，﹣1）且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为y +1＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k ﹣1＝0，则圆心到直线kx ﹣y ﹣4k ﹣1＝0的距离为√k 2+1=3，解得k =−43，所以切线方程为−43x −y +133=0，即4x +3y ﹣13＝0，综上，过点（4，﹣1）且与圆C 相切的直线方程为x ＝4或4x +3y ﹣13＝0．21．（15分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．（1）证明：BE ⊥PD ；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求平面F AB 与平面ABD 所成角的余弦值．解：（1）证明：AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建系如图，因为AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点，所以B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （1，1，1），因为BE →=(0，1，1)，PD →=(0，2，−2)，所以BE →⋅PD →=0，即BE →⊥PD →，所以BE ⊥PD ．（2）由（1）可得∵BC →=(1，2，0)，CP →=(−2，−2，2)，AC →=(2，2，0)，由F 为棱PC 上一点，设CF →=λCP →=(−2λ，−2λ，2λ)(0≤λ≤1)，故BF →=BC →+CF →=(1−2λ，2−2λ，2λ)(0≤λ≤1)，由BF ⊥AC ，得BF →⋅AC →=2(1−2λ)+2(2−2λ)=0，解得λ=34，即BF →=(−12，12，32)，设平面FBA 的法向量为n →=(a ，b ，c)，由{n →⋅AB →=0n →⋅BF →=0，得{a =0−12a +12b +32c =0，令c ＝1，则n →=(0，−3，1)，取平面ABD 的法向量i →=(0，0，1)，设平面F AB 与平面ABD 的平面角为α，由图可知α为锐角，所以cosα=|i →⋅n →||i →|⋅|n →|=110=√1010，故平面F AB 与平面ABD 的余弦值为√1010． 22．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率√22，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0），证明：∠OMA ＝∠OMB ．解：（Ⅰ）依题意，2b ＝2，e =c a =√22，a 2﹣b 2＝c 2，解得a =√2，b ＝c ＝1，椭圆C 的方程为x 22+y 2＝1；（Ⅱ）证明：由（1）知椭圆C 的右焦点为F （1，0），设直线l ：x ＝my +1，设直线l 与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立椭圆x 2+2y 2＝2，得（2+m 2）y 2+2my ﹣1＝0，Δ＝4m 2+4（2+m 2）＞0恒成立，y 1+y 2=−2m 2+m 2，y 1y 2=−12+m 2k AM +k BM =y 1x 1−2+y 2x 2−2 =y 1(x 2−2)+y 2(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=y 1(my 2−1)+y 2(my 1−1)(x 1−2)(x 2−2) =2my 1y 2−(y 1+y 2)(x 1−2)(x 2−2)，由2my 1y 2﹣（y 1+y 2）＝2m •（−12+m 2）﹣（−2m 2+m 2）＝0，可得k AM +k BM ＝0，则∠OMA ＝∠OMB ．23．（15分）对于三维向量a k →=（x k ，y k ，z k ）（x k ，y k ，z k ∈N ，k ＝0，1，2，…），定义“F 变换”：a k+1→=F （a k →），其中，x k +1＝|x k ﹣y k |，y k +1＝|y k ﹣z k |，z k +1＝|z k ﹣x k |．记〈a k →〉＝x k y k z k ，||a k →||＝x k +y k +z k ．（1）若a 0→=（3，1，2），求〈a 2→〉及||a 2→||；（2）证明：对于任意a 0→，经过若干次F 变换后，必存在K ∈N *，使〈a K →〉＝0；（3）已知a 1→=（p ，2，q ）（q ≥p ），||a 1→||＝2024，将a 1→再经过m 次F 变换后，||a m →||最小，求m 的最小值．解：（1）因为a 0→=(3，1，2)，a 1→=(2，1，1)，a 2→=(1，0，1)，所以〈a 2→〉=1×0×1=0，||a 2→||=1+0+1=2；（2）设M k ＝max {x k ，y k ，z k }（k ＝0，1，2⋯），假设对∀k ∈N ，〈a k+1→〉≠0，则x k +1，y k +1，z k +1均不为0，所以M k +1＞M k +2，即M 1＞M 2＞M 3＞⋯，因为M k ∈N ∗(k =1，2，⋯)，所以M 1≥M 2+1≥M 3+2≥⋯≥M 2+M 1+1+M 1，所以M 2+M 1≤−1，与M 2+M 1＞0矛盾，故假设不正确，综上，对于任意a 0→，经过若干次F 变换后，必存在K ∈N *，使〈a K →〉=0；（3）设a 0→=(x 0，y 0，z 0)，因为a 1→=(p ，2，q)(q ≥p)，所以有x 0≤y 0≤z 0或x 0≥y 0≥z 0，当x 0≥y 0≥z 0时，可得{p =x 0−y 02=y 0−z 0−q =z 0−x 0，三式相加得q ﹣p ＝2，又||a 1→||=2024，可得p ＝1010，q ＝1012，当x 0≤y 0≤z 0时，也可得p ＝1010，q ＝1012，于是a 1→=(1010，2，1012)，设a k →的三个分量为2，t ，t +2（t ∈N *）这三个数，当t ＞2时，a k+1→的三个分量为t ﹣2，2，t 这三个数，所以||a k+1→||=||a k →||−4，当t ＝2时，a k →的三个分量为2，2，4，则a k+1→的三个分量为0，2，2，a k+2→的三个分量为2，0，2，所以||a k+1→||=||a k+2→||=⋯=4，所以，由||a 1→||=2024，可得||a 505→||=8，||a 506→||=4，因为a 1→=(1010，2，1012)，所以任意a k →的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以a 505→的三个分量只能是2，2，4三个数， a 506→的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当m ＜505时，||a m+1→||≥8，当m ≥505时，||a m+1→||=4，所以m 的最小值为505．。

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为()A. B. C. D.2.已知数列的前n项和为，且，，则()A. B. C.1 D.33.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.若，则()A.2B.3C.4D.54.已知椭圆的焦点在x轴上，则m的取值范围是()A. B. C. D.5.如图，在四面体OABC中，，，点M在OC上，且，N为AB 的中点，则()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上.若，则的面积为()A.2B.4C.8D.97.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，且表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则()A.40B.80C.96D.1128.已知点P在由直线，和所围成的区域内含边界运动，点Q在x轴上运动.设点，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱上一动点.给出下列四个结论：①存在点F，使得平面；②直线EF与所成角的最大值为；③点到平面的距离为；④点到直线的距离为其中所有正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.410.过双曲线的右焦点F引圆的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知向量，，若与共线，则__________.12.双曲线的渐近线方程为__________.13.已知等差数列的前n项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点Q在圆上运动，当取最大值时，PQ 的长为__________.15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

北京市第十三中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题

北京市第十三中学2023-2024学年高二上学期期中测试数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、解答题
18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,,AB AC AA AB AC M N P ^===分别为11,,AB BC A B 的中点
(1)求证：BP P 平面1
C MN ；(2)求二面角1
C MN C --的余弦值.19．已知圆C 过原点O 和点()1,3A ，圆心在x 轴上.
(1)求圆C 的方程；
(2)直线l 经过点()1,1，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.
20．如图，四边形ABCD 为梯形，AB CD P ，四边形ADEF 为平行四边形．
(1)求证：CE ∥平面ABF ；
(2)若AB ^平面,,1,2ADEF AF AD AF AD CD AB ^====，求：
（ⅰ）直线AB 与平面BCF 所成角的正弦值；
（ⅱ）点D 到平面BCF 的距离．
21．如图，在长方体1111
ABCD A B C D -中，AD =1，12AB AA ==，H ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点.
答案第161页，共22页。

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北京市朝阳区2009-2010学年上学期高二年级期末综合练习化学试卷2009.12（考试时间：90分钟；满分：100分）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cl 35.5 Ca 40第一部分选择题（共50分）在下列各题的四个选项中，只有一个选项符合题意。

（每小题2分，共50分）1．苦精-S 是一种苦味剂（或厌恶剂），加入日用品和工业品中可以防止人或动物误食而引起中毒事件的发生。

苦精-S的分子式为C 28H 33N 3O 4S ，它属于A ．单质B ．氧化物C ．无机物D ．有机物 2．下列气体中，不溶于水且无色的是A ．Cl 2B ．NO 2C ．NOD ．SO 23．188O 可作为示踪原子来证实乙酸乙酯的反应过程。

188O 的原子核内中子数是A ．8B ．10C ． 18D ． 26 4．下列物质中，既含离子键又含共价键的是A ．NaClB ．CO 2C ．NaOHD ．N 2 5．下列物质中，不．属于．．电解质的是 A ．H 2SO 4 B ．CH 4 C ．KOH D ．Na 2SO 4 6．用下列金属制成的容器，常温下可以盛放浓硝酸的是 ① Fe ② Cu ③ AlA ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③ 7．下列元素中，属于第三周期的是A ．LiB ．FC ．PD ．Fe 8．合金具有许多优良的性能。

下列物质不属于．．．合金的是 A ．银 B ．钢 C ．硬铝 D ．青铜 9．下列物质中，既能与盐酸反应，又能与NaOH 溶液反应的是A ．SiB ．AlC ．Cl 2D ．Fe10．运输危险化学品的车辆上经常贴有警示标志。

运输汽油的油罐车上所贴的危险化学品标志是A B C D11．下列第ⅠA 族元素中，金属性最强的是A ．锂B ．钠C ．钾D ．铷12．下列各组物质中，互为同位素的是A ．O 2和O 3B ．126C 和 136CC ．CH 4和C 2H 6D ．CH 3C CH 33CH 3和13．在一定条件下，对于密闭容器中进行的可逆反应：N 2(g) + 3H 2(g) 2NH 3(g)，下列说法中，能说明该反应已经达到化学平衡状态的是A ．N 2、H 2、NH 3在密闭容器中共存B ．N 2、H 2、NH 3的浓度不再变化C ．N 2、H 2、NH 3的浓度相等D ．正、逆反应速率都等于零14．下列有关物质用途的说法中，正确的是① SO 2可用于漂白纸浆 ② SiO 2可用于制造光导纤维 ③ NH 3可用作制冷剂 ④氯气可用于消毒和制造漂白粉A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．都正确 15．下列物质中，不．能．发生水解反应的是 A ．油脂 B ．淀粉 C ．葡萄糖 D ．蛋白质 16．工业上常用电解法冶炼的金属是A ．NaB ． CuC ．AgD ．Fe 17．下列化学用语书写正确的是A ．氯原子的结构示意图B ．氨的电子式 HHH NC ．乙烯的结构简式C 2H 4D ．硫酸的电离方程式 H 2SO 4==2 H ++ SO 42－18．影响化学反应速率的因素很多，下列措施能使5% H 2O 2溶液分解的反应速率减小的是A ．升高温度B ．降低温度C ．使用MnO 2作催化剂D ．增大反应物浓度 19．在右图所示的原电池中，正极发生的反应及电极反应式是A ．还原反应； Cu 2++ 2e - Cu B ．氧化反应； Cu －2e - Cu2+C ．还原反应； 2H ++ 2e - H 2↑ D ．氧化反应； Zn －2e -Zn 2+20．下列反应中，属于取代反应的是A ．苯与浓硝酸反应制取硝基苯B ．乙烯使溴的四氯化碳溶液褪色C ．甲烷燃烧生成二氧化碳和水D ．乙醇与氧气反应制取乙醛21．下列反应中，属于吸热反应的是A．氢气燃烧反应B．镁和盐酸反应C．硫酸和氢氧化钠反应D．氢氧化钡晶体和氯化铵晶体反应22．下列关于安全事故的处理方法中，正确的是A．金属钠着火时，可用大量沙子扑灭B．大量氨气泄漏时，可用湿毛巾捂住口鼻，并尽量往高处去C．点燃氢气前要先验纯，点燃甲烷、乙烯前则无需验纯D．少量浓硫酸沾在皮肤上，立即用大量氢氧化钠溶液冲洗23．下列实验操作或方法不能．．达到实验目的的是24. 下列说法正确的是A．H2O 的摩尔质量是 18 gB．常温常压下，16 g CH4 含有10 mol e-C．常温常压下，11.2 L Cl2 所含的分子数为3.01×1023D．将5.85 g NaCl 溶于1 L 水中，所得溶液中NaCl的物质的量浓度为 0.1mol/L25．下列离子方程式不正确．．．的是A．钠与水反应：2Na+2H2O = 2Na++2OH－+H2↑B．金属铁与稀硫酸反应：2Fe+6H+ = 2Fe3+ + 3H2↑C．氢氧化钡与硫酸反应：Ba2+ + 2OH—+2H++SO42— = BaSO4↓+ 2H2OD．NaHCO3溶液与稀盐酸反应： HCO3－+H+ = CO2↑+ H2O草稿纸第二部分非选择题（共50分）一、必答题（共30分）1．（3分）铜与稀硝酸可发生反应：3Cu + 8HNO 3(稀) 3Cu(NO 3)2 + 2NO ↑+ 4H 2O 。

该反应中，作为氧化剂的物质是（填化学式），作为还原剂的物质是（填化学式）；若反应中生成了 1 mol NO ，则需消耗 mol HNO 3。

2．（3分）在① CH 3CH 2OH、②、③ CH 3COOH 三种有机物中，家庭中可用于除水垢的是____（填序号，下同），不溶于水的是，一定浓度的溶液可作为医用消毒剂的是____。

3．（4分）现有下列四种物质：① SO 2 ②NH 3 ③Na 2SO 4 溶液 ④Fe(OH)3胶体。

其中加入氯化钡溶液产生白色沉淀的是（填序号，下同），能使品红溶液褪色，加热后恢复原来颜色的是，能使湿润的红色石蕊试纸变蓝的是，当光束通过时，能观察到丁达尔效应的是。

4.（4分）钠和铝两种金属的单质及其化合物在生产、生活中有着广泛的应用。

请回答：（1）两种金属中，能与冷水发生剧烈反应的是，由此说明，钠的金属性比铝（填“强”或“弱”）。

（2）钠和铝的最高价氧化物对应水化物的碱性强弱比较 > （填化学式）。

（3）向氯化铝的溶液中逐滴加入NaOH 溶液，先产生白色沉淀，后沉淀溶解，得到无色透明溶液。

写出沉淀溶解时反应的离子方程式：。

5．（8分）某工厂的工业废水中含有Fe 3+、Cu 2+、SO 42—等离子，为了减少污染并变废为宝，工厂计划从该废水中回收金属铜并得到硫酸亚铁。

生产流程如下图所示（所加试剂均为过量）：（1）试剂①应该是，。

生反应的离子方程式为。

（2）步骤①、②、③中共同的分离提纯方法是，步骤③中还需要的分离提纯方法是。

（3）某同学为了验证长期放置的FeSO 4·7H 2O 固体是否变质，取少量该固体于试管中，加入少量蒸馏水，再滴入几滴溶液，若观察到，则证明该固体已经变质。

6．（8分）现有A 、B 、X 、Y 、Z 五种短周期元素，原子序数依次增大。

它们的性质或原子结构如下表：请回答：（1）X 元素在元素周期表中的位置是。

（2）Z 单质通入Y 的最高价氧化物对应水化物的溶液中，可以得到漂白液，相应反应的离子方程式为。

（3）化合物甲由A 和B 两种元素组成且质量比为3︰14。

甲与X 单质在催化剂、加热条件下发生的反应是工业上制取硝酸的基础，写出该反应的化学方程式。

（4）为证明Z 单质的氧化性比Br 2强，某同学设计如下实验。

请完成下面实验报告。

二、选答题（共20分。

请在以下两个模块试题中任选一个模块试题作答，若选答了多个模块的试题，以所答第一模块的试题成绩评分）《化学与生活》模块试题1．（4分）下表是某食品包装上的部分说明。

上表所列配料中，属于着色剂的是（填序号，下同），属于调味剂的是，富含油脂的是____富含淀粉的是。

2．（6分）维生素C 又称为抗坏血酸，在人体内有重要功能。

已知其结构简式如下：请回答：（1）维生素C 的分子式为。

若将（填水果或蔬菜名称）切碎捣烂，加水溶解提取其滤液，就能达到充分提取水果中的维生素C 的目的，这也说明维生素C （填“能”或“不能”）溶于水。

（2）某同学在实验室探究维生素C 的性质。

在试管中取少量淀粉溶液，滴加几滴稀碘水，观察到溶液变为色，再向试管中滴入维生素C 的溶液，发现原溶液颜色逐渐变浅。

该实验说明维生素C 具有性。

（3）该同学继续探究维生素C 在（2）中表现的性质，可选择的试剂是（填序号）。

①KI 溶液 ② 酸性KMnO 4溶液3.（10分）人类的生活离不开化学，拥有化学知识可以使人类生活得更加自信。

（1）材料是人类赖以生存和发展的重要物质基础。

①一般情况下，合金比组成它的成分金属硬度（填“大”或“小”）。

② 腐蚀是造成钢铁腐蚀的主要原因。

通常，在海水中行驶的轮船船身上装有一定数量的（填“锌”或“铜”）块来防止钢铁的腐蚀。

自行车的钢圈通常采用（填“涂油漆”或“镀Cr ”）防腐蚀。

（2）为了减少煤燃烧产生的SO 2对大气造成的污染，可向煤中加入适量石灰石。

石灰石与煤燃烧时产生的SO 2及空气中的O 2反应，生成CaSO 4和CO 2，写出该反应的化学方程式。

（3）合理选择饮食、正确使用药物和培养良好的生活习惯，是保证身心健康的重要方面。

①摄入酸性食物过多，容易导致血液偏酸，甚至形成“多酸症”，引起人体缺钙、血液粘度增大等，所以需要合理摄入酸性食物或碱性食物。

下列属于酸性食物的是（填字母）。

a 菠菜b 胡萝卜c 鸡蛋d 猪肉②抗酸药物的作用是中和胃里过多的盐酸。

某抗酸药的主要成分是碳酸钙，写出碳酸钙与盐酸反应的离子方程式：____。

若此抗酸药每片含碳酸钙0.50 g ，取此药一片研碎后与足量的盐酸反应，生成气体在标准状况下的体积为 mL 。

《有机化学基础》模块试题 1．（4分）现有下列5种有机物：① HCOOCH 3 ② CH 3COOH ③ CH 3—CH ＝CH 2 ④⑤（1）其中符合通式C n H 2n+2的是____（填序号，下同），与①互为同分异构体的是，与③互为同系物的是。

（2）用系统命名法给⑤命名，其名称为____。

2．（8分）现有下列4种有机物：①CH 3CH 2Br ② CH 3CH 2OH ③ CH 3CHO ④ OH（1）能与浓溴水反应生成白色沉淀的是（填序号，下同），能发生银镜反应的是，能发生水解反应的是。

（2）②发生消去反应的化学方程式是。

3．（8分）丁香酚是丁香花中的成分之一，是合成其他香料的原料。

它的结构简式为：请回答：（1）丁香酚的分子式为____。