江苏省重点中学2018—2019下学期高二数学(理科)期中考试试卷

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人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______；【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二下学期期中考试数学试卷及答案

2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页,包含单选题(第1题～第8题)、多选题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17～第22题)。

本卷满分150分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将答题卡交回。

2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整,笔迹清楚。

4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条符号等须加黑加粗。

5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸修正液、可擦洗的圆珠笔。

一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求的。

1.复平面内,复数z＝－3＋4i对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数f(x)＝x2－sinx在区间[0,π]上的平均变化率为A.1B.2C.π2D.π3.若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位),则|z|为D.54.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个5.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址,则不同的方法种数为A.34B.43C.A 43D.C 436.已知z 1,z 2∈C,|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1＋z 2|＝3,则|z 1－z 2|＝A.0B.1C.3D.27.若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上的任意一点,则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 A.2 B.22 C.12D.1 8.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一。

2018-2019学年辽宁省鞍山市高二第二学期期中数学(理科)试卷含解析

2018-2019学年高二第二学期期中（理科）数学试卷一、选择题1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．2xdx＝（）A．18B．9C．6D．33．命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为（）A．∃x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，2x＜x2C．∀x∈R，2x≥x2D．∀x∈R，2x≥x2 4．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝，则＝（）A．B．C．D．5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数6．如图：在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，P，Q，M分别是A1B1，BC，CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A．B．C．D．7．已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）A．B．6C．D．8．由xy＝1，y＝x，x＝3所围成的封闭区域的面积为（）A．2ln3B．2+ln3C．4﹣2ln3D．4﹣ln39．若z是复数，则“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知曲线C的方程为，给定命题p：若k∈（﹣∞，3），则曲线C为双曲线；命题q：若k∈（3，4），则曲线C是焦点在x轴上的椭圆．下列是真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）11．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）＜0，若a＝，b＝，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c12．设双曲线的右焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．二、填空题13．若直线2x﹣y+c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝．14．函数f（x）＝x2﹣7x﹣4lnx的最小值为．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为．16．当直线kx﹣y﹣k+1＝0（k∈R）和曲线E：y＝ax3+bx2+（ab≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，曲线E在点A点C处的切线总是平行的，则点（b，a）的坐标为．三、解答题17．观察下面四个等式第1个：第2个：第3个：第4个：（I）按照以上各式的规律，猜想第n个等式（n∈N*）（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想成立18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点．（1）求证：A1B⊥AM；（2）求二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．19．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦距为4离心率e＝，（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F，倾斜角为的直线l与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．20．设函数f（x）＝（2﹣x）（x+2）2，（Ⅰ）求f（x）的极大值点与极小值点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）＝c有三个不同零点，求c取值范围．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，经过点M（1，）（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C的长轴左右顶点，P，Q是椭圆C上的两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，若k2＝2k1，试判断直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由22．已知函数f（x）＝﹣lnx﹣x2+ax，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2＝0（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）＝+x2﹣2x﹣（e为自然对数的底数），证明；对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）+g（x）＜0参考答案一、选择题1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．2．2xdx＝（）A．18B．9C．6D．3【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步求出定积分的值．解：2xdx＝．故选：B．3．命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为（）A．∃x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，2x＜x2C．∀x∈R，2x≥x2D．∀x∈R，2x≥x2【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为：∀x∈R，2x≥x2．故选：D．4．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】由于＝+，，，代入化简即可得出．解：＝+，，，∴＝+＝，故选：D．5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．6．如图：在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，P，Q，M分别是A1B1，BC，CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A．B．C．D．【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设AA1＝AB＝AC＝2，则A（0，0，0），M（0，2，1），P（1，0，2），Q（1，1，0）．，．∴cos＜＞＝．∴直线PQ与AM所成的角是．故选：D．7．已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）A．B．6C．D．【分析】利用抛物线上的点到焦点距离＝到准线的距离，可得|PM|+|PF|＝|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离，即可得出结论．解：∵抛物线上的点到焦点距离＝到准线的距离，∴|PM|+|PF|＝|PM|+P到准线的距离≤M到准线的距离＝3+＝．∴|PM|+|PF|的最小值是，故选：D．8．由xy＝1，y＝x，x＝3所围成的封闭区域的面积为（）A．2ln3B．2+ln3C．4﹣2ln3D．4﹣ln3【分析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．解：由曲线xy＝1，直线y＝x，解得x＝±1．由xy＝1，x＝3可得交点坐标为（3，）．∴由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成封闭的平面图形的面积是S＝（x﹣）dx＝（x2﹣lnx）＝4﹣ln3．故选：D．9．若z是复数，则“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由复数的模的定义分析可得若“|z|＜1”，则a2+b2＜1，﹣1＜z＜1不一定成立，反之若﹣1＜z＜1，必有|z|＜1，据此分析可得答案．解：根据题意，若z是复数，设z＝a+bi，若“|z|＜1”，则a2+b2＜1，﹣1＜z＜1不一定成立，“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的不充分条件，若﹣1＜z＜1，即z是（﹣1，1）上的实数，必有|z|＜1，即“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的必要条件，故“|z|＜1”是“﹣1＜z＜1的必要不充分条件；故选：B．10．已知曲线C的方程为，给定命题p：若k∈（﹣∞，3），则曲线C为双曲线；命题q：若k∈（3，4），则曲线C是焦点在x轴上的椭圆．下列是真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【分析】利用双曲线与椭圆的定义判断p，q的真假，再判断复合命题的真假即可．解：∵曲线C的方程为，∴当k＜3时，（4﹣k）（k﹣3）＜0；故曲线C为双曲线；∴命题p为真命题，￢p为假命题；∵当曲线C是焦点在x轴上的椭圆，∴；∴3；∴命题q为假命题，￢q为真命题；∴p∧q为假命题，p∧（￢q）为真命题，（￢p）∧q为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题；故选：B．11．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）＜0，若a＝，b＝，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c【分析】可令g（x）＝，x＞0，然后对其求导，结合导数与单调性的关系可求g （x）的单调性，进而可比较大小．解：令g（x）＝，x＞0，因为：xf′（x）﹣f（x）＜0，则＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为sin3＜，所以g（sin3）＞g（ln2）＞g（20.2）．故a＞b＞c．故选：A．12．设双曲线的右焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标，由题意可得双曲线的c值，再由渐近线的方程设双曲线的方程，由c的值求出参数，进而可得双曲线的方程．解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为（4，0），所以由题意可得双曲线的c＝4，再由双曲线的渐近线的方程可得双曲线的方程：﹣＝1，λ＞0，由题意可得λ+3λ＝c2＝16，解得λ＝4，所以双曲线的方程为：﹣＝1；故选：B．二、填空题；共4小题，每小题5分，共20分13．若直线2x﹣y+c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝﹣4．【分析】利用直线与抛物线联立方程组，通过判别式为0求解即可．解：由题意可得：，可得x2﹣8x﹣4c＝0，直线2x﹣y+c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，可得△＝64+16c＝0，解得c＝﹣4．故答案为：﹣4．14．函数f（x）＝x2﹣7x﹣4lnx的最小值为﹣12﹣4ln4．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．解：∵f（x）＝x2﹣7x﹣4lnx，函数的定义域为：{x|x＞0}，∴f′（x）＝2x﹣7﹣，令f′（x）＝0，可得x＝4，函数在（0，4）单调递减，在（4，+∞）单调递增，∴x＝4时，函数取得最小值．最小值为：16﹣28﹣4ln4＝﹣12﹣4ln4．故答案为：﹣12﹣4ln4．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则可得∠C1BO为BC1与平面BBD1B1所成角，利用正弦函数，即可求得结论．解：连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2∴C1O⊥平面BDD1B1∴∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成角∵C1O＝A1C1＝，BC1＝∴sin∠C1BO＝＝＝故答案为：16．当直线kx﹣y﹣k+1＝0（k∈R）和曲线E：y＝ax3+bx2+（ab≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，曲线E在点A点C处的切线总是平行的，则点（b，a）的坐标为（﹣1，）．【分析】由题意可知直线恒过定点（1，1），由曲线在A，C处的切线平行，可得A，C 两点关于f（x）的对称中心对称，故B为f（x）的对称中心，由对称性，可得a，b的方程，求出a，b的值即可．解：∵曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，∴A，C两点关于f（x）的对称中心对称，故B为f（x）的对称中心，又直线kx﹣y﹣k+1＝0恒过点（1，1），∴f（x）的对称中心为（1，1），即B（1，1），∴a+b+＝1．①由y＝ax3+bx2+，可得y′＝3ax2+2bx，令y′＝3ax2+2bx＝0可得﹣＝2，②由①②可得a＝，b＝﹣1．即（b，a）的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．三、解答题；共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．观察下面四个等式第1个：第2个：第3个：第4个：（I）按照以上各式的规律，猜想第n个等式（n∈N*）（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想成立【分析】（I）由已知等式，观察等式的左边和右边，可得猜想++…+＝，n∈N*；（Ⅱ）运用数学归纳法证明，先检验n＝1成立，假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，再证n＝k+1，注意运用假设，以及因式分解，可得证明．解：（I）由第1个：，第2个：，第3个：，第4个：，可猜想，第n个等式（n∈N*）：++…+＝，n∈N*：（Ⅱ）数学归纳法证明：当n＝1时，＝，＝，等式成立；假设n＝k（k∈N*）时，++…+＝，k∈N*．当n＝k+1时，++…++＝+＝＝＝，可得n＝k+1时，++…+＝，n∈N*也成立，综上可得，对一切的n∈N*，++…+＝均成立．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点．（1）求证：A1B⊥AM；（2）求二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．【分析】（1）以C为原点，CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能证明A1B⊥AM．（2）求出平面AMC的一个法向量和平面BAM的法向量，由此利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小．【解答】（1）证明：以C为原点，CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），A（0，，0），，M（0，0，），＝（1，﹣，﹣），＝（0，﹣，），∵＝0+3﹣3＝0，∴A1B⊥AM．（2）解：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC，∴＝（1，0，0）是平面AMC的一个法向量，设＝（x，y，z）是平面BAM的法向量，＝（﹣1，，0），＝（﹣1，0，），∴，取z＝2，得＝（），∴cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小为45°．19．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦距为4离心率e＝，（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F，倾斜角为的直线l与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．【分析】（Ⅰ）有题意可得c及a，c的关系再由a，b，c自己的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得右焦点F的坐标，有题意求出直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出三角形的面积解：（Ⅰ）有题意可得：2c＝4，＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝2，b2＝2，所以双曲线的标准方程为：﹣＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得右焦点F（2，0），有题意可得直线l的方程为：x＝y+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与双曲线的方程：，整理可得y2﹣2y﹣3＝0，y1+y2＝2，y1y2＝﹣3，所以S△AOB＝•|y1﹣y2|＝＝＝2，所以△AOB的面积为2．20．设函数f（x）＝（2﹣x）（x+2）2，（Ⅰ）求f（x）的极大值点与极小值点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）＝c有三个不同零点，求c取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出导函数f'（x），利用导函数的正负得到函数f（x）的单调性，从而求出f（x）的极大值点与极小值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）函数f（x）的单调性即可得到函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）f（x）＝c有三个不同零点，等价于函数y＝f（x）与y＝c有三个交点，根据函数f（x）的极值和单调区间，画出函数f（x）的大致图象，即可得到c取值范围．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝（2﹣x）（x+2）2，x∈R，∴f'（x）＝﹣3x2﹣4x+4＝（x+2）（2﹣3x），令f'（x）＞0，解得﹣2＜x＜；令f'（x）＜0，解得x＜﹣2或x＞，∴函数f（x）在x＝处取得极大值，在x＝﹣2处取得极小值，∴极大值点为x＝，极小值点为x＝﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数f（x）在（﹣2，）上单调递增，在（﹣∞，﹣2）和（，+∞）上单调递减，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣2，），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，函数f（x）的极小值为f（﹣2）＝0，极大值为f（）＝，画出函数f（x）的大致图象，如图所示：，∵f（x）＝c有三个不同零点，∴函数y＝f（x）与y＝c有三个交点，由函数f（x）的图象可得：0＜c＜，∴c的取值范围为：（0，）．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，经过点M（1，）（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C的长轴左右顶点，P，Q是椭圆C上的两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，若k2＝2k1，试判断直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由【分析】（Ⅰ）由题意，利用离心率公式及待定系数法即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），AP的方程为y＝k1（x+2），联立椭圆方程，求得P的坐标；设Q（x2，y2），同理可得Q的坐标，讨论PQ是否垂直于x轴，结合直线的斜率公式和三点共线的性质可得所求定点．解：（Ⅰ）由题意得e＝＝，则a2＝4c2，则a2＝b2，将点（1，）代入椭圆方程+＝1，解得：b2＝3，a2＝4，∴所求的椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）设P（x1，y1），由已知可得AP的方程为y＝k1（x+2）代入椭圆方程可得3x2+4k12（x+2）2﹣12＝0，解得x1＝﹣2（舍去），或x1＝，进而y1＝k1（x+2）＝，即P（，），设Q（x2，y2），同理可得Q（，），故P的坐标为（，），当PQ⊥x轴时，即＝，解得k12＝，此时PQ的方程为x＝，与x轴交于（，0），记该点为N，当PQ不垂直于x轴时，即≠，则直线PN的斜率为＝，直线NQ的斜率为kQN＝＝，可得P，N，Q三点共线，则直线PQ恒过定点（，0）．22．已知函数f（x）＝﹣lnx﹣x2+ax，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2＝0（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）＝+x2﹣2x﹣（e为自然对数的底数），证明；对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）+g（x）＜0【分析】（Ⅰ）利用先将x＝1代入切线方程求出f（1），得切点坐标为（1，1），再代入y＝f（x）即可求出a；（Ⅱ）将f（x）+g（x）合并之后，先分离，容易看出前者取值在（0，1）之间，所以只需求出后者的最小值，1与后者最小值的差只要小于0即可．解：（Ⅰ）显然切点（1，f（1））在切线x+y﹣2＝0上，故f（1）＝1，由已知可得f（1）＝﹣ln1+a﹣1＝a﹣1＝1，所以a＝2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得f（x）＝﹣lnx+2x﹣x2，故f（x）+g（x）＝）＝﹣lnx﹣x2+2x++x2﹣2x﹣﹣1＝，显然，当x＞0时，恒成立，设，则，易知，当时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞0，所以，h（x）在上是减函数，在上是增函数，所以，，故对任意的x＞0，都有f（x）+g（x）＜1﹣（ln2+1）＝﹣ln2＜0，所以对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）＜0．。

2018-2019学年江苏省南通中学高一(下)期中数学试卷

2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.963.（单选题，3分）已知sinα= 1，则cos2α的值为（）8A. −3132B. 3132C. 6364D. −63644.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √555.（单选题，3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.57.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12的值为（）8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosαA.-3B.3C. 13D.- 139.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 16√33D. 32√3912.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π513.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折，则二面角C-BM-A的大小为___ ．成二面角，折后A与C的距离为√6216.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．时，求b、c的值；（1）当a=2，m=54（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD || 面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45的值；（1）若c=2a，求sinBsinC，求sinA的值．（2）若C-B= π422.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△AB C不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面【正确答案】：C【解析】：在A中，不同线的三点确定一个平面；在B中，四边形有可能是空间四边形；在C中，梯形有一组对边平行，一定是平面图形；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面．【解答】：解：在A中，不同线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定是平面图形，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，∴梯形一定是平面图形，故C正确；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、平面的基本性质及定理等基础知识，属于基础题．2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.96【正确答案】：B【解析】：由正方体的表面积为96，求出正方体的棱长为4，由此能求出正方体的体积．【解答】：解：设正方体的棱长为a，∵正方体的表面积为96，∴S=6a2=96，解得a=4，∴正方体的体积为V=43=64．故选：B．【点评】：本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．3.（单选题，3分）已知sinα= 18，则cos2α的值为（）A. −3132B. 3132C. 6364D. −6364【正确答案】：B【解析】：由sinα计算二倍角的余弦值即可．【解答】：解：由sinα= 18，则cos2α=1-2sin2α=1-2× (18) 2= 3132．故选：B．【点评】：本题考查了二倍角的余弦值的计算问题，是基础题．4.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √55【正确答案】：A【解析】：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C （0，2，0），D （0，0，0），D 1（0，0，2），E （1，2，0），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，0）， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，-2），设异面直线CD 和D 1E 所成角为θ，则cosθ= |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√4•√9 = 23 ． ∴异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值为 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.（单选题，3分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sinAcosB=sinC ，则△ABC 的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【正确答案】：B【解析】：由已知等式可得sin（A-B）=0，结合角的范围可得A=B，则答案可求．【解答】：解：由2sinAcosB=sinC，得2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，则A-B=0，即A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．【点评】：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的正弦，是基础题．6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，分析可得△O′A′B′的面积S′，由直观图的性质S′S = √24计算可得答案．【解答】：解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，△O′A′B′中，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则其面积S′= 12×2×2×sin∠A′O′B′= 12×2×2× √22= √2，又由S′S = √24，则S= S′√24=4；故选：C．【点评】：本题考查平面图形的直观图，涉及由直观图还原原图，属于基础题．7.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12【正确答案】：C【解析】：直接利用正弦定理求出结果．【解答】：解：已知：B=60°，a=1，b=2，利用正弦定理：asinA =bsinB，解得：sinA= √34，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为（）A.-3B.3C. 13D.- 13【正确答案】：A【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】：解：∵tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα = tanα+1tanα−3=-3，故选：A．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α【正确答案】：D【解析】：在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．【解答】：解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m || β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m || α，n || β，α || β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）【正确答案】：A【解析】：根据锐角三角形的性质，先求出A的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．【解答】：解：在锐角三角形中，0＜2A＜π2，即0＜A＜π4，且B+A=3A，则π2＜3A＜π，即π6＜A＜π3，综上π6＜A＜π4，则√22＜cosA＜√32，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理得asinA =bsinB=b2sinAcosA，得b=4cosA，∵ √22＜cosA＜√32，∴2 √2＜4cosA＜2 √3，即2 √2＜b＜2 √3，则b的取值范围是（2 √2，2 √3），故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 163√3D. 329√3【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形，可得PD=2PC，研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），可知当P到底面距离为4√33时三棱锥P-BCD的体积最大，则答案可求．【解答】：解：∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD=∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设D（0，0），C（4，0），C1（4，4），设P（x，y），∵PD=2PC，∴ √x2+y2 = 2√(x−4)2+y2，化简得：3x2+3y2-32x+64=0（0≤x≤4）．该圆与CC1交点的纵坐标最大，交点坐标为（4，4√33），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为8，则三棱锥P-BCD的体积最大值是13×8×4√33=32√39．故选：D．【点评】：本题考查棱锥体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是中档题．12.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π5【正确答案】：B【解析】：由题意画出图形，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，利用空间向量求解球心的平面的距离，然后求解圆的半径得答案．【解答】：解：如图：棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，BN，∵NC1=2NB1，∴CP⊥BN，又DC⊥平面BCC 1B 1，∴DC⊥BN ，则BN⊥平面DCP ，则M 点的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则D （0，0，0），C （0，6，0），P （6，6，2），O （3，3，3），设平面DOP 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），由 {n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {6y =06x +2z =0 ，令x=1．y=0，z=-3，所以 n ⃗ =（1，0，-3）， O 到平面DOP 的距离为： |DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = |3+0−9|√1+9 = 6√10，所以截面圆的半径为： √32−(6√10)2 = 3√155 ．所以动点M 运动路线的长度为： 2×3√155×π = 6√155π ．故选：B ．【点评】：本题考查考查空间想象能力和思维能力，训练了点到平面的距离的求法，正确找出M 点的轨迹是关键，属于难题．13.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．【正确答案】：[1]3：1：2 【解析】：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】：解：设球的半径为R ，则圆柱和圆锥的高均为2R ，则V 圆柱=2π•R 3，V圆锥= 2π•R3，3π•R3，V球= 43故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．【正确答案】：[1] 7043【解析】：设t小时后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，进而根据时间和速度表示出AD和BE，求得BD=200-80t，题就就抓化为求DE最小时t的值．利用余弦定理建立方程，根据二次函数的性质求得函数取最小值时t的值．【解答】：解：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD•BEcos60°=（200-80t）2+2500t2-（200-80t）•50t=12900t2-42000t+40000．时DE最小．当t= 7043故答案为：7043【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．应熟练掌握如正弦定理，余弦定理及其变形公式．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，则二面角C-BM-A的大小为___ ．【正确答案】：[1]120°【解析】：推导出MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，从而∠CMA是二面角C-BM-A的大小，利用余弦定理能求出二面角C-BM-A的大小．【解答】：解：∵在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，∴AC= √12+12 = √2，∵M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，∴MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA是二面角C-BM-A的大小，∴cos∠CMA= AM2+CM2−AC22×AM×CM =12+12−322×√22×√22=- 12，∴∠CMA=120°，∴二面角C-BM-A的大小为120°．故答案为：120°．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：结合三角形关系和式子sinA=4sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，进而得到tanB+tanC=4tanBtanC，结合函数的单调性可求得最小值．【解答】：解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=4sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在① 式两侧同时除以cosBcosC，可得：tanB+tanC=4tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=- tanB+tanC1−tanBtanC，② ，则tanAtanBtanC=- tanB+tanC1−tanBtanC•tanBtanC，由tanB+tanC=4tanBtanC，可得tanAtanBtanC=- 4(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由② 式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=- 4t21−t =- 41t2−1t，1t2- 1t=（1t- 12）2- 14，由t＞1得，- 14≤ 1t2- 1t＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．（1）当a=2，m=54时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2-4bc=0．a=2，m=54时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】：解：（1）由题意得b+c=ma，a2-4bc=0．当a=2，m=54时，b+c=52，bc=1．解得 {b =2c =12或{b =12c =2．（2） cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a 22=2m 2−3∈(0，1) ． ∴ 32＜m 2＜2 ，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2 ．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA=PC ，E 为PB 的中点．（1）求证：PD || 面AEC ；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB ．【正确答案】：【解析】：（1）设AC∩BD=O ，连接EO ，证明PD || EO ，利用直线与平面平行的判定定理证明PD || 面AEC ．（2）连接PO ，证明AC⊥PO ，AC⊥BD ，通过PO∩BD=O ，证明AC⊥面PBD ，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】：解：（1）证明：设AC∩BD=O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD || EO…（4分）而PD⊄面AEC ，EO⊂面AEC ，所以PD || 面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面P BD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，利用两角差的余弦公式求出cosβ的值；（2）由△AOB的面积值求出OB，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】：解：（1）由题可得∠AOB=120°，∠BAO为锐角，且sin∠BAO=sinα= 35，所以cosα= 45，所以cosβ=cosB=cos（60°-α）=cos60°cosα+sin60°sinα= 12 × 45+ √32× 35= 4+3√310；（2）由OA=3，计算△AOB的面积为：S= 12OA×OB×sin∠AOB= 12×3OB×sin120°= 3√34OB= 15√34，解得OB=5；由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB=9+25-2×3×5×（- 12）=49，所以AB=7，即A、B间的距离为7km．【点评】：本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG 的高，求出三角形DEG的面积，再由等体积法即可求得三棱锥G-BDE的体积．【解答】：（1）证明：取AC的中点P，连接DP，∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，得DP⊥AC，DP= √3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4，∴AE=2，EP=1，得∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，即ED⊥DC；∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴DE⊥平面BCD；（2）解：EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴BD= √3，DC= √32+(√3)2=2√3，∴B到DC的距离h= BD×BCDC = √3×32√3=32，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．∵ S△DEG=12×2×√3=√3，∴ V G−BDE=V B−DEG=13S△DEG×ℎ = 13×√3×32=√32．即三棱锥G-BDE的体积为√32．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45．（1）若c=2a，求sinBsinC的值；（2）若C-B= π4，求sinA的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知及余弦定理可得a 2+c2−b22ac= 45，结合c=2a，可求bc= 3√510，进而利用正弦定理即可得解．（2）利用二倍角的余弦公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A= 3π4-2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】：（本小题满分14分）解：（1）在△ABC中，因为cosB= 45，所以a 2+c2−b22ac= 45．因为c=2a，所以(c2)2+c2−b22c×c2= 45，即b2c2= 920，所以bc = 3√510，由正弦定理得sinBsinC =bc，所以：sinBsinC =3√510．（2）因为cosB= 45，所以cos2B=2cos2B-1= 725．又0＜B＜π，所以sinB= √1−cos2B = 35，所以sin2B=2sinBcosB=2× 35×45= 2425．因为C-B= π4，即C=B+ π4，所以A=π-（B+C）= 3π4-2B，所以sinA=sin（3π4 -2B）=sin 3π4cos2B-cos 3π4sin2B= √22×725-（- √22）× 2425= 31√250．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理知ABsinC = bsinB= asinA=2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°，由ABsinC = bsinB= asinA=2R=4⇒b=2 √2，sinA= 12∵A为锐角∴A=30°，又B=45°∴C=105°，∴AB=2Rsin105°=4sin75°= √6+√2；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1，cosC= a2+b2−c22ab＜0，∴a2+b2＜c2＜（2R）2，即a 2+b 2＜4R 2．（3）a ＞2R 或a=b=2R 时，△ABC 不存在，当 {a =2R b ＜a 时，A=90°，△ABC 存在且只有一个，∴c= √a 2−b 2 ，当 {a ＜2R b =a时，∠A=∠B 且都是锐角即sinA=sinB= a2R 时，△ABC 存在且只有一个，∴c=2RsinC=2Rsin2A=2R×2sinAcosA= a R√4R 2−a 2 ，当 {a ＜2Rb ＜a时，∠B 总是锐角，∠A 可以是钝角，可是锐角，∴△ABC 存在两个， ∠A ＜90°时，c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ， ∠A ＞90°时， c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ，【点评】：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a ，b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．。

江苏省扬州中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)含答案

江苏省扬州中学2018—2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（理科）2018.4本卷满分：160分考试时间：120分钟一、填空题：每题5分，14小题，满分70分1．已知全集U Z =,集合{}220,M x x x x Z =--<∈, {}1,0,1,2N =-,则()U C M N ⋂=．2．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为．3．设复数z 满足()1i 2i z +=,则z =．4．设x R ∈，则“1x <”是“20x x -<”的条件. （填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）5．从5本不同的故事书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，若故事书甲和数学书乙必须送出，共有种不同的送法（用数字作答）.6．731⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中5x 的系数是． 7．若方程()01222=-+-+k x k x 有两个实数根，一根在区间()1,0内，另一根在区间()2,1内，则实数k 的取值范围．8．函数2()||f x x x t =+-在区间[1,2]-上的最大值为4，则实数t =．9．已知三角形的三边分别为,,a b c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为()12s a b c r =++；四面体的四个面的面积分别为1234,,,s s s s ，内切球的半径为R ．类比三角形的面积可得四面体的体积为．10．已知()f x '是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是．11．已知1log (2)n n a n +=+（*n N ∈），观察下列算式：1223lg3lg 4log 3log 4lg 2lg3a a ⋅=⋅=⋅2=； 123456a a a a a a 237log 3log 4log 8=⋅…lg3lg 4lg83lg 2lg3lg 7=⋅=…；若122016m a a a =…（*m N ∈），则m 的值为．12．定义区间[]21,x x 长度为)(1212x x x x >-，已知函数 ())0,(1)(22≠∈-+=a R a x a x a a x f 的定义域与值域都是[]n m ,，则区间[]n m ,取最大长度时a 的值为．13．已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当()0,x e ∈，()ln f x x =，若在区间[]e e 2,-，关于x 的方程()1f x kx =+恰好有4个不同的解，则k 的取值集合是．14．已知a 为常数，函数()f x =的最大值为1，则a 的所有值为．二、解答题：6小题，满分90分.15. （本小题满分14分）（1）计算：i i 423-+-；（2）在复平面内，复数()()i m m m z 222--++=对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．16. （本小题满分14分）已知R a ∈，命题p ：“[]0,2,12≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．17.（本小题满分15分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）当3=a 时，方程m x f =)(的解的个数；（2）对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方，求a 的取值范围.18.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 01290,AB BC AA ABC D ==∠=，是BC 的中点．（1）求证：A 1B ∥平面ADC 1；（2）试问线段11A B 上是否存在点E ，使1AE DC 与成060角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．19.（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1212+-=n n n n a a S a . （1）求123,,a a a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．20.（本小题满分16分）已知函数2()1,()ln ,()f x x ax a g x x a R =+++=∈．（1）当1a =时，求函数()()y f x g x =-的单调区间；（2）若存在与函数(),()f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．命题人：王祥富、徐孝慧审核人：江金彪理科答案：1、{}1,2-2、若1<x ，则1242-<+-x x 34、充分不必要条件5、5046、357、3221<<k8、2=t 或415=t 9、()R s s s s V 432131+++=10、()()1,01,-+∞ 11、201622- 12、3 13.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--e e 21,114.32a =15、（1）i 2121--；（2）()()+∞⋃--∈,21,2m16．（1）(]1,∞-；（2）121<<->a a 或.17．(1)当a =3时，⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=3,53,)(22x x x x x x x f ，当6=m 或425时，方程有两个解；当6<m 或425>m 时，方程一个解；当4256<<m 时，方程有三个解. (2) 由题意知)()(x g x f <恒成立，即1||<-a x x 在x ∈[1,2]上恒成立，xa x 1||<-在x ∈[1,2]上恒成立x x a x x 11+<<-在x ∈[1,2]上恒成立，∴223<<a18．(1)证明连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD .由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点．又D 为BC 的中点，所以OD 为△A1BC 的中位线，所以A1B ∥OD.因为OD ⊂平面ADC1，A1B ⊄平面ADC1，所以A 1B ∥平面ADC 1.（7分）(2)解假设存在满足条件的点E .[来源:Z_xx_]因为点E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2,1)，B 1(0,0,1)，故可设E (0，λ，1)，其中0≤λ≤2.所以AE →＝(0，λ－2,1)，DC →1＝(1,0,1)．因为AE 与DC 1成60°角，所以|cos 〈AE →，DC →1〉|＝|AE →·DC →1||AE →|·|DC →1|＝12，即1 λ－2 2＋1·2＝12，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．所以当点E 为线段A 1B 1的中点时，AE 与DC 1成60°角．（8分）19.（1又因为0n a >，所以22122112a S a a a =+=+-331233112a S a a a a =++=+-（2）由(1)n N +∈. 下面用数学归纳法加以证明： ①当1n =时，由（1②假设n k =(k N +∈)当1n k =+时，即当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n N +∈都成立．20.【解析】（1）函数的定义域为当时，，所以所以当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增。

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ，如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点，则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥．故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上．代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0．故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞）【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0．（2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2，求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ．（2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下：设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ．因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ．因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11．面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行．【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行．本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上，所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1，又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|，由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ，由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]．【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。

江苏省常熟市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(附解析)

江苏省常熟市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.1.直线的倾斜角为________.【答案】【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为，所以，设直线的倾斜角为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.2.若扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的半径是________.【答案】2【解析】【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式列方程求解即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的弧长为，圆心角为，所以故答案为.【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于简单题.3.正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.【答案】【解析】【分析】由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4.两平行直线与之间的距离为________.【答案】【解析】【分析】化为，利用平行线的距离公式可得结果.【详解】化为，由平行线的距离公式可得，两平行直线与之间的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查两平行线的距离公式，属于基础题.利用两平行线的距离公式解题时，一定要注意两直线方程中的系数分别相等.5.过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________.【答案】【解析】【分析】设直线方程为，将点代入所设方程，求出的值即可得结果.【详解】因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为，因为过点，所以，解得，所以，所求直线方程为，化为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的截距式方程及其应用，属于基础题.利用截距式方程解题时，一定要注意讨论截距是否为零.6.若将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为________. 【答案】【解析】【分析】由圆柱的定义可得所得圆柱的高与底面半径都是2,利用圆柱的侧面积公式可得结果.【详解】将边长为的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的高与底面半径都是2，所以其侧面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆柱的定义与侧面积公式，属于基础题.圆柱的侧面积公式为.7.已知三个不同的点，，在同一条直线上，则的值是________.【答案】【解析】【分析】由求得，利用二倍角的余弦公式可得结果.【详解】因为三个不同的点，，在同一条直线上，所以，解得，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查三点共线的性质，以及二倍角公式的应用，属于中档题.三点共线的性质：若共线，则.8.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换法则求得函数的解析式，将代入即可得结果.【详解】函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数,所以,故答案为,【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9.在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的面积等于时，________. 【答案】【解析】【分析】由的面积等于求得，再利用余弦定理可得结果.【详解】因为的面积等于，所以，由余弦定理可得，故答案为.【点睛】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，有如下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题为________（填所有真命题的序号）.【答案】①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．详解：对于①，当l⊥α，l⊥β时，根据线面垂直的性质和面面平行的定义知α∥β，①正确；对于②，l⊥α，α⊥β时，有l∥β或l⊂β，∴②错误；对于③，l∥α，l⊥β时，根据线面平行的性质与面面垂直的定义知α⊥β，∴③正确；对于④，l∥α，α⊥β时，有l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交，∴④错误．综上，以上真命题为①③．故答案为：①③点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.11.点到直线的距离的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.【详解】化简可得，由，所以过定点，点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.12.如图，在边长为2的正方体中，为楼的中点，则二面角的正切值是________.【答案】【解析】【分析】作与连接，可证明，就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】作与，可得，连接，因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，就是二面角的平面角，，故答案为.【点睛】求线面角的两种方法：1、传统法，根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法，对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.13.在正三楼柱中，，，点为侧棱上的一个动点，当最小时，三棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】将平面与平面展开到一个平面（），连接交于，则此时最小，判断为的中点，利用结合棱锥的体积公式可得结果.【详解】将平面与平面展开到一个平面（），如图连接交于，则此时最小，由，可得是的中点，因为是正三棱柱，所以平面平面，所以到的距离就是到平面的距离，即到平面的距离为，所以，故答案为,【点睛】解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，空间几何体的性质与平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.14.已知关于的方程在区间上共有个互不相同的实数根，当取得最小值时，实数的取值集合为________.【答案】【解析】分析】画出在的图象，设，则，作出的图象，分类讨论，分别根据图象判断解的情况，求出每种情况下不同实数根和的值，从而可得结果.【详解】原式化为，画出在的图象，如图，设，则，作出的图象如图，由图象可知，，当时，，由的图象可知的两个解关于对称，；当时，在上有两个解，分别有两个关于对称的两个根，；当时，或，有的解，的解为，当时，在上只有一个解，有4个解，关于对称，；当时，，有的解，，综上所述，取得最小值时，，实数的为或2，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角方程，考查了数形结合思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，位置的变化需要分类讨论的.二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）连结，，由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，结合由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论.【详解】（1）连结，，因为斜三棱柱，所以四边形为平行四边形，由平行四边形性质得点也是中点，因为点是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连结，因为，点是的中点，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常见方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.16.已知在中，内角，，.所对的边分别为，，，且满足. （1）求的值；（2）若，，求值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）由，利用同角三角函数的关系求得的值，结合（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式可求得的值，再由正弦定理可得结果.【详解】（1）因为，所以由正弦定理，可得，即有，在中，由余弦定理得，将代入上式，得，因为，所以.（2）由，，得，所以，所以由正弦定理得.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.已知函数（其中），且.（1）求的值，并求在上的值域；（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.【答案】（1）；值域为（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，由可得，利用正弦函数的图象与性质可得结果；（2）求得，利用，解不等式可得结果.【详解】（1），所以，当时，，，所以的值域为.（2），当时，，要使函数有且只有一个零点，则，解得.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．18.如图，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，是的中点.（1）在图中作出并指明平面和平面交线；（2）求证：；（3）当时，求与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）见证明；（3）.【解析】【分析】（1）延长与交于点，连接，直线即为所求交线；（2）由正方形的性质可得，由面面垂直的性质可得，平面，再由线面垂直的性质可得结果；（3）过点作于点，连接，由面面垂直的性质可得平面.则即为与平面所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】（1）如图1，延长与交于点，连接，直线即为所求交线.（2）因为四边形是正方形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（3）如图2，过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.所以即为与平面所成的角，在中，，，，所以，，从而，，在中，，所以.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.19.国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，先由正弦定理求得，再利用直角三角形的性质可得，根据即可得结果；（2）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，然后解不等式，进而可得结果.【详解】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，在中，，由正弦定理得，所以，在中，，当，即时，就该向外轮发出警告，今其退出我国海域.（2）当时，，要使不被警告，则，即，解得，所以，即，又因为，所以.当时可以避免使外轮进入被警告区域.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及二倍角公式与辅助角公式的应用，属于综合题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.已知直线，，，记，，.（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；（2）在中，求边上中线长的最小值；（3）求面积的取值范围.【答案】（1）（2）最小值为.（3）【解析】【分析】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，利用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；（2）先证明，可得为直角三角形，则中线长为，再求得与的交点，与的交点，利用两点间的距离公式，结合二次函数的性质可得结果；（3）求得与交点的坐标，可得，再求得点到距离，则三角形面积，分类讨论，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）当时，直线，设原点关于的对称点为，则解得故所求点的坐标为.（2）法一：由，得，故为直角三角形，且为斜边，中线长为，由，得与的交点，由，得与的交点，故中线长，即当时，中线长有最小值为.法二：因为点是轴上动点，所以当垂直轴时最短，此时中线长最小值为.（3）由，得与交点，由两点间距离公式得，点到距离，三角形面积，当时，；当时；当时.所以，，.【点睛】本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用，考查了对称问题以及分类讨论思想的应用，属于综合题.解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.。

2018-2019学年江苏省扬州中学高二(下)期中数学试卷(理科)

2018-2019学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）试题数：20，总分：01.（填空题，5分）命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“___ ”．2.（填空题，5分）若复数z满足：z•（1+i）=2，则|z|=___ ．3.（填空题，5分）若f（x）=x3，其导数满足f'（x0）=3，则x0的值为___4.（填空题，5分）命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的___ 条件．5.（填空题，5分）投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为___ ．6.（填空题，5分）若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为___ ．7.（填空题，5分）有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有___ 种不同的排列方法．（用数字作答）8.（填空题，5分）在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=k+1成立时，f（n）=1+ 12 + 13+…+ 12n−1增加的项的个数是___ （用k表示）9.（填空题，5分）若数列{a n}为等差数列，定义b n= a n+1+a n+2+a n+33，则数列{b n}也为等差数列．类比上述性质，若数列{a n}为等比数列，定义数列{b n}：b n=___ ，则数列{b n}也为等比数列．10.（填空题，5分）（1+ax）6的展开式中二项式系数的最大值为___ ．（用数字作答）11.（填空题，5分）若函数f（x）=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的最小值为___ ．12.（填空题，5分）已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈___ ．13.（填空题，5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，且对任意x＞0都有x•f'（x）-f（x）＞0成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集是___ ．14.（填空题，5分）设曲线f（x）=（ax-1）•e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，g（x）=（1-x）•e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈[0，32]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是___ ．15.（问答题，0分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有实数根；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，若命题p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．16.（问答题，0分）已知n•C n n−3 +A n 3=4•C n+13 （n≥3，n∈N ）．（1）求n 的值；（2）求（ √x 3+ 2x ）n 展开式中的常数项．17.（问答题，0分）已知数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．（1）求a 2、a 3、a 4；（2）猜想数列通项公式a n ，并用数学归纳法给出证明．18.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB || CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q 为侧棱PC 上一点， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）若λ= 13 ，证明：PB⊥DQ ；（2）试确定λ的值，使得二面角P-BD-Q 的大小为45°．19.（问答题，0分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（1）最多取两次就结束的概率；（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）取球次数的分布列和数学期望．20.（问答题，0分）已知函数f（x）=mx-alnx-m，g（x）= xe x−1，其中m，a均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜| 1g(x2)−1g(x1)|恒成立，求a的最小值；（3）设a=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f （t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．2018-2019学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：20，总分：01.（填空题，5分）命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“___ ”．【正确答案】：[1]∀x∈R，x2+x≤0【解析】：利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定“∀x∈R，x2+x≤0”．故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．【点评】：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．2.（填空题，5分）若复数z满足：z•（1+i）=2，则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据复数的基本运算法则进行化简求解即可．【解答】：解：因为z•（1+i）=2，=1−i，故z=21+i故|z|=√2，故答案为：√2．【点评】：本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.（填空题，5分）若f（x）=x3，其导数满足f'（x0）=3，则x0的值为___【正确答案】：[1]±1【解析】：根据题意，求出函数的导数，进而可得若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得答案．【解答】：解：根据题意，若f（x）=x3，其导数f'（x）=3x2，若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得x0=±1；故答案为：±1．【点评】：本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．4.（填空题，5分）命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的___ 条件．【正确答案】：[1]必要不充分【解析】：先解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；由集合{-1}⫋{-1，2}，再根据由集合观点理解充分必要条件的定义，判断即可．【解答】：解：解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；所以“x2-x-2=0“推不出“x=-1“；“x=-1“推出“x2-x-2=0”．故命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】：本题考查了充分必要条件的定义，一元二次方程的求解，属于基础题．5.（填空题，5分）投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为___ ．【正确答案】：[1] 136【解析】：基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，由此能求出向上的点数之和为12的概率．【解答】：解：投掷两个骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，．∴向上的点数之和为12的概率为P= 136．故答案为：136【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（填空题，5分）若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为___ ．【正确答案】：[1]（1，0）【解析】：先设切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，根据切线的斜率等于函数f（x）在x=m处的导数建立等式，解之即可．【解答】：解：设切点坐标为（m，m4-m）则f（m）=4m3-1=3解得：m=1则点P的坐标为（1，0）故答案为：（1，0）【点评】：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及解方程等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．7.（填空题，5分）有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有___ 种不同的排列方法．（用数字作答）【正确答案】：[1]288【解析】：相邻问题捆绑法．即先将男生、女生各自看成一个“元素”进行排列，然后女生与男生内部再各自全排列．【解答】：解：由题意得总的排法有A22×A33×A44=288（种）．故答案为：288．【点评】：本题是一道常规题，按照计数原理和排列组合的知识求解即可．难度不大．8.（填空题，5分）在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=k+1成立时，f（n）=1+ 12 + 13+…+ 12n−1增加的项的个数是___ （用k表示）【正确答案】：[1]2k【解析】：分别写出n=k时，n=k+1时，f（k），f（k+1）的式子，相减可得所求增加项的个数．【解答】：解：当n=k时，f（k）=1+ 12 + 13+…+ 12k−1，当n=k+1时，f（k+1）=1+ 12 + 13+…+ 12k−1+ 12k+ 12k+1+…+ 12k+1−1，由f（k+1）-f（k）= 12k + 12k+1+…+ 12k+1−1，可得需增加的项的个数为2k+1-1-2k+1=2k，故答案为：2k．【点评】：本题考查数学归纳法的证明，注意由n=k，等式成立，推得n=k+1也成立，需增加的项的个数，考查运算能力、推理能力，属于基础题．，则数列{b n}也为等差数9.（填空题，5分）若数列{a n}为等差数列，定义b n= a n+1+a n+2+a n+33列．类比上述性质，若数列{a n}为等比数列，定义数列{b n}：b n=___ ，则数列{b n}也为等比数列．3【正确答案】：[1] √a n+1a n+2a n+3【解析】：直接由等差数列连续三项的算术平均数类比为等比数列中连续三项的几何平均数得结论．【解答】：解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，一般的思路有：由加法类比为乘法，由减法类比为除法，由算术平均数类比为几何平均数等，，则数列{b n}也为等差数列；故可以由数列{a n}是等差数列，定义b n= a n+1+a n+2+a n+33类比推断：若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，3，则数列{b n}也是等比数列．定义b n=√a n+1a n+2a n+33．故答案为：√a n+1a n+2a n+3【点评】：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），本题是基础题．10.（填空题，5分）（1+ax）6的展开式中二项式系数的最大值为___ ．（用数字作答）【正确答案】：[1]20【解析】：展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，问题得以解决．【解答】：解：展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，故C63=20，故答案为：20．【点评】：本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题题．11.（填空题，5分）若函数f （x ）=mx 2+lnx-2x 在定义域内是增函数，则实数m 的最小值为___ ．【正确答案】：[1][ 12，+∞ ）．【解析】：先对函数求导，结合导数与单调性的关系可把原问题转化为 f′(x )=2mx +1x −2 ≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求解函数的范围，结合二次函数的性质可求．【解答】：解：函数的定义域（0，+∞）， f′(x )=2mx +1x−2 ，由题意可得， f′(x )=2mx +1x−2 ≥0在（0，+∞）上恒成立，故-2m ≤(1x−1)2−1 ，故-2m≤-1，所以m ≥12 ．故答案为：[ 12，+∞ ）．【点评】：本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 3+3x 对任意的m∈[-2，2]，f （mx-2）+f （x ）＜0恒成立，则x∈___ ．【正确答案】：[1]（-2， 23 ）【解析】：先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x 的不等式组，解出可得答案．【解答】：解：由题意得，函数的定义域是R ，且f （-x ）=（-x ）3+3（-x ）=-（x 3+3x ）=-f （x ），所以f （x ）是奇函数，又f'（x ）=3x 2+3＞0，所以f （x ）在R 上单调递增，所以f （mx-2）+f （x ）＜0可化为：f （mx-2）＜-f （x ）=f （-x ），由f （x ）递增知：mx-2＜-x ，即mx+x-2＜0，则对任意的m∈[-2，2]，f （mx-2）+f （x ）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，所以 {−2x +x −2＜02x +x −2＜0，解得-2＜x ＜ 23 ，即x 的取值范围是（-2， 23 ），故答案为：（-2， 23 ）．【点评】：本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．13.（填空题，5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）=0，且对任意x ＞0都有x•f'（x ）-f （x ）＞0成立，则不等式x 2•f （x ）＞0的解集是___ ．【正确答案】：[1]（-1，0）∪（1，+∞）【解析】：构造函数g （x ）=f (x )x，依题意可得g （x ）=f (x )x为偶函数，在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，g （1）=g （-1）=0，分x ＞0与x ＜0两种情况，将不等式x 2•f （x ）＞0分别转化为x ＞0时，g （x ）＞g （1），x ＜0时，g （x ）＜g （-1），从而可解得答案．【解答】：解：令g （x ）=f (x )x，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）=0，故f （-1）=0，所以g （-x ）=f (−x )−x = f (x )x=g （x ），即g （x ）为定义域上的偶函数；又对任意x ＞0都有x•f'（x ）-f （x ）＞0成立，所以当x ＞0时，g′（x ）= x•f′(x )−f (x )x 2＞0，即g （x ）=f (x )x在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，又f （1）=0，故g （1）=g （-1）=0，于是，当x ＞0时，x 2•f （x ）＞0⇔ f (x )x＞0，即g （x ）＞g （1），解得x ＞1；当x ＜0时，x 2•f （x ）＞0⇔ f (x )x＜0，即g （x ）＜g （-1），解得-1＜x ＜0；综上所述，-1＜x ＜0或x ＞1；故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．【点评】：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想、分类讨论思想及函数与方程思想的综合应用，考查运算能力与规范表达能力，属于难题．14.（填空题，5分）设曲线f（x）=（ax-1）•e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，g（x）=（1-x）•e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈[0，32]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]1≤a≤ 32【解析】：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由存在x0∈[0，32 ]，得到x02-x0-2≠0，从而a= x0−3x02−x0−2，然后根据x0−3x02−x0−2在（0，1）是减函数，在（1，32）上是增函数，求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】：解：函数f（x）=（ax-1）e x的导数为f′（x）=（ax+a-1）e x，∴l1的斜率为k1=(ax0+a−1)e x0，函数g（x）=（1-x）e-x的导数为g′（x）=（x-2）e-x，∴l2的斜率为k2=(x0−2)e−x0，由题设有k1•k2=-1，从而有（ax0+a-1）e x0•（x0-2）e−x0 =-1∴a（x02-x0-2）=x0-3．∵存在x0∈[0，32]，得到x02-x0-2≠0，∴a= x0−3x02−x0−2，又a′= −(x0−1)(x0−5)(x02−x0−2)2，令导数大于0得1＜x0＜5，故a= x0−3x02−x0−2在（0，1）是减函数，在（1，32）上是增函数，∴x0=0时取得最大值为0−30−0−2=32．x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤ 32．故答案为：1≤a≤ 32．【点评】：本题考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系，是中档题．15.（问答题，0分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有实数根；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，若命题p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别求出命题p ，q 的等价条件，然后利用p 、q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【解答】：解：若方程x 2+mx+1=0有实数根，则判别式△=m 2-4≥0，解得m≥2或m≤-2，即p ：m≥2或m≤-2．若方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实数根，则判别式△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3．因为p 、q 中有且仅有一个为真命题，则 ① 若p 真，q 假，则 {m ≥2或m ≤−2m ≥3或m ≤1 ，解得m≥3或m≤-2．② 若p 假q 真，则 {−2＜m ＜21＜m ＜3，解得1＜m ＜2．综上实数m 的取值范围是m≥3或m≤-2或1＜m ＜2．【点评】：本题主要考查复合命题的应用，以及一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，比较综合．16.（问答题，0分）已知n•C n n−3 +A n 3=4•C n+13 （n≥3，n∈N ）．（1）求n 的值；（2）求（ √x 3+ 2x ）n 展开式中的常数项．【正确答案】：【解析】：（1）结合排列组合数公式展开即可求解；（2）结合二项展开式的通项即可求解．【解答】：解：（1）因为n•C n n−3 +A n 3=4•C n+13 （n≥3，n∈N ）．所以 n •n (n−1)(n−2)3×2×1 +n （n-1）（n-2）=4× (n+1)n (n−1)3×2×1，整理可得，n=4；（2）由（1）可得（ √x 3+ 2x ）n =（ √x 3+ 2x ）4，则T r+1= C 4r (√x 3)4−r (2x )r = 2r C 4rx 4−4r 3 ，令 4−4r3=0可得r=1，即常数项为T 2=8．【点评】：本题主要考查了排列组合数公式的应用及利用二项展开式的通项求解二项展开式的特点项，属于基础试题．17.（问答题，0分）已知数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．（1）求a 2、a 3、a 4；（2）猜想数列通项公式a n ，并用数学归纳法给出证明．【正确答案】：【解析】：（1）数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1an−1+2（n≥2，n∈N *）．可得a 2=- 1a1+2，a 3=- 1a 2+2．（2）猜想数列通项公式a n =- n+1n+2．用数学归纳法证明即可．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．则a 2=- 1a1+2=- 1−23+2 =- 34 ，a 3=- 1a 2+2 =- 45 ．（2）猜想数列通项公式a n =- n+1n+2 ．用数学归纳法证明：（i ）n=1时，a 1=- 23 =- 1+11+2 成立，（ii ）假设n=k∈N *时成立，a k =- k+1k+2．则n=k+1时，a k+1=- 1ak +2 =- 1−k+1k+2+2=- k+2k+3 =- (k+1)+1(k+1)+2 ．因此n=k+1时，猜想成立．综上可得：数列通项公式a n =- n+1n+2 ．n∈N *．【点评】：本题考查了数学归纳法、数列递推关系、猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB || CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q 为侧棱PC 上一点， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）若λ= 13 ，证明：PB⊥DQ ；（2）试确定λ的值，使得二面角P-BD-Q 的大小为45°．【正确答案】：【解析】：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB⊥DQ ．（2）C （0，2，0），设Q （a ，b ，c ），则（a ，b ，c-1）=（0，2λ，-λ），从而Q （0，2λ，1-λ），求出平面BDP 的法向量和平面BDQ 的法向量，由此利用二面角P-BD-Q 的大小为45°．利用向量法能求出λ．【解答】：解：（1）证明：∵四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB || CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q 为侧棱PC 上一点， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 PC⃗⃗⃗⃗⃗ ．∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，0，0），Q （0， 23 ， 23 ）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，-1）， DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0， 23，23 ）， ∵ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ •DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PB⊥DQ ．（2）C （0，2，0），设Q （a ，b ，c ），则（a ，b ，c-1）=（0，2λ，-λ），∴Q （0，2λ，1-λ），DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，1）， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0）， DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2λ，1-λ），设平面BDP 的法向量 n ⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗ •DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ •DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0，取x=1，得 n ⃗ =（1，-1，0），设平面BDQ 的法向量 m ⃗⃗ =（a ，b ，c ）， {m ⃗⃗ •DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =0m ⃗⃗ •DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λb +(1−λ)c =0 ，取a=1，得 m ⃗⃗ =（1，-1， 2λ1−λ ），∵二面角P-BD-Q 的大小为45°． ∴cos45°= |m ⃗⃗⃗ •n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= 2√2×√2+(2λ1−λ)2 ，由0≤λ≤1，解得 λ=√2−1 ．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，0分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（1）最多取两次就结束的概率；（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）取球次数的分布列和数学期望．【正确答案】：【解析】：（1）先分别求出任取一球，取到每种颜色的球的概率，因为取出蓝色球则不再取球，所以最多取两次就结束有两种情况，第一种，第一次取球，取到蓝球，第二种情况，第一次取球，取到红球或白球，第二次取球，取到蓝球，把两种情况的概率求出，再相加即可．（2）由（1）知任取一球，取到白球的概率为 310 ，取到蓝球的概率为 15 ，取到红球的概率为12，而恰好取到2个白球包括三个互斥事件，即（白，白，非白），（白，红，白），（红，白，白），分别计算它们的概率，最后相加即可（3）设取球次数为X ，则X 的可能取值为1，2，3，X=1即第一次就抓到蓝球，X=2即第一次不是蓝球，第二次是蓝球，X=3即第一次不是蓝球，第二次不是蓝球；分别计算它们的概率，列出分布列，由期望公式计算X 的期望【解答】：解：（1）由题意知，任取一球，取到红球的概率为 55+3+2 = 12 任取一球，取到白球的概率为 35+3+2 = 310 任取一球，取到蓝球的概率为 25+3+2 = 15∵如果取出蓝色球则不再取球，∴最多取两次就结束的概率为 15 + 12×15 + 310×15 = 925（2）设A={整个过程中恰好取到2个白球}，B i ={第i 次取到白球} H i ={第i 次取到红球} L i ={第i 次取到蓝球}则P （A ）=P （B 1B 2 B 3 ）+P （H 1B 2B 2）+P （B 1H 2B 3） = 310×310 × 710 + 12× 310×310 + 310×12×310 = 1531000 （3）设取球次数为X ，则X 的可能取值为1，2，3 P （X=1）= 25+3+2 = 15 P （X=2）= 12×15 + 310×15 = 425P（X=3）= 45×45= 1625随机变量X的分布列如下从而E（X）=1×5 +2×25+3×25=25【点评】：本题考查了古典概型概率的求法，互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及其期望的求法20.（问答题，0分）已知函数f（x）=mx-alnx-m，g（x）= xe x−1，其中m，a均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜| 1g(x2)−1g(x1)|恒成立，求a的最小值；（3）设a=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f （t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．（2）在所给式子中含绝对值，一般考虑去掉绝对值，x1，x2是任给的两个数，所以可考虑用函数单调性．去掉绝对值之后，注意观察式子，你会发现，只要做适当变形，便可利用函数单调性的定义，得到一个新的函数的单调性，再结合导数求a的范围即可．（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．【解答】：解：（1）g′（x）= e(1−x)e x ，令e(1−x)e x=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（-∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．（2）当m=1，a ＜0时，f （x ）=x-alnx-1，所以在[3，4]上f′（x ）= x−ax＞0， ∴f （x ）在[3，4]上是增函数．设h （x ）=1g (x ) = e x−1x， ∴在[3，4]上h′（x ）= e x (x−1)e x2＞0，∴h （x ）在[3，4]上为增函数．设x 2＞x 1，则|f （x 2）-f （x 1）|＜| 1g (x 2)−1g (x 1) |恒成立，变成f （x 2）-f （x 1）＜ 1g (x 2) - 1g (x 1) 恒成立，即：f （x 2）-f （x 1）＜h （x 2）-h （x 1）恒成立，即：f （x 2）-h （x 2）＜f （x 1）-h （x 1）．设u （x ）=f （x ）-h （x ）=x-alnx-1- 1e • e xx ，则u （x ）在[3，4]上为减函数． ∴u′（x ）=1- ax - 1e • e x (x−1)x 2≤0在[3，4]上恒成立．∴a≥x -e x-1+ e x−1x恒成立．设v （x ）=x-e x-1+e x−1x， ∴v′（x ）=1-e x-1+ e x−1(x−1)x 2 =1-e x-1[（ 1x + 12 ）2+ 34]， ∵x∈[3，4]，∴e x-1[（ 1x + 12 ）2+ 34 ]≥ 34 e 2， ∴v′（x ）＜0， ∴v （x ）为减函数．∴v （x ）在[3，4]上的最大值为v （3）=3- 23e 2． ∴a≥）=3- 23 e 2， ∴a 的最小值为：3- 23e 2．（3）由（1）知g （x ）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g （0）=0，g （e ）= e 2ee ， ∴g （x ）的值域是（0，1]． ∵f （x ）=mx-2lnx-m ；∴当m=0时，f （x ）=-2lnx ，在（0，e]为减函数，由题意知，f （x ）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；当m≠0时，f′（x ）=m(x−2m)x，由于f （x ）在（0，e]上不单调，∴0＜ 2m ＜e ，即m ＞ 2e ； ①此时f （x ）在（0， 2m ）递减，在（ 2m ，e]递增； ∴f （e ）≥1，即me-2-m≥1，解得m≥ 3e−1 ； ② ∴由 ① ② ，得m≥3e−1； ∵1∈（0，e]，∴f （ 2m）≤f （1）=0满足条件．下证存在t∈（0， 2m ]使得f （t ）≥1；取t=e -m ，先证e -m ＜ 2m 证，即证2e m -m ＞0； ③设w （x ）=2e x -x ，则w′（x ）=2e x -1＞0在[ 3e−1 ，+∞）时恒成立； ∴w （x ）在[ 3e−1 ，+∞）上递增， ∴w （x ）≥w （3e−1 ）＞0，∴ ③ 成立；再证f （e -m ）≥1；∵f （e -m ）=me -m +m≥m≥ 3e−1 ＞1， ∴m≥ 3e−1 时，命题成立． ∴m 的取值范围是：[ 3e−1，+∞）．【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。

江苏省江阴市第一中学2018-2019学年高二地理下学期期中试题(含解析)

江阴市第一中学2018-2019学年度高二学期期中试卷高二地理一、选择题（共60分）(一)单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

下图是东西半球略图，读图回答下列小题。

1. 乙地的经度是（）A. 70°EB. 110°EC. 70°WD. 110°W2. 图示甲、乙、丙、丁四地，有一地与其他三地距离相等，该地是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】1. D 2. B【解析】【分析】地球东西半球分界线为西经20°、东经160°（20°W，160°E)。

西经20°以东，东经160°以西之间为东半球。

东经160°以东，西经20°以西之间为西半球。

【1题详解】读图可得，图中甲地所在的经线位于160°E经线以西，且度数比160°E经线度数少90°，所以甲经度是70°E．【2题详解】甲、丙、丁三地位于由20°W和160°E围成的经线圈上，乙地位于该经线圈的中心，乙地到其他三地的距离相等，B正确。

【点睛】本题主要考查获取和解读地理信息的能力，据所学知识说出即可，难度一般。

下图是经纬网图,完成下列小题。

3. 图中①②两区域( )A. 面积大小相同B. 东西方向长度相同C. 南北方向长度相同D. 比例尺大小相同4. 下列说法正确的是( )A. 甲、丙两地距离小于20 000千米B. 丁在甲的正东方C. 由甲到丁最短航向为先东北再东南D. 由乙到丁最短航向为东北【答案】3. C 4. A【解析】【分析】本题主要考查地图上的方向、比例尺，通过经纬网判断方向和长度及面积。

【3题详解】该经纬网图南北方向纬度间距均等,纬度差相同实际距离相同，故①②两区域南北方向长度相同，答案选C。

2018—2019学年度第一学期期中测试初三数学试卷(含答案)

2018～2019学年度初三年级数学第一学期期中检测（考试时间：120分钟分值：150分）一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案序号填在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．） 1. 方程x 2+x= 的解是（） A ．x=0 B ．x=1 C ． x 1=0，x 2=1 D ． x 1=0，x 2=﹣1 2. 关于x 的一元二次方程（a −1）x 2−2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是（）A.2B.1C.0D.−1 3. 已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有一个根是－n(n ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是（） A ．n ＋m B ．n / m C ．n －m D ．nm 4. 对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试,他们的成绩通过计算得:甲x =乙x ，2甲S =0.026, 2乙S =0.025,下列说法正确的是（）A.甲短跑成绩比乙好B.乙短跑成绩比甲好C.甲比乙短跑成绩稳定D.乙比甲短跑成绩稳定 5．圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则它的表面积为（）A ．24πcm 2B ．36πcm 2C ．48πcm 2D ．72πcm 26. 如图，一个直角三角形ABC 的斜边AB 与量角器的零刻度线重合，点D 对应56°，则∠BCD 的度数为（）A ．28°B ．56°C ．62°D ．64°7. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是 ( )①AD ⊥BC ②∠EDA=∠B ③2OA=AC ④DE 是⊙O 的切线 A ．1 个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个8. 如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，分别以A 、D 为圆心，1为半径画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5第6题图第7题图第8题图二、填空题（本大题共10小题．每小题4分，共40分．请将答案填在答题卡相应的位．．．．．．．．．．．．．置上．．）9. 如果一组数据－2，0，1，3，x的极差是7，那么x的值是．10. 已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，则实数k的值为．11.设a、b是方程x2+x-2018=0的两个不等的实根，则a2+2a+b的值为．12.若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．13.如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是．14.如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝．15.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α＝．第13题图第14题图第15题图16.如图，△ABC的内切圆O与边BC切于点D，若∠BOC＝135°，BD＝3，CD＝2，则△ABC的面积为＝．17.如图正方形ABCD的边长为3，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE第16题图第17题图第18题图三、解答题（本大题共9大题，共86分．请将答案．．．．．．．．．．，解答时应．．．．写在答题卡相应的位置上写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）19. (本题满分8分) 解下列方程：（1）（x+1）2= 9 （2）x2﹣2x﹣2=020．（本题满分9分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的跳水运动员人数为多少？求出图①中m的值；（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.21．(本题满分9分)已知□ ABCD两邻边是关于x的方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么□ ABCD的周长是多少？22．(本题满分9分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，但售价不能超过70元．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？23．（本题满分9分）在半径为17dm 的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图． ①若油面宽AB=16dm ，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD=30dm ，求油的最大深度上升了多少dm ？24．(本题满分9分) 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧. （1）画出圆弧所在圆的圆心P ；（2）过点B 画一条直线，使它与该圆弧相切；（3）连结AC ，求线段AC 和弧AC 围成的图形的面积．25．（本题满分10分）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，AC 平分∠DAE ．（1）DE 与⊙O 有何位置关系？请说明理由．（2）若AB=6，CD=4，求CE 的长．26．（本题满分10分）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为2cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．27.（本题满分13分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA 边在直线x y 33=上，AB 边在直线233+-=x y 上．（1）直接写出：线段OA= ，∠AOC= ；（2）在对角线OB 上有一动点P ，以O 为圆心，OP 为半径画弧MN ，分别交菱形的边OA 、OC 于点 M 、N ，作⊙Q 与边AB 、BC 、弧MN 都相切，⊙Q 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，设⊙Q 的半径为r ，OP 的长为y ，求y 与r 之间的函数关系式，并写出自变量r 的取值范围；（3）若以O 为圆心、OA 长为半径作扇形OAC ，请问在菱形OABC 中，在除去扇形OAC 后的剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC 刚好围成一个圆锥，若可以，求出这个圆的半径，若不可以，说明理由．2018-2019学年度第一学期第二次质量调研测试初三数学参考答案（考试时间：120分钟分值：150分）二、填空题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）．9. 5或-4， 10. 1， 11. 2017 12. 相离, 13. 2,14. 75°, 15. 52°, 16. 6, 17. 23， 18. 43π三、解答题（本大题共9大题，共86分．请将答案．．．．．．．．．．，解答时应．．．．写在答题卡相应的位置上写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）19.（1）x1=2，x2=﹣4 （4分）（2）x1=1+，x2=1﹣；（4分）20.（1）4÷10%=40（人），…………………2分m=100-27.5-25-7.5-10=30；答为40人，m=30．…………………4分（2）平均数=（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40=15，…………………6分16出现12次，次数最多，众数为16；…………………7分按大小顺序排列，中间两个数都为15，（15+15）÷2=15，中位数为15．…………………9分21.（1）若四边形为菱形，则方程两实根相等．∴△=m2﹣4（m﹣1）=0 …………………1分∴m2﹣4m+4=0∴m1=m2=2 …………………3分∴方程化为x2﹣2x+1=0解得：x1=x2=1∴菱形边长为1．…………………5分（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4﹣2m﹣1=0，解得：m=3 …………………6分此时方程化为：x2﹣3x+2=0，解得（x﹣1）（x﹣2）=0解得：x1=1，x2=2 …………………8分∴平行四边形ABCD的周长=2×（1+2）=6．…………………9分22．(本题满分9分)设售价定为x元[600−10(x−40)](x−30)=10000 ……………………3分整理,得x2−130x+4000=0解得：x1=50，x2=80…………………………7分∵x≤70∴x=50 ………………………… 8分答：台灯的售价应定为50元。

江苏省徐州市2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

江苏省徐州市2018—2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1.=______【答案】60【解析】【分析】根据排列数公式计算即可.【详解】5×4×3＝60．故答案为：60．【点睛】本题主要考查了排列数公式，属于基础题．2.若i是虚数单位，且复数z满足z＝3﹣i，则＝______【答案】【解析】【分析】由已知直接代入复数模的计算公式求解．【详解】∵z＝3﹣i，∴|z|．故答案为：．【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题．3.用反证法证明命题“如果m＜n，那么”时，假设的内容应该是______【答案】假设【解析】【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，由此得出结论．【详解】∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“m7＜n7”的否定为：“m7≥n7”，故答案为：假设m7≥n7【点睛】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．4.若，则x的值为______．【答案】3或4【解析】【分析】结合组合数公式结合性质进行求解即可．【详解】由组合数的公式和性质得x＝2x﹣3，或x+2x﹣3＝9，得x＝3或x＝4，经检验x＝3或x＝4都成立，故答案为：3或4.【点睛】本题主要考查组合数公式的计算，结合组合数的性质建立方程关系是解决本题的关键．5.已知复数（是虚数单位），则＝______【答案】-1 【解析】【分析】把代入ω3﹣2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵，∴ω3﹣2．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．6.用灰、白两种颜色的正六边形瓷砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中正六边形瓷砖的个数是______【答案】37【解析】【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．【详解】第1个图案中有灰色瓷砖6块，白色瓷砖1块第2个图案中有灰色瓷砖11块，白色瓷砖2块；第3个图案中有灰色瓷砖16块，白色瓷砖3块；…设第n个图案中有瓷砖a n块，用数列{}表示，则＝6+1＝7，＝11+2＝13，＝16+3＝19，可知﹣＝﹣＝6，…∴数列{}是以7为首项，6为公差的等差数列，∴＝7+6（n﹣1）＝6n+1，∴＝37，故答案为：37.【点睛】本题考查了归纳推理的问题，属于基础题.7.有这样一段“三段论”推理，对于可导函数，大前提：如果，那么是函数的极值点；小前提：因为函数在处的导数值，结论：所以是函数的极值点．以上推理中错误的原因是______错误（“大前提”，“小前提”，“结论”）．【答案】大前提【解析】因为导数等于零的点不一定是极值点.如函数y=x3,它在x=0处导数值等于零，但x=0不是函数y=x3的极值点.因为只有此值两侧的导数值异号时才是极值点8.用数学归纳法证明（，n＞1）时，第一步应验证的不等式是______．【答案】【解析】试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。

海伦市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

海伦市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1．如图甲所示，三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠=o，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与的变化关系，其中正确的是（）A ．B ． C. D ．1111]2．下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性相同的是（）A ．()2ln 1y x x =++ B ．2y x = C ．tan y x = D ．xy e =3．若x ，y 满足且z=y ﹣x 的最小值为﹣2，则k 的值为（） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣24．已知命题p ；对任意x ∈R ，2x 2﹣2x+1≤0；命题q ：存在x ∈R ，sinx+cosx=，则下列判断：①p 且q是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④¬p 是真命题，其中正确的是（） A ．①④ B ．②③C ．③④D ．②④5．关于x 的方程ax 2+2x ﹣1=0至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（）A ．a ≥0B ．﹣1≤a ＜0C ．a ＞0或﹣1＜a ＜0D ．a ≥﹣16．在ABC ∆中，3b =，3c =，30B =o ，则等于（）A ．3B ．123C ．3或23D ．2 7．下列命题中的假命题是（）A ．∀x ∈R ，2x ﹣1＞0B ．∃x ∈R ，lgx ＜1C ．∀x ∈N +，（x ﹣1）2＞0D ．∃x ∈R ，tanx=28．在△ABC 中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（）A ．60°B ．120°C ．120°或60°D ．45°9．已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3D ．﹣1或﹣310．已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2=，则=QF （）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．6B ．3C ．38 D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）12．若关于x 的方程x 3﹣x 2﹣x+a=0（a ∈R ）有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足x 1＜x 2＜x 3，则a 的取值范围为（） A ．a ＞B ．﹣＜a ＜1 C ．a ＜﹣1D ．a ＞﹣1二、填空题13．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”） 14．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．15．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .16．（﹣）0+[（﹣2）3]= ．17．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是．18．若关于x ，y 的不等式组（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k= ．三、解答题19．如图，在几何体SABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°．（1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．20．已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．21．已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n }，记该数列的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．23．已知函数f （x ）=alnx+，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2．（I ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当x ＞1时，不等式f （x ）＞恒成立，求实数k 的取值范围．24．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且332-=n n a S ，（+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记nn a n b 14+=，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求n T . 【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前n 项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.海伦市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1．【答案】A 【解析】考点：几何体的体积与函数的图象.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.2．【答案】A 【解析】试题分析：()()f x f x -=-所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与()f x 不相同，D 为非奇非偶函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性． 3．【答案】B【解析】解：由z=y ﹣x 得y=x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=x+z 由图象可知当直线y=x+z 经过点A 时，直线y=x+z 的截距最小，此时最小值为﹣2，即y ﹣x=﹣2，则x ﹣y ﹣2=0，当y=0时，x=2，即A （2，0），同时A 也在直线kx ﹣y+2=0上，代入解得k=﹣1，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．本题主要考查的难点在于对应的区域为线段．4．【答案】D【解析】解：∵命题p；对任意x∈R，2x2﹣2x+1≤0是假命题，命题q：存在x∈R，sinx+cosx=是真命题，∴①不正确，②正确，③不正确，④正确．故选D．5．【答案】D【解析】解：（1）当a=0时，方程是2x﹣1=0，可知有一个正实根．（2）当a≠0，当关于x的方程ax2+2x﹣1=0有实根，△≥0，解可得a≥﹣1；①当关于x的方程ax2+2x﹣1=0有一个正实根，有﹣＜0，解可得a＞0；②当关于x的方程ax2+2x﹣1=0有二个正实根，有，解可得a＜0；，综上可得，a≥﹣1；故选D．【点评】本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题．在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．6．【答案】C【解析】考点：余弦定理． 7．【答案】C【解析】解：A ．∀x ∈R ，2x ﹣1=0正确；B ．当0＜x ＜10时，lgx ＜1正确；C ．当x=1，（x ﹣1）2=0，因此不正确；D ．存在x ∈R ，tanx=2成立，正确．综上可知：只有C 错误．故选：C ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性，属于基础题．8．【答案】C 【解析】解：∵a=2，b=6，A=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵B ∈（0°，180°）， ∴B=120°或60°．故选：C ．9．【答案】A【解析】解：两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，所以=≠，解得 a=﹣3，或a=1．故选：A ．10．【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线方程为：x=﹣1， ∵P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3．故选：B ．【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．11．【答案】A解析：抛物线C ：y x 82的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），∵，∴2m=﹣a，4=﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A．12．【答案】B【解析】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，则﹣1＜﹣a＜，即﹣＜a＜1，故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．二、填空题13．【答案】, 无．【解析】【知识点】等比数列【试题解析】设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为毫克，所以）=300，=350．由，所以是一个等比数列，所以所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

江苏省连云港市重点中学四校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题及参考答案

2022-2023学年第二学期期中考试高二数学试题满分150分考试时间120分钟一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题纸相应位置上．1．正方体1111ABCD A B C D -中，化简1AB BD AC +-=（） A ．1C B B ．1BC C ．1C D D ．1DC2．连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站，则铁路部门需要准备（）种不同的车票．A ．22B ．55C ．121D ．1103．在10()a b +的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（） A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项 D ．第10项4．已知直线l α∥，且的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，则m =（） A ．1 B ．1- C ．8- D ．85．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%20%50%、、，且三家工厂的次品率分别为3%3%1%、、，则市场上该品牌产品的次品率为（） A ．0.01 B ．0.02 C ．0.03 D ．0.056．已知点(1,2,1),(4,11,4),(1,1,1)A B D ，若点P 满足2AP PB =，则||PD =（）．A ．37BC ．57D ． 7．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（）A ．3B ．53C ．5D ．98．已知正四面体ABCD 中，4,4AE AB CF CD ==，则DE 与BF 夹角的余弦值为（）A ．313 B ．413- C ．313- D ．413 二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项填在答题纸相应位置上．9．已知,A B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，则下列结论正确的是（）A ．()()1P A P A +=B ．若()()()P AB P A P B =，则A ，B 独立C ．若A ，B 独立，则()()P A B P B =D ．()()1P A B P A B += 10．下列说法正确的是（）A ．4男2女站成一排，若2名女生相邻，有240种排法．B ．4男2女站成一排，若2名女生不相邻，有240种排法．C ．4个不同的球放入4个不同的盒中，有256种不同的放法．D ．4个不同的球放入4个不同的盒中（恰有1个空盒），有216种不同的放法． 11．已知8280128()(2)f x x a a x a x a x =-=++++，则（）A ．01281a a a a +++⋅+=B ．812383a a a a +++⋯+=C ．(1)f -除以5所得的余数是1D ．12382388a a a a ++++=-12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0,1],[0,1]λμ∈∈，则（）A ．当1λ=且12μ=时，有1PB AC ∥ B ．当12λ=且1μ=时，有1AB BP ⊥C ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值D ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 13．端午节思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽．思原随机取出两个，事件A “取到的两个为同一种馅”，事件B “取到的两个都是艾香粽”，则()P B A =____________．14．81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为______________（用数字作答）． 15．某学校安排6名高三教师去2个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有2名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有_____________种． 16．已知向量,a b 满足(1,1,2),||2a b ==，且||3||a b a b +=-，则a b ⋅=_________，a b+在a 上的投影向量的坐标为______________．四、解答题：共6小题，共70分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知空间中三点(2,0,2),(1,1,3),(3,0,1)A B C --，设,a AB b AC ==．（1）若||3c =，且c BC ∥，求向量c ；（2）已知向量a kb +与b 互相垂直，求k 的值． 18．（本小题满分12分）用0，1，2，3，4，5这6个数字可组成多少个：（1）没有重复数字的四位数？（2）比2000大且没有重复数字的自然数？（3）没有重复数字且被25整除的四位数？ 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1,AC CC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1A BD ；（2）求点1B 到平面1A BD 的距离；（3）求二面角1D BA A --的余弦值． 20．（本小题满分12分）本市某制药企业有甲、乙两个研发小组，甲组有3名女性和4名男性成员，乙组有1名女性和2名男性成员．为公平竞争，现从甲组任选2名成员加入乙组．（1）记随机变量X 表示从甲组选出的男性成员个数，求X 的概率分布与数学期望；（2）调整后从乙组任选2名成员，求他们均为男性成员的概率． 21．（本小题满分12分）已知在3312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项为常数项．（1）求展开式中所有项的二项式系数和；（2）求展开式中所有项的系数和；（3）求展开式中所有的有理项． 22．（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,BCD AB AD =，O 为BD 的中点，OCD △是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =．（1）证明：OA BC ⊥；（2）当1AO =时，求点E 到直线BC 的距离；（3）若二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥E BCD -的体积．2022-2023学年第二学期期中考试高二数学试题评分标准一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。

江苏省太湖高级中学2018-2019学年第二学期期中考试高一数学试卷

江苏省太湖高级中学201—2019学年度第二学期期中考试试卷高一数学2019．4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为A ．30°B ．45°C ．120°D ．150°2．已知点A(1，B(﹣1，，则直线AB 的倾斜角是A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝B ＝6π，则角A 为A ．4πB ．3πC ．34πD ．4π或34π 4．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．5．在△ABC 中，A ：B ：C ＝1：1：4，则a ：b ：c 等于A ．1：1B ．2：2C ．1：1：2D ．1：1：46．已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为4π，则该圆锥的体积为A B ．43π C ．3π D7．在△ABC 中，若cosC ＝，b cosA ＋a cosB ＝3，则△ABC 外接圆的半径为A ．B ．C ．4D ．68．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．15 B ．25 C ．35 D ．459．已知M(1，2)，N(4，3)，直线l 过点P(2，﹣1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k的取值范围是A．[﹣3，2] B．(-∞，﹣3][2，+∞)C．[13-，12] D．(-∞，13-][12，+∞)10．已知两条直线m、n与两个平面α、β，有下列四个命题：①若m∥n，n∥α，则m ∥α；②若α∥β，m∥n，且m⊥α，则n⊥β；③若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β．其中，正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，若(a﹣b)(sinA＋sinB)＝(c﹣b)sinC，a b2＋c2的取值范围是A．(3，6) B．(3，5) C．(5，6] D．[5，6]12．在△ABC中，若cos2C2＝54a cosA﹣14c cosB＋12，且b＝2，则边a的最小值为A．5B．5C．9625D．11225二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）13．若直线l1：ax＋(1﹣a)y＝3与l2：(a﹣1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a的值为．14．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．15．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC BC＝1，E、F分别为AB、PC 的中点，则三棱锥B—EFC的体积为．16．在△ABC中，若b＝6，ac cosB＝a2﹣b2，O为△ABC内一点，且满足OA+ OB OC0+=，∠BAO＝30°，则OA＝．第8题第15题三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）已知在平面直角坐标xOy 中，A(8，﹣6)，B(2，2)．（1）求线段AB 的中垂线方程；（2）求过点P(﹣2，1)且与直线AB 平行的直线l 的方程．18．（本题满分10分）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N ．（1）求证：BC ⊥平面VCD ；（2）求证：AD ∥MN ．19．（本题满分12分）在△ABC 中，若A ＝4，a 2﹣c 2＝12b 2．（1）求sinC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求边长a ．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（3）求证：EF ∥平面PCD ．21．（本题满分12分）某学校的平面示意图为如下五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD＝∠CDE＝23π，∠BAE＝3π，DE＝3BC＝3CD＝3 km．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．22．（本题满分14分）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点，现在沿AE将△ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：（1）在线段AB上是否存在一点K，使得BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（2）若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE．。