高考数学难点突破_难点30__概率

难点30 概率

概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法.

●难点磁场

(★★★★★)如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2

.

●案例探究

［例1］(★★★★★)有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：

［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；

(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.

命题意图：本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法.

知识依托：频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法.

错解分析：解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别.

技巧与方法：本题关键在于掌握三种表格的区别与联系.

(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：

［例2］(★★★★★)某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ

设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花

保养费用100元，问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？

命题意图：本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题. 知识依托：期望的概念及函数的有关知识.

错解分析：在本题中，求Ey 是一个难点，稍有不慎，就将产生失误.

技巧与方法：可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题. 解：设x 为月初电器商购进的冰箱台数，只须考虑1≤x ≤12的情况，设电器商每月的

收益为y 元，则y 是随机变量ζ的函数且y =⎩

⎨⎧<--≥x x x x

x ζζζ),(100300,300,电器商平均每月获益

的平均数，即数学期望为：Ey =300x (P x +P x +1+…+P 12)+［300－100(x －1)］P 1+［2×300－100(x

－2)］P 2+…+［300(x －1)－100］P x －1

=300x (12－x +1)121+ 12

1［300×2)1(1002)1(x x x x -⨯

--］ =

3

25

(－2x 2+38x ) 由于x ∈N ,故可求出当x =9或x =10时，也即电器商月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.

●锦囊妙记

本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.

涉及的思维方法：观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有：逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)甲射击命中目标的概率是21，乙命中目标的概率是3

1

，丙命中目标的概率是

41

.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) 10

7 D. 54C. 32 B. 43A. 2.(★★★★)已知随机变量ζ的分布列为：P (ζ=k )=3

1

,k =1,2,3,则P (3ζ+5)等于( )

A.6

B.9

C.3

D.4 二、填空题

3.(★★★★)1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望E ζ=_________.

4.(★★★★)某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参

加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.

三、解答题

5.(★★★★★)甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： (1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率.

6.(★★★★)已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f (x )=⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤-≤2 021 1

0x x a x x

(1)求常数a 的值，并画出ζ的概率密度曲线； (2)求P (1＜ζ＜

2

3

). 7.(★★★★★)设P 在［0,5］上随机地取值，求方程x 2+px +

2

1

4+p =0有实根的概率. 8.(★★★★★)设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？

参考答案

难点磁场

解：记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ，由已知条件P (A )=0.80, P (B )=0.90,P (C )=0.90.

(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A )P (B )P (C )=0.648,故系统N 1正常工作的概率为0.648

(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A )·［1－P (C B ⋅)］ =P (A )·［1－P (B )P (C )］

=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792 故系统N 2正常工作的概率为0.792 歼灭难点训练

一、1.解析：设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生.

.

4

1)411)(311)(211()](1[)](1[)](1[)()()()(=---=-⋅-⋅-=⋅⋅=⋅⋅∴C P B P A P C P B P A P C B A P

故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )=1－4

3

41= 答案：A