假期作业四答案

高一数学假期作业（四）
一选择题
1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于( ) A.1 B.53
C.- 2
D.3 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于
（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45
3．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为
14的等差数列， 则|m －n |=( )
A ．1 B.34 C.12 D 38
4．已知等比数列}{n a 中1n n a a +>，且37283,2a a a a +=⋅=，则117
a a =（ ） A. 21 B. 23 C. 32
D. 2 5．已知数列}{n a 满足)(133
,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
23 6．若等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为（ ）
A ．130
B ．170
C ．210
D ．250
7．等差数列}{n a 中，543a a a ++=12，那么}{n a 的前7项和7S =（ ）
A ．22
B ．24
C ．26
D ．28
8．设0,0x y >>，若,,,x a b y 成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2
()a b cd
+的最小值为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
二填空题
9．设数列{n a }的前n 项和为2n S n =1n ++，则n a = ．
10．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a +=()
*n N ∈，且11a =，则通项公式n a = ．
三解答题
11．.数列{a n }的前n 项和S n =100n-n 2(n ∈N *).
(1){a n }是什么数列?
(2)设b n =|a n |,求数列{b n }的前n 项和.
12．等差数列{}n a 中，23a =，59a =；数列{}n b 的前n 项和是n S ，且1122
n n S b +=． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ) 求证：数列{}n b 是等比数列；
(Ⅲ) 记n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n T ．
参考答案
1．C 【解析】∵31336()2
S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C. 2．：42 【解析】：由已知 12312,2313,a a a a d =+=+= 得公差d=3, 所以
4565
3a a a a ++= ()()134321242a d =+=⋅+=. 易错点：不能熟练使用等差中项的概念，仅用通项公式代入，这样影响了解题速度、甚至导致运算上的失误.
3．C 【解析】.因为抛物线22y x x m =-+ 与2
2y x x n =-+有公共的对称轴x =1，又它们与x 轴的4个交点的横坐标(即题设方程的4个根)成等差数列，所以可设为 .31 ,1 ,1 ,314321p x p x p x p x +=+=-=-= 且有114
x =，14,x x 在同一抛物线上，23,x x 在另一抛物线上，故 1134p -=，得14p =，从而2214231|||||(19)(1)|2
m n x x x x p p -=-=---= 4．D 【解析】解析：2837a a a a ⋅=⋅，37371
3,2n n a a a a a a ++=⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩解得371,2a a =⎧⎨=⎩，711732a a a a ==，故选D 5．B 【解析】由a 1=0,).(133
1++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a
由此可知：数列{a n }是周期变化的,且三个一循环，所以可得:a 20=a 2=－.3
6．C 【解析】 令1m =，得11230,100a a a =+=，即12330,70,110a a a ===．
7.D 8．D
9．n a =3,1,2, 2.
n n n =⎧⎨≥⎩【解析】试题分析：当1n =时113a S ==，当2n ≥时
()()2
2111112n n n a S S n n n n n -=-=++-----=，综上 ()(
)3122n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩
10．21,1,13,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩
【解析】试题分析：由已知12n n S a +=()
*n N ∈可得*),1(21N n n a S n n ∈>=-两式相减得：当*,1N n n ∈>时有：n n n n n a a a a a 322211=⇒-=++，即
231=+n n a a ， 由11a =及12n n S a +=()*n N ∈可得2
12=a ， 所以数列{}n a 从第二项开始成一个首项为212=
a ，公比为23的等比数列， 故当*,1N n n ∈>时有：22321-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n a ，所以有21,1,13,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩． 11．(1) 数列{a n }是首项为a 1=99,公差d=-2的等差数列.
(2) 数列{b n }的前n 项和为S n ′=⎪⎩⎪⎨⎧≥∈+-≤≤∈-.
51,,1005000,501,,100*2*2n N n n n n N n n n 【解析】(1)a n =S n -S n-1=(100n-n 2)-［100·(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n ≥2). ∵a 1=S 1=100×1-12=99=101-2×1,
∴数列{a n }的通项公式为a n =101-2n(n ∈N *).
又a n+1-a n =-2为常数,∴数列{a n }是首项为a 1=99,公差d=-2的等差数列.
(2)令a n =101-2n ≥0,得n ≤50.5.
∵n ∈N *,∴n ≤50(n ∈N *).
①当1≤n ≤50时,a n >0,此时b n =|a n |=a n ,所以{b n }的前n 项和S n ′=100n-n 2. ②当n ≥51时,a n <0,此时b n =|a n |=-a n ,
由b 51+b 52+…+b n =-(a 51+a 52+…+a n )=-(S n -S 50)=S 50-S n ,
得数列{b n }的前n 项和为
S n ′=S 50+(S 50-S n )=2S 50-S n =2×2 500-(100n-n 2)=5 000-100n+n 2.
由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′=⎪⎩⎪⎨⎧≥∈+-≤≤∈-.
51,,1005000,501,,100*2*2n N n n n n N n n n 12．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由213a a d =+=，5149a a d =+=， 解得11a =，2d =，∴{}n a 通项公式为21n a n =-.……………………3分
(Ⅱ)由111122S b +=得113b =，由1122n n S b =-，1111(2)22
n n S b n --=-≥， 得111111*********
n n n n n n n S S b b b b b ----==--+=-+，∴13n n b b -=即113n n b b -=，………5分 ∵10b ≠，∴{}n b 是以113b =为首项，13
为公比的等比数列. ………………7分 (Ⅲ)由(Ⅱ)得1()3n n b =，则213
n n n n n c a b -=⋅=，从而 23135213333
n n n T -=+++……+，∴234111352133333n n n T +-=+++……+，……………9分 ∴212311111(1)2111121121222332(21333333333313
n n n n n n n n n T -+++---+=++++=+⨯-=--……)-， ∴113
n n n T +=-
.…………………………………………12分。