全国各地2011届高三月高三月考试题106套考试题(1)

增城中学2011届高三级第三次阶段综合测试高三级数学理科试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数ii+−11的虚部为 （ ）A．0B．2C．1D．-12．已知向量()13,a =r ，()3,b x =r ，若//a b r r，则实数x 等于（ ）A．6 B. 9 C. 1 D. –1 3. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m = A.9 B.10 C.11 D.124. 若实数,x y满足12,1,3,2−+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤y x S y x y x 则的最大值为（ ）A．6 B．4 C．3 D．25. 下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )A．sin 2y x = B.tan y x = C.22cos 1y x =− D.cos 2xy =6．方程1202xx ⎛⎞−−=⎜⎟⎝⎠的根所在的区间为 （ ）A． (1,2) B．(0,1) C． (1,0)− D．(2,3)7. 某器物的三视图如右图所示，根据图中数据可知该器物 的表面积为（ ） A．4π B．5πC．8πD．9π8. 已知函数()|2||3|f x x x =−++，命题p ：,x R ∃∈使()f x a < .则“命题p 是假命题”，是“5a <”的（ ）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)55,65,65,75,[)75,85,[)85,95由此得到频率分布直方图如图,则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在[)55,75的人数约占该厂工人总数的百分率是 .10．二项式41()x x−的展开式的常数项是 。

（用数字作答） 11．若双曲线2214x y m −=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则=m 。

12．如右图是一个算法的程序框图,当输出值y 的 范围大于1时,则输入值x 的取值范围是 .13．设()123,,=A a a a ，123⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠b B b b ，记{}112233max , , ∗=A B a b a b a b ， 若()1,1,1=−+A x x ， 121⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠B x x ，且1∗=−A B x ，则实数x 的取值范围是(二) 选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P。

若PB=1，PD=3，则BC AD的值为15．(坐标系与参数方程选讲选做题）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧−=−=.24,12t y t x （参数R ∈t ），以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离为三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. (本小题满分12分)已知向量()2cos ,sin =r a x x，()=r b x ，设()=•r rf x a b ，()∈x R（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当,44⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦x ππ时，求函数()f x 的最小值。

17．(本小题满分12分)第16届亚运会将于2010年11月12日在广州举办，运动会期间来自广州大学和中山大学的共计6名大学生志愿者将被随机平均分配到跳水、篮球、体操这三个比赛场馆服务，且跳水场馆至少有一名广州大学志愿者的概率是35。

（1）求6名志愿者中来自广州大学、中山大学的各有几人？（2）设随机变量X 为在体操比赛场馆服务的广州大学志愿者的个数， 求X 的分布列及期望。

18．(本小题满分14分)如图，四棱锥倍，P 为侧棱SD 上的点。

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D 的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。

若存在，求SE：EC 的值；若不存在，试说明理由。

19．(本小题满分14分)设函数2()ln()2f x x a x =++。

（Ⅰ）若当1x =−时，()f x 取得极值，求a 的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，方程2ln()20x a x m ++−=恰好有三个零点， 求m 的取值范围；（Ⅲ）当01a <<时，解不等式(21)ln f x a −<。

20．(本小题满分14分)已知抛物线G 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，点P（m，4）到其准线 的距离等于5。

（I） 求抛物线G 的方程；（II） 如图，过抛物线G 的焦点的直线依次与抛物线G 及圆1)1(22=−+y x 交 于A、C、D、B 四点，试证明||||BD AC ⋅为定值；（III）过A、B 分别作抛物G 的切线2121,,,l l l l 且交于点M，试求BDM ACM ΔΔ与 面积之和的最小值。

21．(本小题满分14分)已知函数()1f x x =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N ∗∈，点221,4n n n P a a ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠都在函数()f x 图像上，且1 1 , 0n a a =>；（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意n N ∗∈，)112n S >−17. 解:（1）记至少一名广州大学志愿者被分到跳水比赛场馆为事件A ， 则A 的对立事件为“没有广州大学志愿者被分到跳水比赛场馆”， 设有广州大学大学生志愿者x 人（16x ≤<）,则226422643()15x C C P A C C −=−=，即211180x x −+=， 解得2x =，9x =（舍去）， 即来自广州大学的志愿者有2人，来自中山大学的志愿者有4人． ………6分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2224422642(0)5C C P X C C ===，11224422648(1)15C C C P X C C ===， 2422641(2)15C P X C C ===……9分故X 的分布列为………10分从而2812()012515153E X =×+×+×=（人）. (12)分解法二：（Ⅰ）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向， 建立坐标系O xyz −如图。

……1分设底面边长为a ，则高2SO a =。

于是 ),(,0,0)2S D a ， ,0)2C a,0)OC =， (,0,)2SD a = 0OC SD ⋅= 故 OC SD ⊥，从而 AC SD ⊥………3分19.解: （1）()/14f x x x a=++ …………………………………..…….2分 Q 当1x =−时,()f x 取得极值, ()15140,14f a a∴−=−==−+….…..4分(2) 由25ln 204x x m ⎛⎞++−=⎜⎟⎝⎠得25ln 24x x m ⎛⎞++=⎜⎟⎝⎠,令()()25ln 2,4f x x x g x m ⎛⎞=++=⎜⎟⎝⎠则由已知条件转化为()f x 与()g x 的图像有3个交点………..….…….5分Q ()()()/4411154,()4544x x f x x x x x ++=+=>−++∴由()/510144f x x x >⇒−<<−>−或;()/1014f x x <⇒−<<−……….6分故函数()f x 在5,14⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠单调递增,在11,4⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠单调递减, 1,4⎛⎞−+∞⎜⎟⎝⎠单调递增…..7分()122ln 2f −=−为极大值; 1148f ⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠为极小值……………………………..……8分如图,当()114f m f ⎛⎞−<<−⎜⎟⎝⎠时, ()f x 与()g x 的图像恰有3个交点122ln 28m ∴<<− (9)分20. 解：（1）由题知，抛物线的准线方程为12,01==+py …………2分所以抛物线C 的方程为,42y x =…………3分（2） 设直线AB 方程:1+=kx y ,且AB 交抛物线C 于点),(),,(2211y x B y x A 由抛物线定义知1||,1||21+=+=y BF y AF …………4分 所以21||,||y BD y AC ==…………5分由⎩⎨⎧+==142kx y yx 得0442=−−kx x …………6分 显然4,4,02121−=⋅=+>Δx x k x x 则…………7分所以||||,116222121BD AC x x y y ⋅=⋅=⋅所以为定值1 (8)分21.解。