高三数学月考试卷(附答案)
2024-2025学年湖南省长沙一中高三上学期月考卷(三)数学试题及答案
长沙市一中2025届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）A.5B.25C.5D.22.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.213.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(1,0)-C .1(0,)16-D.1(0,)164.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.πsin 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x C.πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s6.若83cos 5αβ=，63sin 5αβ-=，则()cos αβ+的值为（）A.54-B.54C.104-D.1047.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.498.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11- D.{}20,19-二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD⊥ D.//EF 平面11CDD C10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A.12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为 D.OQ 11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23b x a=-C .1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.13.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A -=.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC Va 的值.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.长沙市一中2025届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）A.5B.25C.5D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，计算其模，即得答案.【详解】由1i34i z +=-可得()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+，则25z =,故选：C2.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.21【答案】B 【解析】【分析】利用52S S -即可求得345a a a ++的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，所以34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=.故选：B.3.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(1,0)-C.1(0,16-D.1(0,)16【答案】D 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,16，故选：D4.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3⎛⎫=+⎪⎝⎭y x C.πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】观察图象，确定函数()sin y x ωϕ=+的周期，排除B ，由图象可得当5π12x =时，函数取最小值，求ϕ由此判断AC ，结合诱导公式判断D.【详解】观察图象可得函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期为2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ππω=，故2ω=或2ω=-，排除B ；观察图象可得当π2π5π63212x +==时，函数取最小值，当2ω=时，可得5π3π22π+122k ϕ⨯+=，Z k ∈，所以2π2π+3k ϕ=，Z k ∈，排除C ；当2ω=-时，可得5ππ22π122k ϕ-⨯+=-，Z k ∈，所以π2π+3k ϕ=，Z k ∈，取0k =可得，π3ϕ=，故函数的解析式可能为πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，A 正确；5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误故选：A.5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /s B.20km /sC.80km /s 3D.40km /s【答案】B 【解析】【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.【详解】由题意122m m =，122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===，得03ln 82v =，故0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--，故选：B6.若83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，则()cos αβ+的值为（）A.4-B.4C.4-D.4【答案】C【解析】【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【详解】因为83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，所以25(3cos 4)62αβ=，2(3sin )2536αβ=，即所以2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin2536ααββ-=，两式相加得9)104αβ+++=，所以cos()4αβ+=-，故选：C ．7.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.49【答案】A 【解析】【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以求解.【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以，所以该质点共两次到达1的位置的概率为211124333332713⨯⨯+⨯⨯=.故选：A.8.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11- D.{}20,19-【答案】A【解析】【分析】利用121++=+n n a a n 可证明得数列{}21n a -和{}2n a 都是公差为2的等差数列，再可求得()2=21n S n n +，有了这些信息，就可以从k 的取值分析并求解出结果.【详解】因为121++=+n n a a n ，所以()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n n n --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+，假设()2=21=210n S n n +，解得=10n 或21=2n -（舍去），由存在*N k ∈，1210k k S S +==，所以有19k =或20k =，由121++=+n n a a n 可得，+1223n n a a n ++=+，两式相减得：22n n a a +-=，当20k =时，有2021210S S ==，即210a =，根据22n n a a +-=可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以()211+11120a a =-⨯=，解得120a =-，当19k =时，有1920210S S ==，即200a =，根据22n n a a +-=可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以()202+10120a a =-⨯=，解得218a =-，由已知得123a a +=，所以121a =.故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD⊥ D.//EF 平面11CDD C 【答案】ABD【解析】【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB ，利用反证法可判断C ，利用线面平行判定定理可判断D.【详解】如图所示，连接AC ，1CD ，EF ，由于E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，即F 为AC 的中点，所以1//EF CD ，EF ⊄面11CDD C ，1CD ⊆面11CDD C ，所以//EF 平面11CDD C ，即D 正确；所以EF 与1CD 共面，而1B ∉1CD ，所以直线EF 与11D B 为异面直线，即A 正确；连接1BC ，易得11//D E BC ，所以1DC B ∠即为直线1D E 与1DC 所成的角或其补角，由于1BDC 为等边三角形，即160DC B ∠=，所以B 正确；假设1D F AD ⊥，由于1AD DD ⊥，1DF DD D = ，所以AD ⊥面1D DF ，而AD ⊥面1D DF 显然不成立，故C 错误；故选：ABD.10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A.12l l ⊥B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O截得弦长为 D.OQ【答案】ACD【解析】【分析】选项A 根据12l l ⊥，12120A A B B +=可判断正确；选项B 由圆心O 到1l 的距离不等半径可判断错误；选项C 根据垂直定理可得；选项D 先求出()4sin cos ,4cos sin Q θθθθ-+，根据两点间的距离公式可得.【详解】选项A ：因()cos sin sin cos 0θθθθ+-=，故12l l ⊥，A 正确；选项B ：圆O 的圆心O 的坐标为()0,0，半径为2r =，圆心O 到1l的距离为14d r ==>，故直线1l 与圆O 相离，故B 错误；选项C：圆心O到1l的距离为21 d=，故弦长为l==，故C正确；选项D：由cos sin4sin cos1x yx yθθθθ+=⎧⎨-=⎩得4cos sin4sin cosxyθθθθ=+⎧⎨=-⎩，故()4cos sin,4sin cosQθθθθ+-，故OQ==，故D正确故选：ACD11.已知三次函数()32f x ax bx cx d=+++有三个不同的零点1x，2x，()3123x x x x<<，函数()()1g x f x=-也有三个零点1t，2t，()3123t t t t<<，则（）A.23b ac>B.若1x，2x，3x成等差数列，则23bxa=-C.1313x x t t+<+D.222222123123x x x t t t++=++【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由题意可得()0f x'=有两个不同实根，则由0∆>即可判断；对于B，若123,,x x x成等差数列，则()()22,x f x为()f x的对称中心，即可判断；对于C，结合图象，当0a>和0a<时，分类讨论即可判断；对于D，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.【详解】因为()32f x ax bx cx d=+++，则()232f x ax bx c'=++，0a≠，对称中心为,33b bfa a⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，对于A，因为()f x有三个不同零点，所以()f x必有两个极值点，即()2320f x ax bx c'=++=有两个不同的实根，所以2Δ4120b ac=->，即23b ac>，故A正确；对于B ，由123,,x x x 成等差数列，及三次函数的中心对称性，可知()()22,x f x 为()f x 的对称中心，所以23b x a=-，故B 正确；对于C ，函数()()1g x f x =-，当()0g x =时，()1f x =，则1y =与()y f x =的交点的横坐标即为1t ，2t ，3t ，当0a >时，画出()f x 与1y =的图象，由图可知，11x t <，33x t <，则1313x x t t +<+，当0a <时，则1313x x t t +>+，故C 错误；对D ，由题意，得()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx d a x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩，整理，得123123122331122331b x x x t t t a c x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，得()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++，即222222123123x x x t t t ++=++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.【答案】9【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()3E X =，()2D X =，则()3,12np np p =-=，即得1,93p n ==，故答案为：913.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a 上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.【解析】【分析】由条件结合投影向量公式可求a b ⋅ ，根据向量模的性质及数量积运算律求a b + .【详解】因为b 在a 上的投影向量为14a - ，所以14b a a a a a ⋅⋅=- ，又2a = ，所以1a b ⋅=- ，又1= b ，所以a b +== .14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.【答案】11【解析】【分析】连接,EG ED ，将多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -，利用题设条件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四面体的体积即可求得多面体EFGHBD 的体积.【详解】如图，连接,EG ED ，则多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -.因H 是AD 上靠近D 点的四等分点，则14DHE AED S S =，又E 是AB 的中点，故11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= ，因G 是CD 上靠近D 点的四等分点，则点G 到平面ABD 的距离是点C 到平面ABD 的距离的14，故三棱锥G EDH -的体积1113218432G EDH C ABD V --=⨯=⨯=；又因点F 是BC 的中点，则133248CFG BCD BCD S S S =⨯= ，故58BFGD BCD S S = ，又由E 是AB 的中点知，点E 到平面BCD 的距离是点A 到平面BCD 的距离的12，故四棱锥E BFGD -的体积51532108216E BFGD A BCD V --=⨯=⨯=，故多面体EFGHBD 的体积为11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：（1）分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；（2）补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V ，求a 的值.【答案】（1）π3A =（2）2a =【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan A =，从而得解；（2）利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于a 的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为sin cos 0a B A =,即sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，所以sin A A =,则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，因为π3A =，所以113sin 222ABC S bc A bc ==⨯= ，则4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得224b c bc +-=，所以()234b c bc +-=，则()22344a -⨯=，解得2a =.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.【答案】（1）4230--=x y （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数式和导函数式求出(1)f 和(1)f '，利用导数的几何意义即可写出切线方程；（2）对函数()f x 求导并分解因式，根据参数a 的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减，即得()f x 的单调性.【小问1详解】当0a =时，()221ln 2f x x x x =+，()2(ln 1)f x x x =+'，因1(1),(1)22f f '==，故()f x 在1x =处的切线方程为12(1)2y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】因函数()()221ln 2f x x ax x x =++的定义域为(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'，①当2a e ≤-时，若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在1(0,)e上单调递增；若1e x >，由20x a +=可得2a x =-.则当1e 2a x <<-时，20x a +<，ln 10x +>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)e 2a -上单调递减；当2a x >-时，ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在(,)2a -+∞上单调递增；②当2e a >-时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e +∞上单调递增；若12e a x -<<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)2e a -上单调递减；若02a x <<-，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在(0,)2a -上单调递增，当2e a =-时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，综上，当2e a <-时，函数()f x 在1(0,e 上单调递增，在1(,e 2a -上单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当2e a =-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2e a >-时，函数()f x 在(0,2a -上单调递增，在1(,2e a -上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）13【解析】【分析】（1）根据线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥，再根据线面平行的性质定理可证BD ∥MN ，进而可得结果；（2）根据题意可证⊥PO 平面ABCD ，根据线面夹角可知PAC 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】设AC BD O = ，则O 为,AC BD 的中点，连接PO ，因为ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，又因为PD PB =，且O 为BD 的中点，则PO BD ⊥，AC PO O = ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，则BD PC ⊥，又因为BD ∥平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，平面AMHN 平面PBD MN =，可得BD ∥MN ，所以MN PC ⊥.【小问2详解】因为PA PC =，且O 为AC 的中点，则PO AC ⊥，且PO BD ⊥，AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，可知PA 与平面ABCD 所成的角为60PAC ∠=︒，即PAC 为等边三角形，设AH PO G =I ，则,G AH G PO ∈∈，且AH⊂平面AMHN ，PO ⊂平面PBD ，可得∈G 平面AMHN ，∈G 平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以G MN ∈，即,,AH PO MN 交于一点G ，因为H 为PC 的中点，则G 为PAC 的重心，且BD ∥MN ，则23PM PN PG PB PD PO ===，设2AB =，则11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========，如图，以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则)()22,0,0,3,0,,1,0,,133A P M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uuur uuu r ，设平面AMN 的法向量()111,,x n y z =，则1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令11x =，则110,y z ==，可得(n = ，设平面PAM 的法向量()222,,m x y z =，则2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令2x =，则123,1y z ==，可得)m =u r，可得39cos ,13n m n m n m ⋅==⋅r u r r u r r u r ，所以平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值3913.18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）线段AB 的长为6；（2）（i ）直线l的方程为221x y =±+；（ii ）直线l的斜率的取值范围为33(,)(,7447-- .【解析】【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；（2）（i ）（ii ）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】由双曲线22:13y x Γ-=的方程，可得221,3a b ==，所以1,2a b c ===，所以1(2,0)F -，2(2,0)F ，若AB x ⊥轴，则直线AB 的方程为2x =，代入双曲线方程可得(2,3),(2,3)A B -，所以线段AB 的长为6；【小问2详解】（i）如图所示，若直线l 的斜率为0，此时l 为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设:2l x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(31)1290t y ty -++=，t 应满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，由根与系数关系可得121222129,3131t y y y y t t +=-=--，直线1AF 的方程为110(2)2y y x x -=++，令0x =，得1122y y x =+，点112(0,2y M x +，直线1BF 的方程为220(2)2y y x x -=++，令0x =，得2222y y x =+，点222(0,2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- ，111212221||||||222F M N M F MNN S y y x y y y y x x =-=-=-++ 12122112212121212222(4)2(4)8()|||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++，由11F AB F MN S S = ，可得1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++，所以21212|4()16|4t y y t y y +++=，所以222912|4(16|43131t t t t t ⨯+-+=--，解得22229484816||431t t t t -+-=-，22916||431t t -=-，解得22021t =，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以t =，所以直线l的方程为221x y =±+；（ii ）由1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，可得2190F MF >︒∠，所以110F F N M < ，又112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+ ，所以1212224022y y x x +⨯<++，所以121210(2)(2)y y x x +<++，所以1221212104()16y y t y y t y y +<+++，所以2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--，所以22970916t t -<-，解得271699t <<，解得433t <<或433t -<<-，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以直线l 的斜率的取值范围为33(,)(,)7447-- .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12211||||2F F y y ⨯-或121||||2AB x x ⨯-.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）12170,1,4b b b ===（2）1(1)22n n +-⨯+（3）n a n=【解析】【分析】（1）根据集合新定义，利用列举法依次求得对应值即可得解；（2）根据集合新定义，求得12,b b ，121222i i i b b b i +++==== ，从而利用分组求和法与裂项相消法即可得解.（3）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；【小问1详解】因为2n a n =，则123451,4,9,16,25a a a a a =====，所以{}*11i B i a =∈<=∅N ∣，{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣，故12170,1,4b b b ===.【小问2详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N ，所以10b =，20b =，当122i i k +<≤时，则满足i a k <的元素个数为i ，故121222i i i b b b i +++==== ，所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ 1212222n n =⨯+⨯++⨯ ，注意到12(1)2(2)2n n n n n n +⨯=-⨯--⨯，所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ 1(1)22n n +=-⨯+.【小问3详解】由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =，若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾，所以11a =，设()*1n n n d a a n +=-∈N ，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ，假设存在*k ∈N 使得2k d ≥，设k a t =，由12k k a a +-≥得12k a t ++≥，由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾，所以对任意*n ∈N 都有1n d =，所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题含答案
湖南2025届高三月考试卷（三）数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分得分：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是（）A.7B.8C.15D.162.“11x -<”是“240x x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，则sin2α=（）A.43B.725C.2425D.2425-4.设向量a ，b 满足a b += a b -=a b ⋅ 等于（）A. B.2C.5D.85.若无论θ为何值，直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点，则m 的取值范围是（）A.1m ≥ B.01m <≤C.05m <<，且1m ≠ D.1m ≥，且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f x ++-=，且当()2,4x ∈时，()()12log 2f x x m =--+，若()()2025112f f -=-，则m 等于（）A.13B.23C.23- D.13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上，且AB =，11A B =棱台的高为（）A.1B.4C.7D.1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab 个，下底有cd 个，共n 层的堆积物（如图所示），可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab ，()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd +++⋅++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A.2B.6C.12D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ ，则下列正确的是（）A.02024a = B.20240120243a a a +++= C.012320241a a a a a -+-++= D.12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列说法中正确的有（）A.()f x 与()g x 有相同的零点B.()f x 与()g x 有相同的最大值点C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）A.5OA OB ⋅=-B.直线MN 恒过定点C.点M 的轨迹方程是()22(1)10y x y -+=≠D.AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1z ，2z 的模长为1，且21111z z +=，则12z z +=________.13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则sin B =________.14.若正实数1x 是函数()2e e xf x x x =--的一个零点，2x 是函数()()()3e ln 1e g x x x =---的一个大于e的零点，则()122e ex x -的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按10%的复利计算.（1）计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？（2）试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：101.12.594≈，101.259.313≈）16.（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，222AD AB BC ===.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.（1）在图中过A 作平面PCD 的垂线段，H 为垂足，并给出严谨的作图过程；（2）若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()e sin cos x f x x x =+-，()f x '为()f x 的导数.（1）证明：当0x ≥时，()2f x '≥；（2）设()()21g x f x x =--，证明：()g x 有且仅有2个零点.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆C 上一动点，设12F PF θ∠=，当23πθ=时，12F PF ∆.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N （M 在B ，N 之间），若Q 为椭圆C 上一点，且OQ OM ON =+ ，①求OBMOBNS S 的取值范围；②求四边形OMQN 的面积.19.（本小题满分17分）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数X 的均值11()()lim ()n n k k E X kP k kP k ∞→∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑）（2）对于两个离散型随机变量ξ，η，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记()()()11,m i i ijj p x p x p x y ξ====∑，()()()21,njjiji p y p y p x y η====∑）ξη1x 2x ⋯nx 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y()2,n p x y ()22p y⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x()1n p x 1若已知i x ξ=，则事件{}j y η=的条件概率为{}{}{}()()1,,j i i j j i i i P y x p x y P y x P x p x ηξηξξ=======∣.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量，可以对其求期望{}{}1mi j j i j E x y P y x ηξηξ===⋅==∑∣∣()()111,mj i j i i y p x y p x ==⋅∑.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（ξ取值不同时，期望也不同），不妨记为{}E ηξ∣，求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”，η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求E η.湖南2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CACBBDABBCACDBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=（个）真子集.故选C.2.A 【解析】解不等式240x x -<，得04x <<，解不等式11x -<，得02x <<，所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念，44tan 33y a x a α===，22sin cos 2tan 24sin211tan 25ααααα===+，故选C.4.B 【解析】()2211()()1911244a b a b a b ⎡⎤⋅=+--=⨯-=⎣⎦ .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点，所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上，则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，因为()()()133f x f x f x +=--=-，故函数()f x 的周期为4，则()()20251f f =，而()()11f f -=-，所以由()()2025112f f -=-可得()113f =，而()()13f f =-，所以()121log 323m --=，解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为13r =，24r =，过点A ，1A ，1O ，2O 的截面如图：24OO ==，13OO ==，211h OO OO ∴=-=，故选A.8.B 【解析】由题意，得6c a =+，6d b =+，则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()()()77262126623866b b a b b a a a ⎡⎤++++++++-=⎣⎦，整理得()321ab a b ++=，所以773aba b +=-<.因为a ，b 为正整数，所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解，因此6ab =.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A ：令0x =，则01a =，故A 错误；对于B ：令1x =，则20240120243a a a +++= ，故B 正确；对于C ：令1x =-，则012320241a a a a a -+-++= ，故C 正确；对于D ，由2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ ，两边同时求导得202322023123202420242(12)232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ，令1x =-，则12320242320244048a a a a -++-=- ，故D 错误.故选BC.10.ACD 【解析】()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()3244g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()0f x =，则4x k ππ=-+，k ∈Z ；令()0g x =，则34x k ππ=+，k ∈Z ，两个函数的零点是相同的，故选项A 正确.()f x 的最大值点是24k ππ+，k ∈Z ，()g x 的最大值点是324k ππ-+，k ∈Z ，两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π，故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为4x k ππ=+，k ∈Z ，曲线()y g x =的对称轴为54x k ππ=+，k ∈Z ，两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D 正确.故选ACD.11.BC 【解析】作图如下：设直线AB 的方程为2y tx =+（斜率显然存在），211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=，由韦达定理得124x x t +=，128x x =-，A.221212444x x y y =⋅=，1212844OA OB x x y y ⋅=+=-+=- ，故A 错误；B.抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2y =-时，11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-，即()2,2N t -，直线MN 的方程为()122y x t t +=--，整理得xy t=-，直线MN 恒过定点()0,0，故B 正确；C.由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上，点O 除外，故点M 的轨迹方程是()22(1)10y x y -+=≠，故C 正确；D.22222222211t t MN t t +---==++，()22222212121411632412AB t x x x x t t t t =++-=++=++则()2222222221122222221t AB t t t MNt t t t +⎫++==+++++，22t m +=，2m ≥12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()1f m m m =-，2m ≥()2110f m m=+>'，当2m ≥()f m 单调递增，所以min ()22f m f==，故D 错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1【解析】设()1i ,z a b a b =+∈R ，()2i ,z c d c d =+∈R ，因为21111z z +=，所以1222111z z z z z z +=.因为111z z =，221z z =，所以121z z +=，所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=，所以1a c +=，0b d +=，所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.4【解析】在ABC ∆中，因为a b >，所以A B >.又()31cos 32A B -=，可知A B -为锐角且()37sin 32A B -=.由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==，于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin A B -的值代入可得3sin B B =，平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-，故sin 4B =.14.e 【解析】依题意得，1211e e 0xx x --=，即1211e e xx x -=，10x >，()()322e ln 1e 0x x ---=，即()()322e ln 1e x x --=，2e x >，()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--，()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--，()()()21ln 11112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦，又2ln 1x > ，2ln 10x ->，∴同构函数：()()1e e ,0x F x x x +=->，则()()312ln 1e F x F x =-=，又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+'=-+，0x > ，0e e 1x ∴>=，e 10x ∴->，又1e 0x x +>，()0F x ∴'>，()F x 单调递增，12ln 1x x ∴=-，()()()31222222e ln 1e e e e e ex x x x ---∴===.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈（万元）.……（3分）（2）A 方案10年共获利：()1091.2511125%(125%)33.31.251-+++++=≈- （万元），……（5分）到期时银行贷款本息为1010(110%)25.9⨯+≈（万元），所以A 方案净收益为：33.325.97-≈（万元），……（7分）B 方案10年共获利：()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= （万元），……（9分）到期时银行贷款本息为()()10109 1.11.11(110%)(110%)110%17.51.11-++++++=≈- （万元），……（11分）所以B 方案净收益为：23.517.56-≈（万元），……（12分）由比较知A 方案比B 方案更优.……（13分）16.【解析】（1）连接PQ ，有PQ ⊥平面ABCD ，所以PQ CD ⊥.在ACD ∆中，2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC =+-⋅⋅∠=-∠.同理，在ABC ∆中，有222cos AC ABC =-∠.又因为180ABC ADC ∠+∠= ，所以1cos 2ADC ∠=，()0,180ADC ∠∈ ，所以60ADC ∠=，AC =，故222AC CD AD +=，即AC CD ⊥.又因为PQ AC Q = ，PQ ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAC .……（5分）过A 作AH 垂直PC 于点H ，因为平面PCD ⊥平面PAC ，平面PCD 平面PAC PC =，且AH ⊂平面PAC ，有AH ⊥平面PCD .……（7分）（2）依题意，AQ DQ ==.故Q 为AC ，BD 的交点，且2AQ ADCQ BC==.所以233AQ AC ==，3PQ ==.过C 作直线PQ 的平行线l ，则l ，AC ，CD ，两两垂直，以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则：()1,0,0D ，3260,,33P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()A ，13,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1,0,0CD =，0,,33CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,33AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,263BP ⎛=- ⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则()0,0,3m CD x m CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取()0,m =- .同理，平面PAB的法向量)1n =-，1cos ,3m n m n m n ⋅==，……（14分）故所求锐二面角余弦值为13.……（15分）17.【解析】（1）由()e cos sin xf x x x =+'+，设()e cos sin xh x x x =++，则()e sin cos xh x x x =+'-，当0x ≥时，设()e 1x p x x =--，()sin q x x x =-，()e 10x p x ='-≥ ，()1cos 0q x x ='-≥，()p x ∴和()q x 在[)0,+∞上单调递增，()()00p x p ∴≥=，()()00q x q ≥=，∴当0x ≥时，e 1x x ≥+，sin x x ≥，则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0xh x x x x x x x x x =-+≥+-+=-++≥'，∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,+∞上单调递增，()()02h x h ∴≥=，即当0x ≥时，()2f x '≥.（2）由已知得()e sin cos 21xg x x x x =+---.①当0x ≥时，()()e cos sin 220x g x x x f x =+='+--'≥ ，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()010g =-< ，()e 20g πππ=->，∴由零点存在定理可知，()g x 在[)0,+∞上仅有一个零点.……（10分）②当0x <时，设()2sin cos (0)e x x xm x x --=<，则()()2sin 10e xx m x -=≤'，()m x ∴在(),0-∞上单调递减，()()01m x m ∴>=，e cos sin 20x x x ∴++-<，()e cos sin 20x g x x x ∴=++-<'，()g x ∴在(),0-∞上单调递减，又()010g =-< ，()e 20g πππ--=+>，∴由零点存在定理可知()g x 在(),0-∞上仅有一个零点，综上所述，()g x 有且仅有2个零点.……（15分）18.【解析】（1）设()00,P x y ，c 为椭圆C 的焦半距，12122F PF p S c y ∆=⋅⋅，00y b <≤ ，当0y b =时，12F PF S ∆最大，此时()0,P b 或()0,P b -，不妨设()0,P b ，当23πθ=时，得213OPF OPF π∠=∠=，所以c =，又因为12F PF S bc ∆==，所以1b =，c =.从2a =，∴而椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……（3分）（2）由题意，直线l 的斜率显然存在.设()11: 2.,l y kx M x y =+，()22,N x y .……（4分）1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=，同理，2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴=.……（6分）联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，……（8分）()()222Δ(16)4121416430k k k ∴=-⨯⨯+=->，234k ∴>.……（9分）又1221614k x x k -+=+ ，12212014x x k =>+，1x ∴，2x 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫⎪++⎝⎭∴===++++.234k > ，()2226464164,1331434k k k ⎛⎫∴=∈ ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭，211216423x x x x ∴<++<.令()120x x λλ=≠，则116423λλ<++<，解得()1,11,33λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,11,33OBM OBN S S ∆∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ .……（12分）（3）OQ OM ON =+，()1212,Q x x y y ∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由（2）知1221614k x x k -+=+，()121224414y y k x x k∴+=++=+，22164,1414k Q k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上，2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……（14分）∴线段161219357115224MN ==⋅+，……（15分）O到直线MN的距离d ==……（16分）574OMQN S MN d ∴=⋅=四边形.……（17分）19.【解析】（1）()11566k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，1k =，2，3，…，所以()56k k k P X k ⋅==，1k =，2，3，…，()21111512666nn k kP k n =⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪⎝⎭∑ 记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ，则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得：1211111511111111661666666556616n n n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ，所以611155566n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()16615556n nn k kP k S n =⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑.故116616()()lim ()lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……（6分）（2）（ⅰ）{}E ηξ∣所有可能的取值为：{}i E x ηξ=∣，1,2,,i n = .且对应的概率{}{}()()()1ii i p E E x p x p x ηξηξξ=====∣∣，1,2,,i n = .所以{}()()()()()111111111[{}],,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫==⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣，又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……（12分）（ⅱ）{}01E E ηξη==+∣，156p =；{}12E E ηξη==+∣，2536p =；{}22E η==，3136p =，{}()()5513542122636363636E E E E E E ηηηηηξ⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣，故42E η=.……（17分）。
炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(三)数学答案
时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷（三）数学）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）A.5B.25C.5D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，计算其模，即得答案.【详解】由1i34i z+=-可得()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+，则25z =,故选：C2.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.21【答案】B 【解析】【分析】利用52S S -即可求得345a a a ++的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，所以34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=.故选：B.3.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(1,0)-C.1(0,16-D.1(0,)16【答案】D 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,16，故选：D4.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】观察图象，确定函数()sin y x ωϕ=+的周期，排除B ，由图象可得当5π12x =时，函数取最小值，求ϕ由此判断AC ，结合诱导公式判断D.【详解】观察图象可得函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期为2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ππω=，故2ω=或2ω=-，排除B ；观察图象可得当π2π5π63212x +==时，函数取最小值，当2ω=时，可得5π3π22π+122k ϕ⨯+=，Z k ∈，所以2π2π+3k ϕ=，Z k ∈，排除C ；当2ω=-时，可得5ππ22π122k ϕ-⨯+=-，Z k ∈，所以π2π+3k ϕ=，Z k ∈，取0k =可得，π3ϕ=，故函数的解析式可能为πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，A 正确；5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误故选：A.5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s【答案】B 【解析】【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.【详解】由题意122m m =，122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===，得03ln 82v =，故0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--，故选：B6.若83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，则()cos αβ+的值为（）A.4-B.4C.4-D.4【答案】C 【解析】【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【详解】因为83cos 5αβ+=，63sin 5αβ-=，所以25(3cos 4)62αβ=，2(3sin )2536αβ=，即所以2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin 2536ααββ-=，两式相加得9)104αβ+++=，所以10cos()4αβ+=-，故选：C ．7.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.49【答案】A 【解析】【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以求解.【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以，所以该质点共两次到达1的位置的概率为211124333332713⨯⨯+⨯⨯=.故选：A.8.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11- D.{}20,19-【答案】A 【解析】【分析】利用121++=+n n a a n 可证明得数列{}21n a -和{}2n a 都是公差为2的等差数列，再可求得()2=21n S n n +，有了这些信息，就可以从k 的取值分析并求解出结果.【详解】因为121++=+n n a a n ，所以()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n nS a a a a a a n n n --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+，假设()2=21=210n S n n +，解得=10n 或21=2n -（舍去），由存在*N k ∈，1210k k S S +==，所以有19k =或20k =，由121++=+n n a a n 可得，+1223n n a a n ++=+，两式相减得：22n n a a +-=，当20k =时，有2021210S S ==，即210a =，根据22n n a a +-=可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以()211+11120a a =-⨯=，解得120a =-，当19k =时，有1920210S S ==，即200a =，根据22n n a a +-=可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以()202+10120a a =-⨯=，解得218a =-，由已知得123a a +=，所以121a =.故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD ⊥D.//EF 平面11CDD C 【答案】ABD 【解析】【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB ，利用反证法可判断C ，利用线面平行判定定理可判断D.【详解】如图所示，连接AC ，1CD ，EF ，由于E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，即F 为AC 的中点，所以1//EF CD ，EF ⊄面11CDD C ，1CD ⊆面11CDD C ，所以//EF 平面11CDD C ，即D 正确；所以EF 与1CD 共面，而1B ∉1CD ，所以直线EF 与11D B 为异面直线，即A 正确；连接1BC ，易得11//D E BC ，所以1DC B ∠即为直线1D E 与1DC 所成的角或其补角，由于1BDC 为等边三角形，即160DC B ∠=，所以B 正确；假设1D F AD ⊥，由于1AD DD ⊥，1DF DD D = ，所以AD ⊥面1D DF ，而AD ⊥面1D DF 显然不成立，故C 错误；故选：ABD.10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A.12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为23 D.OQ 17【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 根据12l l ⊥，12120A A B B +=可判断正确；选项B 由圆心O 到1l 的距离不等半径可判断错误；选项C 根据垂直定理可得；选项D 先求出()4sin cos ,4cos sin Q θθθθ-+，根据两点间的距离公式可得.【详解】选项A ：因()cos sin sin cos 0θθθθ+-=，故12l l ⊥，A 正确；选项B ：圆O 的圆心O 的坐标为()0,0，半径为2r =，圆心O 到1l 的距离为12244cos sin d r θθ-==>+，故直线1l 与圆O 相离，故B 错误；选项C ：圆心O 到1l 的距离为()22211sin cos d θθ-==+-，故弦长为222223l r d =-=，故C 正确；选项D ：由cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩，故()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-，故OQ ==，故D 正确故选：ACD11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C.1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得()0f x '=有两个不同实根，则由0∆>即可判断；对于B ，若123,,x x x 成等差数列，则()()22,x f x 为()f x 的对称中心，即可判断；对于C ，结合图象，当0a >和0a <时，分类讨论即可判断；对于D ，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.【详解】因为()32f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，0a ≠，对称中心为,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，因为()f x 有三个不同零点，所以()f x 必有两个极值点，即()2320f x ax bx c '=++=有两个不同的实根，所以2Δ4120b ac =->，即23b ac >，故A 正确；对于B ，由123,,x x x 成等差数列，及三次函数的中心对称性，可知()()22,x f x 为()f x 的对称中心，所以23bx a=-，故B 正确；对于C ，函数()()1g x f x =-，当()0g x =时，()1f x =，则1y =与()y f x =的交点的横坐标即为1t ，2t ，3t ，当0a >时，画出()f x 与1y =的图象，由图可知，11x t <，33x t <，则1313x x t t +<+，当0a <时，则1313x x t t +>+，故C 错误；对D ，由题意，得()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx da x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩，整理，得123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，得()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++，即222222123123x x x t t t ++=++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.【答案】9【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()3E X =，()2D X =，则()3,12np np p =-=，即得1,93p n ==，故答案为：913.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.【答案】【解析】【分析】由条件结合投影向量公式可求a b ⋅ ，根据向量模的性质及数量积运算律求a b +.【详解】因为b 在a上的投影向量为14a - ，所以14b a a a aa ⋅⋅=- ，又2a = ，所以1a b ⋅=-，又1= b ，所以a b +==14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.【答案】11【解析】【分析】连接,EG ED ，将多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -，利用题设条件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四面体的体积即可求得多面体EFGHBD 的体积.【详解】如图，连接,EG ED ，则多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -.因H 是AD 上靠近D 点的四等分点，则14DHE AED S S = ，又E 是AB 的中点，故11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= ，因G 是CD 上靠近D 点的四等分点，则点G 到平面ABD 的距离是点C 到平面ABD 的距离的14，故三棱锥G EDH -的体积1113218432G EDH C ABD V --=⨯=⨯=；又因点F 是BC 的中点，则133248CFG BCD BCD S S S =⨯= ，故58BFGD BCD S S = ，又由E 是AB 的中点知，点E 到平面BCD 的距离是点A 到平面BCD 的距离的12，故四棱锥E BFGD -的体积51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=，故多面体EFGHBD 的体积为11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：（1）分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；（2）补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A -=.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V 的面积为a 的值.【答案】（1）π3A =（2）2a =【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan A =，从而得解；（2）利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于a 的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为sin cos 0a B A -=,即sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，所以sin A A =,则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，因为π3A =，所以113sin 222ABC S bc A bc ==⨯= 4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得224b c bc +-=，所以()234b c bc +-=，则()22344a -⨯=，解得2a =.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.【答案】（1）4230--=x y （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数式和导函数式求出(1)f 和(1)f '，利用导数的几何意义即可写出切线方程；（2）对函数()f x 求导并分解因式，根据参数a 的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减，即得()f x 的单调性.【小问1详解】当0a =时，()221ln 2f x x x x =+，()2(ln 1)f x x x =+'，因1(1),(1)22f f '==，故()f x 在1x =处的切线方程为12(1)2y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】因函数()()221ln 2f x x ax x x =++的定义域为(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'，①当2a e ≤-时，若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在1(0,)e上单调递增；若1e x >，由20x a +=可得2a x =-.则当1e 2a x <<-时，20x a +<，ln 10x +>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)e 2a -上单调递减；当2a x >-时，ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在(,)2a -+∞上单调递增；②当2e a >-时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e +∞上单调递增；若12e a x -<<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)2e a -上单调递减；若02a x <<-，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在(0,)2a -上单调递增，当2e a =-时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，综上，当2e a <-时，函数()f x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e 2a -上单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当2e a =-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2e a >-时，函数()f x 在(0,2a -上单调递增，在1(,2e a -上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3913【解析】【分析】（1）根据线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥，再根据线面平行的性质定理可证BD ∥MN ，进而可得结果；（2）根据题意可证⊥PO 平面ABCD ，根据线面夹角可知PAC 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】设AC BD O = ，则O 为,AC BD 的中点，连接PO ，因为ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，又因为PD PB =，且O 为BD 的中点，则PO BD ⊥，AC PO O = ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，则BD PC ⊥，又因为BD ∥平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，平面AMHN 平面PBD MN =，可得BD ∥MN ，所以MN PC ⊥.【小问2详解】因为PA PC =，且O 为AC 的中点，则PO AC ⊥，且PO BD ⊥，AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，可知PA 与平面ABCD 所成的角为60PAC ∠=︒，即PAC 为等边三角形，设AH PO G =I ，则,G AH G PO ∈∈，且AH⊂平面AMHN ，PO ⊂平面PBD ，可得∈G 平面AMHN ，∈G 平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以G MN ∈，即,,AH PO MN 交于一点G ，因为H 为PC 的中点，则G 为PAC 的重心，且BD ∥MN ，则23PM PN PG PB PD PO ===，设2AB =，则11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========，如图，以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则)()22,0,0,3,0,,1,0,,133A P M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uuur uuu r ，设平面AMN 的法向量()111,,x n y z =，则1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令11x =，则110,y z ==，可得(n = ，设平面PAM 的法向量()222,,m x y z =，则2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2x =，则123,1y z ==，可得)m =u r，可得39cos ,13n m n m n m ⋅===⋅r u r r u r r u r ，所以平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值3913.18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB （2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）线段AB 的长为6；（2）（i ）直线l的方程为221x y =±+；（ii ）直线l的斜率的取值范围为33(,)(,7447-- .【解析】【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；（2）（i ）（ii ）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】由双曲线22:13y x Γ-=的方程，可得221,3a b ==，所以1,2a b c ===，所以1(2,0)F -，2(2,0)F ，若AB x ⊥轴，则直线AB 的方程为2x =，代入双曲线方程可得(2,3),(2,3)A B -，所以线段AB 的长为6；【小问2详解】（i）如图所示，若直线l 的斜率为0，此时l 为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设:2l x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(31)1290t y ty ++=，t 应满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，由根与系数关系可得121222129,3131t y y y y t t +=-=--，直线1AF 的方程为110(2)2y y x x -=++，令0x =，得1122y y x =+，点112(0,2y M x +，直线1BF 的方程为220(2)2y y x x -=++，令0x =，得2222y y x =+，点222(0,2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- ，111212221||||||222F M N M F MNN S y y x y y y y x x =-=-=-++ 12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++，由11F AB F MN S S = ，可得1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++，所以21212|4()16|4t y y t y y +++=，所以222912|4(16|43131t t t t t ⨯+-+=--，解得22229484816||431t t t t -+-=-，22916||431t t -=-，解得22021t =，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以t =所以直线l 的方程为221x y =±+；（ii ）由1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，可得2190F MF >︒∠，所以110F F N M < ，又112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+ ，所以1212224022y y x x +⨯<++，所以121210(2)(2)y y x x +<++，所以1221212104()16y y t y y t y y +<+++，所以2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--，所以22970916t t -<-，解得271699t <<，解得433t <<或433t -<<-，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以直线l的斜率的取值范围为33(,(,7447-- .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12211||||2F F y y ⨯-或121||||2AB x x ⨯-.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）12170,1,4b b b ===（2）1(1)22n n +-⨯+（3）n a n=【解析】【分析】（1）根据集合新定义，利用列举法依次求得对应值即可得解；（2）根据集合新定义，求得12,b b ，121222i i i b b b i +++==== ，从而利用分组求和法与裂项相消法即可得解.（3）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；【小问1详解】因为2n a n =，则123451,4,9,16,25a a a a a =====，所以{}*11i B i a =∈<=∅N ∣，{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,i B i a =∈<=N ∣，故12170,1,4b b b ===.【小问2详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N ，所以10b =，20b =，当122i i k +<≤时，则满足i a k <的元素个数为i ，故121222i i i b b b i +++==== ，所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ 1212222n n =⨯+⨯++⨯ ，注意到12(1)2(2)2n n n n n n +⨯=-⨯--⨯，所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ 1(1)22n n +=-⨯+.【小问3详解】由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =，若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾，所以11a =，设()*1n n n d a a n +=-∈N ，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ，假设存在*k ∈N 使得2k d ≥，设k a t =，由12k k a a +-≥得12k a t ++≥，由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾，所以对任意*n ∈N 都有1n d =，所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和。
广东省汕尾市华南师范大学附属中学汕尾学校2024届高三下学期3月月考数学试题(含答案与解析)
2024届华南师范大学附属中学汕尾学校高三3月月考数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用 2B 铅笔填涂相关信息.2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在问卷上则答案无效.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.一、单选题（共40分）：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.1. 设集合2{230}A x x x =--<，2{log 1}B x x =>，则A B ⋃=( )A. ()1,2-B. ()1,3-C. ()2,3D. ()1,-+∞ 2. 复数17i 34i z +=-，则z 的虚部为（ ） A. 1B. i -C. 1-D. i3. sin α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4β=，则()tan αβ-=（ ） A1-B. 3-C. 3D. 3- 4. 已知向量a ，b 满足()4,0a = ，(),1b m = ，||=⋅ a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A. 3π4 B. π6 C. π4 D. π35. 共有9人参加了某课程的学习，一项作业要求由3人组成的团队完成.不区分每个团队内3人的角色和.作用，共有（ ）种可能的组队方案.A. 84B. 729C. 1680D. 2806. 等比数列{}n a 前n 项和为n S ， 27S =，691S =，则4S =（ ）A. 28B. 32C. 21-D. 28或21-7. 已知O 为坐标原点，()11,P x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点()10x >，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于D ，G 两点，0DF FG ⋅= ，4DF FG =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.C.D. 8. ln2a =，4sin5b =，0.4e c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c b a >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >>二、多选题（共18分）：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度y 随时间x 变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （其中1n i i x x ==∑，1n i i y y ==∑），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度y 随时间x 的变化情况，回归模型一：()0,0y kx b k x =+<≥；回归模型二：()0,01,0x y ka b k a x =+><<≥，下列说法正确的是（ ）.A 茶水温度与时间这两个变量负相关 B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化的.情况C. 若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到x y ka b =+的图象一定经过点(),x a yD. 当5x =时，通过回归模型二计算得65.1y =，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.1- 10. 抛物线τ：()220x py p =>焦点为F ，且过点()4,4A ，直线AC ，AD 分别交τ于另一点C 和D ，AC AD k k =-，则下列说法正确的是（ ）A. 2p =B. 直线CD 过定点C. τ上任意一点到点()0,1和直线1y =-的距离相等D. 2CD k =-11. ()e ax f x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，以下哪些a 值能使()()f x g x -单调递增（ ） A. 3e 4 B. 2eC. eD. 3 三、填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. ()()262x y x ++展开式中4x y 项的系数是______.13. 设随机变量13,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1P X ≥=__________． 14. ()222:2G x y r -+=是椭圆22:116x O y +=内接ABC 的内切圆，且ABC 在y 轴右侧，则r =______.四、解答题（共77分）：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 22sin sin sin sin C A C B B--=. （1）求A ∠的大小.（2）若()1cos 3A α-=，求()sin 2A α+的值. 16. 如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的中心为O ，BE PD ⊥于E ，BE 与PO 交点为F ，2PF FO =.（1）求证：//EO 平面PAB .（2）求二面角P AB E --的正弦值.17. 秋空晴澈，微风送爽，绿茵场上，喧腾鼎沸.为吸引同学们积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯， 2023年11月我校举办了第十四届田径运动会.来自高三的某学生为了在此次运动会中取得优秀成绩，决定每天在跳远，800m 跑和三级蛙跳中选择一个项目训练.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“三级蛙跳”的概率；（2）设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳远”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.18. 已知O 为坐标原点，()11,0F -，()21,0F 是椭圆E 两个焦点，斜率为14的直线1l 与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线2l 过原点且与E 交于C ，D 两点，椭圆E 过C 的切线为3l ，OD 的中点为G .（1）求椭圆E 的方程.（2）过G 作直线3l 的平行线4l 与椭圆E 交于M ，N 两点，在直线2l 上取一点Q 使CG GQ = ，求证：四边形MQNC 是平行四边形.（3）判断四边形MQNC 的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.19 设函数()()()e ln e 1xf x a x a a x a =----∈R ，()f x 有唯一极值点0x . （1）证明：0a >；（2）若()00f x >，求的取值范围；（3）若()y f x =的图象上不存在关于直线0x x =对称的两点，证明：()3200e 12x x -+≤. 参考答案一、单选题（共40分）：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项的.中，只有一个是符合要求的.1 设集合2{230}A x x x =--<，2{log 1}B x x =>，则A B ⋃=( )A. ()1,2-B. ()1,3-C. ()2,3D. ()1,-+∞【答案】D【解析】【分析】化简集合A ，B ，再利用数轴求出结论. 【详解】由2230x x --<得(1)(3)0x x +-<，则有13x -<<，{|13}A x x ∴=-<<，∵2log x 在(0,)+∞上单调递增，则222log 1log log 22x x x >⇔>⇔>，{2}B x x ∴=>，如图，观察数轴得{|1}(1,)A B x x =>-=-+∞ .故选：D2. 复数17i 34i z +=-，则z 的虚部为（ ） A. 1B. i -C. 1-D. i 【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解. 【详解】由17i 34iz +=-得()()()()17i 34i 2525i 1i 34i 34i 25z ++-+===-+-+，所以1i z =--，故z 的虚部为为1- ， 故选：C 3. sin α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4β=，则()tan αβ-=（ ） .A. 1-B. 3-C. 3D. 3-【答案】B【解析】 【分析】由同角三角函数的关系，求出tan α，再由两角差的正切公式求()tan αβ-.【详解】sin α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则有cos α==，sin tan cos ααα==， ()tan tan tan 31tan tan αβαβαβ--===-+. 故选：B.4. 已知向量a ，b 满足()4,0a = ，(),1b m = ，||=⋅ a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A. 3π4 B. π6 C. π4 D. π3【答案】C【解析】【分析】根据题意求得1m =，结合向量的夹角公式求得cos ,a b = ，即可得解. 【详解】依题意，向量(4,0)= a ，(,1)b m =r ，由a a b =⋅ ，得4014m +⨯=，解得1m =，即(1,1)b =，则= b，因此cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=== ，又,[0,π]a b 〈〉∈ ， 所以4,πa b 〈〉= . 故选：C5. 共有9人参加了某课程的学习，一项作业要求由3人组成的团队完成.不区分每个团队内3人的角色和作用，共有（ ）种可能的组队方案.A. 84B. 729C. 1680D. 280【答案】D【解析】【详解】由题意得将9名同学分成3组，每组3人，且组与组之间可以互换， 所以共有可能的方案数为33396333C C C 280A =组， 故选：D6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 27S =，691S =，则4S =（ ）A. 28B. 32C. 21-D. 28或21-【答案】A【解析】【分析】根据等比数列前n 项和性质，24264,,S S S S S --也构成等比数列，即可求得.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，则根据等比数列和的性质可知，24264,,S S S S S --也构成等比数列，则()()242264S S S S S -=⨯-，设4S x =，则2(7)7(91)x x -=⨯-，解得：1228,21x x ==-，对应有442821S S ==-， 因为24123422S a a a a S q S =+++=+，所以4S 与2S 同号，所以428S =.故选：A 7. 已知O 为坐标原点，()11,P x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点()10x >，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于D ，G 两点，0DF FG ⋅= ，4DF FG =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】连接PF '，F D '，DF ，F G '，，由椭圆的对称性可得四边形PF QF '为矩形，再由4DF FG =及椭圆的定义，可得||PF '，||PF ，||F G '，||DF '的关系，在两个直角三角形中可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】设椭圆的左焦点F '，连接PF '，F D '，DF ，F G '，的由椭圆的对称性可知四边形PF DF '为平行四边形，因为0DF FG ⋅= ,所以DF FG ⊥，所以可得四边形PF DF '为矩形， 因为4DF FG =，所以||4||PF FG '=，设||FG r =，则||4PF r '=，由椭圆的定义可知||2||24PF a PF a r '=-=-，||2||2F G a FG a r '=-=-，||||||2423PG PF FG a r r a r =+=-+=-，在PGF ' 中，222||||||F G PF PG ''=+，即222(2)(4)(23)a r r a r -=+-，整理可得：23r ar =， 所以可得3a r =， 在△PF F '中，222||||||FF PF PF ''=+，即2222259416(24)c r a r a c =+-⇒=，所以离心率c e a ===， 故选：A8. ln2a =，4sin5b =，0.4e c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c b a >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >> 【答案】C【解析】进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小.【详解】由题意得，4πsin sin 54b =>=，因为710e 2,710ln 2,ln 20.7>><<，所以a b <<， 由泰勒展开得231ln(1)1(1)234n n x x x x x n++=-+-++-+ ， 2312!3!!xnx x x x n =++++++e ， 所以20.4111(0.4)ln 2ln(11)10.68,e 10.40.682342!-=+>-+-=<-+=， 故a c >，综上所述a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C二、多选题（共18分）：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度y 随时间x 变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （其中1n i i x x ==∑，1n i i y y ==∑），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度y 随时间x 的变化情况，回归模型一：()0,0y kx b k x =+<≥；回归模型二：()0,01,0x y ka b k a x =+><<≥，下列说法正确的是（ ）.A. 茶水温度与时间这两个变量负相关B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况C. 若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到x y ka b =+的图象一定经过点(),x a yD. 当5x =时，通过回归模型二计算得65.1y =，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.1-【答案】AB【解析】【分析】由正负相关的定义即可判定A ；由图象中变量的变化趋势即可判定B ；由最小二乘法及非线性回归模型的拟合方法判断C ；由残差的定义即可判定D.【详解】由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二拟合更好，即A 、B 正确；根据非线性回归模型的拟合方法，先令x t a =，则y kt b =+，此时拟合为线性回归方程， 对应的回归直线过点(),t y ，原曲线不一定经过(),x a y ，故C 错误；残差为真实值减估计值，即为65.2-65.1=0.1，故D 错误.故选：AB.10. 抛物线τ：()220x py p =>焦点为F ，且过点()4,4A ，直线AC ，AD 分别交τ于另一点C 和D ，AC AD k k =-，则下列说法正确的是（ ）A. 2p =B. 直线CD 过定点C. τ上任意一点到点()0,1和直线1y =-的距离相等D. 2CD k =-【答案】ACD【解析】【分析】将点的坐标代入，即可得到抛物线方程判断A ，由抛物线的定义即可判断C ，联立直线与抛物线方程，代入计算，即可判断BD.【详解】抛物线()2:20x py p τ=>过点()4,4A ，所以1624p =⨯，2p =，故A 正确； 所以抛物线2:4x y τ=，τ上任意一点到()0,1F 和准线1y =-的距离相等，故C 正确；设()11,C x y ，()22,D x y ，设AC k k =，则AD k k =-，所以AC 的方程为()44y k x -=-，即44y kx k =-+，联立2444y kx k x y=-+⎧⎨=⎩，得2416160x kx k -+-=， 当0∆>时，11616A x x k =-，得144x k =-，k -代换k ，得到244x k =--，所以221212121212444444244CDx x y y x x k k k x x x x --+---=====---，故D 正确； 直线CD ：()112y y x x -=--，即()()222114422224424444k x y x x x k x k -=-++=-+-+=-+-，不过定点，故B 错误. 故选：ACD.11. ()e axf x =，()22lng x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，以下哪些a 值能使()()f x g x -单调递增（ ） A.3e4B. 2eC. eD. 3【答案】BCD 【解析】【分析】依题意()()0f x g x '-≥'恒成立，即2ln 2eaxa x a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥恒成立，可知0a >，将式子变形为()ln ln 2e e ln 2ln a ax a ax ax ax ++++++≥，根据()ln g x x x =+的单调性，可得ln 2e a ax ax +≥+恒成立，即2e ax a ax -≥恒成立，再令()e axax h x a =-，利用导数求出函数的最小值，即可得到不等式，从而求出a 的取值范围.【详解】因为()e axf x =，()22lng x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()e axf x a '=，()2ln 2g x x a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 依题意()()0f x g x '-≥'恒成立， 即2ln 2eaxa x a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥恒成立，显然0a >，所以()ln l e n 2ln 2a axax a ++--≥恒成立，即()()ln 2en ln 2l a axa ax ax ax ++++++≥，由ln ln e ln x x x x +=+，令()ln g x x x =+，显然()g x 在()0,∞+上单调递增， 即()ln ln 2ee ln 2ln a axa ax ax ax ++++++≥恒成立，所以ln 2e a ax ax +≥+恒成立，即e 2ax a ax ≥+恒成立，即2e ax a ax -≥恒成立，令()e axax h x a =-，()0,x ∈+∞，则()()2e 1e axaxh x a a a a '==--，所以当ln 0ax a <<-时()0h x '<，()h x 单调递减，当ln a x a >-时()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()h x 在ln ax a=-处取得极小值及最小值，所以()min ln 1ln a h x h a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则1ln 2a +≥，解得e a ≥，故符合题意的有BCD. 故选：BCD【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. ()()262x y x ++展开式中4x y 项的系数是______.【答案】320 【解析】【分析】将问题转化为4x y 的系数为()622xy x +中4x y 的系数，利用二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由()()()()()266662222222x y x x x xy x y x +++++++=，所以4x y 的系数为()622xy x +中4x y 的系数，()622xy x +展开式中4x y 为3362C 2=320⨯⨯， 故答案为：32013. 设随机变量13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭ ，则()1P X ≥=__________．【答案】1927【解析】【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】 随机变量服从()()0303111193,,1101C 133327X B P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫~∴≥=-==-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：192714. ()222:2G x y r -+=是椭圆22:116x O y +=内接ABC 的内切圆，且ABC 在y 轴右侧，则r =______. 【答案】23【解析】【分析】根据题意作出图形，利用内切圆的性质及点B 在椭圆上建立方程求解. 【详解】由题意，ABC 在y 轴右侧，作出图形，如图，由椭圆及圆的对称性知，BC x ⊥轴，设0(2,)B r y -，过圆心G 作GD AB ⊥于点D ，BC 交x 轴于H ， 由椭圆方程知4OA =，所以422AG =-=，AD ∴==，2AH r =+， 又B 在椭圆上，所以222(2)12411616r r r y -+-=-=，又GD HBAD AH =02y r =+，可得0y =， 所以2222124(2)164r r r r r+-+=-， 化简可得2158120r r +-=，解得23r =，或65r =-（舍去）. 故答案为：23四、解答题（共77分）：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 22sin sin sin sin C AC B B--=.（1）求A ∠的大小. （2）若()1cos 3A α-=，求()sin 2A α+的值. 【答案】（1）π6A = （2）79-【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合余弦定理的边角形式即可求解， （2）由二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【小问1详解】由 22sin sin sin sin C A C B B --=222sin sin sin sin C B B C A -=-，由正弦定理可得222222b c a b c a -=-⇒+-=，所以222cos 2b c a A bc +-= 由于()0,πA ∈，所以π6A =,【小问2详解】()1cos 3A α-=得()22π17cos 22cos 121339A αα⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故()ππππ7sin 2sin 2sin 2cos 262339A αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 16. 如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的中心为O ，BE PD ⊥于E ，BE 与PO 交点为F ，2PF FO =.（1）求证：//EO 平面PAB . （2）求二面角P AB E --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）延长FO 至点M ，使FO OM =，连接MD ，进而可证FOB DOM ≌，可得//EO PB ，进而可证结论；（2）可证OC ，OD ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OC ，OD ，OP 为坐标轴建立空间直角标系，求得平面APB 与平面PBC 的一个法向量，进而可求二面角A PB C --的余弦值． 【小问1详解】如图，延长FO 至点M ，使FO OM =，连接MD ，底面ABCD 的中心为O ，PO ∴⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ,POBD ∴⊥，BO OD = ，FOB DOM ∠=∠，FOB DOM ∴ ≌，FBO MDO ∴∠=∠，//FB DM ∴，//EF DM ∴，∴PF PEFM ED=， 而2PF FO FM ==，PE ED ∴=，//EO PB ∴，PB ⊂ 平面PBC ，EO ⊄平面PBC ，//EO ∴平面PBC ；【小问2详解】由（1）知E 是PD 的中点，又BE PD ⊥，BP BD ∴=，不妨设1AB =，则PB PD ==，PO ==， P ABCD - 是正四棱锥，底面ABCD 的中心为O ，OC ∴，OD ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OC ，OD ，OP 为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，则P ⎛ ⎝，A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,B ⎛⎫⎪⎝⎭，C ⎫⎪⎪⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ⎛ ⎝，BP ⎛∴= ⎝，AP =，CP ⎛= ⎝，AB ⎫=⎪⎪⎭，BE ⎛= ⎝ ；设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，00n BP y z n AP x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1y =，z =，所以1,1,n ⎛ ⎝ =， 设平面ABE 的一个法向量为(),,m a b c =，则00m AB m BE ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ，令1a =，则1b =，c =，所以(1,1,m = -；cos ,m n m n m n⋅∴===⋅ ， ∴二面角P AB E --===． 17. 秋空晴澈，微风送爽，绿茵场上，喧腾鼎沸.为吸引同学们积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯， 2023年11月我校举办了第十四届田径运动会.来自高三的某学生为了在此次运动会中取得优秀成绩，决定每天在跳远，800m 跑和三级蛙跳中选择一个项目训练.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“三级蛙跳”的概率；（2）设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳远”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）13（2）分布列见详解，()2E X = 【解析】【分析】（1）根据乘法原理，结合古典概型计算求解即可；（2）由题知X 的可能取值为0,1,2,3，再依次求对应的概率，列分布列，求期望即可． 【小问1详解】当第一天训练的是“三级蛙跳”且第三天也是训练“三级蛙跳”为事件A ； 当第一天训练的不是“三级蛙跳”且第三天是训练“三级蛙跳”为事件B ； 由题知，三天训练过程中，总共的可能情况为32212⨯⨯=种， 所以， 1211()126P A ⨯⨯==，2111()126P B ⨯⨯==， 所以，第三天训练的是“三级蛙跳”的概率()()13P P A P B =+=． 【小问2详解】由题知，X 的可能取值为0,1,2,3，所以，考前最后6天训练中，所有可能结果有153C 296⨯=种，所以，当X 0=时，第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，故55211(0)3248P X ⨯===⨯； 当1X =时，第一天选择“跳远”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；第二天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择； 第三天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；第四天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；第五天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天有1种，第六天有2种选择，共4种选择；的的第六天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；综上，当1X =时，共有24444220+++++=种选择， 所以，205(1)9624P X ===； 当3X =时，第一天，第三天，第五天，选择“跳远”，有328=种选择； 第一天，第三天，第六天，选择“跳远”，有224=种选择 第一天，第四天，第六天，选择“跳远”，有224=种选择； 第二天，第四天，第六天，选择“跳远”，有328=种选择； 所以，当3X =时，共有844824+++=种选择， 所以，1(3)4P X ==； 所以，当25(2)1(0)(1)(3)48P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以，X 的分布列为：X 01 2 3P148 524 254814所以，15251()012324824484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 18. 已知O 为坐标原点，()11,0F -，()21,0F 是椭圆E 的两个焦点，斜率为14的直线1l 与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为12,33⎛⎫-⎪⎝⎭，直线2l 过原点且与E 交于C ，D 两点，椭圆E 过C 的切线为3l ，OD 的中点为G .（1）求椭圆E 的方程.（2）过G 作直线3l 的平行线4l 与椭圆E 交于M ，N 两点，在直线2l 上取一点Q 使CG GQ =，求证：四边形MQNC 是平行四边形.（3）判断四边形MQNC 的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析 （3【解析】【分析】（1）设1l ：14y x m =+，联立2222114x y a b y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得22222222110162a b x a mx a m a b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，利用韦达定理结合,,a b c 关系，即可求出222,1a b ==，得出椭圆的标准方程.（2）设()()()(),,,,,,,C C D D M M N N C x y D x y M x y N x y ，由已知得,D C D C x x y y =-=-，,22D D x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，根据过椭圆上任一点的切线斜率公式得出过C 点的切线方程斜率为222C CC Cb x x a y y -=-，得出4l ，联立椭圆方程利用韦达定理和化简得出,22M N M NG G x x y y x y ++==，判断出G 是MN 的中点，又结合CG GQ = ，即可得证.（3）设点C 到直线4l 的距离为h ，结合（2）表示出MN 和h ，即可判断结果. 【小问1详解】由题知，设椭圆方程为22221x y a b+=，设1l ：14y x m =+，()()1122,,,A x y B x y ，则1c =， 联立2222114x y a b y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得22222222110162a b x a mx a m a b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，因为线段AB 的中点坐标为12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以212221221316a m x x ab +=-=+， ()12121124224433y y x x m m +=++=⨯+=-，所以34m =-，再代入12x x +得222a b =， 又222a c b -=， 所以222,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.【小问2详解】设()()()(),,,,,,,C C D D M M N N C x y D x y M x y N x y ， 则,D C D C x x y y =-=-，因OD 的中点为G ，所以,22D D x y G ⎛⎫⎪⎝⎭， 根据已知，过C 点的切线方程斜率为222C C C Cb x xa y y -=-， 又2212C C x y +=，知2222C C x y =-，所以4l ：222C DD C x y x y x y ⎛⎫-=--⎪⎝⎭， 即222C C C C y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，12C C Cx y x y y =--， 联立2212212C C C x y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222211102424C C C C C x x x x y y y ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 所以22222124CCM N C D G C Cx y x x x x x x y +=-=-==+， ()122C M N M N C D G C Cx y y x x y y y y y +=-+-=-==， 可得,22M N M NG G x x y y x y ++==， 即G 是MN 的中点，又CG GQ = ，知G 是CQ 的中点，所以四边形MQNC 是平行四边形.【小问3详解】由（2）知，M N C x x x +=-，M N C y y y +=-，2222114141224C C M N C Cy y x x x y --==+， 4l ：222CD D C x y x y x y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即210C C x x y y ++=， 设点C 到直线4l 的距离为h ， 所以MN ====h所以1122CMN S MN h =⋅==， 所以四边形MQNC 的面积为2CMN S =. 即四边形MQNC .【点睛】方法点睛：直线与椭圆的综合问题，其应用主要从以下几个角度进行：（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）联立方程，韦达定理是常用到的方法；（3）考查计算能力较大，解答过程中要注意各点横纵坐标的表示.（4）考查数形结合思想的应用.19. 设函数()()()e ln e 1xf x a x a a x a =----∈R ，()f x 有唯一极值点0x . （1）证明：0a >；（2）若()00f x >，求的取值范围；（3）若()y f x =的图象上不存在关于直线0x x =对称的两点，证明：()3200e 12x x -+≤. 【答案】（1）证明见解析（2）01a <<（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求出()f x '，分类讨论0a ≤和0a >两种情况讨论，当0a ≤时，利用零点存在性定理判断；当0a >，对()f x '求导，得到()f x '单调性，从而得到()f x '的正负情况和零点个数即可证明； （2）由（1）知0a >，求出()()1e 1f a '=-，分类讨论1a =，1a >，以及01a <<，0()f x 值的情况，即可得到a 的取值范围；（3）由（2）可得()000e e 11x x a x =-+，要证明：()3200e 12x x -+≤，即证明：030e 2x x a ≤，根据条件构造函数()()()()000x f x x f x x x ϕ=+-->，且()ϕx 不存在零点，且由题设可得()0x ϕ<在()00,x 上恒成立，的利用导数可求得0302e x ax ≤，从而题设中不等式成立. 【小问1详解】由题意知，()()()e e 10x a f x a x x--'=->， 当0a ≤时，函数()0f x '>恒成立，显然原函数无极值点，当0a >时，设()()()e e 10xa s x a x x =---> ，则()2e 0x a s x x=+>'， 故()s x 在()0,∞+上为增函数，()()()e e 10x a s x a x x =---> 0x →时()s x →-∞，x →+∞时()s x →+∞，根据零点存在定理可得：()s x 存在唯一变号零点0x ，且()00,x x ∈时，()0f x '<，()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，即()f x 存在唯一极小值点0x ；综上所述：0a >.【小问2详解】由（1）知0a >，()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增；故()()()00000000e ln e 1e 1ln e x xf x a x a a x a x x x =----=--+-， 因为()s x 在()0,∞+上为增函数，且()()1e 1s a =-，①若1a =，可知()10s =，即01x =，此时()()010f x f ==，不满足题意；②若1a >，可知()10s >，即001x <<，且()(1)e 1(1)0f a =--< ，由（1）分析可知()0f x 是()f x 的最小值点，故()0(1)0f x f <<，不满足题意；③当01a <<时，可知()10s <，即01x >，记()ln (e 1)g x x x =+-(0)x >，则1()e 10g x x'=+->， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，由于0x →时，()g x →-∞，(1)e 10g =->，根据零点存在定理可得：()g x 存在唯一零点m ，且01m <<，若(]0,x m ∈，则()0g x ≤，可得()()e 10xf x ag x =-->； 若,()x m ∈+∞，则()0g x >，可得()()()e 1e 1x xf x ag x g x =-->--， 由①可知()e 10xg x --≥恒成立； 故()0f x >即()00f x >；综上所述：01a <<.【小问3详解】由（1）易得，()()e e a f x x a a x=-'--, 设()()()()000x f x x f x x x ϕ=+-->，由题设可得()x ϕ在()00,x 无解，故()0x ϕ>在()00,x 上恒成立或()0x ϕ<在()00,x 上恒成立，而当0x x →时，()0f x x ∞-→+，故()x ϕ∞→-，故()0x ϕ<在()00,x 上恒成立，又()()()00x f x x f x x ϕ=+'+'-'，设()()()0002202e e 2e 1x x x x ax t x x a x x ϕ+-==++---'， 则()()00022204e e x x x x ax xt x x x +--'=--，故()00t '=，设()()()()002200=e e x x x x aa w x t x x x x x +--+-+-'=，则()()0032003220412e e x x x x ax ax x w x x x +-+=++-'，()030402e x a w x '=-， 若03042e 0x a x ->，即0302e x a x >时，因为当0x x →时，()w x ∞'→-， 故此时()00,n x ∃∈，使得()0w n '=，且当()0,x n ∈时，()0w x '>，故()w x 在()0,n 为增函数，故()()00w x w >=，故()t x 在()0,n 上为增函数，故()()()00202e 2e 10x a t x t a x >=---=， 故()x ϕ在()0,n 上为增函数，故()()()00,0,x x n ϕϕ>=∀∈，矛盾.故0302e x a x ≤，而()00e e 10x a a x ---=，故0000e e 1x x a x x =-+， 故0003000e 2e e 1x x x x x x ≤⨯-+，即()3200e 12x x -+≤. 【点睛】方法点睛：利用导数确定函数零点或方程根个数的方法（1）构造函数()g x （要求()g x '易求，()g x '可解），转化确定()g x 的零点个数问题，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出()g x 的图象，数形结合求解． （2）利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而利用零点存在定理、数形结合判断函数在该区间上的零点个数．。
湖南省长沙2025届高三上学期月考(一)数学试题含答案
2025届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合[),A a =+∞，()1,2B =-，若A B =∅ ，则（）A.1>-aB.2a > C.1a ≥- D.2a ≥【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由集合[),A a =+∞，()1,2B =-，因为A B =∅ ，则满足2a ≥.故选：D.2.已知复数z 满足22z -=，z 的取值范围为（）A.[]0,2 B.()0,2 C.[]0,4 D.()0,4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用复数模的几何意义，得到复数z 在复平面内对应的轨迹，进而结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意知复数z 满足22z -=，可得复数z 在复平面内对应的轨迹为以(2,0)A 为圆心，2r =为半径的圆，且z 表示圆上的点到原点(0,0)O 的距离，则max min 224,220z OA r z OA r =+=+==-=-=，所以z 的取值范围为0,4.故选：C.3.在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则AB BC=A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．【详解】由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠，又因为2BC CA CA AB⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C BC A BC A BC⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuvuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）所以2AB BC=uu u v uu u v ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算．4.若函数()2211x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】将函数解析式化为()211xf x x =++，令()21xg x x =+，判断()g x 的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可.【详解】()2222221111111x x xf x x x x x x x +==+=+++++++，令()21x g x x =+，则其定义域为R ，又()()()2211x x g x g x x x --==-=-+-+，所以()21xg x x =+为奇函数，则()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 112f x f x g x g x +=+++=，则2M N +=.故选：B.5.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面AB,是线段ED 的中点，则A.BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B.BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C.BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D.BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B 【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．连BF ， 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,,22MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形．6.tan10tan503tan50︒+︒+︒︒的值为（）A.3B.3C.3D.33【答案】B 【解析】【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果.【详解】tan10tan503tan10tan50︒+︒︒︒()()tan 10501tan10tan 503tan 50=︒+︒-︒︒+︒︒)31tan10tan503tan 50=-︒︒+︒︒33tan10tan503tan50=-︒︒︒︒3=故选：B.7.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M =“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是（）A.第一次朝上面的数字是偶数B.第一次朝上面的数字是1C.两次朝上面的数字之和是8D.两次朝上面的数字之和是7【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】抛掷骰子两次，共有6636⨯=个基本事件数，则()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6M =，()()()()()()}5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共18个基本事件，则()181362P M ==，设事件E 为第一次朝上面的数字是偶数，则事件M 与事件E 是对立事件，故A 错误；设事件F 为第一次朝上面的数字是1，则F M ⊆，故B 错误；设事件N 为两次朝上面的数字之和是8，则()()()()(){}2,6,3,5,4,4,5,3,6,2N =共5个基本事件，则()536P N =，且()(){}3,5,5,3MN =，则()213618P MN ==，()()()P MN P M P N ≠⋅，所以C 错误；设事件Q 两次朝上面的数字之和是7，则()()()()()(){}1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1Q =，则()61366P Q ==，且()()(){}1,6,3,4,5,2MQ =，则()313612P MQ ==，因为()()()P MQ P M P Q =⋅，所以事件M 与事件Q 相互独立.故选：D8.一只蜜蜂从蜂房A 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用n a 表示蜜蜂爬到n 号蜂房的方法数，则10a =（）A.10B.55C.89D.99【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}n a 的递推公式，再依次计算求出10a .【详解】依题意，12n n n a a a --=+（*n ∈N ，3n ≥），11a =，22a =，所以34567893,5,8,13,21,34,55,a a a a a a a =======1089a =.故选：C二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知一组样本数据1x ，2x ，…，()201220x x x x ≤≤≤ ，下列说法正确的是（）A.该样本数据的第60百分位数为12x B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数C.剔除某个数据i x （1i =，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差D.若1x ，2x ，…，10x 的均值为2，方差为1，11x ，12x ，…，20x 的均值为6，方差为2，则1x ，2x ，…，20x 的方差为5【答案】BC 【解析】【分析】由百分位数的定义即可判断A ；由极差的定义即可判断C ，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断B ；由方差计算公式即可判断D.【详解】对于A ，由2060%12⨯=，所以样本数据的第60百分位数为12132x x +，故A 错误；对于B ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故B 正确；对于C ，剔除某个数据i x （1i =，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C 正确；对于D ，由10102642020x =⨯+⨯=，则()()22210101112426420202s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦，所以则1x ，2x ，…，20x 的方差为112，故D 错误.故选：BC.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()1,2M ，()11,A x y ，()22,B x y 都在抛物线上，且0FA FB FM ++=ruu r uu r uuu r ，则下列结论正确的是（）A.抛物线方程为22y x= B.F 是ABM 的重心C .6FA FM FB ++= D.2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△【答案】BCD 【解析】【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得F 是ABM 的重心，利用抛物线的定义可得6FA FM FB ++= ，利用三角形面积公式及122x x +=，可得2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△.【详解】对于A ，由()1,2M 在抛物线上可得42p =，即抛物线方程为24y x =，错误；对于B ，分别取,AB AM 的中点,D E ，则2FA FB FD +=uu u u r uu r u r ，2FM FD =-uuu r uu u r，即F 在中线MD 上，同理可得F 也在中线BE 上，所以F 是ABM 的重心，正确；对于C ，由抛物线的定义可得121,2,1FA x FM FB x =+==+uu r uuu r uu r，所以124++=++FA FM FB x x uu r uuu r uu r.由()10F ,是ABM 的重心，所以12113x x ++=，即122x x +=，所以1246++=++=FA FM FB x x uu r uuu r uu r，正确；对于D ，112AFO S OF y =△，221114AFO S y x ==△；同理222214BFOSy x ==△,21MFO S =△，所以2221213AFO BFO MFO S S S x x ++=++=△△△，正确.故选：BCD.11.已知函数()()()322,,R ,f x x ax bx c a b c f x =-++'∈是()f x 的导函数，则（）A.“0a c ==”是“()f x 为奇函数”的充要条件B.“0a b ==”是“()f x 为增函数”的充要条件C.若不等式()0f x <的解集为{1xx <∣且1}x ¹-，则()f x 的极小值为3227-D.若12,x x 是方程()0f x '=的两个不同的根，且12111x x +=，则0a <或3a >【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A 正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B 错误；利用导数求得函数()f x 的单调性，进而求得()f x 的极小值，可判定C 正确；结合二次函数的性质，结合0∆>，列出不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，当0a c ==时，函数()3f x x bx =+，则满足()()3f x x bx f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，所以充分性成立；若()f x 为奇函数，则()322f x x ax bx c -=---+=()322f x x ax bx c -=-+--，则24ax -20c =恒成立，所以0a c ==，所以必要性成立，所以A 正确；对于B 中，当0a b ==时，()3f x x c =+，可得()230f x x '=≥，所以()f x 为增函数；由()234f x x ax b =-+'，当()f x 为增函数时，216120a b ∆=-≤，所以“0a b ==”是“()f x 为增函数”的充分不必要条件，所以B 错误；对于C 中，由()234f x x ax b =-+'，若不等式()0f x <的解集为{|1x x <且1}x ¹-，则()f x 在R 上先增后减再增，则()1f '-=()()0,110f f =-=，解得21a b c ===-，故()()()232111f x x x x x x =+--=+-，可得()()()2321311f x x x x x '=+-=-+，令()0f x '=，解得=1x -或13x =，当(),1x ∈-∞-内，()0f x '>，()f x 单调递增；当11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭内，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为2111321133327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 正确．对于D 中，由()234f x x ax b =-+'，因为12,x x 是方程()0f x '=的两个不同的根，所以216120a b ∆=->，即2430a b ->，且1x +2124,33a bx x x ==，由12111x x +=，可得1x +212x x x =，所以433a b =，即4b a =，联立方程组，可得230a a ->，解得0a <或3a >，所以D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.点M 在椭圆221259x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，N 为MF 的中点，3ON =，则MF =_________.【答案】4【解析】【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得||MF '，再由椭圆定义求解||MF 即可．【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设F 为左焦点，F '为右焦点，由椭圆221259x y +=，得5a =，210a =，N Q 是MF 的中点，O 是FF '的中点，ON ∴为FMF ' 的中位线，||2||6MF ON ∴'==，∴由椭圆的定义得||2||1064MF a MF =-'=-=．故答案为：4．13.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()=E X ______.【答案】65【解析】【分析】根据题意得出X 的所有可能取值为0,1,2,3，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算X 取每个值时的概率，从而求X 的均值.【详解】X 的所有可能取值为0,1,2,3，大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有31236⨯=个；每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有9654⨯=个小正方体涂有一面油漆；剩余的()1258365427-++=个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，所以()270125P X ==，()541125P X ==，()362125P X ==，()83125P X ==，()()()()()00112233E X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=2754368150601231251251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯==.故答案为：65.14.若函数()()52cos sin 2f x a x x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是_________.【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求导，根据()0f x '≥在R 上恒成立，即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据题意，()22259cos 2sin 2cos cos 4cos 22f x a x x x a x x '=+-+=-+，()f x 在R 上单调递增，()0f x '∴≥在R 上恒成立，令cos x t =，[]1,1t ∈-，则()f x '可写为()2942g t at t =-+，[]1,1t ∈-，根据题意()g t 在[]1,1-上的最小值非负，∴()()10,10,g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩解得1122a -≤≤.故答案为：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(),sin m b a C =-- ，(),sin sin n c b A B =++，满足//m n u r r ．（1）求A ；（2）若角A 的平分线交边BC 于点D ，AD 长为2，求△ABC 的面积的最小值．【答案】（1）23A π=（2）【解析】【分析】（1）由//m n u r r 得出等式，再由正、余弦定理即可解出；（2）把ABC 的面积用等积法表示可得,b c 关系，再利用基本不等式得出bc 的最小值，即得面积最小值．【小问1详解】因为//m n u r r ，所以()()()()sin sin sin b a A B c b C -+=+-，由正弦定理得()()()()b a a b c b c -+=+-，所以222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc ab +--===-，因为()0,A π∈，故23A π=.【小问2详解】∵AD 平分∠BAC ，∴123BAD CAD BAC π∠=∠=∠=，∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴1sin 2AB AD BAD ⋅⋅∠11sin sin 22AC AD CAD c A +⋅⋅∠=⋅⋅，即22sin 2sin sin 333c b bc πππ+=，∴22c b bc+=由基本不等式可得：22bc b c =+≥，∴16bc ≥，当且仅当4b c ==时取“=”，∴1sin 2ABC S bc A ==≥ 即ABC V的面积的最小值为.16.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.【答案】（1）32；（2）277.【解析】【分析】（1）根据等体积法，由11A AOP A A OP V V --=即可求出点A 到平面1A PO 的距离；（2）先证明PB AP ⊥，1PB AA ⊥，由线面垂直的判定定理可得PB ⊥面1AA P ，进而可得1A PA ∠即为所求二面角的平面角，在1Rt A PA 中，计算11cos AP A PA A P∠=即可求解.【详解】（1）因为113AA OO ==，122AO AB ==，所以1AO ===在AOP中，由余弦定理可得：AP ===所以1A P ==，2OP =，在1AOP中，由余弦定理可得222111121cos 27A P OP A O A PO A P OP +-∠===⋅，所1sin7A PO∠==，所以11227A OPS=⨯=，设点A到平面1A PO的距离为d，由11A AOP A A OPV V--=，得111133AOP AO PS AA S d⋅⋅=⋅⋅，即1111233223d⨯⨯⨯⨯=，解得：32d=，所以点A到平面1A PO的距离为32；（2）二面角1A PB O--即二面角1A PB A--，因为AB是圆O的直径，点P在圆柱1OO的底面圆O上，所以PB AP⊥，因为1AA⊥面ABP，PB⊂面ABP，可得1PB AA⊥，因为1AP AA A⋂=，所以PB⊥面1AA P，因为1A P⊂面1AA P，AP⊂面1AA P，所以PB⊥AP，PB⊥1A P，所以1A PA∠即为二面角1A PB O--的平面角，在1Rt A PA中，1A P=，AP=所以11cos7APA PAA P∠===，所以二面角1A PB O--的余弦值为7.17.双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且ABD△是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为1k、2k，若122k k=-，求点A到直线MN的距离d的取值范围．【答案】（1）2213y x -=（2）(⎤⎦【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先设直线MN 的方程为x my n =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示122k k =-，并根据2m 的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.【小问1详解】依题意，90BAD ∠=，焦半径2c =，由AF BF =，得2b ac a+=，得22222a a a +=-，解得：1a =（其中20a =-<舍去），所以222413b c a =-=-=，故双曲线C 的方程为2213y x -=；【小问2详解】显然直线MN 不可能与轴平行，故可设直线MN 的方程为x my n =+，联立2233x my n x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 整理得()()222316310m y mny n -++-=，在条件2310Δ0m ⎧-≠⎨>⎩下，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631mn y y m +=--，()21223131n y y m -=-，由122k k =-，得()()12122110y y x x +++=，即()()12122110y y my n my n +++++=，整理得()()()()2212122121210m y y m n y y n ++++++=，代入韦达定理得，()()()()()22222312112121310n m m n n n m -+-+++-=，化简可消去所有的含m 的项，解得：5n =或1n =-（舍去），则直线MN 的方程为50x my --=，得d =又,M N 都在双曲线的右支上，故有2310m -<，2103m ≤<，此时1≤<，(d ⎤=⎦，所以点A 到直线MN 的距离d的取值范围为(⎤⎦.18.已知函数()()e xf x x a =-，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若函数()()ln g x f x a x =-有2个不同的零点1x ，2x .（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：12112e x x a x x +->.【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）（i ）()e,+∞；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）将1a =代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值；（2）（i ）化简函数()g x 的解析式，令e x t x =，问题可转化为()ln h t t a t =-在(0,)t ∈+∞有2个零点1t ，2t ，再利用导数研究函数()h t 的性质即可得出答案；（ii ）等价于证明21e a t t >，再利用极值点偏移法即可得证．【小问1详解】1a =时，()()e 1xf x x =-，()()1e 1x f x x =+'- ，令()()()(),2e xm x f x m x x ''=∴=+，(),2x ∞∴∈--，()0m x '<；()2,x ∞∈-+，()0m x '>，()f x ∴'在(),2∞--单调递减，()2,∞-+单调递增，x →-∞ 时，10x +<，e 0x >，则′<0，()21210ef '--=-<，()00f '=，x →+∞时，()f x ∞'→+，(),0x ∞∴∈-时，′<0；∈0,+∞，′>0，∴在(),0∞-单调递减，在0,+∞单调递增，∴的极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】（i ）()()()()ln e ln e ln e x x x g x f x a x x a x x x a x =-=-+=-，∈0,+∞，令e x t x =，()0,t ∞∈+，()1e 0x t x =+'> ，e x t x ∴=在0,+∞单调递增，令()ln h t t a t =-，即()h t 在()0,t ∞∈+有2个零点1t ，2t ，且111e x t x =，222e xt x =，()1a t a h t t t-='-= ，0a ∴≤时，()0h t '>，()h t 在()0,t ∞∈+单调递增，不存在2个零点，0a ∴>，()0,t a ∈ 时，()0h t '<；(),t a ∞∈+时，()0h t '>，()h t ∴在()0,a 单调递减，在(),a ∞+单调递增，0t → 时，()h t ∞→+；t →+∞时，()h t ∞→+，()()()min 1ln 0h t h a a a ∴==-<，()e,a ∞∴∈+.（ii ）设12t t <，()110h => ，()e e 0h a =-<，∴由（i ）知，121e t a t <<<<，即证：12e t t a >，即证：21e a t t >，2t a > ，1e a a t >，()h t 在(),a ∞+单调递增，∴即证：()21e 0a h t h t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，11ln t a t = ，()1111111e e e e e e ln ln ln ln 1ln a a a h a a a t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=-=-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()()111e ln ln 1p t t t =+-，()11,e t ∈，即证：()10p t <，()1112211111eln e 1ln ln t t p t t t t t t -=='-+，令()111eln q t t t =-，()11,e t ∈，()1111e e 10t q t t t -=-='< ，()1q t ∴在()1,e 单调递减，()()1e 0q t q >=，()10p t ∴'>，()1p t ∴在()1,e 单调递增，()()1e 0p t p ∴<=，【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.已知集合{}()1,2,3,,,3A n n n =∈≥ N ，W A ⊆，若W 中元素的个数为()2m m ≥，且存在u ，()v W u v ∈≠，使得()2k u v k +=∈N ，则称W 是A 的()P m 子集.（1）若4n =，写出A 的所有()3P 子集；（2）若W 为A 的()P m 子集，且对任意的s ，()t W s t ∈≠，存在k ∈N ，使得2k s t +=，求m 的值；（3）若20n =，且A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的()P m 子集，求m 的最小值.【答案】（1）{}{}1,2,3,1,3,4；（2）2；（3）13.【解析】【分析】（1）根据()P m 子集的定义，即可容易求得；（2）取{}1,3W =，求得2m =，再利用反证法假设3m ≥，推得10a <与11a ≥矛盾即可；（3）令{}020,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2W =，讨论12m ≤时不满足题意，再验证13m ≥时的情况满足题意，即可求得m 的最小值.【小问1详解】当4n =时，{}1,2,3,4A =，A 的所有()3P 子集为{}{}1,2,3,1,3,4.【小问2详解】当3n ≥时，取{}1,3W =，因为2132+=，所以W 是A 的()2P 子集，此时2m =；若3m ≥，设123,,a a a W ∈且1231a a a ≤<<，根据题意，3121213232,2,2kk k a a a a a a +=+=+=，其中123,,N k k k ∈；因为121323a a a a a a +<+<+，所以312222k k k <<，所以123k k k <<；又因为123,,N k k k ∈，所以321k k ≥+；因为()3121232222k k k a a a ++=++，所以()31212312222k k k a a a ++=++，所以()()3331212111222222222k k k k k k k a =++-=+-；因为3122221222222k k k k k k ++<+=≤，所以3122220k k k +-<，所以10a <，与11a ≥矛盾.综上所述，2m =.【小问3详解】设{}{}{}{}{}1234520,12,19,13,18,14,17,15,11,5,A A A A A ====={}{}{}{}{}{}{}678123410,6,9,7,1,3,2,4,8,16A A AB B B B =======，设W 的元素个数为m ，若W 不是A 的()P m 子集，则W 最多能包含1238,,,,A A A A 中的一个元素以及1234,,,B B B B 中的元素；令{}020,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2W =，易验证0W 不是A 的()12P 子集，当12m ≤时，0W 的任意一个元素个数为m 的子集都不是A 的()P m 子集，所以，若A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的()P m 子集，则13m ≥；当13m ≥时，存在{}1,2,3,4,5,6,7,8i ∈，使得W 中必有两个元素属于i A ，同时i A 中两个元素之和为2的某个正整数指数幂，P m子集；所以W是A的()所以，m的最小值为13.P m子集的定义，【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对()同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题.。
2025年教科新版高三数学下册月考试卷含答案
2025年教科新版高三数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2+bi互为共轭复数，则在复平面内，复数z=所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、如图△ABCD和△BCD都是边长为2的正三角形，且二面角A-BC-D的大小为60°，则点的D到平面△ABC的距离为为（）A. 2B.C.D. 33、若在边长为1的正三角形ABC的边BC上有n（n∈N*，n≥2）等分点，沿向量的方向依次为P1，P2，，P n，记T n=，若给出四个数值：①②③④，则T n的值不可能共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4、在正六边形ABCDEF中，若=（1，-），则的坐标可能为（）A. （-1，）B. （1，）C. （，-1）D. （，1）5、在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为1+2i，-2+i，-1-2i，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）A. 2+iB. 2-iC. -2-iD. -1+2i6、设等差数列的前项和为若则等于（）A. 180B. 90C. 72D. 1007、【题文】为了了解某地参加计算机水平测试的1000名学生的成绩；从中随机抽取200名学生进行统计分析，分析的结果用下图的频率分布直方图表示，则估计在这1000名学生中成绩小于80分的人数约有（）A. 100人B. 200人C. 300人D. 400人8、设复数满足则( )A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、定义在（-∞；+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：①f（x）的最小正周期为2②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在[0；1]上是增函数；④f（2）=f（0）．其中正确的判断是____（把你认为正确的判断都填上）10、计算：cos475°-sin475°=____．11、判断由下列命题构成的p∨q；p∧q，非p形式的命题的真假：（1）p：负数的平方是正数，q：有理数是实数；____（2）p：2≤3，q：3＜2；____（3）p：35是5的倍数，q：41是7的倍数．____．12、【题文】实数a在数轴上的位置如图所示，化简：____。
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高三数学月考试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、 设集合{}{}{}5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A U ，则()=⋂B C A U ( )A ．{}2B ．{}3,2C ．{}3D ．{}3,1 2、 函数)1(12<+=x y x 的反函数是 ( )A ．()()3,1)1(log 2∈-=x x yB ．()()3,1log 12∈+-=x x yC ．(]()3,1)1(log 2∈-=x x yD ．(]()3,1log 12∈+-=x x y 3、 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是 ( )A ．x 2sinB ．x cosC ．x sinD ．x sin4、βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是 ( )A ．m,n 是α内的两条直线，且ββ//,//n mB ．βα、都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相等D ．m,n 是两条异面直线,αββα//,//,,n m n m 且⊂⊂5、已知数列{}n a 的前n 项和(){}n nn a a R a a S 则,0,1≠∈-= ( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列、或者是等比数列D ．等差、等比数列都不是6、已知实数a 满足21<<a ．命题P ：函数)2(log ax y a -=在区间[0，1]上是减函数． 命题Q ：1||<x 是a x <的充分不必要条件．则（ ） A ．“P 或Q ”为真命题； B ．“P 且Q ”为假命题；C ．“┐P 且Q ”为真命题；D ．“┐P 或┐Q ”为真命题7、教师想从52个学生中抽取10名分析期中考试情况，一小孩在旁边随手拿了两个签，教师没在意，在余下的50个签中抽了10名学生．则其中的李明被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为 ( )A ．11,265 B ．15,2626 C ．1,026D ．11,2558、某工厂8年来某种产品的总产量c 与时间t （年）的函数关系如右图，下列四种说法：①前三年中产品增长的速度越来越快；②前三年中产品增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中正确的说法是 ( )） A ．②和③ B ．①和④C ．①和③D ．②和④9、若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e =( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．2510、某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上. 11、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，有如下结论：①AC ⊥BD ；②⊿ABC 是等边三角形； ③AB 与面BCD 成60°角；④AB 与CD 成60°角。
请你把正确的结论的序号都填上_______________ 12、函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，x x x f sin )(2+=，当0<x 时，)(x f 的表达式为13、若椭圆13422=+y x 上一点P 到右焦点)0,1(F 的距离为25，则点P 到x 轴的距离为14、已知向量b a ,212=-===+15、数列{}n a 是等差数列9418240309,, ()n n S S a n -===>，则n 的值为 16、若函数[]223()(, )y x a x x a b =+++∈的图象关于直线1=x 对称，则b =三、解答题：本大题共5小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分14分） 已知函数)0(x cos x cos x sin 3)x (f 2>ωω-ω⋅ω=最小正周期2T π=. （1） 求实数ω的值;（2） 若x 是AB C ∆的最小内角, 求函数)x (f 的值域18、（本小题满分14分） 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比. （1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木， 其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？19、（本小题满分14分） 三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为4的正三角形，侧面AA 1C 1C 是菱形，PA ⊥BC ，点P 是A 1C 1的中点，∠C 1CA=60°. （1）求证：PA ⊥平面ABC ； （2）求直线CC 1与直线B 1P 所成角的正弦值； （3）求四棱锥P —AA 1B 1B 的体积.20、（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知),0(a A ，),0(a B -，AC 、BC 两边所在的直线分别与x 轴交于原点同侧的点M 、N ，且满足24a ON OM =⋅（a 为不等于零的常数）．（1）求点C 的轨迹方程；（2）如果存在直线:l )0(1≠-=k kx y ，使l 与点C 的轨迹相交于不同的P 、Q 两点，且AQ AP =，求a 的取值范围．ad l AC A 1C 1B 1 BP21、（本小题满分14分）已知函数)10(22)(22<<--+=x xx x x x f 的反函数为)(1x f - （1）已知数列{}n a 满足))((,1*111N n a f a a n n ∈==-+，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足2111112*,()()()n n n b b b f b n N -+==+⋅∈，求证：对一切2≥n 的正整数，都满足：2121112211<++++++<nn b na b a b a .参考答案一、选择题DADDC ABACC 二、填空题11、①②④ 12、2sin )(x x x f -= 13、2314、6 15、 15 16、6 三、解答题17．解(1) 因为21)6x 2sin()x 2cos 1(21x 2sin 23)x (f -π-ω=ω+-ω=所以,222T π=ωπ= 2=ω∴.(2) 因为x 是AB C ∆的最小内角, 所以]3,0(x π∈又21)6x 4sin()x (f -π-=, 所以]21,1[)x (f -∈18．解：．（1）解：安全负荷k l ad k y (221⋅=为正常数） 翻转222,90lda k y ⋅=︒后2121,0,y y a d ady y <<<∴=时当，安全负荷变大.当 12,0y y d a <<<时，安全负荷变小. （2）如图，设截取的宽为a ，高为d ，则22222244,)2(R d a R d a=+=+即.安全负荷22(ad y k k l=⋅为正常数）∵枕木长度不变，∴2u ad =最大时，安全负荷最大.)(24422422222d R d d R d a d u -=-==令422()()g d d R d =- 523640()g d d R d '∴=-+=时R d 36=，取R d R a 332222=-=时，u 最大， 即安全负荷最大.19. 证明：（1）∵四边形AA 1C 1C 是菱形，∠C 1CA=60°，∴△AC 1A 1是正三角形，又P 是A 1C 1 的中点，∴PA ⊥A 1C 1，∴PA ⊥AC. 又PA ⊥BC ，AC ∩BC=C ∴PA ⊥平面ABC. （2）由（1），PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥平面 A 1B 1C 1，由△AC 1A 1是正三角形，∴PB 1⊥A 1C 1，∴B 1P ⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1P ⊥CC 1. ∴CC 1与B 1P 所成的角的正弦值为1.（3）PA S V V P B A B PA A B B AA P ⋅⋅⋅==∆--111111312283232312=⋅⋅⋅=20.解：（1）设点)0)(,(≠x y x C ，)0,(),0,(N M x N x M ．当a y =时，x AC //轴，当a y -=时， x BC //轴，与题意不符，所以a y ±≠; 由A ．C ．M 三点共线有x y a x a M --=--000，解得ya axx M -=．同理由B ．C ．N 三点共线，解得ya axx N +=． 0>⋅N M x x ， 24a ya axy a ax x x ON OM N M =+⋅-=⋅=⋅∴， 化简得点C 的轨迹方程为)0(44222≠=+x a y x ． （2）设PQ 的中点为R ，⎩⎨⎧-==+1,44222kx y a y x 0448)41(222=-+-+⇒a kx x k ， 由0)44)(41(464222>-+-=∆a k k ，222410a k a ∴+->…①2214142k k x x x R +=+=，24111kkx y R R +-=-=． PQ AR AQ AP ⊥⇔= ，即1-=⋅k k AR ， 1414041122-=⋅+-++∴k k kk a ，0342=-+a ak ，即aak 432-=………② 0,02>∴≠k k ， ∴30<<a ．把②代入①并化简得013>-a 31>⇒a ． 当1=a 时，直线l 过点B ，而曲线C 不过点B ，所以直线l 与曲线C 只有一个公共点.故1=a 舍去;故a 的取值范围是331<<a 且1≠a ．21.解：)10(1)2)(1()2()(<<-=+-+=x x x x x x x x f 的反函数)0(1)(1>+=-x x xx f)(11n n a f a -+=，则11+=+n n n a a a ，1111+=+nn a a {}n a 是首项为1，公差为1的等差数列 na n 1=, n n n n n n b b b b b b )1(1)1(21+=++=+ 则11111+-=+n n n b b b 则2≥n 时1262111111211212211>=+++>++++++b b b na b a b a n n且212)11()11()11(11111112111132********<-=-++-+-==+++++=++++++++n n n n n n b b b b b b b b b b b na b a b a。