数字信号处理 离散傅立叶变换
合集下载
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
数字信号处理 第二章 DFT
~ N=16：x (4) x((4))16 x((12 16))16 x(12)
例2：
x (n ) x (n ) 0
~ 1 X (k ) k 0 N ~ X (r )
e
j
15
周期序列的傅里叶级数表示：
正变换：
2 N 1 N 1 j nk ~ ~(n) ~(n)e N ~(n)W nk X (k ) DFS x x x N n 0 n 0
反变换：
~ ~(n) IDFS X (k ) 1 x N
j
2 kN N
k mN , m为整数 其他k
W
n 0
N 1
( m k ) n N
1W 1W
( k m ) N N ( k m ) N
1 e
j
1 e
N m k rN 0 mk
此外，复指数序列还有如下性质：
0 WN 1, W N 2 N r 1 1, WN WN r
ek (n)
ek (n) 是以N为周期的周期序列，所以基序
列 {e }（k=0,…,N-1) 只有N个是独立 的，可以用这N个基序列将 ~ ( n) 展开。 x
j 2 nk N
12
复指数序列 ek (n) e
周期性:
j
2 nk N
W
nk N
的性质：
无论对k还是n，复指数序列都具备周期性。
时间函数 连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(Ts)和非周期 离散(Ts)和周期(T0) 非周期和连续 非周期和离散(Ω 0=2π /T0) 周期(Ω s=2π /Ts)和连续 周期(Ω s=2π /Ts)和离散(Ω 0=2π /T0) 频率函数
数字信号处理第二章z变换与离散时间傅里叶变换DTFT
即X(z)在z=处收敛
0 4 Re[z]
x(n)是一个因果序列，即x(n) 0，n 0
同样当n 0时，由F (z)
z n 1
在c外无
(4 z)(z 1/ 4)
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
围线外极点留数为0可得x(n) 0
当n 0时 F(z)
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
a
Re[z]
0
1/ a
• 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
• X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
ZT
[a
nu
(n)]
1
1 az
1
za
ZT
[a
nu(n
1)]
1
1 az
1
z 2
2n u(n)
za
1 1 3z1
z 3 3n u(n 1)
xn 2nun 3n un 1
例2 设
1 X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) ,
利用部分分式法求z反变换。
解：
z2 X (z)
(z 2)(z 0.5) 4 z 1 z
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
0 4 Re[z]
x(n)是一个因果序列，即x(n) 0，n 0
同样当n 0时，由F (z)
z n 1
在c外无
(4 z)(z 1/ 4)
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
围线外极点留数为0可得x(n) 0
当n 0时 F(z)
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
a
Re[z]
0
1/ a
• 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
• X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
ZT
[a
nu
(n)]
1
1 az
1
za
ZT
[a
nu(n
1)]
1
1 az
1
z 2
2n u(n)
za
1 1 3z1
z 3 3n u(n 1)
xn 2nun 3n un 1
例2 设
1 X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) ,
利用部分分式法求z反变换。
解：
z2 X (z)
(z 2)(z 0.5) 4 z 1 z
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
离散时间系统
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
数字信号处理：离散傅里叶变换(DFT)
X (k ) XX((kkX)))X(XX(z(ez(zzjjjj))))222kk,,k, 200k0,kkkNN--1N1-1 0((33..1(1.3.44.)1k).4) NNN N
2021/8/24
6
3.1 离散傅里叶变换的定义
DFT的物理意义：
(1)x(n)的N点DFT 是x(n)的Z变换在单位
。 j 2 kn 8
解: (1) 设变换区间N=8， 则：n0
N 0
XX(k(k)
77
)
nn00
xx(Xn(n)W()Wk8k)8nkn 3373 eexj 28j(28knnkn)We8jk83nk NnN000
sin(3 k 2 sin kn
80,1,
,
7
(2) 设变换区间N=16， 则 2 k 8
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
0 k N-1
X (比k较) 上XXX面(((kkkX)二))式X(XX(z(可z(z)z)))得zzzezej2关jeN2Njk2Nke,系k,j,2N式 k00,0kkkNN--N11-10 ((33k..1(1.3.33.)1).3)N
(
j2 k
X
(k)
X(k)
DFT
[=x(Xn~ ()k]
)RNDD(nFF)ST[n[x~x(0~n()n] )RNnN01(n
[0, 2]上的N点
单位圆上的N
等间隔采样
DFT
点等间隔采样
~
X (k ) DFFTT [ x(n)] ZT DFT [x(n)RN (n)] X
数字信号处理程佩青第三版课件_第三章_离散傅里叶变换
• 证明：
– 已知
~ ~ ( n )e X (k ) x
n 0
N 1
jn
2 k N
k 0,1,2 N 1
• 两边同乘以
e
j
2 kr N
,并对一个周期求和
DFS的反变换－续
k 0 N 1
~ X ( k )e
j
2 kr N
( ~ ( n )e x
n 0 k 0
三、本章主要讨论
• 离散傅里叶变换的推导
• 离散傅里叶变换的有关性质
• 离散傅里叶变换逼近连续时间信号的问题
第二节 傅里叶变换的几种形式
• 傅里叶变换： 建立以时间t为自变量的“信号” 与 以 频 率 f 为 自 变 量 的 “ 频 率 函 数 ”(频 谱) 之 间 的 某 种 变 换 关 系 .
0 r n
n 0,1,2 N 1
rn
回顾DFS
• 设 x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : • 正变换 2
N 1 N 1 j nk ~ nk X (k ) DFS [ ~(n)] ~(n)e N ~(n)WN x x x n 0 n 0
二、DFT定义
• 正变换
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)e
n 0
N 1
j
2 nk N
x(n)W
n 0
N 1
nk N
• 反变换
1 x(n) IDFT [ X (k )] X (k )e N k 0
N 1
j
2 nk N
x(k )W
数字信号处理,第四讲DFT形式
频率分辨率：F fs
N
记录时间：T0 NT
3.2 离散傅里叶变换
例5. 已知语音信号x(t)的最高频率为fh=3.4kHz,用fs=8kHz 对x(t)进行取样。如对取样信号做1600点的DFT, 试
确定X(k)中k =600点和 k =1200点所分别对应原连续
信号的连续频谱点 f1和 f2（kHz）。
解：(1)Y
(k)
2 N 1
y(n)e
j
2 2N
kn
n0
N 1
j 2 k 2m N 1
j 2 k (2m1)
y(2m)e 2N y(2m 1)e 2N
m0
m0
X (k) N1
j 2 km
x(m)e N
m0
Y(k N) X (k)
不能提高分辨率
(2)都能反映，Y (k)是X (k)的周期延拓。
X (e N ) x(n)e N
n0
3.2 离散傅里叶变换
设序列x(n)为有限长序列，长度为M，
则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：
N 1
X (k )
x(
n)W
nk N
n0
0≤k≤N -1
式中
j 2
WN e N
N为DFT变换区间的长度，N≥M。
3.2 离散傅里叶变换
例4．x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。
2
x(t)
X ( j)e jk0t
x(t)
k
x(t) 6 cos( t),求X ( jk0 )。 0 1
解：设0
x(t) 6 cos( t) 3e jt 3e jt
2 3 4t X( jkΩ0)
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
数字信号处理讲义 第8章 离散傅里叶变换
数字信号处理讲义第8章离散傅里叶变换数字信号处理讲义--第8章离散傅里叶变换第8章离散傅里叶变换教学目的1．理解离散傅里叶级数、傅里叶变换的概念和性质，掌握循环卷积的计算方法；2．掌控用线性傅里叶转换同时实现线性卷积的条件和方法。
教学重点与难点重点：1．理解离散傅里叶级数、傅里叶变换的概念和性质，掌握循环卷积的计算方法；2．掌控用线性傅里叶转换同时实现线性卷积的条件和方法。
难点：１．循环卷积的计算方法。
２．线性傅里叶转换同时实现线性卷积的条件与方法。
8.0开场白在前面讨论了序列的傅里叶变换和z变换。
由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要，当然可以用z变换和傅里叶变换来研究它，但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。
针对序列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变换（discretefouriertransform，简写为dft）。
它本身也是有限长序列。
作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法――快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。
有限长序列的离散傅里叶变换（dft）和周期序列的离散傅里叶级数（dfs）本质上是一样的。
为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式，见图8-1所示。
|x(j?)|x(t)1(a)oo?t－?－x(t)|x(jk??)|(b)otok?t?|x(e?)|x(nt)1/t(c)ntoo－tn点|x(e??)|x(n)aa00pppjjkspon点n(d)－?on点?s??图８-1各种形式的傅里叶变换一个非周期实已连续时间信号xa(t)的傅里叶转换，即为频谱xa(jω)就是一个已连续的非周期函数，这一转换对的示意图见到图8-1(a)。
该转换关系与第1章“已连续时间信号的取样”中所牵涉至的非周期已连续时间信号xa(t)的情况相同。
数字信号处理傅里叶变换分析
– 主旁瓣相对幅度（即旁瓣大小），取决于窗函数形状 – 主瓣宽度，取决于窗形状和长度
20
15
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
w/pi
10.2 正弦信号的DFT分析
• 窗函数主瓣影响
信号频谱
30
Ω 0 = (2π 14) ×10 4 Ω1 = (2π 12) ×10 4
幅度
25
20
A0 = 1 A1 = 0.75
15
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• 窗函数旁瓣影响
信号频谱
Ω 0 = (2π 6) ×10 4 Ω1 = (2π 3) ×10
4
35
30
25
A1 = 0.75
幅度
A0 = 1
20
15
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
w/pi
10.2 正弦信号的DFT分析
• 窗函数旁瓣影响
信号频谱
Ω 0 = (2π 6) ×10 4 Ω1 = (2π 3) ×10
1.6
1.8
2
w/pi
10.2 正弦信号的DFT分析
• 窗函数旁瓣影响
信号频谱
Ω 0 = (2π 6) ×10 4 Ω1 = (2π 3) ×10
4
35
30
25
A1 = 0.025
幅度
A0 = 1
20
15
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
w/pi
10.2 正弦信号的DFT分析
• 窗函数主瓣影响
信号频谱
30
Ω 0 = (2π 14) ×10 4 Ω1 = (2π 12) ×10 4
幅度
25
20
A0 = 1 A1 = 0.75
15
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• 窗函数旁瓣影响
信号频谱
Ω 0 = (2π 6) ×10 4 Ω1 = (2π 3) ×10
4
35
30
25
A1 = 0.75
幅度
A0 = 1
20
15
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
w/pi
10.2 正弦信号的DFT分析
• 窗函数旁瓣影响
信号频谱
Ω 0 = (2π 6) ×10 4 Ω1 = (2π 3) ×10
1.6
1.8
2
w/pi
10.2 正弦信号的DFT分析
• 窗函数旁瓣影响
信号频谱
Ω 0 = (2π 6) ×10 4 Ω1 = (2π 3) ×10
4
35
30
25
A1 = 0.025
幅度
A0 = 1
数字信号处理课件第4章离散傅里叶变换1DFT的定义和物理意义
1、在忽略舍入误差时，IDFT能准确 地恢复DFT窗内的原采样信号；
2、IDFT的采样值与原采样信号窗外 的部分无关；
3、IDFT可以唯一确定原序列。
【随堂练习】 1.求下列序列的N点DFT （1） x(n) (n) （2） x(n) (n n0 ) 0 n0 N （3） x(n) an 0 n N （4） x(n) u(n) u(n n0 ) 0 n0 N
回到第3章的周期序列的DTFT：
~x (n) 的离散傅里叶级数
X~(k)
N 1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n)) N WNkn
N 1
x(n)WNkn
n0
n0
n0
~x(n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
N点DFT：X
(k)
N 1
j2 kn
解： N1 X (k) x(n)WNkn n0
121 1 [e
j n 6
e
j n 6
j2 kn
]e 12
n0 2
1
121
[e
j 2 (k 1)n 12
j 2 (k 1)n
e 12 ]
2 n0
121 j2 (k1)n 121 j2 (k1)n
1[ e e ] 12
12
2 n0
n0
k)
sin( k)
8
X
(e
j
)
e
j 3 2
sin(2) sin(1 )
2
3、求x(n)的16点DFT，N=16
X (k) X (e j ) 2 k 16
X
2、IDFT的采样值与原采样信号窗外 的部分无关；
3、IDFT可以唯一确定原序列。
【随堂练习】 1.求下列序列的N点DFT （1） x(n) (n) （2） x(n) (n n0 ) 0 n0 N （3） x(n) an 0 n N （4） x(n) u(n) u(n n0 ) 0 n0 N
回到第3章的周期序列的DTFT：
~x (n) 的离散傅里叶级数
X~(k)
N 1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n)) N WNkn
N 1
x(n)WNkn
n0
n0
n0
~x(n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
N点DFT：X
(k)
N 1
j2 kn
解： N1 X (k) x(n)WNkn n0
121 1 [e
j n 6
e
j n 6
j2 kn
]e 12
n0 2
1
121
[e
j 2 (k 1)n 12
j 2 (k 1)n
e 12 ]
2 n0
121 j2 (k1)n 121 j2 (k1)n
1[ e e ] 12
12
2 n0
n0
k)
sin( k)
8
X
(e
j
)
e
j 3 2
sin(2) sin(1 )
2
3、求x(n)的16点DFT，N=16
X (k) X (e j ) 2 k 16
X
数字信号处理中的离散傅里叶变换
数字信号处理中的离散傅里叶变换数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是在数字计算机或数字信号处理器上对信号进行处理和分析的一种技术。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）作为DSP中的重要方法之一，在信号处理的各个领域都发挥着重要的作用。
一、离散傅里叶变换的定义和原理离散傅里叶变换是将离散的时间域信号转换为频域信号的一种方法，它可以将信号从时域转换到频域进行分析。
DFT的定义如下：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$其中，$x[n]$为离散时间域信号，$X[k]$为离散频域信号，$N$为信号的长度，$k$为频域的索引。
离散傅里叶变换可以看作是对信号进行一系列的乘法和求和操作，它使用复指数函数作为基函数来表示信号。
通过将信号与不同频率的正弦波进行内积操作，可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息，从而实现频谱的分析。
二、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质对于信号处理和频域分析非常有用。
以下是几个常见的性质：1. 线性性质：DFT是线性变换，即对两个信号的和进行DFT等于分别对这两个信号进行DFT后再求和。
2. 周期性：若信号的长度为$N$，则DFT系数$X[k]$具有周期性，周期为$N$。
3. 对称性：若信号的长度为$N$，则当$k$取$N-k$时，$X[k]$与$X[N-k]$相等。
4. 移位性质：对于一个时域序列$x[n]$，将其向右移动$m$个位置得到新的序列$x[n-m]$，则对应的DFT系数$X[k]$只需将原始的$X[k]$循环右移$m$个位置得到。
三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 信号分析：通过DFT可以将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率上的能量分布情况。
数字信号处理课件第八章--离散傅里叶变换(ppt文档)
证明：将上式代入序列的傅立叶变换式
x[n] 1 π X (ej )ejnd 2π π
1
2π
2π- X (e j )e jnd 1
0
2π
2π- 0
k
2π N
X [k]
2πk N
e jnd
其中ε 满足不等式0 <ε <(2π/N),包含ω = 0 处的脉冲，而不包括
8.2.1 线性
x1[n]DFS X1[k ] x2[n]DFS X 2[k ] ax1[n] bx2[n]DFS aX1[k] bX 2[k]
8.2.2 序列的移位
x[n m]DFSWNkm X [k ]
注意大于周期N的移位，即m ≥ N，若m = m1+m2N 情况（无法区分）
相似有频域移位：
W nl N
x[n ] DFS
X
[k
l]
8.2.3 对偶性
DFS的分析式与综合式十分相似 时域与频域对偶性
原因：周期离散时间信号
（非周期信号与它的傅立叶变换是两类十分不同的函数）
N 1
Nx[n] X [k]WNkn
k 0
n与k互换
N 1
Nx[k ] X [n]WNnk
将周期信号的离散傅立叶级数 (并入) 傅立叶变换的框架
即：
x[n] X (ej ) 同为离散序列 x[n] X (ej )
或： x[n]DFS X [k ] X (e j ) 回顾第二章序列傅立叶变换的推广：
如果序列能够表示为复指数的和
则其傅立叶变换可以表示为脉冲串的形式，即：
n0
N 1 k 0
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
连续，周期 （时域周期为T1） 非 周 期，离 散 （离 散 间 隔 为
三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换 正变换：DTFT[x(n)]= 反变换：DTFT-1 级数收敛条件为| |=
可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，9/38
M=4，N=8，以N=8进行周期延拓。 用式子表示： ＝ 或 例：设 得到的。
的周期为8 。
＝x(n 模 N)＝x((n))N，(n 模 N)表示n对N取余数 是以N=8周期对有限长序列x(n)（长度M=4）进行周期延拓 ＝x(3)， =x(2)。
；
＝X((k))N RN(n)
的主值序列是X(k)； X(k)=
具体而言，我们把时域周期序列 延拓；同理把频域周期序列
看作是有限长序列x(n)的周期
也看作是有限长序列 X(k) 的周期延
拓。这样我们只要把 DFS 的定义式两边取主值区间，就得到了一个关 于有限长序列的时频域对应的变换对。这就是数字信号处理课程里最 重要的变换-------离散傅里叶变换(DFT)。
第三章 离散傅立叶变换
页码，1/38
第三章 离散傅立叶变换(DFT)
3．1 引言 有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用 Z 变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点 的一种有用工具是离散傅里叶变换 (DFT)。离散傅里叶变换除了作为 有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存 在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各 种数字信号处理的算法中起着核心的作用。 有限长序列的离散傅里叶变换 (DFT) 和周期序列的离散傅里叶级 数(DFS)本质上是一样的。为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列 的离散傅里叶级数DFS。而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变 换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
时域抽样间隔T，频域周期s=2/T， 时域周期T1，频域抽样间隔1=2/T1
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
设 是周期为 N 的一个周期序列，即 ，r 为任意整 数。和连续时间周期信号一样，周期序列可用离散傅里叶级数来表
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，5/38
示。
离散傅里叶级数（DFS）对： 正变换 =DFS[ ]= =
反变换
=IDFS[
]=
=
式中，
， 和 均为整数。
观察 少？
=
。
是一个周期序列吗？如是，周期为多
= 所以。
。
是一个周期序列，周期为N。 ，周期为N
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
有限长序列进行周期延拓得到周期序列。
定义：周期序列
中从 n=0 到 N-1 的第一个周期为 的主值序列
的主值区
间，而主值区间上的序列称为
周期序列的主值序列是有限长序列
利用前面的矩形序列符号RN(n) RN(n)= 1 ，0≤n≤N-1 0 ，其他n x(n)= RN(n) ； ＝x((n))N RN(n)
，0≤k≤N-1 ，0≤n≤N-1 RN(k) RN(n)
反变换：x(n)=IDFT[ 或： x(n)= ＝
RN(k)＝ RN(n) =
DFT隐含有周期性。
DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：
＝DFT[x(n)]= 比较上面两式可以得到： ＝ 或 =
| ，0≤k≤N-1 | ，0≤k≤N-1
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，2/38
连续，非周期 非周期，连续
可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成 频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数 设 f(t) 代表一个周期为 T1 的周期性连续时间函数，f(t) 可展成傅里叶级 数，其傅里叶级数的系数为 ，f(t)和 组成变换对，表示为:
（ ）
注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号 p(t)，周期用 T 表示（采样间
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，3/38
隔）。采样脉冲信号的频率为
可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期 造成频域是离散的谱
N，再将
= x((n))
左移得到
，最后取
主值区间（n=0 到N-1）上 。
的序列值，则得到有限长序列x(n)的循环移位序列 过程如下图所示：
2、 时域循环移位定理 设x(n)为有限长序列，长度为N， ，则 DFT[ ]= 为 x(n)的循环移位序列，即
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
不同，所以DFT的变换结果不同。例3．1．1中，
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，12/38
换区间长度N分别取8点和16点， 变换 和R4(n)的8点、16点
结果不同。下图为R4(n)的傅立叶 的对应图。
x(n)的周期延拓序列是
的主值序列是x(n)； x(n)=
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，10/38
同理把频域周期序列 是 的主值序列
也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。 X(k)
X(k)的周期延拓序列是
，0≤k≤N-1
（3.1.3）
（3.1.4）
（3.1.3）表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间 隔采样。（3.1.4）表明 是 x(n) 的傅立叶变换
在区间 [0，2π] 上
的 N 点等间隔采样。这就是 DFT 的物理意义。由此可见，DFT 的变换 区间长度N不同，表示对 在[0，2π]区间上的采样间隔和采样点数 = R4(n)， DFT变
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，15/38
其中
=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1
证明： = 令n+m=n’，则有 = = 由于上式中求和项以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结 果相同。将上式的求和区间改在主值区间，则得： = = = ，0≤k≤N-1
3、 频域循环移位定理 如果 =DFT[x(n)]，0≤k≤N-1 = 则：y(n)=IDFT[ ]= x(n)
x1(n) 有限长序列，长度为N； x2(n) 有限长序列，长度为N； y(n) 有限长序列，长度为N； x1(n)的N点DFT为： X1(k)=DFT[x1(n)]= 0≤k≤N-1 x2(n)的N点DFT为： X2(k)=DFT[x2(n)]= 0≤k≤N-1 y(n)的N点DFT为： Y(k)=DFT[y(n)] = = =a X1(k)+b X2(k) 0≤k≤N-1
。例如：基波分量的频率为 2/N，幅度是 列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。
例题：
如图所示，求
的DFS
解：
=DFS[
]=
=
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，7/38
=
=
=
=
= |
= |如下图所示。
，
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，16/38
证明：y(n) =IDFT[ = 令 = ，则有：
]=
y(n)= = = = = （ （ （ x(n) ） ） ）
三、循环卷积定理 有限长序列 x1(n) 和 x2(n)，长度分别为 N1 和 N2， N=max[N1， N2]。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：
二、循环移位定理 1、 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为 （3.2.2）
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，14/38
（3.2.2）表明先将 x(n) 以 N 为周期进行周期延拓得到序列
=
=
=
=
=
，k=0，1，…，7
（2）DFT变换区间N=16，则： = =
=
，k=0，1，…，15
DFS与DFT的关系 1、 有限长序列和周期序列的关系 设 x(n)是一个长度为 M的有限长序列，以N（N≥M）为周期进行 周期延拓得 。 是x(n)的周期延拓。如下图所示：
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
( 连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之 外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间 信号。)
一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT） 设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
X1(k)=DFT[x1(n)] X2(k)=DFT[x2(n)]
三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换 正变换：DTFT[x(n)]= 反变换：DTFT-1 级数收敛条件为| |=
可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，9/38
M=4，N=8，以N=8进行周期延拓。 用式子表示： ＝ 或 例：设 得到的。
的周期为8 。
＝x(n 模 N)＝x((n))N，(n 模 N)表示n对N取余数 是以N=8周期对有限长序列x(n)（长度M=4）进行周期延拓 ＝x(3)， =x(2)。
；
＝X((k))N RN(n)
的主值序列是X(k)； X(k)=
具体而言，我们把时域周期序列 延拓；同理把频域周期序列
看作是有限长序列x(n)的周期
也看作是有限长序列 X(k) 的周期延
拓。这样我们只要把 DFS 的定义式两边取主值区间，就得到了一个关 于有限长序列的时频域对应的变换对。这就是数字信号处理课程里最 重要的变换-------离散傅里叶变换(DFT)。
第三章 离散傅立叶变换
页码，1/38
第三章 离散傅立叶变换(DFT)
3．1 引言 有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用 Z 变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点 的一种有用工具是离散傅里叶变换 (DFT)。离散傅里叶变换除了作为 有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存 在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各 种数字信号处理的算法中起着核心的作用。 有限长序列的离散傅里叶变换 (DFT) 和周期序列的离散傅里叶级 数(DFS)本质上是一样的。为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列 的离散傅里叶级数DFS。而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变 换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
时域抽样间隔T，频域周期s=2/T， 时域周期T1，频域抽样间隔1=2/T1
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
设 是周期为 N 的一个周期序列，即 ，r 为任意整 数。和连续时间周期信号一样，周期序列可用离散傅里叶级数来表
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，5/38
示。
离散傅里叶级数（DFS）对： 正变换 =DFS[ ]= =
反变换
=IDFS[
]=
=
式中，
， 和 均为整数。
观察 少？
=
。
是一个周期序列吗？如是，周期为多
= 所以。
。
是一个周期序列，周期为N。 ，周期为N
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
有限长序列进行周期延拓得到周期序列。
定义：周期序列
中从 n=0 到 N-1 的第一个周期为 的主值序列
的主值区
间，而主值区间上的序列称为
周期序列的主值序列是有限长序列
利用前面的矩形序列符号RN(n) RN(n)= 1 ，0≤n≤N-1 0 ，其他n x(n)= RN(n) ； ＝x((n))N RN(n)
，0≤k≤N-1 ，0≤n≤N-1 RN(k) RN(n)
反变换：x(n)=IDFT[ 或： x(n)= ＝
RN(k)＝ RN(n) =
DFT隐含有周期性。
DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：
＝DFT[x(n)]= 比较上面两式可以得到： ＝ 或 =
| ，0≤k≤N-1 | ，0≤k≤N-1
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，2/38
连续，非周期 非周期，连续
可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成 频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数 设 f(t) 代表一个周期为 T1 的周期性连续时间函数，f(t) 可展成傅里叶级 数，其傅里叶级数的系数为 ，f(t)和 组成变换对，表示为:
（ ）
注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号 p(t)，周期用 T 表示（采样间
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，3/38
隔）。采样脉冲信号的频率为
可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期 造成频域是离散的谱
N，再将
= x((n))
左移得到
，最后取
主值区间（n=0 到N-1）上 。
的序列值，则得到有限长序列x(n)的循环移位序列 过程如下图所示：
2、 时域循环移位定理 设x(n)为有限长序列，长度为N， ，则 DFT[ ]= 为 x(n)的循环移位序列，即
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
不同，所以DFT的变换结果不同。例3．1．1中，
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，12/38
换区间长度N分别取8点和16点， 变换 和R4(n)的8点、16点
结果不同。下图为R4(n)的傅立叶 的对应图。
x(n)的周期延拓序列是
的主值序列是x(n)； x(n)=
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，10/38
同理把频域周期序列 是 的主值序列
也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。 X(k)
X(k)的周期延拓序列是
，0≤k≤N-1
（3.1.3）
（3.1.4）
（3.1.3）表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间 隔采样。（3.1.4）表明 是 x(n) 的傅立叶变换
在区间 [0，2π] 上
的 N 点等间隔采样。这就是 DFT 的物理意义。由此可见，DFT 的变换 区间长度N不同，表示对 在[0，2π]区间上的采样间隔和采样点数 = R4(n)， DFT变
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，15/38
其中
=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1
证明： = 令n+m=n’，则有 = = 由于上式中求和项以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结 果相同。将上式的求和区间改在主值区间，则得： = = = ，0≤k≤N-1
3、 频域循环移位定理 如果 =DFT[x(n)]，0≤k≤N-1 = 则：y(n)=IDFT[ ]= x(n)
x1(n) 有限长序列，长度为N； x2(n) 有限长序列，长度为N； y(n) 有限长序列，长度为N； x1(n)的N点DFT为： X1(k)=DFT[x1(n)]= 0≤k≤N-1 x2(n)的N点DFT为： X2(k)=DFT[x2(n)]= 0≤k≤N-1 y(n)的N点DFT为： Y(k)=DFT[y(n)] = = =a X1(k)+b X2(k) 0≤k≤N-1
。例如：基波分量的频率为 2/N，幅度是 列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。
例题：
如图所示，求
的DFS
解：
=DFS[
]=
=
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，7/38
=
=
=
=
= |
= |如下图所示。
，
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，16/38
证明：y(n) =IDFT[ = 令 = ，则有：
]=
y(n)= = = = = （ （ （ x(n) ） ） ）
三、循环卷积定理 有限长序列 x1(n) 和 x2(n)，长度分别为 N1 和 N2， N=max[N1， N2]。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：
二、循环移位定理 1、 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为 （3.2.2）
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
2011-1-3
第三章 离散傅立叶变换
页码，14/38
（3.2.2）表明先将 x(n) 以 N 为周期进行周期延拓得到序列
=
=
=
=
=
，k=0，1，…，7
（2）DFT变换区间N=16，则： = =
=
，k=0，1，…，15
DFS与DFT的关系 1、 有限长序列和周期序列的关系 设 x(n)是一个长度为 M的有限长序列，以N（N≥M）为周期进行 周期延拓得 。 是x(n)的周期延拓。如下图所示：
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
( 连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之 外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间 信号。)
一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT） 设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：
mhtml:file://E:\0\数字信号处理\第三章%20离散傅立叶变换.mht
X1(k)=DFT[x1(n)] X2(k)=DFT[x2(n)]