2020年高三水平测试卷(数学2)

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吉林省长春市2020高三理科数学二模试题含答案

理科数学试题第1页（共4页）长春市普通高中2020届高三质量监测（二）理科数学本试卷共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|(2)0}A x x x =−≤，{1,0,1,2,3}B =−，则A B = A. {1,3}− B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,23}，2. 若1(1)i z a =+−（a ∈R ），||2z =，则a =A. 0或2B. 0C. 1或2D. 13. 下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是A.2log 2xy = B.21log ()2x y = C. 21log y x=D.14y x =4. 已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是 A.1aB. 3aC. 8aD. 10a5. 若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12λ=−a e e ，且||3=a ，则实数λ= A. 1− B. 2 C. 0或1− D. 2或1−6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲理科数学试题第2页（共4页）7. 命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=−恒成立；:q 0a ∀>，()lna xf x a x+=−为奇函数，则下列命题是真命题的是 A.p q ∧ B. ()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D. ()p q ⌝∧8. 在ABC △中，30C =，2cos 3A =−，2AC =，则AC 边上的高为A.2B. 2C.D. 29. 2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种10. 在正方体1111-ABCD A B C D 中，点,,E F G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π. 正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01(,)2M y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为 A. 22y x = B. 24y x = C. 26y x = D. 28y x =12. 已知11()x x f x e e x −−=−+，则不等式()(32)2f x f x +−≤的解集是 A. [1,)+∞ B. [0,)+∞ C. (,0]−∞ D. (,1]−∞理科数学试题第3页（共4页）ACBA 1C 1B 1M NG二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若,x y 满足约束条件222022x y y x y +⎧⎪−⎨⎪−⎩≥≤≤，则z x y =+的最大值为____________.14. 若1205()3a x dx −=⎰，则a =____________. 15. 已知函数()sin()6f x x πω=+（0ω>）在区间[,2)ππ上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是________________.16. 三棱锥A BCD −的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD =，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________；三棱锥A BCD −体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为_____________. （本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. （12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼. 现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上(2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++)18. （12分）如图，直三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ， 1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG .（Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N −−的余弦值.)理科数学试题第4页（共4页）19. （12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++−+=（*n ∈N ）. （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +−为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .20. （12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34−.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. （12分）已知函数()x f x e =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>−恒成立，求最大的整数k .（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. [选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.23. [选修4-5 不等式选讲]（10分）已知函数()|1||1|f x ax x =++−. （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）试题参考答案及评分标准第1页（共4页）长春市普通高中2020届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. C4. A5. D6. D7. A8. C9. B 10. C 11. C 12. A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 414. 215. 511(,]61216. 43π，三、解答题17. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）由题意0.025m =.（4分）（Ⅱ） 222()100(800300) 4.762()()()()50503070n ad bc K a b c d a c b d −⨯−==≈++++⨯⨯⨯.对照表格可知，4.762 6.635<，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. （12分） 18. (本小题满分12分)【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）由题意，11A B MNG A B GN GN MNG ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，设1A B 与GN 交于点E ，在BNE △中，可求得BE =，则1A E = 可求得13AG =，则1AG =.（6分）（Ⅱ）以1B 为原点，1B B 方向为x 轴，1B C 方向为y 轴，11B A 方向为z 轴，建立空间直角坐标系.(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N(2,2,0)BM =−，(1,0,2)BG =−，1(2,2,1)n =(0,2,0)NM =，(1,0,2)NG =，2(2,0,1)n =−1212||3|cos |5||||3n n n n θ⋅===⋅⋅即二面角B MG N −−的余弦值为5. （12分）19. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）已知21430n n n a a a ++−+=，则2113()n n n n a a a a +++−=−，数学（理科）试题参考答案及评分标准第2页（共4页）且213a a −=，则1{}n n a a +−为以3为首相，3为公比的等比数列，所以13nn n a a +−=，11221131()()......()2n n n n n n a a a a a a a a −−−−=−+−++−+=..（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：3nn b n n =⋅−，121323......3n n T n =⨯+⨯++⨯， ①23131323......(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++−⨯+⨯， ②①-②可得1121133233 (3332)n nn n n T n n +++−−=+++−⨯=−⨯，则111333(21)33424n n n n n n T +++−⨯−⨯+=−+=即1(21)33(1)42n n n n n S +−⨯++=−. （12分）20. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）已知点P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，可设00(,)P x y ，即2200221x y a b +=，又2200022200034AP BP y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==−=−+−−，且22c =，可得椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分）（Ⅱ）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，则直线OM 的方程为y kx =. 联立直线AP 与椭圆C 的方程可得：2222(34)1616120k x k x k +++−=，由2A x =−，可得226834p k x k −=+，联立直线OM 与椭圆C 的方程可得：22(34)120k x +−=，即221234M x k=+，即222|||||||||2||02|2||||||P A Q A P M M x x x x AP AQ x OM x x −⋅−⋅+⋅+===. 即2||||||AP AQ OM ⋅为定值，且定值为2. （12分）21. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）已知函数()xf x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ，又()xf x e '=，(1)k f e '==，可知函数()xf x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)y e e x −=−，即y ex =. （4分）数学（理科）试题参考答案及评分标准第3页（共4页）（Ⅱ）不等式21(2())1m f x x+>−中，当0m =时，显然成立；当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +> 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=−，令00201()20xh x e x '=−=，解得0123x <<（此处可由验证得到）.即()h x 的最小值为002000111()2xh x e x x x =+=+，令01t x =∈，则220011(3t t x x +=+∈+，将()h x 的最小值设为a，则(3a ∈，因此原式需满足a >210am −+>在m ∈R 上恒成立，又0a >，可知判别式840k a =−<即可，即2ak <，且(3a ∈k 可以取到的最大整数为2. （12分）22. (本小题满分10分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y −+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +−=.（5分）（Ⅱ）设过原点的直线为tan y x θ=（34πθ≠）；在曲线1C 中，||4|cos |OM θ=.而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON θθ=+，因此28||24sin cos ||4|cos ||sin cos cos |)1|4ON OM θθπθθθθθ+===+++，即||||ON OM1)=.（10分）23. (本小题满分10分)【参考答案与评分细则】数学（理科）试题参考答案及评分标准第4页（共4页）（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪ >⎪⎪=++−=+ −⎨⎪⎪− <−⎪⎩≤≤，由此可知，()9f x <的解集为{|33}x x −<< （5分）（Ⅱ）当0a >时，()f x 的最小值为(1)1f >；当0a =时，()f x 的最小值为(1)1f =；当0a <时，()f x 的最小值不恒大于1. 综上，(0,)a ∈+∞.（10分）。

北京市西城区2020届高三数学二模试题含解析

市西城区2020届高三数学二模试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（UA）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出U A，再求（UA）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（UA）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i【答案】A【解析】【分析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）2212i i=+-＝﹣2i .故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x 2＝4yB. y 2＝4xC. x 2＝8yD. y 2＝8x【答案】D【解析】【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cos B =（）A. 34B. 【答案】C【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的X 围，求出cos B ，进而得到答案. 【详解】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===， ∴由B为锐角，可得cos B ==．故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5. 函数f (x )＝x 1x-是（） A. 奇函数，且值域为（0，+∞）B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数，其导数f ′(x )＝121x +，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R ；故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（）35【答案】B 【解析】【分析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.【详解】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0，所以124x x +=-，121=x x ，所以2121212|()423AB x x x x x x =-=+-故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（）A. a b b c ->-B. 111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解.【详解】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误.对于选项B ：当0,1,2a b c 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确.对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（）A.B. 【答案】B【解析】【分析】两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题. ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x 的项系数，只要使得展开式中x 的指数是1，求得r ，代入数值即可求出含x 项的系数.【详解】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅，令x 的指数为1，即r ＝1；∴含x 的项系数为：16530C ＝；故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____.【答案】 (1). 9 (2). 5.【解析】【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出.【详解】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2＝16，a 5＝1，∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1＝9，d ＝﹣2.∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n .令a n ＝11﹣2n ≥0，解得n 112≤=512+.∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5.故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+45.【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为底面为边长为2，高为2正四棱锥体.如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）. 【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论：①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z .其中，所有正确结论的序号是_____.【答案】①②.【分析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确；对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0，x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )，所以函数f (x )由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2.（1）求证：BC1∥平面AB1D；（2）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】【分析】（1）连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，可得BC1∥DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D的一个法向量与AB的坐标，1由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，由ABC﹣A1B1C1为三棱柱，得A1E＝BE.又∵D是A1C1的中点，∴BC1∥DE.∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=，由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ.则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|66n BCn BC ⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由；（2）求函数()f x 的单调递增区间【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=，又因为0>ω，所以2ω=.由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t U W=，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x %.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”？说明理由.【答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析. 【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）t A 9196=＞0.9，t B 8491=＞0.9，t C 6985=＜0.9，t D 5474=＜0.9，t E 6469=＞0.9，t F 6365=＞0.9. ∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为4263=. （2）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）22424625C C C ==，P （X ＝3）314246815C C C ==，P （X ＝4）4446115C C ==， ∴X 的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”.理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）证明:()2x x f x e e->. 【答案】（1）1a =；（2）极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【详解】解：（1）()ln f x a x a '+=，则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =，（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>，易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e 时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值，证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>，由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①，所以21ln x x x x x x e e e e-+≥-，故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立）设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当0x >时，()2x x f x e e->. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y ≠，可得出220044x y -=，求出直线CD 的方程，可求得点P 的坐标，由4OP OQ =⋅，可求得点Q 的横坐标，代入直线AD 的方程可求得点Q 的坐标，验证BQ BC k k =，即可证得结论成立.【详解】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =，由题意可得223210c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A -、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y -=，直线CD 斜率为001CD y k x -=，则直线CD 的方程为0011y y x x -=+，令0y =，可得001x x y =-，即点00,01x P y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x -=，直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+，所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭，直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQ y x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--，又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）.表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【解析】【分析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【详解】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，.证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，.所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意.重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数. 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，，所以39k ≤. 综上所述39k =.【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。

北京市2020届高三第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题Word版含解析

2019 年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷一在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合 M 1,2 ， N 2,3 ，那么 M N 等于（） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 C【解析】【分析】根据交集运算直接写出结果 .【详解】因为 M 1,2 ， N 2,3 ，所以 M I N 2 ，故选： C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易 .3.2019 年中国北京世界园艺博览会于 4 月 29 日至 10 月 7 日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）rr2. 已知向量 a 2,1 ， brr么那A. 2,3 B. 2，12, 1【答案】 D 【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果 .【详解】因为 a r 2,1 ， b r 0, 2 ，所以 a r b r 故选： D. 【点睛】本题考查向量加法的坐标表示，难度较易等于（）C. 2，02 0,1 2 2, 1D.【解析】【分析】根据随机事件的概率计算完成求解.1【详解】可能出现的选择有 4种，满足条件要求的种数为 1种，贝U P -, 4故选：B.【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易【答案】C【解析】【分析】2 2x 2 y 325,故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易r r5.已知向量a 2,1 , b 1,m ，且；b ，那么m 等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】A. B. C. D.16.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）（基本事件的总数）4.圆心为A 2, 3，半径等于 5的圆的方程是（）2 2A. (x 2) (y 3) 5B. (x 2)2 (y 3)2 5 2 2C. (x 2) (y 3)252 2D. (x 2) (y 3)25对比圆的标准方程:2 2 2x a y b r 进行判断即可【详解】因为圆心a,b即为2- 3 ,半径r = 5 ,所以圆的标准方程为：根据向量垂直对应的坐标关系计算出 m 的值.【详解】因为a b ，所以 2 1 1 m 0，所以m2 ,故选：C.【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易•已知a = (x i ,y i )， b = (x 2,y 2)，若r r a b ，则有：为X 2 y』20.【点睛】本题考查利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易次方程，两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解对应的坐标形式r rr” / r rr r7.已知平面向量a,b 满足a[ )1，且a 与b 夹角为60 ，那么a b 等于() 111A.—BC. -D. 143 2【答案】C 【解析】【分析】根据数量积公式完成计算.r r r r 1 1【详解】因为a b a b cos 1 1 — —， 2 26.直线x y 3 0与直线xA. 2,2B.【答案】D 【解析】【分析】联立二元一次方程组求解交点坐标x y 3【详解】据题意有：x y故选：D.y 1 0的交点坐标是()2,2 C.1，解得:1,3 D. 1,2所以交点坐标为1,2.直线的方程可认为是二元故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的计算，难度较易8.函数f X lg X 1的定义域为（）A. RB. 1,C. 0,D.,1【答案】B【解析】【分析】根据真数大于零计算出的X范围即为定义域.【详解】因为x 1 0,所以x 1，即定义域为1,，故选：B.注意对应的真【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.对数型函数计算定义域,数大于零.9.已知点A 1,1 ，B 2,4，那么直线AB的斜率为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】【分析】根据斜率的计算公式直接计算出斜率.【详解】因为A 1,1，B 2,4，所以k AB故选：A.【点睛】本题考查根据两点坐标计算出两点构成的直线的斜率，难度较易B X2, y2 ，则k ABx2x.10.为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A, B两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为（）A. 20B. 30C. 40D.50 【答案】C【解析】【分析】先计算出抽样比，然后根据（A专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数120 1 1【详解】据题意可知：抽样比，则A专业抽取人数为200 —40人，600 5 5故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的应用，难度较易•若要计算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，禾U用每一层数量乘以抽样比得到该层应抽取的数量cos等于（)11.A.cos cos sin sinB.cos cos sin sinC.sin cos cos sinD.sin cos cos sin【答案】A【解析】【分析】根据两角差的余弦公式直接得到结果•【详解】因为cos cos cos sin sin故选：A.【点睛】本题考查两角差的余弦公式的记忆，难度较易12.已知函数f X是定义域为R的奇函数，且f 1 2，那么f 1的值为（）2A. 0 C. 1 D. 2【答案】D26【解析】【分析】根据奇函数找到f 1与f 1的关系即可计算出 f 1的值• 【详解】因为f x 是定义域为R 的奇函数，所以f 1 f 1 2，所以f 1 2,故选：D.【点睛】本题考查根据奇函数的特性求值，难度较易•若f X 是定义域内的奇函数，则有：f X f X .13.如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，ABAC ，如果 AB 3，AC 1，AA 1 2，那么直三棱柱ABC ABQ 1的体积为（）【解析】【分析】根据棱柱的体积公式求解直三棱柱的体积故选：B.是棱柱的底面积，h 是棱柱的高A. 2【答案】BB. 3C. 4D. 6【详解】因为 AB AC ，所以 S vABCAB AC 2所以V ABC A [ B 1C 1S VABCAA 1 2 2 3，【点睛】本题考查棱柱的体积计算公式，难度较易.棱柱体积计算公式： V S h ，其中S14.sin 鱼的值为（）315.函数f X X X的零点的个数是（）A. 0B. 1C. 2【答案】D【解析】【分析】将f X因式分解后即可判断零点的个数.【详解】因为f X X3 X X X 1 X 1，所以令f X 0则有：X即零点有3个，故选：D.【点睛】本题考查函数的零点个数，难度较易.对于可直接进行因式分解的函数, 式分解判断每个因式为零的情况，然后确定零点个数16.要得到函数y 2sin X的图象.只需将函数y 2sinx的图象（3A.向左平移一个单位3 B. 向右平移一个单位31A.-B. _!C. _J232【答案】A【解析】【分析】先将13变形为2k,k乙0,2，然后根据诱导公式一计算结果6【详解】因为13 2 ，所以.13 sinsin — 2 sin-16666 6 2故选：A.D. ,3【点睛】本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一sin 2k sin k Z ，cos 2k cos k ZD. 3可通过因C. 向左平移—个单位D.向右平移—个单位6 6【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果【详解】根据相位变换的左加右减有：y 2sin x向左移动—个单位得到3y 2sin x3故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易•相位变换时注意一个原则：左加右减.17.直线1经过点A 1,1，且与直线2x y 3 0平行，则1的方程为（）A. y 2x 11 ’B. y x 1C.y 6 1D22y 2x 1【答案】D【解析】【分析】根据平行关系设出直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程.【详解】设I方程为：2x y C 0 C 3，代入A 1,1 有：2 1 C 0，所以C 1，所以I方程为：2x y 1 0，即y 2x 1，故选：D.【点睛】本题考查根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易.已知直线方程为：Ax By C1 0，与其平行的直线方程可设为：Ax By C? 0 G C?.18.如果函数f x log a X（a 0且a 1）的图象经过点4,2，那么a的值为（）【答案】C 【解析】【分析】将点代入函数解析式中计算出 a 的值即可.【详解】因为f x log a x 图象经过点 4,2，所以log a 4 2，所以a 2 4且a 0且 a 1，解得：a 2，故选：C.【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值19.已知a 20.3，b 23，c 2 1，那么a , b , c 的大小关系为（）c b a【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数单调性比较大小故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幕的大小，难度较易.对于指数函数xxf X a （ a 0且a 1）:若a 1,则fx a 是R 上增函数；若0 a 1，则xf x a 是R 上减函数.20.函数f x sin xcosx 的最小正周期是（）A.-B.C.D. 2A.B. C. 2 D. 4.通过函数图象所过A. a b cB. b a cC. c a bD.【详解】因为y 2X 在R 上是增函数，又10.3 3，所以 2 1 20.3 23，所以 b a c ，【解析】【分析】利用二倍角公式先化简，然后根据周期计算公式计算最小正周期1 2 2【详解】因为f x sinxcosxsin 2x ，所以T亍，故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式、周期公式的应用，难度较易•常见的二倍角公式有:sin 2x 2sin xcosx,cos 2x cos 2 x sin x 2 2cos 2 x 1那么a 等于(【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a【详解】由正弦定理可知：，所以si nA si nBB. ,3C. D. 31 2sin 2x .21.在厶ABC 中，角A, B, C 所对应的边分别为a , b, c ，如果 A 30，B 45，b 2，2解得:sin 45sin 308 2先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为 1去计算相应结果【详解】因为coscos所以cos故选：B.【点睛】本题考查根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易•利用平方和为1去计算相应三角函数值时，注意根据角度的范围去判断相应的三角形函数值的正负号23.已知圆C: x 2 y 2 6x 0与直线I : x y 1 0，那么圆心C 到直线I 的距离为（） A. 3 \ 2B. 2打2C.2 D. 1【答案】B 【解析】【分析】先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离2 n【详解】圆的方程可变形为：x 3y 2 9，所以圆心C 为3,0，所以圆心C 到I 的距离为：d 斧2逅，故选：B.【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易2 2 2x a y b r r 0，其中圆心为 a,b ，半径为r .【答案】A 【解析】又因为sin 2cos 21且0,，所以cos 2.圆的标准方程为:24.已知幕函数f x x n ，它图象过点2,8，那么A. B. D. 1【分析】1先通过函数图象过点2,8，计算出n的值，然后再计算f -的值.2【详解】因为f x x n过点2,8，所以2n 8，所以n 3，所以f x x3，3则fl 11，2 2 8故选：A.【点睛】本题考查幕函数的解析式求解以及根据幕函数解析式求值，难度较易•25.生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%最主要的源头是散煤燃烧•因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措.2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99鳩上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图. 在这些用户中，用气量在区间300,350的户数为（）A. 5B. 15C. 20D. 25【答案】D【解析】【分析】计算出300,350的频率，用抽取的总数量乘以对应的频率即可得到对应段的户数【详解】根据频率分布直方图可知：300,350的频率为0.005 50 0.25，所以用气量在300,350 的户数为：0.25 100 25户，故选：D.【点睛】本题考查根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易，观察频率分布直方图时, 注意纵轴并不表示频率，而是频率除以组距，因此每一段区间对应的小长方形的面积即为该段的频率.26.在ABC中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c,如果A 60，b 3，ABC的3面积S 一J3，那么a等于（）2A. 、7B. 7C. 17D. 17 【答案】A【解析】【分析】先根据面积公式计算出c的值，然后利用A 60以及余弦定理求解a的值.【详解】因为1S bcsin A3,3cS3，所以c 2 ；242又因为cosA2 2 2b c a1所以—29 4 a，所以a .7 ,2bc212故选：A.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择27.设m n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m// , n ，那么m//n ；②如果m , n ，那么m//n ；③如果// , m ，那么m// ；④如果，m ，那么m其中正确的命题是（）A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】【分析】通过判定定理、性质定理、定义、举例的方式逐项分析【详解】①如图所示长方体，A i C i //平面ABCD , BD 平面ABCD，但是A i C i不平行BD，故错误；②根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确；③根据两个平面平行时，其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面，可知正确；如图所示长方体，平面ABCD 平面BCC i B i且BC i平面BCC i B i，但此时BC i显然不垂直于平面ABCD，故错误；综上：②③正确•故选：B.【点睛】本题考查符号语言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假判断，难度般.处理符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判定、性质定理直接判断；根据定义判断；根据示意图、举例判断•二解答题28.某同学解答一道三角函数题：“已知函数 f x 2sin x -2，且2f 0 、3 .(I)求的值；(n)求函数f x在区间——, 上的最大值及相应x的值.”63该同学解答过程如下：解答：(I)因为f 02si n.3，所以sin.因为-2 2 2所以一3(n)因为522 x-，所以x.令t x ，贝y t63 2 3 3 3 2 3画出函数y2sin t 在2上的图象，2 3由图象可知，当t ，即x 时，函数f X的最大值为f X max 2 .2 6任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念- , 的正弦、余弦、正切的诱导公式2弧度与角度的互化函数y si nx, y cosx, y ta nx 的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间0,2 上的性质请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数y sin x的图象，三角函数的周期性，正弦函数在区间0,2 上的性质，参数A,,对函数y Asin o x © 图象变化的影响.【解析】【分析】根据解答过程逐步推导所用的数学知识•【详解】首先，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度2 2制的概念；由sin —3和的范围解出，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解2 3题时所画的图象涉及的是函数y sinx的图象；作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间0,2 上的性质；用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A, , 对函数y As in o x ©图象变化的影响.【点睛】本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般.由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉.29.如图，在三棱锥P ABC中，PA 平面ABC点D, E, F分别为PC, AB AC的中点.(i)求证：BC//平面DEF；(n)求证：DF BC .阅读下面给出的解答过程及思路分析.解答：(I)证明：在ABC中，因为E, F分别为AB AC的中点，所以①因为BC 平面DEF EF 平面DEF,所以BC//平面DEF(n)证明：因为PA 平面ABC BC 平面ABC所以②，因为D, F分别为PC AC的中点，所以DF//PA •所以DF BC .思路分析：第(I)问是先证③,迪证“线面平行”；第(n)问是先证④，再证⑤，去后证“线线垂直”.以上证明过程及思路分析中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置.【答案】①A;②B;③C;④A;⑤B.【解析】【分析】①：由中位线分析；②线面垂直的性质分析；③由线线推导线面；④由线面垂直推导线线垂直；⑤由线线平行推导线线垂直•【详解】①因为EF是中位线，所以EF //BC，故选A；②PA 平面ABC，BC 平面ABC，可通过线面垂直得到线线垂直，故选B;③通过中位线，先证线线平行，再证线面平行，故选C；④根据PA BC可知：先证明线线垂直，故选A；⑤由DF //PA可知：再证线线平行，故选B.【点睛】本题考查线线、线面平行以及线线、线面垂直的证明和理解，难度较易•证明线线平行多数情况可根据中位线或者证明平行四边形来解决问题，有时候也可以根据线面平行的性质定理去证明线线平行•30.某同学解答一道解析几何题：“已知直线I : y 2x 4与x轴的交点为A,圆O2 2 2 小x y r r 0经过点A.(I)求r的值；(n)若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线I，求AB .”该同学解答过程如下：解答：(I)令y 0，即2x 4 0,解得x 2，所以点A的坐标为2,0 .2 2 2因为圆O： x y r r 0经过点A,所以r = 2.(n)因为AB I .所以直线AB的斜率为2 .所以直线AB的方程为y 0 2 x 2,即y2x 4 .代入x22y 4消去y整理得5x216x120 ,66868解得为 2 , x2当X2时，y2所以点B的坐标为—555552 2所以| AB |，6 2 8 0 45 .V 5 5 5指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.【答案】直线AB 的斜率为2不对，见解析【解析】【分析】根据：两直线垂直（直线斜率都存在），对应的直线斜率乘积为1,判断出AB 对应的直线方程的斜率错误•【详解】因为AB l，所以直线AB 的解率为12所以直线 AB 的方程为y 02x 2，即 x2y 2.代入X2y 24消去 X 整理得 25y 8y0, 解得 y 1,y 28 5 .当y 2时，X 26所以 B 的坐标为6 8J555 5.■ 2 2所以 |AB|、6 280 8、5 -V 555【点睛】本题考查直线与圆综合应用以及两直线垂直时对应的斜率关系的判断，难度一般.当两条直线h 、J 的斜率都存在且为k 「k 2时，若l i I 2，则有k i ?k 2 -1.31. 土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中3311g / cm ，小于12g / cm ，重金属39【答案】大于483 克，小于63167【详解】设重金属 A 密度为xg/cm 3，此混合物中含重金属 A 为y 克.的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响致癌物质，应引起特别关注.某中学科技小组对泊勺1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米的克数的范围.【解析】【分析】根据题意设未知数 x 、y ，根据条件构性来分析混合物中重金属 A 的克数的范重金属作为潜在的 A，AA由题意可知，重金属B为1000 y克，且丄x1000 y 100 •解得8.65聲118.65 x 12 •因为135xx 8.651358.658.65，所以当8.65时，y随x的增大而减小，因为1 1 12，所以135 1 8.6512 8.65135 18.65x 8.65135 111 8.6539 解得48339 6763143 克.47【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.首先对于未给出函数的实际问题，第要设未知数，第二步需要根据条件所给等量关系构建新函数（注意定义域），第三步就是根据函数知识求解相应问题.43 39 631 •故此混合物中重金属 A 的克数的范围是大于 483 克，小于47 67止命步需。

山东省2020届高三数学二模试卷

山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。

2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)-数理解析(1)

ｘ＝０，则 μ ＝０，标准差是 σ ＝１，而（１，２］＝（μ ＋σ， μ ＋２σ］，∴Ｐ（１＜Ｘ≤２）＝０．９５４５－２０．６８２７＝０．１３５９，
∴图中阴影部分的面积为１－０．１３５９＝０．８６４１．记
“黄豆落入阴影部分 ”为事件Ａ，则Ｐ（Ａ）＝
阴影部分的面积正方形面积
（ｋ∈Ｚ），∴ｋ＜１４（ｋ∈Ｚ），∴ｋ的最大值为０，∴ａｍｉｎ＝
π １２，故选Ｃ．１０．Ｄ【解析】本题考查棱柱外接球表面积的运算．由题意
可知△ＡＢＣ外接圆的半径ｒ＝槡３３ａ．设该三棱柱外接球
( ) ( ) ２
的半径为Ｒ，则Ｒ２＝槡３３ａ＋
ｂ２
２
．由
ａ＋ｂ＝２
可得
ｂ＝２－ａ，∴Ｒ２
８７时取得最小值，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为４πＲ２＝１７６π，故选Ｄ．
— 数学（理科）·答１—
【一题多解】由题意可知△ＡＢＣ外接圆的半径ｒ＝槡３３ａ．
( )２
设该三棱柱外接球的半径为Ｒ，则Ｒ２＝槡３３ａ＋
( )ｂ２
２
＝
ａ２３
２．Ｂ【解析】本题考查集合并集的运算．由题意可知集合Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２，ｘ∈ Ａ｝＝｛ｙ｜０≤ ｙ≤ １｝，∴Ａ∪ Ｂ＝｛ｘ｜－１≤ ｘ≤１｝，故选Ｂ．
３．Ａ【解析】本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），
( ) 其中Ａ（０，３），Ｂ（１，２），Ｃ４３，７３．先作出２ｘ－ｙ＝０
８．Ｄ【解析】本题考查三角恒等变换．由题意可得ｃｏｓβ ＝１５３．∵－π２＜α－β ＜０，∴ｓｉｎ（α －β）＝－１６６５，∴ｓｉｎα ＝

辽宁省2020届高三上学期学业水平合格性考试(二)数学试卷

辽宁省2020届高三上学期学业水平合格性考试（二）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知全集RU =，集合{}1,2,3,4,5A =，{}3B x x =≥，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{}1,2B. {}4,5C.{}1,2,3D.{}3,4,52.已知命题2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>，则命题的否定为( ) A.2(1,),168x x x ∀∈+∞+≤ B. 2(1,),168x x x ∀∈+∞+< C. 2000(1,),168x x x ∃∈+∞+≤ D. 2000(1,),168x x x ∃∈+∞+<3.函数()y f x =为奇函数是()y f x =的图象关于原点对称”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.如果422log 1,log 3,log πa b c ===,那么,,a b c 三个数的大小关系是( ) A.c b a >>B.a c b >>C. a b c >>D. b c a >>5.一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭,则a b +的值是( )A. 10B. -10C. 14D. -146.已知,x y 都是正数,且1xy =,则14x y+的最小值为( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 37.设,αβ是两个不同的平面,,m n 是两条不同的直线,下列命题中正确的是( )A. 若,m αβα⊥⊂,则m β⊥B. 若,m αβα⊥⊥,则//m βC. 若//,m n ααβ=I ,则//m nD. 若//,//,m m n αβαβ=I ,则//m n8..某家庭2016年一月份的总开支分布图如图1所示,这个月的食品开支如图2所示,则这个月的肉类开支占该家庭总开支的百分比为( )A. 3%B. 10%C. 20%D. 30%9.在某次测量中得到的A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据,则,A B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A.众数B.平均数C.中位数D.标准差 10.若函数12(0,1)x y a a a -=->≠的图象恒过点P,则点P 为（）A.(3,0) B. (1,0)-C.(0,3)D.(1,1)-11.为了得到函数1πsin(2)23y x =-的图象,只需将函数sin cos y x x =的图象（）A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位 12.已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且3,BC BM N =为DC 的中点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r=( ) A. -6 B. 12 C. 6D. -12二、填空题13.cos330︒=_________.14.设向量()2,4a =r与向量(),6b x =r 共线,则实数 x =___________.15.若函数()1f x ax =-的零点在(1,3)内，则实数a 的取值范围是_________.16.函数22,0()log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则方程1()2f x =的解是__________.三、解答题17.某款车的车速与刹车后的停车距离的对应值，可用一个函数模拟刹车后的停车距离/m y 与车速km /h x 的关系，根据实验数据建立最佳数学模型20.0060.21y x x =+.（1）根据最佳模型预测该款车车速为100km/h 时的刹车距离；（2）某城市一道路上在同一行驶车道上以相同速度行驶的该款两辆汽车，它们车间距为34.2m ，根据最佳模型预测在前车突发停车情况下，后车不改变行驶车道，后车车速x 至多为多少时？两车不会发生碰撞.18. 如图,在ABC ∆中,D 是BC 上的点,73,2,7,sin AC CD AD B ====.（1）求角C 的大小; （2）求边AB 的长.19. 如图,在ABC ∆中,C ∠为直角,4AC BC ==.沿ABC ∆的中位线DE ,将平面ADE 折起,使得 90ADC ∠=︒,得到四棱锥A BCDE -.(1)求证:BC ⊥平面ACD ; (2)求三棱锥E ABC -的体积;20. 《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”弘扬传统文化,某市对全市一定年龄的市民进行了汉字听写测试.为了调查被测试市民的基本情况,组织方从参加测试的市民中随机抽取120名市民,按他们的年龄分组:第一组[20,30),第2组[30,40),第3组[40,50),第4组[50,60),第5组[60,70],得到的频率分布直方图如图所示.(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访,求被采访人恰好在第1组或第4组的概率; (2)已知第1组市民中男性有3名,组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少有1名女性群众的概率 21. 已知π(sin(),1),(cos ,1)6x n m x -==(1)若//m n ,求tan x 的值;(2)若函数,π()[0,]2f x x m n ∈⋅=,求()f x 的值域.参考答案1.答案：A解析：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A 中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()B A ⋂U ð，又{}1,2,3,4,5R 3{|}A B x x ==∈，…， ∵{}|3B x x =<U ð， ∴{}1,2()B A ⋂=U ð．则图中阴影部分表示的集合是：{}1,2． 2.答案：C解析：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题的否定是：()3:1,,168p x x x ⌝∃∈+∞+„3.答案：C解析：∵()y f x =关于原点对称的函数表达式为：()()y f x f x =-=-，故函数()y f x =是奇函数，故()y f x =是奇函数”是“() y f x =的图象关于原点对称”充要条件. 4.答案：A解析：∵422log 1,log 3,log πa b c ===， ∴c b a >>. 5.答案：B∴当且仅当1,22x y ==时,14x y +取最小值4.解析：由αβ，是两个不同的平面，m n ，是两条不同的直线，知：在A 中，若m αβα⊥⊂，，则m 与β相交、平行或m β⊂，故A 错误；在B 中,若,m αβα⊥⊥,则//m β或m β⊂，故B 错误；在C 中,若//m n ααβ⋂=，，则m 与n 平行或异面，故C 错误；在D 中,若//,//,m m n αβαβ⋂=,则由直线与平面平行的性质定理得//m n ，故D 正确.解析：因为()1100304010080501003003÷++++=÷=所以130%10%3⨯=解析：A 样本众数为88,B 众数为90,众数不同;A 样本平均数比B 样本平均数小2;,A B 的中位数不同,都加2后数据波动程度相同,因此标准差相同. 10.答案：C解析：∵指数函数(0y ax a =>,且1)a ≠恒过()0,1点，而函数2(0y ax a =->且1)a ≠的图象可以看成是函数(0y ax a =>,且1)a ≠的图象向下平移2个单位而得到的，∴函数2(0y ax a =->,且1)a ≠的图象恒过()0,1-点 11.答案：B解析：本题考查三角函数的图象.由1sin cos sin 22y x x x ==,为了得到函数1π1πsin(2)sin 2()2326y x x =-=-的图象,只需将函数sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位 12.答案：A解析：以A 为原点建立坐标系，如图所示：解析：()()cos330cos 30360cos 30cos30︒=-︒+︒=-︒=︒= 14.答案：3解析：由向量平行的性质,有2:4:6x =,解得3x =. 15.答案：1(,1)3解析：16.答案：-1解析：17.答案：(1)将100x =代入20.0060.21y x x =+，计算得81y =，所以车速为100km/h 时的刹车距离为81m . (2)由题得20.0060.2134.2x x +≤，解得9560x -≤≤，又0x >，即060x <≤，所以后车车速x 至多为60km/h . 解析：18.答案：(1)在ADC ∆中,由余弦定理,得222223271cos 22322AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⋅⨯⨯.因为0πC <<,所以π3C =.(2) 因为π3C =,所以sin C .在ABC ∆中,由正弦定理,得 sin sin AC ABB C=.即AB =所以边AB . 解析：19.答案：(1)因为//DE BC 且90C ∠=︒, 所以DE AD ⊥,同时DE DC ⊥,又AD DC D ⋂=,所以DE ⊥平面ACD . 所以BC ⊥平面ACD .(2)由第1问可知:BC ⊥平面ACD , 又AD ⊂平面ACD ,所以AD BC ⊥, 又因为90ADC ∠=︒,所以AD DC ⊥. 又因为BC DC C ⋂=,所以AD ⊥平面BCDE .所以,1·3E ABC A EBC EBC V V S AD --==V . 依题意,11·42422EBC S BC CD ==⨯⨯=V . 所以,184233E ABC V -=⨯⨯=.解析：20.答案：(1)设第1组[20,30)的频率为1f ,则由题意可知,()110.0100.0350.0300.020100.05f =-+++⨯=,被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.050.020100.25+⨯=, ∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25. (2)第1组[)20,30的人数为0.051206⨯=, ∴第1组中共有6名市民,其中女性市民共3名,记第1组中的3名男性市民分别为,,A B C ,3名女性市民分别为,,x y z , 从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队,共有15个基本事件, 列举下:,,,,,,AB AC Ax Ay Az BC Bx , ,,,,,,,By Bz Cx Cy Cz xy xz yz ,至少有1名女性,,,,,,,,,,,Ax Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz xy xz yz 共12个基本事件, ∴从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队,至少有1名女性的概率为.解析：21.答案：(1)由//m n 得,πsin cos 06x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,化简得,sin 3cos x x =, 即tan 3x =.(2) ()1π3sin 2264f x m n x ⎛⎫=⋅=-+ ⎪⎝⎭,由π[0,]2x ∈得ππ5π2[,]666x -∈-，所以π1sin(2)[,1]62x -∈-所以()15 [,] 24f x∈. 解析：。

北京市2020届高三数学第二次普通高中学业水平合格性考试试题含解析

北京市2020届高三数学第二次普通高中学业水平合格性考试试题（含解析）一在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1.已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，那么M N ⋂等于（） A. φ B. {}1C. {}2D. {}3【答案】C 【解析】【分析】根据交集运算直接写出结果.【详解】因为{}1,2M =，{}2,3N =，所以{}2M N =I ，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.2.已知向量()2,1a =r ，()0,2b =-r ，那么a b +r r等于（）A. ()2,3B. ()21，C. ()20，D.()2,1-【答案】D 【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果.【详解】因为()2,1a =r ，()0,2b =-r ，所以()()()20,122,1a b +=++-=-r r，故选：D.【点睛】本题考查向量加法的坐标表示，难度较易.3.2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A.12B.14C.18D.116【答案】B 【解析】【分析】根据随机事件的概率计算完成求解.【详解】可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则14P =，故选：B.【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）.4.圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( ) A. 22(2)(3)5x y -++= B. 22(2)(3)5x y ++-= C. 22(2)(3)25x y -++= D. 22(2)(3)25x y ++-=【答案】C 【解析】【分析】对比圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=进行判断即可.【详解】因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.5.已知向量()2,1a =-r ，()1,b m =r ，且a b ⊥r r，那么m 等于( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】根据向量垂直对应的坐标关系计算出m 的值.【详解】因为a b ⊥r r，所以()2110m -⨯+⨯=，所以2m =，故选：C.【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易.已知()11,a x y =r ，()22,b x y =r，若a b ⊥r r，则有：12120x x y y +=.6.直线30x y +-=与直线10x y -+=的交点坐标是( ) A. ()2,2 B. ()2,2-C. ()1,3-D. ()1,2【答案】D 【解析】【分析】联立二元一次方程组求解交点坐标. 【详解】据题意有：31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,2，故选：D.【点睛】本题考查利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易.直线的方程可认为是二元一次方程，两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解对应的坐标形式.7.已知平面向量,a b r r 满足1a b ==r r ，且a r 与b r夹角为60°，那么a b ⋅r r 等于( )A.14B.13C.12D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据数量积公式完成计算.【详解】因为11cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=r r r r ，【点睛】本题考查向量数量积的计算，难度较易.8.函数()()lg 1f x x =-的定义域为( ) A. RB. ()1,+∞C. ()0,∞+D.(),1-∞【答案】B 【解析】【分析】根据真数大于零计算出的x 范围即为定义域.【详解】因为10x ->，所以1x >，即定义域为()1,+∞，故选：B.【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.对数型函数计算定义域，注意对应的真数大于零.9.已知点()1,1A -，()2,4B ，那么直线AB 的斜率为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据斜率的计算公式直接计算出斜率. 【详解】因为()1,1A -，()2,4B ，所以()41121AB k -==--，故选：A.【点睛】本题考查根据两点坐标计算出两点构成的直线的斜率，难度较易.已知()11,A x y ，()22,B x y ，则2121AB y y k x x -=-.10.为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A ，B 两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A 专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为( ) A. 20 B. 30C. 40D. 50【答案】C 【解析】【分析】先计算出抽样比，然后根据（A 专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数. 【详解】据题意可知：抽样比12016005=，则A 专业抽取人数为1200405⨯=人，故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的应用，难度较易.若要计算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，利用每一层数量乘以抽样比得到该层应抽取的数量.11.()cos αβ-等于( ) A. cos cos sin sin αβαβ+ B. cos cos sin sin αβαβ- C. sin cos cos sin αβαβ+ D. sin cos cos sin αβαβ-【答案】A 【解析】【分析】根据两角差的余弦公式直接得到结果.【详解】因为()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，故选：A.【点睛】本题考查两角差的余弦公式的记忆，难度较易.12.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()12f -=-，那么()1f 的值为( )A. 0B.12C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据奇函数找到()1f 与()1f -的关系即可计算出()1f 的值.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()112f f -=-=-，所以()12f =，故选：D.【点睛】本题考查根据奇函数的特性求值，难度较易.若()f x 是定义域内的奇函数，则有：()()f x f x -=-.13.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据棱柱的体积公式求解直三棱柱的体积. 【详解】因为AB AC ⊥，所以322ABC AB AC S ⋅==V ；所以11113232ABC A B C ABC V S AA -=⨯=⨯=V ，故选：B.【点睛】本题考查棱柱的体积计算公式，难度较易.棱柱体积计算公式：V S h =⋅，其中S 是棱柱的底面积，h 是棱柱的高. 14.13sin6π的值为( )A.12【答案】A 【解析】【分析】先将136π变形为[]2,,0,2k k Z απαπ+∈∈，然后根据诱导公式一计算结果. 【详解】因为13266πππ=+，所以131sin sin sin 66226ππππ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：()()sin 2sin k k Z απα+=∈， ()()cos 2cos k k Z απα+=∈.15.函数()3f x x x =-的零点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】将()f x 因式分解后即可判断零点的个数.【详解】因为()()()311f x x x x x x =-=+-，所以令()0f x =则有：1x =-或0或1，即零点有3个，故选：D.【点睛】本题考查函数的零点个数，难度较易.对于可直接进行因式分解的函数，可通过因式分解判断每个因式为零的情况，然后确定零点个数.16.要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（） A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果.【详解】根据相位变换的左加右减有：2sin y x =向左移动3π个单位得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.17.直线l 经过点()1,1A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为（） A. 21y x =+B. 112y x =+ C. 112y x =-- D.21y x =-【答案】D 【解析】【分析】根据平行关系设出直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程.【详解】设l 方程为：()203x y C C -+=≠-，代入()1,1A 有：210C -+=，所以1C =-，所以l 方程为：210x y --=，即21y x =-，故选：D.【点睛】本题考查根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易.已知直线方程为：10Ax By C ++=，与其平行的直线方程可设为：()2120Ax By C C C ++=≠.18.如果函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象经过点()4,2，那么a 的值为（）A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】将点代入函数解析式中计算出a 的值即可.【详解】因为()log a f x x =图象经过点()4,2，所以log 42a =，所以24a =且0a >且1a ≠，解得：2a =，故选：C.【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易.通过函数图象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值.19.已知0.32=a ，32b =，12c -=，那么a ，b ，c 的大小关系为（） A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数单调性比较大小.【详解】因为2xy =在R 上是增函数，又10.33-<<，所以10.33222-<<，所以b a c >>，故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）：若1a >，则()x f x a =是R 上增函数；若01a <<，则()x f x a =是R 上减函数.20.函数()sin cos f x x x =的最小正周期是（）A.4πB.2π C. πD. 2π【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式先化简，然后根据周期计算公式计算最小正周期.【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x x ==，所以222T πππω===，故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式、周期公式的应用，难度较易.常见的二倍角公式有：2222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x x x x ==-=-=-.21.在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果30A =︒，45B =︒，2b =，那么a 等于（）D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a 的值.【详解】由正弦定理可知：sin sin a b A B=，所以2sin 30sin 45a =︒︒，解得：a =故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.正弦定理对应的等式：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径）.22.已知4sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()cos πα-等于（） A. 45-B. 35-C.35D.45【答案】B 【解析】先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果. 【详解】因为()cos cos παα-=-；又因为22sin cos 1αα+=且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==，所以()3cos 5πα-=-，故选：B.【点睛】本题考查根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易.利用平方和为1去计算相应三角函数值时，注意根据角度的范围去判断相应的三角形函数值的正负号.23.已知圆C ：2260x y x +-=与直线l ：10x y -+=，那么圆心C 到直线l 的距离为（）A. B.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离.【详解】圆的方程可变形为：()2239x y -+=，所以圆心C 为()3,0，所以圆心C 到l 的距离为：d ==故选：B.【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易.圆的标准方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>，其中圆心为(),a b ，半径为r .24.已知幂函数()nf x x =，它图象过点()2,8，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A. 18B. 14C. 12D. 1【解析】【分析】先通过函数图象过点()2,8，计算出n 的值，然后再计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为()nf x x =过点()2,8，所以28n =，所以3n =，所以()3f x x =，则3111228f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查幂函数的解析式求解以及根据幂函数解析式求值，难度较易.25.生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间[)300,350的户数为（）A. 5B. 15C. 20D. 25【答案】D 【解析】【分析】计算出[)300,350的频率，用抽取的总数量乘以对应的频率即可得到对应段的户数. 【详解】根据频率分布直方图可知：[)300,350的频率为0.005500.25⨯=，所以用气量在[)300,350的户数为：0.2510025⨯=户，故选：D.【点睛】本题考查根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易,观察频率分布直方图时，注意纵轴并不表示频率，而是频率除以组距，因此每一段区间对应的小长方形的面积即为该段的频率.26.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果60A =︒，3b =，ABC ∆的面积S =，那么a 等于（）B. 7D. 17【答案】A 【解析】【分析】先根据面积公式计算出c 的值，然后利用60A =︒以及余弦定理求解a 的值.【详解】因为1sin 2S bc A ===，所以2c =；又因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2194212a +-=，所以a =故选：A.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.27.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//m α，n ⊂α，那么//m n ；②如果m α⊥，n α⊥，那么//m n ； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥．其中正确的命题是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】B 【解析】【分析】通过判定定理、性质定理、定义、举例的方式逐项分析.【详解】①如图所示长方体，11A C ∥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，但是11A C 不平行BD ，故错误；②根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确；③根据两个平面平行时，其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面，可知正确；④如图所示长方体，平面ABCD ⊥平面11BCC B 且1BC ⊂平面11BCC B ，但此时1BC 显然不垂直于平面ABCD ，故错误；综上：②③正确. 故选：B.【点睛】本题考查符号语言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假判断，难度一般.处理符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判定、性质定理直接判断；根据定义判断；根据示意图、举例判断. 二解答题28.某同学解答一道三角函数题：“已知函数()()2sin 22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，且()03f =．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间5,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为()02sin 3f ϕ==，所以3sin 2ϕ=．因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=．（Ⅱ）因为563x ππ-≤≤，所以2233x πππ-≤+≤．令3t x π=+，则223t ππ-≤≤．画出函数2sin y t =在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，由图象可知，当2t π=，即6x π=时，函数()f x 的最大值为()max 2f x =．下表列出了某些数学知识：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 2πα±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π上的性质请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数sin y x =的图象，三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质，参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响．【解析】【分析】根据解答过程逐步推导所用的数学知识. 【详解】首先22ππϕ-<<，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由sin ϕ=和ϕ的范围解出3πϕ=，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解题时所画的图象涉及的是函数sin y x =的图象；作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质；用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响.【点睛】本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般.由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉.29.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，点D ，E ，F 分别为PC ，AB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//BC 平面DEF ；（Ⅱ）求证：DF BC ⊥．阅读下面给出的解答过程及思路分析．解答：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以①．因为BC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以//BC 平面DEF ．（Ⅱ）证明：因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以②．因为D ，F 分别为PC ，AC 的中点，所以//DF PA ．所以DF BC ⊥．思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．以上证明过程及思路分析中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．空格选项① A ．//EF BC B ．//BE FC C ．//BC DE ② A ．PB EF ⊥ B ．PA BC ⊥ C ．PC EF ⊥ ③ A ．线线垂直 B ．线面垂直 C ．线线平行 ④ A ．线线垂直 B ．线面垂直 C ．线线平行 ⑤ A ．线面平行B ．线线平行C ．线面垂直【答案】①A ；②B ；③C ；④A ；⑤B ．【解析】【分析】①：由中位线分析；②线面垂直的性质分析；③由线线推导线面；④由线面垂直推导线线垂直；⑤由线线平行推导线线垂直.【详解】①因为EF 是中位线，所以//EF BC ，故选A ；②PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，可通过线面垂直得到线线垂直，故选B ；③通过中位线，先证线线平行，再证线面平行，故选C ；④根据PA BC ⊥可知：先证明线线垂直，故选A ；⑤由//DF PA 可知：再证线线平行，故选B.【点睛】本题考查线线、线面平行以及线线、线面垂直的证明和理解，难度较易.证明线线平行多数情况可根据中位线或者证明平行四边形来解决问题，有时候也可以根据线面平行的性质定理去证明线线平行.30.某同学解答一道解析几何题：“已知直线l ：24y x =+与x 轴的交点为A ，圆O ：()2220x y r r +=>经过点A ．（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）若点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，求AB ．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）令0y =，即240x +=，解得2x =-，所以点A 的坐标为()2,0-．因为圆O ：()2220x y rr +=>经过点A ，所以2r =．（Ⅱ）因为AB l ⊥．所以直线AB 的斜率为2-．所以直线AB 的方程为()022y x -=-+，即24y x =--．代入224x y +=消去y 整理得2516120x x ++=，解得12x =-，265x =-．当265x =-时，285y =-．所以点B 的坐标为68,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．所以||AB ==指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．【答案】直线AB 的斜率为2-不对，见解析【解析】【分析】根据：两直线垂直（直线斜率都存在），对应的直线斜率乘积为1-，判断出AB 对应的直线方程的斜率错误.【详解】因为AB l ⊥，所以直线AB 的解率为12．所以直线AB 的方程为()1022y x -=-+，即22x y =--．代入224x y +=消去x 整理得2580y y +=，解得10y =，285y =-．当285y =-时，265x =．所以B 的坐标为68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以||AB ==【点睛】本题考查直线与圆的综合应用以及两直线垂直时对应的斜率关系的判断，难度一般.当两条直线12l l 、的斜率都存在且为12k k 、时，若12l l ⊥，则有121k k ?-.31.土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A ，B 两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A ，B 两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A 的密度大于311g /cm ，小于312g /cm ，重金属B 的密度为38.65g /cm ．试计算此混合物中重金属A的克数的范围．【答案】大于3948367克，小于4363147克. 【解析】【分析】根据题意设未知数x y 、，根据条件构建新的方程从而找到y 与x 的关系，利用函数的单调性来分析混合物中重金属A 的克数的范围.【详解】设重金属A 密度为3g /cm x ，此混合物中含重金属A 为y 克．由题意可知，重金属B 为()1000y -克，且10001008.65y y x -+=．解得()13511128.65xy x x =<<-．因为1358.6513518.658.65x y x x ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以当8.65x >时，y 随x 的增大而减小，因为1112x <<，所以8.658.658.65135113511351128.658.65118.65y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+<=+<⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解得39434836316747y <<．故此混合物中重金属A 的克数的范围是大于3948367克，小于4363147克．【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.首先对于未给出函数的实际问题，第一步需要设未知数，第二步需要根据条件所给等量关系构建新函数（注意定义域），第三步就是根据函数知识求解相应问题.。

东城高三二模数学理数

北京东城区2020—2020学年度高三第二学期统一练习（二）数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共150分.考试时刻120分钟.考试终止，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M N M ⊆-=则满足},1,1{的集合N 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．11,221,)(122=⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤==x x a x x x x f a 在是函数处持续的（） A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本 ①采纳随机抽样法：抽签掏出20个样本； ②采纳系统抽样法：将零件编号为00，01……，99，然后平均分组抽取20个样本； ③采纳分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本。

以下说法中正确的选项是（） A ．不管采纳哪一种方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等 B ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此 C ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此 D ．采纳不同的抽样方式，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的4．在23,)1(x x x n与展开式中+的系数别离为a ，b ，若是b ba那么,3=的值为（）A ．70B ．60C ．55D ．405．设数列32}{21=+a a a n 满足，且对任意的)2,1(),(*,1=∈+n n n n P P a n P N n 都有点，那么{n a }的前n 项和为S n 为（）A ．)34(-n nB ．)43(-n nC ．)32(-n nD ．)21(-n n6．已知直线l 1α212//,l l l α⊂α到记点A l B l A ,,21∈∈c a b ≤≤a c b ≤≤c b a ≤≤bc a ≤≤,542sin ,532cos==θθθ0724=-y x 0724=+y x 0247=+y x 0247=-y x )0(22>=p py x 222py x =+2py -=4)2(222p p y x =-+0=y )1(),(0,10,12)(112--⎩⎨⎧≥-<-=f x f x x x x x f 则的反函数为10．已知过原点的直线与圆⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x （其中θ为参数）相切，假设切点在第二象限，那么该直线的方程为 . 11．将函数)32sin(2)(π+=x x f 图象上每一个点的横坐标扩大为原先的2倍，所得图象所对应的函数解析式为；假设将)(x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值为 .12．如图，PD ⊥平面在ABCD ，ABCD 为正方形，PD=AD ，那么直线PA 与直线BD 所成的角为 .13．6个人分乘两辆不同的出租车，若是每辆车最多能乘4个人，那么不同的搭车方案有种。

2020届深圳市高三二模理科数学答案

2
2
显然与 | | π 矛盾，从而可知结论②错误；
对于结论③， [1 ,1) ，且 f (x) 在区间[− π , π ] 上单调递增，
2
+1 +1
（ −π+1π++16π）+
π 2 π 6
−
π 2
，
=
1 2
，故结论③正确；
对于结论④，下证不等式 n cos π 1(n 3) ， n
（法一）当 n 3 时， cos π cos π = 1 ， n cos π 3 1(n 3) ，即 n cos π 1(n 3) ，
令 g() = 2 cos sin2 ， ( π , π ) ， 42
则[g( )]2 = 2cos2 sin4 = (2 − 2sin2 )sin2 sin2
[(2 − 2sin2 ) + sin2 + sin2 ]3 = 8 ，
3
27
（当且仅当 2 − 2sin2 = sin2 ，即 sin =
CE ⊥ FB1 ， AB =
2 AA1
=
23 3
EB1 .
（1）证明： EF ⊥平面 CEB1 ；
A1
C1
B1 F
（2）求直线 EF 与平面 CFB1 所成角的大小.
A
C
E
B （第 18 题图）
理科数学试题答案及评分参考第5页（共19页）
解：（1）证明：（法一）设 AA1 = 2a ，
∵ AB =
5 )n
− (1− 2
5 )n ]，则数列{an} 即为斐波那契数列，
an (
2 )11 5
，即 an2
211 5

2020年浙江高三二模数学试卷

2020年浙江高三二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若全集，集合，集合，则集合（）．A. B. C. D.2.已知双曲线（，）的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（）．A. B. C. D.3.若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示（单位：），该几何体的体积（单位：）是（）．正视图侧视图俯视图A. B. C. D.5.已知平面平面，且，，，则“”是“或”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数的图象可能是（）．A.B.C.D.7.已知，随机变量，的分布列如下：则下列正确的是（）．A.B.C.D.8.已知为斜边上一点，且为等边三角形，现将沿翻折至，若在三棱锥中，直线和直线与平面所成角分别为，，则（）．A.B.C.D.9.已知，则下列正确的是（）．A.B.C.D.以上均不正确10.已知数列满足：，，前项和为（参考数据：），则下列选项中的是（）．A.是单调递增数列，是单调递减数列B.C.D.错.误.二、填空题（本大题共7小题，共36分）11.若复数（为虚数单位），则．12.我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，天共走了里．”则他第六天走里路，前三天共走了里路．13.在二项式的展开式中，常数项是，所有二项式系数之和是．14.设椭圆的左焦点为，直线，动点在椭圆上，记点到直线的距离为，则的最大值是．15.在中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则，的面积是．16.已知，，且满足，则的最小值是．17.已知平面向量，，，，，，，的最大值是，最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）（1）（2）18.已知函数．求的值．求函数的最小正周期及单调递增区间．（1）（2）19.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，，，．求证：直线平面．求直线与平面所成角的正弦值．20.已知等比数列的前项和为，满足，，数列满足，且．【答案】解析:全集，集合，集合，，，，（1）（2）求数列，的通项公式．设数列前项和为，证明：．（1）（2）21.已知抛物线上一点到它的准线的距离为．若点，，分别在抛物线上，且点、在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点．记，，的面积分别为，，．求的值及抛物线的准线方程．求的取值范围．（1）（2）22.已知函数，其中，．求函数的单调区间．证明：当时，存在唯一的整数，使得．（注：为自然对数的底数，且，．）C1.故答案选．解析:∵双曲线的渐近线方程为，∴，∴双曲线的离心率，故选项正确．解析:平面区域如图所示，，可知过定点，，故交点为，与之间的斜率为，故与平面区域有公共点需满足，故选．A 2.B 3.D4.解析:由三视图可知，该几何体体积：上底下底．故选．解析:∵，，，，当时，不能推出或，故为不充分条件，当或时，即有或，故可推出，固此为不充要条件，综上为必要不充分条件．故选．解析:上底下底B 5.D 6.，∴为奇函数排除、选项；当时，，故排除选项．故选．解析:由随机变量，的分布列可得：，，，，则，故选．解析:作平面且交平面于点，连接、，则即为，即为，由几何关系有：，，D 7.B 8.又，，∴，即，且，，作，由几何关系知：，∴，则，∴，，显然成立，∴，又，即，综上所述，，故选．解析:，，，．∵，∴．xyO由图可知：，，且，，即，，，，对于，的大小比较，可用特殊值法，设，，则，，A 9.∴．故．故选．解析:考虑函数：，则，则单调递减令，即又，下面用蛛网模型分析，；令，即，令，，即则则x=ln2（）（0,ln2）（ln2,ln）为奇数为偶数由上图可知，当为偶数时，分布在上点的左上部分．当为奇数时，分布在上点的右下半部分，且大于等于．显然，当为偶数时，单调递减且收敛于．当为奇数时时，单调递增且收敛于．C 10.并且由上述分析知：，选项正确．对于：∵若则由图可知，显然成立，则正确．对于：∵∴则∴令，则时，，单调递减；时，，单调递增；∴则∴则错误，综上所述，选．11.解析:，．解析:由题意可知，设第一天为，第六天为，其公比，∴，，∴，前三天走了：，故答案分别为；．解析:展开式中每一项都满足，故当时，常数项为，所有二项式系数之和满足，故答案分别为；．解析:如图，过点作，垂足为，;12. ;13.14.则，椭圆的左焦点为，，当点位于点处时，为所求最大值，∴为点到直线的距离，即．解析:∵ ，∴，，∴，，，又∵ ，，解得：或，又∵ ，∴ 或，∴或．解析:方法一：，令，，或 ; 或15.16.则，即，，∴，当且仅当时成立，故答案为．方法二：，所以，，设，则，所以时，，故填．方法三：，即，则，，当且仅当时，最小值为，故填．解析:不失一般性，设，，，，，，则，先求最大值：，，;17.（1）（2）“ ”当且仅当时，取得．再求最小值：令，其中，①当时，，其中，则在上递增，在上递减．此时．②当时，，其中．此时在上单调递增，在上单调递减，则此时．③当时，；其中与①中一致．则在上递增，在上递减．此时，综上所述，最大值为，最小值为．解析:由可得：，则．由知：，函数的最小正周期为．（1）．（2）最小正周期为，单调递增区间为．18.（1）（2）又由，解得，因此函数的单调递增区间为．解析:方法一：连接，交于，因为，，，所以≌，故又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以又四边形为菱形，故而，所以平面．方法二：因为，所以点在平面内的射影在为的平分线，又四边形为菱形，故为的平分线，则直线故平面平面，而平面|平面，又四边形为菱形，故，所以平面．方法一：延长，，，，交于点，平面，即为平面，平面即平面，由（）得平面平面，平面平面，所以过做，则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大倍结果不变）（1）证明见解析．（2）．19.（1）因为四棱台中，所以，因为，所以，作，因为，则，所以，，，，故．方法二：延长，，，交于点，平面，即为平面，平面，即平面，设直线与平面；所成角为过作，垂足为，因为，所以建系，以，为，轴，作轴，，，，所以，,所以．解析:由，得，即，，又，故，所以，（1），．（2）证明见解析．20.（2）（1）（2）由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列，所以，从而数列的通项公式为．由知，令，数列之和为，则，因为，则，两式相减得，，整理得，所以．解析:抛物线上点到准线的距离，则，因此，抛物线的准线方程为．，，，，为重心，则且，则，令，因为，因此，则，因此，其中，则，则．（1），．（2）．21.（1）22.（1）（2）解析:由题意知，，，若，，函数在区间上单调递增：若，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，即存在使得，当时，，令，因为是关于的一次函数，所以，，，又，所以，则不符合题意，解法：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明：时，不符合题意即可，当时，令，则，令，则，由易知在上单调递增，则，，则在区间上单调递增，则当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，（2）证明见解析．，，即，则在区间上单调递增，则，，，即，不符合题意，综上所述，当时，存在唯一的整数，使得．解法：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明时，不符合题意即可．当时，令，则，，则，则易知在上单调递增，则，则在区间上单调递增，则，即，则在区间上单调递增，则，即，不符合题意，综上所述，当时，存在唯一的整数，使得．。

2020届高三数学二模考试试题(含解析) 2)

2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题1.行列式的值等于____________【答案】【解析】【分析】根据行列式定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了行列式的计算，属于简单题.2.设集合，，则 .【答案】【解析】解：因为集合，，则3.已知复数z满足，i为虚数单位，则z=____________【答案】1-2i【分析】化简得到，计算得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知函数，其反函数为，则____________【答案】1【解析】【分析】取，解得，得到答案.【详解】，取，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查了反函数的性质，意在考查学生对于反函数性质的灵活运用.5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________【答案】【分析】根据体积公式直接计算得到答案.【详解】由于正视图是边长为2的等边三角形，∴圆锥的高为，底面半径为1，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.的展开式中含项的系数是____________（用数字作答）【答案】32【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为：，取得到项的系数是.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.若，则____________【答案】【解析】【分析】化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则____________【答案】8【解析】【分析】计算得到，，故，再计算极限得到答案.【详解】，，解得，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是____________【答案】【解析】【分析】，不妨取，，，得到答案.【详解】根据题意：，，不妨取，，取，故，即故，最小值为，故当时，的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.10.已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________【答案】7【解析】【分析】不妨设，则，依次验证得到答案.【详解】根据题意：，，不妨设，则，当时，，，则必有一个数为，验证知无解，故不成立；当时，，，取，，满足条件.故答案为：.【点睛】本题考查了平均值和方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在中，，则面积的最大值是____________【答案】【解析】【分析】计算，得到答案.【详解】，当时等号成立.此时，即时，满足题意.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________【答案】【解析】【分析】考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.【详解】当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、选择题13.若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据系数矩阵的定义得到答案.【详解】矩阵是线性方程组的系数矩阵，则.故选：.【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.14.若抛物线焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 13【答案】B【解析】【分析】计算抛物线焦点为，计算得到答案.【详解】抛物线的焦点，故，.故选：.【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题. 15.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（）A. 是等差数列B. 或是等差数列C. 和都是等差数列D. 和都是等差数列，且公差相同【答案】D【解析】【分析】根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案.【详解】根据题意：，为等差数列，故为定值，故为定值.则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.16.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.【详解】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为此时，满足；当时：的解为或，则或，则无解，综上所述：，故选【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17.如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点.（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定为直线BE与平面ABCD所成的角，计算得到答案.（2）根据平行得到点C到平面的距离等于到平面的距离，根据等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，正方体，故平面，故为直线BE与平面ABCD所成的角，，故直线BE与平面ABCD所成的角的大小为.（2），故平面，故点C到平面的距离等于到平面的距离，，中：，，，根据余弦定理：，故，，故，故点C到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面夹角，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.已知函数（1）判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）在其定义域上是增函数，证明见解析（2）当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数，见解析【解析】【分析】（1）设，计算，得到答案.（2）讨论和两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.【详解】（1）函数单调递增，设，则，易知，，故，，函数单调递增.（2），，当时，，函数为奇函数；当时，，函数不是奇函数，，，，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.综上所述：当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.（1）如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米【解析】【分析】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，根据正弦定理计算得到答案.（2）设，根据正弦定理得到，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，在中：，故.（2）设，则，故，，，当时，等号成立，故至多需要.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于轴上方），轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.（1）当时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆上；（3）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算，得到距离（2）计算：，：，消去得到，得到证明（3）设点、，设直线的方程为，联立方程得到，，，设，根据函数单调性得到答案.【详解】（1），代入椭圆方程得到，，故.（2）计算得到，，故：，：，消去得到，代入方程得到：，化简得到，故点P在椭圆上.（3）设点、，设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得，，，令，则，函数在上单调递减，则.当时，等号成立.【点睛】本题考查了线段长度，点与椭圆的位置关系，面积问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.21.在无穷数列中，，且，记的前n项和为.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）证明：中必有一项为1或3.【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1），故，故.（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；当为奇数，为奇数时，，无整数解；综上所述：.（3）设中最小的奇数为，则，，若为奇数，则，解得；若为偶数，则，，为奇数，解得；又，∴中必有一项为1或3.综上所述：，故中必有一项为1或3.【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题1.行列式的值等于____________【答案】【解析】【分析】根据行列式定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了行列式的计算，属于简单题.2.设集合，，则 .【答案】【解析】解：因为集合，，则3.已知复数z满足，i为虚数单位，则z=____________【答案】1-2i【解析】【分析】化简得到，计算得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知函数，其反函数为，则____________【答案】1【解析】【分析】取，解得，得到答案.【详解】，取，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查了反函数的性质，意在考查学生对于反函数性质的灵活运用.5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________【答案】【解析】【分析】根据体积公式直接计算得到答案.【详解】由于正视图是边长为2的等边三角形，∴圆锥的高为，底面半径为1，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.的展开式中含项的系数是____________（用数字作答）【答案】32【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为：，取得到项的系数是.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.若，则____________【答案】【解析】【分析】化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则____________【答案】8【解析】【分析】计算得到，，故，再计算极限得到答案.【详解】，，解得，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用. 9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是____________【答案】【解析】【分析】，不妨取，，，得到答案.【详解】根据题意：，，不妨取，，取，故，即故，最小值为，故当时，的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.10.已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________【答案】7【解析】【分析】不妨设，则，依次验证得到答案.【详解】根据题意：，，不妨设，则，当时，，，则必有一个数为，验证知无解，故不成立；当时，，，取，，满足条件.故答案为：.【点睛】本题考查了平均值和方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在中，，则面积的最大值是____________【答案】【解析】【分析】计算，得到答案.【详解】，当时等号成立.此时，即时，满足题意.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________【答案】【解析】【分析】考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.【详解】当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、选择题13.若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据系数矩阵的定义得到答案.【详解】矩阵是线性方程组的系数矩阵，则.故选：.【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.14.若抛物线焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 13【答案】B【解析】【分析】计算抛物线焦点为，计算得到答案.【详解】抛物线的焦点，故，.故选：.【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.15.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（）A. 是等差数列B. 或是等差数列C. 和都是等差数列D. 和都是等差数列，且公差相同【答案】D【解析】【分析】根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案.【详解】根据题意：，为等差数列，故为定值，故为定值.则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 16.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.【详解】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为此时，满足；当时：的解为或，则或，则无解，综上所述：，故选【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17.如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点.（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定为直线BE与平面ABCD所成的角，计算得到答案.（2）根据平行得到点C到平面的距离等于到平面的距离，根据等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，正方体，故平面，故为直线BE与平面ABCD所成的角，，故直线BE与平面ABCD所成的角的大小为.（2），故平面，故点C到平面的距离等于到平面的距离，，中：，，，根据余弦定理：，故，，故，故点C到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面夹角，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.已知函数（1）判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）在其定义域上是增函数，证明见解析（2）当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数，见解析【解析】【分析】（1）设，计算，得到答案.（2）讨论和两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.【详解】（1）函数单调递增，设，则，易知，，故，，函数单调递增.（2），，当时，，函数为奇函数；当时，，函数不是奇函数，，，，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.综上所述：当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.（1）如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米【解析】【分析】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，根据正弦定理计算得到答案.（2）设，根据正弦定理得到，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，在中：，故.（2）设，则，故，，，当时，等号成立，故至多需要.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于轴上方），轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.（1）当时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆上；（3）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算，得到距离（2）计算：，：，消去得到，得到证明（3）设点、，设直线的方程为，联立方程得到，，，设，根据函数单调性得到答案.【详解】（1），代入椭圆方程得到，，故.（2）计算得到，，故：，：，消去得到，代入方程得到：，化简得到，故点P在椭圆上.（3）设点、，设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得，，，令，则，函数在上单调递减，则.当时，等号成立.【点睛】本题考查了线段长度，点与椭圆的位置关系，面积问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.21.在无穷数列中，，且，记的前n项和为.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）证明：中必有一项为1或3.【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1），故，故.（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；当为奇数，为奇数时，，无整数解；综上所述：.（3）设中最小的奇数为，则，，若为奇数，则，解得；若为偶数，则，，为奇数，解得；又，∴中必有一项为1或3.综上所述：，故中必有一项为1或3.【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。

2020广州高三二模数学试题及答案(理科)

试卷类型： A2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2020．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()n P k =C ()1n kk k np p --()0,1,2,,k n =L .两数立方差公式: ()()3322a b a b a ab b -=-++.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，若复数()()11a a -++i 为实数，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．不确定2. 已知全集U =A B U中有m 个元素，()()U U A B U 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则AB I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ． n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 1 C.3 D.9 4. 若,m n 是互不相同的空间直线, α是平面, 则下列命题中正确的是 A. 若//,m n n α⊂,则//m α B. 若//,//m n n α,则//m α C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥ D. 若m ⊥5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()2,x f x g x ==则()2h 的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” A.9 B. 8 C. 6 D. 46. 已知点(),P x y 的坐标满足10,30,2.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点, 则PO 的最小值为A.2 B. 2图1 7. 已知函数()sin f x x x =, 若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()12f x f x <, 则下列不等式中正确的是A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +<D. 2212x x <8. 一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车25米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻t 的速度为()v t t =米/秒, 那么, 此人A. 可在7秒内追上汽车B. 可在9秒内追上汽车C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．若函数()()()cos cos 02f x x x π⎛⎫=ω-ωω> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则ω的值为 .10. 已知椭圆C的离心率2e =, 且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重合, 则椭圆C 的方程为 .11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 . 12.图2是一个有n 层()2n ≥的六边形点阵.算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…第n 层每边有n 个点, 则这个点阵的点数共有个.13.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3图3则该展开式中2x 的系数为 . 图2（二）选做题（14~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,42.x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R),圆C 的参数方程为2cos 2,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(参数[]0,2θπ∈),则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. （本小题满分12分）已知1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.(1) 求tan α的值; (2) 求()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.17. （本小题满分12分）如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ︒︒∠=∠=∠===, 把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上, 连接PB .(1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小; (2)求二面角P AC B --的大小的余弦值.D BCAEPBCA图4 图518.（本小题满分14分）一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足()()15104s t t =+≤≤, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为45, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率;(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个飞碟的概率.19. （本小题满分14分）已知抛物线C :22x py =()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数()32f x x x ax b =-++(a,b ∈R)的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的. (1) 求a 的值和b 的取值范围;(2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤.21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *都有1n n a b +=, 121n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式; (2) 证明:()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L .2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1 10.22182x y+= 11. 乙 12. 2331n n-+ 13.18014．515.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解法1：∵tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan tan 421tan tan 4+=-παπα. …2分 ∴1tan 21tan αα+=-.解得1tan 3α=. (4)分解法2：∵tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦tan tan441tan tan44ππαππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭…2分 21121-=+⨯13=. …4分（2）解:()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+-=+- …6分cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβ-=+()()sin cos βαβα-=- …8分()tan βα=-DB CAtan tan 1tan tan -=+βαβα…10分112311123-=+⨯17=. …12分17. （本小题满分12分）(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一:(1) 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形.∴2AD CD AC ===. …2分在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂I 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,图 5FEPBCA∴BC ⊥平面PAB .∴CPB ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角. …4分在Rt △CBP 中, 1,2BC PC DC ===, ∴1sin 2BC CPB PC ∠==. ∵090CPB ︒︒<∠<, ∴30CPB ︒∠=.∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …6分 (2) 解:取AC 的中点F , 连接PF ,EF .∵ =PA PC , ∴ ⊥PF AC .∵PE ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴PE AC ⊥.∵,=⊂I PF PE P PF 平面PEF , PE ⊂平面PEF , ∴AC ⊥平面PEF . ∵⊂EF 平面PEF , ∴⊥EF AC . ∴PFE ∠为二面角P AC B --的平面角. …8分在Rt △EFA 中,11302︒==∠=AF AC ,FAE , ∴=EF AF tan 30︒⋅3=3==AE . 在Rt △PFA 中,==PF 在Rt △PEF中，1cos 3∠===EF PFE PF .DB CA图5CA∴二面角P AC B --的大小的余弦值为13. …12分方法二: 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形.∴2AD CD AC ===. …2分在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的射影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂I 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,∴BC ⊥平面PAB 连接EC ,在Rt △PEA 和Rt △PEC 中,2,PA PC PE PE ===, ∴Rt △PEA ≅Rt △PEC . ∴EA EC =.∴30ECA EAC ︒∠=∠=.∴60CEB ︒∠=. 在Rt △CBE中，tan 603BC EB ︒===.∴3AE AB EB =-=. 在Rt △PEA中，PE ==. …6分以点E 为原点,EB 所在直线为x 轴,与BC 平行的直线为y 轴,EP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -,则()0,0,0E,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ⎫⎪⎪⎝⎭,C ⎫⎪⎪⎝⎭, 0,0,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴()0,1,0BC =u u u r,0,0,3EP ⎛= ⎝⎭u u u r,)AC =u u u r,,1,33PC ⎛=- ⎝⎭u u u r . (1)∵cos ,BC PC BC PC BC PC ==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r 12,∴,30BC PC ︒=u u u r u u u r.∴ 直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …9分(2) 设平面PAC 的法向量为n (),,x y z =,由0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n AC n PC得0,0y x y z +=+-=.令1x =,得y =2=-z . ∴n 1,2⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面PAC 的一个法向量.∵EP ⎛= ⎝⎭u u u r 为平面ABC 的一个法向量,∴cos ,=u u u r n EP u u u rg u u u r n EP n EP13=-.∵二面角P AC B --的平面角为锐角, ∴二面角P AC B --的平面角的余弦值为13. …12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:依题意设(kp k s=为常数),由于()()15104s t t =+≤≤,∴()()04151kp t t =≤≤+. …2分当0.5t =时, 145p =, 则()45150.51k =⨯+,解得18k =.∴()()()1860415151p t t t ==≤≤++. …4分当1t =时, 263525p ==⨯. ∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为35. …6分 (2)解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A ，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事件B ，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：A AB +. …7分∵()()43,55P A P B ==，∴()()()()P A AB P A P A P B +=+44323155525⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭. ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为2325. …10分 (3)解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ, 则23325B ,ξ⎛⎫⎪⎝⎭:.∴至少命中两个飞碟的概率为()()23P P P ξξ==+= …12分=C ()2231p p -+ C 333p23232233252525⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1534115625. …14分 19. （本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ， ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线1l 的斜率1'11x x x k y p===，直线2l 的斜率2'22x x x k y p===.∵ 12l l ⊥, ∴121k k =-, 得212x x p =-.① …2分 ∵A 、B 是抛物线C 上的点,∴ 221212,.22x x y y p p== ∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -=-,直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-. 由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得12,2.2x x x p y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴点D 的纵坐标为2p-. …4分 (2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭.∴ 直线AF 的斜率为21221111122202AFx p p y x p p k x x px ---===-，直线BF 的斜率为22222222222202BFx p p y x p p k x x px ---===-. ∵2222121222AF BFx p x p k k px px ---=-…6分 ()()22222112122x x p x x p px x ---=()()2121212122x x x x p x x px x -+-=()()221212122p x x p x x px x --+-=0=. ∴AF BF k k =. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭.∴2221111,,222x p x p AF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，2222222,,222x p x p BF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r . ∵ 221222112112222222122222p x p x x x x x pp x p x x x x x p ----===----, …6分∴ //AF BF u u u r u u u r .∴A 、B 线证法3：设线段AB 的中点为E , 则抛物线C 的准线为:2pl y =-. 作11,AA l BB l ⊥⊥, 垂足分别为11,A B∵ 由(1)知点D 的坐标为12,22x xp +⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴DE l ⊥.∴DE 是直角梯形11AA B B 的中位线. ∴()1112DE AA BB =+. …6分根据抛物线的定义得:11,AA AF BB BF ==, ∴()()111122DE AA BB AF BF =+=+. ∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,∴12DE AB =. ∴()1122AB AF BF =+,即AB AF BF =+. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分 (3)解: 不存在. 证明如下：假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ，依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥，且MA MB =，由12l l ⊥，得AD BD ⊥. ∴ 四边形MADB 是正方形. ∴AD BD =. …10分∵点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴12-=-p,得2p =. 把点D 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭解得14x =或11x =-,∴点A 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可求得点B 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()4,4B .∴AD ==, BD ==. (13)分∴AD BD ≠, 这与AD BD =矛盾. ∴经过A 、B两点且与1l 、2l 都相切的圆不存在. …14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵()32f x x x ax b =-++, ∴()'232f x x x a =-+.∵()32f x x x ax b =-++的一个极值点为1x =, ∴()'2131210f a =⨯-⨯+=.∴ 1a =-. …2分∴()()()'2321311f x x x x x =--=+-,当13x <-时, ()'0f x >;当113x -<<时, ()'0f x <;当1x >时, ()'0f x >;∴函数()f x 在1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递增, 在1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[)1,+∞上单调递增.∵方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ, 即20x x b --=的两根为,αβ()αβ<,∴αβ==. ∴1,b αβαβ+==-,αβ-=…4分∵ 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,∴区间[],αβ只能是区间1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,[)1,+∞之一的子区间.由于1,αβ+=αβ<,故[]1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.若0α<,则1αβ+<,与1αβ+=矛盾. ∴[][],0,1αβ⊆. ∴方程20x x b --=的两根,αβ都在区间[]0,1上. …6分令()2g x x x b =--, ()g x 的对称轴为[]10,12x =∈,则()()00,10,140.g b g b b =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪∆=+>⎩解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. …8分说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.∵1111,2222αβ-+=≤=≥且函数()f x 在区间[],αβ上是单调的, ∴ []1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.由1,31,140.b αβ⎧≥-⎪⎪≤⎨⎪∆=+>⎪⎩即11,231,140.b ⎧-≥-⎪≤⎪+>⎪⎪⎪⎩…6分解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. …8分 (2)证明:由(1)可知函数()f x 在区间[],αβ上单调递减, ∴函数()f x 在区间[],αβ上的最大值为()f α, 最小值为()f β. ∵[]12,,x x αβ∈,∴()()()()12f x f x f f αβ-≤-()()3232b b αααβββ=--+---+ ()()()3322αβαβαβ=-----()()()21αβαβαβαβ⎡⎤=-+--+-⎣⎦()1b =-()1b =-. …10分令t =则()2114b t =-()1b -()3154t t =-. 设()()3154h t t t =-, 则()()'21534h t t =-.∵104b -<≤,∴01t <≤.∴()()'21534h t t =-0>. ∴函数()()3154h t t t =-在(]0,1上单调递增. …12分∴()()11h t h ≤=.∴ ()()121f x f x -≤. …14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:∵对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-, ∴12211111n n n n n n na b a a a a a +-===--+. ∴1111n na a +=+,即1111n n a a +-=. …2分∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公差为1的等差数列.∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =12=. ∴()1211nn n a =+-=+. …4分 ∴ 11n a n =+, 11n n nb a n =-=+. …6分(2)证明: ∵11n a n =+, 1n nb n =+, ∴1n n a b n =.∴所证不等式()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L , 即()1111111ln 11234123n n n++++<+<+++++L L . ① 先证右边不等式: ()111ln 1123n n +<++++L .令()()ln 1f x x x =+-, 则()'1111xf x x x=-=-++. 当0x >时, ()'0f x <,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减. ∴当0x >时,()()00f x f <=, 即()ln 1x x +<. …8分分别取1111,,,,23x n=L .得()111111ln 11ln 1ln 1ln 112323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .即()111111ln 1111112323n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g g gL g L .也即341111ln 212323n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯<++++ ⎪⎝⎭L L . 即()111ln 1123n n+<++++L . …10分② 再证左边不等式: ()1111ln 12341n n ++++<++L . 令()()ln 11x f x x x =+-+, 则()()()'2211111x f x x x x =-=+++. 当0x >时, ()'0f x >,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ∴当0x >时,()()00f x f >=, 即()ln 11xx x +>+. …12分分别取1111,,,,23x n =L .得()111111ln 11ln 1ln 1ln 123231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++>+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .即()111ln 1111123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g g gL g 111231n >++++L . 也即341111ln 223231n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯>+++ ⎪+⎝⎭L L . 即()111ln 1231n n +>++++L . ∴()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L . …14分。

山东省2020版数学高三理数二模考试试卷(II)卷

山东省2020版数学高三理数二模考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·郁南期中) 设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A . 6B . 5C . 4D . 32. （2分）(2018·宜宾模拟) 已知复数，则的值为（）A . 3B .C . 5D .3. （2分）设单位向量、夹角是，，，若、夹角为锐角，则t的取值范围是（）A . t> -1 且t≠1B . t> -1C . t<1 且t≠ -1D . t<14. （2分）已知函数f（x）=log2（x+1），若f（α）=1，α=（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2018高一下·四川期中) 下列各式中，值为的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·河南月考) 在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则甲组数据的平均数与乙组数据的中位数之和为（）A . 25B . 24C . 21D . 207. （2分） (2016高一上·石家庄期中) 已知函数是R上的减函数则a的取值范围是（）A . （0，3）B . （0，3]C . （0，2）D . （0，2]8. （2分） (2017高一下·西安期末) 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知2bsin2A=asinB，且b=2，c=3，则a等于（）A .B .C . 2D . 49. （2分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（0＜ω＜2π）的部分图象如图所示，点A（，0），B、C是该图象与x轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点F（，0）是f（x）的图象的最高点在x轴上的射影，则的值是（）A . 2π2B . π2C . 2D . 以上答案均不正确10. （2分） (2019高二下·南宁期末) 《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二下·吉林月考) 设的周长为l，的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体的表面积分别为T，内切球半径为R，体积为V，则V等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·大同月考) 已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·普陀模拟) 若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为________.14. （1分） (2020高三上·蚌埠月考) 若实数，满足，则的最小值为________.15. （1分） (2016高二上·安徽期中) 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为________16. （1分） (2018高一上·慈溪期中) 定义区间的长度均为，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和，例如的长度。

陕西省2020届高三第二次检测考试数学(含答案)

陕西省2020届高三第二次检测考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{4,5,7,9}M =，{3,4,7,8,9}N =，全集U M N =⋃，则集合()U M N ⋂ð中的元素共有（） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（） A ．||||a b >B ．22ab >C ．11a b> D ．11a b a>- 4．总体由编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A ．5．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 6．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(5)f 的值为（）A ．10B ．11C ．12D ．138．在直角ABC △中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =u u u r u u u r，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （）A ．18-B ．63-C ．18D ．639．如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（） A ．12B ．13C ．41π-D ．42π-10．函数||()2sin 2x f x x =⋅的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．11．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的圆周，则12a b+的最小值为（） A ．322+B ．323+C ．4D ．512．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式24[]36[]450x x -+<成立的x 的范围是（） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a =_____． 14．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =____．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，22PA =ABC △中4BAC π∠=，边2BC =，则三棱锥P ABC -外接球的体积等于______．16．已知函数2()ln f x ax x x =-在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB P ．（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1PA AB ==，3AD =，2CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的正弦值．19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.87920．如图，椭圆221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点,,A B C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心O ，且||2||BC AB =，3ABC S =△．（1）求椭圆的标准方程；（2）设,P Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点（异于,A C ），且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直是否做操是否近视不做操做操近视 44 32 不近视618线PQ 的斜率为定值． 21．已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点．（1）若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值；（2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）已知点(1,0)M ，直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||MA MB -‖‖． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2|f x x a a =-+（1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-．当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：13．1 14．6π 15．323π 16．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-及39a =-，105a =得112995a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得1132a d =-⎧⎨=⎩数列{}n a 的通项公式为215n a n =- （2）由（1）知214n S n n =- 因为2(7)49n S n =-- 所以7n =时，n S 取得最小值．18解：（1）证明因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥．因为AB AD ⊥，CE AB P ，所以CE AD ⊥．又PA AD A ⋂=，所以CE ⊥平面PAD ．（2）解：由（1）可知CE AD ⊥在Rt CDE △中，cos451DE CD =⋅︒=，sin451CE CD =⋅︒=所以2AE AD ED =-=．又因为1AB CE ==，CE AB P ，所以四边形ABCE 为矩形．所以12ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE =+=⋅+⋅△矩形四变形 15121122=⨯+⨯⨯=又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，115513326ABCD P ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四棱锥19．解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有100(3727)63-++=（人）所以后三组频数依次为24，21，18，所以视力在5．0以上的频率为0．18，故全年级视力在5．0以上的人数约为8000.18144⨯=人（2）22100(4418326)50507624k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1507.8957.87919=≈> 因此能在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为视力与眼保健操有关系．21．解：3211()32a f x x x bx a +=-++，2()(1)f x x a x b '=-++ 由(0)0f '=得0b =，()(1)f x x x a '=--．（1）存在0x <，使得()(1)9f x x x a '=--=-，991()6a x x x x ⎛⎫--=--=-+-≥= ⎪⎝⎭，7a ≤-，当且仅当3x =-时，7a =-．所以a 的最大值为7-．（2）当1a >时，()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值2331111(1)(1)306624f a a a a a ⎡⎤⎛⎫+=-+=-+-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又14(2)03f a -=--<，213()(1)32f x x x a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦， 3(1)02f a a ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭．所以函数()f x 在区间(2,0)-，(0,1)a +，31,(1)2a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内各有一个零点，故函数()f x 共有三个零点．22．解：（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由直线l 的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数可得，直线l的普通方程为1)3y x =-，即33y x =-．（2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l的参数方程1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线22:40C x y x +-=中，可得2211410242t t t ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得230t --=，设点,A B 所对应的参数分别是12,t t故12t t +=12t t ⋅=所以1212||||||||||MA MB t t t t -=-=+=‖ 23．解：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+„得13x -剟．因此()6f x „的解集为{|13}x x -剟．（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+…，所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+≥．①当1a „时，①等价于13a a -+…，无解．当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …．所以a 的取值范围是[2,)+∞．。

普通高中2020届高三数学质量测评试题二理含解析

A. ，且与平行
B. ，且与相交
C。，且与异面
D. ，且与平行
【答案】D
【解析】
【分析】
取CF的中点H，连接 ,通过证明四边形为平行四边形,可得且 ,由在中, 分别为PD和PH的中点，可得且，综上,即可得到本题答案.
【详解】
取CF的中点H，连接，则在中， ,所以，，又因为且，所以，且 ,所以四边形为平行四边形,所以，且 .在中，分别为PD和PH的中点,所以，且，所以，且，即 .
∴ 展开式中含的项为，
展开式中含的项，
故的系数为。
故选：D。
【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
5。已知函数，若函数在处切线方程为，则的值为（ )
A. 1B. 2C。 3D。 4
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导得 ,求得的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得的值,即可得答案。
【答案】 (1）。 1520 (2）。
【解析】
【分析】
第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第袋，则15个产品中次品个,正品个，分别进行计算，即可得答案。
【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个,第5袋取5个，共取15个。若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式: （其中为锥体的底面积, 为锥体的高).
第Ⅰ卷（共60分）