101030 第三章思维规律(练习答案)
高中政治选修三逻辑与思维 第三单元 运用辩证思维的方法 单元总结提升(word版含答案)
单元总结提升1．(2021·辽宁朝阳联考)“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描绘运动。
”列宁的话告诉我们()A．只有将一些复杂的问题简单化、大事化小、小事化了，才能抓住事物的本质B．只要把问题分解开来，就能认识事物的整体C．只有把相互联系的整体区别开来，把构成整体的各个部分独立开来，分别地加以研究，才能获得对这一整体的正确认识D．世界是普遍联系、变化发展的，认识是对客观世界的反映答案 C解析本题考查运用辩证思维方法的相关知识。
题干中内容讲了辩证思维的第一步，将认识对象及其各个部分、性质、关系相对地独立起来，分别研究，获得具体、深入的认识。
A说法错误，B说法太绝对化，D与题干无关。
故选C。
2．(2021·山东济南月考)“超越常在弯道处”，速滑比赛在直道上很难甩开对手，速滑比赛高手对其他选手的超越常常是在弯道处。
一个国家的经济发展也一样，“弯道”跑好了，能跨越式前进；“弯道”跑不好，与发达国家的差距将进一步拉大。
这给人们的人生哲学启示与下列诗词蕴含哲理一致的是()A．沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春B．宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王C．近水楼台先得月，向阳花木易为春D．历尽天华成此景，人间万事出艰辛答案 B解析本题考查质量互变。
题中“弯道超越”告诉我们要抓住时机，促成质变，实现事物的飞跃和发展。
A体现的是发展的观点，与题中哲理不一致。
B体现了抓住时机，促成质变，实现事物的飞跃和发展，与题中哲理一致。
C体现的是联系的观点，与题中哲理不一致。
D体现了事物的发展是前进性和曲折性的统一，与题中哲理不一致。
3．(2021·山东济宁模拟)20世纪80年代，邓小平提出了“三步走”战略，目前已顺利实现前两步目标；世纪之交，中国共产党提出2020年全面建成小康社会目标，目前也已实现。
党的十九大报告提出，到2035年基本实现社会主义现代化，2050年把我国建成富强、民主、文明、和谐、美丽的社会主义现代化强国。
高中数学必修3第三章课后习题解答
新课程标准数学必修3第三章课后习题解答第三章概率3．1随机事件的概率练习（P113）1、（1）试验可能出现的结果有3个，两个均为正面、一个正面一个反面、两个均为反面.（2）通过与其他同学的结果汇总，可以发现出现一个正面一个反面的次数最多，大约在50次左右，两个均为正面的次数和两个均为反面的次数在25次左右. 由此可以估计出现一个正面一个反面的概率为0.50，出现两个均为正面的概率和两个均为反面的概率均为0.25.2、略3、（1）例如：北京四月飞雪；某人花两元钱买福利彩票，中了特等奖；同时抛10枚硬币，10枚都正面朝上.（2）例如：在王府井大街问路时，碰到会说中文的人；去烤鸭店吃饭的顾客点烤鸭；在1～1000的自然数任选一个数，选到的数大于1.练习（P118）1、说明：例如，计算机键盘上各键盘的安排，公交线路及其各站点的安排，抽奖活动中各奖项的安排等，其中都用到了概率. 学生可能举出各种各样的例子，关键是引导他们正确分析例子中蕴涵的概率思想.2、通过掷硬币或抽签的方法，决定谁先发球，这两种方法都是公平的. 而猜拳的方法不太公平，因为出拳有时间差，个人反应也不一样.3、这种说法是错误的. 因为掷骰子一次得到2是一个随机事件，在一次试验中它可能发生也可能不发生. 掷6次骰子就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现2也可能不出现2，所以6次试验中有可能一次2都不出现，也可能出现1次，2次，…，6次.练习（P121）1、0.72、0.6153、0.44、D5、B 习题3.1 A组（P123）1、D.2、（1）0；（2）0.2；（3）1.3、（1）430.067645≈；（2）900.140645≈；（3）7010.891645-≈.4、略5、0.136、说明：本题是想通过试验的方法，得到这种摸球游戏对先摸者和后摸者是公平的结论. 最好把全班同学的结果汇总，根据两个事件出现的频率比较近，猜测在第一种情况下摸到红球的概率为110，在第二种下也为110. 第4次摸到红球的频率与第1次摸到红球的频率应该相差不远，因为不论哪种情况，第4次和第1次摸到红球的概率都是1 10.习题3.1 B组（P124）1、D.2、略. 说明：本题是为了学生根据实际数据作出一些推断. 一般我们假定每个人的生日在12个月中哪一个月是等可能的，这个假定是否成立，引导学生通过收集的数据作出初步的推断.3．2古典概率练习（P130）1、110. 2、17. 3、16.练习（P133）1、38，38.2、（1）113；（2）1213；（3）14；（4）313；（5）0；（6）213；（7）12；（8）1.说明：模拟的方法有两种.（1）把1～52个自然数分别与每张牌对应，再用计算机做模拟试验.（2）让计算机分两次产生两个随机数，第一次产生1～4的随机数，代表4个花色；第二次产生1～13的随机数，代表牌号.3、（1）不可能事件，概率为0；（2）随机事件，概率为49；（3）必然事件，概率为1；（4）让计算机产生1～9的随机数，1～4代表白球，5～9代表黑球.4、（1）16；（2）略；（3）应该相差不大，但会有差异. 存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的，但在200次试验中，该事件发生的次数又是有规律的，所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2 A组（P133）1、游戏1：取红球与取白球的概率都为12，因此规则是公平的.游戏2：取两球同色的概率为13，异色的概率为23，因此规则是不公平的.游戏3：取两球同色的概率为12，异色的概率为12，因此规则是公平的.2、第一位可以是1～9这9个数字中的一个，第二位可以是0～9这10个数字中的一个，所以（1）190；（2）18919090-=；（3）9919010-=3、（1）0.52；（2）0.18.4、（1）12；（2）16；（3）56；（4）16.5、（1）25；（2）825.6、（1）920；（2）920；（3）12.习题3.2 B组（P134）1、（1）13；（2）14.2、（1）35；（2）310；（3）910.说明：（3）先计算该事件的对立事件发生的概率会比较简单.3、具体步骤如下：①建立概率模型. 首先要模拟每个人的出生月份，可用1,2,…,11,12表示月份，用产生取整数值的随机数的办法，随机产生1～12之间的随机数. 由于模拟的对象是一个有10个人的集体，故把连续产生的10个随机数作为一组模拟结果，可模拟产生100组这样的结果.②进行模拟试验. 可用计算器或计算机进行模拟试验.如使用Excel软件，可参看教科书125页的步骤，下图是模拟的结果：其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J的每一行表示对一个10人集体的模拟结果. 这样的试验一共做了100次，所以共有100行，表示随机抽取了100个集体.③统计试验的结果. K,L,M,N列表示统计结果. 例如，第一行前十列中至少有两个数相同，表示这个集体中至少有两个人的生日在同一月. 本题的难点是统计每一行前十列中至少有两个数相同的个数. 由于需要判断的条件态度，所以用K,L,M三列分三次完成统计.其中K列的公式为“=IF(OR(A1=B1，A1=C1，A1=D1，A1=E1，A1=F1，A1=G1，A1=H1，A1=I1，A1=J1，B1=C1，B1=D1，B1=E1，B1=F1，B1=G1，B1=H1，B1=I1，B1=J1，C1=D1，C1=E1，C1=F1，C1=G1，C1=H1，C1=I1，C1=J1，D1=E1，D1=F1，D1=G1，D1=H1，D1=I1，D1=J1)，1，0)”，L列的公式为“=IF(OR(E1=F1，E1=G1，E1=H1，E1=I1，E1=J1，F1=G1，F1=H1，F1=I1，F1=J1，G1=H1，G1=I1，G1=J1，H1=I1，H1=J1，I1=J1)，1，0)”，M 列的公式为“=IF(OR(K1=1，L1=1)，1，0)”，M 列的值为1表示该行所代表的10人集体中至少有两个人的生日在同一个月. N1表示100个10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的个数，其公式为“=SUM(M$1：M$100)”. N1除以100所得的结果0.98，就是用模拟方法计算10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率的估计值. 可以看出，这个估计值很接近1. 3．3几何概率 练习（P140） 1、（1）1π； （2）38.2、如果射到靶子上任何一点是等可能的，那么大约有100个镖落在红色区域.说明：在实际投镖中，命中率可能不同，这里既有技术方面的因素，又是随机因素的影响，所以在投掷飞镖、射击或射箭比赛中不会以一枪或一箭定输赢，而是取多次成绩的总和，这就是为了减少随机因素的影响. 习题3.3 A 组（P142）1、（1）49； （2）13； （3）29； （4）23； （5）59. 2、（1）126； （2）12； （3）326； （4）326； （5）12； （6）313.说明：（4）是指落在6,23,9三个相邻区域的情况，而不是编号为6,7,8,9,四个区域. 3、（1）25； （2）115； （3）35. 说明：本题假设在任何时间到达路口是等可能的. 习题3.3 B 组（P142）1、设甲到达的时间为x ，乙到达的时间为y ，则0,24x y <<. 若至少一般船在停靠泊位时必须等待，则06y x <-<或06x y <-<，必须等待的概率为：22189711241616-=-=.2、D .第三章 复习参考题A 组（P145）1、56，16，23.2、（1）0.548； （2）0.186； （3）0.266.3、（1）38； （2）14.4、（1）813； （2）726； （3）665.5、分别计算两球均为白球的概率、均为红球的概率、均为黑球的概率，然后相加，得1223311166666636⨯⨯⨯++=⨯⨯⨯. 6、56. 说明：利用对立事件计算会比较简单.第三章 复习参考题B 组（P146）1、第一步，先计算出现正面次数与反面次数相等的概率46328=. 第二步，利用对称性，即出现正面的次数多于反面次数的概率与出现反面的次数多于正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于反面次数的概率为35(1)2816-÷=.2、（1）是； （2）否； （3）否； （4）是.3、（1）45； （2）15； （3）25； （4）25. 说明：此题属于古典概型的一类“配对问题”，由于这里的数比较小，可以用列举法. 4、参考教科书140页例4.。
七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)
七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为( )A.671B.672C.673D.6742.下图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2 016次输出的结果为( )A.125B.25C.1D.53.观察下列各式： - 2x，4x2， - 8x3，16x4， - 32x5，…则第n个式子是( )A.- 2n - 1x nB.( - 2)n - 1x nC.- 2n x nD.( - 2)n x n4.观察如图所示图形，则第n个图形中三角形的个数是( )A.2n＋2B.4n＋4C.4nD.4n-45.下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形…依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.286.下列是由一些火柴搭成的图案，图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第n○个图案用多少根火柴( )A.4n＋3B.5n－1C.4n＋1D.5n－47.小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数既是三角形数又是正方形数的是 ( )A.2010B.2012C.2014D.20168.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A.21B.24C.27D.30二、填空题9.观察一组数2，5，10，17，26，37…则第n个数是.10.《庄子•天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图.由图易得：＝ .11.当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用含n的代数式表示，n是正整数)12.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行9 8 7 6 5第4行10 11 12 13 14 15 16第5行25 24 23 22 21 20 19 18 17 …则2023在第行.13.观察等式：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52……猜想：(1)1＋3＋5＋7…＋99 ＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n﹣1)＝ _______.14.观察下列各式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…猜想13＋23＋33＋…＋103＝.三、解答题15.探究题.用棋子摆成的“T”字形图如图所示：(1)填写下表：图形序号①②③④…⑩每个图案中棋子个数 5 8 …)；(3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？(4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数.(提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？)16.我们发现了一种“乘法就是减法”的非常有趣的运算：①1×12＝1﹣12：②2×23＝2﹣23；③3×34＝3﹣34；…(1)请直接写出第4个等式是；(2)试用n(n为自然数，n≥1)来表示第n个等式所反映的规律是；(3)请说明(2)中猜想的结论是正确的．17.察下列各式：第1个：1×3＝3＝22﹣1第2个：2×4＝8＝32﹣1第3个：3×5＝15＝42﹣1第4个：4×6＝24＝52﹣1第5个：5×7＝35＝62﹣1…这些等式反映出自然数间的某种运算规律.(1)请你根据规律写出下一个等式：；(2)设n(n≥1)表示自然数，请根据这个规律把第n个等式表示出来，并通过你所学过的整式运算知识来验证这个等式成立.18.阅读解题：1111212=-⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯， ... 计算：+⨯+⨯+⨯431321211...200520041⨯+ ＝+-+-+-413131212111 (2005)120041-+＝120051-＝20052004 理解以上方法的真正含义，计算：(1)111 (10111112100101)+++⨯⨯⨯ (2)19.用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.(1)第4个图案中，三角形的个数有 个，六边形的个数有 个； (2)第n(n 为正整数)个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2018个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由. (2027)20251531311⨯++⨯+⨯20.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值.解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1即S＝22024﹣1即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024﹣1请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数).参考答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】n2＋1.10.【答案】1﹣.11.【答案】n2＋4n.12.【答案】45.13.【答案】502；n2.14.【答案】55215.解：(1)11 14 32 (2)3n＋2 (3)3n＋2＝3×20＋2＝62(个)(4)(5＋62)×202＝670(个).16.【答案】解：等式左侧乘积的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数的分子和这个自然数相同，分母比分子大1；右侧恰是左侧两个因数的差； (1)第4个等式：4×＝4﹣ (2)第n 个等式：n ×＝n ﹣ (3)证明：n ×＝，n ﹣＝∴n ×＝n ﹣∴(2)中猜想的结论是正确的．17.【答案】解：(1)第6个：6×8＝48＝72﹣1；故【答案】6×8＝48＝72﹣1； (2)第n 个等式为n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1.n(n ＋2)＝n 2＋2n (n ＋1)2﹣1＝n 2＋2n ＋1﹣1＝n 2＋2n 所以n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1. 18.【答案】解：①根据题意得：1111111111011111210010110111112100101+++=-+-++-⨯⨯⨯ ＝1191101011010-= ②根据题意得：＝21(1﹣20271)＝20272013 19.【答案】解：(1)10 4;(2)观察发现，第1个图案中有4个三角形与1个六边形 以后每个图案都比它前一个图案增加2个三角形与1个六边形则第n 个图案中三角形的个数为4＋2(n-1)=(2n ＋2)个，六边形的个数为n. (3)第2018个图案中，三角形的个数为2×2018＋2=4038(个)，六边形的个数为2018个.)(4)不存在.理由如下：假设存在这样的一个图案，其中有30个六边形，则这个图案是第30个图案 而第30个图案中三角形的个数为2×30＋2=62≠100… 202720251531311⨯++⨯+⨯所以这样的图案不存在.20.【答案】解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211 将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1；(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①两边同时乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②②﹣①得：3S﹣S＝3n＋1﹣1，即S＝12(3n＋1﹣1)则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝12(3n＋1﹣1).。
101030 第三章思维规律(练习答案)
P73 二、综合题：
【提示】：须首先根据矛盾律（或排中律）确定两个不可同 真（假）的判断中必有一假（真）。 1. 李说的是真话。罪犯是赵。因为钱和李的口供是矛盾的， 根据排中律可知其必有一真，故赵、孙二人的口供皆为 假。由赵的口供为假可知…… 2. 50人都通过了考试。因为①③两个判断是矛盾关系，根 据排中律可知其必有一真，故判断②为假，即甲班没有 同学没有通过考试。 3. 甲是北京人。因为假设①真，则③的前件为假。根据充 分条件假言判断的逻辑性质，前件假则判断为真，故③ 为真。于是①③皆真，不符合已知条件。故①必假，即 甲是北京人。（说明：进一步可推知乙不是上海人。）
结 束 语
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《通识逻辑学》练习题参考答案
第三章 思维规律
刘社军整理于 2010 . 10 . 30
刘社军修订于 2011 . 01 . 06
2013-3-16
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P73 一、分析下列议论中是否存在违反逻辑基本规律
的错误：
【说明】：须分析出具体的概念或判断，说明其所 违反的规律及其要求，并指明其逻辑错误。 1. 自相矛盾。因为包含着“（四方台以前）没有 人上去过”和“有人上去过”两个具有矛盾关 系的判断，违反了矛盾律关于判断使用的要求， 导致思维缺乏一致性。 2. 混淆概念。因为 “经验主义”本来自有其内涵， 此处却将其与“经验”混为一谈。违反了同一 律关于概念使用的要求，导致思维缺乏确定性。 3. 两不可。因为同时否定了“有鬼神” 和 “无鬼 神”两个相互矛盾的判断。违反了排中律关于 判断使用的要求，导致思维缺乏明确性。
北师大版七年级下册数学第三章知识点详细归纳附第三章测试卷及参考答案
北师大版七年级下册数学第三章知识点详细归纳附第三章测试卷及参考答案第三章变量之间的关系@考点归纳1.自变量一、变量的概念2.因变量变量之间的关系 1. 表格法2. 关系式法二、变量的表达方法（1）.速度时间图象3. 图象法（2）.路程时间图象一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，一行表示自变量，第二行表示因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
人教版必修三第三章测试题(含答案)
人教版必修三第三章测试题(含答案) 第三章测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（）。
A。
A与B互斥且为对立事件B。
B与C互斥且为对立事件C。
A与C存在有包含关系D。
A与C不是对立事件2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）。
A。
1/1991B。
1/1000C。
1/2D。
1/10013.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）。
A。
1/4B。
1/8C。
1/2D。
3/44.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（）。
A。
1/3B。
11/42C。
1/2D。
2/35.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（）。
A。
0.42B。
0.28C。
0.3D。
0.76.已知地铁列车每10 XXX一班，在车站停1 XXX则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）。
A。
109/118B。
1/10C。
1/11D。
1/97.有五条线段长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）。
A。
1/10B。
3/10C。
17/50D。
102/1258.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）。
A。
1B。
1/12C。
3/23D。
3/109.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（）。
A。
1/12B。
1/6C。
1/3D。
5/1210.现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K或S在盒中的概率是（）。
北师大版七年级数学下册第三章复习练习题(有答案)
第三章复习练习题一．选择题1．在圆的面积公式S＝πR2中，常量与变量分别是（）A．2是常量，S、π、R是变量B．π是常量，S、R是变量C．2是常量，R是变量D．2是常量，S、R是变量2．用总长50m米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（m2）与一边长l（m）之间的关系式为S＝l（25﹣l），那么下列说法正确的是（）A．l是常量，S是变量，S是l的函数B．25是常量，S与l是变量，l是S的函数C．25是常量，S与l是变量，S是l的函数D．l是变量，25是常量，l是S的函数3．如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x 之间的关系应该是（）A．y＝12x B．y＝18x C．y＝x D．y＝x4．如图是护士统计一位甲型H1N1流感疑似病人的体温变化图，这位病人在16时的体温约是（）A．37.8℃B．38℃C．38.7℃D．39.1℃5．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，下面能表示这种关系的式子是（）d5080100150b25405075A．b＝d2B．b＝2d C．b＝D．b＝d+256．如图，梯形上底长、下底长分别是x，y，高是6，面积是24，则y与x之间的表达式是（）A．y＝﹣x+8 B．y＝﹣x+4 C．y＝x﹣8 D．y＝x﹣47．以梦为马，驰骋流年，重庆市双福育才中学初2019级迎来了期盼已久的“拾光流影”六一晚会．当天张老师为带着儿子前去观看这次晚会，首先自己以某一速度开车从家出发到儿子学校大门口，等待儿子放学上车，儿子上车后，张老师担心堵车耽误时间于是就加快了车速赶到双福校区，如图所示的四个图象中（S为离家的路程，t为时间），符合以上情况的是（）A．B．C．D．8．如图是某港口一天二十四小时的水深情况变化图，其中点A处表示的是4时水深16m，点B处表示的是20时水深16m，某船在港口航行时，其水深至少要有16m，若该船在港口装卸货物的时间需8小时，另外进港停靠和离港共需4小时，如果此船要在进港的当天返航，则该船必须在一天中（）A．4时至8时内进港B．4时至12时内进港C．8时至12时内进港D．8时至20时内进港9．今年寒假，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）A．小王在朋友家停留了10分钟B．小王去时所花的时间少于回家所花的时间C．小王去时走上坡路，回家时走下坡路D．小王去时的速度大于回家的速度10．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是AB的中点，动点P从点B开始，沿着边BC，CD匀速运动到D，设点P运动的时间为x，EP＝y，那么能表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题11．大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是，因变量是．12．如图是某市某天的气温T（℃）随时间t（时）变化的图象，则由图象可知，该天最高气温与最低气温之差为℃．13．某复印店用电脑编辑并打印一张文稿收费2元，再每复印一张收费0.3元，则总收费y（元）与文稿数量x（张）之间的函数关系式是．14．1﹣4个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重y（g）与月龄x（月）间的关系如表所示．请写出y与x之间的关系式．月龄/月0 1 2 3 4 5 6体重/g3500420049005600630070007700 15．如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店看一会儿书，又去学校取封信后马上回家，其中x 表示时间（单位：小时），y表示小明离家的距离（单位：千米），则小明从学校回家的平均速度为千米∕小时．16．如图，三角形ABC的高AD＝4，BC＝6，点E在BC上运动，若设BE的长为x，三角形ACE的面积为y，则y与x的关系式为．17．某学校报告厅的一部分为扇形，观众席的座位设置如下表：排数n1234…座位数m38414447…则每排的座位数m与排数n的关系式为．18．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．则下列说法中，正确的序号为．①小明中途休息用了20分钟．②小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米．③小明在上述过程中所走的路程为6600米．④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度．三．解答题19．下表给出了橘农王林去年橘子的销售额(元)随橘子卖出质量(千克)的变化的有关数据：(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当橘子卖出5千克时，销售额是多少?(3)估计当橘子卖出50千克时，销售额是多少?20．根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系（其中0≤x≤30）提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少时，学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？21．如图所示，在一个边长为12cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积ycm2，请写出y与x的关系式；（3）当小正方形的边长由1cm变化到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？22．人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，教乐乐数学的马老师调查了自己班学生的学习遗忘规律，并根据调查数据描绘了一条曲线（如图所示），其中纵轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间，观察图象并回答下列问题：（1）观察图象，1h后，记忆保持量约为；8h后，记忆保持量约为（2）图中的A点表示的意义是什么？A点表示的意义是在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号①0﹣2h②2﹣4h；③4﹣6h④6﹣8h（3）马老师每节课结束时都会对本节课进行总结回顾，并要求学生每天晚上临睡前对当课堂上所记的课盒笔记进行复习，据调查这样一天后记忆量能保持98%如果学生一天不复习，结果又会怎样？由此，你能根据上述曲线规律制定出两条今年暑假的学习计划吗？23．圣诞老人上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市回到家中，圣诞老人离家的路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回到问题：（1）圣诞老人去超市途中的速度是多少？回家途中的速度是多少？（2）圣诞老人在超市逗留了多长时间？（3）圣诞老人在来去的途中，离家1km处的时间是几时几分？（4）用恰当的方式表示圣诞老人离家的路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系．24．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y（个）与生产时间t（小时）的函数关系如图所示．（1）根据图象填空：甲、乙中，先完成一天的生产任务；在生产过程中，因机器故障停止生产小时．（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．25．甲、乙两人在笔直的公路AB上从起点A地以不同的速度匀速跑向终点B地，先到B地的人原地休息，已知A、B两地相距1500米，且甲比乙早出发30秒，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（秒）之间的关系如图所示．（1）甲的速度是米/秒，甲从A地跑到B地共需秒；（2）乙出发秒时追上了甲．（3）a＝．（4）甲出发秒时，两人相距120米．参考答案一．选择题1．B．2．C．3．D．4．C．5．C．6．A．7．C．8．A．9．A．10．解：过点E作EF⊥CD于点F，当点P在线段BC上移动时，EP的长度y随时间x增大而增大，到达点C时可取得最大值；当点P在线段CF上移动时，EP的长度y随时间x增大而减小，当点P在线段DF上移动时，EP的长度y随时间x增大而增大，到达点D时可取得最大值，故选项（B）、（C）、（D）满足要求；由于线段DF与CF关于直线EF对称，所以点P在线段CF上移动时对应的图象与点P在线段DF上移动时对应的图象必关于某条垂直于x轴的直线对称，选项（B）与（D）中第二段下降趋势的图象与第三段上升趋势的图象明显不对称，故选：C．二．填空题11．冰层的厚度，冰层所承受的压力．12．12 13．y＝0.3x+1.7．14．y＝700x+3500．15．6．16．y＝﹣2x+12．17．m＝3n+35．18．①②④三．解答题19．解：(1)表中反映了橘子的卖出质量与销售额之间的关系，橘子的卖出质量是自变量，销售额是因变量；(2)当橘子卖出5千克时，销售额为10元(3)当橘子卖出50千克时，销售额为100元。
七年级上册数学第三章规律探索
填写下表:
三角形 个数 火柴棒 根数
1 3
2 5
3 7
4
5
…
…
n
9 11
1+2 3
+2
+2 +2
1 2
+2
+2
3 4 5 … … n
三角形个数 火柴棒根数
3
5
7
9 11
火柴棒根数
2n+1
三角形个数
1 2 3 4 5
…
1+2=3 1+2+2=5 1+2+2+2=7 1+2+2+2+2=9 1+2+2+2+2+2=11
探索与规律
问题解决
1、按左图方式摆放餐桌和椅子 6 人; (1) 1张餐桌可坐___
10 人. 2张餐桌可坐___ (2) 按照左图的方式继续排列 餐桌,完成下表:
桌子 张数 可坐 人数
1
2
3 4
5 …
n
6 10 1418 22 …
……
4 +4 +4 +4
n张餐桌可坐 (4n+2) 人
随堂，精解
如图是小明用火柴搭的1条、2条 、3条“金鱼”…，则搭n条“金鱼” 需要火柴 根．
1、探索规律的一般步骤：
具 体 问 题 观 察 特 例 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律
得 出 结 论
成立
不成立
索 探 新 重 头 回制定了居民用水 收费标准，：如果一户每月用户用水量不超过15 吨，水价按每吨1.8元收费，如果超过15吨，超过 部分按每吨2.5元收费，其余部分仍按每吨1.8元 计算,求： （1）若甲用户每月用水量刚好15吨，则应缴纳水 费多少元 （2）若乙用户一月份共支付水费39.5元，求该户 一月份用水量是多少吨？
七年级数学北师大版上册课时练第3章《3.5探索与表达规律》(含答案解析)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练3.5探索与表达规律一．选择题（共10小题）1．按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，¼，其中□内应填的数是()A ．23B ．511C ．59D ．122．按一定规律排列的单项式：2a ，34a ，49a ，516a ，625a ，¼，第n 个单项式是()A ．21n n a +B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．2(1)n n a +3．观察下列一组数：13，45-，97，169-，2511，¼，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是()A ．221n n +B ．2(1)21nnn -+C ．2(1)21n n n --D ．21(1)21n n n --+4．按规律排列的单项式3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，¼的第n 个单项式是()A ．121(1)n n x ---B ．21(1)n n x --C ．21(1)n n x +-D ．121(1)n n x -+-5．观察下列图形它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形的“★”有()A ．57个B ．60个C ．63个D ．85个6．观察下面三行数：第①行：2、4、6、8、10、12、¼第②行：3、5、7、9、11、13、¼第③行：1、4、9、16、25、36、¼设x 、y 、z 分别为第①、②、③行的第100个数，则22x y z -+的值为()A ．9999B ．10001C ．20199D ．200017．观察下列按一定规律排列的n 个数：2，4，6，8，10，12，¼，若最后三个数之和是3000，则n 等于()A ．500B ．501C ．1000D ．10028．若x 是不等于1的实数，我们把11x-称为x 的差倒数，如2的差倒数是1-，1-的差倒数为12，现已知113x =-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数¼依此类推，则2020x 等于()A ．1-B ．12C ．13-D ．39．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为()A．448B．452C．544D．60210．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“〇”的个数，则第7个“龟图”中有()个“〇”．A．44B．45C．46D．47二．填空题（共4小题）11．观察一列数：371115,,,24816，¼，按此规律，这列数的第n个数是．12．按一定规律排列的一列数依次为：2a，52a，83a，114a，¼，(0)a¹按此规律排列下去，这列数中的第n个数为．(n为正整数）13．观察下面的变化规律：211133=-´，2113535=-´，2115757=-´，2117979=-´，¼根据上面的规律计算：2222 13355720212023+++¼+=´´´´．14．海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有个菱形，第n个图中有个菱形（用含n的代数式表示）．三．解答题（共6小题）15．观察下列等式：第1个等式：1112 12122+-=´；第2个等式：1112 23233+-=´；第3个等式：111234344+-=´；¼；按照以上规律，解决下列问题．（1）写出第6个等式：．（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．16．观察以下等式：第1个等式：311222´=-；第2个等式：412333´=-；第3个等式：513444´=-；第4个等式：614555´=-；第5个等式：715666´=-；¼按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明．17．观察下列各式：3312189+=+=，而2(12)9+=，33212(12)\+=+；33312336++=，而2(123)36++=，3332123(123)\++=++；33331234100+++=，而2(1234)100+++=，333321234(1234)\+++=+++；猜想并填空：（1）3333312345++++=2=2；根据以上规律填空：（2）3333123n +++¼+=2=2；（3）求解：333331617181920++++．18．如图是用棋子摆成的“T ”字图案．从图案中可以看出，第一个“T ”字图案需要5枚棋子，第二个“T ”字图案需要8枚棋子，第三个“T ”字图案需要11枚棋子．（1）照此规律，摆成第四个图案需要枚棋子．（2）照此规律，摆成第n 个图案需要枚棋子．（用含n 的代数式表示）（3）照此规律，摆成第2018个图案需要几枚棋子？（4）摆成这种“T ”字图案的棋子数可能是2017枚吗？如果是，请计算出是第几个图案，如果不是，请说明理由．19．图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，试回答以下问题：（1）摆第4个图案需要枚棋子；（2）是否存在摆了130枚棋子的图案？若存在，试求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1.D 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C 10.D二、填空题11．412nn -12．31n na -13．2022202314．41，2(221)n n -+．三、解答题15．解：（1）111267677+-=´；（2）猜想：第n 个等式为：11121(1)1n n n n n +-=+++，证明：1111(1)n n n n +-++11(1)(1)(1)n n n n n n n n +=+-+++11(1)n n n n ++-=+2(1)n n n =+21n =+=右边．故等式成立．16．解：（1）816777´=-；（2）猜想：第n 个等式是21(1)11n n n n n +´=+-++，证明：左边221n nn +=+，右边22(1)1211n n nn n +-+==++，左边=右边，21(1)11n n n n n +\´=+-++.17．解：（1）(12345)++++；15；（2）(123...)n ++++；(1)[]2n n +；（3）原式333333333333(1231617181920)(12315)=+++¼+++++-+++¼+22(123...20)(123...15)=++++-++++2220(120)15(115)[[22´+´+=-22210120=-4410014400=-29700=．18．解：（1）14；（2）(32)n +；（3）按（2）中规律，当2018n =时，323201826056n +=´+=．故摆成第2018个图案需要6056枚棋子．（4）不可能，理由如下：令322017n+=，解得20153n=，n为小数，与题意不符，故摆成这种“T”字图案的棋子数不可能是2017枚．19．解：（1）61；（2）由（1）得：第6个图案有：16(123456)127+´+++++=枚，第7个图案有：16(1234567)169+´++++++=枚，所以不存在摆了130枚棋子的图案．。
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin0sin sin0sin4346362(31).4=--+=-g g g g题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他yxA yxe求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由-(34)00(,)d d e d d112x yAf x y x y A x y+∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得A=12（2）由定义，有(,)(,)d dy xF x y f u v u v-∞-∞=⎰⎰(34)340012e d d(1e)(1e)0,0,0,0,y y u vx yu v y x-+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d(1e)(1e)0.9499.x yP X Yx y-+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,2),6(其他yxyxk（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83x x x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1） 因X 在（0，）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y g 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25ed d yy xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x -==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1） 试确定常数c ； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.x x y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他 |1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =YX13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310 610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠===g 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为 2 5 8（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i }{}i P X x =(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y eXYXY（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,Xxf x<<⎧==⎨⎩其他;21e,1,()20,yYyf y-⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.yX Yx yf x y X Y f x f y-⎧<<>⎪=⎨⎪⎩g独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y++=有实根的条件是2(2)40X Y∆=-≥故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d dx yP X Y f x y x y≥≥=⎰⎰21/2001d e d212[(1)(0)]0.1445.xyx yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他xx求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z zP z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =（2） 当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥g1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<gg g 44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑g()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p qi k i n n p qi k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑g方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布. 19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是(4)类似上述过程，有20.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }； （2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.xy R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 （1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r r R θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24==(2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====g ,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 即1,3111{},4248P X x Y y =++==从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y ==223{,}8P X x Y y === 又31{}1j j P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=L .(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======ge C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=g L 24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为1 0 11 0 1a 0b0 0.1 c其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )=,P {Y ≤0|X ≤0}=，记Z =X +Y .求：XY（1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +=1 即 a+b+c = .由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为2，1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为Z 2 1 0 1 2P(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.习题四1.设随机变量X 的分布律为1 0 12求E （X ），E （X 2），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=L3.设随机变量X 的分布律为1 0 1且已知E （X ）=,E (X 2)=,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=g g ……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=g g g ……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑g 全概率公式001{}{}1().NNk k k P X k kP X k N N n E X N N========∑∑g5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -g 因独立 1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X2Y ），D （2X 3Y ）.【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因1001(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他 求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值 12()2d ,3E X x x x ==⎰g 5(5)5()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=g方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩g 其他于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x x y y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰g g10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X 3Y 2）.【解】22-200()()d 2ed [e ]e d xx x X X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰g201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰g22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰g 从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d e d 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 222()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰g22220π2ed .k x kx x +∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e.k x E X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰g 故 222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛-=-=-= ⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是，得到X 的概率分布表如下：X 0 1 2 3 P由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元/41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3） 验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑g22111111()()n nn i i i i i i i D X D X D X X DX n n n ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑g 之间相互独立 2221.n n nσσ==g (2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑g故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑g g15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )=1,计算：Cov （3X2Y +1，X +4Y3）.【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰g同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰g222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x . 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠g 故X 和Y 不是相互独立的.17.设随机变量（X ，Y ）的分布律为1 0 110 1验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X11P 382838Y101P 382838XY101P 284828由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=-g从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，S D=12，故（X，Y）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y Df x y∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰1101d 2d 3xx x y -==⎰⎰g22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-g . 从而112XY ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x x x y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰g ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰g 从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g222222π4Cov(,)(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()2162XYX Y D X D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-g 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X 2Y 和Z 2=2X Y 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故 121212513.26()()134Z Z D Z D Z ρ===⨯g21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy Schwarz ）不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈g g可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=-g2224{[()]()()}.E VW E V E W =-g故222[()]()()}.E VW E V E W ≤g22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2). 对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为P {X ≤x }=1eλx,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1ey/5.。
北师大版三下数学第三单元《 找规律》提升练习及答案
《找规律》提升练习及答案1.根据32×2＝64，直接写出下面算式的结果。
32×20＝ 320×2＝32×200＝ 320×20＝2.算一算。
20×30＝ 60×20＝ 30×40＝22×40＝ 40×120＝ 170×20＝41×10＝ 50×60＝ 10×45＝72×10＝ 900×6＝ 50×50＝3.把结果相同的算式连起来。
4.在圆圈里填上“＞”“＜”或“＝”。
45×1050×90 3×80040×6021×2022×10 20×23800÷2 5.算一算，填表格。
6.（1）买45张儿童票，要付多少元？（2）如果买68张成人票，要付多少元？7.估计一下，菲菲20分能从家走到学校吗？8.9.在括号里填上合适的数。
40×（）＝2400 （）×12＝240020×（）＝1800 （）×（）＝3600 （）×（）＝1500 （）×（）＝7200 10.每套《趣味数学》130元，每套6本。
（1）张老师买了多少本书？（2）张老师一共要付多少钱？11.学校运动会开幕式表演，同学们要购买演出服装。
（1）街舞《青春修炼手册》表演需要购买12件衬衫，拉丁舞表演需要购买30条裙子，购买衬衫和裙子各需要多少钱？（2）王老师带了2000元钱，够吗？如果够还多多少元？如果不够，还差多少元？12.有一些大小相同的铁环连在一起，拉紧后如下图。
（1）这样的4个铁环连在一起有多长？（2）这样的20个铁环连在一起有多长？13.乐乐家住在14楼，这幢高楼每相邻两层之间都有20级阶梯，乐乐回家一共要走多少级阶梯？14.仓库里有20袋大米，如果从每个袋子里都取出10千克，那么剩下的这20袋大米的质量正好是原来16袋大米的质量，原来每袋大米的质量是多少千克？参考答案：1.640 640 6400 64002.600 1200 1200 880 4800 3400 410 3000 450 720 5400 25003.4.＜＝＞＞5.3500 960 5606.（1）45×10＝450（元）（2）68×20＝1360（元）7.70×20＝1400（米） 1400＜1450 不能8.350 700 1050 1400 21009.60 200 90 40 90 30 50 80 90（最后三题答案不唯一）10.（1）20×6＝120（本）（2）130×20＝2600（元）11.（1）衬衫：12×40＝480（元）裙子：60×30＝1800（元）（2）1800＋480＝2280（元） 2000＜2280 不够2280－2000＝280（元）差280元12.（1）40×4＝160（厘米） 2×5×3＝30（厘米） 160－30＝130（厘米）（2）40×20＝800（厘米） 2×5＝10（厘米） 20－1＝19（个）19×10＝190（厘米） 800－190＝610（厘米）提示：每两个铁环的接头处重合，每个重合处都少了2个铁环的宽度，也就是10厘米，4个铁环连接，共有3个重合处，因此比4个铁环的长度少了3个10厘米。
心理学第三章测试题及答案
心理学第三章测试题及答案第一节：选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪种测试能够客观地评估个体的心理状况？A. 面试B. 手绘测试C. 定量问卷调查D. 记录观察2. 心理测试的目的主要是什么？A. 评估个体的智力水平B. 了解个体的性格特点C. 检测个体的心理障碍D. 探索个体的童年经历3. 哪种测试是评估个体情绪状态的常用方法？A. 投射测试B. 智力测试C. 人格测验D. 心理问卷4. 哪个选项最能说明心理测试的可靠性？A. 测试结果与个体的实际情况一致B. 不同时间下的测试结果相似C. 多个评估者的测试结果一致D. 测试结果能够预测个体的未来表现5. 下列哪种测试可以评估个体对不同刺激的感知能力？A. 智力测试B. 人格测验C. 感知测试D. 关系测试6. 心理测试的标准化是指什么？A. 测验结果与常模进行比较B. 测试结果的一致性C. 测试的费用和时间要求D. 测试过程的科学性和公正性7. 哪种测试可以评估个体对情绪刺激的应对能力？A. 感知测试B. 记忆测试C. 投射测试D. 应激测试8. 心理测试中的常模是指什么？A. 测验的标准化程序B. 测试者的背景经验C. 测试结果的参考分数D. 测试的具体内容9. 简答题：请简要解释心理测试结果的“效度”和“信度”。
答：心理测试结果的效度指测试结果与被测量的心理特征之间的关联程度，如测量智力的测试与智力水平的相关性。
心理测试结果的信度指同一测试在不同时间和不同评估者下所得到的结果的一致性。
10. 简答题：请简述客观测试和项目性测试的主要区别。
答：客观测试是指可以用统一的标准化程序进行实施和评估的测验，结果客观、客观说服力强。
项目性测试是要求被试者根据具体情境回答问题或完成任务的测验，结果更加丰富，但评估主观性较强。
第二节：问答题（每题10分，共30分）1. 请列举三种常见的心理测试类型，并简要描述其应用领域。
答：智力测试：用于评估个体的智力水平和认知能力，可应用于学校选拔、人事招聘等领域。
新教材高中政治第三单元运用辩证思维方法第十课第一框不作简单肯定或否定课后习题(含解析)选择性必修3
第一框不作简单肯定或否定课后篇巩固提升一、选择题1.孔子曰:“择其善者而从之,其不善者而改之。
”这句话表明( )C.辩证否定的实质是“扬弃”,克服的是旧事物中过时的消极的内容,但保留了旧事物中积极合理的因素,A项错误,排除;辩证否定是事物自身的否定,即自己否定自己、自己发展自己,B项错误,排除;“择其善者而从之,其不善者而改之”的意思是指我们要选择他人的优点来学习,如果看到他人的缺点,则要反省自己有没有这样的缺点,若有,就要一起加以改正,这表明辩证否定的实质是“扬弃”,C项正确;新事物产生于旧事物,它总是吸取、保留和改造旧事物中积极的因素作为自己存在和发展的基础,所以辩证否定不只是肯定新事物,D项错误,排除。
故本题选C项。
2.促进“百年老店”的可持续发展,要用新技术、新业态全面改造提升传统产业,是因为( )①肯定中蕴含着否定,否定中有肯定②新事物代替旧事物总是充满曲折性③新事物自身还存在很多缺点和不足④新陈代谢是宇宙间不可抗拒的规律A.①②B.②③C.①④D.③④,促进传统产业的发展,是因为新陈代谢是宇宙间不可抗拒的规律,肯定中蕴含着否定,否定中有肯定,①④正确;材料不涉及发展的曲折性,排除②;材料强调的是推动事物的发展,不涉及新事物的缺点和不足,排除③。
故选C项。
3.下图所示漫画启示我们应正确处理( )①量变与质变的辩证关系②肯定与否定的辩证关系③实践与认识的辩证关系④整体与部分的辩证关系A.②③B.②④C.③④D.①③,必须正确处理实践与认识的辩证关系和肯定与否定的辩证关系。
学习知识必须回到实践并接受实践的检验,对书本知识必须坚持辩证否定的观点,不能否定一切但也不能相信一切,②③符合题意;①④与材料不符。
故本题选A项。
4.白话文扬弃了文言文的陈腐与艰涩,更适宜和方便人们抒发新时代的新思想。
人类社会能够迈向文明进步,在于一种自觉的扬弃意识。
“扬弃”是( )B.克服、否定消极内容,保留、肯定积极因素C.要么肯定一切,要么否定一切的哲学态度项说法错误,具体问题具体分析是马克思主义活的灵魂,是马克思主义的一个重要原则;B项符合题意,“扬弃”是既肯定又否定,既克服又保留,克服过时的消极的内容,保留和培育积极合理的因素;C项说法错误,“要么肯定一切,要么否定一切”的是形而上学的否定观;D 项说法错误,矛盾分析法是我们认识世界和改造世界的根本方法。
北师大版七年级数学上册《第三章回顾与思考》复习题
第三章复习题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下列说法中错误的是( )A. x 与y 平方的差是x 2−y 2B. x 加上y 除以x 的商是x +y xC. x 减去y 的2倍所得的差是x −2y D . x 与y 和的平方的2倍是2(x +y)2 2. 在−3x ，6−a =2，4ab 2，0，m -3m ，12，12>13，x 中，是代数式的共有( ) A. 7个 B. 6个 C. 5个D. 4个 3. 某商场进了一批商品，每件商品的进价为a 元，提价10%后作为销售价，由于商品滞销，商场决定降价10%作为促销价，则商场对每件商品( )A. 赚了0.01a 元B. 亏了0.01a 元C. 赚了0.99a 元D. 不赔不赚 4. 下列判断错误的是( )A. 多项式5x 2−2x +4是二次三项式B. 单项式−a 2b 3c 4的系数是−1，次数是9C. 式子m +5，ab ，−2，s v 都是代数式D. 多项式与多项式的和一定是多项式5. 下列说法中，不正确的是( )A. ab 2c 的系数是−1，次数是4B. xy 3−1是整式 C. 6x 2−3x +1的项是6x 2、−3x ，1 D. 2πR +πR 2是三次二项式6. 若多项式k (k −1)x 2−kx +x +8是关于x 的一次多项式，则k 的值是( ) A. 0 B. 1 C. 0或1D. 不能确定 7. 以下说法正确的个数是( )①多项式−x 2+3x −2中，次数最高次项是：x 2②多项式2x 3y +3x 2−4mn −4 的所有的项是：2x 3y ，3x 2，−4mn ，−4 ③合并同类项2mn −5mn +10mn 的结果为：7mn④合并同类项4x 2−7x +5−3x 2+2+6x 的结果是：x 2−x +7⑤多项式a −(−b +a −c )直接去括号的结果是：a +b −a +c ．A. 4个B. 2个C. 5个D. 3个8. 下列等式成立的是( )A. –(3m −1)=−3m −1B. 3x −(2x −1)=3x −2x +1C. 5(a −b )=5a −bD. 7−(x +4y )=7−x +4y9.下列运算正确的是()A. x−3y=−2xyB. 5x2−2x2=3x2C. x2+x3=x5D. 2x2y−xy2=xy10.化简：[x−(y−z)]−[(x−y)−z]的结果为()A. 2yB. 2zC. −2yD. −2z11.下面计算正确的是()A. 3a−2a=1B. 3a2+2a=5a3C. 3a+3b=6abD. 2x+3x=5x12.若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则此三位数可表示为()A. a+b+cB. cbaC. 100a+10b+cD. 100c+10b+a二、填空题（本大题共20小题，共60.0分）13.将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：(1)a×5，应写成_______ ；(2)a×a×2−b×13，应写成______(3)s÷t应写成_________(4)143x，应写成______14.苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克______元(用含x的代数式表示)．15.下列各式：①113x；②2.3；③20%x；④a−b÷c；⑤m2n23；⑥x−5；其中，不符合代数式书写要求的有______(填写序号)16.请设计一个实际背景来表示代数式2x+3y的实际意义______．17.试写一个只含字母x的代数式：当x=−2时，它的值等于−5.你写的代数式是______．18.已知a2−3a+1=0，则代数式(a+1)(a−4)的值为______ ．19.某种商品单价为a元，按8折出售后又涨价5%，则最后售价为______元．20.一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x，用代数式表示这个两位数是______ ．21.当x=2时，代数式ax3+bx−3的值为9，那么，当x=−2时代数式ax3+bx+5的值为______．22.若13a2m−5b n+1与−3ab3−n的和为单项式，则m+n=______ ．23.−mx2y2的系数是______ ，次数是______ ．24.若关于x的多项式x3+(2m−6)x2+x+2不含二次项，则m的值是______ ．25.多项式2+4x2y−13x2y3是______，______，______三项的和，其中次数最高项的系数是______．26.−xy22+3xy−23是______ 次______ 项式，最高项的系数为______ ．27.下列式子①x=5，②−52a7，③x+y2，④7，⑤m，⑥abπ，⑦3a+b，⑧2c中，是单项式的有______ ；是整式的有______ .(只填序号)28.多项式(m−2)x|m|+mx−3是关于x的二次三项式，则m=______ ．29.请写出符合下列条件的单项式：①含有字母x、y；②系数为负整数；③次数是3．这个单项式可以是______ (写出一个即可)30.一个只含字母y的二次三项式，它的二次项系数、一次项系数均为3，常数项为−2，则这个多项式为______．31.请你写出一个同时符合下列条件的代数式，(1)同时含有字母a，b；(2)是一个4次单项式；(3)它的系数是一个正数，你写出的一个代数式是______．32.若a、b、c在数轴上的位置如图，则|a|−|b−c|+|c|=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）33.化简求值：已知|a−2|+(b+1)2=0，求−(3a2−4ab)+[b2−2(2a2+2ab)]的值．34.实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|b+c|−|b+a|+|a+c|．35.已知多项式A，B，其中B=5x2+3x−4，马小虎同学在计算“3A+B”时，误将“3A+B”看成了“A+3B”，求得的结果为12x2−6x+7．(1)求多项式A；(2)求出3A+B的正确结果；(3)当x=−1时，求3A+B的值．336.某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台(x>2)．(1)若该客户按方案一购买，需付款_____________元．(用含x的代数式表示)若该客户按方案二购买，需付款____________元．(用含x的代数式表示)(2)若x=5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？(3)当x=5时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．。
北师大版(2024新版)七年级数学上册第三章提升练：3.3 探索与表达规律
《探索与表达规律》提升练1.有一列数12345,,,,A A A A A ，…，n A ，其中1A =5×2+1，2A =5×3+2，3A =5×4+3，4A =5×5+4，5A =5×6+5，…，当n A =2009时，n 的值等于（ ）A.334B.401C.2009D.20102.观察下列等式：12345633,39,327,381,3243,3729======….通过观察，用你所发现的规律确定20093的个位数字是（ ）A.1B.3C.7D.93.已知(1)1n n a =-+，当n =1时，1a =0；当n =2时，2a =2；当n =3时，3a =0，…；则12a a ++…2019a 的值为（ ）A.2018B.2019C.1009D.10104.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第8个五边形数是（ ）A.90B.91C.92D.935.观察排列规律，填入适当的数：12345,,,,23456---…第10个数是________.6.如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是______________.7.如图，现有一个边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的中点，顺次连接得到一个新的等边三角形，记为第2个等边三角形，取第2个等边三角形各边中点，顺次连接又得到一个新的等边三角形，记为第3个等边三角形，…，按此方式依次操作，则第n个等边三角形的边长为________.8.（素养提升题）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；…一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多.如图是最初几个阶段，（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为________；（2）当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为________.（用含n的式子表示）易错必究 规避陷阱易错点：规律计算错误【案例】对于有理数a ，b ，n ，d .若||||a n b n d -+-=.则称a 和b 关于n 的“关联数”为d .例如，|3-1|+|4-1|=5，则3和4关于1的“关联数”为5.（1）-3和6关于1的“关联数”为________；（2）若a 和2关于1的“关联数”为5，求a 的值；（3）若0a 和1a 关于1的“关联数”为1，则01a a +的最大值为________.参考答案1.A2.B3.A4.C5.10116.2n y n =+7.12n a - 8.（1）32 （2）2()3n 易错必究 规避陷阱易错点【案例】【解析】（1）因为|31||61|459--+-=+=，所以-3和6关于1的“关联数”为9，答案：9（2）因为a 和2关于1的“关联数”为5，所以|1||21|5a -+-=，所以|1|4a -=，所以14a -=±，所以a =5或-3；（3）根据题意得，01|1||1|1a a -+-=，分为四种情况：当0a ≥1，1a ≥1时，有01111a a -+-=，则013a a +=；当0a ≥1，1a <1时，有01111a a -+-=，则011a a -=，得01112<3 a a a +=+；当0a <1，1a ≥1时，有01111a a -+-=，则101a a -=，得01012<3 a a a +=+； 当0a <1，1a <1时，有01111a a -+-=，则01 <13a a +=； 由上可知，01a a +的最大值为3.答案：3。
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的错误：
【说明】：须分析出具体的概念或判断，说 明其所违反的规律及其要求，并指明其逻 辑错误。 1. 自相矛盾。因为包含着“（四方台以前） 没有人上去过”和“有人上去过”两个具 有矛盾关系的判断，违反了矛盾律关于判 断使用的要求，导致思维缺乏一致性。
5、自相矛盾。前面断定了 必然P，后面又断 定了与之矛盾的 可能非P。违反了矛盾律 关于判断使用的要求，导致思维缺乏一致 性。
6、不违反。因为 “一切金属是固体” 和 “一切金属不是固体”是两个具有反对关 系的判断，在逻辑上可以同假。因此同时 予以否定不违反逻辑基本规律（排中律） 。
7. 推不出。论据与论题没有逻辑联系。违反 了充足理由律关于推论方式的要求，导致 思维缺乏论证性和说服力。
8、偷换概念。妻子说的“一半”指“饮酒 量的一半”，丈夫却将其偷换为“酒的种 类的一半”。违反了同一律关于概念使用 的要求，导致思维缺乏确定性。
9、混淆概念。前一个“后代”是指群体的后 代，而该青年却将其理解为个体的后代。 违反了同一律关于概念使用的要求，导致 思维缺乏确定性。
P73 一、分析下列议论中是否存在违反逻辑基本规律
2、混淆概念。因为 “经验主义”本来自有 其内涵，此处却将其与“经验”混为一谈。 违反了同一律关于概念使用的要求，导致 思维缺乏确定性。
两不可。因为同时否定了“有鬼神” 和 “ 无鬼神”两个相互矛盾的判断。违反了排 中律关于判断使用的要求，导致思维缺乏 明确性。
4. 两不可。因为同时否定了“故意” 和 “过失（非故意）”两个相互矛盾的概念。 违反了排中律关于概念使用的要求，导致 思维缺乏明确性。
的错误：
10.偷换概念。 前面的“黄泉” ，本义是 “死了以后，下辈子”的意思，颖考叔却 将偷换为“地下能掘出泉水的地方”。违 反了同一律关于概念使用的要求，导致思 维缺乏确定性。（说明：此例也可分析为 庄公言行不一善游”没 有逻辑联系。违反了充足理由律关于推论 方式的要求，导致思维缺乏论证性和说服 力。
12混淆概念。将“讲究语言形式”视为“ 形式主义”的做法，意味着改变了“形式 主义”这个概念的内涵。违反了同一律关 于概念使用的要求，导致思维缺乏确定性 。
P73 二、综合题：
【提示】：须首先根据矛盾律（或排中律） 确定两个不可同真（假）的判断中必有一 假（真）。 1. 李说的是真话。罪犯是赵。因为钱和李的 口供是矛盾的，根据排中律可知其必有一 真，故赵、孙二人的口供皆为假。由赵的 口供为假可知……
2、50人都通过了考试。因为①③两个判断是 矛盾关系，根据排中律可知其必有一真， 故判断②为假，即甲班没有同学没有通过 考试。
3、甲是北京人。因为假设①真，则③的前 件为假。根据充分条件假言判断的逻辑性 质，前件假则判断为真，故③为真。于是 ①③皆真，不符合已知条件。故①必假， 即甲是北京人。（说明：进一步可推知乙 不是上海人。）