《圆内接正多边形》教案2.docx

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北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案

北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版数学九年级下册第3.8节的内容。

本节主要让学生了解圆内接正多边形的性质，并会运用这些性质解决一些简单问题。

教材通过引入正多边形和圆的关系，引导学生探究圆内接正多边形的性质，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了正多边形的性质，对正多边形的对称性、边角关系等有了一定的了解。

但学生对圆内接正多边形的性质可能较为陌生，需要通过实例和操作来逐步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的性质。

2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。

3.培养学生的观察、思考和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质。

2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和合作学习法。

通过提出问题，引导学生观察、思考和讨论，从而得出结论。

同时，通过案例分析和合作学习，让学生在实践中掌握圆内接正多边形的性质。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的圆内接正多边形图片，如足球、奖杯等，引导学生关注这些现象，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们与圆有什么关系？”2.呈现（10分钟）呈现圆内接正多边形的定义，并通过动画展示圆内接正多边形的形成过程。

同时，引导学生观察和总结圆内接正多边形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个圆内接正多边形，观察并记录其性质。

然后，各组汇报讨论结果，师生共同总结圆内接正多边形的性质。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用圆内接正多边形的性质解决问题。

教师及时给予解答和指导，确保学生掌握所学知识。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，如设计一个圆内接正多边形的图案，让学生思考如何应用圆内接正多边形的性质解决问题。

圆内接正多边形优秀教案

《圆内接正多边形》一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过圆和正多边形，对圆和正多边形的特点有所了解，在本章前面几节课中，又学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系的基本技能.学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索圆的性质，解决了一些简单的现实问题，感受到了圆的性质，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析根据学生已有的认识基础和本课的教材地位、作用，依据教学大纲，确定本课的教学目标为：知识目标：（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.能力目标：学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，培养学生的概括能力和实践能力.情感目标：通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.教学重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.教学难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题.三、教学设计分析第一环节情境引入活动内容：设计一个小故事提出问题‘有一个亭子它的地基半径为r的正六边形,求地基的周长和面积’活动目的：激起学生对探索正多边形与圆的兴趣，让学生学会用数学语言表述问题，培养学生从物体中获取知识的能力，由此引出我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）第二环节圆内接正多边形的概念活动内容：学习圆内接正多边形及有关概念顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.把一个圆n等分（3n），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正≥多边形.如图3－35，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；AOB∠是这个正五边形的中心角；OM⊥，垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中BC也有同样的定义.活动目的：让学生了解有关正多边形的概念，引导学生逐步深入的学习.第三环节问题探究活动内容：正n(n≧3)边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？（小组讨论完成）活动目的：有关正多边形的中心角与外角的计算，通过讨论加深学生对概念的理解，同时解决角度计算问题。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.8《圆内接正多边形》精品教学设计

北师大版九年级数学下册：第三章 3.8《圆内接正多边形》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.8《圆内接正多边形》是本章的重要内容，主要让学生了解圆内接正多边形的性质，并学会运用这些性质解决实际问题。

本节内容是在学生已经掌握了正多边形的性质和圆的性质的基础上进行学习的，通过对圆内接正多边形的研究，让学生进一步理解正多边形与圆的关系，为后续学习圆的内接四边形、圆的内接六边形等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了正多边形的性质和圆的性质，具备一定的逻辑思维能力和探究能力。

但是，对于圆内接正多边形的性质，学生可能较为抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子、直观的图示和丰富的教学活动，帮助学生理解和掌握圆内接正多边形的性质。

三. 教学目标1.让学生了解圆内接正多边形的性质，并学会运用这些性质解决实际问题。

2.培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.培养学生合作学习、积极探究的精神，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质及其证明。

2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、归纳圆内接正多边形的性质。

2.运用数形结合法，通过直观的图示，帮助学生理解圆内接正多边形的性质。

3.采用案例分析法，让学生学会运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

4.学生进行合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的图示和案例，用于教学演示和分析。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

3.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些常见的圆内接正多边形的图片，如正五边形、正六边形等，引导学生关注这些图形的特点，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过数形结合的方式，呈现圆内接正多边形的性质，如正多边形的外角和为360度，圆的内接正多边形的每个外角等于圆周率的值等。

北师大版九年级数学38圆内接正多边形教案

教学目标：1.理解正n边形和内接正多边形的概念。

2.掌握求解圆内接正多边形的周长和面积的方法。

3.通过实例应用，培养学生解决实际问题的能力。

教学重点：1.正n边形的定义和性质。

2.圆内接正多边形的构造方法。

3.圆内接正多边形的周长和面积的求解方法。

教学难点：1.圆内接正多边形的周长和面积的求解方法。

2.运用所学知识解决实际问题。

教学准备：1.黑板、彩色粉笔。

2.教材《北师大版九年级数学》。

教学过程：一、导入（10分钟）1.师生互动，复习正多边形的概念和性质，并让学生举例说明正n边形的特点。

2.引入圆的概念，询问学生是否了解圆的相关术语和性质。

二、讲授（30分钟）1.定义正n边形：简洁地解释正n边形是指有n条边、n个顶点，并且每个内角都相等的多边形。

2.探究正n边形和圆的关系：通过绘制正n边形、连接圆心和顶点的边以及计算边长和半径之间的关系，引导学生发现正n边形的外接圆，即正n边形的顶点都在一个圆上。

3.内接正多边形的构造方法：通过绘制圆，以圆心和半径作为辅助，将正n边形的顶点都放在圆上，并引导学生自主探究构造方法。

4.圆内接正多边形的周长和面积的求解方法：根据内接正多边形的构造，讲解如何求解周长和面积。

三、练习（25分钟）1.向学生出示一道例题，引导学生利用所学知识求解圆内接正多边形的周长和面积，并帮助学生理解解题思路。

2.学生独立完成练习册上的相关习题，检查学生的理解和掌握情况。

3.在学生掌握基本方法后，提出一个实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。

例如：一个均分直径的圆被分成n个扇形区域，每个区域的弧长都是s，求圆内接正多边形的边数和面积。

四、总结（10分钟）1.指导学生回顾本节课的重点内容，强调正n边形和圆的关系以及圆内接正多边形的构造方法。

2.总结圆内接正多边形的周长和面积的求解方法。

五、作业布置（5分钟）1.完成课堂上未能完成的作业。

2.布置一些练习题，要求学生运用所学知识求解圆内接正多边形的周长和面积。

3.8 圆内接正多边形(教案)-北师大版数学九下

第8节圆内接正多边形1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.3.会用尺规作圆的内接正多边形.学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,珍爱生命.【重点】掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.【难点】用尺规作圆内接正多边形.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.2.圆规、直尺.导入一:如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相同之处吗?学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.【问题】它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?[设计意图]利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.导入二:如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?【师生活动】学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.【问题】六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?[设计意图]在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.[过渡语]前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?课件出示:如图所示:【问题】1.你能从这四幅图中找出多边形吗它们都是几边形?2.它们都是什么样的多边形?3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?【学生活动】学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.【教师点评】每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?2.如何作圆内接正n边形?【活动方式】分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.【师生活动】学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边形.请代表发言,说出他们的作法.【教师点评】利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:课件出示:如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.【活动方式】让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.【教师点评】圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.[设计意图]学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.[知识拓展]正n边形的性质:1.正n边形的每个中心角都相等,都等于;2.正n边形的每个外角都相等,都等于;3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.课件出示:如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.〔解析〕在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.解:连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠COD==60°.∴△COD为等边三角形,∴CD=OC=4.在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,∴OG===2.∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.[设计意图]此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余又培养了灵活应用能力.[知识拓展]特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:正多边形图形边长、半径、边心距之比正三角形2∶2∶1正四边形2∶∶1正六边形2∶2∶[过渡语]前面我们已经掌握了利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法,你能用尺规作圆内接正多边形吗?课件出示:【做一做】你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?教师引导学生思考下面的问题:1.通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系.2.你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗?【学生活动】学生首先独立作图,然后小组交流,代表展示.【教师点评】利用尺规作圆内接正多边形的思路还是等分圆.以作圆内接正六边形为例.作法:(1)作☉O的任意一条直径FC.(2)分别以F,C为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于点E,A和D,B.(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.[设计意图]操作性强又富有挑战性的数学活动,有利于激发学生的学习兴趣,掌握尺规作图的【想一想】你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?你是怎么做的?与同伴进行交流.【学生活动】学生自己独立完成.代表说出作法:作一个☉O,取☉O直径为AB,作AB的垂直平分线交☉O于C,D,顺次连接A,C,B,D,四边形ACBD即为☉O的内接正四边形.[设计意图]通过动手操作不但提高了学生的作图能力,还进一步巩固了本节课所学的知识,一举两得.1.圆内接正多边形的概念及相关概念.2.圆内接正多边形的性质.3.圆内接正多边形的尺规作法.1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于()A.30°B.45°C.55°D.60°解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4mm解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3,∴AC=2AM=6(mm).故选C.3.(2014·南京中考)如图所示,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD=.解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD,OB,则∠DOB=×360°=144°,∴∠BAD=∠DOB=72°.故填72°.4.(2014·江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2,则∠BAC的度数为.解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD=BC=×2=,在Rt△OBD中,OB=OA=2,BD=,∴cos∠OBD==,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=∠BOC=60°.故填60°.5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,∴正六边形的边长=2cm;正六边形的周长l=6×2=12(cm);正六边形的面积S=6××2×=6(cm2).8圆内接正多边形1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.2.正n边形的性质:(1)正n边形的每个中心角都相等,都等于;(2)正n边形的每个外角都相等,都等于;(3)正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.一、教材作业【必做题】1.教材第98页随堂练习.2.教材第99页习题3.10第1,2,3题.【选做题】教材第99页习题3.10第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A.6,3B.3,3C.6,3D.6,32.(2014·天津中考)正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是()A. B.2 C.3 D.23.(2014·德阳中考)半径为1的圆内接正三角形的边心距为.4.如图所示,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为.【能力提升】5.(2014·玉林中考)蜂巢的构造非常美丽、科学,如图所示的是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC 是直角三角形的个数有()A.4个B.6个C.8个D.10个6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为.7.如图所示,已知正方形ABCD的边心距OE=cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.8.作已知圆的内接正八边形.9.如图①所示,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②所示),点O为中心.(下列各题结果精确到0.1m)(1)求地基的中心到边缘的距离;(2)已知塔的墙体宽为1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6m的观光通道,那么塑像底座的半径最大是多少?【拓展探究】10.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:(1)作☉O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图(1)所示;(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连接BD,如图(2).若☉O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是()A.BD2=ODB.BD2=ODC.BD2=ODD.BD2=OD【答案与解析】1.B(解析:如图所示,∵正方形的边长为6,∴AB=3,又∵∠AOB=45°,∴OB=3.∴AO==3.故选B.)2.B(解析:如图所示,∵正六边形的边心距为,∴OB=,又AB=OA,OA2=AB2+OB2,∴OA2=+()2,解得OA=2.)3.(解析:如图所示,△ABC是☉O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,又∵OB=1,∴OD=.)4.(解析:连接OE,由正六边形是轴对称图形知:在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.∴GE=,OG=,∴E,∴C.)5.C(解析:如图所示,AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形,AB是斜边时,点C共有2个位置,即有2个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.故选C.)6.(解析:如图所示,连接OB,OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O的半径为.∵△ABC为正三角形,∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,∴BD=OB·sin∠BOD=·sin60°=,∴BC=2BD=,又OD=OB·cos∠BOD=·cos60°=,∴△BOC的面积=·BC·OD=××=,∴△ABC的面积=3S=3×=.)△BOC7.解:如图所示,连接OC,OD,∵圆O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,∴∠ODE=∠ADC=45°,∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=45°,∴OE=DE=,由勾股定理得OD==2,∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·22=4π.答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.8.作法:(1)画任意一条直径;(2)把直径看做一个平角作其角平分线,把平角分成两个直角,再作每个直角的角平分线;(3)将角平分线反向延长在圆上得到八等分点;(4)顺次连接即得正八边形.9.解:(1)作OM⊥AB于点M,连接OA,OB,则OM为边心距,∠AOB是中心角.由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°.又AB=×26=5.2,∴AM=2.6,∠AOM=36°,在Rt△AMO中,边心距OM==≈3.6(m).答:地基的中心到边缘的距离约为3.6m.(2)3.6-1-1.6=1(m).答:塑像底座的半径最大约为1m.10.C(解析:如图所示,连接BM,根据题意得OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分线交OA于点M,∴OM=AM=OA=,∴BM==,∴DM=,∴OD=DM-OM=-=,∴BD2=OD2+OB2===OD.)利用现实生活中的素材,使学生产生一种亲切感,有效激发学生的求知和探索的欲望,取得了极佳的效果.本节课由于知识比较简单,所以前三个探究活动都完全要给学生去处理,老师要相信学生,他们完全有能力完成这些探究任务,事实证明学生完成得非常出色;对于第四个利用尺规作圆内接正多边形的探究,对部分学生来说有一定难度,教师重点在于引导学生弄清楚尺规作图的依据和方法,千万不能越俎代庖,直接告诉学生利用尺规作圆内接正多边形的方法,这样只能解决现实问题,不利于学生后面探究过程的顺利进行.本节课设计的探究活动比较多,并且还拓展了一部分知识,所以时间略显紧张.对于拓展的内容,再讲时可以酌情减少一些内容或放到课下留给学生探究.随堂练习(教材第98页)解:如图所示,△ABC是☉O的内接正三角形,OB=6cm,OD⊥B C.∵正三角形的内心和外心重合,∴BO平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴BD=DC,又∵OB=6cm,∴OD=3cm,BD=3cm,则BC=6cm.习题3.10(教材第99页)1.解:∵剪去三个三角形,得到正六边形,∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形,且被剪的正三角形的边长为6,∴得到正六边形的边长为=2.如图所示,正六边形的边长HK =2,∠HOK ==60°,∵OH =OK ,∴△HOK 是等边三角形,∴OH =HK =2.∵OM ⊥HK ,∴∠HOM =30°,OM =OH ·cos 30°=2×=,S △HOK =HK ·OM =×2×=,∴S 正六边形=6S △HOK =6.∴这个正六边形的面积为6.2.解:边长为6cm ,边心距为3cm ,面积为72cm 2.3.解:各边相等的圆内接四边形是正方形.各角相等的圆内接四边形不一定是正方形,也可能是矩形.4.解:(1)如图(1)所示,连接OB ,过O 作OD ⊥BC 于D ,则∠OBC =30°,BD =OB ·cos 30°=r ,故a =BC =2BD =r.如图(2)所示,连接OB ,OC ,过O 作OE ⊥BC 于E ,则△OBE 是等腰直角三角形,2BE 2=OB 2,即BE =r ,故b =BC =r.如图(3)所示,连接OA ,OB ,过O 作OG ⊥AB ,则△OAB 是等边三角形,AG =OA ·sin 30°=r ,故c =AB =2AG =r.(2)以a ,b ,c 为边可以构成直角三角形.因为(r )2+r 2=3r 2,(r )2=3r 2,所以(r )2+r 2=(r )2.5.可以得到一个“五角星”的图案,图略.1.由于本节课的知识比较简单,所以可以让学生通过自主探究掌握大部分内容,运用观察、猜想的方法可以得出圆内接正多边形的概念.2.利用类比圆内接正五边形的方法可以总结出圆内接正多边形的中心角、边心距等相关概念.3.利用转化的思想把正多边形的问题转化为直角三角形的问题是进行圆内接正多边形的计算的重中之重,是求中心角、边心距、半径的关键所在.4.动手操作、掌握方法则是探究尺规作圆内接正多边形的根本,要重点掌握.有一个亭子,它的地基是半径为8m 的正六边形,求地基的周长和面积.〔解析〕连接OB ,OC 求出∠BOC 的度数,再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长;过O 作△OBC 的高OG ,利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG 的长,利用三角形的面积公式即可解答.解:连接OB ,OC.∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠BOC ==60°,∴△OBC 是等边三角形,∴BC =OB =8m ,∴正六边形ABCDEF 的周长=6×8=48(m ).过O 作OG ⊥BC 于G ,∵△OBC 是等边三角形,OB =8m ,∴∠OBC =60°,∴OG =OB ·sin∠OBC =8×=4(m ),∴S △OBC =BC ·OG =×8×4=16(m 2),∴S 六边形ABCDEF =6S △OBC =6×16=96(m 2).。

圆内接正多边形教学设计

圆内接正多边形导学案授课时间_______________一、导入新课什么是正多边形?正多边形：各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.二、探究新知圆的内接正多边形：把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形圆内接正多边形概念1.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心2.正多边形的半径: 外接圆的半径.3.正多边形的中心角: 正多边形的每一边所对的圆心角.4.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.1完成下面的表格：正多边形的外角=中心角 2.圆内接正多边形的计算问题1 正n 边形的中心角怎么计算问题2 正n 边形的边长a ，半径R ，边心距r 之间有什么关系？问题3 边长a ，边心距r 的正n 边形的面积如何计算？针对训练1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A ．10B ．8C ．6D ．511.22S nar lr ==360n222().2a R r =+4222BC ==，22422 3.r =-=2.如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则∠ADE 的度数是（） A ．60° B．45° C ． 36° D． 30三、典例分析例1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m 2)解：过点O 作OM ⊥BC 于M. 在Rt △OMB 中,OB ＝4,MB ＝利用勾股定理,可得边心距亭子地基的周长l =6×4=24(m) 亭子地基的面积变式1 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,那么BF=______,CF=________变式2 有一个亭子,它的地基是半径为4 m 的正六边形,那么FM=1,若过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长为_____.圆内接正多边形的辅助线 1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.211242341.6(m ).22S l r =⋅=⨯⨯≈例2 用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，⊙O.求作：正方形ABCD内接于⊙O四、当堂检测1若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .2.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．3. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.4.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值板书设计课后反思。

《圆内接正多边形》优秀教案

九年数学导学案
评价点拨
巩固延伸
达标测试1填空：一些特殊正多边形的计算
边数内角中心角半径边心距边长周长面积
3 2
4 1
6 3
2 正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于_____，中心角是______ 3若圆内接正方形的面积为8，则同圆内接正六边形的面积是
内接于⊙O，点E在AD上，则∠BEC= ．
5正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为（）
A6厘米 B12厘米 C24厘米 D122厘米
三、例题展示：
例：如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC,垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距
四、课堂检测：
1．半径为1的圆内接正三角形的边心距为．
22021 四川省巴中市已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为__________．32021 天津市正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）
A3 B.2 C3 D23
42021 山东省滨州市若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A6，32B32，3 C6，3 D62，32
52021 天津市正六边形的边心距与边长之比为（）．
A33
∶B32
∶C D22
∶
O
B C
D
A
E。

2024北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案

2024北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版数学九年级下册第3.8节的内容。

本节主要让学生了解圆内接正多边形的性质，并学会运用这些性质解决一些简单的问题。

教材通过实例引导学生探究圆内接正多边形的性质，进而总结出一般性结论。

本节内容是学生对圆的知识的进一步拓展，对于培养学生的几何思维和解决问题能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、性质和一些基本运算。

但学生对于圆内接正多边形的性质可能较为陌生，需要通过实例和引导逐步理解和掌握。

此外，学生可能对于证明圆内接正多边形性质的过程感到困难，需要教师在教学中给予耐心指导和启发。

三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的性质。

2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。

3.培养学生的几何思维和解决问题能力。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质及其证明。

2.运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.实例引导：通过具体的实例，让学生观察和分析圆内接正多边形的性质，引导学生发现规律。

2.证明讲解：对于圆内接正多边形的性质，引导学生通过画图、推理、证明等方法，理解并掌握性质。

3.练习巩固：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

4.小组合作：鼓励学生分组讨论，共同探究问题，培养学生的合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆内接正多边形的实例和证明过程。

2.练习题：准备一些有关圆内接正多边形的练习题，用于巩固所学知识。

3.几何画板：准备几何画板，方便学生直观地观察和理解圆内接正多边形的性质。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些圆内接正多边形的图片，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？学生可能回答到：它们都是正多边形，它们的顶点都在圆上等。

教师引导学生总结出圆内接正多边形的定义，并提问：你们认为圆内接正多边形有哪些性质呢？呈现（10分钟）教师呈现圆内接正多边形的性质，并通过几何画板展示性质的证明过程。

北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教学设计

北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教学设计一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版数学九年级下册第3.8节的内容。

本节主要让学生了解圆内接正多边形的性质，学会用圆的内接正多边形来解决一些几何问题。

教材通过引入正多边形的概念，引导学生探究圆内接正多边形的性质，进而得出圆内接正多边形与圆的关系。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握圆内接正多边形的性质及其应用。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了正多边形、圆的性质等基础知识。

但学生对圆内接正多边形的认识不足，对其性质和应用的了解有限。

因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立起圆内接正多边形的直观形象，引导学生通过观察、思考、探究，发现并证明圆内接正多边形的性质。

三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的定义及其性质。

2.学会运用圆内接正多边形解决一些几何问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质及其证明。

2.圆内接正多边形在解决几何问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究圆内接正多边形的性质。

2.利用几何画板等软件，为学生提供直观的演示，帮助学生建立圆内接正多边形的直观形象。

3.通过小组讨论、汇报等形式，培养学生的合作交流能力。

4.结合生活中的实例，让学生感受圆内接正多边形在实际问题中的应用。

六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示圆内接正多边形的性质。

2.准备相关的生活实例，用于引导学生运用圆内接正多边形解决实际问题。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的圆内接正多边形实例，如足球、五角星等，引导学生关注圆内接正多边形，激发学生的学习兴趣。

同时，教师提出问题：“你们知道圆内接正多边形有什么性质吗？”让学生思考。

2.呈现（10分钟）教师利用几何画板软件，展示一个圆内接正五边形的动画，让学生观察并思考以下问题：（1）圆内接正五边形的边长和半径之间有什么关系？（2）圆内接正五边形的内角和外角分别是多少？学生在观察和思考的过程中，逐渐发现圆内接正多边形的性质。

【北师大版】初三九年级数学下册《圆内接正多边形》教案

学习目标
1.通过阅读课本能说出圆的内接正多边形的有关概念；
并会应用正多边形的知识进行有关的计算；
2.经历作图，会利用等分圆的方法画圆的内接正方形和
正六边形。
评价设计
随堂练习和课本习题以及能力提高检测本节课目标。
教学环节
教学过程
设计意图
环节1
复习旧知
复习正多边形的定新课。
北师大版九年级数学下册
精编教学设计
圆内接正多边形
章节内容
《圆内接正多边形》
时间
班级
九年级
课程标准
了解正多边形与圆的关系；
作圆的内接正方形和正六边形。
教材内容分析
本课内容是北师大版数学教科书九年级下册第三章第八节《圆内接正多边形》，是学生掌握了正多边形的相关知识以及圆的性质。这些知识都将为本节的学习起着重要的铺垫作用。本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质的基础，在教材中有着承上启下的重要地位。本节课从定性、定量的两个角度去讨论，挖掘蕴含的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程。利用正多边形和圆的关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。
环节2
自学时光
学生自主阅读课本总结圆内接多边形的定义及相关概念。
概念性知识让学生自主完成，培养学生的自学能力。
环节3
例题讲解
本环节一是检验学生学习状况，二是让学生产生一种利用新知解决问题的成就感，提升学生学习积极性.
环节4
探索新知
圆内接正六边形的画法。
通过教师讲解，学生掌握画正六边形的方法。
环节5
课堂小结
本节课你学会了什么？
学生谈论总结，回顾本节课的内容。

北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计

北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版九年级数学下册第3.8节的内容，本节主要让学生了解圆内接正多边形的概念及其性质，学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。

教材通过引导学生在探究圆内接正多边形的过程中，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了多边形的性质，对圆的相关知识也有所了解。

但学生对圆内接正多边形的概念和性质认识尚浅，需要通过实例和证明来加深理解。

此外，学生可能对证明圆内接正多边形性质的方法感到困惑，需要教师引导和启发。

三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的概念及其性质。

2.学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

4.能够运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的概念及其性质。

2.如何证明圆内接正多边形的性质。

3.圆内接正多边形性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、启发引导学生思考和探究圆内接正多边形的性质。

2.示例法：教师通过展示实例，让学生理解圆内接正多边形的性质。

3.证明法：教师引导学生运用已学知识证明圆内接正多边形的性质。

4.练习法：学生通过做练习题，巩固对圆内接正多边形性质的理解。

六. 教学准备1.教学PPT：包含圆内接正多边形的概念、性质、证明方法及实际应用。

2.练习题：针对圆内接正多边形性质的习题，包括选择题、填空题和解答题。

3.教学黑板：用于板书关键点和证明过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。

例如：“我们已经学习了多边形的哪些性质？这些性质如何应用到实际问题中？”2.呈现（10分钟）教师利用PPT呈现圆内接正多边形的概念和性质，让学生初步了解。

同时，通过示例法，展示圆内接正多边形的性质在实际问题中的应用。

北师大版数学九年级下册《8 圆内接正多边形》教案

北师大版数学九年级下册《8 圆内接正多边形》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册第8节《圆内接正多边形》主要介绍了圆内接正多边形的性质及其判定方法。

通过本节课的学习，学生能够了解圆内接正多边形的相关概念，掌握其性质和判定方法，并能够运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似多边形的性质、圆的性质等相关知识。

但圆内接正多边形这一概念较为抽象，性质和判定方法也较为复杂，因此学生可能存在一定的理解难度。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握圆内接正多边形的性质及其判定方法，能够运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、猜想、证明等方法，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质及其判定方法。

2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆内接正多边形的性质。

2.利用几何画板等软件，直观展示圆内接正多边形的性质，帮助学生理解。

3.通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关多媒体教学素材，如几何画板软件、PPT等。

2.准备圆内接正多边形的实例，用于讲解和演示。

七. 教学过程导入（5分钟）1.利用PPT展示一些常见的圆内接正多边形的图片，如正五边形、正六边形等，引导学生关注这些图形。

2.提问：你们观察到这些图形有什么特殊的性质吗？呈现（10分钟）1.介绍圆内接正多边形的定义：在同一圆中，所有边都相等，所有角都相等的多边形。

2.展示圆内接正多边形的性质，如边长相等、角相等、对角线互相垂直平分等。

3.引导学生猜想这些性质的证明方法。

操练（10分钟）1.利用几何画板软件，让学生亲自操作，验证圆内接正多边形的性质。

2.分组讨论，每组选取一个性质进行证明，并展示给其他同学。

巩固（10分钟）1.给出一些圆内接正多边形的实例，让学生运用所学知识判断其类型。

北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教案2

北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教案2一. 教材分析北师大版九年级数学下册第3.8节《圆内接正多边形》是圆内接正多边形的相关知识，主要介绍圆内接正多边形的性质及判定方法。

通过学习，使学生了解圆内接正多边形与圆的关系，能运用其性质解决一些简单问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了多边形的内角与外角的知识，对正多边形的性质也有了一定的了解。

但学生对圆内接正多边形的概念及性质可能较难理解，需要通过实例和图形来帮助学生直观地感受和理解。

三. 教学目标1.理解圆内接正多边形的概念，掌握其性质。

2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的概念及性质。

2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、图形演示法、合作交流法等，引导学生观察、思考、推理，培养学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.准备相关多媒体教学课件和教学素材。

2.准备圆内接正多边形的图形示例。

3.准备练习题和拓展题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习多边形的内角与外角的知识，引导学生回顾正多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）（1）展示圆内接正多边形的图形示例，引导学生观察并思考：圆内接正多边形有什么特点？（2）引导学生总结圆内接正多边形的性质，并用文字和符号表示。

3.操练（10分钟）（1）让学生根据圆内接正多边形的性质，解决一些简单问题。

如：已知一个圆内接正六边形，求其内角度数。

（2）引导学生运用圆内接正多边形的性质，证明一个结论。

如：圆内接正多边形的对角线互相垂直。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，检验对圆内接正多边形知识的掌握程度。

同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何判断一个多边形是否为圆内接正多边形？让学生通过合作交流，探讨判断方法。

圆内接正多边形教案北师大

圆内接正多边形教案北师大
一、教学目标
1.理解圆内接正多边形的概念。

2.掌握圆内接正多边形的边心距、半径、边长和中心角之间的
关系。

3.能够利用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

二、教学内容
1.圆内接正多边形的定义和性质
2.圆内接正多边形的边心距、半径、边长和中心角之间的关系
3.圆内接正多边形的面积和周长计算
4.圆内接正多边形的作图方法
三、教学重点与难点
重点：理解圆内接正多边形的概念，掌握其性质和计算方法。

难点：理解圆内接正多边形的边心距、半径、边长和中心角之间的关系，能够灵活运用这些性质解决实际问题。

四、教学步骤
1.导入新课：通过实例引入圆内接正多边形的概念，引导学生
了解其基本特征和应用。

2.知识讲解：详细讲解圆内接正多边形的性质和计算方法，包
括边心距、半径、边长和中心角之间的关系，以及面积和周长的计算。

3.课堂互动：提出问题，引导学生思考和讨论，加深对圆内接
正多边形性质的理解。

4.习题布置：布置相关习题，让学生练习和巩固所学知识。

5.作业点评：对作业进行批改和点评，指出学生的不足之处，
提出改进意见。

6.总结反思：对本节课所学内容进行总结，反思教学中存在的
问题，为今后的教学提供改进方向。

五、教学方法与手段
采用多媒体教学和传统教学相结合的方式，利用PPT展示教学内容，结合板书进行讲解，同时引导学生进行讨论和实践操作。

通过多媒体教学可以更加生动形象地展示圆内接正多边形的美妙性质，提高学生的学习兴趣和理解能力。

传统教学则可以更好地引导学生思考和探究，培养学生的思维能力和实践能力。

3.8圆内接正多边形(教案)

此外，学生小组讨论的环节也暴露出一些问题。部分学生在讨论中缺乏主动性，依赖其他同学的想法。为了解决这个问题，我将在接下来的教学中，注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们勇于发表自己的观点，并学会倾听和尊重他人的意见。
最后，总结回顾环节，我尝试让学生们自主总结所学知识点，但部分学生总结得不够全面。针对这个问题，我打算在今后的课堂中，加强对学生的引导，帮助他们梳理知识结构，提高总结能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆内接正多边形的性质和计算方法这两个重点。对于难点部分，如三角函数的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆内接正多边形相关的实际问题，如如何计算给定半径的圆内接正六边形的面积。
3.8圆内接正多边形（教案）
一、教学内容
本节课选自数学教材八年级下册第三章第八节“圆内接正多边形”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.圆内接正多边形的定义：让学生了解圆内接正多边形的含义，即在同一个圆中，所有顶点都在圆上的正多边形。
2.圆内接正多边形的性质：引导学生探究圆内接正多边形的性质，如圆心角、弧度、弦长等的关系，并掌握以下定理：
4.数学运算：训练学生熟练运用三角函数、勾股定理等基本数学知识进行圆内接正多边形相关计算，提高运算速度和准确性。
5.数据分析：培养学生对圆内接正多边形相关数据进行收集、处理和分析的能力，从而发现规律，解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）圆内接正多边形的性质：理解并掌握圆内接正多边形的每个内角相等、每个外角相等、每条弦长相等的基本性质。
（3）圆内接正多边形面积的计算：学生在计算面积时可能对公式的运用不够熟练。

九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形教案2 (新版)北师大版

课题：3.8圆内接正多边形教学目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系.学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形.教法与学学指导：本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．课前准备：教师：多媒体课件、三角板.学生：圆规，铅笔、直尺、练习本.教学过程：一、创设情境，导入新课观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出的问题．【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．二、探究新知，尝试发现活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形.（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二：分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢?发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢?师生共同归纳：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.活动三：探究等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程：如图，∵AB BCCDDE EA====∴AB BC CD DE EA====3BAD CAE AB==∴C D∠=∠同理可证：A B C D E∠=∠=∠=∠=∠∴五边形ABCDE是正五边形．∵A、B、C、D、E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行证明，方法不限.说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转360n︒，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．【处理方式】. A多边形的性质、相关概念.活动四：例题探究例．如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是OA=4，OM⊥AB垂于M，求这个正六边形的中心角，边长和边心距．分析：要求正六边形的边长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的边长为4．在Rt△OAM中，OA=4，AM=12AB=2利用勾股定理，可得边心距OM=22AMOA-=2224-=32【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形德性质、解决问题，进一步体会图形的特点及在生活中的应用.活动五：做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分．在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．师生归纳出等分圆周的方法：1.用量角器等分圆：依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．2.用尺规等分圆.思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.活动六：方案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃.（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨论、设计自己的作品.教师指导小组讨论，适时进行点拨.【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法，以体现学生的创造性．此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的.四、课堂小结：谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?【处理方式】学生小组内畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价.【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.五、达标检测，反馈提高1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A B,3:2:1DC,1:2:33．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36° B．60° C．72° D．108°4．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（） A．18° B．36° C．72° D．144°(1) (2)5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．6．有一个边长为3cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径为 .7．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．8．如图所示，已知⊙O的周长等于6 cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．目的是加强学生对圆内接正多边形的理解，同时也锻炼学生的发散思维．六.分层作业，自由拓展（1）必做题：课本99页习题3.10 第1题、2题、3题..（2）选做题：试一试如图⑴⑵⑶⑷，M，N分别为⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连结OM，ON，⑴求图⑴中∠MON的度数⑵图⑵中∠MON的度数是 .⑶请探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系为 .⑴⑵⑶⑷【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．板书设计：。

2022年北师大版数学九下《圆内接正多边形1》教案 (2)

3.8 圆内接正多边形1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点)3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)一、情境导入这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？二、合作探究探究点：圆内接正多边形【类型一】圆内接正多边形的相关计算已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．解析：根据题意画出图形，可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，继而求得正六边形的周长和面积．解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝16×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝3，sin∠OBC＝OHOB＝32，∴OB＝BC＝2.∴内角为180°×（6－2）6＝120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×12×2× 3＝6 3.方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题【类型二】圆内接正多边形的画法如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；(2)在⊙O上用圆规截取AC︵＝AB︵；(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD；(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径AE；(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合如图，已知正三角形的边长为2a.(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？(4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．解：(1)设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D，连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝DC＝a.则S圆环＝π·OB2－π·OD2＝πOB2－OD2＝π·BD2＝πa2；(2)只需测出弦BC(或AC，AB)的长；(3)结果一样，即S圆环＝πa2；(4)S圆环＝πa2.方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型四】圆内接正多边形的实际运用如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O m)．(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是360°10＝36°，，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1mm的观光通道，进行计算．解：(1)作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴∠AOM＝36°.∵AB＝15×26，∴AM Rt△AMO中，边心距OM＝AMtan36°＝错误!≈(m)．所以，m；(2)3.6－1－1.6＝1(m)．所以，塑像底座的半径最大约为1m.方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．三、板书设计圆内接正多边形1．正多边形的有关概念2．正多边形的画法3．正多边形的有关计算本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.第1课时图形面积的最大值1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4 D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据AB为x m，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．解：(1)∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)；(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S 有最大值为36；(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x ≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6.所以，当x ＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大面积是( )A ．1350B ．1300C ．1250D ．1200 解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，四边形EFGH 的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 12(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m是大于0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3)若y ＝12m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－xm ，解得y ＝8x －x 2m；(2)由(1)得y ＝8x －x 2m ，将m ＝8代入，得y ＝－18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－18(x －4)2＋2，所以当x ＝4时，y 取得最大值为2； (3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD ＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2m ，得x ＝6，或xx ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】图形运动过程中的最大面积问题如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值； (3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．解：(1)如图①，作PE ⊥QR ，E 为垂足．∵PQ ＝PR ，∴QE ＝RE ＝12QR ＝4cm.在Rt △PEQ 中，PE ＝52－42＝3(cm)．当t ＝3秒时，QC ＝3cm.设PQ 与DC 交于点G .∵PE ∥DC ，∴△QCG ∽△QEP .∴SS △QEP ＝(34)2.∵S △QEP ＝12×4×3＝6，∴S ＝(34)2×6＝278(cm 2)；(2)如图②，当t ＝5秒时，CR ＝3cm.设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG ＝94，∴S △RCG ＝12×3×94＝278(cm 2)．又∵S △PQR ＝12×8×3＝12(cm 2)，∴S ＝S △PQR －S △RCG ＝12－278＝698(cm 2)；图③(3)如图③，当5秒≤t ≤8秒时，QB ＝t －5，RC ＝8－t .设PQ 交AB 于点H ，PR 交CD 于点G .由△QBH ∽△QEP ，EQ ＝4，∴BQ ∶EQ ＝(t －5)∶4，∴S △BQH ∶S △PEQ ＝(t －5)2∶42，又S △PEQ ＝6，∴S △QBH ＝38(t －5)2.由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG ＝38(8－t )2，∴S ＝12－38(t －5)2－38(8－t )2＝－34t 2＋394t －1718.当t ＝－3942×（－34）＝132时，S 最大，S 的最大值＝4ac －b 24a ＝16516(cm 2)．方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．探究点三：利用二次函数解决拱桥问题一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m 、高3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解析：(1)根据题目可知A ，B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F 点的坐标为(5，y F )，求出y F ，即可求出支柱EF 的长度；(3)设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．作GH ⊥AB 交抛物线于点H ，求出点H 的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．解：(1)根据题目条件，A ，B ，C 的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，将B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝100a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－350，c ＝6.所以抛物线的解析式为y ＝－350x 2＋6；(2)可设F 点的坐标为(5，y F )，于是y F ＝－350×52＋6＝4.5，从而支柱EF 的长度是10－4.5＝5.5(米)；(3)如图②，设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7，0)．过G 点作GH ⊥AB 交抛物线于H 点，则y H ＝－350×72，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值1．求函数的最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值 3．利用二次函数解决拱桥问题由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.。

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