2014年高考分类题库考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在生活中的优化问题举例
1.4第一课时 生活中的优化问题举例一、课前准备 1．课时目标（1）了解函数极值和最值的基本应用. （2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域.(2) 求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0,求定义域内的根，确定 . (3) 比较函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. (4) 还原到原 中作答. 三、学习引领1. 常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决优化问题的基本程序是：读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）3. 需要注意的几个问题(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性. 四、典例导析题型一 几何图形中的优化问题例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =FB =x cm（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.解：设该盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得.300),30(22260,2<<-=-==x x xh x a（1）由题意包装盒侧面积,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值.（2）由题意知,)20(26),300(),30(22322x x V x x x h a V -='<<-==.由0='V 得0=x （舍）或20=x .由于当)20,0(∈x 时，0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当,所以当20=x 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时12h a =该盒的高与底面边长的比值为1.2规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.变式训练1今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？题型二 费用最省问题例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且r l 2≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为)3(,>c c .设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.解:（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-,所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2160833r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π,所以y =21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2l).（Ⅱ）因为'y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:r >令'0y <得:0r <<所以r =, 该容器的建造费用最小. 规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练2 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省? 题型三 利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中63<<x ，a 为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值;（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路导析:问题（I ）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求a 的值.问题（II ）,用x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.解: （I ）因为当5=x 时,11=y ,代入210(6)3a y x x =+--得,2,11102==+a a. （II ）由（I ）知,该商品每日的销售量为2)6(1032-+-=x x y ,所以商场每日销售该商品所获得的利润为22)6)(3(102])6(1032)[3()(--+=-+--=x x x x x x f )3612)(3(1022+--+=x x x ,)63(<<x .所以,)6)(4(30)6)(3(20)6(10)(2--=--+-='x x x x x x f .于是,当x 变化时,)(),(x f x f '的变化情况如下表:由上表可知,4=x 是函数)(x f 在)6,3(上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当4=x 时,函数)(x f 取得最大值,最大值为42.答:当销售价格为4元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律总结: 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系，t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）.（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？五、随堂练习1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积为最大,则高为( )cm. A.33B.3310C.3316D.3320 2. 以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) . A.10 B.15 C.25 D.503. 若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 ( ) .A.22r πB.2r πC.24r π D.221r π 4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长和宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为 .5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升),关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y ，已知甲乙两地相距100千米.当汽车以 (千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？ 六、课后作业1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D.32V2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）A. b a 2B.b a 22C. a b 2D. ab 223. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是π27,且用料最省则圆柱的底面半径为 .4. 去年初,某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p 元，则销售量q (件)与零售价p (元)有如下关系21708300p p q --=．那么该商品零售价为 元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)5. 现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为x 和y 时，得到的回报是3231y x P =．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．1.4第一课时 生活中的优化问题答案及解析一、2. 基础预探（1）数学模型；函数关系（2）极值点 （3）区间短点 （4）实际问题 三、变式练习1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为2(0)2a a x x -<<，高为tan 303h x x =⋅︒=设：容积为V ，则21(2)sin 602V sh a x ==- 2324a x ax x =-+.函数求导得:22324a V x ax '=-+,令0V '=得,62a a x x ==（舍去）,当06a x <<时，0V '>；当6a x >时，0V '<,所以当a x b =时，333334216362421654a a a a a V =-+==最大. 答：x 为6a 时，盒子的容积最大为354a2.解 ： 设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2220+x ,|CD|=x -100.如果公路运费为a 元/km,那么铁路运费为53a元/km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y 为:=y )100(53x a -+a4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得:y '=53a -+4002+x ax =4005)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2x 400+),解之得1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一极小值点,所以1x =15是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距15km 处时,运费最省.3. 解：（I ）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为： )0(2000≥-=t st t w因为ss t s st t w 221000)1000(2000+--=-=， 所以当21000()t s =时，w 取得最大值. 所以乙方取得最大利润的年产量21000()t s=吨 . （II ）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-，将21000()t s=代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式：234100021000v s s ⨯=-， 又23232551000810001000(8000)s v s s s ⨯-'=-+=，令'0v =得20s =,当20s <时，'0v >；当20s >时，'0v <.所以20s =时，v 取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是20元. 四、随堂练习1. 答案：D. 解析：设圆锥的高为h ,则体积)200(,)400(312<<-=h h h V π, 034002=+-='ππh V ,解得3320=h ,由导数的意义,当3320=h 时,V 取极大值且唯一,故为最大值.故选D.2. 答案:D.解析:设圆的内接矩形的一边长为x ,则另一边长为2100x -,内接矩形的面积2100x x S -=,24222100)100(x x x x S +-=-=,02004)(32=+-='x x S ,解得0=x (舍去),50=x ,根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50.3. 答案：A.解析:设内接圆柱的底面半径为)0(,r x x <<，则圆柱的侧面积224x r x S -=π，)(1622222x r x S -=π，求导，判断极大值点r x 22=,其侧面积最大为22r π. 4. 答案:300m 3解：设长为xm ，则宽为(20)x m -，仓库的容积为V,则2(20)33+60V x x x x =-⋅=-.660V x '=-+，令0V '=得10x =,当010x <<时，0V '>；当10x >时，0V '<,∴10x =时，3300()V m =最大.5.答案:80.解析;由题意可知,以速度x (千米/小时)从甲地到乙地耗油量为:=⋅=x y W 100415800128012-+x x ,08006402=-='xx W ,解得80=x ,且为唯一极小值点,所以80=x 为最小值点.6. 解:设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3Q kx =，由3610k =⨯可得3500k =，∴33500Q x =，∴总费用3231396(96)500500y x x x x =+⋅=+，2696500y x x'=-，令0y '=得20x =，当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增，∴当20x =时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小． 五、课后作业1. 答案: C.解析:设底面等边三角形的边长为0,>x x ,直棱柱的高为h ,则h x V ⋅=432,所以234x Vh =.表面积x Vx x xV x S 3423343432222+=⋅⋅+⋅=,03432=-='x V x S ,解得34V x =,S 取极小值且唯一,即最小,故选C.2. 答案 C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为h r ,,则22,rVh h r V ππ==,总造价r bV r a r V r b r a y 2222222+=⋅+=ππππ,0242=-='r bV r a y π,得b r Var ⋅=22π即ab h r 2=时取极大值,即最大值.故选C. 3. 答案：3.解析：设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则2227,27rh h r ==ππ.无盖圆柱形水桶表面积r r r r r S ππππ54272222+=⋅+=,05422=-='rr S ππ,解得:3=r ,为唯一极小值点,即最小值点.4 .答案:30.解析:设毛利润y ,则q q p y 20-⋅==)20(-p q =)20)(1708300(2---p p p=1660001170015033-+--p p p ,所以01170030032=+--=p p y ,解得30=p或130-=p （舍去）. 根据导数的意义知，当30=p 时,y 最大.5. 解：由于10000=+y x ，所以100000,)10000(32313231≤≤-==y y y y x P ．考虑23)10000(y y P -=，由0320000)(23=-='y y P 得320000,021==y y ， 由于当320000<y 时，0)(3>'P ；当320000>y 时，0)(3<'P ， 所以3200002=y 是3P 的极大值点，从而也是P 的极大值点．故当投到产品开发的资金为320000元时，得到的回报最大.6． 解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+= 设(,)C x y 则y =（1） 1(22)2(2S x r r x =+⋅=+ 定义域为 {}0x x r <<．（2） 由（1）知2(S r x =+=.设222g(x)=(r+x)(r -x ) 则22()(2)g (x)x r x r '=-+-. 由0g (x)'=得2rx =当02r x <<0g (x)'> 当2r x r << 0g (x)'<,∴当2rx =时g(x)取最大值,S 取最大值,．。
【备考】(新课标)高考数学 考点汇总 考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(含解析)
考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2014· 湖南高考文科·Ｔ9）若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln x xe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <【解题提示】构造新函数，利用函数的单调性求解。
同上 构造新函数()(),='=x g x e x g x 所以()x g 在（0,12.（2014·辽宁高考文科·Ｔ12）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ11）相同 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是[][][]9()5,3()6,()6,2()4,38A B C D ⎡⎤--------⎢⎥⎣⎦【解题提示】 采用分离常数法，利用导数求函数的最值， 【解析】选Ｃ.当(]0,1x ∈时，不等式232343430x x ax x x a x ---++≥⇒≥(]0,1x ∈恒成立．令(]2343(),0,1x x g x x x --=∈，则(]2489(),0,1x x g x x x -++'=∈设2()89h x x x =-++，()h x 在(]0,1上为增函数，()(0)90h x h >=> 所以(]24890,1,()0x x x g x x -++'∈=>，则(]2343()0,1x x g x x --=在上为增函数， (]2343(),0,1x x g x x x --=∈的最大值max ()=g g x （1）=-6；从而6a ≥-； 当=0x 时，a R ∈；当[)2,0x ∈-时，不等式232343430x x ax x x a x ---++≥⇒≤[)2,0x ∈-恒成立．[)2489()0102,0x x g x x x x ⎧-++'=>⎪⇒-<<⎨⎪∈-⎩，[)2489()0212,0x x g x x x x ⎧-++'=<⎪⇒-<<-⎨⎪∈-⎩所以[)2343()2,1x x g x x --=--在上为减函数，在(1,0)-上为增函数，故min ()=g g x （-1）=-2，则2a ≤-．综上所述，62a -≤≤-．3.(2014·陕西高考文科·T10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 ()A.y=错误！未找到引用源。
高考分类题库考点导数在研究报告函数中应用与生活中优化问题举例
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考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. <2018·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x>< ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
【解读】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=，x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢=?, 故()f x 在(0,+∞>上单调递增,既无极大值也无极小值.2. <2018·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与<2018·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是< ）A.]0,(-∞B.]1,(-∞C.]1,2[-D.]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x>|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解读】选D.画出函数y=|f(x>|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. <2018·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2018·新课标全国Ⅱ高考理科·T10>相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是< ） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解读】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x>的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0>=0,A 正确.B 项,假设函数f(x>=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n>,按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m>-n 是奇函数,所以f(x+m>+f(-x+m>-2n=0,化简得(3m+a>x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x>=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x>的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x>有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x>在区间(-∞,x 0>上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.<2018·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( >A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x>=x 1或f(x>=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解读】选A 。
高中数学高考导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢= , 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同 设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33aa f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1,⎧-<<⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.【解析】选A.设P 1()11x ,lnx ,P 2()22x ,lnx - (不妨设x 1>1,0<x 2<1),则由导数的几何意义易得切线l 1,l 2的斜率分别为k 1=11x ,k 2=-21x .由已知得k 1k 2=-1,所以x 1x 2=1,所以x 2=11x ,所以切线l 1的方程为y-lnx 1=()111x x x -,切线l 2的方程为y+lnx 2=-()221x x x -.分别令x=0得A ()10,1lnx -+,B ()20,1lnx -.又l 1与l 2的交点为P 211122112x 1x ,lnx 1x 1x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭.因为x 1>1,所以S △PAB =211A B P 22112x 1x 1y y x 121x 1x +-⋅=<=++,所以0<S △PAB <1.二、解答题2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T21)已知函数f (x )=(x-2)·e x +a (x-1)2. (1)讨论f (x )的单调性.(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.【解题指南】(1)求导,根据导函数的符号确定,主要根据导函数零点来分类.(2)借助第一问的叙述,通过分类讨论确定a 的取值范围. 【解析】(1)f'(x )=(x-1)e x +2a (x-1)=(x-1)(e x +2a ).(ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (ⅱ)设a<0,由f'(x)=0,解得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f'(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a))上单调递减.(2)(ⅰ)设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a23b b2⎛⎫-⎪⎝⎭>0,所以f(x)有两个零点.(ⅱ)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点. (ⅲ)设a<0,若a≥-e2,则由(1)知,f (x )在(1,+∞)上单调递增.又当x ≤1时,f (x )<0,故f (x )不存在两个零点; 若a<-e 2,则由(1)知,f (x )在(1,ln (-2a ))上单调递减, 在(ln (-2a ),+∞)上单调递增,又当x ≤1时,f (x )<0,故f (x )不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞).3.(2016·全国卷Ⅱ理科·T21)(1)讨论函数f (x )=x 2x 2-+ e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x +x+2>0.(2)证明:当a ∈[0,1)时,函数g (x )=x 2e ax ax-- (x>0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a ),求函数h (a )的值域.【解题指南】(1)先求函数f (x )的导数,判断f'(x )的正负,确定函数的单调性,函数的解析式和不等式的左侧有联系,利用这种关联进行证明.(2)求g'(x )并变形,寻找和f (x )的联系,利用(1)进行求解.【解析】(1)f (x )=x 2x 2-+ e x , f'(x )=e x 2x22x 24x e =x 2(x 2)(x 2)⎡⎤-+⎢⎥+++⎣⎦,因为当x ∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)时,f'(x )>0, 所以f (x )在(-∞,-2)和(-2,+∞)上单调递增, 所以x>0时,x 2x 2-+ e x >f (0)=-1, 所以(x-2)e x +x+2>0.(2)g'(x )=()()x2x 4e a x 2x e ax ax ----=()x x 4x xe 2e ax 2ax -++=()x3x 2x 2e a x 2x ⎛⎫-+⋅+⎪+⎝⎭,a ∈[0,1).由(1)知,当x>0时,f (x )=x 2x 2-+·e x 的值域为(-1,+∞),只有一解,使得x 2x 2-+·e t =-a ,t ∈(0,2]. 当x ∈(0,t )时g'(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(t ,+∞)时g'(x )>0,g (x )单调递增. h (a )=()()t tt t22t 2e t 1?e e a t 1e t 2==t 2tt -++-+++, 记k (t )=te t 2+,在t ∈(0,2]时,k'(t )=()t 2e t 1(t 2)++ >0,所以k (t )单调递增, 所以h (a )=k (t )∈21e ,24⎛⎤ ⎥⎝⎦.4.(2016·全国卷Ⅱ文科·T20)已知函数f (x )=(x+1)lnx-a (x-1). (1)当a=4时,求曲线y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程. (2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0,求a 的取值范围.【解题指南】(1)把a=4代入函数解析式,利用导数的几何意义求切线方程. (2)对不等式f (x )>0进行转化,构造函数,利用导数进行分析求解. 【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).当a=4时,f (x )=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x )=lnx+1x-3,f'(1)=-2,f (1)=0, 所以曲线y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x+y-2=0. (2)当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0等价于lnx-()a x 1x 1-+>0,设g (x )=lnx-()a x 1x 1-+,则g'(x )=()222x 21a x 112a-=x (x 1)x (x 1)+-+++,g (1)=0.①当a ≤2时,x ∈(1,+∞),x 2+2(1-a )x+1≥x 2-2x+1>0,故g'(x )>0, g (x )在(1,+∞)上单调递增,因此g (x )>0.②当a>2时,令g'(x )=0,得x 1=a-1-2(a 1)1--,x 2=a-1+2(a 1)1--,由x 2>1和x 1x 2=1,得x 1<1,故当x ∈(1,x 2)时,g'(x )<0,g (x )在(1,x 2)上单调递减,因此g (x )<0,不符合题意,综上,a 的取值范围是(-∞,2].5.(2016·四川高考文科·T21)设函数f (x )=ax 2-a-lnx ,g (x )=x 1e x e-,其中a ∈R,e=2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性. (2)证明:当x>1时,g (x )>0.(3)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立.【解题指南】(1)对f (x )求导,对a 进行讨论,判断函数的单调性.(2)利用导数判断函数的单调性,判断最值,证明结论.(3)构造函数h (x )=f (x )-g ()()x x 1≥,利用导数判断函数h (x )的单调性,求出函数h (x )的最值,从而证明结论.【解析】(1)由题意得f'(x )=2ax-()212ax 1 x 0x x-=>,① a ≤0时,f''(x )<0,f'(x )在()0,∞+内单调递减; ② a>0时,由f''(x )=0,得x=12a,当x ∈10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭时,f''(x )<0,此时f'(x )单调递减;当x ∈1,∞2a ⎛⎫+⎪⎝⎭时,f''(x )>0,此时f'(x )单调递增.(2)令s (x )=e x-1-x ,则s'(x )=e x-1-1.当x>1时,s'(x )>0,所以e x-1>x ,从而g (x )=x-11exe - >0. (3)由(2)知,当x>1时,g (x )>0.当a ≤0,x>1时,f (x )=a (x 2-1)-lnx<0.故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时,12a>1.由(1)有f 12a ⎛⎫<f (1)=0,而g 12a ⎛⎫>0,所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a ≥12时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).当x>1时,h'(x )=2ax-321222211111x 2x 1x 2x 12? x x x x x x x x ax e x --+-+----+-=>>0>.因此h (x )在区间(1,+∞)上单调递增.又因为h (1)=0,所以当x>1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立. 综上,a ∈1,∞2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.。
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考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)<0,构造函数g(x)=f(x)x ,对函数g(x)=f(x)x求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】选A.记函数()()f xg xx=，则''2()()()xf x f xg xx-=，因为当0x>时，'()()0xf x f x-<，故当0x>时，'()0g x<所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。
高考数学 分类题库考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例()理 新人教版(1)
考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x ，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得极大值，由 ,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则 f （x ）＞2x+4的解集为（ ）（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解． 【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以f (x)2x 4>+可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nm f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（ ）（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值.【精讲精析】选B.函数()()1nm f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m +上大于0，在)1,(n m m+上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值时x 的值. 【精讲精析】由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：∴当2=x 时，y 取得极小值.【答案】25．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是 【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可．【精讲精析】)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-xe 0>， ∴2ln >x ．由)(xf '0<得，2ln <x ． ∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e ，∴22ln 2-≤a ． 【答案】]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值. 【精讲精析】 设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 11()2t e e=+.【答案】11()2e e+三、解答题7．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设2()1xe f x ax =+，其中a 为正实数（1）当a 43=时，求()f x 的极值点； （2）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.【思路点拨】（1）直接利用导数公式求导，求极值. （2）求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对)(x f 求导得，.)1(21)(222ax axax ex f x+-+=' （1）当时，34=a 令0)(='x f ，则03842=+-x x .解得21,2321==x x ， 列表得所以，21=x 是极小值点，22=x 是极大值点. （2）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合222)1(21)(ax axax e x f x+-+='与条件a>0,知0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此.0)1(4442≤-=-=∆a a a a 并结合a>0,知10≤<a .8.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值.（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得a 的值.（2）利润为()f x =(每千克产品的售价-每千克产品的成本) ⨯销售量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】（1）因为5x =时，11y =，所以1011,2a+=所以2a =. （2）由（1）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+--所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),3 6.3f x x x x x x x =-+-=+--<<- 从而2()10[(6)+2(3)(6)]30(4)(6).f x x x x x x '=---=--于是，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表，由上表可得，4x =是函数()f x 在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.9.（2011·福建卷文科·Ｔ22）已知a ，b 为常数，且a≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （1）求实数b 的值.（2）求函数f （x ）的单调区间.x()3,44 (4,6)()f x ' +0 -()f x单调递增极大值42单调递减（3）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t 与曲线y=f （x ）（x∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由. 【思路点拨】(1) ()2f e b =⇒的值;(2)对函数()f x 求导得导函数()f x '，由导函数()f x '得单调区间，必要时分类讨论；（3）列表判断()y f x =1([,])∈x e e的单调性和极值、最值情况，再结合()y f x =的草图即可探究出是否存在满足题意的m M 和.【精讲精析】(1)由()2,f e =得 2.b =（2）由（1）可得()2ln ,f x ax ax x =-++从而()ln ,f x a x '= 因为0,a ≠故：① 当0a >时，由()f x '0>得1x >；由()0f x '<得01x <<； ② 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >.综上，当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为()1,+∞. 当a ＞0时，函数f （x ）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0,1）. (3)当1a =时，()2ln ,()ln .f x x x x f x x '=-++=由（2）可得，当x 在区间1[,]e e上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x1e 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1 ()1,ee()f x '-+()f x 22e- 单调递减 极小值1 单调递增 2又222e -<，所以函数()f x 1(,)x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2. 据此可得，若12m M =⎧⎨=⎩则对每一个[],,t m M ∈直线y t =与曲线()y f x =1,x e e ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都有公共点；并且对每一个(),t m ∈-∞(),+∞U M ，直线y t =与曲线()y f x =1,x e e⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都没有公共点.综上，当1a =时，存在最小的实数1m =，最大的实数2M =，使得对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x = 1(,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)都有公共点.10．（2011·江苏高考·Ｔ17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设)(cm x FB AE ==.（1）某广告商要求包装盒的侧面积S )(2cm 最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V )(3cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【思路点拨】本题主要考查的是从实际生活中提取数学模型，然后利用数学知识进行解决，所以解决本题的关键是正确地列出侧面积和容积的表达式，然后根据二次函数的最值和导数法求最值求解. 【精讲精析】设包装盒的高为)(cm h ，底面边长为)(cm a 由已知得300),30(22260,2<<-=-==x x xh x a .（1）1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S ，所以当15=x 时，S 取得最大值.（2）232V a h 22(x 30x ),V 62x(20x)'==-+=-.由0='V 得，0=x (舍)或20=x .当)20,0(∈x 时0>'V ；当)30,20(∈X 时0<'V ，所以当20=x 时取得极大值，也是最大值,此时21=a h ，即包装盒的高与底面边长的比值为21. 11.（2011·江苏高考·Ｔ19）已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设a 0<且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值. 【思路点拨】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，可以转化为导数之积恒为正来处理.【精讲精析】解法一：b x x g a x x f +='+='2)(,3)(2.（1）由题意得0)()(≥''x g x f ，在[)+∞-,1上恒成立.因为0>a ，故032>+a x ，进而2x b 0+≥，即x b 2-≥在区间[)+∞-,1上恒成立，所以2≥b ，因此b 的取值范围是[)+∞,2. （2）令0)(='x f ，解得3ax -±=，若0>b ，由0<a 得),(0b a ∈，又因为0)0()0(<=''ab g f ，所以函数)(x f 和)(x g 在),(b a 上不是单调性一致的.因此0≤b .现设0≤b .当()0,∞-∈x 时，0)(<'x g ；当⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∞-∈3,a x 时，0)(>'x f .因此，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∞-∈3,a x 时，0)()(<''x g x f 故由题设得3a a --≥且3a b --≥，从而031<≤-a ，于是031≤≤-b ，因此31≤-b a ，且当0,31=-=b a 时等号成立.又当0,31=-=b a 时，91(6)()(2-=''x x x g x f ),从而当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,31x 时，0)()(>''x g x f ,故函数)(x f 和)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,31上单调性一致.因此b a -的最大值为31. 解法二：（1）因为函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，所以，''[1,),()()0,x f x g x ∀∈-+∞≥即[1,),x 0,x ∀∈-+∞≥2（3+a ）(2x+b)0,[1,),0,a x >∴∀∈-+∞≥Q 2x+b即0,[1,),,2;a x b >∴∀∈-+∞≥-∴≥Q b 2x（2）当b a <时，因为函数)(x f 和)(x g 在区间（b,a ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x b a f x g x ∀∈≥即(,),x 0,x b a ∀∈≥2（3+a ）(2x+b)0,(,),20b a x b a x b <<∴∀∈+<Q ，2(,),3,x b a a x ∴∀∈≤- 23,b a b ∴<<-设z a b =-，考虑点(b,a)的可行域，函数23y x =-的斜率为1的切线的切点设为00(,)x y则0001161,,,612x x y -==-=-max 111()12612∴=---=z ； 当0a b <<时，因为，函数)(x f 和)(x g 在区间（a, b ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x a b f x g x ∀∈≥即(,),x 0,x a b ∀∈≥2（3+a ）(2x+b)0,(,),20b x a b x b <∴∀∈+<Q ，2(,),3,x a b a x ∴∀∈≤- 213,0,3a a a ∴≤-∴-≤≤max 1();3b a ∴-=当0a b <<时，因为，函数)(x f 和)(x g 在区间（a, b ）上单调性一致，所以，''(,),()()0,x a b f x g x ∀∈≥即(,),(x 0,x a b ∀∈≥22x+b)（3+a ）0,b >Q 而x=0时，x 2（3+a ）(2x+b)=ab<0,不符合题意， 当0a b <=时，由题意：(,0),x 0,x a ∀∈≥22x （3+a ）2(,0),x 0,30,x a a a ∴∀∈≤∴+<23+a 110,33a b a ∴-<<∴-<.综上可知，max 13a b -=.12. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （1）求a 、b 的值；（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围. 【思路点拨】第（1）问，对函数()f x 求导得()f x '，(1)f '对应切线的斜率，切点(1,(1))f 即在切线上又在原函数()f x 上，利用上述关系，建立方程组，求得,a b 的值； 第（2）问，ln ln ()()()011a x b a x bf x f x x x x x>+⇔-+>++，首先化简函数式 ln ()()1a x bf x x x-++，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论. 【精讲精析】（1）由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（2）由（1）知ln 1f ()1x x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--.考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=.(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减.而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得21()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +xk.（ii ）设0<k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且244(1)0k ∆=-->，对称轴x=111k >-.当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾. （iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾. 综合得，k 的取值范围为（-∞，0]13. （2011·新课标全国高考文科·Ｔ21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-. 【思路点拨】第（1）问，对函数()f x 求导得()f x '，(1)f '对应为切线的斜率，切点(1,(1))f 即在切线上又在原函数()f x 上，利用上述关系，建立方程组，求得,a b 的值； 第（2）问，ln ln ()()011x x f x f x x x >⇔->--，先化简函数式ln ()1xf x x --，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论. 【精讲精析】（1）由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（2）由（1）知f(x)=,11ln xx x ++所以 22ln x 1x 1f (x)2ln x x 11x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭设h (x)= 2ln x - 2x 1x-，则h′(x)=()()xx xx x x 222221122--=---所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0故 x ()1,0∈时，h(x)>0可得ln ()1xf x x >-, x ()∞+∈，1时，h(x)<0可得ln ()1xf x x >-,从而当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-. 14．（2011·辽宁高考文科·Ｔ20） 设函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =过点P （1，0），且在P 点处的切线斜率为2． （1）求a ，b 的值；（2）证明：f (x)2x 2≤-．【思路点拨】（1）先求导，再代入进行计算；（2）构造函数)22()()(--=x x f x g ，求其导函数，证明其单调性，将所求问题转化为证明0)(max ≤x g 的问题． 【精讲精析】（1）xbax x f ++='21)(．由已知条件得⎩⎨⎧='=.2)1(,0)1(f f 即⎩⎨⎧=++=+.221,01b a a解得.3,1=-=b a （2）)(x f 的定义域为()+∞,0，由（1）知x x x x f ln 3)(2+-=．设x x x x x f x g ln 32)22()()(2+--=--=，则xx x x x x g )32)(1(321)(+--=+--='． 当10<<x 时，0)(>'x g ；当1>x 时，0)(<'x g ． 所以)(x g 在)1,0(上单调增加，在（1，+∞）上单调减少．而0)1(=g ，并且当0>x 时，g(1)为最大值，故当0>x 时，0)(≤x g ，即22)(-≤x x f ． 15.（2011·广东高考文科·Ｔ19）设a ＞0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x 2-2(1-a)x 的单调性.【思路点拨】先求)(x f 的导函数)(x f '，再由a 的不同取值范围，解不等式0)(>'x f ，从而确定)(x f 的单调区间.在解本题时一定要注意)(x f 的定义域为}0|{>x x 【精讲精析】函数()f x 的定义域为(0,).+∞22(1)2(1)1(),a a x a x f x x---+'= 当212(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x 的判别式 112(1).3a a ⎛⎫∆=--⎪⎝⎭①当10,0,()3a f x '<<∆>时有两个零点，12(1)(31)(1)(31)110,22----=->=+，a a a a x x aa且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数； 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数； ②当11,0,()0,()(0,)3a f x f x '≤<∆≤≥+∞时所以在内为增函数；③当11,()0(0),()(0,)a f x x f x x '==>>+∞时在内为增函数；④当1(1)(31)11,0,0,2a a a x a-->∆>=>时2(1)(31)10,()2a a x f x a--'=<所以在定义域内有唯一零点1x ，且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，1()0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数. ()f x 的单调区间如下表：113≤≤a 103<<a 1a >1(0,)x 12(,)x x 2(,)x +∞ (0,)+∞ 1(0,)x 1(,)x +∞（其中12(1)(31)(1)(31)11,22a a a a x x aa----=-=+）.16.（2011·广东高考理科·Ｔ21）在平面直角坐标系xOy 上,给定抛物线L :214y x =,实数,p q 满足240p q -≥,12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=.（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B .证明:对线段AB 上任一点(,)Q p q 有0(,);2p p q ϕ=（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->,0a ≠.过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明:(,)M a b ∈X ⇔12||||p p >⇔(,)a b ϕ12p =; （3）设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =≤-≥+-.当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值(记为min ϕ)和最大值(记为max ϕ).【思路点拨】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程，再求出其与y 轴的交点坐标.把条件Q 点在线段AB 上转化为代数条件，即p 的取值范围，求出方程02=+-q px x 的根，用p 表示，再由其取值范围得出结论. （2）数形结合可得. （3）数形结合，结合换元法. 【精讲精析】（1）x y 21='，则过A 2001(P ,P )4(00≠P )的切线斜率021P k =，切线方程为2000P 1y P (x P )42-=-,令0=x 得B(4,020P -).由Q （q p ,）在线段AB 上得42200Pp P q -=.由02=+-q px x ，得242q p p x -±==2||2202002P p p P p P p p -±=+-±.由对称性，不妨设00P p ≤≤，则22001P p P p x =-+=,222002P p p P p x -=+-=，由00P p ≤≤得22020Px P ≤≤- 即2||02P x ≤.综之有012|P |p,q max{|x |,|x |}2ϕ==（）. （2）由（1）知221211(0,),'(0,)44F p F P --①若(,)M a b X ∈，由（1）知M 在线段EF 上,且1(,)2=P a b ϕ且1a p <,若2a p <,由（1）知M 在线段''E F 上,则M 在y 轴上，这与0a ≠矛盾，故2a p ≥，得12p p >；②若12p p >，有22121144p P -<-，点211(0,)4F p -在221'(0,)4F P -的下方，则交点M 在线段EF 上,即(,)M a b X ∈，得1(,)2=P a b ϕ.由上述①②知：112(,)(,)2∈⇔⇔=＞P M a b X P P a b ϕ(3)方法一：由⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=45)1(4112x y x y 得⎩⎨⎧-==10y x 或⎩⎨⎧==12y x 知[]2,0∈p ，[]1,1-∈q 由题意知：1-≤p q ，于是有q q p 4)1(22≥+≥，即D 内任何一点对应方程均有解，由021>=+p x x 知ϕ24),(2qp p q p -+=，设q p u 42-=，则ϕ（q p ,）=2up +,422u p q -=,区域D=}22,0)2)(2(|),{(}45)1(41,1|),{(22p u u p u p p u p q p q q p ≥-≤-+--=-+≥-≤如图示画出区域，将直线l ：0=+u p 平行移动，当l 与直线BC 重合时，2=+u p ，得min [(p,q)]1ϕ=； 当l 与曲线相切时，由222u p -=知1-=-='u p ，得切点)23,1(A ,于是有max 5[(p,q)]4ϕ=. 方法二：联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤≤，过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-， 得200240x px q -+=，解得204x p p q =+-，又215(1)44q p ≥+-，即2442p q p -≤-， 042x p p ∴≤+-，设42p t -=，20122x t t ∴≤-++215(1)22t =--+，0max max ||2x ϕ=Q ，又052x ≤，max 54ϕ∴=； 1q p ≤-Q ，2044|2|2x p p p p p ∴≥+-+=+-=，min min ||12x ϕ∴==． 17.（2011·山东高考理科·Ｔ21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r .【思路点拨】本题为应用题，从近几年高考题目来看，应用题总体难度不是太大，易于得分，（1）先求出l 和r 的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.（2）利用导数求函数的最值.先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值. 【精讲精析】（1）因为容器的体积为803π立方米， 所以3243r r l ππ+=803π, 解得280433rl r =-,由于2l r ≥ 因此02r <≤.所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33rr r π-=2160833r r ππ-, 两端两个半球的表面积之和为24r π, 所以建造费用y =21608r rππ-+24cr π,定义域为(0,2]. （2）因为'y =216016r rππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,02r <≤由于c>3,所以c-2>0,所以令'0y >得:3202r c >-; 令'0y <得:32002r c <<-, ①当32022≥-c 时，即当932<≤c 时，函数y 在（0，2）上是单调递减的，故建造费最小时r=2. ②当320022c <<-时，即92c >时，函数y 在（0，2）上是先减后增的，故建造费最小时3202r c =-. 18.（2011·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数f （x ）=lnx-ax 2+（2-a ）x. (1)讨论f （x ）的单调性； （2）设a ＞0，证明：当0＜x ＜1a 时，f （1a +x ）＞f （1a－x ）； （3）若函数y=f （x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：0f x 0.'（）＜ 【思路点拨】(1)要先考虑定义域，再求导数，然后对a 进行讨论，从而得到所求函数的单调性； （2）可先构造函数)1()1()(x af x a f xg --+=，将所证结论转化为证明0)(>x g 恒成立，再对)(x g 求导，利用单调性可解决问题；（3）先设A （1x ，０），B （2x ，０），结合(1) 可知0>a 且)(x f 先增后减，利用（2）的结论，可证0)2(1>-x a f ，从而122x ax ->，确定0x 的取值范围，最后利用(1)的结论得证． 【精讲精析】(1))(x f 的定义域为()+∞,0，xax x a ax x x f )1)(12()2(21)(-+-=-+-='. ①若0≤a ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在()+∞,0单调递增. ②若0>a ，则由0)(='x f 得a x 1=，且当)1,0(ax ∈时，0)(>'x f ， 当ax 1>时， 0)(<'x f ， 所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 单调递减. 综上所述，当a ≤0时，)(x f 在()+∞,0单调递增， 当a>0时，)(x f 在1(0,)a单调递增， 在1(,)a+∞单调递减， （2）设函数)1()1()(x af x a f xg --+=，则 ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+=， 222312211)(xa x a a ax a ax a x g -=--++='. 当a x 10<<时，0)(>'x g ，而0)0(=g ，所以0)(>x g . 故当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+.（3）由(1)可得，当0≤a 时，函数y=f （x ）的图象与x 轴至多只有一个交点，故0>a ，从而)(x f 的最大值为)1(a f ，且0)1(>af ．不妨设A （1x ，０），B （2x ，０），210x x <<，则2110x ax <<<， 由（2）得0)()11()2(111=>-+=-x f x aa f x a f ． 从而122x ax ->，于是a x x x 12210>+=． 由(1)知，0)(0<'x f ． 19．（2011·北京高考理科·T18）已知函数2()()xkf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e≤，求k 的取值范围. 【思路点拨】求导后，分k>0与k<0两种情况进行讨论.【精讲精析】(1)221'()()xkf x x k e k=-，令'()0f x =，得x k =±.当k>0时，f(x)与'()f x 的情况如下：所以()f x 的单调增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞；单调减区间是(,)k k -. 当0k <时，()f x 与'()f x 的情况如下：所以()f x 的单调减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞；单调增区间是(,)k k -.（2）当0k >时，因为11(1)k kf k ee ++=>，所以不会有(0,)x ∀∈+∞，1()f x e≤. 当0k <时，由（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k f k e -=.所以1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤等价于241()k f k e e -=≤，解得102k -≤<. 故当(0,)x ∀∈+∞，1()f x e ≤时，k 的取值范围是1[,0)2-. 20．（2011·北京高考文科·T18）已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.【精讲精析】（1）'()(1)xf x x k e =-+.令'()0f x =，得1x k =-，()f x 与'()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递减区间是(,1)k -∞-；单调递增区间是(1,)k -+∞. （2）当10k -≤，即1k ≤时，函数()f x 在[0,1]上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)f k =-；当011k <-<，即12k <<时，由（1）知()f x 在[0,1)k -上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为1(1)k f k e--=-.当11k -≥，即2k ≥时，函数()f x 在[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f k e =-.21．（2011·湖南高考文科T22）设函数).(ln 1)(R a x a xx x f ∈--= （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个极值点21x x 和，记过点))(,()),(,(2211x f x B x f x A 的直线的斜率为k.问：是否存在a ，使得k=2-a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用分类讨论思想、函数和方程相互转化的思想分析解决问题的能力. 【精讲精析】（1）()f x 的定义域为(0,).+∞22211'()1a x ax f x x x x -+=+-=,令2()1,g x x ax =-+其判别式24.a =-V①当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥V时故()(0,)f x +∞在上单调递增． ②当2a <-V 时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递增．③当2a >V 时,>0,g(x)=0的两根为12x x ==，当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． （2）由（1）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以 1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+---g ，又由(1)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=--g，若存在a ，使得2.k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1)(*)x x x x --=> 再由（1）知，函数1()2ln h t t t t=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以222112ln 12ln10.1x x x -->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =- 22.（2011·江西高考理科·Ｔ19）设3211()232f x x x ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值. 【思路点拨】（1）要使()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，需'f (x)在2(,)3+∞上存在大于零的解，即得a的取值范围.（2）首先求出()f x 在[1,4]上的最小值为f(4),从而求出a 的值，进一步易求()f x 在该区间上的最大值为f(2). 【精讲精析】'22'''121212111()2()22422221[,)()()2;20,,3399912(),)93118118()0,.()),(,)(,)0=-++=--++∈+∞>>->-+∞-+++==∞+∞<=++=-f x x x a x a x f x f a a a a f x a af x x x f x x x x x （）由，当时，的最大值为令得所以，当时，在（上存在单调递增区间.(2)令，得两根所以在（，上单调递减，在上单调递增.当1222214,())27(4)(1)60,(4)(1),24016()(4)8,33101,2,().3<<<<-=-+<<-=-===a x f x f f a f f f x f a a x f x 时，有x 所以在[1,4]上的最大值为f(x 又即所以在[1,4]上的最小值为得从而在[1,4]上的最大值为f(2)=23．（2011·陕西高考理科·T19）如图，从点P 1（0，0）作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：11,P Q ；22,P Q ；…；,n n P Q ，记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,=L k n ）． （1）试求k x 与1k x -的关系（2,,=L k n ）； （2）求112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q ++++L ．【思路点拨】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x 轴的交点坐标； （2）尝试求出通项||n n P Q 的表达式，然后再求和．【精讲精析】（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵x y e =，∴xy e '=， ∴111(,)k x k k Q x e---，在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-，令0y =，则11k k x x -=-（2,,=L k n ）．（2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--， ∴(1)||kx k k k P Q ee --==，于是有112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q ++++L 12(1)1111nn e e ee e -------=++++=-L 11n e e e --=-，即112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q ++++L 11n e e e --=-． 24．（2011·陕西高考理科·T21）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （3）是否存在00x >，使得01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）先求出原函数()f x ，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．【精讲精析】（1）∵1()f x x '=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =， ∴()ln f x x =；1()ln g x x x=+，∴21()x g x x -'=，令()0g x '=，即210x x-=，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，故区间(0,1)是函数()g x 的减区间； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 是增函数，故区间(1,)+∞是函数()g x 的增区间； 所以1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()g x 的最小值是(1)1g =．（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x=-=-+， 则22(1)()x h x x -'=-，当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈+∞U 时，()0h x '<，(1)0h '=， 因此函数()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)h x h >=0，∴1()()g x g x>； 当1x >时，()(1)h x h <=0，∴1()()g x g x<． （3）满足条件的0x 不存在．证明如下： 证法一 假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立， 即对任意0x >有02ln ()ln x g x x x<<+ ① 但对上述的0x ，取0()1g x x e=时，有10ln ()x g x =，这与①左边的不等式矛盾，因此不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立． 证法二 假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立，由（1）知，()g x 的最小值是(1)1g =， 又1()ln ln g x x x x=+>，而1x >时，ln x 的值域为(0,)+∞， ∴当1≤x 时，()g x 的值域为[1,)+∞，从而可以取一个值11x >，使10()()1g x g x +…，即10()()1g x g x -…, ∴1011|()()|1g x g x x ->…，这与假设矛盾． ∴不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立． 25.（2011·陕西高考文科·T21）设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立． 【思路点拨】（1）先求出原函数()f x 的导数，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x ＞0成立的恒成立问题转化为函数()g x 的最小值问题． 【精讲精析】（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+， ∴21(),x g x x-'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间.当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故（1，+∞）是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()g x 的最小值为(1) 1.g = (2)1()ln g x x x=-+，设11()()()2ln =-=-+h x g x g x x x x，则22(1)()x h x x -'=-，当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().>g x g x 当x>1时，()h x <(1)h =0,即1()().<g x g x 综上所述，当x=1时，1()();=g x g x当0<x<1时, 1()();>g x g x 当x>1时，1()().<g x g x（3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以，1()()g a g x a -<，对任意0x >，成立1()1,g a a⇔-< 即ln 1,a <从而得0a e <<．26．（2011·浙江高考理科·Ｔ22）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R （1）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立 注：e 为自然对数的底数．【思路点拨】（１）利用0x 是极值点的必要条件0()0f x '=，注意解出a 值后要进行检验；（２）恒成立问题，01x <≤时显然满足题意，1<3x e ≤时只需max ()f x ≤42e ．此题主要考查了函数极值的概念、导数的基本运算、导数的应用，不等式等基础知识，同时也考查了推理论证能力，分类讨论等分析解决问题的能力. 【精讲精析】（1）求导得()f x ' =2(x -a)ln x +2()x a x -=(x a -)(2ln x+1-ax ). 因为x=e 是f(x)的极值点，所以()f e '= ()30a e a e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得a e = 或3a e =，经检验，符合题意，所以a e = 或3a e =.（2）①当01x <≤时，对于任意的实数a ,恒有2()04f x e ≤<成立， ②当13x e <≤，由题意，首先有22(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤，解得33e a e ≤≤+由（1）知'()()(2ln 1)af x x a x x=-+-， 令 ()2ln 1ah x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且(3)2ln(3)12ln(3)13ah e e e e=+-≥+=2[ln(3e)0->.又()h x 在（0，+∞）内单调递增，所以函数()h x 在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为0x ，则013x e <<，01x a <<.从而，当0(0,)x x ∈时，'()0f x >；当0(,)x x a ∈时，'()0f x <；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，即()f x在0(0,)x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增.所以要使2()4f x e ≤对](1,3x e ∈恒成立，只要2200022()()ln 4,(3)(3)ln(3)4,⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩f x x a x e f e e a e e ①②成立.000()2ln 10ah x x x =+-=，知 0002ln a x x x =+ ③将③代入①得232004ln 4x x e ≤，又01x >，注意到函数23ln x x 在[1,+∞)内单调递增，故01x e <≤.再由③以及函数2xlnx+x 在（1, +∞)内单调递增，可得13a e <≤. 由②解得，33e a e ≤≤+所以33e a e -≤≤综上，a 的取值范围为33e a e ≤≤.27.（2011·浙江高考文科·Ｔ21）设函数22()ln ,0f x a x x ax a =-+> （1）求()f x 的单调区间.（2）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立.注：e 为自然对数的底数.【思路点拨】（1）题中直接由导数的正负来确定其单调区间；（2）题中不等式恒成立问题，只需2min max ()1,()≥-≤f x e f x e 且 ．【精讲精析】(1）因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x >，所以2()(2)'()2a x a x a f x x a x x-+=-+=-. 由于0a >，所以()f x 的增区间为（0，a ）,减区间为（a ,+∞） （2）由题意得， (1)11=-≥-f a e ，即≥a e ，由（1）知()f x 在[1,a]内单调递增,故()f x 在[]1,e 内单调递增， 要使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立， 只要222(1)11()f a e f e a e ae e=-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得a e =．28.（2011·天津高考文科·T19）已知函数322()4361,=+-+-∈f x x tx t x t x R ，其中∈t R ． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0≠t 时，求()f x 的单调区间；（3）证明：对任意(0,),()∈+∞t f x 在区间(0,1)内均存在零点． 【思路点拨】（1）由导数的几何意义求切线方程； （2）利用导数研究函数的单调性； （3）对t 分区间讨论函数零点. 【精讲精析】（1）当1t =时，322()436,(0)0,()1266'=+-==+-f x x x x f f x x x ，f (0) 6.'=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（2）22()1266'=+-f x x tx t ，令()0'=f x ，解得.2t x t x =-=或因为0t ≠，以下分两种情况讨论：①若0,,2tt t x <<-则当变化时，(),()'f x f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭t t f x 的单调递减区间是,2⎛⎫- ⎪⎝⎭t t . ②若0,2tt t >-<则，当x 变化时，'f (x),f(x)的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(],,,;()2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭t t f x 的单调递减区间是,.2⎛⎫- ⎪⎝⎭t t （3）由（2）可知，当0t >时，()f x 在0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭t 内单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭t 内单调递增，以下分类讨论：①当1,22≥≥tt 即时，()f x 在（0，1）内单调递减，2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+<⎪⎝⎭(0)10f t =-> 所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点. 所以()0,2t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点.所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点. 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.②当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，若3377(0,1],10.244⎛⎫∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭t t f t t t2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+> 所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+<⎪⎝⎭(0)10f t =->. 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点. 综上所述，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数——生活中的优化问题应用举例
导数——生活中的优化问题应用举例导言：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.本文主要阐述如何利用导数,解决一些生活中的优化问题.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1.与几何学有关的最值问题 2.与物理学有关的最值问题3.与利润及其成本有关的最值问题4.效率最值问题注意点：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值.知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.典例剖析1.与几何学有关的最值问题例：（11江西文18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A 解：（1）设x PA =，则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f ，则232)(2x x f -='由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。
高中数学年分类题库考点导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
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考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 一、选择题1。
（2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时，f （x ）（ ).A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值.C 既有极大值又有极小值.D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点,构造函数,利用导数研究极值问题。
【解析】选D.由题意知2332()2()()xxe f x e x f x fx x xx， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2xf '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e ee xx则令由()0g x 得2x，当2x时，222min()2208e g x e即()0g x ,则当0x时，3()()0g x f x x ，故()f x 在（0,+∞）上单调递增，既无极大值也无极小值.2。
(2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同 已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f，若ax x f ≥|)(|,则a 的取值范围是（ ）A 。
]0,(-∞ B. ]1,(-∞ C 。
]1,2[- D 。
]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=｜f （x ）｜的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=｜f （x)｜的图象如图所示，当0≤x 时，x xx f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ,2)0(-='g ,故2-≥a 。
2014高考数学总复习第2章第11节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件新人教A版
1．当 x＞0 时，f(x)＝x＋4x的单调减区间是( )
A．(2，＋∞)
B．(0,2)
C．( 2，＋∞)
D．(0， 2)
解析：f′(x)＝1－x42，令 f′(x)＜0，
∴1－x42＜0， ∴0＜x＜2， x＞0，
∴f(x)的减区间为(0,2)． 答案：B
2．(理)设 a∈R，若函数 y＝eax＋3x，x∈R 有大于零的
x>0，g(x)<1＋e－2
等价于
1－x－xln
ex x<x＋1
(1＋e－2).……………………………………………………7 分
令 h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)．
则 h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)，
因此，当 x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
答案：B
3．函数 y＝ax3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )
A．a＝13
B．a＝1
C．a＝2
D．a≤0
解析：y′＝3ax2－1，当 a＝0 时，y′＜0，适合；当 a≠0
时，因为函数 y＝ax3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 y′
＝3ax2－1≤0 在 R 上恒成立，所以aΔ＜＝00＋12a≤0 ，所以 a
f(1))处的切线与 x 轴平行．
①求k的值； ②求f(x)的单调区间； ③ ( 理 ) 设 g(x) ＝ (x2 ＋ x)f′(x) ， 其 中 f′(x) 为 f(x) 的 导 函 数 ． 求 证：对任意x>0，g(x)<1＋e－2. ③(文)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．求证：对任 意x>0，g(x)<1＋e－2.
第二章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例精品文档6页
第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.(2009·广东高调递增区间是说明( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 解析：f (x )＝(x －3)·e x ，f ′(x )＝e x (x －2)＞0， ∴x ＞2.∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：D2.若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 ( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 解析：因为h ′(x )＝2＋k x 2，所以h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)． 答案：A3．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调减区间为________． 解析：根据题意a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx ， 令y ′＜0，可得x ＞0或x ＜－2b3a ，故所求减区间为(－∞，－2b3a )和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2b3a)和(0，＋∞)4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)．若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求： (1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间． 解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax －9 ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23.即当x ＝－a 3时，f ′(x )取得最小值－9－a 23.因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3，由题设a <0，所以a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1， f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－1)上为增函数； 当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－1,3)上为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．5.(文)函数f (x )＝x 3a ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意有f ′(－3)＝0，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，由此解得a ＝5. 答案：D(理)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1e D ．a ＜－1e解析：由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )＞0⇒－a ＞1⇒a ＜－1. 答案：A6.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0.解之得－2＜a ＜2. 答案：A7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈[－π2，π2]的最大值是________，最小值是________．解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f (－π6)＝－32＋π6，f (π6)＝32－π6，端点f (－π2)＝π2，f (π2)＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2.答案：π2 －π28．(文)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值， (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0. ② 由①②解得a ＝2，b ＝－4. 设切线l 的方程为y ＝3x ＋m . 由原点到切线l 的距离为1010，则|m |32＋1＝1010， 解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1. 由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5； (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23.f (x )和f ′(x )的变化情况如下表：Z]Z在x ＝23处取得极小值f (23)＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(理)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx －2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y ＝5x －10. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋13mx ，若g (x )的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g (x )取得极值时对应的自变量x 的值．解：(1)由已知，切点为(2,0)，故有f (2)＝0，即4b ＋c ＋3＝0. ① f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由已知，f ′(2)＝12＋8b ＋c ＝5.得8b ＋c ＋7＝0. ② 联立①、②，解得c ＝1，b ＝－1， 于是函数解析式为f (x )＝x 3－2x 2＋x －2. (2)g (x )＝x 3－2x 2＋x －2＋13mx ，g ′(x )＝3x 2－4x ＋1＋m3，令g ′(x )＝0.当函数有极值时，Δ≥0，方程3x 2－4x ＋1＋m3＝0有实根，由Δ＝4(1－m )≥0，得m ≤1.①当m ＝1时，g ′(x )＝0有实根x ＝23，在x ＝23左右两侧均有g ′(x )＞0，故函数g (x )无极值．②当m ＜1时，g ′(x )＝0有两个实根， x 1＝13(2－1－m )，x 2＝13(2＋1－m )，当x 变化时，g ′(x )、g (x )的变化情况如下表：Z ] Z当x ＝13(2－1－m )时g (x )有极大值；当x ＝13(2＋1－m )时g (x )有极小值．9.已知对任意实数x ，x >0时， f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时 ( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：由题意知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数．当x ＞0时，f (x )，g (x )都单调递增，则当x ＜0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )＞0，g ′(x )＜0. 答案：B10．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x ＞400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 解析：由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 所以总利润函数为 P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400)，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x ＞400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大． 答案：D11．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( ) 解析：对于图A 来说，抛物线为函数f (x )，直线为f ′(x )；对于图B 来说，上凸的曲线为函数f (x )，下凹的曲线为f ′(x )；对于图C 来说，下面的曲线为函数f (x )，上面的曲线f ′(x )．只有图D 不符合题设条件． 答案：D12．(2019·南通模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值，(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－23)＝129－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，函数f (x )的单调区间如下表：Z]Z所以函数f (x )的递增区间是(－∞，－23)与(1，＋∞)，递减区间(－23，1)；(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f (－23)＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )＜c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1，或c ＞2.。
高考试题分类考点导数在研究报告函数中应用与生活中优化问题举例
考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题21. <2018 •安徽高考文科10)函数f x二ax n1 -x 在区间1.0,1 ］上的图象如图所示，贝y n可能是< )<A) 1 <B ) 2 <C ) 3 <D ) 4【思路点拨】代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案【精讲精析】选A.代入验证，当n=1时，f (x)二ax(1 —x)2二a(x3—2x2• x)，贝V2 2 1f (x)二a(3x -4x 1)，由f (x)二a(3x -4x 1) =0可知，为，X2 =1，结合图象可知函数应在31 1 1<0,—)递增，在(―,1)递减，即在x 处取得极大值，由3 3 31 1 11f ( ) = a (1 ) ,知a 存在.3 3 3 22.<2018 •辽宁高考理科11)函数f<x )的定义域为R f<-1 ) =2,对任意x € R, f (x) ■ 2，贝Uf<x ) > 2x+4的解集为< )<A) <-1 , 1) <B ) <-1 , + ：： ) <C ) <- ：： , -1 ) <D ) <- ：： , + ：：)【思路点拨】先构造函数g(x)二f(x) -(2x 4)，求其导数，将问题转化为求g(x)单调性问题即可求解.【精讲精析】选B.构造函数g(x)二f (x) -(2x 4)，则g(-1) = f(-1) -(-2 • 4) = 2-2 = 0，又因为f (x) 2，所以g (x)二f (x)-2 • 0，可知g(x)在R上是增函数，所以f(x) 2x 4可化为g(x) 0，即g(x) g(-1)，利用单调性可知, x T •选B.3. <2018 •安徽高考理科10)函数f (x )=ax m(1—X 在区间【0,1】上的图象如图所示，则m,n的值可能是< )<A ) m =1,n=1(B> m =1,n=2(C> m=2, n=1 (D> m=3,n =1【思路点拨】 本题考查函数与导数的综合应用，先求出 f(x)的导数，然后根据函数图像确定极值点的位 置，从而判断m,n 的取值.【精讲精析】 选B.函数f x = ax m 1 - x °的导数f (x) = _(m n)ax m'(1-x)n ：L(x -一 ),则 f (x)在(0,―)上大于 0，在(m,1)上小于 0，由m+nm+n m+n1图象可知极大值点为 ，结合选项可得 m=1, n=2.3二、填空题 4.<2018 •广东高考理科12)函数f (x) =x 3 _3x 2 • 1在X =处取得极小值.【思路点拨】 先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值时 x 的值.【精讲精析】由f (x) =3x 2=°解得x =0或x =2，列表如下：x(-oq O )0 H 2)2 (十)f (x) + 0 - 0 + f (x)增极大值减极小值增.当x =2时，y 取得极小值. 【答案】25. <2018 •辽宁高考文科16)已知函数f (x) =e x -2x a 有零点，则a 的取值范围是 【思路点拨】 先求f (x)，判断f (x)的单调性•结合图象找条件•本题只要使 f (x)的最小值不大于零即可.【精讲精析】f (x) = e x - 2 .由f (x)0得e x 「2 0 ,••• x In 2 .由 f (x) ：： 0 得，x :: ln 2 .f (x)在x = ln 2处取得最小值.只要 f min (x) _ 0 即可•••• e ln2 - 21 n 2 a _ 0 ,••• a 乞21n 2 _ 2 .【答案】(一二,21 n2_2]6. <2018 •江苏高考12)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)二e x(x 0)的图象上的动点，该图象在P处的切线I交y轴于点M过点P作I的垂线交y轴于点N设线段MN的中点的纵坐标为t，贝U t的最大值是__________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值.【精讲精析】设Pge"),则I: y -e x0二e xo(x-x。
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点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2014· 湖南高考文科·Ｔ9）若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln x xe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <【解题提示】构造新函数，利用函数的单调性求解。
【解析】选C . 选项 具体分析 结论A构造函数()()()101,ln <<-='-=x xe xf x e x f xx，根据()101,<<x xe x 的图象可知()xf 在（0,1）上不单调错误B 同上 错误 C构造新函数()()()()1001,22<<<-⋅=-⋅='=x x x e x e x e x g x e x g x x x x ， 所以()x g 在（0,1）上是减函数，所以()()1221212121,,x x x x e x e x x e x e x g x g <>>正确D同上错误2.（2014·辽宁高考文科·Ｔ12）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ11）相同 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是[][][]9()5,3()6,()6,2()4,38A B C D ⎡⎤--------⎢⎥⎣⎦【解题提示】 采用分离常数法，利用导数求函数的最值， 【解析】选Ｃ.当(]0,1x∈时，不等式232343430x xaxx x ax---++≥⇒≥(]0,1x∈恒成立．令(]2343(),0,1x xg x xx--=∈，则(]2489(),0,1x xg x xx-++'=∈设2()89h x x x=-++，()h x在(]0,1上为增函数，()(0)90h x h>=>所以(]24890,1,()0x xx g xx-++'∈=>，则(]2343()0,1x xg xx--=在上为增函数，(]2343(),0,1x xg x xx--=∈的最大值max()=gg x（1）=-6；从而6a≥-；当=0x时，a R∈；当[)2,0x∈-时，不等式232343430x xax x x ax---++≥⇒≤[)2,0x∈-恒成立．[)2489()0102,0x xg xxxx⎧-++'=>⎪⇒-<<⎨⎪∈-⎩，[)2489()0212,0x xg xxxx⎧-++'=<⎪⇒-<<-⎨⎪∈-⎩所以[)2343()2,1x xg xx--=--在上为减函数，在(1,0)-上为增函数，故min()=gg x（-1）=-2，则2a≤-．综上所述，62a-≤≤-．3.(2014·陕西高考文科·T10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为()A.y=错误!未找到引用源。
x3-错误!未找到引用源。
x2-xB.y=错误!未找到引用源。
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x2-3xC.y=错误!未找到引用源。
x3-xD.y=错误!未找到引用源。
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x2-2x【解题指南】根据已知图像可以得到函数图像在与x轴交点处的导数,再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组,解之即得所求.【解析】选 A.由已知可得此函数为三次函数且过原点,故可设函数解析式为y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f'(x)=3ax2+2bx+c,由题意知f'(0)=-1,f'(2)=3,f(2)=0,即c=-1,12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,解之得a=,b=-,c=-1.所以y=x3-x2-x.4.(2014·陕西高考理科·T10)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则函数的解析式为()A.y=错误!未找到引用源。
x3-错误!未找到引用源。
xB.y=错误!未找到引用源。
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xC.y=错误!未找到引用源。
x3-xD.y=-错误!未找到引用源。
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x【解题指南】根据函数的图象可以得到函数的极值点,再利用导数求得解析式的极值点,二者能够统一的即为所求.【解析】选A.由函数图象可得函数的极值点为±5,对四个选项中函数解析式进行求导,只有选项A的函数解析式求导得y'=3×x2-,令y'=0得x=±5,所以只有选项A的解析式与图象相统一,故选A.5. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T11)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是()A.(,2]+∞+∞D.[1,)-∞- B.(,1]-∞- C.[2,)【解题提示】利用函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,可得其导函数f(x)≥0恒成立,分离参数,求得k 的取值范围.【解析】选D.因为f(x)在(1,+∞)上递增,所以f'(x)≥0恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f'(x)=k-1x ≥0.即k ≥1>1x.所以k ∈[1,+∞),选D 6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】将函数y=ax-ln （x+1）求导,将x=0代入,利用导数的几何意义求得a.【解析】选D.因为f(x)=ax-ln(x+1),所以f'(x)=a-11x +.所以f(0)=0,且f'(0)=2.联立解得a=3.故选D.7. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T12)设函数f(x)=sin xmπ.若存在f(x)的极值点x 0满足20x +()20f x ⎡⎤⎣⎦<m 2,则m 的取值范围是( )A. ()(),66,-∞-+∞B. (),4-∞-∪()4,+∞C. (),2-∞-∪()2,+∞D. (),1-∞-∪()4,+∞ 【解题提示】利用函数f(x)=xmπ的性质,求得x 0和f(x 0)代入不等式,解不等式,得m 的取值范围.【解析】选C.因为f(x)=sinxmπ即[f(x 0)]2=3,|x 0|≤2m ,所以2x +[f(x 0)]2≥234m +,所以24m +3<m 2,解得|m|>2.故选C. 8.（2014·四川高考理科·Ｔ9）已知)1ln()1ln()(x x x f --+=，)1,1(-∈x ，现有下列命题：①)()(x f x f -=-；②)(2)12(2x f xxf =+；③x x f 2)(≥.其中的所有正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②【解题提示】可直接验证①②都正确，对于③，可以利用奇偶性和导数确定其单调性来加以判断．【解析】选A. 对于①：()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，故①正确；对于②：1()ln(1)ln(1)ln 1x f x x x x +=+--=-⇒222221211()lnln()21111x x x x f x x x x +++==+--+12ln 1x x +=-2()f x =，)1,1(-∈x ，故②正确；对于③：当[0,1)x ∈时，|()|2||()20f x x f x x ≥⇔-≥，令()()2ln(1)ln(1)2g x f x x x x x =-=+---（[0,1)x ∈），因为22112()20111x g x x x x'=+-=>+--，所以()g x 在[0,1)单增，()()2(0)0g x f x x g =-≥=，即()2f x x ≥，又()f x 与2y x =为奇函数，所以|()|2||f x x ≥成立，故③正确. 【误区警示】本题②容易错误理解为22()1xf x +中的x R ∈，与2()f x 中的)1,1(-∈x 不对应，导致错选C ．二、解答题9. (2014·湖北高考文科·T13)(本小题满分14分)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)求函数f(x)=错误!未找到引用源。
的单调区间. (2)求e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.【解题指南】(1)先求函数定义域,然后在定义域内解不等式即可得到单调增、减区间.(2)由e<3<π,得eln3<eln π,πlne<πln3,即ln3e <ln πe ,lne π<ln3π.再根据函数y=lnx,y=e x ,y=πx在定义域上单调递增,可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π,从而六个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中.由e<3<π及(1)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即ln ππ<ln 33<lnee ,由此进而得到结论. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(x)= ln xx,所以f'(x)=21ln xx -. 当f'(x)>0,即0<x<e 时,函数f(x)单调递增. 当f'(x)<0,即x>e 时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (2)因为e<3<π,所以eln3<eln π,πlne<πln3,即ln3e <ln πe ,lne π<ln3π.于是根据函数y=lnx,y=e x ,y=πx 在定义域上单调递增,可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中. 由e<3<π及(1)的结论,得f(π)<f(3)<f(e), 即ln ππ<ln 33<lne e . 由ln ππ<ln 33,得ln π3<ln3π,所以3π>π3;由ln 33<lne e ,得ln3e <lne 3, 所以3e <e 3.综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.10. （2014·湖北高考理科·Ｔ22）π为圆周率，⋯=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数()xxx f ln =的单调间； （2）求33,3,,,3,πππeeee e 这6个数中的最大数与最小数；（3）将33,3,,,3,πππe e e e e 这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【解题指南】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式(x)0f '>,(x)0f '<即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e ＜3＜π，得eln3＜eln π，πlne ＜πln3，即ln3e ＜ln πe ，lne π＜ln3π．再根据函数y=lnx ，y=e x ，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e ＜πe ＜π3，e 3＜e π＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e ＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f （π）＜f （3）＜f （e ），即ln ln 3lne3eππ<<，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e ＜πe ＜π3＜3π，3e ＜e 3，又由（Ⅱ）知，ln lne eππ<，得e e ππ<，故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x ＜e 时，lnx 1x e<，令2e x π=，有2ln e e ππ<，从而2ln eππ-<，即得ln 2eππ>-①，由①还可得ln πe ＞lne 3，3ln π＞π，由此易得结论；【解析】（1）函数的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln (x)xf x-'=。