高考大题之立体几何(理科)

1.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A＝AB，∠ABC ＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC.

(1)求证：AB1⊥平面A1BC；

(2)若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B­A1C­C1的余弦值．

2.如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且

EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，

DA＝DC＝DG＝2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥

平面CDE；

(2)求二面角E­BC­F的正弦值；

(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP 的长．

3．等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足AD DB

＝CE EA ＝12

，如图1.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1­DE ­B 为直二面角，连接A 1B ，A 1C ，如图2.

图1 图2

(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；

(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．

4.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．

(1)求证：平面BDM∥平面EFC；

(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．

5.如图，在正三棱柱ABC­A 1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图2)．

图1图2

(1)求证：PB⊥DE；

(2)若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求平面PDE与平面PBC 所成的锐二面角的正弦值．

于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图2)．

图1图2

(1)求证：PB⊥DE；

(2)若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求平面PDE与平面PBC 所成的锐二面角的正弦值．

8．如图所示，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M­PA­C为30°，求PC

与平面PAM所成角的正弦值．

9．如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，

AE＝CF＝5

4，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折

到△D′EF的位置，OD′＝10.

(1)证明：D′H⊥平面ABCD；

(2)求二面角B­D′A­C的正弦值．