高考理科立体几何大题
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一， [2017·山东济南调研]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.
(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；
(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；
(3)在线段BC 1上是否存在点D ，使得AD ⊥A 1B ？若存在，试求出BD
BC 1
的值． (1)[证明] 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC . 又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，
且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C . ∴AA 1⊥平面ABC .
(2)[解] 由(1)知，AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ， 由题意知，在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2
＝AC 2
＋AB 2
，∴AB ⊥AC .
∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A －xyz .
A 1(0,0,4)，
B (0,3,0)，
C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，
于是A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，
B 1
C 1→
＝(4，－3,0)，BB 1→
＝(0,0,4)．
设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C 1
→·n 1
＝0，A 1
B →·n 1
＝0
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧ 4x 1＝0，3y 1－4z 1＝0，
∴取向量n 1＝(0,4,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
B 1
C 1
→
·n 2
＝0，BB 1→·n 2
＝0
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x 2－3y 2＝0，
4z 2＝0，
∴取向量n 2＝(3,4,0)． ∴cos θ＝
n 1·n 2|n 1||n 2|＝165×5＝16
25
.
由题图可判断二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 故二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为16
25
.
(3)[解] 假设存在点D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，使AD ⊥A 1B ，且BD →
＝λBC 1→
，
∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ， ∴AD →
＝(4λ，3－3λ，4λ)．
又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0， 解得λ＝9
25，
∵9
25
∈[0,1]， ∴在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ， 此时
BD BC 1＝925
. 二， 如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π
2
，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.
(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．
[解] 以{AB →，AD →
，AP →
}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，
则各点的坐标为B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，
P (0,0,2)．
(1)由题意知，AD ⊥平面PAB ，
所以AD →
是平面PAB 的一个法向量， AD →
＝(0,2,0)．
因为PC →
＝(1,1，－2)，PD →
＝(0,2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则m ·PC →
＝0，m ·PD →
＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.
令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.
所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量．
从而cos 〈AD →
，m 〉＝
AD →
·m
|AD →
||m |
＝
3
3
，
所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为
33
. (2)因为BP →
＝(－1,0,2)， 设BQ →＝λBP →
＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，
又CB →
＝(0，－1,0)， 则CQ →＝CB →＋BQ →
＝(－λ，－1,2λ)，
又DP →
＝(0，－2,2)，
从而cos 〈CQ →，DP →
〉＝
CQ →·DP
→
|CQ →||DP →
|
＝
1＋2λ
10λ2
＋2
.
设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]， 则cos 2
〈CQ →，DP →
〉＝2t
2
5t 2－10t ＋9
＝
29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209
≤9
10.
当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →
〉|的最大值为310
10
.
因为y ＝cos x 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，
所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12
＋22
＝5， 所以BQ ＝25BP ＝25
5
.
三，[2016·浙江卷]如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，
BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.