初三数学圆知识点集合
初三数学圆知识点总结
初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：（不考了）设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．（补考圆锥面积了）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结OP，P点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例2 下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选B．例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
九年级数学圆的知识点总结大全
圆是数学中的一个基本几何概念，九年级数学中关于圆的知识点如下：一、圆的定义和要素：1.圆的定义：由平面上离一个确定点（圆心）的距离相等的点的全体，构成一个平面图形，称为圆。
2.圆的要素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、割线、扇形、弓形等。
二、圆的性质：1.圆的任意两点之间的距离相等。
2.圆的半径是圆上任意一点到圆心的距离。
3.圆的直径是通过圆心的一条线段，直径的长度等于半径的两倍。
4.圆的弧是圆上两点之间的一段曲线，圆的圆心角对应的弧长是圆的周长的一部分。
5.圆的弦是圆上的两点间的线段。
6.圆的切线是与圆只有一个交点的直线。
7.圆的割线是与圆有两个交点的直线。
8.圆的相似圆是指具有相同圆心，半径成比例的圆。
9.圆与其他几何图形的关系，如圆与直线、圆与多边形等。
三、圆的图形和公式：1.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
2.圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，对应一般方程的圆心坐标为(-D/2，-E/2)，半径为√（(D²+E²)/4-F）。
3.圆的表示方法：各种符号和字母的含义及表示。
四、圆的计算题：1.圆的周长：C=2πr，其中C为周长，r为半径。
2.圆的面积：A=πr²，其中A为面积，r为半径。
3.圆的弧长公式：L=2πr(θ/360°)，其中L为弧长，r为半径，θ为圆心角的度数。
4.扇形的面积公式：A=(θ/360°)πr²，其中A为扇形的面积，r为半径，θ为圆心角的度数。
5. 弓形的面积公式：A=(θ/360°)πr²-hr，其中A为弓形的面积，r为半径，θ为弧对应的圆心角的度数，h为弓形的高。
五、圆的证明题：1.圆上的弦垂直于直径。
2.圆上的垂直于弦的直径。
3.圆的半径与切线垂直。
六、圆的应用：1.圆的模拟应用，如钟表等。
初三数学圆知识点总结
初三数学圆知识点总结要点总结：一、圆的定义与相关概念：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为半径。
圆心角、弧、弦、弦心距之间有一定关系。
弦是圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，直径等于半径的2倍。
圆弧分为优弧和劣弧，圆心角是圆心所对的角。
二、过三点的圆和垂径定理：不在同一条直线上的三点可以确定一个圆。
三角形的外接圆圆心是三边垂直平分线的交点。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
三、与圆相关的角：圆心角、圆周角、弦切角是与圆相关的角。
圆心角的度数等于它所对的弦的度数，圆周角等于所对弦角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆所对的圆周角相等。
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
四、点与圆的位置关系。
文章改写：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点为圆心，定长为半径。
圆的位置由圆心确定，大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。
圆可以通过线段OA绕圆心O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形来定义。
另外，圆的相关概念包括弦、直径、圆弧、圆心角等。
弦是圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，直径等于半径的2倍。
圆弧分为优弧和劣弧，圆心角是圆心所对的角。
圆心角、弧、弦、弦心距之间有一定关系，其中定理是：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
推论是：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
通过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，三角形的外接圆圆心是三边垂直平分线的交点。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
与圆相关的角包括圆心角、圆周角、弦切角，它们有一些性质，例如圆心角的度数等于它所对的弦的度数，圆周角等于所对弦角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆所对的圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
九年级数学圆的知识点总结大全
第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、基本概念1.圆：由平面上到一个定点的距离等于常数的所有点构成的集合。
2.圆心：定点的位置，通常用字母O表示。
3.半径：从圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
4.直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上，直径是半径的两倍。
5.弦：在圆上任意两点之间的线段。
6.弧：圆上两点之间的一段弧线。
7.弧长：弧上的一段线段的长度。
8.弧度制：以半径长的弧作为单位，一个圆的弧度数为2π。
9.角度制：以一度为单位，一个圆被分成360个角度。
二、圆的性质1.圆的周长公式：C=2πr2.圆的面积公式：A=πr²3.直径和半径的关系：直径是半径的2倍。
4.弧度和角度的关系：360°=2π弧度5.同心圆：多个圆的半径相同，但圆心不同。
6.相交圆：两个圆的圆心不重合，但有部分区域重叠。
7.相切圆：两个圆只有一个公共切点。
8.外切圆：与三角形三边相切的圆，切点分别是三角形的三个顶点。
9.内切圆：与三角形的三条边都有两个切点。
10.切线：与圆只有一个公共切点的直线。
11.弦切角：以弦为一边，切线为另一边的角。
12.切角定理：切线与半径的位置关系决定了切角大小，切角等于对应的弧所对的圆心角的一半。
三、圆的角度关系1.圆内角：圆上的两条弦所对的圆心角的一半。
2.圆周角：以圆心为顶点的角，它的两边分别是圆上两条相交弧的切线。
3.同弧角：以相同弧为两边的角度。
4.弦弧关系：相等的弦所对的弧相等，相等的弧所对的弦也相等。
5.弧线关系：当两个弧相等时，它们所对的弦相等，并且它们所对的圆心角相等。
6.垂径定理：一个直角三角形的斜边与圆的直径相切。
7.切弦角：切线与弦所夹的角相等。
四、圆的相交关系1.内切圆和外切圆的半径关系：内切圆的半径小于等于外切圆的半径。
2.相切圆的判定：两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离。
3.外接四边形：四边形的顶点都在同一个圆上。
4.内接四边形：四边形的四个边都切到同一个圆上。
九年级数学圆知识点大全
九年级数学圆知识点大全数学中的圆是我们学习的重要几何概念之一，它具有独特的性质和应用。
在九年级数学中，我们将学习有关于圆的知识点，本文将为你详细介绍九年级数学中与圆相关的知识点，帮助你更好地理解和掌握这一部分内容。
一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个点（圆心）相等的所有点构成的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径，这三个要素是圆的基本要素。
3. 圆的基本性质：圆上任意两点与圆心的距离相等；圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度；直径是圆上任意两点之间的最长线段。
二、圆的相关线段和角1. 弦：在圆上连接两点得到的线段叫做弦。
直径是一个特殊的弦，它通过圆心并且长度等于圆的直径。
2. 弧：在圆上连接两点得到的弧（简称弧段）。
弧由弦所确定，弧长是弧的长度，是弧上所有点按照圆周距离的累加。
3. 弦切角：在圆上，以弦的两端点为顶点，圆上一个点为腰的角叫做弦切角。
弦切角的大小等于它所对应的弧所对的角。
三、圆的重要定理1. 切线定理：一个切线垂直于半径。
垂直于半径的线段叫做切线，切线与半径的交点与圆心的连线垂直。
2. 弦弧定理：在圆上，等长的弦所对应的弧也等长。
3. 弧心角定理：在圆上，等长的弧所对应的弧心角也相等。
4. 切割线定理：如果有两条决定于一圆的割线相交成一点，那么从这个点到四个割线外割出的四条弦对应的两对点构成两组共轭点。
四、圆的计算1. 圆的周长：圆的周长等于圆周上任意一段弧长，可以通过直径或半径来计算。
周长公式：C = 2πr 或C = πd，其中C表示周长，r表示半径，d表示直径，π约等于3.14。
2. 圆的面积：圆的面积可以通过半径来计算。
面积公式：S =πr²，其中S表示面积，r表示半径，π约等于3.14。
五、圆与其他几何图形的关系1. 圆与直线的关系：在平面几何中，一条直线可以与圆有三种不同的位置关系，分别是相离、相切和相交。
2. 圆与多边形的关系：正多边形的外接圆和内切圆，以及正多边形与圆内接四边形的关系等。
九年级数学圆知识点归纳
一、圆的基本性质：1.定义：平面上离定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。
2.圆的要素：圆心、半径。
3.圆的元素之间的关系：a.半径相等的圆互相重合。
b.位于同一直线上且相交的两个圆的交点两两相互重合。
c.等圆的圆心位于同一直线上。
二、圆的方程与切线：1.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
2.切线的定义：与圆仅有一个公共点的直线叫做圆的切线。
切点为圆上的点，切线与半径垂直。
3.切点的判别条件：圆心到直线的距离等于半径，即直线与半径的垂直平分线重合。
4.切线方程的求解：a.公式法：将切点代入圆的方程求解。
b.几何法：通过圆心到切线的垂线求解。
三、圆的内接三角形：1.内接三角形定义：将一个圆放置在一个三角形内，使得三角形的每一边都与圆相切，则称这个三角形为内接三角形。
2.内接三角形的性质：a.每个内接角等于其对应的弧所对的圆心角的一半。
b.三条内角的和等于180°。
c.角平分线上的垂足连线到对边的垂线与切线垂直。
d.内接三角形与圆心连线的中点连线到对边的垂线等于半径。
e.内接三角形的面积等于半周长与半径的乘积。
除了上述知识点外，还可以探讨其他与圆相关的内容，如：1.圆的面积公式：S=πr²。
2.弧长公式：L=2πr(θ/360°)，其中θ为圆心角度数。
3.扇形面积公式：S=a/360°*πr²，其中a为弧所对的圆心角度数。
4.球的表面积与体积公式：对于半径为r的球，其表面积为4πr²，体积为(4/3)πr³。
总结：九年级数学中关于圆的知识点主要涵盖了圆的基本性质、圆的方程与切线、圆的内接三角形等内容。
对这些知识点的掌握和理解对于学生的数学学习和解题能力具有重要的意义。
初三数学圆的笔记整理
初三数学圆的笔记整理
圆的概念
1、圆（circle）是端点连续的无限线段的集合，它的所有点与其中的一点的距离都是相等的，该一点叫做圆心（中心），距离叫做半径（radius）；
2、圆的方程：一般式：x2+ y2 = r2；标准形式：（x-a）2+（y-b）2 = r2；
3、圆的参数方程：x = a + r cosα；y = b + r sinα；
圆的性质
1、圆的周长为2 πr ；
2、圆的面积为：πr2；
3、圆的对称性：沿任意直线 g 移动到点 a 后，不改变圆的特征，两点 a 和 b 均存在符合方程 y2 = r2 - x2 的线：
4、锐角三角形里外角相加等于360°；
5、圆面积与半径平方成正比；
6、圆周长与半径成正比。
弧与圆心角
1、弧（arc）是圆上的部分曲线，以圆心O为中心，半径为r的有限线段，它的端点A和B叫做弧的端点（end-points）；
2、圆心角（central angle）是以圆心O为顶点，以半径OA 和OB 作边的扇形，叫做圆 O 的圆心角。
圆意义
1、圆的形状中没有直角，也没有不同大小，也没有不同形状，代表和谐、统一，是几何及美学领域最重要的重要概念；
2、古时以圆形建造螺旋楼，即圆楼，以象征着吉祥、美好的开始，哲学家也把它当做一种哲学思想，以及为某些重要仪式的符号；
3、今天，圆仍是许多文化符号的重要部分，例如圆形的圆盘符号，被国家办公室授予最高级荣誉，圆桌警告人民和睦相处；
4、此外，圆也可以定义出多种几何图形，如圆环、圆弧等，用于应用于多种领域，具有极大的科学价值。
初三数学圆知识点总结
初三数学圆知识点总结圆是初中数学中非常重要的一个概念，几乎涵盖了整个数学知识体系中的各个方面。
圆的性质和应用广泛，不仅在数学中有着重要的地位，而且在生活和实际应用中也有着广泛的应用。
本文将对初三数学圆的知识进行总结和归纳。
一、基本概念和性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点（圆心）的距离相等于定长（半径）的所有点的轨迹构成。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意两点与圆心的线段称为弦，通过圆心的连线称为直径。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径、圆周等是圆的基本要素。
圆心用字母O表示，半径用字母r表示，直径用字母d表示，圆周用字母C表示。
3. 圆的性质：圆周上的任意一点到圆心的距离相等；圆的直径是圆周的一种特殊的弦，它的长度等于半径的两倍；圆的任意弦都可以作为其两点连线的中垂线。
二、圆的要素之间的关系1. 圆心角和弧度：圆心角是指以圆心为顶点，两条弦为腰的角。
它的大小是圆周上这两个点所对的弧所夹的角度。
弧度是用来度量圆心角大小的单位，1弧度等于圆心角所对的弧长与半径的比值。
2. 弧长和扇形面积：弧长是指圆周上的一段弧的长度，它等于圆心角的大小乘以半径的长度。
扇形是以圆心角为顶角，圆的一部分为底边的图形。
扇形的面积等于圆心角所对的弧长与圆周长的比值乘以圆的面积。
3. 弦长和正弦定理：弦长是指圆上任意两点所确定的线段的长度。
正弦定理是指在一个圆内，三角形的三个边与其对角的正弦值之间的关系。
三、圆的重要定理和公式1. 切线定理和割线定理：切线定理是指从同一外点向圆引切线，切线上的切点到引线点距离的平方等于切点到圆心距离的平方。
割线定理是指从同一外点向圆引割线，割线上的切点到引线点的两部分距离的乘积等于引线点到圆心距离的平方减去割线长的平方。
2. 求圆内切多边形的边长和面积：对于正多边形，可以利用正多边形内接圆与外接圆之间的关系来求解多边形的边长和面积。
3. 余弦定理和正弦定理：余弦定理是它描述了一个三角形的边与角之间的关系。
九年级数学圆知识点归纳
九年级数学圆知识点归纳一、圆的定义。
1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点,半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角,它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O 的半径为r,OP=d 。
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点,直线与圆相交；直线与圆只有一个交点,直线与圆相切； 直线与圆没有交点,直线与圆相离。
d = r点P 在⊙O 上 d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r <d 点P 在⊙O 外29、平面直角坐标系中,A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）。
圆九年级圆知识点归纳
圆九年级圆知识点归纳圆是数学中的一个重要概念，在九年级的数学课程中也是必修的内容之一。
本文将主要介绍九年级数学中关于圆的知识点，包括圆的基本概念、圆的性质以及与圆相关的一些定理和公式。
1. 圆的基本概念：圆是平面上所有与一个固定点距离相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，用O表示。
而与圆心距离相等的距离称为半径，用r 表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意一点与圆心的连线称为半径。
2. 圆的性质：（1）圆的直径是通过圆心的两个点之间的线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
（2）圆的周长是圆周的长度，用C表示。
根据定义，圆周的长度等于半径乘以2π（π是一个常数，约等于3.14），即C = 2πr。
（3）圆的面积是圆内部的所有点组成的区域，用A表示。
圆的面积公式为A = πr²。
3. 圆的相关定理和公式：（1）弧长定理：一个圆周的弧长可以表示为θ/360°乘以圆的周长。
其中，θ是对应的圆心角的度数。
（2）圆心角定理：一个圆心角的度数等于它所对应的弧长的长度除以圆的半径。
（3）切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆的半径的斜率相乘的结果等于-1。
（4）切线长定理：从切点到切线外一点的线段与切线相切，这条线段的长度等于这个切点与圆心连线的长度。
4. 圆的应用：圆在日常生活和工程中有着广泛的应用。
例如，轮子和齿轮就是圆的应用之一。
轮子的圆形设计可以减小与地面的摩擦力，使车辆行驶更顺畅。
齿轮是机械设备中的传动部件，由多个圆形齿突出，通过齿与齿之间的啮合来实现动力传递。
总结：通过对九年级数学中与圆相关的知识点的归纳和梳理，我们可以更好地理解和应用这些概念、定理和公式。
圆作为几何学中的一个基础概念，无论是在数学学科中还是在实际中都有着重要的作用。
希望通过学习和掌握这些知识，能够对九年级的数学学习有所帮助。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。
二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。
2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。
3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。
4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。
三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。
2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。
3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。
4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。
四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。
2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。
五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。
2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。
六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。
九年级数学圆知识点总结
引言：正文：一、圆的基本概念1.1圆的定义圆是平面上所有到圆心距离都相等的点的集合。
1.2圆的要素圆包括圆心、半径和直径三个要素。
圆心是圆上所有点的中心点，通常用大写字母O表示；半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示；直径是由圆心穿过圆的两个点所构成的线段，是圆的最长直径。
1.3圆的常见术语圆上的任意一条线段叫做弦，通过圆心且两端点在圆上的弦叫做直径，通过圆心的弦叫做直径的平分线，通过圆心的两条半径叫做直径的垂直平分线。
二、圆的性质2.1圆的轴对称性圆具有轴对称性，即圆上的任意一点关于圆心对称的另一点也在圆上。
2.2圆的切线性质若直线与圆相切于某一点，则这条直线的斜率与半径的斜率互为相反数。
即斜率k1斜率k2=1。
2.3弧的度数圆上的弧可以用弧度来度量，一个完整的圆周分为360度（或2π弧度）。
2.4弧长和扇形面积圆弧的长度与圆的半径和弧度有关，可以使用公式：弧长=半径弧度。
圆的扇形面积可以使用公式：扇形面积=1/2半径的平方弧度。
三、圆的运算3.1圆的周长圆的周长可以使用公式：周长=2π半径。
3.2圆的面积圆的面积可以使用公式：面积=π半径的平方。
3.3弧长的计算已知角度和半径，可以使用公式求弧长：弧长=弧度半径。
四、圆与三角形的关系4.1判定圆内外点的位置关系对于圆外的一点，通过连接这个点和圆心，可以构成一个直角三角形。
利用勾股定理可以判断这个点与圆的位置关系。
4.2圆与正方形的关系正方形内接圆的半径等于正方形边长的一半。
正方形的对角线与圆的直径，且正方形的对角线垂直。
4.3圆与等边三角形的关系等边三角形内切圆的半径等于等边三角形边长的一半。
五、圆周角与弧度制5.1圆周角的度量圆周角是一个角度，以角度制度量，一个完整的圆周角为360度。
5.2弧度制弧度制是用弧长和半径的比值来度量角度，一个完整的圆周角为2π弧度。
总结：九年级数学圆的知识点总结了圆的基本概念、圆的性质、圆的运算、圆与三角形的关系以及圆周角和弧度制。
初三数学圆的知识点总结
初三数学圆的知识点总结一、圆的相关概念1.圆的定义圆是平面上到一个点的距离等于定长的所有点的集合。
这个距离被称为圆的半径，记作r。
圆的大小用圆的半径r来表示。
2.圆的要素圆是由圆心和半径确定的，其中圆心是到圆上任意一点的距离都相等的点，半径是从圆心到圆上的任意一点的距离。
3.圆的基本性质（1）圆的任意直径都等于其半径的两倍。
（2）圆的周长C等于2πr（周长与圆的直径、半径间的关系）。
（3）圆的面积S等于πr²（圆的面积与半径的关系）。
二、圆的常见问题及解题方法1.圆的周长和面积的计算问题对于周长和面积的计算问题，一般需要根据给出的条件，按照具体的计算公式计算得出结果。
2.圆的图形问题在图形问题中，通常遇到的问题有圆与直线的相交关系、圆与圆的位置关系等问题。
解决这些问题通常需要利用圆的性质、基本定理进行分析。
三、圆的相关定理1.圆心角定理圆心角定义：圆心角是以圆心为顶点的角。
当圆心角对应的弧长是整个圆周长的m分之n时，圆心角的度数是360°的m分之n。
当弧长为s时，圆心角的度数是（s/πr）×360°。
2.圆周角定理两条相交弦所夹角的大小，与它们所对的弧有关。
圆周角是以圆周作为边的角。
圆周角等于它所对圆周的两条弧的有关角的度数之和。
3.正比例定理如果两个圆的半径成正比，则这两个圆的面积成正比；如果两个圆的面积成正比，则这两个圆的周长成正比。
四、圆的应用1.工程设计中的圆在工程设计中，圆形是最常见的图形之一，比如在设计轮胎、车轮等产品时都会使用到圆的知识。
2.日常生活中的圆在日常生活中，圆形也是常见的，比如钟表、盘子、足球等都是圆形的。
对于这些物体，我们也可以通过圆的知识对其周长、面积等进行计算和分析。
3.数学问题中的圆圆的知识在解决数学问题中也是必不可少的，比如在几何问题中，计算圆的周长、面积等都需要运用圆的相关知识。
总之，初三数学圆的知识点包括了圆的基本概念、常见问题及解题方法、相关定理和应用等内容。
九年级圆的所有知识点
九年级圆的所有知识点圆是几何学中的重要概念，它在我们的日常生活中无处不在。
在九年级的数学学习中，我们将学习关于圆的各种知识点。
本文将全面介绍九年级圆的所有知识点，包括圆的定义、性质、常见公式以及应用等内容。
一、圆的定义及性质圆是由平面上所有到定点的距离都相等的点构成的集合。
圆由圆心和半径来确定，圆心是圆上任何一点到定点的距离都相等，半径则是圆心到圆上任何一点的距离。
圆的性质包括：1. 圆上任意两点之间的线段都是弦，而直径是一条通过圆心且两端点在圆上的弦，它将圆分为两个相等的半圆。
2. 圆上任意一条弦都可作为直径，且直径的长度是半圆周长的两倍。
3. 圆上每个点到圆心的距离都相等，这个距离就是半径，圆周上所有点到圆心的距离都等于半径的长度。
4. 圆周上的一个角，其对应的弧所对应的圆心角相等，即圆心角的度数等于弧度数。
5. 切线与半径的垂直性质：一条切线与通过切点的半径垂直相交。
二、圆的周长和面积公式1. 周长公式：圆的周长等于直径的长度乘以π（圆周率）。
周长 = 直径× π 或者周长 = 2 ×半径× π。
2. 面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π。
面积 = 半径² × π 或者面积 = （直径/2）² × π。
三、圆的应用圆不仅仅在数学中有着重要的地位，它也广泛应用于生活和其他学科中。
以下是圆的一些常见应用：1. 几何设计：圆形是设计中最基本的形状之一，它常常被用来表达和传达各种美学和构图原则。
2. 圆形建筑：许多建筑物采用圆形设计，如剧院、圆形体育场等，这样可以使观众坐在任何位置上都能获得更好的视觉体验。
3. 圆形运动：许多体育运动中都有圆形运动的要素，例如足球、篮球等球类运动，球场也常常是圆形或半圆形的。
4. 圆的应用于物理学中的轨迹：圆形轨迹出现在一些著名的物理学定律中，如牛顿的万有引力定律中行星的椭圆轨道。
综上所述，九年级圆的知识点包括了圆的定义、性质、周长和面积公式以及常见应用等方面。
九年级圆数学知识点总结
九年级圆数学知识点总结在九年级的数学学习中，圆是一个重要的几何形状。
本文将总结九年级学生需要了解的关于圆的数学知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆的周长和面积计算公式等。
一、圆的定义圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径两个要素唯一确定。
二、圆的性质1. 圆心角性质：圆心角的度数等于所对弧的度数。
2. 弧长角性质：圆心角和所对弧的弧长成正比，即圆心角是所对弧的弧长的一半。
3. 正切线性质：切线与半径的垂直关系。
4. 直径性质：直径是过圆心的两个端点，也是圆的两个切线的临界情况。
5. 弦性质：弦是圆上任意两点的连线，圆心角大于所对弦的弦长所对应的圆心角。
三、圆的周长和面积计算公式1. 圆的周长计算公式：周长等于直径乘以π（π取近似值3.14），或者等于半径乘以2π。
2. 圆的面积计算公式：面积等于半径的平方乘以π。
四、圆的相关概念和定理1. 弧：弧是圆上的一段弧段，可以用圆心角的度数或弧长来表示。
2. 弧度制和角度制：弧度制是以圆的半径长度为单位，角度制是以度数为单位。
3. 弧长公式：弧长等于圆心角的弧度数乘以半径。
4. 扇形：扇形是由圆心角和所对弧组成的图形。
5. 圆锥曲线：圆是一种特殊的椭圆，椭圆的两个焦点重合形成圆。
6. 圆和直线的位置关系：直线可能与圆相切、相交或不相交。
五、九年级圆的应用1. 圆的测量：了解如何使用直径、弧长和半径求圆的周长和面积。
2. 圆的运动学应用：了解圆的运动学应用，如圆周运动和圆周速度的计算等。
3. 圆的工程应用：了解圆在工程领域中的应用，如轮胎的制造和车辆的转弯半径计算等。
六、小结在九年级数学学习中，圆是一个重要的几何形状。
通过掌握圆的定义、性质、周长和面积计算公式，以及相关概念和定理，学生可以更好地理解圆的特点和应用。
掌握圆的知识，有助于解决和应用各类与圆相关的数学问题，同时也为进一步学习高级几何打下坚实的基础。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结九年级数学课程中，圆是一个重要的几何图形。
本文将对九年级圆的相关知识点进行总结，包括圆的定义、圆的性质、圆的元素和圆的应用。
一、圆的定义圆是由平面上离一个定点距离相等的所有点组成的集合。
这个定点叫做圆心，距离叫做半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等的两个圆是相等的。
2. 圆的直径是任意两点在圆上的端点所确定的线段，等于圆的半径的两倍。
3. 圆上任意一点与圆心的距离等于半径的长度。
4. 圆上的任意一条弧，它所对应的圆心角的度数等于弧上的弧度数。
三、圆的元素1. 直径：通过圆心的两个端点构成的线段，是圆的最长的一条线段。
2. 弧：圆上的一部分，可以由两个端点和连接两个端点的弧线构成。
3. 弦：圆上的一条线段，连接圆上的任意两个点，不能通过圆心。
4. 切线：与圆相切于圆的一条线，切点为切线与圆相交的唯一一点。
四、圆的应用1. 圆的面积和周长：圆的面积公式为A=πr²，周长公式为C=2πr。
2. 弧长和扇形面积：弧长公式为L=θr，其中θ为弧度；扇形面积公式为S=θr²/2。
3. 圆与其他几何图形的关系：圆与直线的交点、圆与弦的位置关系等。
在实际应用中，圆经常出现在测量和建模等领域。
比如在测量中，我们常用圆盘测量直径或周长。
在建模中，圆可以用来模拟轮胎、乒乓球等实物的形状。
九年级圆的知识点总结到此结束。
通过对圆的定义、性质、元素和应用的学习，可以帮助我们更好地理解和应用圆的概念。
掌握这些基础知识，有助于我们在解决相关问题时能够准确、高效地运用圆的相关概念和公式。
九年级圆形知识点
九年级圆形知识点一、圆的定义和性质圆是数学中的基本图形之一，是由平面上所有距离某一固定点相同的点组成的集合。
以下是圆的几个重要定义和性质：1.1 圆的定义圆是平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点的集合。
1.2 圆的要素一个圆由圆心、半径和直径组成。
圆心是圆上所有点的中心点，通常表示为O；半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常表示为r；直径是通过圆心并且同时经过圆上两点的线段，其长度等于两倍的半径，通常表示为d。
1.3 圆周圆的边界称为圆周，是由无数个点组成的。
1.4 圆的符号表示圆可以用“⌒”符号来表示，加上圆心大写字母表示圆心，例如⌒O。
二、圆的重要定理和推论2.1 圆的直径定理直径是圆上最长的一条线段，它同时也是两个相对的切点之间的距离。
圆的直径定理指出，任意一个圆的直径都等于圆周长的两倍。
2.2 圆的半径定理圆上任意一条半径与该圆上切线垂直。
2.3 切线定理圆上的切线与半径的垂直定理指出，与圆相切的直线与半径垂直。
2.4 切线与切线相交的性质如果两条切线在圆的外部相交，相交点与圆上两切点的连线平分相交角。
如果两条切线相交在圆上，相交点与圆心的连线与两切点的连线垂直。
三、圆的计算3.1 圆的周长圆的周长可以通过圆的直径或半径计算。
圆的周长公式为C = 2πr，其中π（pi）是一个常数，约等于3.14159。
3.2 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点组成的区域。
圆的面积公式为A = πr²，其中π（pi）是一个常数，约等于3.14159。
3.3 圆的弧长圆的弧长是圆周上任意两点之间的弧线段的长度。
圆的弧长可以通过圆的半径和扇形圆心角计算。
如果扇形圆心角的度数是θ度，圆的半径是r，那么弧长L = 2πr × (θ/360)。
四、圆的应用4.1 圆在几何形状的应用圆在几何形状中有广泛的应用，例如：圆锥、圆柱、圆环等。
这些形状都是基于圆进行构建的。
4.2 圆的应用于日常生活圆的应用也可以在日常生活中找到，例如：轮胎、餐盘、钟表等都是圆形的，这些物体都是基于圆形的性质设计制造的。
九年级几何中圆知识点
九年级几何中圆知识点几何中圆知识点一、定义和性质圆是平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。
固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径长度的两倍。
圆的性质：1. 圆上任意两点都可以被圆心连线，并且这条线段都等于半径的长度。
2. 圆的直径是圆上最长的一条线段。
3. 圆上任意一条线段都可以看作是两个弦，当且仅当线段的两个端点都在圆上时。
4. 圆的周长是圆周上所有弧段长度的和，可以用公式C = 2πr 来表示，其中C表示周长，r表示半径。
5. 圆的面积是圆内所有点构成的区域，可以用公式A = πr²来表示，其中A表示面积。
二、圆的重要元素1. 弧：圆上的两个点确定了一个弧，它是圆周上的一段弯曲线。
2. 弦：圆上的两个点确定了一条弦，它是圆上两点之间的线段。
3. 切线：切线是与圆相切于圆上一点，并且与这一点的切线垂直的直线。
4. 弦割定理：两条截取同一弧的弦长的乘积等于这两条弦所夹圆心角的弧度的正弦的两倍。
三、圆的相关定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的交点与切点之间的线段相互垂直。
2. 弦切角定理：圆上任意一点的切线和弦之间的夹角等于这个弧所对的圆心角的一半。
3. 弦弧角定理：圆上任意一弦所对的圆心角等于这个弧所对的弦的一半。
4. 弧长定理：圆周的长的弧相当于这个弧所对的圆心角的弧度的两倍乘以半径的长度。
四、圆的应用圆的知识在很多实际生活和工作中都有应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 圆的轮廓设计：圆形是最常见的几何形状之一，它在轮胎、圆形钟表和餐盘等产品设计中起到美观和实用的作用。
2. 圆形运动：行星绕太阳运行的轨道符合圆的形状，它在天文学中起到了重要的作用。
3. 圆柱形物体的表面积和体积计算：圆柱的表面积可以通过计算圆底的面积和侧面的矩形面积的和得出，而圆柱的体积可以通过计算圆底面积乘以高得出，这些计算在日常生活和工程中都有所应用。
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初三数学圆教案一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结OP，P点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例2下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选B．例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．例4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）说明：几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）例1．已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为。
解：由相交弦定理得，即，其中2.切割线定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB例2．已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即，（舍）由切割线定理，由勾股定理，∴∴∴四、辅助线总结1.圆中常见的辅助线1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．2、圆中较特殊的辅助线1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．2)．将割线、相交弦补充完整．3)．作辅助圆．例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )A．2 B．3C．4 D．5分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，，即，则，(舍去)．答案：A．例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于( )A．35°B．90°C．110°D．120°分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．例3如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) A． B． C． D．分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：B．例4 如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，．求：EM的长．简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根．(1)求证：BE＝BD；(2)若，求∠A的度数．简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为．得．故BE＝BD．(2)由相交弦定理，得，即．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，，所以，所以．在Rt△ACB中，，故∠A＝60°．。