用一题之“多”训练多维型数学思维
一题多解,培养学生数学思维能力的有效方法
因为 Ｃ Ｅ／ ／ ＡＢ，
所 以 ＤＯＢ 一 Ｃ， Ｂ０Ｅ
图 １
＝ ０Ｅ Ｃ．
ＡＢ ： ２ ６ 一６ ７ ６ ． 所 以 ＢＤ ＋ ＡＤ ： ＡＢ。 ．
所 以 ＡＤＢ一 ９ ０ 。 ．
因 此 Ａ ＤＣ一 １ ８ ０ 。 一 ＡＤＢ一 ９ ０ 。 ．
的方 法 上 ， 在分析问题的时候 ， 一 定要 去 想 与 题 中 所 给 条 件 相 关 联 的知 识 ， 建 立 不 同知 识 问 的 联 系 ， 慢慢构 建知 识 网络 ， 开
问题和解决问题的能力 ， 是 初 中数 学 教 学 中 的 一 个 重 要 任 务．
如何通过解题活动来培养学 生 良好 的思维能 力 ， 应 是 数 学 教 学 的 中心 问 题 ．
１
解法一 是从 条 件 出发， 看 到 直 径， 想到直径所对 的圆周角是直 角，
再结合垂径定理 ， 得到两弧相 等， 是
一
所以 Ｂ Ｄ—ＤＣ＝÷ Ｂ Ｃ一１ ０ ．
‘
种 由 因所 果 的证 明方 法 ， 即综 合 法． 解法二是 由结论 出发 ， 要 得 弧
劳， 兴 趣 降低 ， 窒息 学 生 的智 慧 ． 如何 激 发 学生 浓 厚 的学 习兴 趣 ，
互余 、 斜边上中线等于斜边的一半 、 勾 股定 理 等 等 ．
课 堂上 启 发学生 展 开联 想 ， 进 行 发散 性 思 维 ， 可 以帮 助 学 生
促 进 他 们思 维 品 质 的发 展 呢 ？一 题 多 解 无 疑 是 激 发 学 生 兴 趣 ， 开拓思路， 培 养 思 维 品 质和 应 变 能力 的一 种 有效 的方 法 ．
初 中数 学 一 题 多 解 ， 即充 分 运 用 学 过 的 知 识 ， 从 不 同的角 度、 不 同 的方 向 、 不 同层 面 思 考 数 学 问 题 ， 采 用 多 种 方 法 解 决
一题多解一题多变培养发散性和创造性思维
《一题多解、一题多变，培养学生发散性和创造性思维》江德小学田彩霞在数学教学中，用一题多解、一题多变的方法可以开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
当解一道题时，由于解题途径、解题方法和计量单位不同，得到多种解法，达到殊途同归的目的。
在多种解法中，根据具体情况进行比较，选择其中最合理，最简捷的一种解法，可以有效地培养学生分析问题和解决问题的能力，并逐步形成解题的灵活性和解题技巧。
一、利用一题多解，训练学生创造性思维。
怎样才能高效率地利用习题课，更好地让学生掌握知识、培养学生创新思维能力？这个问题一直困扰着教师。
我们在上习题课时，不求多讲，而求精讲。
通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的方位、不同的观点分析思考同一问题，从而扩充思维的机遇，使学生不满足固有的方法，而求新法。
例如，讲解例题，如图：搭１个正方形需要４根火柴棒。
（１）按图中方式，搭２个正方形需要几根火柴棒，搭３个正方形需要几根火柴棒。
（２）搭１０个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。
在解决第（2）问时，教师设计了４种思路，为学生提供充分的“体验”和“感知”的广阔平台。
即第一个思路：第一个正方形用４根，每增加一个正方形增加３根，那么搭ｘ个正方形就需要火柴棒［４＋３（ｘ－１）］根；第二个思路：上面的一排和下面的一排各用了ｘ根火柴棒，竖直方向用了（ｘ＋１）根火柴棒，共用了［ｘ＋ｘ＋（ｘ＋１）］根火柴棒；第三个思路的解法是以课后习题的数学理解呈现的：搭ｘ个这样的正方形需要［４ｘ－（ｘ－１）］根火柴棒；第四个思路的解法是第一个正方形可以看成是３根火柴棒加１根火柴棒搭成的。
此后每增加一个正方形就增加３根，搭ｘ个正方形共需（３ｘ＋１）根。
这样，让学生开展变题方法研究并在教学中不断反复运用，可以培养学生解题兴趣，养成独立思考、敢于“标新立异”的好习惯，在练习中学会探索，学会创造，达到获得新知识和培养能力的目的。
运用一题多解的呈现形式，为关注每一个学生的差异和进一步发展他们的思维提供了可能。
一题多解优化数学思维
一题多解优化数学思维1 引言数学是思维的体操，学习数学，离不开思维。
思维是人脑对事物本质和事物之间规律性概括的间接的反映。
数学的抽象性决定了单单依靠感觉、知觉或表象是难以认识的，数学只有通过思维才能深刻理解，牢固掌握。
数学思维是思维的一种，既受到所采用的一般思维方式的制约，包含一般思维所具有的本质，有表现出它自己的特性，这种特性是由数学学科本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的。
在数学中最能锻炼思维的莫过于“一题多解”。
通过一题多解，它可提高学生学习数学的兴趣，主动性和积极性；可使学生善于从多角度多方位去探索同一问题，寻求新颖的解证方法，既有助于开阔解证问题的思路，提高解证问题的应变能力，又可以最大限度地挖掘学生已有知识的潜在能力；它还可使学生克服思考问题的片面性，避免顾此失彼而孤立地分析问题。
一题多解从不同角度出发，展开联想，进行思考，努力挖掘出问题中丰富的内涵，寻求问题的不同解法，学会举一反三，力争在多思和多解中领悟真谛，得到收益，是培养学生数学思维，开拓思路，发展智力，提高能力的有效途径，它将思维发散后又指向问题的归宿，起到“殊途同归”的作用。
2 什么是一题多解所谓“一题多解”，即教师对同一个数学问题从不同角度引导和启发学生进行思考，进而在所学知识范围内提出不同的构想和解法。
一题多解是指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得；从而达到一题多用既善于利用渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；使学生能够多题一用既对同类数学问题的归纳，并进而构建数学模型。
就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。
巧用一题多解培养学生的数学思维
探索篇•方宙展示巧用一题多解培养学生的数学思维刘志敏（甘肃省秦安县兴国镇郑川初级中学，甘肃秦安）摘要：一题多变的方法在初中数学教学中加以巧妙运用，不仅可以实现教学质量的进一步提升，同时也可以有效提升学生的思维能力。
在课堂教学中，教师要培养学生用一题多变的方法审题，培养学生的思维意识和创造性思维;在解题过程中，有梯度地对变式进行设置，能够拓展学生数学思维，最终实现课堂的效性教学，提高学生的综合素质。
关键词：一题多解;运用；数学思维;培养在数学学习中，学生在解题时会因为基础知识不扎实及不能灵活运用知识点而阻碍解题思路,遇到学习瓶颈。
所以教学中,教师要注重向学生传授一题多解的思路和方法。
对“一题多解”学习的方法进行总结，能使学生的解题思路得到扩展。
所谓的“一题多解”,简单来说,就是在解题过程中,能够围绕原题为核心，综合题意从各个方面进行研究，运用所学的知识对题目做出不同的解题思路。
在进行初中数学教学过程中，将一题多变的方法加以巧妙运用，不仅可以实现教学质量的进一步提升,为学生综合数学能力的提高打下坚实的基础，同时也可以有效提升学生的思维能力。
一、用一题多变的方法审题,培养学生的思维意识在学习中发现学生最容易出现的错误就是审题不当，因为审题错误导致原本会的题做不对，白白丢分。
因此教师在教学中应该将一题多变的方法巧妙应用于学生的审题之中，指导学生从细微的方向对题目的异同点进行良好分析，殊途同归，在学习的过程中实现思维的进一步深刻。
例如:在进行一元一次方程应用的教学过程中，有这样一道应用题:有一艘快艇和一艘皮艇停靠在同一个起点，快艇先以5m/s的速度行驶20m,皮艇想要尽快追上快艇，就以6m/s的速度行驶，问:皮艇多久才可以追上快艇？变式一:有一艘快艇和一艘皮艇停靠在同一个起点,快艇先以5m/s的速度行驶20s,皮艇想要尽快追上快艇，就以6m/s的速度行驶，问:皮艇多久才可以追上快艇？变式二:有一艘快艇和一艘皮艇停靠在同一个起点,快艇先以5m/s的速度行驶10s,这时教练让皮艇在45s以内必须追上快艇，因此皮艇开始以6m/s的速度行驶了5秒，但是发现继续以这样的速度不能在45s以内追上快艇，问:此时，皮艇要以多少的速度才可以按照教练的要求追上快艇？通过这样的方法，可以使学生在审题的过程中对题目中细微的变化加以重视,久而久之就会养成认真审题的良好习惯,使得学生思维得到进一步的发展，实现初中数学教学质量的有效提升。
数学课堂中一题多解法对学生多项思维的培养-2019年教育文档
数学课堂中一题多解法对学生多项思维的培养新一轮的课堂教学改革对教师在课堂教学中提出更高的要求，特别是要培养学生解题方法灵活多样以及思维的多向性。
老师在给学生讲清知识和揭示规律的基础上，更重要的是培养学生科学的思维方法和学习方法，进而激发学生学习数学的兴趣。
本人将从培养学生思维的灵活性、深刻性、敏捷性、创造性四个方面谈谈自己的拙见。
一、一题多解——培养学生思维的灵活性例：小明从甲城出发到相距360千米的乙城旅游。
乘车6小时行了120千米。
照这样的速度，剩下的路程几小时可以到达？学生通过读题，画图及小组讨论得到了以下几种解法：解法一：分析甲城到乙城相距360千米，6小时行120千米，可以先算出剩下的路程。
根据照这样的速度，（前后所行的速度不变）只要算出已行每小时的速度，就可以算出剩下的路程几小时可以到达？列式：（360-120）÷（120÷6）=12（小时）解法二：分析已知360千米是甲城到乙城的总路程，6小时行了120千米，按照现在的速度，每行120千米要6小时，那么360千米里面包含几个120千米就是几个6小时，然后减去已经行的6小时，就是剩下需要几小时？列式：360÷120×6-6=12（小时）解法三：已知总路程是360千米，6小时已行120千米，照这样速度可以算出行完全程共需要多少时间。
然后用总时间减去已行的时间等于剩下的时间。
列式：360÷（120÷6）-6=12（小时）解法四：先求出从甲城到乙城共需要几小时？在减去已经行的时间，就得到要求剩下时间。
列式：6÷120×360-6=12（小时）解法五：先求出120千米是360千米的几分之几？也就是6小时已行全程的几分之几，可以算出行完全程的时间减去已经行的6小时，就是还剩路程所需要的时间。
列式：6÷（120÷360）-6=12（小时）解法六：把剩下的时间看作单位“1”，先算出已行的路占剩下路程的分率，已知已行6小时，可以算出剩下的时间。
学会用一题多解来提高思维能力
学会用一题多解来提高思维能力很多人都知道数学在培养人的思维能力、创新能力、探索能力等方面起着巨大的作用，被誉为是人类思维的体操。
因此，学习数学除了掌握基本知识、基本技能以外，更要教会我们的学生运用知识的能力，提高思维能力。
新课程标准提出培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念之一，也是数学教育的基本目标之一。
数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用，如，一题多解可以培养思维的广阔性，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。
同一数学问题用不同的数学方法来解答，我们称之为“一题多解”。
其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题。
有句古诗词“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”能很好说明一题多解的意义。
现代数学教育已经证明一题多解，能使学生在数学学习过程中开阔思路，把学过的知识和方法融会贯通，大大提升分析问题和解决问题的能力。
不同的解法可以培养和提高学生处理问题的掌控能力，学会把握各个要素，培养学生全面分析问题的能力。
解：（1）依题意，点P既在∠ACB的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上．如图1，作∠ACB的平分线CP，作线段AB的垂直平分线PM，CP与PM的交点即为所求的P点．△ABP是等腰直角三角形．考点分析：相似形综合题；探究型．题干分析：（1）先根据角平分线及线段垂直平分线的作法作出P点，过点P 分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性质即可判断出△ABP是等腰直角三角形；（2）在Rt△PAB中，由∠APB=90°，PA=PB，PA=m，可得出AB，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，故CA CB=CE EA CB=CE CF=2CE，在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，可知CE=PE，即CA CB=2CE，由△ABC的周长为=AB BC CA即可得出其周长，再根据S△ABC=S△PAC S△PBC﹣S△PAB即可得出其面积；（3）过点D分别作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足为M、N，由角平分线的定义及锐角三角函数的定义可知DM=DN=CDsin45°=，由平行线分线段成比例定理可知DN/AC=DB/AB，DM/BC=AD/AB，再把两式相加即可得出结论．解题反思：本题考查的是相似形综合题，涉及到角平分线及线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的面积公式，涉及面较广，难度较大．通过一题多解的训练，可以提高学生对基础知识和方法的运用能力，发散学生思维，加深学生的思维深度，提升学生分析问题和解决问题的能力，培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力。
通过一题多解培养学生数学思维能力
通过一题多解培养学生创新思维能力通辽市科区第十一中学 季秀云 张海峰新的初中数学课程标准强调注重培养学生的创新能力。
因为创新是一个民族进步的灵魂,是国家兴旺发达不竭的动力。
在数学教学中，对学生进行一题多解的训练，促使学生从不同的视角，不同的方向进行剖析，引导学生从比较中寻找一类问题的解题规律和最佳解法，可起到培养学生创造性思维的作用，同时也能增强学生追求新知识的欲望，提高学生的数学素质和解题的技能技巧。
那么，在整个初中数学教学过程中,怎样培养学生的创新能力呢?笔者的做法是:在数学的题解过程中,提倡一题多解,通过一题多解培养学生思维的深刻性、灵活性，用多种方法解题,可以开阔学生的思维面,使学生的思维呈放射状，久而久之学生思考问题时就能左右逢源,就会有一定的深度,解题时就能灵活地选择一些简便方法。
这样，学生的创新能力就会逐步得到培养和锻炼。
例如，在讲解下面一道几何题时，我通过设疑激思，引导学生复习了全等三角形、相似三角形、勾股定理、平行四边形等相关几何知识，并和学生一起总结归纳此种习题的解题规律和方法。
已知，如图，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ， AF ⊥CD 于F ，FG ⊥AE 于G ，EH ⊥AF 于H ，连接AC 、EF 、AM ，若AC =20，EF =16，求AM 的长. MHG B D C A EF解法一：（勾股定理解法）∵ FG ⊥AE AF ⊥CD∴ AM=AG 2+GM 2=AF 2-GF 2+EM 2-EG 2=AC 2-CF 2-(EF 2-EG 2)+EM 2-EG 2 =AC 2-CF 2-EF 2+EM 2∵AE ⊥BC, AF ⊥CD , FG ⊥AE, EH ⊥AF∴ CD ∥EF,BC ∥FG∴ 四边形EMFC 是平行四边形∴EM=CF∴AM 2=AC 2-CF 2-EF 2+EM 2=AC 2-EF 2=202-162=144∴AM=12解法二：（相似法） MHG B D C A EF∵Rt △AFC 和Rt △AEC 有公共斜边AC∴四个点A 、F 、C 、E 到斜边AC 的中点的距离都相等,都等于斜边AC 的一半 ∴四点A 、F 、C 、E 在以AC 为直径的一个圆上∴∠CEF=∠CAF∵AE ⊥BC, FG ⊥AE∴BC ∥FG ∴∠CEF=∠EFG∴∠EFG=∠CAE∵∠EGF=∠CFA=90°∴△EFG ∽△CAF∴542016===AC EF AF FG ∴43=GF AG∵三角形的三条高线交于一点∴AM ⊥EF∴∠GAM=∠EFG∴△AMG ∽△EFG ∴43==GF AG EF AM ∴4316=AM ∴AM=12以上两种方法是利用勾股定理和相似三角形的方法进行求解的，这两种方法是初中几何问题中求解线段长度问题的常用方法，学生基本都有思路。
从一道习题多解中培养学生的数学思维能力
解 ： （ ）， ２ ：单 。 得 一 舍 ，： ． ３ 故ｚ
在 ＡＡ Ｃ 中， Ｂ 由正 弦定理 有 ：Ｂ ＝ 丽 Ｃ 丽Ｃ Ａ
在 解 三角 形 的过 程 中 ， 弦定理 和余 弦定 理 正 是 常用 的 、 是非 常有效 的解题工 具 。 于解三 角 也 对
形 的题 目 ， 常用 的方法 就 是合 理 运 用这 两个 定 最
算 。 是 ， 道题可 以安如下 方法解 决 。 于 这
在 ＡＡ Ｃ 中 ， Ｂ 由余 弦定
理 有 ： Ｃ 一 ＡＢ ＋ Ｂ ２ Ａ 。 Ｃ 一 ・
ＡＢ ・ＢＣ ・ Ｃ Ｓ ＡＢ Ｃ Ｏ
如 图 ２ 分 别 过 点 Ａ、 Ｄ ， 点 作Ｂ Ｃ的 垂 线 ， Ｂ 于 Ｅ 、 ． 交 Ｃ Ｆ 在
解三 角形 是 高 中数 学 教科 书 中必修 ５的 内 容， 主要是 通 过对任 意三角 形边角关 系 的探 究 ， 发 现并 掌握 三 角 形 中 的边 长 与 角 度 之 间 的 数 量 关
在 △ Ｃ Ｄ 中 ， 余弦定 理有 ： Ｂ 由
ＣＳ ： ￡ Ｏ Ｃ：
二
②
系 ， 认识 到运 用 它们 可 以解 决 一些 与 测 量 和几 并
・
中小学教 学 ・
从 一 道 习题 多解 中培 养 学 生 的数 学 思维 能力
邓 颖 兰 孙 夏
（ 湖北 省 京 山县 第 一 中学 ， 北 京 山 ４ １０ ） 湖 ３ ８０
摘
要 ： 学思 维 是数 学 学 习 的灵 魂 ， 教 学 中要 鼓 励 学 生 对 问题 进 行 分 析 ， 多 角度 来 解 决 数 在 从
与 解 法 三 后 面 相 同 ） 。
５ 运 用 向量
Ｃ
巧用“一题多变”培养小学生数学思维能力
巧用“一题多变”培养小学生数学思维能力摘要：小学时期是培养科学学习能力的重要阶段，而数学的学习是培养学生逻辑思维能力的重要工具。
学好数学不仅可以帮助学生对繁杂的问题进行简化、便于思考，更能帮助学生将数学思维进行迁移，从而促进其他科目的学习，从宏观与微观两个方面培养学生全面发展。
随着教育改革不断的推进，数学思维能力在小学课堂教学中的有效运用，不仅可以在很大程度上促使小学课堂的改革，有效的构建高效课堂，而且可以进一步促进高小学生的核心素养的进一步发展。
关键字：小学数学；思维能力；一题多变新课改下，教师在教学中应该善于运用课本上的习题，发掘其背后的设计原理，从而才能充分发挥“一题多变”的教学手段。
对于教师来说，小学数学的逻辑性还是相对较为浅显的，结论也相对固定，因此教师们可以通过修改题目背景、改变关键数据、改变提问方式等多种形式实现“一题多变”的教学模式。
因此，“一题多变”的讲解方法是非常适用于小学数学课堂的。
教师应该在充分掌握课本习题的命题原理之后，思考命题的其他延伸可能性与相应的方向，并在此基础上改变命题的条件或者提问方式，使知学生的数学思维得到全方位的发展。
这对于培养学生数学思维的灵活性、防止学生将知识“学死、学僵”是十分必要的。
一、通过情景教学的“一题多变”培养学生的数学思维能力调查发现，情境教学的方式在小学教学中对学生数学思维能力的培养起着较大的作用。
教师在进行情景教学中，应该时刻跟书本进行联系，并对教材习题进行改编，实现“一题多变”。
而对于超出书本范围的知识，可以适当进行简单的介绍，不宜花费过多精力。
教师应该选择正确的教学方式对学生的思维能力进行“一题多变”的培养。
举例：市教育部门举办数学竞赛活动，一共有20道数学题，做对一题得5分，不做不得分，做错一题将倒扣2分。
小明和小红是好朋友，他们都喜欢数学，约定一起参加这场竞赛。
问题一：小明每道题都做了，得到了76分，那么他做错了几题，做对了几题？分析：根据题目形式可以得知，这是一道鸡兔同笼的变形题。
一题多解——思维训练的好方法
技法点拨创新是一个民族进步的阶梯，是国家发展的不竭动力。
良好的思维习惯和思维方法是学会创新的前提。
训练学生的思维方式方法显得尤为重要。
一题多解就是思维训练的好方法。
题目：设O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点，P 为动点，若PA 的斜率与PB 的斜率之积为－1，设P 点轨迹为曲线E 。
（1）求点P 的轨迹曲线E 的方程；（2）设4x +my -4=0，M 为直线x =4上任意一点，过点M 向曲线E 引两条切线，切点分别为G ，H ，求证：GH 所在直线过椭圆C 的右焦点F 。
解：（1）可用直接法或定义法易得点P 的轨迹曲线E 的方程为x 2+y 2=4(x ≠±2)。
（2）设M (4,m ),G (x 1,y 1),H (x 2,y 2)。
方法一：由垂直想到斜率之积为-1当m ≠±2时，∵OG ⊥MG ，∴y 1x 1⋅y 1-mx 1-4=-1，化简整理得4x 1+my 1-x 21-y 21=0（当m =±2时也符合）。
∵点G (x 1,y 1)在圆x 2+y 2=4上，∴x 12+y 12=4，∴4x 1+my 1-4=0，同理可得4x 2+my 2-4=0。
∴G 、H 两点坐标是方程的两组解，∴GH 所在直线方程为4x +my -4=0，∴GH 所在直线恒过定点(1,0)，即GH 所在直线过椭圆C的右焦点F 。
方法二：由垂直想到向量的数量积为0∵OG ⊥MG ，∴ OG ⋅MG =0，∴(x 1,y 1)⋅(x 1-4,y 1-m )=0，∴x 1(x 1-4)+y 1(y 1-m )=0，化简整理得x 21+y 21-4x 1-my 1=0。
∵点G (x 1,y 1)在圆x 2+y 2=4上，∴x 12+y 12=4，∴4x 1+my 1-4=0，同理可得4x 2+my 2-4=0。
∴G 、H 两点坐标是方程4x +my -4=0的两组解，∴GH 所在直线方程为4x +my -4=0，∴GH 所在直线恒过定点(1,0)，即GH 所在直线过椭圆C的右焦点F 。
一题多变,提高思维能力
的相等关系。
两 条 平 行 直 线 ,从 而 得 到 相 应 线 段 的 比 例
提 示:如 图 3,由 平 面 BC1D ∥ 平 面
且平 面 A1BC1 ∩ 平 面 BC1D =BC1,
平ALeabharlann 1D1,面 A1BC1 ∩ 平 面 AB1D1 = D1O,可 得BC1∥
关系。
作者单位:
山东省东营市利津县第一中学
行,
证明线 面 平 行 有 一 种 非 常 重 要 的 转 换 思
想,
就是 把 线 面 平 行 转 换 为 面 面 平 行。 本 题
的两问 都 可 以 通 过 这 种 方 式 来 证 明。 当 然,
最直接的方法就是证明直 线 与 平 面 内 的 一 条
直线平行。
(
证明:
1)由 D1 ,
D 分 别 为 A1C1 与 AC
数学部分·知识结构与拓展
高一使用 2022 年 4 月
■
胡
彬
平行关系是立体几何 中 点、
直 线、
平面位
置关系的 重 点,是 历 年 高 考 绕 不 开 的 一 个 考
点,
所 以 AB ⊥
BD 。同理可得,
DE ⊥ 平面 ABC。
所以 S△ABD =
1
1
AB ·BD = ,
S△ABF =
2
2
3
3
3
。
S△ABC = 。由题意得 DE =
4
8
2
设 点 F 到 平 面 ABD 的 距 离 为 d。 由
1
1
可 得 S△ABD ·d= S△ABF ·
VF-ABD =VD-ABF ,
在初中数学一题多解中培养学生数学思维的探讨
在初中数学一题多解中培养学生数学思维的探讨
初中数学是学生数学学习的重要阶段，培养学生的数学思维能力在这个阶段显得尤为
重要。
而在数学学习中，我们常常会遇到一题多解的情况，这种情况下，如何培养学生的
数学思维，成为了我们需要探讨的问题。
一、提高思维能力
不同于传统的数学教学方法，一题多解的情况下能涵盖更多的解题思路和方法，让学
生在探索中养成深思熟虑、眼观六路、耳听八方的习惯，提升他们的思维能力，这种习惯
会在后来的学习和职业生涯中，给学生带来更多的益处。
在掌握了基础知识之后，给学生设计一些一题多解的问题，能够培养他们的自主学习
能力和创新思维，逼迫他们多角度思考，找出问题的关键在哪里，而不是流于表面。
二、促进团队合作
一题多解的情况下，学生可以在团队中进行合作，共同探讨问题，各自提出自己的解
决方案，对其他团队成员的意见也能够开放头脑，让他们了解到各种解题策略，培养学生
的集体协作能力。
在团队中，学生也能够通过交流，了解他人的思考模式，让彼此从中获得启发，并且
在真实环境中比较出各自的优劣并取长补短，为他们今后的数学实践提供了宝贵财富。
三、增加学科兴趣
一题多解也让学生更加体现数学学科的神奇之处。
当学生们发现一道题可以有多种解法，而且这些解法各具特色，会激发他们对数学的兴趣。
他们不再觉得数学乏味和死板，
而是感到它处处都有趣。
总之，在初中数学教学中，我们需要运用一些方法来培养学生的数学思维能力。
一题
多解就是这其中的一个方法。
它可以提高学生的思维能力，促进团队合作，增加学科兴趣，使学生更好地理解数学的奥妙，更好地掌握数学的核心素质。
分析巧用一题多变培养初中学生数学思维能力
分析巧用一题多变培养初中学生数学思维能力摘要：数学，是一门自然学科。
对于所有的中学生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。
大多数中学生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。
但由于中考“指挥棒”的作用，又不得不学。
“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。
而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。
很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。
熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。
但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。
关键词：一题多变；数学；思维初中数学是相对抽象的知识内容，为了更好地让初中生理解和熟练应用初中数学知识，需要借助于一题多变的习题训练方式，培养学生灵活解答数学习题的技巧和能力，使其能够将初中数学知识灵活自如地应用于变化习题的解答之中，做到对数学习题解答的举一反三、融会贯通，更好地巩固和提升学生对数学知识的理解能力和创新能力.下面笔者就来谈一下如何在初中数学教学中通过一题多变、举一反三来提高学生对知识融会贯通的能力.一、一题多变在数学教学中的作用“一题多变”对于我们理科教师来说并不陌生，而且能够在教学过程中运用自如、得心应手。
一题多变指的是对某一个问题进行多角度、多方位、多层次的思考，它对培养学生的发散思维有着很大的意义，也是学生形成良好学习品质的一条有效方法。
具体作用如下：（1）在学习新课的过程中，运用一题多变，使题目由简单到复杂、由浅入深层层递进，这样就能激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效率；（2）在习题训练中，运用一题多变，能使较难的题目发生变化，便于学生找到解题突破口，使问题迎刃而解；（3）在解题过程中，运用一题多变，有助于学生对知识进行重新组合，对问题多思多变。
这样学生就会在解题过程中发现规律、受益匪浅。
巧用“一题多变”培养小学生数学思维能力
㊀㊀㊀㊀㊀１１０数学学习与研究㊀２０２０ ２７巧用一题多变培养小学生数学思维能力巧用 一题多变 培养小学生数学思维能力Һ齐雪萍㊀（甘肃省武威市凉州区南关小学，甘肃㊀武威㊀７３３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ思维能力决定了一个人的认知水平，也决定了一个人最直接的思考方式，而思考方式会促使人直接产生行动．小学阶段是学生思维能力培养的关键时期，而小学数学学科对于学生思维的培养更是占据核心地位．数学本身是一门极具规律性和逻辑性的学科．新课程改革对于小学数学在核心素养理念下进行学生思维发展策略探究提出了新要求，小学数学教师应顺应时代需要，开拓多种形式教学模式，优化教学环节，创新教学方式，从学生实际出发打造多样化的教学策略，推动核心素养理念下小学生数学思维的提升与优化．而小学数学思维训练方法中， 一题多变 是培养小学生数学思维能力的重要方式，通过一道题，引出诸多变题，对于提升学生的思维能力具有积极意义．本文拟在探讨小学数学教师巧用 一题多变 培养小学生数学思维能力策略．ʌ关键词ɔ小学数学；数学思维；教学策略２１世纪是一个智力资源生产与知识资源配置高速运行的经济时代，未来会需要大量创新型人才，而小学数学作为一种逻辑性与规律性极强的学科，对于提升学生的创新意识与思维意识具有重要意义．时代发展与新课程改革对小学数学在新时代下进行课堂教学优化创设以提升学生数学思维提出了新的要求，强调数学教师在教育教学过程中应有意识地创设生动立体的教学情境，注重应用教学，通过引进信息技术㊁借助小组合作㊁教学回归生活等，有意识地发挥小学数学对于促进学生智力开发㊁提升学生数学逻辑思维能力㊁增强学生知识实际运用能力㊁形成严谨思维体系的重要作用，在此过程中，学生的综合性思维能力㊁兴趣化思维程度和独立性思维习惯都会得以显著提升．而本文着重探讨的 一题多变 教学方式，需要教师立足教材，发散思维，提升创新，使年龄尚小㊁思维能力不强的小学生学会用联想旧知㊁联想同类㊁改变问题中的条件或问题以获得新知等变题方法，从一个个变题中悟出统一的㊁普适的解题规律与答题方法，同时激发自己的学习兴趣与探究兴趣，有效避免题海战术，对于巩固学生数学知识，培养学生独立思考㊁举一反三的学习态度具有积极意义．小学数学教学过程本就应是以学生提出问题，教师引导学生进行 一题多变 的过程，在其中体现了师生互动㊁生生互动．一㊁小学数学 一题多变 定义顾名思义， 一题多变 就是改变一道题的条件或问题，将其变成许多题目．通过一题多变的训练，可使学生从变化发展中掌握应用题之间的联系，构建新的知识结构．小学生年龄尚小，思维能力和理解能力都不强，往往题目换一个问法就不会做了，而 一题多变 是解决学生这种问题的有效方式，可以培养学生的思维转变能力，提升学生的学习效率．二㊁小学数学 一题多变 意义（一）利用 一题多变 提升学生数学思维小学阶段是学生智力成长与发展的关键时期，但是年龄尚小的小学生思维理解能力往往较弱，数学又是一门思维逻辑特别强的学科，为此，很多小学生认为数学是一门很有难度的学科，将数学当成一个难点，望而却步．由于小学数学有些题目的确具有一定的思维灵活性，往往换一个问法，甚至仅仅是换一些数字和主语，小学生便认为这是一个全新的题目，不懂得将以往的知识运用到这道题上．而上述问题归根结底都是由于学生不懂得 一题多解 一题多变 的结果．本文所提到的 一题多变 是指通过改变条件或者是改变做法，可以得到不同的题目．在小学数学课堂进行 一题多变 训练，一是为了充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识与方法解答不同条件㊁但思维相同的数学问题的技能技巧．二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识㊁长智慧，促使他们能够灵活㊁有效地应对数学题的千变万化．三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的数学学习创造性．（二）利用 一题多变 提升学生学习效率小学生的思维能力相对较弱，很多学生不会的问题其实是教师已经讲过的问题，这就造成学习效率和教学效率都较低．教师可通过加强 一题多变 训练，从分析上多提问，从解法上多提问，从检验上多提问，进行多问训练，培养学生数学学习思维的灵活性，由此使学生掌握多种方法，提升学习效率和教学效率．三㊁小学数学 一题多变 策略（一）转变教学思路，优化作业布置小学数学 一题多变 教学首先需要教师转变教学思路．目前，小学教师无论是在课堂教学或者是作业布置时都比较注重题海战术，同一类型的题让学生训练很多遍，这种做法一方面会让学生对此产生厌烦心理，进而对数学产生了抗拒心理，另一方面忽略了培养学生的发散思维，反而降低了学习效率．为此，教师要立足教材对学生进行 一题多. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１１１㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２７变 训练，使学生学会用联想旧知㊁联想同类㊁改变事情㊁改变问题中的条件或问题等变题方法，悟出解题规律㊁方法，由此激发学生的学习兴趣，有效避免题海战术，巩固数学知识，进而培养学生独立思考和举一反三的学习能力．例如，原题是 噪声对人的健康有害，绿化造林可有效阻碍噪声传播，绿化前听到汽车的噪声是８０分贝，绿化后降低了１８，降低了多少分贝？ 可以变成 噪声对人的健康有害，绿化造林可有效阻碍噪声传播，原来听到汽车的噪声是８０分贝，绿化后降低了１０分贝，人现在听到的噪声是多少分贝？ 还可以变成 噪声对人的健康有害，绿化造林可以有效阻碍噪声传播．原来听到汽车的噪声是８０分贝，绿化后听到的噪声是原来的１－１８()，人现在听到的噪声是多少分贝？ 由此进行一题多变训练提高学生思维能力，优化教学方法．另一方面，教师要优化作业布置，传统数学作业布置上存在诸多问题：作业量过大㊁超纲；作业缺乏创新，侧重于单纯计算练习；传统作业内容（如配套练习册）占据主导地位，相类似的作业题目重复过多等，为此，教师应转变传统单一的以计算为主的数学作业内容，减少类似题目的重复训练，加强 一题多变 训练，保持学生数学学习的新鲜感和数学思维的灵活度．教师可以在布置作业时要求学生根据应用题的已有条件，创作出一个新的问题写在旁边并加以解答，通过作业提升学生的 一题多变 意识与能力．（二）开展小组合作，提升发散思维传统的小学数学 一题多变 教学是教师主导授课㊁学生被迫听课的机械化教学模式，这种模式下的课堂氛围较为压抑，不利于学生积极性与参与度的提升，更不利于学生 一题多变 自主学习能力的培养．小学生的学习能力与理解能力相对较弱，需要教师的指导与教授才能完成 一题多变 任务，鼓励小学生养成独立学习习惯不仅对于其今后的学习有重要作用，也是核心素养培育对小学数学教学提出的重要要求．小组合作方式可以满足 一题多变 对于发散性思维的要求，学生在小组合作中更容易激发自己的发散思维，进而探究出同一题目的诸多变题．小组合作学习是当今小学生培养独立思考能力㊁开展 一题多变 的重要方式之一．教师将全体学生分为几个学习小组，小组成员的学习成绩要有阶梯性，形成学优生帮助学困生的关系．课堂开始之初，教师可以通过问题导入㊁提出问题，鼓励学生们自行讨论其他变题，变被动接受为独立思考，讨论后得出正解．教师可以针对同一道题，从不同的角度出发提出不同的问题．例如， 五年级一班有学生６０人，女生占３０％，则女生有多少人？ 同时提出 男生有多少人？ 男生比女生多多少人？ 女生人数是男生人数的几分之几？ 等问题，并要求以小组合作的方式解决．这几个问题虽说类似，但是在难度上有一定的差异，小组成员可以分工合作进行．分工合作，一方面可以使每个学生都能参与数学探索中，提升课堂参与度，且在小组合作中，学生的学习能力㊁领导能力与发散思维能力等重要核心素养也得以有效培养；另一方面变 一题多变 传统机械化接受为主动性探索，培养了学生独立学习的能力，对其日后自主进行 一题多变 学习活动的开展具有重要作用．（三）转变惯性思维，培养创新能力数学是一门逻辑性很强的学科，也是一门需要创新思维的学科，所谓一题多变，是通过改变相关的条件来得到一个新的题目．在这一过程中，教师往往需要发挥自己的创新能力，为学生创设既能提升思维，又能增加新意的题目． 一题多变 还能培养学生的创新能力，因为一题多变策略本身就是为了启发和引导学生从不同角度，以不同的思路思考问题，充分认识 换汤不换药 的数学本质．运用相似的方式或思路解答同一类型，但可能条件不同㊁形式不同的数学问题，学生的创新思维与能力必将得以不断提升．教师利用 一题多变 策略可以提升自己与学生的创新能力，可以在学生掌握法则㊁公式的基础上进行变题，淡化思维定势，从分析问题入手，传授给学生了解问题㊁分析问题㊁解决问题的思路．例如，在学习了长方体的表面积后，教师可以让学生归纳出长方体的表面积公式，然后出示一个长方体实物，演示并提出如果去掉底面的一个面，那么这时五个面的面积公式又是怎样的？如果去掉前面的一个面，这时五个面的面积公式又是怎样的？如果去掉两个底面，这时四个面的面积公式又是怎样的？去掉了两个底面，这时实际要求什么？由此使学生通过联想，增强创新意识，培养创造性思维能力，提高解题能力．与此同时，在教师的带领下，学生的 一题多变 能力得到提升．结束语一题多变 在掌握典型例题的基础上，充分发挥数学题目的可变性，对于防止学生思维呆板，摆脱思维定势，提高思维能力具有积极意义．小学数学教师要始终立足教材㊁面向学生㊁发展创新思维㊁避免题海战术㊁巩固数学知识㊁培养独立思考；教师通过转变教学方式㊁优化作业布置㊁采取小组合作的形式，培养学生的变通思维，从注重让学生 学会 知识转变到注重让学生 会学 知识，从而开发学生的智力，培养学生思维的创造性．ʌ参考文献ɔ［１］赵启聪．浅析 一题多变 在小学数学解题教学中的应用［Ｊ］．科学咨询（科技㊃管理），２０１９（３）．［２］朱延东，张体奎．一题多 变 出智慧㊀赏识激励 现 高效： 公倍数应用 教学案例研究［Ｊ］．小学时代，２０１９（００３）：５４－５５．. All Rights Reserved.。
一题多解培养思维能力
一题多解培养思维能力
一道应用题的解题方法往往不是唯一的。
因此，要学会从多方面多角度思考问题，以培养自己的思维能力。
例1甲、乙两人要运240吨货物，甲单独运8小时能运完，乙单独运6小时能运完，两人合作几小时能运完？
思路1：要求两人合作多少小时运完，必须先 求出甲、乙两人每天各运多少吨，然后用总吨数除以每天合运的吨数即得。
思路2：把这堆货物看成整体“1”，甲每天运这堆货物的18
，乙每天运这堆货物的16 ，两人合运一天可以运这堆货物的（18 +16
），用工作总量除以工作效率就得工作时间。
例2一服装厂计划生产2500套服装，前6天完成35
，照这样计算，剩下的还要几天能完成？
思路1：先求剩下的任务，再求还要几天。
思路2：先求完成任务需要的时间，再求剩下的还要几天。
思路3：剩下的任务包含几个6天所完成的任务，就需几个6天。
另外，有一种简便的方法是：6÷35 ×（1-35
）。
你能说出这样列式的算理吗？。
一题多解为高中数学思维培养的途径
一题多解为高中数学思维培养的途径摘要：高中数学的学习，内容上是中学教育的拓展延伸，也是为大学高等数学夯实部分技能基础，从思维的宽度与深度来说，都是一个漫长的历练过程，而解题是数学学习的主要部分，这里我就从解题步骤的其中一个环节来说说解题能力的培养。
关键词：解题反思高中数学“解题”在我的印象中就是探索解题并完成解答的过程，之前并没有去系统和完整地去认识，在这次培训后，感触颇深。
解题的四个步骤：理解题意，思路探求，书写表达，回顾反思。
这才是解题的完整过程。
理解题意即“审题”，目的是弄清题目在告诉你什么，又要你去做什么，去发现已知与结论之间的联系，去发现“怎样解这道题”的逻辑起点；思路探求即“破题”，将起点与结论之间的路打通，起点不一样，走的路就不一样了；书写表达就是将解题思路用数学语言表述出来，目的是说服别人同时还要说服自己；其实，前三点在教学过程中都能做到，但往往忽视了第四点，进行反思和回顾。
“做题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力，发展思维的目的的。
如果善于在解题之后作反思，进行方法的归类，规律的小结，技巧的揣摩，再进一步作一题多变、一题多问、一题多解，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，那无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益。
在三角函数恒等变换这一章节的教学过程中，有这样一道题，“在△ABC中，=．”一般做法如下：由于 <可判断B>60°，若 <可判断A>120°这样一来，A+B>180°不符合，故，故。
对此题进行反思，致使一部分同学们误解有两个答案的原因，究其根本忽视了一个隐含条件，那就是三角形内角和为180°，即任意两角和A+B<180°。
三角形中虽然有0° 咱们判断不清，但是一定有 >0。
若的结果就是导致A+B>180°的话，那么我们将代入计算的话一定有 <0，这样咱们就可以通过计算来排除，那就产生了另外一种新的排除方法：当时，<0故，，这个排除法很简便，就需要再算一次。
用一题多问和一题多变训练多维型数学思维
用一题多问和一题多变训练多维型数学思维
蒋中池
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1989(000)002
【摘要】所谓多维型思维,是指在思维的总进程中,由多个思维指向,多个思维起点,
多个逻辑规则,多个评价标准,多个思维结论而组成的多渠道逻辑线索的思维模式,富有网络性特征、主体性特点,其思维流畅、变通,不拘泥常规,善于开拓、变异。
在数学教学中,注意多维型数学思维的培养和训练,就能使学生在亲身的思维发散中、探
索中,进一步掌握数学知识间的内在联系,能透彻理解教材,巩固所学知识,更能够激发学习兴趣,开阔知识视野,分析能力、探索能力、解决问题的能力将获得较好的培养。
所以,有
【总页数】2页(P2-3)
【作者】蒋中池
【作者单位】江苏镇江师专
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.“一题多问、一题多变”有效教学模式的课例探究--等差、等比数列的综合应用[J], 何淑娟
2.一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考 [J], 沈军英
3.坚持"一题多问、多变",引导"一题多解" [J], 李春来
4.坚持“一题多问、多变”，引导“一题多解” [J], 李春来
5.例谈数学课堂教学中的“一题多变,一题多问” [J], 何君青
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在一题多解中培养数学思维能力
在一题多解中培养思维能力在数学教学中，对学生进行一题多解的训练，促使学生从不同的视角，不同的方向进行剖析，引导学生站在不同的角度思考出不同的解题思路，寻找不同的解题方法，从比较中寻找一类问题的解题规律和最佳解法，这将不仅有利于调动学生学习的积极性，能增强学生追求新知识的欲望，激发学生的潜能，同时还可起到培养学生创造性思维的作用，提高学生的数学素质和解题的技能技巧。
本文以求解三角形问题为背景，阐述“一题多解”在解决数学问题，培养学生思维能力方面的作用。
例1. △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知,3π=B，20周长为,310S 面积= 那么此三角形的三边长为______. A. 5,6,9 B. 5, 7,8 C. 6,6,8 D. 6,7,7 解法一: .403103acsin 21S =⇒==ac πac b b c a b c a 240400)20()(22222--=-+⇒-=+ 又40cos 2222222=-+⇒-+=b c a B ac c a b.）D 或（ ）B 选择（,7=∴b 但,3π=B 若此三角形有两边相等,则必为正三角形,因此选择(B).解法二: 因为,3π=B 又若三角形中有两边相等,则此三角形必为正三角形,所以排除(C)和(D)..403103acsin 21S =⇒==ac π b c a -=+20又acacb c a ac b c a B 22)(2cos 22222--+=-+=8080)20(2122---=b b. ）B 选择（,7=∴b 解法三: .403103acsin 21S =⇒==ac π在选项中能够两数乘积为40的只有(B).解法一、二考察了解题者使用三角形面积公式和余弦定理的解题的基本能力，而第三种解法十分奇异,在选项中找出解题的关键突破口，瞬间找到选项中的矛盾，使问题迎刃而解。
例2. △ABC 中, a 、b 分别内角A 、B 所对的边,且,cos cos AbBa=则此三角形一定是( )A. 等腰非直角三角形B. 直角非等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 解法一: ,cos cos AbBa=Θ 由正弦定理可得.2sin 2sin cos sin cos sin B A ABB A =⇒=B A B A 22或,22-==∴π,.2或,π=+=∴B A B A D).故选择（解法二: ,cos cos AbBa=Θ由余弦定理可得,0))((22222222222=-+-⇒-+=-+c b a b a bcac b b ac b c a a,0或0即222=-+=-c b a b aD).故选择（解法三:由于题设中只有惟一的条件,cos cos AbBa=不妨大胆假设:若A=B, 则等式显然成立,三角形可以为等腰三角形则排除(B);若 ,2π=+B A 则 B A A B sin cos ,sin cos == 根据正弦定理,易知等式成立,则三角形可以为直角三角形, 则排除(A); 而以上两种假设独立存在,无需同时成立,则排除(C); D).故选择（解法一、二考察的是正、余弦定理的使用，而解法三需要更多的想法和灵活的思维，这既是解题经验的积累，又体现了解题者的睿智。
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２６０ ） ２ ０ １
解 法 二 ：利 用 判 别式 法 ） （ 设ｍ： ２ｙ Ｘ＋
，
Ｉ 贝 ｍ Ｘ＋ １ Ｘ ） Ｈ ２ ２ ０ ： ２ （ 一 Ｉ Ｘ２ Ｘ＋１ ｍ＝ － Ｏ。
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Ｘ ∈Ｒ ．
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判 别 式 △＝ 一 ） ４ ２ 】 ｍ） （ ２ ２ ｘ （ 一 ≥０ 得ｍ １ － ≥＿
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Ｘ＋ ‘ ‘Ｙ 的最 小 值 为
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Hale Waihona Puke 解 法 三 ： 利 用 点 到 直 线 的 距 离 （ 公 式 ）把 Ｘ Ｙ ｌ 作 一 条 直 线 方 程 ＋ ：看
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（ 图 １ ， 把 求 Ｘ ＋ 的 最 小 值 的 问 如 ） Ｙ‘
题 转 化 为直 线 Ａ 上 找 一 点 Ｃ（ Ｙ） Ｂ Ｘ， ，
３培 养 兴趣 ．
爱 因斯 坦 说 过 ：兴趣 是 最 好 的 老 师 。 学 生 对 于 自己感 兴 “ ” 趣 的学 科 ， 起 来 轻 松 自如 ， 情 舒 畅 ， 绩 也 满 意 。同 样 ， 学 心 成 对 于感 兴 趣 的 事 情 ． 生 会 有 无 限 的 热 情 和 巨 大 的 于 劲 ， 想 尽 学 会 切 办 法 、 服 一 切 困难 去 完 成 它 。日本 教 育 家 木 村久 一 有 句 克 名 言 ： 天 才 就是 强烈 的兴 趣 和 顽 强 的入 迷 。 可 见 培养 兴 趣 是 “ ”
厂 — 了— —
、
Ｏ
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图１
例 ｌ 已知Ｘ Ｙ １求ｘ ＋ ： ＋ ＝ ． Ｙ 的最 小 值 。
解 法 一 ： 利 用 变元 法 ） Ｙ Ｉ Ｘ 入 Ｘ ＋ ： （ 把 ＝— 代 Ｙ得
Ｘ２ ＝ｘ２ ＋ｙ２ ＋ ｘ
一
使Ｃ到原点 的距离 Ｖｘ ＋ Ｙ 为最小 。
的感 觉 ． 即使 没 有 学 好 这一 专题 。 学 习 新 知 识 的 同 时 也 会 使 在 旧知 识 得 到复 习和 巩 固 。从 心 理 上 对 数 学 的 抵 触 是 学 习 数 学 的天 敌 ， 此 学 生 要 走 出误 区 ， 高 学 习 数 学 的认 识 ， 确 认 因 提 正 识 数 学 学 习 的重 要 性 ． 以积 极 的 心 态 去面 对 数 学 的 学 习 ． ． ２循序 渐 进 ． ． 防止 急 躁 由 于 年 龄 较 小 ． 历 有 限 ， 少 高 中学 生 容 易 急 躁 ， 的 阅 不 有 学 生 贪 多 求 快 、 囵 吞 枣 ， 的学 生 想 靠 几 天 “ 刺 ” 蹴 而 囫 有 冲 一 就 ． 的取 得 一点 成绩 便 洋 洋 自得 ， 到 挫 折 又 一 蹶 不 振 。 针 有 遇 对 这 些情 况 ，教 师 要 让 学 生 懂 得 学 习 是 一 个 长期 的 巩 固 旧 知 识、 发现 新 知 识 的 积 累过 程 ， 非 一 朝 一 夕 可 以 完 成 。 许 多 学 决 生 能 取得 好 成 绩 ， 中一 个 重 要 原 因 是 他 们 的 基 本 功 扎 实 ， 其 阅 读 、 写 、 算 技 能 达 到 了 自动 化 或 半 自动化 的熟 练 程 度 。 书 运
圈
用 一 题 之 “ ＂训 练 多 维 型 数 思 维 多 学
刘 晓 红
（ 南通 市第 ＿ 中学 ， 一 汀苏 南通 所 谓 多 维 型思 维 ， 指 在 思 维 的 总进 程 中 ． 是 由多 个 思 维 指 向 、 个思 维 起 点 、 个 逻 辑 规 则 、 个评 价标 准 、 个 思 维 结 多 多 多 多 论组 成 的 多 渠道 逻 辑 线 索 的 思 维 模 式 ． 富有 网 络性 特 征 、 其 主 体性 特 点 ， 维 流 畅 、 通 ， 思 交 不拘 泥 常 规常 法 ， 于 开 拓 、 善 变异 。 在数 学 教 学 巾 ． 师 注 重 多 维性 数学 思维 的 培 养 和 训练 ． 利 教 有 于学 生 掌握 知 识 间 的 内 在 联 系 ． 彻 地 理 解 教 材 ． 固 所 学 的 透 巩 知识 ， 能 激 发学 习兴 趣 ， 阔 知 识 视 野 ， 养 分 析 能 力 、 索 并 开 培 探 能力 、 决问题的能力。 解 题 之 “ ” 指 ： 题 多 解 、 题 多 变 、 题 多 问 、 题 多 多 是 一 一 一 一 用 、 题 多 联 等 几 个方 面 。实 践 证 明 ： 一 一题 之 “ ” 进行 多 维 多 是 型 数 学思 维 训 练 的 有 效 方 法 ， 面各 举 一 例 以 说 之 ， 同行 们 下 请 指正。 题 多解 。 拓广 思 路 ， 散 数 学 思 维 发
作Ｏ Ｃ上Ａ 垂 足Ｃ 即 为所 求 的点 。 Ｂ， 点
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解法 四 ：利用 － ｆ （ ￣ 函数 的性 质 ）设Ｘ ＋ ‘ｎ ｎ ） －ｌ ＝ ‘（ ≥０ ，令 Ｘ Ｙ ＝
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和 教 师若 不试 图从 数学 的形 式 和单 纯 的 演 算 中 跳 出来 ， 以掌 握 数 学 的 本质 ． 么 挫折 和迷 惑 将 变 得 更 为 严 重 。 可 见 。 习 那 ” 学 数 学 不 能 盲 目地 在 题 海 中遨 游 ． 不 能 就 题 论 题 ， 其是 高 中 更 尤 阶 段 的 数 学学 习 ， 当 注 重掌 握 数 学 思 想 方 法 。 应 什 么 是数 学 思 想 方 法 呢 ？ 学 思 想 方 法 按层 次来 分 ． 数 可分 为 数学 一 般 方 法 、 辑 学 中 的 方 法 和数 学 思 想 方 法 ， 中数 学 逻 其 般 方 法 包 括 一 些 数 学 解 题 的具 体 方 法 和 技 能 、 巧 ， 配 方 技 如 法 、 元 法 、 定 系 数 法 、 别 式 法 等 ； 辑 学 中 的数 学 方 法 是 换 待 判 逻 数 学 思 维 方 法 ． 括 分 析 法 、 合 法 、 纳 法 、 体 方 法 、 验 包 综 归 整 试 方 法 等 ； 学 思 想 方 法 则 包 括 函数 与方 程 的 思 想 、 类 讨 论 思 数 分 想 、 归思 想 和数 形 结 合 思 想 等 。 教 学 中 教 师把 培 养 学 生 的 化 在 数 学 思 想 方 法 作 为 教 学 的 目标 ．那 么 学 生 在 学 习 中 也 要 特 别 重视 思 想 方 法 的 学 习 和 理 解 ，明 确 技 巧 是 解 决 问 题 所 需 要 的 特殊手段 ， 方法 是 解 决 一 类 问题 而 采用 的共 同手 段 ， 解 决 问 而 题 的最 深 层 的 精 灵 就 是 思想 。 方法 是 技 巧 的积 累 ， 想 是 方 法 思 的升 华 。