2016-2017学年高一物理必修2课件：第六章第4节万有引力理论的成就 精品

2．结论：M＝___G______，只要知道 g、R 的值，就可计算出
地球的质量．
1．已知引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度 g
取 9.8 m/s2，地球半径 R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数
量级是( )
A．1018 kg
B．1020 kg
1022 kg
知识点一 天体质量和密度的计算 1．计算天体的质量 以地球质量的计算为例，介绍两种计算天体质量的方法： (1)若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g，根据物 体的重力近似等于地球对物体的引力．即 mg＝GM地R·2 m，解得地球质量为 M 地＝gGR2.
(2)万有引力提供卫星绕地球做圆周运动的向心力．
第六章 万有引力与航天
第 4 节 万有引力理论的成就
第六章 万有引力与航天
1.了解重力等于万有引力的条件． 2.会用万有引力定 律求中心天体的质量． 3．了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
一、“科学真是迷人”
1．依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力 Mm
等于地球对物体的万有引力，即 mg＝__G__R_2____． gR2
物理模型——宇宙中的双星系统 1.双星模型：如图所示，宇宙中有相距较近、 质量可以相比的两个星球，它们离其他星球 都较远，因此其他星球对它们的万有引力可 以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它 们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结 构叫做“双星”．
2．双星模型的特点 (1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一 点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度都相同． (4)两星的运动半径之和等于它们之间的距离，即 r1＋r2＝L.
的周期为( )
n3 A. k2T
n3 B. k T
n2 C. k T
n D. kT
解析：选 B.如图所示，设两恒星的
质量分别为 M1 和 M2，轨道半径分 别为 r1 和 r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得
GMr21M2＝M12Tπ2r1＝M22Tπ2r2，解得G（M1r＋2 M2）＝
2Tπ2(r1＋r2)，即GrM3 ＝2Tπ2 ①，当两星的总质量变为原来
(1)由①②两式相除，得：RR12＝mm21.
(2)因为 v＝ωR，所以vv12＝RR12＝mm12.
(3)由几何关系知 R1＋R2＝L③
联立①②③式解得 ω＝
G（m1L＋3 m2）.
[答案] (1)m2∶m1 (2)m2∶m1 (3)
G（m1＋m2） L3
(1)解决双星问题的关键是明确其运动特点，两 星做匀速圆周运动的向心力由彼此间的引力提供，可由牛顿 运动定律分别对两星列方程求解． (2)万有引力定律表达式中的 r 表示双星间的距离，而不是轨 道半径(双星中两颗星的轨道半径一般不同)．
计算天体的密度
天文学家发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是
地球的 4.7 倍，质量是地球的 25 倍．已知某一近地卫星绕地球运
动的周期约为 1.4 小时，引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，
由此估算该行星的平均密度约为( )
A．1.8×103 kg/m3
B．5.6×103 kg/m3
D．1024 kg
提示：选 D.依据万有引力定律有：F＝GmRM2 ①
而在地球表面，物体所受重力约等于地球对物体的吸引力：
F＝mg② 联立①②解得 g＝GRM2.所以 M＝gGR2＝
9.8×6.4×106×6.4×106 6.67×10－11
kg≈6.02×1024 kg，
即地球质量的数量级是 1024 kg.故正确答案为 D.
二、计算天体的质量
1．太阳质量的计算
(1)依据：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与
太阳间的万有引力充当向心力，即 4π2r3
GMr2m＝__4_π_T2_m2 _r___．
(2)结论：M＝__G__T_2____，只要知道行星绕太阳运动的周期 T
和半径 r 就可以计算出太阳的质量．
2．行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期 T
又 ρ 行∶ρ 地＝MM行 地· ·VV地 行 所以 ρ 行＝MM行 地· ·VV地 行ρ 地 代入数据计算得 ρ 行≈2.9×104 kg/m3，故 D 正确． [答案] D
求天体的密度，关键在于求天体的质量，而求 天体质量时主要利用万有引力定律处理天体运动的两条思 路，同时要注意对题目隐含条件的挖掘，如绕星体表面运行 时有 r＝R 星以及地球的公转周期、自转周期、月球的周期等．
[思路点拨] 仔细观察卫星的运行轨道图，找出卫星所在的 轨道位置，判断出轨道半径的大小，然后结合相应的公式比 较各物理量的关系．
[解析] 同一轨道平面内的三颗人造地球卫星都绕同一中心 天体(地球)做圆周运动，根据万有引力定律 GMr2m＝mvr2，得
v＝ GrM，由题图可以看出卫星的轨道半径 rC＞rB＞rA，故 可以判断出 vA＞vB＞vC，选项 A 错误．因不知三颗人造地球 卫星的质量关系，故无法根据 F＝GMr2m判断它们与地球间的 万有引力的大小关系，选项 B 错误．
v＝
GM r
ω＝
GM r3
T＝2π
r3 GM
vω减减小小 ⇒当 r 增大时 T增大
an减小
an＝GMr2
即：对于 r、v、ω、T、an 五个量“一定四定”，“一变四变”．
如图所示，是同一轨道平面内的三颗人造地球卫星， 下列说法正确的是( ) A．根据 v＝ gr，可知 vA＜vB＜vC B．根据万有引力定律，可知 FA＞FB＞FC C．角速度 ωA＞ωB＞ωC D．向心加速度 aA＜aB＜aC
提示：选 ACD.设相对地面静止的某一物体的质量为 m，则 GMRm2 ＝mg，得 M＝gGR2，所以选项 A 正确．设地球质量为 m， 由万有引力提供向心力，GMr2m＝m4Tπ22r，得 M＝4GπT2r23，M 为
中心天体太阳的质量，无法求出地球的质量，所以选项 B 错 误．设卫星的质量为 m，则由万有引力提供向心力， GMr2m＝mrv2，得 M＝vG2r，所以选项 C 正确．设卫星的质量 为 m，则由万有引力提供向心力，GMr2m＝m4Tπ22r，又 T＝2vπr， 消去 r，得 M＝2vπ3TG，所以选项 D 正确．
解析：选 CD.解题关键：根据万有引力提供向心力列方程讨论．
物理情境
飞船绕地球做匀速圆周运动
研究对象
飞船
应用规律
万有引力定律、万有引力提供向心力
分析解答
GMr2m＝m vr2＝ma＝mrω2＝mr4Tπ22，解得 v＝ GrM， a＝GMr2，T＝2π GrM3 ，ω＝ GrM3 ，因为 r 增大， 所以线速度减小，向心加速度减小，运行周期变长， 角速度减小，即 C、D 正确
GMr2m＝
m2Tπ2r⇒M＝4GπT2r23，已知r和T可以求M；
mvr2⇒M＝rGv2，已知r和v可以求M；
mω2r⇒M＝r3Gω2，已知r和ω可以求M.
2．计算天体的密度 若天体的半径为 R，则天体的密度 ρ＝43πMR3 将 M＝gGR2代入上式得：ρ＝4π3GgR 将 M＝4GπT2r23代入上式得：ρ＝G3Tπ2rR3 3 当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于天体半径 R， 则 ρ＝G3Tπ2.
由 GMr2m＝mω2r 得 ω＝ GrM3 ，又 rC＞rB＞rA，所以 ωA＞ωB ＞ωC，选项 C 正确．由 GMr2m＝ma 得 a＝GMr2，又 rC＞rB＞ rA，所以 aA＞aB＞aC，选项 D 错误． [答案] C
(多选)如图所示，飞船从 轨道 1 变轨至轨道 2.若飞船在两轨道上都 做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对 于在轨道 1 上，飞船在轨道 2 上的( ) A．线速度大 B．向心加速度大 C．运行周期长 D．角速度小
双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引
力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速
圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、
距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运
动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来
的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动
l2 D.Gθt2
[解题探究] (1)“嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度和 角速度为多少？ (2)为计算月球的质量，应确定“嫦娥三号”的哪些物理量？
[解析] 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨 道半径 r＝θl ，根据转过的角度和时间，可得 ω＝θt ，由于月 球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动 的向心力，可得 GMr2m＝mω2r，由以上三式可得 M＝Glθ3t2. [答案] A
的 k 倍，它们之间的距离变为原来的 n 倍时，有（GnkrM）3＝
2π 2 T′
②，联立①②两式可得 T′＝
nk3T，故选项 B 正确．
本部分内容讲解结束
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C．1.1×104 kg/m3
D．2.9×104 kg/m3
[思路点拨] (1)根据系外行星与地球的体积、质量关系可求 出两者密度之比． (2)根据近地卫星(r＝R 地)可求地球密度．
[解析] 由万有引力提供向心力得： GRM2地地＝4Tπ2地2·R 地① 地球体积：V 地＝43πR地3 ② 密度公式：ρ 地＝MV地地③ 解①②③得：ρ 地＝G3Tπ2
和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量 M，公式是
4π2r3 M＝__G__T_2____．
2．(多选)已知引力常量 G，利用下列数据，可以计算出地球 质量的是( ) A．已知地球的半径 R 和地面的重力加速度 g B．已知地球绕太阳做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和线速度 v D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和周期 T