冰山运输_ghgjgh4

冰山运输模型
摘要：在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地，水资源十分缺乏，不得不采用淡化海水的方法为国民提供用水。

成本大约是每立方米0.1英镑。

有些专家提出从相距9600km外的南极用拖船运送冰山到波斯湾，建立起冰山运输模型以取代淡化海水的办法。

关键字：提供用水冰山运输模型
（一）问题阐述
从经济角度看，为了使波斯湾地区国民用水能够更经济，成本比采用淡化海水的方法给国民提供用水的方法更低，有些专家提出从相距9600 Km外的南极用拖船运送冰山到波斯湾。

基于这种情况，我们建立合理的冰山运输模型，探讨这种方法是否比淡化海水方法更经济。

以下是在建模过程中需要参考的数据：
在运送冰山的过程中，拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运送过程中融化速率等方面的数据如下：
（1）三种拖船的日租金和最大运量如表所示
（2）燃料消耗(英镑／千米)．主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略，它们之间的关系如表所示
（3）冰山运输过程中的融化速率(即米／天)．指在冰山与海水、大气接触处每天融化的深度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故。

（二）模型假设
1.拖船航行过程中船速（u km/s）不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距离（d）9600km
2.冰山形状为球形，冰山的体积V=4/3 R3 (其中R为冰山的半径)，且球面各点的融化速率（r m/d）相同即最后得到的冰山还是球形
3.冰山到达目的地后，1m3的冰可以融化成0.85m3的水。

4.船运行过程中燃料的消耗为q（英镑/千米）
5.总费用为C（英镑），由运输冰山而获得的每立方米水所消耗的费用为w（英镑/千米）.
（三）建立模型
1.冰山运送到目的地之后冰山的总体积
根据我们建立的假设把冰山看成球形，由于与海水接触处可能导致融化速率不同，我们建立的模型忽略接触点的不同的融化问题，假设为它的各表面的融化速率相同，并且形状始终不变，始终为球形，由此来简化建立冰山融化的模型.
我们已记冰山球面半径融化速率为r （m/d ），船速为u km ／h ，拖船与南极距离为dkm ．根据表5中融化速率的数据，可设r 是船速u 的线性函数，且当0≤d ≤4000km 时r 也是拖船与南极距离为d 的线性函数，而当d>4000 km 时r 与d 无关，即可设为：
⎩
⎨
⎧≥+≤≤++=4000,)(40000,))((21d u c a d c u b d a r
其中c b a a ,,,21为待定参数．因为在0≤d ≤4000km 时相当于从南极到赤道附近，海水温度随d 增加而增大，使融化速率r 也随d 的增加而变大，而当d>4000km 后海水温度变化较小，这时融化速率受d 的变化不大，可以忽略不计。

我们把表中的数据代入以上式子可以得到：
,3,500,075.0,10
667.125
1===⨯=-c b a a
因此，我们得到融化速率r 的函数如下：
⎪⎩
⎪⎨
⎧≥
+≤≤++⨯=-u t u u t u ut r 61000
,)3(075.0610000,)3)(50024(10667.15
当拖船出发t 天后与南极的距离得出为 d （t ）=24*u*t ，
设t 天冰山的半径是R t ，我们已经假设冰山的初始半径为R
则∑=-=t
t t t
r R R 1
=R-⎰t
dt t r 0
)(
⇒V t =
3
3
4t R π，V 0==
3
3
4R π
因此，我们得到总的冰山的体积：V(u ，V 0
，t)=
3
3
0))(43(
3
4⎰
-
t
dt t r V π
π
2.在运送冰山的过程中，我们要花的总费用分两部分即包括拖船运送冰山过程中的日租金以及燃料消耗费用我们用等式可改写为： 总费用（C ）=租船费用+燃料消耗费用
（1） 租船费用
由表3可知，船的日租金费用只与船型大小有关，所以我们可以建立以下函数
g(V 0)=⎪⎩
⎪
⎨⎧<=<<=<⨯⨯<=7066
05501010,0.810105,2.6105,0.4V V V
又有拖船总的运行的天数为t=9600/（u*24） 由此可得出租船费用为g(V 0)=9600/（u*24） （2） 燃料消耗费用
分析表4给出的燃料消耗(英镑／千米，记作q)的数据可以看出，q 对船速u 和冰山体积V 的对数1g V 均按线性关系变化. 所以我们可设等式为
))()(lg((321c t V c u c q ++=
第t 天与南极的距离为 d （t ）=24*u*t
到第t 天的燃料消耗总费用为 Q(u,t)=⎰
++t c t V c u c u 0
321))()(lg (24dt
其中1c ，c 2，c 3为待定参数代入以上数据我们可以得到
1c =0.3，c 2=1.8，c 3=-1
所以得到，Q(u,t)=⎰-+t
dt t V t u 0)1)()(lg 8.13.0(24 又有拖船总的运行的天数为t=9600/（u*24）
⇒
Q （u ，t ）=⎰
⎰-+=
-+u
u
dt
t V u u dt t V u u 400
400
0)1)()(lg 6(2.7)1)()(lg 8.13.0(24
因此，总费用C=
⎰
⎰--
++
u
t
dt
t r V u u V 400
3
3
00)1)
)(43(3
4)(lg
6(2.724u
9600)
g( π
π
⎰u t r 400
0)(dt=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>
≥+≤+u t u u u u
t u u 61000400,61400)3(075.061000),3(075
.0 根据表达式w （每立方米水所消耗的费用）=
融化后水的总体积
总费用
=
)
400(
*85.0u V C
我们得到它们之间的关系如下表所示：
1.船速与减少的半径之间的关系
⎰u
t r 400
0)(dt=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>≥+≤+u t u u u u
t u u 61000
400,61400)3(075.061000),3(075
.0 船速u （km/h ）
1 3 5 ⎰u
t r 4000
)(dt 米
70.3
35.15
28.12
2.融化后的水的总体积=0.85*V(V
400)
融化为水后的总体积X （m ³）
V0（m ³） 5×e5 e6 e7 船速u=1km/h ——
—— 9.05E+05 船速u =3km/h 9.96E+03 6.92E+04 3.10E+06 船速u=5km/h
3.35E+04
1.52E+05
4.18E+06
总费用C=
⎰
⎰--
++
u
t
dt
t r V u u V 400
3
3
00)1)
)(43(3
4)(lg
6(2.724u
9600)
g( π
π
总费用C 英镑 V0（m ³） 500000 1000000 1.00E+07 船速u=1km/h —— —— 115492.3 船速u=3km/h 115408 163249 180130.27 船速u=5km/h
148977
169784.5
215382
每立方米水所消耗的费用W=
)
400(
*85.0u V C
每立方米水的费用s 英镑
V0（m ³） 500000 1000000 1.00E+07 船速u=1km/h —— —— 0.128 船速u=3km/h 11.5871 2.3581 0.058 船速u=5km/h
4.4415
1.1199
0.0515
结论：从以上结果我们可以看出应选择拖船的船型为大，船速为3~5km/h ，使冰山到达目的地之后，可以得到的每立方米的水所花费的费用最低，
为0.0515英镑，而海水淡化的费用是每立方米0.1英镑>0.0515英镑。

（四） 总结
回到我们最初提出的问题，从我们得到的结果可以看出，我们找到了比淡化海水方法更经济的方法，就是在我们建立的模型下，通过各种模型
的建立和假设，得到的每立方米的水所花费的费用最低，解决了波斯湾地区用水更经济的问题。

（五）误差分析
我们建立的模型总是要跟实际问题想符合，在解决波斯湾地区用水更经济的问题上，我们假设了冰山各表面的融化速率相同，并且形状始终不变，始终为球形，这在现实中是不太可能存在的，而我们为了简化模型的建立，忽略了其他因素不均衡冰山融化的影响。

我们在搜索数据的时候，选取的点较少（离散性较大），可能对我们的结果又一定的影响，但我们在建立模型的过程中，必须做出必要的假设，忽略一些次要的因素，建立必要的假设是符合建模要求的，所以在误差允许的范围内，我们建立的模型所得到的结果是符合实际的，因此我们建立的冰山运输模型解决了为了得到每立方米的水所花费的费用最低，波斯湾地区用水更经济的问题。