高考理科数学模拟(仿全国二卷)
2020届全国2卷高考仿真数学试题(理科)
12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r，若()a b b -⊥r r r ，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。
由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15.C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭.D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2023_年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷
２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００９１－０５收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本题共８小题ꎬ共４０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设ｉ是虚数单位ꎬ则复数２ｉ１－ｉ在复平面内所对应的点位于(㊀㊀).Ａ.第一象限㊀㊀㊀Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ.第四象限２.已知Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜ｘ<０}ꎬＢ＝{－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ则(∁ＵＡ)ɘＢ＝(㊀㊀).Ａ.１{}㊀Ｂ.{－２ꎬ－１}㊀Ｃ.０ꎬ１{}㊀Ｄ.Ø３.已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的准线与圆(ｘ－３)２＋ｙ２＝１６相切ꎬ则ｐ的值为(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４４.阻尼器是一种以提供运动的阻力ꎬ从而达到减振效果的专业工程装置.深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置ꎬ是亚洲最大的阻尼器ꎬ被称为 镇楼神器 .由物理学知识可知ꎬ某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动ꎬ其离开平衡位置的位移ｓ(ｃｍ)和时间ｔ(ｓ)的函数关系式为ｓ＝２ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬ其中ω>０ꎬ若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为ｓ０(－２<ｓ０<２)的时间分别为ｔ１ꎬｔ２ꎬｔ３ꎬ且ｔ３－ｔ１＝２ꎬ则ω＝(㊀㊀).Ａ.π２㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.２π５.已知圆台的上下底面圆的半径分别为１与２ꎬ高为３ꎬ则圆台的侧面积为(㊀㊀).Ａ.７３π㊀㊀Ｂ.３３π㊀㊀Ｃ.６π㊀㊀Ｄ.１１π６.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗ꎬ并在５００名志愿者身上进行了人体注射实验ꎬ发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ(单位:ｍｇ/Ｌ)近似服从正态分布Ｎ１５ꎬσ２()ꎬ且Ｘ在区间１０ꎬ２０()内的人数占总人数的１９/２５ꎬ则这些志愿者中免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ不低于２０的人数大约为(㊀㊀).Ａ.３０㊀㊀Ｂ.６０㊀㊀Ｃ.７０㊀㊀Ｄ.１４０７.已知５５<８４ꎬ１３４<８５ꎬ设ａ＝ｌｏｇ５３ꎬｂ＝ｌｏｇ８５ꎬｃ＝ｌｏｇ１３８ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ａ<ｃＣ.ｂ<ｃ<ａＤ.ｃ<ａ<ｂ８.设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬｆ(ｘ＋１)为奇函数ꎬｆ(ｘ＋２)为偶函数ꎬ当ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂ.若ｆ(０)＋ｆ(３)＝６ꎬ则ｆ(９２)＝(㊀㊀).Ａ.－９４㊀㊀Ｂ.－３２㊀㊀Ｃ.７４㊀㊀Ｄ.５２二㊁多选题:本题共４小题ꎬ共２０分ꎬ每小题有多项符合题目要求.９.若数据ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｍ的平均数为ｘꎬ方差为ｓ２ｘꎬ数据ｙ１ꎬｙ２ꎬ ꎬｙｎ的平均数为ｙꎬ方差为ｓ２ｙꎬ下列说法中一定正确的有(㊀㊀).Ａ.这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ｍｘ＋ｎｙｍ＋ｎＢ.若这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ωꎬ则这ｍ＋ｎ个数据的方差为ｓ２＝ｍ[ｓ２ｘ＋(ｘ－ω)２]＋ｎ[ｓ２ｙ＋(ｙ－ω)２]ｍ＋ｎＣ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｙ＝ａｘ＋ｂＤ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｓ２ｙ＝ａ２ｓ２ｘ＋ｂ１０.如图１ꎬ在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝３ꎬＡＤ＝ＡＡ１＝１ꎬ点Ｐ为线段Ａ１Ｃ上的动点ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).图１Ａ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＤ１Ｐʊ平面ＢＤＣ１Ｂ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＡꎬＰꎬＣ１三点共线Ｃ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬＡ１Ｃʅ平面Ｄ１ＡＰＤ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬøＤ１ＰＡ取得最大值１１.已知圆Ｍ:(ｘ－１－ｃｏｓθ)２＋(ｙ－２－ｓｉｎθ)２＝１ꎬ直线ｌ:ｋｘ－ｙ－ｋ＋２＝０ꎬ下列四个选项ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.对任意实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ有公共点Ｂ.存在实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ相离Ｃ.对任意实数ｋꎬ必存在实数θꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切Ｄ.对任意实数θꎬ必存在实数ｋꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切１２.设１－２ｘ()ｎ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ ＋ａｎｘｎꎬｘɪＲꎬｎɪＮ∗ꎬ则下列结论中正确的是(㊀㊀).Ａ.－ａ１２＋ａ２２２－ａ３２３＋ ＋－１()ｎａｎ２ｎ＝２ｎ－１Ｂ.当ｎȡ３时ꎬ２ａ２＋６ａ３＋ ＋ｎｎ－１()ａｎ＝４ｎｎ－１()Ｃ.若ａ８>ａ７ꎬａ８>ａ９ꎬ则ｎ＝１２Ｄ.当ｘ＝－１２０００ꎬｎ＝２０２２时ꎬ１－２ｘ()ｎ>１０９１５三㊁填空题:本题共４小题ꎬ共２０分.１３.已知双曲线Ｃ的焦点在坐标轴上ꎬ中心为坐标原点ꎬ其渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘꎬ则该双曲线Ｃ的离心率为.１４.әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝２ꎬøＡＣＢ＝π４ꎬＯ是әＡＢＣ外接圆的圆心ꎬ则ＯＣң ＡＢң＋ＣＡң ＣＢң的最大值为.１５.写出一个定义在Ｒ上且值域为(－１ꎬ１)的奇函数ｆ(ｘ)＝.１６.设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ＋ａ(ｘ－１)＋ｂ(ａꎬｂɪＲ)在区间１ꎬ３[]上总存在零点ꎬ则ａ２＋ｂ２的最小值为.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.(本小题１０分)已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝９ꎬａ４－ａ２＝２４.(１)求数列ａｎ{}的通项公式ａｎꎻ(２)设ｂｎ＝ｎ ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项的和Ｓｎ.１８.(本小题１２分)在әＡＢＣ中ꎬ内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若әＡＢＣ的面积为１０３ꎬＤ为ＡＣ的中点ꎬ求ＢＤ的最小值.１９.(本小题１２分)如图２ꎬ已知四棱锥Ｐ－ＡＢ￣ＣＤꎬ底面ＡＢＣＤ为菱形ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬＥꎬＦ分别是ＢＣꎬＰＣ的中点.(１)证明:ＡＥʅＰＤꎻ(２)若Ｈ为ＰＤ上的动点ꎬＥＨ与平面ＰＡＤ所成最大角的正切值为６/２ꎬ求二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的余弦值.图２２０.(本小题１２分)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬａ＝３ｂꎬ点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬＴ(３ꎬ０)ꎬ证明ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值.２１.(本小题１２分)现有一批疫苗试剂ꎬ拟进入动物试验阶段ꎬ将１０００只动物平均分成１００组ꎬ任选一组进行试验.第一轮注射ꎬ对该组的每只动物都注射一次ꎬ若检验出该组中有９只或１０只动物产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ试验终止ꎻ否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射ꎬ再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立ꎬ两次注射疫苗互不影响ꎬ且产生抗体的概率均为ｐ(０<ｐ<１).(１)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含ｐ的多项式表示)ꎻ(２)记该组动物需要注射次数Ｘ的数学期望为Ｅ(Ｘ)ꎬ求证:１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.(本小题１２分)已知ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘ＋１２ａｘ２＋１ꎬａɪＲ.(１)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－(ｘ－１)ｅｘ－１＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２]上有１个零点ꎬ求实数ａ的取值范围.参考答案１.Ｂ㊀２.Ｃ㊀３.Ｃ㊀４.Ｂ㊀５.Ｃ㊀６.Ｂ㊀７.Ａ㊀８.Ｄ９.ＡＢＣ㊀１０.ＡＣＤ㊀１１.ＡＣ㊀１２.ＡＣＤ１３.５或５２㊀１４.３㊀１５.ｅｘ－１ｅｘ＋１㊀１６.ｅ４８１７.(１)设数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ由ａ４－ａ２＝２４ꎬ得９ｑ－９ｑ＝２４.即３ｑ２－８ｑ－３＝０.解得ｑ＝３或ｑ＝－１３.又因为ａｎ>０ꎬ则ｑ>０.所以ｑ＝３.所以ａｎ＝９ˑ３ｎ－３＝３ｎ－１.(２)因为ａｎ＝３ｎ－１ꎬ所以ｂｎ＝ｎ ａｎ＝ｎˑ３ｎ－１.所以Ｓｎ＝１ˑ３０＋２ˑ３１＋３ˑ３２＋ ＋ｎˑ３ｎ－１ꎬ３Ｓｎ＝１ˑ３１＋２ˑ３２＋ ＋ｎ－１()３ｎ－１＋ｎˑ３ｎ.所以－２Ｓｎ＝１＋３１＋３２＋ ＋３ｎ－１－ｎ ３ｎ＝(１－２ｎ) ３ｎ－１２.所以Ｓｎ＝(２ｎ－１) ３ｎ＋１４.１８.(１)在әＡＢＣ中ꎬａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣꎬ所以由正弦定理可得ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.因为ｓｉｎＣʂ０ꎬ所以ｃｏｓＣ＝１２.所以由三角形内角的范围可得角Ｃ＝π３.２()由题意知ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ａｂ ３２＝１０３.所以ａｂ＝４０.在әＢＣＤ中ꎬ由余弦定理ꎬ得｜ＢＤ｜２＝ａ２＋ｂ２４－ａｂｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２４－１２ａｂȡ２ａｂ２－１２ａｂ＝１２ａｂ＝２０ꎬ当且仅当ａ＝１２ｂ且ａｂ＝４０ꎬ即ａ＝２５ꎬｂ＝４５时取等号.所以ＢＤ的最小值为２５.１９.１()由四边形ＡＢＣＤ为菱形ꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬ可得әＡＢＣ为正三角形.图３因为Ｅ为ＢＣ的中点ꎬ所以ＡＥʅＢＣ.又ＢＣʊＡＤꎬ因此ＡＥʅＡＤ.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＡＥ⊂平面ＡＢＣＤꎬ所以ＰＡʅＡＥ.而ＰＡ⊂平面ＰＡＤꎬＡＤ⊂平面ＰＡＤ且ＰＡɘＡＤ＝Ａꎬ所以ＡＥʅ平面ＰＡＤ.又ＰＤ⊂平面ＰＡＤꎬ所以ＡＥʅＰＤ.２()如图３ꎬ设ＡＢ＝２ꎬＨ为ＰＤ上任意一点ꎬ连接ＡＨꎬＥＨꎬ由１()知ＡＥʅ平面ＰＡＤ.所以øＥＨＡ为ＥＨ与平面ＰＡＤ所成的角.在ＲｔәＥＡＨ中ꎬＡＥ＝３ꎬ所以当ＡＨ最短时ꎬøＥＨＡ最大ꎬ即当ＡＨʅＰＤ时ꎬøＥＨＡ最大.因为ｔａｎøＥＨＡ＝６２ꎬ所以ＡＥＡＨ＝３ＡＨ＝６２.因此ＡＨ＝２.又ＡＤ＝２ꎬ所以øＡＤＨ＝４５ʎ.所以ＰＡ＝２.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＰＡ⊂平面ＰＡＣꎬ所以平面ＰＡＣʅ平面ＡＢＣＤ.过点Ｅ作ＥＯʅＡＣ于点Ｏꎬ则ＥＯʅ平面ＰＡＣ.过点Ｏ作ＯＳʅＡＦ于点Ｓꎬ连接ＥＳꎬ则øＥＳＯ为二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的平面角.在ＲｔәＡＯＥ中ꎬＥＯ＝ＡＥ ｓｉｎ３０ʎ＝３２ꎬＡＯ＝ＡＥ ｃｏｓ３０ʎ＝３２ꎬ又点Ｆ是ＰＣ的中点ꎬ在ＲｔәＡＳＯ中ꎬＳＯ＝ＡＯ ｓｉｎ４５ʎ＝３２４ꎬ又ＳＥ＝ＥＯ２＋ＳＯ２＝３４＋９８＝３０４ꎬ在ＲｔәＥＳＯ中ꎬｃｏｓøＥＳＯ＝３２/４３０/４＝１５５ꎬ即所求二面角的余弦值为１５５.２０.１()由点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上ꎬ可得１ａ２＋８９ｂ２＝１.又ａ＝３ｂꎬ解得ａ＝３ꎬｂ＝１.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.２()过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ的方程设为ｘ＝ｍｙ＋１ꎬ与椭圆方程ｘ２＋９ｙ２＝９联立ꎬ消去ｘ可得(９＋ｍ２)ｙ２＋２ｍｙ－８＝０.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－２ｍ９＋ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝－８９＋ｍ２.则ｋＴＭ ｋＴＮ＝ｙ１ｘ１－３ｙ２ｘ２－３＝ｙ１ｙ２(ｍｙ１－２)(ｍｙ２－２)＝ｙ１ｙ２ｍ２ｙ１ｙ２＋４－２ｍ(ｙ１＋ｙ２)＝－２９.则ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值－２９.２１.１()平均每组１０００１００＝１０人ꎬ设第一次注射有Ｙ只动物产生抗体ꎬ则ＹʐＢ(１０ꎬｐ).所以Ｐ(Ｙ＝９)＋Ｐ(Ｙ＝１０)＝ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)＝１０ｐ９－９ｐ１０.所以该组试验只需第一轮注射的概率为１０ｐ９－９ｐ１０.２()由１()得Ｐ(Ｘ＝１０)＝１０ｐ９－９ｐ１０.又Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋꎬｋ＝２ꎬ３ꎬ ꎬ１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０Ｐ(Ｘ＝１０)＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝１０ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)[]＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｃ１０－ｋ１０ (１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＋ð１０ｋ＝０ｋＣ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ－Ｃ９１０(１－ｐ)ｐ９.设ξʐＢ(１０ꎬ１－ｐ)ꎬ则Ｅ(ξ)＝ð１０ｋ＝０ｋＣｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０(１－ｐ).又ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝(１－ｐ＋ｐ)１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０(１－ｐ＋ｐ)１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０＋１０(１－ｐ)(１－ｐ９).因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)>１０.又Ｅ(Ｘ)＝１０＋１０１－ｐ()１－ｐ９()＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０２－ｐ()－１０ｐ９１－ｐ()ꎬ因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)<１０２－ｐ().所以１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.１()函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ求导ꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ａｘ＝ｘｅｘ＋ａ().当ａȡ０时ꎬ当ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.当ａ<０时ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ１＝０ꎬｘ２＝ｌｎ(－ａ).若ｌｎ(－ａ)＝０ꎬ即ａ＝－１时ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则有ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ若ｌｎ(－ａ)<０ꎬ即－１<ａ<０时ꎬ当ｘ<ｌｎ(－ａ)或ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｌｎ(－ａ)<ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ若ｌｎ(－ａ)>０ꎬ即ａ<－１时ꎬ当ｘ<０或ｘ>ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当０<ｘ<ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.所以ꎬ当ａȡ０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当－１<ａ<０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ当ａ＝－１时ꎬｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ当ａ<－１时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.２()依题意ꎬｇ(ｘ)＝１２ａｘ２＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２]ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ(ａ－ｓｉｎｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２]时ꎬ０<ｓｉｎｘɤ１ꎬ当ａȡ１时ꎬａ－ｓｉｎｘȡ０ꎬｇᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递增ꎬ有ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当ａɤ０时ꎬａ－ｓｉｎｘɤ０ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递减ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当０<ａ<１时ꎬ∃ｘ０ɪ(０ꎬπ２)ꎬ使得ｓｉｎｘ０＝ａꎬ而ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２)上单调递增ꎬ当０<ｘ<ｘ０时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ０<ｘ<π２时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ因此ꎬｇ(ｘ)在０ꎬｘ０()上单调递增ꎬ在(ｘ０ꎬπ２)上单调递减.又ｇ(０)＝０ꎬｇπ２æèçöø÷＝ａπ２８－１ꎬ若ｇ(π２)>０ꎬ即８π２<ａ<１时ꎬ无零点ꎻ若ｇ(π２)ɤ０ꎬ即０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)有一个零点.综上可知ꎬ当０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]有１个零点ꎬ所以实数ａ的取值范围０<ａɤ８π２.[责任编辑:李㊀璟]。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)
2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(二)word解析版
绝密 ★ 启用前普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共16页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·渭南质检]设i 是虚数单位，若复数i1iz =+，则z 的共轭复数为（ ） A ．11i 22+B ．11i 2+C ．11i 2-D ．11i 22-【答案】D 【解析】复数i i 11i 2z +==+，根据共轭复数的概念得到，z 的共轭复数为：11i 22-．故答案为D ．2．[2018·吉林实验中学]若双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ） A ．22B ．8C ．9D ．64【答案】B【解析】由双曲线性质：21a =，2b m =，219c m ∴=+=，8m =，故选B ．3．[2018·菏泽期末]将函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位后，得到函数()f x 的图像，则π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．264+ B ．364+ C ．32D ．22【答案】D【解析】()πππsin 2sin 26412f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴ππ2sin 1242f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故选D ． 4．[2018·晋城一模]函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞的值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1【答案】B【解析】0x >Q ，1012x⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即值域()0,1D =，若在区间()1,2-上随机取一个数x ，x D ∈的事件记为，则()()101213P A -==--，故选B ．5．[2018·济南期末]记()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a +++6a ⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．1B ．2C ．129D ．2188【答案】C【解析】在()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++中，令0x =，可得701272a a a a +++⋅⋅⋅+=，()7711a =-=-，所以0126a a a a +++⋅⋅⋅+=7721281129a -=+=，故选C ．6．[2018·昆明一中]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A．83B．163C．203D．8【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V=⨯⨯=，故选B．7．[2018·漳州调研]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一【答案】B【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a1，且，公差为d，则，解得，所以B．8．[2018·周口期末]）A．B．C．D．【答案】B10x-≠，1x≠，即()()11x∈-∞+∞U，，，故排除A，D，当0x=C，故选B．9．[2018·郴州月考]阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A．12 B．18 C．120 D．125【答案】C【解析】第一次运行：011a=+=，1i=为奇数，112S=+=，112i=+=；第二次运行：123a=+=，2i=为偶数，326S=⨯=，213i=+=；第三次运行：336a=+=，3i=为奇数，6612S=+=，314i=+=；第四次运行：6410a =+=，4i =为偶数，1012120S =⨯=，415i =+=； 程序终止运行，输出120S =．故选C ．10．[2018·孝感联考]当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．43【答案】B【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭最小值为12z =，即112p =．区域C 的面积为122⨯2112612p ==，所以12p -11．[2018·德州期末]已知点1F 是抛物线C ：22xpy =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A B 1 C 1D 【答案】C【解析】由题意，20,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设过2F 的抛物线C 的切线方程为2p y kx =-，联立，2220x pkx p -+=，令222440p k p ∆=-=，解得21k =，即2220x px p ±+=，不妨设,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭122c F F p ==，则该双曲线的离心率为1e ==．故选C ．12．[2018·天津期末]已知函数()e e x x f x -=+（其中e 是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B()e e e 11x x x ---+-≤，当且仅当2t =B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2021年全国高考数学仿真模拟试卷(理科)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)
2021年全国高考数学仿真模拟试卷（理科）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)若集合M={x|y=1√1−x}，N={x|x2−x<0}，则M∪N=()A. {x|x<1}B. {x|x>0}C. {x|0<x<1}D. {x|x≥1}2.(2021·全国·模拟题)若复数z满足(1+i)z=2−i(i为虚数单位)，则z的实部为()A. 1B. −3C. 12D. −323.(2021·山东省·其他类型)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%4.(2021·全国·模拟题)下列双曲线的渐近线方程为y=±2x的是()A. x24−y2=1 B. x2−y24=1 C. y22−x2=1 D. y2−x22=15.(2020·河北省衡水市·月考试卷)已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则t为()A. ±1B. 1C. −1D. 06.(2021·全国·模拟题)已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是()A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )7. (2021·全国·模拟题)若实数x ，y 满足不等式组{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0，且ax +y +1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−45,+∞)B. (−∞,−45)C. (−54,−1)D. (1,54)8. (2021·全国·模拟题)若执行如图所示的程序框图，则输出a 的值为( )A. 20B. 25C. 30D. 359. (2021·全国·模拟题)若a =5log 232，b =(15)log 323，c =(√5)log 232，则( )A. c >a >bB. b >a >cC. a >c >bD. a >b >c10. (2021·福建省福州市·期中考试)若△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ，则A =( )A. π3B. π6C. 2π3D. 5π611. (2021·全国·模拟题)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，经过点F 的直线l 的倾斜角为45°，且直线l 交该椭圆于A ，B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该椭圆的离心率为( )A. √33B. √22C. √23D. √3212. (2019·山东省济南市·期末考试)如图，四棱锥P −ABCD的底面ABCD 为平行四边形，CE =2EP ，若三棱锥P −EBD的体积为V1，三棱锥P−ABD的体积为V2，则V1的值为()V2A. 12B. 13C. 14D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)函数y=1的图象在x=4处切线的斜率为______ ．2√x(x∈[0,2π])实数根的个数为______ ．14.(2021·全国·模拟题)方程sinx=1+cos2x315.(2021·全国·模拟题)如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则直线BC1与直线D1E所成角的正切值是______ ．16.(2021·全国·模拟题)已知数列1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，其中在第n个1与第n+1个1之间插入n个x，若该数列的前2018项的和为5928，则x=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)某校的1000名高三学生参加四门学科选拔性考试，每门学科试卷共有10道题，每题10分.规定：学科选拔性考试，每门错x(0≤x≤1,x∈N)题成绩记为A，错x(2≤x≤4,x∈N)题成绩记为B，错x(5≤x≤7,x∈N)题成绩记为C，错x(8≤x≤10,x∈N)题成绩记为D；在录取时，A记为90分，B记为80分，C记为60分，D记为50分.设某校的1000名高三学生参加某一门学科选拔性考试成绩统计如表：答错012345678910题数频数109010015015020010010050500(1)若以四门学科中任一门选拔性考试成绩估计考生的平均成绩，求学生选拔性考试的平均成绩；(2)若以四门学科中任一门学科选拔性考试成绩为参考数据，求“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率．18.(2021·全国·模拟题)已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且a3=5，S7=49．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=2a n+a n，数列{b n}的前n项和为T n，且T n≥1000，求n的取值范围．19.(2021·全国·模拟题)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中点，E在棱BB1上，点F在棱CC1上，且点E，F均不是棱的端点，AB=AC，BB1⊥平面AEF，且四边形AA1B1B与四边形AA1C1C的面积相等．(1)求证：四边形BEFC是矩形；(2)若AE=EF=2，BE=√3，求平面ABC与平面AEF所成角的正弦值．320.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=13x3−a(x2−x+1)．(1)若a=−2，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的a∈R，f(x)只有一个零点．21.(2021·全国·模拟题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1，过其焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为√22．(1)求实数p的值；(2)求直线l的方程．22.(2021·全国·模拟题)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+√2costy=√2sint(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ−4=0．(1)求曲线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程；(2)判断曲线C1与曲线C2公共点的个数，并说明理由．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|2x−2|−|x−2|．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若存在x∈R，使得f(x)<a成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】并集及其运算【解析】解：∵M={x|x<1}，N={x|0<x<1}，∴M∪N={x|x<1}．故选：A．可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：因为(1+i)z=2−i，所以z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i，所以z的实部为12．故选：C．利用复数的除法运算法则求出复数z的代数形式，即可得到答案．本题考查了复数的除法运算法则的运用，复数基本概念的理解和应用，属于基础题．3.【答案】A【知识点】折线图、频率分布直方图【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题．由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A．4.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：x24−y2=1的渐近线方程为：y=±12x，所以A不正确；x2−y24=1的渐近线方程为：y=±2x，所以B正确；y22−x2=1的渐近线方程为：y=±√2x，所以C不正确；y2−x22=1的渐近线方程为：y=±√22x，所以D不正确．故选：B．求出双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．5.【答案】C【知识点】平面向量的坐标运算、向量的模、向量的数量积【解析】解：根据题意，a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，则a⃗+b⃗ =(3,2+t)，a⃗−b⃗ =(−1,2−t)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有9+(2+t)2=1+(2−t)2，解可得：t=−1；故选：C．根据题意，由向量的坐标计算公式可得a⃗+b⃗ =(3,2+t)，a⃗−b⃗ =(−1,2−t)，又由向量模的计算公式可得9+(2+t)2=1+(2−t)2，解可得t的值，即可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，属于基础题．6.【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：根据题意，函数的图象关于y轴对称且−1<f(0)<0，据此依次分析选项：对于A，y=sin(e x+e−x)，有f(0)=sin2>0，A错误；对于B ，y =sin(e x −e −x )，有f(0)=sin0=0，B 错误； 对于C ，y =cos(e x −e −x )，有f(0)=cos0=1，C 错误；对于D ，y =cos(e x +e −x )，有f(−x)=cos(e x +e −x )=f(x)，为偶函数，有f(0)=cos2，有−1<f(0)<0，D 正确； 故选：D ．根据题意，可得函数的图象关于y 轴对称且−1<f(0)<0，据此依次分析选项，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及函数值的计算，属于基础题．7.【答案】A【知识点】简单的线性规划 【解析】解：作出不等式组{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0表示的平面区域如图所示， ∵ax +y +1≥0，∴ax ≥−y −1．讨论：当x =0时，y =2，此时ax ≥−y −1对任意a ∈R 成立； 当x >0时，a ≥−y−1x，即−a ≤y+1x，y+1x的几何意义为可行域内的动点与定点P(0,−1)连线的斜率，联立{x +y −8=0x −5y +10=0，解得A(5,3)，∵k PA =3−(−1)5−0=45，∴(y+1x)min =45，则−a ≤45，得a ≥−45．综上，所求实数a 的取值范围是[−45,+∞). 故选：A ．画出不等式满足的平面区域，由ax +y +1≥0恒成立，可得−a ≤y+1x恒成立，求出y+1x的最小值，则答案可求．本题考查了简单线性规划，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【知识点】程序框图【解析】解：根据程序框图分析可知：a=20，b=80，s≠100；a=21，b=79，s≠100；a=22，b=78，s≠100；a=23，b=77，s≠100；a=24，b=76，s≠100；a=25，b=75，s=100，此时满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为25．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：∵b=(15)log323=5log332，c=(√5)log232=5log432，∵lg 3 2lg2>lg32lg3>lg32lg4，即log232>log332>log432，∴a>b>c，故选：D．利用指数幂的运算先化简为同底数，再根据换底公式和指数函数的单调性即可求解．本题考查对数的运算法则，换底公式的应用，指数函数的单调性，属于中档题．10.【答案】A【知识点】正弦定理【解析】解：∵asinC=√3ccosA，又∵由正弦定理可得，asinA =csinC，∴sinAsinC=√3sinCcosA，∴tanA=√3，又∵0<A <π， ∴A =π3，故选：A ．解：根据已知条件，以及正弦定理，可得tanA =√3，结合A 的取值范围，即可求解． 本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于基础题．11.【答案】C【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：由题意知，F(c,0)，直线AB 的方程为y =x −c ，其中c 为椭圆C 的半焦距，联立{y =x −c b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b 2，∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(c −x 1,−y 1)=2(x 2−c,y 2)，即2x 2+x 1=3c ， ∴x 1=a 2c−3b 2c a 2+b 2，x 2=a 2c+3b 2c a 2+b 2，∴x 1⋅x 2=a 2c−3b 2c a 2+b 2⋅a 2c+3b 2c a 2+b 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b 2，化简得a 4c 2−9(a 2−c 2)2c 2=a 2(2c 2−a 2)(2a 2−c 2)， ∵e =ca，∴e 2−9(1−e 2)2e 2=(2e 2−1)(2−e 2)，令t =e 2>1，可将上式整理为9t 3−20t 2+13t −2=0，即(t −1)2(9t −2)=0， 解得t =1或29， ∴e 2=29，即e =√23，∴所求椭圆的离心率为√23．故选：C ．将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，借助韦达定理，结合平面向量的坐标运算，可得到关于离心率e 的方程，解之即可．本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．12.【答案】B【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：设四棱锥P−ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2=V P−ABD=13×12Sℎ=16Sℎ，∵CE=2EP，∴PE=13PC，∴V1=V P−EBD=V E−PBD=13V C−PBD=13V P−BCD=13×16Sℎ=118Sℎ．∴V1V2=118Sℎ16Sℎ=13．故选：B．设四棱锥P−ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，由棱锥体积公式求得三棱锥P−ABD的体积，再由CE=2EP，借助于等体积法求得三棱锥P−EBD的体积，则答案可求．本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查计算能力，是中档题．13.【答案】−132【知识点】导数的几何意义【解析】解：函数y=12√x ，可得y′=−14x−32，所以函数y=12√x 的图象在x=4处切线的斜率为：f′(4)=−14×4−32=−132．故答案为：−132．求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，是基础题．14.【答案】2【知识点】函数的零点与方程根的关系、正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵sinx=1+cos2x3，∴sinx=2cos2x3，得2sin2x+3sinx−2=0，∴sinx=−2(舍)或sinx=12，又∵x∈[0,2π]，∴x=π6或x=5π6．∴方程sinx=1+cos2x3(x∈[0,2π])实数根的个数为2．故答案为：2．利用二倍角公式变形，化为关于sin x的方程求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角方程的解法，是基础题．15.【答案】√24【知识点】异面直线所成角【解析】解：分别延长D1E、C1B，延长线交于点M，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则MC1=2√2，由正方体的结构特征可知，D1C1⊥平面BB1C1C，则D1C1⊥MC1，∴tan∠D1MC1=12√2=√24．故答案为：√24．由已知求得MC1，再求解直角三角形得答案．本题考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】3【知识点】数列求和方法【解析】解：当n≥2时，前n个1之间共有n+[1+2+3+...+n−1]=n(n+1)2(项)，当n=63时，有2016项，所以在第63个1后面的第二个x就是第2018项，所以前2018项中含有63个1，其余的都均为x，故该数列前2018项的和为63×1+(2018−63)x=5928，解得x=3．故答案为：3．直接利用数据的规律和数列的求和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的求和，规律性数据的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)根据题设知，学生选拔性考试的平均成绩成绩为：90×10+90100+80×100+150+1501000+60×200+100+1001000+50×50+50+01000=70(分)．(2)根据题意得P(A)=10+901000=110，P(B)=100+150+1501000=25， P(C)=200+100+1001000=25， P(D)=50+50+01000=110，∴某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分， 另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，∴“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率为：P =C 41×(110)×(25)3+C 43×(110)3×(25)=17625．【知识点】众数、中位数、平均数、基本事件【解析】(1)由考试成绩统计表能求出学生选拔性考试的平均成绩成绩．(2)分别求出P(A)=110，P(B)=25，P(C)=25，P(D)=110，某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分，另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，由此能求出“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率． 本小题主要考查平均数、古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题． 18.【答案】解：(1)在等差数列{a n }中设首项为a 1，公差为d ，S n 为其前n 项和，且a 3=5，S 7=49． 故{a 1+2d =57a 1+7×62d =49，整理得{a 1=1d =2，故a n =2n −1．(2)由(1)得：b n =22n−1+2n −1，所以T n =21+1+23+3+...+22n−1+2n −1=(21+23+...+22n−1)+(1+3+5+...+2n −1)=2×(4n −1)4−1+n 2=22n+1−23+n 2，由于T n ≥1000， 所以22n+1−23+n 2≥1000，所以n ≥6，所以n 的取值范围为：n ≥6，n ∈N +．【知识点】数列求和方法、等差数列的求和【解析】(1)直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式；(2)利用分组法的应用求出数列的和，进一步利用不等式的应用求出n 的取值范围． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题型．19.【答案】(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1//CC 1，BB 1⊥平面AEF ， 所以CC 1⊥平面AEF ， 则∠AEB =∠AFC =90°，又因为平行四边形AA 1B 1B 与平行四边形AA 1C 1C 的面积相等，BB 1=CC 1， 所以AE =AF ，又因为AB =AC ，所以△AEB≌△AFC ， 则EB =FC ，故四边形BEFC 为平行四边形，又因为BB 1⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则BB 1⊥EF ， 所以四边形BEFC 是矩形； (2)解：取EF 的中点G ，连结AG ， 由(1)可知，AE =AF ，则AG ⊥EF ， 因为BB 1⊥平面AEF ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，则平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ，又平面AEF ∩平面BB 1C 1C =EF ， 所以AG ⊥平面BB 1C 1C ，以G 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则平面AEF 的一个法向量为n⃗ =(0,0,1)， 因为AE =EF =2，G 为EF 的中点，AG ⊥EF ， 所以AG =√3，故A(0,√3,0)，又BE =√33，所以B(−1,0,√33),C(1,0,√33)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,√33)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√33)， 设平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −√3y +√33z =0x −√3y +√33z =0，令y =1，则x =0，z =3， 故m⃗⃗⃗ =(0,1,3)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1×√10=√10 则平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值为√1−(√10)2=√1010．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用线面平行的性质可得CC 1⊥平面AEF ，可证明△AEB≌△AFC ，得到EB =FC ，即四边形BEFC 为平行四边形，通过线面垂直的性质，进一步证明四边形BEFC 是矩形；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ABC 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可． 本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =−2时，f(x)=13x 3+2(x 2−x +1)，则f′(x)=x 2+4x −2，令f′(x)>0，解得x <−2−√6或x >−2+√6，令f′(x)<0，解得−2−√6<x <−2+√6，∴f(x)的单调增区间为(−∞,−2−√6),(−2+√6,+∞)，单调减区间为(−2−√6,−2+√6)；(2)证明：令f(x)=13x 3−a(x 2−x +1)=0，则x 3x 2−x+1−3a =0， 设k(x)=x 3x 2−x+1−3a ，则k′(x)=x 2(x 2−2x+3)(x 2−x+1)2=x 2[(x−1)2+2](x 2−x+1)2≥0，∴k(x)单调递增， ∴k(x)至多有一个零点，又f(3a +1)=6a 2+2a +13>0,f(3a −1)=−13<0， ∴对任意的a ∈R ，f(x)只有一个零点【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】(1)将a =−2代入，求导，判断导函数与0的关系即可求得单调区间； (2)令f(x)=0，可构造函数k(x)=x 3x 2−x+1−3a ，对k(x)求导后可判断其在R 上单调递增，再结合零点存在性定理得证．本题考查里利用导数研究函数的单调性及零点问题，涉及了零点存在性定理的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)据题意，得−p2=−1,p =2．(2)据题设知，抛物线的焦点为F(1,0)． 据题意设直线l 的方程为x =my +1，联立直线方程与抛物线方程可得：y 2−4my −4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ， 所以x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， 所以线段AB 的中点M 坐标为(2m 2+1,2m)． 又因为O 为坐标原点，直线OM 的斜率为√22，所以2m1+2m 2=√22， 解得m =√22，所以所求直线l 的方程为x =√22y +1，即√2x −y −√2=0．【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】(1)由题意得到关于p 的方程，解方程可得p 的值；(2)设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程即可确定直线方程．本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+√2costy =√2sint(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+y 2=2；曲线C 2的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ−4=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转化为直角坐标方程为2x −y −4=0．(2)利用圆心(1,0)到直线2x −y −4=0的距离d =√(−1)2+22=2√55<√2，所以直线与圆相交，故圆与直线有两个交点．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式的应用和直线与圆的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)∵f(x)<0，∴|2x−2|−|x−2|<0，∴|2x−2|<|x−2|，∴(2x−2)2<(x−2)2，∴3x2−4x<0|∴0<x<4，3).所求不等式的解集为(0,43(2)f(x)=|2x−2|−|x−2|，当x≤1时，f(x)=2(1−x)−(2−x)=−x，当1<x≤2时，f(x)=2(x−1)−(2−x)=3x−4，当x>2时，f(x)=2(x−1)−(x−2)=x，即f(x)min=−1，∵存在x∈R，使得f(x)<a成立，∴a>−1，∴实数a的取值范围(−1,+∞)．【知识点】不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】(1)由题意可知f(x)<0，即|2x−2|−|x−2|<0，可得|2x−2|<|x−2|，对两边平方，即可求解．(2)对绝对值不等式分类讨论，结合含参方程的解法，即可求解．本题考查了绝对值不等式的求值，以及含参方程恒成立问题，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．。
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）复数z＝（1+2i）2（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（5分）已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x-1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（-∞，1）∪[3，+∞]B．（-∞，1]∪[3，+∞]C．（-∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）3.（5分）若x，y满足约束条件{3x-y+1≥0，y≤2，x-y-2≤0}，则z＝4x+2y的最小值为（）A．-17B．-13C．16/3D．204.（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b 相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5.（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8-12号气温持续上升D．今年8号气温最低6.（5分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an+2an＝39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（）A．637B．559C．481+25√39D．492+24√787.（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（）A．π/3B．π/2C．2π/3D．16π/38.（5分）下列命题错误的是（）A．∃α，β∈R，cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβB．∀x，k∈R，sin（x+k•2π）＝sinxC．∃x∈[0，π)，sin（x+π/2）＝sinxD．∀x∈R+，∃k∈R，sinx≤kx9.（5分）已知sin（π/3+α）= 2/3，则sinα的值等于（）A．-7/9B．-2/9C．9/2D．3/710.（5分）已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a•b=-2，b•c=0，且a，b，c不共面，那么向量c的长度为（）A．1/2B．1C．√2D．21.题目未给出文章，无法进行修改。
2022年全国新高考II卷仿真模拟试卷(二)数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 函数，则下面4个结论:①函数图象的对称轴为②将图象向右平移1个单位后，得到的函数为奇函数③函数的单调递增区间为④经过点的直线和图象一定有交点正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 在中，，则等于（ ）A．B．C．D．3.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）A．B ．C．D．4. 某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（ ）A ．220B ．240C ．250D ．3005. 若复数满足，则（ ）A ．1B．C ．2D．6. 在中，，设点P ，Q 满足.若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（ ）A ．至少有一次命中目标B ．至多有一次命中目标C ．恰好两次都命中目标D ．恰好有一次命中目标9. 在棱长为1的正方体中，M 为底面ABCD 的中心，，，N 为线段AQ 的中点，则下列命题中正确的是（ ）A ．CN 与QM 共面B ．三棱锥的体积跟的取值有关C ．当时，过A ，Q ，M三点的平面截正方体所得截面的周长为D ．时，10. 已知幂函数的图象过点，则（ ）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．在上为减函数D ．在上为减函数11.，若，则下列结论正确的有（ ）A．B．2022年全国新高考II卷仿真模拟试卷（二）数学试题(1)2022年全国新高考II卷仿真模拟试卷（二）数学试题(1)三、填空题四、解答题C．二项式系数的和为D．12. 下列命题成立的是（ ）A ．若，，则B．若不等式的解集是，则C ．若，，则D ．若a ，b 满足，则的取值范围是13. 已知集合，则__________.14.已知 ，若与平行，则m=__________．15. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是___________.16. 已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若直线l 与函数，的图象都相切，求直线l 的条数．17. 已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n 项和为S n .①求S n ；②若使不等式成立的n()的值恰有4个，求实数的取值范围.19. 已知分别为内角的对边，且.（1）求角；（2）若，求面积的最大值.20. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：函数（为自然对数的底数）恒成立．21.已知直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ，当直线轴时，．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求的最小值．。
高考理科数学模拟(仿全国二卷).pdf
高考模拟题（仿全国二卷理科数学）
一、选择题(x-i)i=y+2i,x、y∈R,则复数 x+yi=(
A、-2+i
B、2+I
) C、1-2i
D、1+2i
2、设集合 （A）
（B）
则
=（ ）
（C）
（D）
3、在平面直角坐标系 xOy 中，向量 =(-1,2), =(2,m)，若 O，A，B 三点能构成三角形，则（ ）
B.2
C.3
D.4
9、若
，则
（
）
(A)
(B)
(C) 1
(D)
10、从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为
（A）
（B）
（C）
（D）
学海无涯 11、直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为
12、设变量 A．12
满足约束条件 B．10
A.m=－4
B.m≠－4
C.m≠1
D.m∈R
4、经过原点并且与直线 x+y-2=0 相切于点（2,0）的圆的标准方程是（
A.（x-1）²+（y+1）²=2
B.（x+1）²+（y-1）²=2
C.（x-1）²+（y+1）²=4
D.（x+1）²+（y-1）²=4
）。
5、某电脑用户计划使用不超过 500 元购买单价分别为 60 元、70 元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买 3
22、)已知不等式 (1)求 a,b 的值. (2)求函数
的解集与不等式
的解集相同.
【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 02卷(理科)(全国卷专用)(解析版)
【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷02卷（理科）（全国卷专用）（解析版）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|2A x x x =<+，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】C【分析】解不等式得到{}|12A x x =-<<，求出交集.【详解】22x x <+，即220x x --<，解得：12x -<<，故{}|12A x x =-<<，所以{}{}{}1,0,1,1|122,30,A x B x =--<=< .故选：C 2．若复数z 满足2iz+为纯虚数，且1z =，则z 的虚部为（）A ．5±B C ．D①命题“x ∃∈R ，210x x ++≥”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”；②0a b +=的充要条件是1ba=-；③若函数()y f x =为奇函数，则()0f x =；④0ab ≥是222a b ab +≥的必要条件.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个能是（）A ．1()f x x=-B ．2()f x x =-C ．()e e x x f x -=+D ．1()ln1x f x x-=+111中，11分別是1111的中点，1，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A 10B ．12C ．10D ．3015位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各位男生入选，则不同安排方法有（）种.A ．16B ．20C ．96D ．120【答案】C【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.【详解】若选一男两女共有：123243C C A 72=；若选两男一女共有：213243C C A 24=；因此共有96种，故选：C7．函数()()f x x ωϕ=+其中π0,||2ωϕ><，的图象的一部分如图所示，()g x x ω=，要想得到()g x 的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移2个单位长度中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（）A．1481B．13C．1781D．1681的锐角组成的对称多边形纹样，具有组合性强、结构稳定等特点．有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条．八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中．在图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角α，β，如图3所示，则αβ+=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B则Rt ABC △中，2BC =，AC 在Rt DEF△中，2EF =，DE =所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-(),0,45αβ∈10．函数()e e cos 2x xf x x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大致图像可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用定义判断()f x 的奇偶性，再结合函数值的符号分析判断，即可得答案.【详解】∵()()()()()()e e cos 2e e cos 2e e e e cos 20x x x xx x x x f x f x x x x ----+-=-+--=-+-=，即()()f x f x =--，11．若双曲线()2210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆C ：22420x y x +-+=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A ．(B ．()1,2C ．)2D ．)+∞12A ．2121e e ln ln x xx x ->-B ．2121e e ln ln x xx x -<-C ．1221e e x xx x >D ．1221e e x xx x <13．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点2F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，则||AB =_____．故||6(6)12AB =--=，故答案为：12.14．已知O 为坐标原点，且(1,),(4,4)A m B m -，若,,O A B 三点共线，则实数m =_____．【答案】45##0.8的面积为___________.绕AD 顺时针旋转π2，则线段AP 扫过的区域面积为____________．故答案为：5π4.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数117382275以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.38；②7；③2，4，5成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*12N n n n S S a n +=++∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)n S 的最小值并指明相应的n 的值．【答案】(1)212n a n =-；(2)n =5或者6时，n S 取到最小值30-.【分析】（1）由已知可得12n n a a +-=，则{}n a 是公差为2的等差数列，若选①，则由382a a +=-列方程可求出1a ，从而可求出通项公式；若选②，则由728S =-列方程可求出1a ，从而可求111的底面为正三角形，1，点D ，E 分别在AB ，1BB 上，且AD DB =，113BE EB =．(1)证明：平面1A DC ⊥平面EDC ；(2)求二面角1A EC D --的余弦值．由题意得()1,0,0B ，()1,0,0C -，(A 因为AD DB =，113BE EB =，所以D 所以113,,222DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，3,0,2DC ⎛=- ⎝）AD DB =，113BE EB =，所以1,0,2D ⎛⎝12,,02CE ⎫ ⎪⎭=⎛⎝，()11,2,3CA = ，1DA 设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z =，20．已知椭圆C ：221x y a b+=()0a b >>的下顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =.(1)试求椭圆C 的标准方程；(2)A ，B 分别是椭圆长轴的左右两个端点，M ，N 是椭圆上与A ，B 均不重合的相异两点，设直线AM ，AN 的斜率分别是1k ，2k .若直线MN 过点2⎫⎪⎪⎝⎭，则12k k ⋅是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.联立222212x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x ，得则12222m y y m +=-+，122y y =-y y，ln x a a g x =+（0a >，是自然对数的底数）．(1)若直线y kx =与曲线()y f x =，()y g x =都相切，求a 的值；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线6πθ=与曲线2C交于点6D π⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求曲线1C ，2C 的普通方程；(2)()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值．选修4-5：不等式选讲23．（1）已知0a >，0b >，412a b+=，求a b +的最小值；（2）已知a ，b ，c ，为任意实数，求证：222a b c ab bc ca ++≥++.。
普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(二)及答案
普通高等学校招生全国统一考试仿真卷（二）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ）A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内()i 2i -对应的点位于第三象限C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ⋅∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解 2．在下列函数中，最小值为2的是（ ）A 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为（ ）A ．30B ．25C ．22D ．20 4．已知曲线421y x ax =++在点()()11f --，处切线的斜率为8，则()1f -=（ ） A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．45．已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 B6．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A 7．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）A ．1 C ．2 8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．在ABC △中，，若2AB =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A10．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，心O 到平面ABC 的距离是（ ） A11．设等差数列{}n a 满足：71335a a =，()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．100πB ．54πC ．77πD ．300π12．若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试(II卷)理科数学
高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试（II 卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i )1()3(-++=m m z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. )1,3(-B. )3,1(-C. ),1(+∞D. )3,(--∞2. 已知集合A = {1,2,3}，B = {x | (x + 1)(x 2) < 0，x ∈Z}，则A ∪B =A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2,3}D. {1,0,1,2,3}3. 已知向量a = (1, m)，b = (3,2)，且(a + b)⊥b ，则m =A. 8B. 6C. 6D. 84. 圆x2 + y2 2x 8y + 13 = 0的圆心到直线ax + y 1 = 0的距离为1，则a =A. 34-B. 43- C. 3D. 25. 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最 短路径条数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 96. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. π20B. π24C. π28D. π327. 若将函数y = 2sin2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A. )(62Z ∈-=k k x ππ B. )(62Z ∈+=k k x ππ C. )(122Z ∈-=k k x ππ D. )(122Z ∈+=k k x ππ 8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x = 2，n = 2，依次输入的a 为2、2、5，则输出的s = A. 7 B. 12 C. 17 D. 349. ==-ααπ2sin 53)4cos(，则若A.257 B. 51C. 51- D. 257- 10. 从区间[0,1]随机抽取2n 个数x1、x2、…、xn 、y1、y2、…、yn ，构成n 个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π的近似值为A.m n 4 B. m n 2 C. n m 4 D. nm 2 11. 已知F1、F2是双曲线E ：12222=-b y a x 的左、右焦点，点M 在E 上，MF1与x 轴垂直，sin ∠MF2F1 =31，则E的离心率为A. 2B.23C. 3D. 2 12. 已知函数)(2)())((x f x f x x f -=-∈满足R ，若函数)(1x f y xx y =+=与图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)，则=+∑=mi iiy x 1)(A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
招生国统一考试高三数学仿真卷二理试题
C．三分鹿之二D．三分鹿之一
8．函数 的局部图像大致为〔〕
A． B．
C． D．
9．阅读如下图的程序框图，运行相应程序，输出的结果是〔〕
A．12B．18C．120D．125
10．当实数 ， 满足约束条件 ，表示的平面区域为 ，目的函数 的最小值为 ，而由曲线 ，直线 及 轴围成的平面区域为 ，向区域 内任投入一个质点，该质点落入 的概率为 ，那么 的值是〔〕
月份
月份代码
1
2
3
4
5
6
场占有率
11
13
16
15
20
21
〔1〕请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度场占有率 与月份代码 之间的关系；
〔2〕求 关于 的线性回归方程，并预测该公司2021年2月份的场占有率；
〔3〕根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大场，现有采购本钱分别为1000元/辆和800元/辆的 ， 两款车型报废年限各不一样．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进展科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
5、在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．设是虚数单位，假设复数 ，那么 的一共轭复数为〔〕
A． B． C． D．
2．假设双曲线 的一个焦点为 ，那么 〔〕
A． B．C．D．
2、选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
高考模拟理科数学试卷二卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列各数中，有最小正整数根的是（）A. 2.3B. 2.7C. 2.9D. 3.12. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(2) = 5，则a 的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 03. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 27，则S9 =（）A. 36B. 45C. 54D. 634. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1/√25. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部为（）B. 1C. -1D. 无法确定6. 已知函数f(x) = log2(3 - 2x)，则f(x)的定义域为（）A. (-∞, 3/2]B. (-∞, 3/2)C. [3/2, +∞)D. [3/2, +∞)7. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 0B. |x| < 0C. |x| ≥ 0D. |x| ≤ 09. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4 = 80，S8 = 640，则公比q为（）A. 1/2B. 2C. 1/410. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的单调递增区间为（）A. (-∞, -1)和(1, +∞)B. (-∞, -1)和(1, 0)C. (-∞, 0)和(0, +∞)D. (-∞, 0)和(0, 1)12. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一条射线C. 一个圆D. 一个点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021届高考理科数学模拟卷(全国Ⅱ卷)(有答案) (1)
2021届高考理科数学模拟卷（全国Ⅱ卷）一、选择题 1.若π2π()33k k α=+∈Z ，则2α的终边在( ) A.第一象限 B.第四象限 C.x 轴上 D.y 轴上2.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16(1)45P ξ==且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A.10%B.20%C.30%D.40% 3.已知等差数列{}n a 的前 n 项和为53,8,6n S a S ==,则107S S -的值是( )A.24B.48C.60D.724.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点P 在函数y =的图象上，则使得PAB 的面积为2的点P 的个数为( ) A.1B.2C.3D.45.已知数列{}n a 中,111,3,n n n a a a S +=+=为其前 n 项和,则2017S =( )A.3 009B.3 025C.3 010D.3 0246.已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A.B.C.12πD.10π7.已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<，直线1x y +=与椭圆交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥，则椭圆的离心率为( )8.已知奇函数()f x 在R 上是增函数,若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()2log 4.1b f =,()0.82c f =,则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. c a b <<9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别为11,AB A B 的中点，则三棱锥C DEF -的外接球体积为( )10.若函数()log 2a y ax =-为增函数，则函数log a y x =的大致图象是( )A. B.C. D.11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-，数列{}n b 满足21n n b a n λ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭，若对于任意*n ∈N ，不等式1n n b b +<都成立，则实数λ的取值范围是( ) A.1()3+∞,B.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.[)0+∞,二、填空题12.已知向量,,|||2==a b a b ,且()-⊥a b a ,则向量 a 和 b 的夹角是____________,()⋅+=a a b _______________.13.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 .14.若复数z 满足i 12i z ⋅=+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为______________. 15.若,x y 满足约束条件0,20,360,x y x y x y +≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩则4z x y =-+的最大值为_________.三、解答题16.在ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，已知3,45a c B ===︒.（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值.17.血红蛋白是高等生物体内负责运输氧气的一种蛋白质血红蛋白的值现在多统一采用国际单位制，以每升血液中有血红蛋白多少克为准血红蛋白的正常值因不同人群而有不同的范围，成年男性的是120~160g /L ，成年女性的是110~150g /L .成年男性的血红蛋白值低于120g /L ，成年女性的血红蛋白值低于110g /L 即为贫血.某医师测得20名成年男性和20名成年女性的血红蛋白值(g /L)，并将所得数据整理后作出了如下频率分布直方图（1）求成年男性、成年女性的贫血率（2）根据贫血情况列出22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为贫血与性别有关系（3）从贫血的人中按照分层随机抽样的方法抽取6人，现从这6人中选4人到上级医院全面评估其健康状况求其中至少有3名成年女性的概率. 附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++18.已知椭圆122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,C D 两点，且43CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点.若5MF =，求1C 与2C 的标准方程. 19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC ABC 和1A AC 都是正三角形，D 是AB 的中点.（1）求证：1BC 平面1A DC ；（2）求二面角11A DC C --的余弦值. 20.已知函数()()2ln 12a f x x x xb =---,,R a b ∈. (1) 当-1b =时,讨论函数()f x 的零点个数；(2) 若()f x 在()0,+∞上单调递增,且2e a b c +≤求c 的最大值. 21.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数），以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π1sin 32ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求MON △的面积. 22.已知函数()54f x x x =-++. (1)求不等式()12f x ≥的解集.(2)若关于x 的不等式()13210a f x ---≥恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案1.答案：D 解析：ππ2π(),6ππ(),3π()3322k k k k k k ααα=+∈∴=+∈∴=+∈Z Z Z .当k 为奇数时，2α的终边在y 轴的非正半轴上；当k 为偶数时，2α的终边在y 轴的非负半轴上.综上，2α的终边在y 轴上，故选D. 2.答案：B解析：设10件产品中存在n 件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，由16(1)45P ξ==得1110210C C 16C 45n n-⋅=，化简得210160n n -+=，解得2n =或8n =.又∵该产品的次品率不超过40%，4n ∴≤，应取2n =，即这10件产品的次品率为220%10=. 3.答案：B解析：设等差数列{}n a 的公差为 d .由题意可得513148,336,a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得10,2.a d =⎧⎨=⎩则1078910132448S S a a aa d -=++=+=.故选B.4.答案：C解析：本题考查直线方程、点到直线的距离公式.由题知AB =PAB的高为h ，则122PABS=⨯=，解得h P 到直线AB 易知直线AB 的方程为20x y --=.设点(,P P x22p x =-①或22P x --=②.由①得0P x =或1P x =；由②知方程只有一个正实数根，所以点P 的个数为3，故选C. 5.答案：B解析：数列{}n a 中,111,3n n a a a +=+=,可得2342,1,2,a a a ===,即奇数项为1,偶数项为2,则()()()20171234201520162017S a a a a a a a =+++++++=33313100813025++++=⨯+=.故选B.6.答案：C解析：设圆柱的底面半径为r ,高为h ,由题意得22,8r h h ==,所以r h =,所以圆柱的表面积为222π2π2π8π12πr rh +=⨯+=.故选C. 7.答案：C解析：设()()1122,,,P x y Q x y ，由2221,41,x y b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得()22248440b x x b +-+-=，所以12221228,444.4x x b b x x b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为OP OQ ⊥，所以()12121212210OP OQ x x y y x x x x ⋅=+=-++=，得247b =，所以椭圆的离心率7e ==. 8.答案：C解析：由题意: ()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 且: 0.822log 5log 4.12,122>><<,据此: 0.822log 5log 4.12>>,结合函数的单调性有: ()()()0.822log 5log 4.12f f f >>, 即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项. 9.答案：C解析：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,FC FD ，三棱锥C DEF -的外接球即为三棱柱11C D F CDE -的外接球，在CDE △中，取CD 中点H ，连接EH ，因为EH 为CD 的垂直平分线，所以CDE △的外心在EH 上，设为点M ，同理可得11C D F △的外心N ，连接MN ，则三棱柱外接球的球心为MN 的中点设为点O ，因为2222EM CM CH MH ==+，2,1MH EM CH =-=，可得54EM CM ==，所以2222514OC MO CM ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，解得OC =，所以34π3V ==⎝⎭.10.答案：A解析：由函数()log 2a y ax =-有意义可知0a >且1a ≠，故2y ax =-为减函数， 又函数log ()2a y ax =-为增函数，所以log a y x =为减函数，故01a <<. 又当0x >时，函数log log a a y x x ==单调递减，且易知函数log a y x =为偶函数，所以函数log a y x =的图象为选项A 中的图象. 11.答案：A解析：当1n =时，211222a S ==-=，当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()122222n n n+=---=，因为当1n =时，1122a ==，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =，所以221n n b n λ=⋅-+⎛⎫⎪⎝⎭. 因为1n n b b -<，所以1222221n n n n λλ+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝-+⎭<，即22221n n λλ⎛⎫ ⎪⎝<⎭--++，得4221n n λ>-++. 令()()42121g x x x x =-≥++，则()()()224221g x x x '=-+++()()()2222212x x x -=++(()()22212x x x x -=-++，易得x 时，()g x 取得最大值，因为*n ∈N ，所以()g n 的最大值为()1g 或()2g ， 又()()1123g g ==，所以13λ>，故选A12.答案：π6;6 解析：设向量,a b 的夹角为 θ,因为|||2==a b ,且()-⊥a b a ,所以22()||||||||cos 3cos 0θθ-⋅=-⋅=-=-=a b a a a b a a b ,解得cos θ.又0πθ≤≤,所以π6θ=,所以2()||||||cos 36θ⋅+=+⋅⋅=+=a a b a a b . 13.答案：120解析:先安排3个歌舞类节目，它们的次序有四种可能:1，3，5或2，4，6或1，3，6或1，4，6.对于前两种情况，其余节目任意排，共有66272⨯⨯=种排法；对于后两种情况，要注意2个小品类节目不相邻，共有64248⨯⨯=种排法.综上所述，共有120种排法. 14.答案：2 解析：复数12i(12i)(i)2i iz +==+-=-的实部是2. 15.答案：15解析：画出变量,x y 满足约束条件的平面区域,如图中阴影部分所示.平移直线40x y -+=至经过直线0x y +=与360x y ++=的交点()3,3A -时,4z x y =-+取得最大值,max (3)4315z =--+⨯=.16.答案：（1）在ABC 中，因为3,45a c B ︒===，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b ︒=+-⨯=，所以b =在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，所以sin C =.（2）在ADC 中，因为4cos 5ADC ∠=-，所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒，所以C ∠为锐角，故cos C sin 1tan cos 2C C C ==.因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而()tan tan 180san()DAC ADC C ADC C ︒∠=-∠-∠≠-∠+∠ 31tan tan 24211tan tan 111432ADC C ADC C -+∠+=-=-=-∠⨯⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭. 解析：17.答案：（1）成年男性的贫血率为(0.0250.0250.125)20.35++⨯=. 成年女性的贫血率为(0.050.100.150.40)10.7+++⨯=.（2）成年男性的贫血人数为200.357⨯=，成年女性的贫血人数为200.714⨯=. 根据贫血情况可得22⨯列联表如下：成年男性 4.912 3.8412020211957k ==≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为贫血与性别有关系.（3）按分层随机抽样的方法抽取的这6人中有成年男性 76221⨯=（人），成年女性146421⨯=（人） 从这6人中选4人，至少有3名成年女性包括1名成年男性、 3名成年女性和4名成年女性两种情况，则至少有3名成年女性的概率13424446C C C 3C 5p +==. 解析：18.答案：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =.不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为22,b b a a-；,C D 的纵坐标分别为2,2c c -，故2||2|,|4b B CD c aA ==.由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2322c c a a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭.解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2,a c b ==，故22122:143x y C c c+=.设()00,M x y ，则22022143x y cc+=，204y cx =， 故224134x x cc +=.① 由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而|5MF =|，故05x c =-，代入①得 22(5)4(5)134c c c c--+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.解析：19.答案：（1）如图，连接1AC ，交1A C 于点E ，连接DE ，由于四边形11A ACC 是平行四边形，所以E 是1AC 的中点. 因为D 是AB 的中点，所以1DEBC .因为DE ⊂平面11,A DC BC ⊂/平面1A DC ， 所以1BC 平面1A DC .（2）如图，取AC 的中点O ，连接1,AO BO ， 根据ABC 和1A AC 都是正三角形，得1,AO AC BO AC ⊥⊥. 又平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，所以1A O ⊥平面ABC ，于是1AO BO ⊥.以O 为坐标原点，分别以1,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.设2AC =，则111(0,1,0),,0,2A C D C ⎫-⎪⎪⎝⎭.所以11333135,,0,,,3,222CD A D DC ⎛⎫⎛⎫⎛=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎝. 设平面1A DC 的法向量为(,,)x y z =m ，则 10CD A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm，即302102y y -=-=，令3x =，则1y z ==，所以=m .设平面1DCC 的法向量为(,,)a b c =n ，则100CD DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即302502b b -=⎨⎪++=⎪⎩，令3a =，则1bc ==-， 所以1)=-n .设二面角11A DC C --的大小为θ，由图易知θ为锐角， 则||11cos ||||13θ⋅==⋅m n m n ，因此二面角11A DCC --的余弦值为1113. 解析：20.答案：(1)当-1b =时, ()2ln 2a f x x x x =-,定义域为()0,+∞, 由()0f x =可得ln 2a xx=,令()ln x g x x =, 则()21ln 'x g x x -=, 由()'0g x >,得0e x <<,由()'0g x <,得e x >,所以()g x 在()0,e 上单调递增,在()e,+∞上单调递减,则 ()g x 的 最 大 值 为()1e eg =, 且当e x >时, ()10e g x << ,当0e x <≤时,()1eg x ≤ , 由此作出函数()g x 的大致图象,如图所示.由图可知,当20e a <<时,直线2a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点； 当12e a =或 02a ≤,即2e a =或0a ≤时,直线2a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点； 当12e a > 即2e a >时 ,直线2a y =与函数()g x 的 象 没 有 交 点 ,即 函数()f x 无零点. (2)()f x 在()0,+∞上单调递增,即()'ln 0f x axb x =+-≥在()0,+∞上恒成立. 设()ln h x ax b x =+-,则 ()1'h x a x=-. ①若0a =,则()'0h x <,()h x 在()0,+∞上 单 调递减,显 然()'ln 0f x b x =-≥ 在()0,+∞上不恒成立,②若0a <,则()'0h x <,()h x 在()0,+∞上单调递减, 当max ,1b x a>-时, 0,ln 0ax b x +<-< ,故()0h x <,()f x 单调递减,不符合题意.③若 0a >,当10x a <<时,()'0h x <, ()h x 单调递减, 当1x a>时 ,()'0h x > , ()h x 单调递增, 所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭, 由()min 0h x ≥ ,得221ln a b a a +≥--,设()21ln ,0m x x x x =-->,则()1'2m x x =-, 当102x <<时 , ()'0m x < , ()m x 单调递减, 当12x >时, ()'0m x > , ()m x 单调递增, 所以()1ln 22m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭,所以2ln2a b +≥, 又2a b c e +≤,所以2c ≤,即c 的最大值为2.解析：21.答案：(1)由π1sin 32ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 1θρθ-=10y --=，故直线l 10y --=. 由2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩，消去α，得()2224x y +-=， 故曲线C 的普通方程为()2224x y +-=.(2)因为圆心()0,2C 到直线l 的距离32d ==，所以MN ==. 又原点O 到直线l 的距离1'2d ==，所以MON △的面积为1122=. 解析：22.答案：(1)原不等式等价于5,5412x x x >⎧⎨-++≥⎩或45,5412x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或4,5(4)12,x x x <-⎧⎨--+≥⎩ 解得132x ≥或x ∈∅或112x ≤-. ∴不等式的解集为1311|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. (2)不等式13()210a f x ---≥恒成立等价于13min ()21a f x -≥+, 即()13min 5421a x x --+++≥.()()54549x x x x -++≥--+=,当且仅当()()540x x --+≤, 即45x -≤≤时,等号成立.13921a -∴≥+,则133a -≤,解得23a ≥-, ∴实数a 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。
2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷(六)(2)
一、单选题二、多选题1.已知，则最小值为（ ）A ．5B．C ．4D．2. 如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数（）A．B．C．D．3. 函数的导函数的图象如图所示，则（）A．为函数的零点B．为函数的极大值点C ．函数在上单调递减D ．是函数的最小值4. 设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则（ ）A ．x ＋y ≥2(＋1)B ．xy ≤＋1C ．x ＋y ≤(＋1)2D ．xy ≥2(＋1)5.若集合，则A．B．C．D．6. 已知函数，若对任意实数x都成立，，且函数在区间上单调，则的值为（ ）A．B．C．D．7.函数,则其中为自然对数的底数)A ．0B ．1C ．2D．8. 已知，则（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线E：的左､右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E 的右支相交于P ，Q 两点，在点P 处作双曲线E 的切线，与E 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则（ ）A ．若，则B．若，则双曲线的离心率C ．周长的最小值为8D ．△AOB （O 为坐标原点）的面积为定值2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷（六）(2)2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷（六）(2)三、填空题四、解答题10. 下列命题正确的是（ ）A ．函数的值域为B．函数的定义域为C ．函数在上单调递减D．函数的单调递增区间为11. 已知直线与圆交于，两点，则（ ）A ．线段的长度为定值B ．圆上总有4个点到的距离为2C ．线段的中点轨迹方程为D ．直线的倾斜角为12. 棱长为a 且体积为V 的正四面体的底面内有一点H ，它到平面、、的距离分别为，，，E ，F在与上，且，，下列结论正确的是（ ）A ．若a 为定值，则为定值B ．若，则C ．存在H，使，，成等比数列D ．若，则，，成等差数列13.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则___________.14. 如图，在棱长为2的正方体，中，点E 为CD 的中点，则过点C且与垂直的平面被正方体截得的截面周长为_________．15. 定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：（1）是的一个排列；（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：①数列的前项和；②数列：1，2，3，4，5；③数列：1，2，3，4，5，6.具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.16.设分别为椭圆的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程；(2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．17. 已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，记在区间上的最大值为．求，并判断函数的零点个数．18. 如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.19. 已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，且椭圆上存在点与点关于直线对称．（1）求椭圆的标准方程．（2）若直线与椭圆只有一个公共点，点，是轴上关于原点对称的两点，且点，在直线上的射影分别为，，判断是否存在点，，使得为定值，若存在，求出，的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．20. 已知下图中，四边形是等腰梯形，，，分别为线段的中点，与的交点为，，，现将梯形沿折起，使得，连结，得一几何体如图所示．(1)证明：平面平面；(2)若上图中，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间，内恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：为自然对数的底数).。
2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷(五)
一、单选题二、多选题1. 若方程a 2x 2+（a +2）y 2+2ax +a =0表示圆，则a 的值为A ．a =1或a =–2B ．a =2或a =–1C ．a =–1D ．a =22. 设实数x ，y满足，那么的最大值是（ ）A．B．C．D．3.如图，在正方体中，M ，N 分别为AC，的中点，则下列说法中的是（）A ．平面B．C ．直线MN 与平面ABCD 所成的角为60°D ．异面直线MN与所成的角为45°不正确4.已知函数为偶函数，当时，，则A．B．C．D．5. 读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M .2 PCle 4.0 NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（）服从正态分布．若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为（ ）A ．100B ．200C ．300D ．4006. 若“，”是假命题，则a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．7. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则的值为（ ）A ．-4B ．4C ．-2D ．28. 函数图像上一点向右平移个单位，得到的点也在图像上，线段与函数的图像有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 某市场供应多种品牌的N 95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：品牌甲乙其他2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷（五）2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷（五）三、填空题四、解答题市场占有率优质率在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（ ）A．B．C．D．10. 设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，，，则下列结论正确的是（ ）A ．0<q <1B．C ．S n 的最大值为S 7D ．T n 的最大值为T 611.如图，已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，，，，，且，则下列说法正确的是（）．A ．当时，直线与平面所成角的正弦值为B ．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则二面角的余弦值为D．若，则四面体的外接球的体积为12. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．的最大值为2D ．的取值范围是13.在平面直角坐标系中，圆的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是______．14.设等差数列的前项和为，若，，则______.15. 大学生村干部王善良落实政府“精准扶贫”精神，帮助贫困户张三用万元购进一部节能环保汽车，用于出租．假设第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该车每年的运营收入均为万元．若该车使用了（）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于______．16. 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AC =AA 1=1，M ，N 分别为A 1C 1，AB 1的中点．（1）求证：MN //平面B 1BCC 1；（2）若P是B1B的中点，AP⊥MN，求二面角A1-PN-M的余弦值．17. 某公司自去年2月份某项技术突破以后，生产的产品质量得到改进与提升，经过一年来的市场检验，信誉越来越好，因此今年以来产品的市场份额明显提高，业务订单量明显上升，如下表是2023年6月份到12月份的订单量数据．月份6789101112月份代码t1234567订单量y（万件） 4.7 5.3 5.6 5.9 6.1 6.4 6.6(1)试根据相关系数r的值判断订单量y与t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强；，则认为y与t的线性相关性较弱）；(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该公司2024年3月份接到的订单数量；(3)为进一步拓展市场，该公司适时召开了一次产品观摩与宣传会，在所有参会人员（人数很多）中随机抽取部分参会人员进行问卷调查，其中评价“产品质量很好”的占50%，“质量良好”、“质量还需改进”的分别各占30%，20%，然后在所有参会人员中随机抽取5人作为幸运者赠送礼品，记抽取的5人中评价“产品质量很好”的人数为随机变量X，求X的分布列与期望．附参考公式：，，．参考数据：，，．18. 已知满足，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，求的取值范围.19. 已知一个随机变量的分布为：.(1)已知，求、的值；(2)记事件A：为偶数；事件B：．已知，求，，并判断A、B是否相互独立？20. 已知函数.(1)求的最小正周期与图象的对称中心；(2)在中，，求周长的取值范围.21. 如图，在几何体中，底面是边长为的正方形，平面，，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求钝二面角的余弦值．。
2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷(五)(1)
一、单选题二、多选题1. 若，，则集合的子集个数为A ．4B ．8C ．16D ．322. 已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）A．B ．1C．D．3. 明朝早起，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节､时辰的日月星辰在填空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由块正方形模板组成，最小的一块边长约(称一指)，木板的长度按从小到大均两两相差，最大的边长约(称十二指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不停替换､调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则约为（）A．B．C．D．4. 甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）A ．342B ．390C ．402D ．4625. 双曲线方程为－y 2＝1，其中a >0，双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，7.已知正六边形中，（ ）A．B．C．D．8.已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（ ）A．B．C．D．9.已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）A ．为奇函数B．C ．，D ．若的值域为，则2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷（五）(1)2022届全国新高考Ⅱ卷仿真模拟数学试卷（五）(1)三、填空题四、解答题10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ）A ．在上单调递减B．时，恒成立C ．是函数的一个单调递减区间D ．是函数的一个极小值点11. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（）A．该几何体的表面积为B ．该几何体的体积为4C．二面角的余弦值为D ．若点P ，Q 在线段BM ，CH 上移动，则PQ的最小值为12.已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）A ．关于对称B ．关于点对称C．D．13. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F 为抛物线C：（）的焦点，从点F 出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E ：相切，则p 的值是______.14.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．15. 已知，则___________.16. 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的，两款车型，报废年限各不相同．考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车报废年限频数表如表：车型报废年限1年2年3年4年总计1030352510015403510100（1）分别估计，两款车型报废年限为4年的概率．（2）经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？17. 如图，在五面体中，四边形为矩形，为等边三角形，且平面平面，和平面所成的角为45°，且点在平面上的射影落在四边形的中心，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角(锐角)的余弦值.18. 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)若平面与棱交于点，求的值．19. 已知函数在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：当，且时，.20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．(1)求的值；(2)求的面积．21. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的极值点，，求实数k的取值范围，并证明.。
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高考模拟题（仿全国二卷理科数学）
一、选择题：（每题5分, 共60分）
1、若(x-i)i=y+2i,x、y∈R,则复数x+yi=( )
A、-2+i
B、2+I
C、1-2i
D、1+2i
2、设集合则=（）
（A）（B）（C）（D）
3、在平面直角坐标系xOy中, 向量=(-1,2),=(2,m), 若O, A, B三点能构成三角形, 则（）
A.m=－4
B.m≠－4
C.m≠1
D.m∈R
4、经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点（2,0）的圆的标准方程是（）。
A.（x-1）²+（y+1）²=2
B.（x+1）²+（y-1）²=2
C.（x-1）²+（y+1）²=4
D.（x+1）²+（y-1）²=4
5、某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件, 根据需要, 软
件至少买3个, 元件至少买2个, 则不同的选购方法有（）
A.5
B.6
C.7
D.8
6、若正方体的棱长为, 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）
(A) (B) (C) (D)
7、函数的最大值为（）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
8、执行如图所示的程序框图, 若输入的值为1, 则输出的值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
9、若, 则（）
(A) (B) (C) 1 (D)
10、从甲、乙等5名学生中随机选出2人, 则甲被选中的概率为
（A）（B）（C）（D）
11、直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的, 则该椭圆的离心率为
12、设变量满足约束条件, 则目标函数的最大值为（）
A．12 B．10 C．8 D．2
二、填空题（每空5分, 共20分）
13、已知sinα＋2cosα＝0, 则2sinαcosα－cos2α的值是______________．
14、已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中, x3的系数是56, 则实数a的值为______．
15、如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t), 那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是______
16、不等式的解集为（4, b）, 则a=______, b=______。
三、解答题
17、已知{a
n }是各项均为正数的等比数列, {b
n
}是等差数列, 且a
1
=b
1
=1, b
2
+b
3
=2a
3
,
a 5﹣3b
2
=7．
（Ⅰ）求{a
n
}和{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设c
n
=a
n
b
n
, n∈N*, 求数列{c
n
}的前n项和．18、已知函数
ln
()
a x
f x
x
=（0
a>）.
（1）讨论()
f x的单调性；
（2）求()
f x在区间[,2]
a a上的最小值.
19、某班50名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于13秒与18秒之间, 将测试结果按如下方式分成五组：第一组；第二组……第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好, 求该班在这次百米测
试中成绩良好的人数；
(II）设、表示该班某两位同学的百米测试成绩, 且已知
.求事件“”的概率.
．
20、如图, 在四棱锥P﹣ABCD中, 侧面PAB⊥底面ABCD, 且∠PAB=
∠ABC=90°, AD∥BC, PA=AB=BC=2AD, E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．
21、已知椭圆C：过点A（2,0）, B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上, 直线PA与y轴交于点M, 直线PB与x轴交于点N, 求证：四边形ABNM的面积为定值.
22、)已知不等式的解集与不等式的解集相同.
(1)求a,b的值.
(2)求函数的最大值及取得最大值时的的值.。