高中数学 第三章 推理与证明 4 反证法课件 北师大版选修1-2

跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条. 证明 如图所示,不论点P在α内还是在α外,设PA⊥α,垂足为A(或P).
假设过点P不止有一条直线与α垂直,如还有另一条直线 PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β,且α∩β＝a,于是在平面β内 过点P有两条直线PA,PB垂直于a,这与过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直相矛盾,∴假设不成立,原命题成立.
(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；
(3)线段 AB 的中点x1＋2 x2，y1＋2 y2在直线 y＝ax 上,
ka＝－1
①
所以y1＋y2＝kx1＋x2＋2
②
y1＋2 y2＝ax1＋2 x2
③
y＝kx＋1， 由
得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
④
y2＝3x2－1，
当k2＝3时,l与双曲线仅有一个交点,不合题意.
知识点二 反证法证明的思维过程
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”, 即从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达 到新的否定(即肯定原命题)的过程. 用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：
肯定条件p，否定结论q ―→ 导致逻辑矛盾 ―→
“p 且綈 q”为假 ―→ “若p则q”为真
1＋x 1＋y 求证： y , x 中至少有一个小于 2.
1＋x 1＋y 证明 假设 y , x 都不小于 2,
1＋x 1＋y 即 y ≥2, x ≥2.
∵x,y>0,∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y), 即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾.
1＋x 1＋y ∴ y , x 中至少有一个小于 2.
反思与感悟 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反 证法,对于此类问题,需仔细体会“至少有一个”、“至多有 一个”等字眼的含义,弄清结论的否定是什么,避免出现证 明遗漏的错误.
跟踪训练1 已知a,b,c,d∈R,且a＋b＝c＋d＝1,ac＋bd>1,求 证：a,b,c,d中至少有一个是负数. 证明 假设a,b,c,d都是非负数, ∵a＋b＝c＋d＝1,∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd, ∴ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾, ∴a,b,c,d中至少有一个是负数.
题型二 用反证法证明不存在、唯一性命题
例2 求证对于直线l：y＝kx＋1,不存在这样的实数k,使得l 与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常 数)对称.
证明 假设存在实数k,使得A、B关于直线y＝ax对称,设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有 (1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；
第三章——
推理与证明
§4 反证法
[学习目标]
1.了解间接证明的一种基本方法——反证法. 2.了解反证法的思考过程、特点. 3.理解反证法的推理过程,证明步骤,体会直接证明与间接证 明的区别与联系.
1 知识梳理 2 题型探究 3 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识点一 反证法的定义
在证明数学问题时,先假定 命题结论的反面 成立,在这个前 提下,若推出的结果与 定义、 公理 、 定理 矛盾,或与命题中 的 已知条件相矛盾,或与 假定相矛盾,从而说明_命___题___结__论___的___ 反面 不可能成立,由此断定 命题的结论成立,这种证明方法 叫作反证法.
由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2 ⑤ 由④知 x1＋x2＝3－2kk2,
代入⑤整理得：ak＝3,这与①矛盾.
所以假设不成立,故不存在实数k,使得A、B关于直线y＝ax对称.
反思与感悟 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含 “有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一 层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因此一般情况下 都采用间接证法,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛 盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一 个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2),
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0. q2－pr＝0，
∵p,q,r∈N＋,∴2q－p－r＝0， ∴p＋r2＝pr,(p－r)2＝0,∴p＝r,这与 p≠r 矛盾.
2
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
反思与感悟 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、 “不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适于应 用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为 已知条件推导出矛盾. (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作 为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不 从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.
题型三 用反证法证明否定性命题
例 3 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1＝1＋ 2,S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
a1＝ 2＋1， 解 设公差为 d,由已知得
3a1＋3d＝9＋3 2， ∴d＝2,故 an＝2n－1＋ 2,Sn＝n(n＋ 2).
(2)设 bn＝Snn(n∈N＋),求证：数列{bn}中任意不同的三项都不 可能成为等比数列. 证明 由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等 比数列,则 b2q＝bpbr,
思考 分析反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现几 种情况？ 答 可能会出现以下三种情况： (1)导出非p为真，即p假，也就是与原命题的条件矛盾； (2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； (3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾.
题型一 用反证法证明“至多”“至少”型命题
例 1 已知 x,y>0,且 x＋y>2.
x－2 跟踪训练 3 已知 f(x)＝ax＋ (a>1),证明方程 f(x)＝0 没有负数根.
x＋1
证明
假设

x0
是
f(x)＝0
的负数根,则
x0<0
且
x0≠－1
且
ax0＝－x0－2, x0＋1