广东省2020年中考数学第一轮复习课件 第20课时 相似三角形
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2020届中考数学直角三角形与勾股定理相似三角形典型例题讲解
第20讲:直角三角形与勾股定理一、复习目标（1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。
（2）掌握角平分线性质的逆定理。
（3）掌握勾股定理及其逆定理。
二、课时安排1课时三、复习重难点直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。
四、教学过程（一）知识梳理直角三角形的概念、性质与判定定义有一个角是________的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________全套资料联系QQ/微信：1403225658(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于________________判定(1)两个内角互余的三角形是直角三角形(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形拓展(1)S Rt△ABC＝12ch＝12a b，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC内切圆半径r＝a＋b－c2，外接圆半径R＝c2，即等于斜边的一半勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即：________勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系： ________ ，那么这个三角形是直角三角形用途(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题互逆命题互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它的______互逆定理若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的________，称这两个定理为互逆定理命题、定义、定理、公理定义在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义命题定义判断一件事情的句子叫做命题分类正确的命题称为________错误的命题称为________组成每个命题都由______和______两个部分组成公理公认的真命题称为________定理除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为________（二）题型、技巧归纳考点一：利用勾股定理求线段的长度技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．考点2实际问题中勾股定理的应用技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．考点3勾股定理逆定理的应用技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．考点4定义、命题、定理、反证法技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．（三）典例精讲例1 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为( )全套资料联系QQ/微信：1403225658A、3CMB、6CMC、32CMD、62CM[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62(cm)．例2 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝（4＋4）2＋52＝89.l1>l2，最短路径的长是l2＝89.(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝B1C1AC1·AA1＝489·5＝208989例3 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )A ．②B ．①②C ．①③D ．②③[解析] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32＋42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； ③∵12＋(√3)2＝22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意． 故构成直角三角形的有②③. 故选D.例4 下列命题为假命题的是( ) A ．三角形三个内角的和等于180° B ．三角形两边之和大于第三边C ．三角形两边的平方和等于第三边的平方D ．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半[解析] 选项A 和B 中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C ，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D 中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选C.（四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质、掌握角平分线性质的逆定理、掌握勾股定理及其逆定理。
2018届中考数学复习第20课时相似三角形课件
1．相似三角形的判定思路 判 定 三 角 形 相 似 的 思 路
有平行截线──用平行线的性质，找等角 另一对等角 有一对等角，找 或该角的两边对应成比例 夹角相等 有两边对应成比例，找 或第三边也对应成比例 或有一组直角 一对锐角相等 直角三角形，找 或斜角、直角边对应成比例 顶角相等 等腰三角形，找 或一对底角相等 或底和腰对应成比例
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC，
3 AD AE ∴ ＝ ＝ ， 5 AB AC 又∵△AEF∽△ACG， AF AE 3 ∴ ＝ ＝ . AG AC 5
(1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似； 对应成比例 的两个三角形相似； (2)三边⑨____________ 判 夹角 相等的两个三角形相似； (3)两边成比例且⑩________ 定 两个角 分别相等的两个三角形相似； (4)⑪________ (5)两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似
3. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和
3. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和
AC BC，如果 ＝BC ，那么称线段AB被点C黄金分割，点 AB AC C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比，
即 AC＝ 5 1 或AC≈0.618AB. A重难点精讲优练 类型
相似三角形的相关证明与计算
练习1 如图，在△ABC中，DE∥BC， AE∶EC＝3∶5，则DE∶BC＝
3:8 ，△ADE的周长与△ABC的周 ________
3:8 ，△ADE的面积与 长之比为________ △ABC的面积之比为________ 9:64 ． 练习1题图
第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)
在 Rt△ADC 中，∵∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝ 3， S 阴影＝S 梯形 OCDA－S 扇形 AOC＝12(1＋2)× 3－60·3π60·22＝ 323－2π3 .
全效优等生
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明 直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连 结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形 例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明 直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连 结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形 例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.
2020年中考数学相似三角形专题 复习(共19张PPT)
由(1)得：△ABF∽△BEC，
∴ AF = AB , 即 AF = 8 ,
BC BE
5 45
解得：AF= 2 5
解答题
3.在 Rt△ABC 中,∠ACB=900,点 D 与点 B 在 AC 同侧,∠DAC>∠BAC,且
DA=DC, 过点 B 作 BE∥DA 交 DC 于点 E, M 为 AB 的中点,连接 MD,ME.
(
3)如图
3,当∠ADC=α时,求
ME MD
的值.
(3)如图 3，延长 EM 交 AD 于 F，
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∴EC=BE,
∵AM=BM, ∠AMF=∠BME,
∴AF=CE,
∴△AMF≌△BME,
∴DF=DE,
∴AF=BE, MF=ME ,
∴DM⊥EF, DM 平分∠ADC,
延长 BE 交 AC 于点 N， ∴∠BNC=∠DAC, ∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC, ∵∠ACB=900,
解答题
1.如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D 分别在边 AC,AB 上，AG⊥DE 于
点 G,AF⊥DE 于点 F,∠EAF=∠GAC.
(1) 求证：△ADE≌△ABC;
(2)若 AD=3,AB=5,求 AF 的值。
AG
解：(1)∵AG⊥DE，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=900
∵∠EAF=∠GAC, ∴∠AED=∠ACB,
∵∠EAD=∠BAC, ∴△ADE∽△ABC
解答题
1.如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D 分别在边 AC,AB 上，AG⊥DE 于
点 G,AF⊥DE 于点 F,∠EAF=∠GAC.
(1) 求证：△ADE≌△ABC; (2)若 AD=3,AB=5,求 AF 的值。
2024年中考第一轮复习相似三角形 课件
么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段
（续表）
如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB(AP>BP),使
黄金分割
④ PA2=PB·AB ,那么称线段 AB 被点 P 黄金分割,点 P 叫做线段 AB
的黄金分割点,线段 AP 与 AB 的比叫做黄金比,黄金比
AP
=⑤
①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;
③
=
;④AC2=AD·AB.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
图20-7
10.如图20-8,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在
不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有 2
图20-8
个.
■ 知识梳理
与△ OCD 的面积分别是 S1 和 S2,△ OAB 和△ OCD 的周长分别是 C1 和 C2,则下列等式一
定成立的是
3
A. =
2
3
C. 1 =
2
2
(
)
3
B. =
2
3
D. 1 =
2
2
图20-9
【方法点析】相似三角形主要应用在以下几方面:①求角的度数;②求或证明比
值关系;③证线段等积式;④求面积或面积比.相似三角形的对应边成比例是求线
■ 知识梳理
1.比例的性质
(1)基本性质:
=
⇒ad=①
bc
.
(2)比例中项:如果三个数 a,b,c 满足比例式 = ⇔② b2=ac ,则 b 就叫做 a,c 的比例
相似三角形ppt初中数学PPT课件
在建筑设计中，利用相似三角形原理，根据已知 条件设计出符合要求的建筑物形状和大小。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
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目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
2024年广东省深圳市九年级中考数学一轮教材梳理复习课件+第20讲+等腰三角形
∘ − ，
∠ = ∠ − ∠ = − ∘ ,
∴ ∠ = ∘ − ∠ − ∠ = ∘ − ∘ − − − ∘ = ∘ .
①当∠ = ∠时，∘ − = − ∘ ,∴ = ∘ .
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【方法总结】1.当等腰三角形的腰和底、顶角、底角不明确时,需分类讨论.
2.等腰三角形的性质“等边对等角”,是三角形中边与角关系转化的纽带.当利
用方程思想求角度时,等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到
关键作用.
3.等腰三角形常常与线段垂直平分线的性质定理结合运用,在证明线段或角相
在 △ 中，∵ ∠ = ∘ , = ,∠ = ∘ ,
∴ = = ,∴ = − = .
中考总复习·数学
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1.(2021·广州)如图，在△ ABC中,AC = BC，∠B = 38∘ ,D
是AB边上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当
切性质,包括具有“三线合一”的性质,等边三角形也是轴对称图形,并且有3条
对称轴.
2.等边三角形有一个特殊的角60∘ ,所以当等边三角形出现高时,往往会结合直
角三角形30∘ 角的性质.
3.等边三角形判断方法的选择
（1）若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定;
（2）若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行
∠ = ∠,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠,
= ,
∴△ ≌△ ,∴ = , = ,
∴ ∠ = ∠,∴ ∠ = ∠,∴ = ,即△ 是等
腰三角形.
中考总复习·数学
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∠AQC = 3∠B,求∠B的度数.
中考数学一轮复习课件：第20课时 直角三角形与勾股定理
课堂考点探究
针对训练
课堂考点探究 探究四 利用勾股定理解决生活中的实际问题
【命题角度】 (1)求有关长度问题; (2)求最短路径问题.
图20-13
课堂考点探究
[方法模型] 转化思想——在求几何体表面上两点之间的最短距离时,一般先把立体图形展开成平面图 形,然后再利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离.
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
探究二 利用勾股定理进行计算
【命题角度】 (1)利用勾股定理求线段的长度; (2)勾股定理的验证; (3)利用勾股定理解决折叠问题.
课堂考点探究
课堂考点探究
针对训练
00000000000
课堂考点探究
课堂考点探究
探究三 勾股定理的逆定理的应用
【命题角度】 (1)已知三角形三边长,判断是否为直角三角形; (2)根据三角形三边,证明垂直.
UNIT FOUR 第四单元 三角形
第 20 课时 直角三角形与勾股定理
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 直角三角形的概念、性质与判定
直角
互余
斜边的一半
斜边的一半
课前双基巩固
互余
课前双基巩固 考点二 勾股定理及逆定理
课前双基巩固 考点三 命题、定义、定理、基本事实
真命题 假命题 题设 基本事实
结论
证明
定理
课前双基巩固 考点四 互逆命题、互逆定理及其关系
逆命题
逆定理
课前双基巩固
对点演练
题组一 教材题
课前双基巩固
课前双基巩固
课前双基巩固
题组二 易错题
【失分点】 直角三角形斜边上的中线的性质,忽视“直角三角形”这一必 要条件;在利用勾股定理时,所给的边没确定是直角边还是斜边, 忽视分类讨论造成漏解.
2020年中考数学1轮专题复习课件-第4章第20讲相似三角形PPT课件
证明：∵EF∥AB， ∴∠A＝∠CEF，∠B＝∠CFE. ∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE. ∴∠ADE＝∠CFE，∴△ADE∽△EFC.
4．相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； (2)相似三角形的周长之比、对应高之比、对应中线 之比、对应角平分线之比等于相似比，面积之比等于相 似比的平方．
(1)求证：BF＝CF.
证明：∵在平行四边形 ABCD 中，BF∥AD， ∴ABDF＝BAEE. ∵BE＝AB，∴ABDF＝2BBEE＝12. ∵BC＝AD，∴BF＝12AD＝12BC， ∴BC＝2BF. ∵BC＝BF＋CF，∴BF＝CF.
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
解：由(1)知，BF＝CF＝12BC＝3. ∵AD∥CF，∴ACDF＝DFGG，即36＝F4G， ∴FG＝2.
∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，
∴BCMD ＝MCNN，即MCNN＝23.
设 MN＝x，则 CN＝2 7－x.
∴ 2
7x－x＝23，解得 x＝457，
∴MN＝4 5 7.
(2)若DC＝8，CF＝4，求矩形ABCD的面积S. 解：由折叠，得 AF＝AD，DE＝EF. 设 DE＝EF＝x，则 CE＝CD－DE＝8－x. 在 Rt△EFC 中，EF2＝CE2＋CF2， ∴x2＝(8－x)2＋42，解得 x＝5.∴EF＝5. 由(1)知，△ABF∽△FCE，∴AEFF＝ACBF， 即A5F＝84，解得 AF＝10.∴AD＝AF＝10. ∴矩形 ABCD 的面积 S＝AD·AB＝80.
4．已知△ ABC∽△DEF，相似比是3∶2，则其对 应中线之比为__3_∶__2___，对应高之比为__3_∶__2___，周长 之比为__3_∶__2___，面积比为__9_∶__4___.
4．相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； (2)相似三角形的周长之比、对应高之比、对应中线 之比、对应角平分线之比等于相似比，面积之比等于相 似比的平方．
(1)求证：BF＝CF.
证明：∵在平行四边形 ABCD 中，BF∥AD， ∴ABDF＝BAEE. ∵BE＝AB，∴ABDF＝2BBEE＝12. ∵BC＝AD，∴BF＝12AD＝12BC， ∴BC＝2BF. ∵BC＝BF＋CF，∴BF＝CF.
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
解：由(1)知，BF＝CF＝12BC＝3. ∵AD∥CF，∴ACDF＝DFGG，即36＝F4G， ∴FG＝2.
∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，
∴BCMD ＝MCNN，即MCNN＝23.
设 MN＝x，则 CN＝2 7－x.
∴ 2
7x－x＝23，解得 x＝457，
∴MN＝4 5 7.
(2)若DC＝8，CF＝4，求矩形ABCD的面积S. 解：由折叠，得 AF＝AD，DE＝EF. 设 DE＝EF＝x，则 CE＝CD－DE＝8－x. 在 Rt△EFC 中，EF2＝CE2＋CF2， ∴x2＝(8－x)2＋42，解得 x＝5.∴EF＝5. 由(1)知，△ABF∽△FCE，∴AEFF＝ACBF， 即A5F＝84，解得 AF＝10.∴AD＝AF＝10. ∴矩形 ABCD 的面积 S＝AD·AB＝80.
4．已知△ ABC∽△DEF，相似比是3∶2，则其对 应中线之比为__3_∶__2___，对应高之比为__3_∶__2___，周长 之比为__3_∶__2___，面积比为__9_∶__4___.
2020年数学中考专题复习：第20课时 相似三角形
������'������' ������'������' ������'������'
基 础
【方法点析】相似三角形的基本图形
知 识
(1)如图20-11,DE∥BC,则△ADE∽△ABC,称为“平行线型”的相似三角形.
巩
固
高
频 考
图20-11
向
探
究
基 础
(2)如图20-12,∠1=∠2,则△ADE∽△ABC,称为“相交线型”的相似三角形.
基 础
考点三 相似三角形的性质及判定
知 识
1.相似三角形的性质及判定
巩 固
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相
似;
高 频 考 向
(2)三边成比例的两个三角形⑤ 相似 ; 判定 (3)两边成比例且⑥ 夹角 相等的两个三角形相似;
探 究
(4)两角分别相等的两个三角形相似;
∴������△������������������ =1,
高
������△ ������������������ 9
频
故答案为:1∶9.
考
向
探
究
图20-8
基 础
8.如图20-9,矩形ABCD中,AD=2, AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时
知 识
,DP=
1或4或.2.5
巩
固
频 考
(2)设D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,D',E',F'分别是你所作的△A'B'C'三边
向 A'B',B'C',C'A'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F‘.
基 础
【方法点析】相似三角形的基本图形
知 识
(1)如图20-11,DE∥BC,则△ADE∽△ABC,称为“平行线型”的相似三角形.
巩
固
高
频 考
图20-11
向
探
究
基 础
(2)如图20-12,∠1=∠2,则△ADE∽△ABC,称为“相交线型”的相似三角形.
基 础
考点三 相似三角形的性质及判定
知 识
1.相似三角形的性质及判定
巩 固
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相
似;
高 频 考 向
(2)三边成比例的两个三角形⑤ 相似 ; 判定 (3)两边成比例且⑥ 夹角 相等的两个三角形相似;
探 究
(4)两角分别相等的两个三角形相似;
∴������△������������������ =1,
高
������△ ������������������ 9
频
故答案为:1∶9.
考
向
探
究
图20-8
基 础
8.如图20-9,矩形ABCD中,AD=2, AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时
知 识
,DP=
1或4或.2.5
巩
固
频 考
(2)设D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,D',E',F'分别是你所作的△A'B'C'三边
向 A'B',B'C',C'A'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F‘.
2020广东中考数学一轮复习：第14课 相似三角形
（2）∵∠ACB＝90°，AC 是已O 的直径， ∴CB 是已O 的切线，∵DE 是已O 的切线， ∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB，∵OA＝OC ，
∴OE∥AB，∴△COE～△CAB.
中考冲刺
夯实基础
1.（2019·常州）若△A BC～△A′B′C′，相似比 为 1：2，则 △ABC 与△A'B′C' 的周长的比
的坐标为 （2，1）或（-2，-1） .
5.（2019·吉林）在某一时刻，测得一根高为
1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时同地测得
一栋楼的影长为 90m，则这栋 楼的高度
为54
m.
6.（2019·黄冈）如图，在 Rt△ABC 中，∠A CB ＝90°，以 AC 为直径的已O 交 AB 于点 D ，过点 D 作已O 的切线交 BC 于点 E，连 接 OE.
第一轮 横向基础复习
第三单元 三角形
第 14 课 相似三角形
本节内容课程标准考查相似三角形的性质和判定 ，是初中数学的难点内容. 广东省近 5 年试题规律： 相 似三角形通常与平行四边形、解直角三角形、圆 、二次函数等问题综合考查，但选择、填空题往往 是简单的.
知识清单
知识点1 相似图形的有关概念
B. ∠ADE=∠C
5 .（相似三角形的应用）如图，在同一时刻， 身高 1.6 米的小丽在阳光下的影长为 2.5 米，一棵大树的影长为 5 米， 则这棵树 的高度为（ C ）
A. 1.5 米 B. 2.3 米 C. 3.2 米 D. 7.8 米
经典回顾
考点一 相似三角形的性质
例 1（2018·广东）在△A BC 中，点 D、E 分 别为边 AB、AC 的中点，则△ADE 与△ABC
2020年中考考点与练习第六部分：相似三角形 课件(共26张PPT)
长分别为5cm , 6cm和9cm，另一个三角形的最短边为2.5cm。
则它的最长边为（
）cm
A3
B4
C 4.5
D5
应用练习
6、如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，
则△BEF与△DCB的面积比是（ ）
A 1:3 B 1:4 C 1:5
D 1:6
7、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，连接AE、BD，
应用练习
10、如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E、F分别是
PB、PC的中点，△PEF, △PDC, △PAB的面积分别为S、S1、S2
若S=3，则S1+S2的值为（ ）
A 24 B 12
C6
D3
应用练习
11、在矩形ABCD中BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E， 若AD=1 , AB=CF ,则AE=（ ）
A 1: 3 B 2 : 3 C 3 ：2 D 3 ：3
应用练习
9、如图，在△ABC中，中线BECD相较于点O，连接DE，有下列
结论：1 DE 1
BC 2
2 SDOE 1
SCOB
2
3 AD OE 4 SODE 1
AB OB
SADC
3
其中正确的是（
）
A （1）（2） B （1）（3）
C （2）（3） D （2）（4）
应用练习
1、如图，将△ABC沿BC的中线AD平移到△A’B’C’的位置，已知
△ABC的面积为16，阴影部分的面积为9，AA’=1，则A’D=（ ）
A2 B 3
C
4
D 1.5
应用练习
2、如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，DE∥BC
中考数学复习第20课时相似三角形课件
∵DE∥BC，
∴ DE ＝ 2 .
BC
2
练习3 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，
∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )
A. 4
B. 4 2
C. 4 3 D. 3
练习3题图
【解析】
∵∠B＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∴△ABC∽△DAC.
根据“相似三角形对应边成比例”，得 A C＝ B C ，又
对应成比例，那么这两个直角三角形相似
1．相似三角形的判定思路
判 定 三 角 形 相 似 的
有平行截线──用平行线的性质，找等角 另一对等角
有一对等角，找 或该角的两边对应成比例 夹角相等
有两边对应成比例，找 或第三边也对应成比例 或有一组直角
一对锐角相等 直角三角形，找 或斜角、直角边对应成比例
思
，D B ＝ AB
基础点 2 相似三角形的性质与判定
(1)相似三角形的⑤_对__应__角_相等；对应边成比例； (2)相似三角形的对应高的比，对应中线的比及对 性质 应角平分线的比都⑥_等__于_____相似比； (3)相似三角形的周长比等于⑦相__似__比__，面积比等 于⑧_相__似__比__的__平__方_
∴∠AFE＝∠AGC＝90°， 在△AEF和△ACG中，∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC ∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C， 在△ADE和△ABC中，∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC； (2)若AD＝3，AB＝5，求 A F 的值． 【思维教练】由(1)中的结A论G ，利用相似三角形的性质即
BC EF AC DF
AC
DF
AB BC AC
＝
＝
DE EF DF
中考数学复习 第5章 四边形与相似 第20讲 相似三角形课件
∴FH⊥GH.
②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC. 又∵∠B＝30°，
∴AC＝ BC＝EB＝EC.
又∵EK＝EB， ∴EK＝AC， 即AK＝KE＝EC＝CA. ∴四边形AKEC是菱形．
2021/12/9
第二十页，共三十页。
3．[2015·泰安，27，10分]如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别 (fēnbié)是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
性质
(1)如果两个多边形是位似图形，且对应边②__平行 或在同一直线上__，那么图形上任意一对对应点到 位似中心的距离之比都③__等于__对应边的比(或位 似比)； (2)在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的 横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与 原图形位似，位似中心是④__坐标原点__，它们的 相似比为|k|
CB等于( )
A
A．5︰8 B．3︰8 C．3︰5 D．2︰5
2021/12/9
第八页，共三十页。
变式运用(yùnyòng)►3.[2018·原创]如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，
AE＝ 2 AD，连接BE交AC于点F，AC＝12，则AF为(
)B
3
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
2021/12/9
形的三边对应③ 成比例
2021/12/9
第二页，共三十页。
考点(kǎo diǎn)2 相似三角形的性质与判定 6年14考
(1)相似三角形的对应角① 相等 ，对应边② 成比例 ； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的 性质 比都等于③ 相似比 ； (3)相似三角形周长的比等于④ 相似比 ，面积的比等于⑤ 相似比的平方
∠CEF＝∠AED， EC＝E，
②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC. 又∵∠B＝30°，
∴AC＝ BC＝EB＝EC.
又∵EK＝EB， ∴EK＝AC， 即AK＝KE＝EC＝CA. ∴四边形AKEC是菱形．
2021/12/9
第二十页，共三十页。
3．[2015·泰安，27，10分]如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别 (fēnbié)是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
性质
(1)如果两个多边形是位似图形，且对应边②__平行 或在同一直线上__，那么图形上任意一对对应点到 位似中心的距离之比都③__等于__对应边的比(或位 似比)； (2)在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的 横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与 原图形位似，位似中心是④__坐标原点__，它们的 相似比为|k|
CB等于( )
A
A．5︰8 B．3︰8 C．3︰5 D．2︰5
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变式运用(yùnyòng)►3.[2018·原创]如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，
AE＝ 2 AD，连接BE交AC于点F，AC＝12，则AF为(
)B
3
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
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形的三边对应③ 成比例
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第二页，共三十页。
考点(kǎo diǎn)2 相似三角形的性质与判定 6年14考
(1)相似三角形的对应角① 相等 ，对应边② 成比例 ； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的 性质 比都等于③ 相似比 ； (3)相似三角形周长的比等于④ 相似比 ，面积的比等于⑤ 相似比的平方
∠CEF＝∠AED， EC＝E，
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(5)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似
基
（续表）
础 知
(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;
识 巩
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似
固
性质 比;
相似比
高
(3)相相似似三比角的形平周方长的比等于⑦
,相似三角形面积的比等于
频 考
⑧
.
向
探
知 识
A.1
B.2
C.2
D.3
巩
3
5
3
5
固
高 频 考 向 探 究
图20-4
基
3.如图 20-5,在△ ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 边上的点,DE∥BC,BE 与 CD 相交于
础
知
识
点 F,则下列结论一定正确的是 ( A )
巩
固
A.������������������������ =������������������������
识
EC=50 m,求得河宽AB=
m.
巩
固
高 频 考 向 探 究
图20-7
[答案]100
[解析]∵∠ADB=∠EDC,
∠ABC=∠ECD=90°,
∴△ ABD∽△ECD,
∴������������
������������
=������������������������
,
AB=������������������·������������������=1206×0 50=100(m).
频
:△DEF∽△D'E'F‘.
考
向
探
究
解:(1)如图:
图20-10
△A'B'C'为所求作图形.
基
例1 [2019·福建]已知△ABC和点A‘,如图20-10.
础 知
(2)设D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,D',E',F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B',B'C',C'A'的中点,求证
MM'的长为
.
中,OB= 62 + 82=10, ①当△ A'OB'在第四象限时,MM'=52;
考 向
②当△ A″OB″在第二象限时,MM″=125.
探
究
故答案为52或125.Fra bibliotek图20-6
基
5.如图20-7是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点
础 知
D,∠B=∠C=90°,测得BD=120 m, DC=60 m,
;
识
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于⑭
点;
巩 固
(3)位似图形对应边⑮
(或在同一条直线上);
一
(4)位似图形对应角相等.
平行
高
频
考
向
4.作图步骤
探 究
(1)确定位似中心;
(2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点;
(3)描出新图形.
相似比
基
考点六 相似三角形的应用
础
知
识 巩 固
几何图形的 常见问题
识
形与原三角形相似.
巩 固
乙:将邻边长为3和5的矩形按图20-15②的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩
形与原矩形不相似.
高
对于两人的观点,下列说法正确的是 ( )
频 考
A.两人都对
向
B.两人都不对
探
C.甲对,乙不对
究
D.甲不对,乙对
图20-15
基
[答案] A
础
知 识
[解析]甲:如图①,根据题意,得 AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C',
识
巩
固
高
频 考
图20-11
向
探
究
基
(2)如图20-12,∠1=∠2,则△ADE∽△ABC,称为“相交线型”的相似三角形.
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
图20-12
探
究
基
(3)如图20-13,∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形.
础
知
识
巩
固
图20-13
高
(4)如图20-14,∠ABC=∠ACE=∠CDE,则△ABC∽△CDE,称为“一线三等角型”的相似三角形.
础 知
,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则△ADE与△ABC的面积的比为 [解析]∵DE∥BC,AD∶DB=1∶2,
识
.
巩
固
高
∴������������
������������
=13,△
ADE∽△ABC,
∴������△ ������������������
������△ ������������������
等于
. 相似比的平方
基
考点五 图形的位似
础
知 识
1.定义:两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行 (或在同一直线上),像这样
巩
的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.
固
2.基本图形: 高 频 考 向 探 究
图20-3
基
3.性质
础
知
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于⑬
础
知 识
性质 1
a b
=dc ⇔②
ad
=bc(bd≠0)
巩
������± ������
固
性质 2
如果a=c ,那么a±b=③
bd
b
������
高
������
频 考
性质 3
如果a
b
=dc =…=mn
(b+d+…+n≠0),那么ab++cd++……++mn
=④
������
向
探
究
基
考点二 平行线分线段成比例
频 考
底和腰对应成比例
向
探
究
基
考点四 相似多边形
础
知 识
1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似
巩
多边形对应边的比叫做相似比.
固
2.性质
高
频
(1)相似多边形的对应角⑨
考
(2)相似多边形的对应边⑩
向 探
(3)相似多边形的周长比⑪
究
; 相等 ; 相成似比比例,面积比等于⑫
巩
∴∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ ABC∽△A'B'C',
固
∴甲的说法正确.
高 频
乙:如图②,根据题意,得 AB=CD=3,AD=BC=5,则
考 向
A'B'=C'D'=3+2=5,A'D'=B'C'=5+2=7,
探 究
∴������������'������������'=������������'������������'=35,������������'������������'=������������'������������'=57, ∴ ������������ ≠ ������������ ,
河北专版
第 20 课时
相似三角形
基
考点聚焦
础
知
考点一 比例线段的相关概念及性质
识
巩 固
1.线段的比:两条线段的比是两条线段的长度之比.
高
2.比例中项:如果������������=������������,即 b2=① ac ,我们就把 b 叫做 a,c 的比例中项.
频
考
向
探
究
基
3.比例的基本性质
识
:△DEF∽△D'E'F‘.
巩
固
高
频
考
向
图20-10
探
究
基 础
(2)证明:∵D,E,F 分别是△ ABC 三边 AB,BC,AC 的中点,
知 识
∴DE=12AC,EF=12AB,FD=12BC.
巩 固
同理,D'E'=1A'C',E'F'=1A'B',F'D'=1B'C'.
2
2
2
高
∵△ ABC∽△A'B'C',
B.������������������������ =������������������������
高 频
C.������������������������ =������������������������
考
向
探
D.������������������������ =������������������������
巩
(1)以点A'为一个顶点作△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍;(要求:尺规作
固
图,不写作法,保留作图痕迹)