中考数学总复习系列技巧3[人教版]
中考数学总复习课件(专题3：动点型问题)
MN 1 x2 S 16 2( 1 x2
8. 8)
1
x2
8.
2
2
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，
对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x
＜4．
故答案选C.
(三)面动问题 【例题 4】(2014·玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边 三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把 小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形 移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函 数图象是( )
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵ BP BQ , BP=5t，QC=4t，
BA BC
AB=10 cm，BC=8 cm，
∴ 5t 8 4t ,∴t=1.
10 8
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
BP BC
BQ , BA
∴
5t 8 4t , 8 10
∴
t 32 . 41
∴t=1或 t 32 时，△BPQ与△ABC类似.
41
(2)如图a，过点P作PM⊥BC于点M，AQ，CP相交于点N.
则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.
∴△ACQ∽△CMP.
∴ AC QC .
CM PM
∴ 6 4t , 解得 t 7 ,
题型一 建立动点问题的函数关系式(或函数图象)
【例题 1】(2014·黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边 长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走
中考数学复习技巧
浅谈中考数学复习技巧自全面推行新课程标准以来，初中毕业学业水平考试越来越被社会所关注。
课程改革取得了哪些成就，学生的能力得到了哪些发展，中考将是验证他们的一个重要舞台。
对学生而言，中考是一块试金石，检验他们的收获。
对于每一位教师来说，中考又是一次非常难得的检测教学成绩和评价教学水平的重要机会。
怎样在有限的时间内科学而高效地进行中考数学总复习，是摆在我们每位初三教师面前的重大课题。
下面我结合我多年教初三数学的经验，从教师的角度来谈一下中考数学的复习备考策略。
一、考势研究1 通悉中考命题依据担任毕业班教学工作的教师首先要认真领会新课标的精神，认真通读《考试说明》中的考试范围、内容及要求，并以此作为自己制订复习计划的纲领、准则。
近几年的中考试题，在试题结构、命题内容和题型、题量上基本稳定，但由于社会日新月异的变化，对数学知识的要求也不断提高，因此，每年的试卷都会有不超出范围但颇有新意的新题型出现。
所以在复习中，教师应该熟悉考试说明的内容及要求，及时关注社会动态、新闻时事，设计内容新颖的题目，拓宽学生的视野。
2 掌握数学中考命题基本原则中考数学命题中遵循的基本原则是：中考数学必须有利于初高中数学教学，有利于选拔具有学习潜能的学生进入高一级学校继续学习。
这样既有利于初中新课程改革进一步实施，又为学生进一步学习奠定良好的学习基础。
3 摸清中考命题规律对近几年中考试卷的剖析与研究，可发现中考命题的发展趋势如下：(1)重视对数学基础知识的认识和考查。
(2)加大了统计与概率的考查力度，特别是与实际问题相结合。
(3)重视数学思维方法的考查。
(4)重视实践能力和创新意识的考查。
二、复习策略1 学好《考试说明》，了解命题方向为了使复习工作达到预期的目标，必须对当年的中考进行仔细的研究，每年各地市都要编写《考试说明》用以指导初中毕业考试的复习。
广大教师要认真学习，领会其精神，理解初中毕业学业考试数学命题的指导思想，把握中考命题方向，把握好考试内容、要求及考查重点。
最新人教版初三数学中考备考复习计划与策略
人教版初三数学中考备考复习计划与策略初三复习的时间紧，任务重，要求高，如何提高中考数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学教师必须面对的问题，同时初三也是中学阶段最为关键和重要的一年，这一阶段的学习情况,对学生的升学起到了决定性的作用。
下面是结合学校近几年来的实际情况，制定的本届初三数学的中考备考复习计划与策略：一、指导思想根据我校中考备考精神工作要求,认真学习初中数学新课程标准,明确数学具体知识内容、目标和考试范围、方向,以数学课程标准为教学和备考的准绳,认真落实到数学教学和复习中。
立足教材，面向全体学生，结合学生实际，研究复习方法，制定本计划。
二、基本原则中考复习备考遵循以下三项原则：1、准确把握命题方向。
明确范围和考点，是初三数学总复习开始阶段必须首先进行的工作，指导学生针对每一个具体的知识点，思考怎样复习并找出一种最佳的复习方法。
这样使每个学生做到心中有数，有的放矢，才能提高复习效率和质量。
同时认真研究历年来中考试题，明确考试的范围与目标，对出题动向和题目类型做出科学的分析和预测。
2、立足课本——熟练掌握知识内核。
复习以课本为依托，掌握每课的重点、难点。
3、触类旁通——让学生学会知识的延伸与运用。
三、学生现状分析本届学生对于学习数学热情不足,平时主动复习的欲望淡薄,有些学生的学习态度非常有问题，出现了写作业应付的现象。
从考试的平均分来看，整体水平不容乐观，优秀生太少,但中等生偏多,底子特别薄弱的很多，学习习惯很差,基础知识不牢，会很影响班级的平均分，所以在教学中尤其要关注这部分学生，注意补差工作。
四、具体复习步骤、措施及注意的问题（一）第一阶段：夯实基础(第二学期开学—3月底)：进行基础知识的全面复习，加强基本技能训练，这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高基本技能，做到全面、扎实、系统，形成知识网络。
首先必须做到记牢记准所有的公式、定理等，其次要掌握基本的方法。
再次是要掌握基本的技能，例如：给你一道题，你能迅速找到它的解题方法，将知识系统化，练习专题化，专题规律化。
中考数学复习开放性问题3[人教版]
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中考数学总复习实用方法总结
中考数学总复习实用方法总结复习能够帮助我们对学过的知识进行更好的巩固,尤其数学知识点具有“多杂难”这样的特点,更需要我们利用有限的时间进行复习。
下面是小编为大家整理的关于中考数学总复习实用方法，希望对您有所帮助!中考数学复习策略一、梳理策略总结梳理，提炼方法。
复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，在准确理解基本概念，掌握公式、法则、定理的实质及其基本运用的基础上，弄清概念之间的联系与区别。
对于题型的总结梳理，应摆脱盲目的题海战术，对重点习题进行归类，找出解题规律，要关注解题的思路、方法、技巧。
如方案设计题型中有一类试题，不改变图形面积把一个图形剪拼成另一个指定图形。
总结发现，这类题有三种类型，一类是剪切线的条数不限制进行拼接;一类是剪切线的条数有限制进行拼接;一类是给出若干小图形拼接成固定图形。
梳理了题型就可以进一步探索解题规律。
同时也可以换角度进行思考，如一个任意的三角形可以剪拼成平行四边形或矩形，最少需几条剪切线?联想到任意四边形可以剪拼成哪些特殊图形，任意梯形可以剪拼成哪些特殊图形等。
做题时，要注重发现题与题之间的内在联系，通过比较，发现规律，做到触类旁通。
反思错题，提升能力。
在备考期间，要想降低错误率，除了进行及时修正、全面扎实复习之外，非常关键的一个环节就是反思错题，具体做法是：将已经复习过的内容进行“会诊”，找到最薄弱部分，特别是对月考、模拟试卷出现的错误要进行认真分析，也可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题。
正确分析问题产生的原因，例如，是计算马虎，还是法则使用不当;是审题不仔细，还是对试题中已知条件或所求结论理解有误;是解题思路不对，还是定理应用出错等等，消除某个薄弱环节比做一百道题更重要。
应把这些做错的习题和不懂不会的习题当成再次锻炼自己的机会，找到了问题产生的.原因，也就找到了解题的最佳途径。
事实上，如果考前及时发现问题，并且及时纠正，就会很快地提高数学能力。
2021年中考数学总复习第三章《函数》第三节 一次函数的实际应用
2021年中考数学总复习第三章《函数》第三节一次函数的实际应用一、选择题1.［人八下课本 P109，T13 高仿］一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始 4 min 内只进水不出水，在随后的 8 min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（L）与时间 x （min）之间的关系如图所示，则每分钟的进水量与出水量分别是（）A． 5 L，3.75 L B． 2.5 L，5 LC． 5 L，2.5 L D． 3.75 L，5 L（第 1 题图）（第 2 题图）2.［2020·河北模拟］星期天，鹤翔骑电动车从奶奶家出发回家，速度为 20 km/h．当他行驶了 40 km 后发现忘记带课本了，于是给奶奶打电话，同时自己按原速返回．奶奶 30 分钟后骑自行车从家出发，1 h 后与鹤翔相遇．鹤翔与奶奶之间的距离 y（km）与时间x（h）的关系如图所示．则奶奶骑车的速度为（）A． 10 km/h B． 45 km/hC． 40 km/h D． 80 km/h3.［2020·攀枝花］甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离 s（km）与运动时间 t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（）A．两人出发 1 h 后相遇B．赵明阳跑步的速度为 8 km/hC．王浩月到达目的地时两人相距 10 kmD．王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地（第 3 题图）二、填空题4.［2020·郴州］小红在练习仰卧起坐，本月 1 日至4 日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩 y 与日期 x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 _________．5. ［2020·上海］小明从家步行到学校需走的路程为1 800 米．图中的折线 OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程 s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 ______ 米．（第 5 题图）三、解答题6.［2020·金华］某地区山峰的高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6 ℃，气温 T（℃）和高度 h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为 5 百米时的气温；（2）求 T 关于 h 的函数表达式；（3）测得山顶的气温为 6 ℃，求该山峰的高度．（第 6 题图）日期 x（日） 1 2 3 4成绩 y（个）40 43 46 497.［人八下课本 P109，T15 改编］2020 年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共 20 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只；（2）如果公司四月份投入成本不超过 216 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．8.［2020·石家庄四区联合］甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的八五折出售，乙商场只对一次购物中超过 200 元后的价格部分按原价的七五折出售，某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为 x（x＞0）元，让利后的购物金额为 y 元.（1）分别就甲、乙两家商场写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由.9.［2020·石家庄桥西区模拟］甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段 OA 表示小明与甲地的距离y1（米）与行走的时间 x（分钟）之间的函数关系；折线 BCDA 表示小亮与甲地的距离 y2（米）与行走的时间 x（分钟）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）小明步行的速度是 ______ 米/分钟，小亮骑自行车的速度是 ______ 米/分钟；（2）线段 OA 与 BC 相交于点 E，求点 E 的坐标；（3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值．（第 9 题图）一、选择题1.［2020·遵化一模］某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过 a 件，则每件 3 元，超过 a 件，超过部分每件 b 元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数 x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的是（）A． a=20B． b=4C．若工人甲一天获得薪金 180元，则他共生产 50 件D．若工人乙一天生产 m件，则他获得薪金 4m 元（第 1 题图）（第 2 题图）2.［2020·连云港］快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程 y（km）型号价格项目（元/只）甲乙成本12 4售价18 6与它们的行驶时间 x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了 0.5 h；②快车速度比慢车速度多 20 km/h；③图中 a=340；④快车先到达目的地．其中正确的是（）A．①③ B．②③C．②④ D．①④二、填空题3.［2020·重庆］A，B 两地相距 240 km，甲货车从 A 地以 40 km/h 的速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止．在甲出发的同时，乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停止．两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间 x（h）之间的函数关系如图中的折线 CD-DE-EF 所示．其中点 C 的坐标是（0，240），点 D 的坐标是（2.4，0），则点 E 的坐标是________．（第 3 题图）三、解答题4.［2020·唐山路北区三模］某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午 7：40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林，离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数关系如图 2 所示.（第 4 题图）（1）求第一班车离入口处的路程 y（米）与时间 x（分）的函数表达式；（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间；（3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则直接写出：①小聪最早能够坐上第几班车？②假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变，如果小聪坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？5.［2020·天水］天水市某商店准备购进 A，B 两种商品，A 种商品每件的进价比 B 种商品每件的进价多20元，用 2 000 元购进 A 种商品和用 1 200 元购进B种商品的数量相同．商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元．（1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过 1 560 元的资金购进 A，B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 m（10＜m＜20）元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出 m 的不同取值范围内，销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案．1.［2020·原创］如图 1 是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图 2 所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用 x 个如图 1 所示的图形拼出来的总长度 y 会随着 x 的变化而变化，y 与 x 的关系式为 y=________．（第 1 题图）第三节一次函数的实际应用（答案）夯实基础1. A提示：由题意可得，每分钟的进水量为：20÷４＝５（Ｌ），每分钟的出水量为：［５×８－（30－20）］÷８＝3.75（Ｌ）．2. Ａ提示：设奶奶骑车的速度为ｘｋｍ/ｈ，根据题意可得：40=20×1.5+x，解得 x=10，∴奶奶骑车的速度为 10 km/h．3. C 提示：由图象可知，两人出发 1 h 后相遇，故选项 A 正确；赵明阳跑步的速度为24÷3=8（km/h），故选项 B 正确；王浩月的速度为：24÷1-8=16（km/h），王浩月从开始到到达目的地用的时间为：24 ÷16 =1.5（h），故王浩月到达目的地时两人相距8×1.5=12（km），故选项 C 错误；王浩月比赵明阳提前 3-1.5=1.5（h）到目的地，故选项 D 正确．4. y=3x+375. 350 提示：当 8≤t≤20 时，设 s=kt+b，将（8，960），（20，1 800）代入，得解得∴s=70t+400；当 t=15 时，s=1 450，1 800-1 450=350（米），∴当小明从家出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行 350 米．6. 解：（1）由题意得，高度增加 2 百米，则气温降低 2×0.6=1.2（℃），∴13.2-1.2=12（℃），∴高度为 5 百米时的气温大约是 12 ℃；（2）设 T 关于 h 的函数表达式为 T=kh+b，则解得∴T 关于 h 的函数表达式为 T=-0.6h+15；（3）当 T=6 时，6=-0.6h+15，解得 h=15．∴该山峰的高度大约为 15 百米．7. 解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 x 万只和 y 万只，由题意可得解得答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 15 万只和 5 万只；（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 a 万只和（20-a）万只，利润为 w 万元，由题意可得 12a+4（20-a）≤216，解得 a≤17，∵w=（18-12）a+（6-4）（20-a）=4a+40，∵k=4＞0，∴w 随 a 的增大而增大，∴a=17 时，w 有最大值为 108 万元.答：安排生产甲种型号的防疫口罩 17 万只，乙种型号的防疫口罩 3 万只，最大利润为 108 万元．8. 解：（1）甲商场 y1关于 x 的函数解析式为y1=0.85x，乙商场 y2关于 x 的函数解析式为 y2=200+（x-200）×0.75=0.75x+50（x＞200），y2=x（0＜x≤200）；（2）当 x≤200 时，到甲商场购物更省钱；当 x＞200 时，由 y1＞y2，得 0.85x＞0.75x+50，x＞500，当 x＞500 时，到乙商场购物会更省钱；由 y1=y2，得 0.85x=0.75x+50，x=500 时，到两家商场购物花费一样；由 y1＜y2，得 0.85x＜0.75x+500，x＜500，当200＜x＜500 时，到甲商场购物会更省钱；综上所述，x＞500 时，到乙商场购物会更省钱，x=500 时，到两家商场购物花费一样，当0＜x＜500 时，到甲商场购物会更省钱.9. 解：（1）50，150；（2）点 E 的横坐标为：1 500÷（50+150）=7.5，纵坐标为：50×7.5=375，即点 E 的坐标为（7.5，375）；（3）小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值是 7，8 或 14．理由：两人相遇前，（50+150）x+100=1 500，得 x=7，两人相遇后，（50+150）x-100=1 500，得x=8，小亮从甲地到追上小明前，50x -100 =150（x-10），得 x=14，即小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距 100 米时 x 的值是 7，8 或 14．能力提升1. D提示：由题意和图象可得， a =60 ÷3=20，故选项 A 正确；b=（140-60）÷（40-20）=80÷20=4，故选项 B 正确；若工人甲一天获得薪金 180 元，则他共生产：20+=20+30=50（件），故选项 C 正确；若工人乙一天生产 m 件，当 m≤20 时，他获得的薪金为 3m 元；当 m＞20 时，他获得的薪金为 60+（m-20）×4=（4m-20）元，故选项 D 错误．2. B提示：根据题意可知，两车的速度和为 360÷2=180（km/h），相遇后慢车停留了 0.5 h，快车停留了 1.6 h，此时两车距离为 88 km，故①结论错误；慢车的速度为：88÷（3.6-2.5）=80（km/h），则快车的速度为 180-80=100（km/h），所以快车速度比慢车速度多 20 km/h，故②结论正确；88+180×（5-3.6）=340（km），所以图中 a=340，故③结论正确；（360-2×80）÷80+2.5=5（h），所以慢车先到达目的地，故④结论错误，所以正确的是②③．3.（4，160）提示：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4-40=60（km/h），∴乙货车从 B 地到A 地所用时间为：240÷60=4（小时），当乙货车到达A 地时，甲货车行驶的路程为：40×4=160（千米），∴点 E 的坐标是（4，160）．4. 解：（1）由题意得，可设函数表达式为 y=kx+b（k≠0）.把（20，0），（38，2 700）代入 y=kx+b 得，解得∴第一班车离入口处的路程 y（米）与时间x（分）的函数表达式为 y=150x-3 000（20≤x≤38）；（2）把 y=1 500 代入 y=150x-3 000 中，解得 x=30，则 30-20=10（分），∴第一班车到达塔林所需时间为 10 分钟；（3）①第 5 班车②7 分钟提示：设小聪坐上第 n 班车，25-20+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，∴小聪最早坐上第 5 班车.等班车时间为 5 分钟，坐班车所需时间：1 200÷150=8（分），步行所需时间：1 200÷（1 500÷25）=20（分），20-（8+5）=7（分）.∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早了 7 分钟.5. 解：（1）设 A 种商品每件的进价是 x 元，则 B 种商品每件的进价是（x-20）元，由题意得：，解得 x=50，经检验，x=50 是原方程的解，且符合题意，50-20=30（元）.答：A 种商品每件的进价是 50 元，B 种商品每件的进价是 30 元；（2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 商品（40-a）件，由题意得：解得，∵a 为正整数，∴a=14，15，16，17，18，∴ 商店共有 5 种进货方案；（3）设销售 A，B 两种商品共获利 y 元，由题意得：y=（80-50-m）a+（45-30）（40-a）=（15-m）a+600，①当 10＜m＜15 时，15-m＞0，y 随 a 的增大而增大，∴ 当 a=18 时，获利最大，即购进 18 件 A商品，22 件 B 商品；②当 m=15 时，15-m=0，y 与 a 的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同；③当 15＜m＜20 时，15-m＜0，y 随 a 的增大而减小，∴ 当 a=14 时，获利最大，即购进 14 件 A商品，26 件 B 商品．核心素养1. 5x+2提示：观察图形可知：当两个图 1 拼接时，总长度为：7+5=12；当三个图 1 拼接时，总长度为：7+2×5；以此类推，可知：用 x 个这样的图形拼出来的图形总长度为：7+5×（x-1）=5x+2，∴y 与 x 的关系式为 y=5x+2．。
新人教版初中数学[中考总复习：数与式综合复习--知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】(1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算；（2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；（3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的有关概念、性质1．实数及其分类实数可以按照下面的方法分类：实数还可以按照下面的方法分类：要点诠释：整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称实数．2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．要点诠释：实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础．3．相反数实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零．一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．要点诠释：两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数．4．绝对值一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．要点诠释：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数．5．实数大小的比较在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．6．有理数的运算(1)运算法则(略)．(2)运算律：加法交换律 a+b＝b+a；加法结合律 (a+b)+c ＝a+(b+c)； 乘法交换律 ab ＝ba ；乘法结合律 (ab)c ＝a(bc)； 分 配 律 a(b+c)＝ab+ac ．(3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减． 算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 要点诠释：正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．零的算术平方根是零． 要点诠释：从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法把一个数记成±a ×10n的形式(其中n 是整数，a 是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数．考点二、二次根式、分式的相关概念及性质 1．二次根式的概念≥0) 的式子叫做二次根式．2．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 要点诠释：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式：（1（2）a a +-互为有理化因式；一般地a a +-（3. 3．二次根式的主要性质（1）0(0)a a ≥≥； （2）()2(0)a a a =≥；（3）2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；（4）积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，；（5）商的算术平方根的性质：(00)a aa b b b=≥>，. 4． 二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并． (2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．要点诠释：二次根式的混合运算：1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. 5．代数式的有关概念(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．代数式的分类：(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式． (3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式． 整式包括单项式和多项式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义． 6．整式的运算(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项．(2)整式的乘法：①正整数幂的运算性质：m n m n a a a +=；()m n mn a a =；()m mm ab a b =；m n m n a a a -÷=(a ≠0，m ＞n)．其中m 、n 都是正整数．②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．③乘法公式：22()()a b a b a b +-=-； 222()2a b a ab b ±=±+．④零和负整数指数：在mnm na a a-÷=(a ≠0，m ，n 都是正整数)中，当m ＝n 时，规定01a =；当m ＜n 时，如m-n ＝-p(p 是正整数)，规定1pp a a-=． 7．因式分解（1）因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简． （2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc ＝m(a+b+c)．②运用公式法：22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±；③十字相乘法：2()x a b x ab +++()()x a x b =++．（3）因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用公式法分解． 要点诠释：因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8．分式（1）分式的概念 形如AB的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，注意B 的值不能为零． （2）分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．A A MB B M ⨯=⨯，A A MB B M÷=÷．(其中M 是不等于零的整式) （3）分式的运算 ①加减法：a b a b c c c ±±=，a c ad bcb d bd ±±=． ②乘法：ac acb d bd=． ③除法：a c a d adb d bc bc÷==． ④乘方：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）．要点诠释：解分式方程的注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题．【典型例题】类型一、实数的有关概念及运算1．实数2-，0.3，172，π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（33256、、，…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.【答案】A ；【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，2，π-都是无限不循环小数， 故共有2个无理数.【总结升华】无理数通常有以下几类：①开方开不尽的数；②含π的数；③看似循环但实际不循环的小数；④三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相关试题. 举一反三：【课程名称：数与式综合复习 402392 ：例1—2】【变式】如图，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( )．A ．32--B ．－31-C ．32+-D ．31+【答案】A.2．计算：(1)23220.2549403⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； (2)85(2)25-⨯ ．【思路点拨】注意在第（1）题中，32-与3(2)-的不同运算顺序和4499÷⨯的运算顺序. 【答案与解析】(1)23220.2549403⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦480.2549409⎛⎫=-⨯-÷⨯- ⎪⎝⎭9249402(8140)4⎛⎫=--⨯⨯-=--- ⎪⎝⎭24143=--=-．(2)85(2)25-⨯444442525(425)25100252500000000=⨯⨯=⨯⨯=⨯=．【总结升华】在进行有理数运算时，要注意运算的顺序，要有灵活运用运算律、运算法则和相反数、倒数、0、1的运算特性的意识，寻求简捷的运算途径．举一反三： 【变式】2517( 2.4)58612⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭；【答案】2517( 2.4)58612⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭21.50.4 1.4 1.5 1.42.95=--+-=--=- ．3． 若x-3+x-y+1=0，计算322x y+xy +4y .【思路点拨】几个非负数相加和为0，则这几个非负数必定同时为0，进而求出x 、y 的值. 【答案与解析】依题意得30,10,x x y -=⎧⎨-+=⎩解得3,4,x y =⎧⎨=⎩∴3222224x y+xy +y(x +xy+)y(x+)(x+)(3)410.44222y y y y y ====+⨯=【总结升华】2a ,(a 0)a a ≥，这三个非负数中任意几个相加得0，则每一个都得0.举一反三：【变式】已知|1|80a b ++-=，则a b -= ．【答案】本题考查绝对值与算数平方根的非负性，两个非负数的和为0，所以这两数都为0.因为|1|80a b ++-=，所以a=-1,b=8. a b -=﹣9.类型二、分式的有关运算4．对于分式211x x -+，当x 取何值时，(1)分式有意义? (2)分式的值等于零?【思路点拨】当分母等于零时，分式没有意义，此外，分式都有意义；当分子等于零，并且分母不等于零时，分式的值等于零. 【答案与解析】(1)由分母x+1＝0，得x ＝-1．∴ 当x ≠-1时，分式211x x -+有意义．(2)由分子210x -=，得1x =或1x =-． 而当x ＝-1时，分母x+1＝0； 当x ＝1时，分母10x +=．∴ 当x ＝l 时，分式211x x -+的值等于零．【总结升华】讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．类型三、二次根式的运算5．（2014春•平泉县校级期中）已知a=，求﹣的值．【思路点拨】先利用因式分解原式进行化简，再进行约分和利用二次根式的性质计算，由于a==4﹣2，则a ﹣4＜0，所以原式可化简为a ﹣3+，然后把a 的值代入计算即可． 【答案与解析】 解：原式=﹣=a ﹣3﹣， ∵a==4﹣2， ∴a ﹣4＜0， ∴原式=a ﹣3+=a ﹣3+， =4﹣2﹣3+=2﹣．【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了分式的混合运算．举一反三：【变式】计算：2(1848)(212)(23)+---；【答案】2(1848)(212)(23)+---(3243)(223)(2263)=+---+646662452623=+---+=-．6．当x 为何值时，下列式子有意义？ （1）32x -； （2）125xx -+． 【思路点拨】第（1）题中，根号外的负号与根号是否有意义无关；第（2）题中，因为与分式有关，因此要综合考虑x 的取值范围．【答案与解析】（1）320x -≥，即32x ≤． ∴ 当32x ≤时，32x --有意义． （2）120x -≥，且x+5≠0，∴ 当12x ≤，且x ≠-5时，125x x -+有意义．【总结升华】要使偶次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义分母不为0.举一反三：【课程名称：数与式综合复习 402392 ：例1—2】 【变式】下列说法中，正确的是( )A ．3的平方根是3B ．5的算术平方根是5C ．－7的平方根是7-±D ．a 的算术平方根是a【答案】B.类型四、数与式的综合运用7．（2014秋•崂山区校级期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：（1）观察图形，填写下表：图形 （1） （2） （3）… 黑色瓷砖的块数 4 7… 黑白两种瓷砖的总块数 15 25… （2）依上推测，第n 个图形中黑色瓷砖的块数为 ；黑白两种瓷砖的总块数为 （都用含n 的代数式表示）（3）白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2015块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．【思路点拨】找规律题至少要推算出三个式子的值，再去寻求规律，考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 【答案与解析】解：（1）填表如下：图形 （1） （2） （3）… 黑色瓷砖的块数 4 7 10… 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 35 …（2）第n 个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1；黑白两种瓷砖的总块数为10n+5； （3）能，理由如下：10n+5﹣（3n+1）﹣（3n+1）=2015，精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 解得：n=503答：第503个图形．【总结升华】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察其变化规律．举一反三：【变式】如图所示的是一块长、宽、高分别为7cm ，5cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？22(57)3153++=(cm).【答案】路径①的长为路径②的长为22(37)5125++=22(35)7113++=(cm). 113。
中考数学总复习专题三解答题重难点题型突破题型二几何图形探究题类型与三角形、四边形有关的探究题课件
(2)如图②，过点 F 作 FG⊥AB 于 G，连接 FE.∵AF＝BE，AF∥BE，∴ 四边形 ABEF 是平行四边形，∵AF＋BE＝16，∴AB＝AF＝BE＝8，∵32 3＝ 8×FG，∴FG＝4 3，在 Rt△FAG 中，AF＝8，∴∠FAG＝60°，当点 G 在 线段 AB 上时，∠FAB＝60°，当点 G 在线段 BA 延长线时，∠FAB＝120°，
解：(1)原命题不成立，新结论为：∠APB＝90°， AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)，证明：∵AM∥BN， ∴∠MAB＋∠NBA＝180°，∵AE，BF 分别平分∠MAB，∠NBA，
∴∠EAB＝12∠MAB，∠FBA＝12∠NBA，
∴∠EAB＋∠FBA＝12(∠MAB＋∠NBA)＝90°， ∴∠APB＝90°，∵AE 平分∠MAB，∴∠MAE＝∠BAE， ∵AM∥BN，∴∠MAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，同理：AF＝AB，∴AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)；
辽宁专用
专题三 解答题重难点题型突破
题型二 几何图形探究题 类型1 与三角形、四边形有关的探究题
【例1】 (2016·抚顺)如图，在△ABC中，BC >AC，点E在BC上，CE＝CA， 点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.
(1)如图①，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F. ①求证：FA＝DE； ②请猜想三条线段DE、AD、CH之间的数量关系，直接写出结论； (2)如图②，当∠ACB＝120°时，三条线段DE、AD、CH之间存在怎样的数量关 系？请证明你的结论．
(3)成立．∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90 °，
中考数学二轮复习 专题三 开放型问题-人教版初中九年级全册数学试题
开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2015•某某某某，第13题3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．考点：全等三角形的判定。
专题：开放型．分析：添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．解答：解：添加条件为DC=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．对应训练1．（2015•某某，第13题3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD 或AD=CD．解答：解：答案不唯一．①∠ABD=∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．点评：本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2015·某某甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD 上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD 的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．考点：四边形综合题．.专题：综合题．分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．解答：（1）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DA F=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．点评：此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意证得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关对应训练2．（2015•某某某某，第20题8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的45，则一月份B款运动鞋销售了多少双？（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。
中考数学复习动点问题3[人教版]
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[单选,A2型题,A1/A2型题]FAB分型中，AML-M1骨髓中原始细胞应占非红系细胞的（）.A.≥30%B.≥40%C.≥50%D.≥70%E.≥90% [单选]下列法的形式中，由全国人民代表大会及其常务委员会经一定立法程序制定颁布的规范性文件是（）。A、宪法B、行政法规C、法律D、行政规章 [单选]哪项是确诊宫颈鳞状上皮内瘤变最可靠的方法是（）A.阴道镜检查B.宫颈刮片细胞学检查C.宫颈活组织检查D.碘试验E.HPV-DNA检查 [单选]下列有关噪声的叙述中，错误的是（）。A.当某噪声级与背景噪声级之差很小时，则感到很嘈杂B.噪声影响居民的主要因素与噪声级、噪声的频谱、时间特性和变化情况有关C.由于各人的身心状态不同，对同一噪声级下的反应有相当大的出入D.保证睡眼不受影响，室内噪声级的理想值为3 [单选,A1型题]不属于红细胞生成不足性贫血的是（）A.营养性缺铁性贫血B.原发性再生障碍性贫血C.继发性再生障碍性贫血D.自身免疫性溶血性贫血E.营养性巨幼细胞贫血 [单选,A4型题,A3/A4型题]男，50岁，因躯干、双下肢汽油火焰烧伤3小时入院，烧伤面积为60%，其中深Ⅱ度20%，Ⅲ度40%，入院后立即给予补液及应用广谱抗生素预防感染治疗。入院第3天行手术切痂自体微粒皮加大张异体皮移植术。术后因患者发热，给予持续大剂量广谱抗生素以控制感染，术 [多选]关于进出口商品收发货人办理报检手续的方式，以下表述正确的有（）。A.可以自行办理报检手续B.可以委托代理报检企业办理报检手续C.采用快件方式进出口商品的，可以自行办理报检手续D.采用快件方式进出口商品的，应当委托出入境快件运营企业办理报检手续 [单选]下列哪种疾病不属于母斑病（）A.眼-神经-皮肤血管瘤病B.神经纤维瘤病C.结节性硬化D.迷芽瘤E.视网膜血管瘤病 [多选]关于工程无法按规定期限竣工验收情况下的缺陷责任期的起计日期，下列说法正确的有（）。A.承包人原因所致的，从实际通过竣工验收之日起计B.承包人原因所致的，在承包人提交竣工验收报告30天后，工程自动进入缺陷责任期C.发包人原因所致的，从实际通过竣工验收之日起计D.发包 [单选,A2型题,A1/A2型题]男性，43岁。3小时前呕血1次，自觉头晕、乏力、出汗。查体：心率110次／分，血压100/70mmHg，肝掌，腹壁静脉曲张，超声示腹水。该患者的出血量可能为（）A.>5mlB.50～70mlC.250～300mlD.500～1000mlE.>1500ml [单选]初步可行性研究阶段的投资估算精度可以达到()。A.±20%B.±25%C.±30%D.±40% [单选]义务消防队建立后应定期对义务消防人员进行消防实操训练及消防常识的培训，每（）还应进行一到两次的消防实战演习。A.周B.月C.季度D.年 [多选]以下说法正确的是（）。A.所出为井B.所注为荥C.所溜为输D.所行为经E.所进为合 [单选]电缆护层中钢带起（）作用。A.屏蔽B.抗侧压C.屏蔽和抗侧压D.防护 [单选]下列关于肿瘤坏死因子拮抗剂治疗类风湿关节炎说法正确的是（）。A.仅有抗炎作用B.既有抗炎作用又有防止骨破坏的作用C.缓解关节症状的速度较其他慢作用抗风湿药慢D.不会诱发或加重感染E.不宜与其他慢作用药物联用 [单选]卫星通信分为：通信卫星，地球站，跟踪遥测指令系统，监控管理分系统和无线信道五大部分，其中完成通信功能的是（）A.通信卫星，地球站，监控管理系统和无线信道B.通信卫星，地球站，无线信道C.通信卫星，地球站，跟踪遥测系统，无线信道. [单选]某人第一年初存入银行400元，第二年初存入银行500元，第三年初存入银行400元，银行存款利率是5%，则在第三年年末，该人可以从银行取出（）元。［已知（F/P，5%，3）=1.1576，（F/P，5%，2）=1.1025，（F/P，5%，1）=1.0500］A.1434.29B.1248.64C.1324.04D.1655.05 [判断题]泵站变电所中担负输送和分电能任务的电路，一般称为一次电路。A.正确B.错误 [名词解释]镜像阶段 [单选]国家统一的会计制度是由（）制定的规章和会计规范性文件。A.全国人大B.全国人大常委会C.国务院D.财政部以及其他相关部委 [单选,A1型题]认知疗法认为一个人非适应性或非功能性的心理与行为是受以下哪项影响的（）A.不正确的认知B.适应不良的行为C.外部不良的环境D.自我的能力E.个人的经验 [单选]1926年美国波士顿的内科医生首次应用放射性氡研究人体动、静脉血管床之间的循环时间，被誉为“临床核医学之父”。该内科医生是()A．卢姆加特B．亚历山大?丹拉斯C．卡森D．特克尔E．cassen [单选]（）是提出旅游规划思路的前提条件，应当立足当前，以发展的视角进行实事求是的分析判断。A.旅游发展环境分析B.旅游资源分析C.环境保护规划D.旅游业发展战略 [单选,A2型题,A1/A2型题]女性，3岁。间歇性腹痛、黄疸及大便变白2年入院。B超检查：肝门处直径12cm囊性肿块，诊断为先天性胆总管囊肿。根据患儿情况，手术方式宜采取（）A.胆总管囊肿与十二指肠侧侧吻合B.胆总管囊肿与空肠Roux-Y吻合C.胆总管囊肿切除，胆总管空肠Roux-Y吻合D.胆总 [单选]肺结核患者的结核菌检查由阳性转为阴性表示()A．痊愈B．不必休息C．病变吸收D．不必呼吸道隔离E．可停用抗结核药物 [单选]燃着的烟蒂可能引起()阴燃。A、常用塑料B、羊毛C、真丝聚烯烃D、棉织品 [填空题]意象作为诗歌艺术形象理论范畴的一个概念，意即______________，象指______________。 [单选]下列各种方法中最常用来普查筛检宫颈癌的是（）A.子宫颈刮片细胞学检查B.碘试验C.宫颈锥切术D.阴道镜检查E.宫颈和宫颈管活组织检查 [判断题]在概括河流图形时，首先要研究河流的弯曲形状和曲折系数。A.正确B.错误 [单选,A2型题]影响药物吸收的下列因素中，不正确的是（）A.非解离药物的浓度愈大，愈易吸收B.药物的脂溶性愈大，愈易吸收C.药物的水溶性愈大，愈易吸收D.药物的粒径愈小，愈易吸收E.药物的溶解速率愈大，愈易吸收 [填空题]通风机和鼓风机是化工厂常用的气体输送机机械，大体可分为（）和（）两类。 [单选]在海上拖运超大型沉箱施工应当在启拖开始之日（）天前向启拖地所在海区的区域主管机关递交发布海上航行警告、航行通告的书面申请。A.3B.5C.7D.10 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不是女性青春期的显著生理特性表现（）A.全身发育，身高、体形已渐发育为女性特有的体形B.第二性征发育，呈现女性特有体态C.重要标志是月经来潮D.具有生育能力E.乳房发育成熟 [问答题,案例分析题]某拟建项目有关资料如下：1．项目工程费用由以下内容构成。(1)主要生产项目l500万元，其中：建筑工程费300万元，设备购置费l050万元，安装工程费l50万元。(2)辅助生产项目300万元，其中：建筑工程费150万元，设备购置费ll0万元，安装工程费40万元。(3)公用工程 [单选]VDSL技术适用于（）。A.远距离（大于2Km，小于5Km）分散客户群B.中等距离（小于1.5Km）、较集中客户群C.近距离（小于200M）密集客户群D.长距离（大于15Km）集中客户群 [判断题]海绵动物体表的一层细胞为领细胞，具保护作用。（）A.正确B.错误 [单选]病人恶寒重发热轻，头身疼痛，无汗，脉浮紧，此为（）。A.表实热证B.表实寒证C.里实热证D.里实寒证E.表里实寒证 [名词解释]简化原则 [单选,A1型题]初产妇第二产程时，何时应开始保护会阴（）A.胎头仰伸时B.胎头拨露使会阴后联合紧张时C.宫口开全时D.胎头着冠时E.阴道口见胎头时 [单选]在关系中，"元数"（Arity）是指（）A.行数B.元组个数C.关系个数D.列数
中考数学复习变量之间的关系3[人教版]
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[单选]出海拖航时，被拖船在限定航区内，为短途拖航，超越限制航区或在限制航区超过（）时为长途拖航。A.50海里B.300海里C.100海里D.200海里 [单选]每一测站前后尺子到仪器的视距差不超过（）m。A.10B.15C.3～5D.20 [填空题]比重（）水和不溶于水的易燃（），不可用水扑救。 [单选]人的腹腔内有（）.A.胃、肠、心、肝、肾等B.肺、胃、子宫、膀胱等C.胃、肝、肾、膀胱等 [单选,A1型题]《母婴保健法》规定，在新生儿期进行筛查的遗传代谢内分泌疾病是（）A.21-三体综合征、苯丙酮尿症B.21-三体综合征、先天性甲状腺功能减低症C.先天性甲状腺功能减低症、苯丙酮尿症D.先天性甲状腺功能减低症E.苯丙酮尿症 [多选]下列表述正确的是：（）。A.货主或其代理人在办理进境动物、动物产品报检时，还需按检疫要求出具，输出国家或地区政府出具的检疫证书（正本）；《中华人民共和国进境动植物检疫许可证》。B.输入活动物的报检时，还应提供隔离场审批证明。C.输入动物产品的报检时，应提供加工 [单选]我国目前的基本建设程序主要包括项目建议书、可行性研究、相关审批或核准、工程勘察与设计、工程施工、竣工验收和交付等阶段。项目立项完成后，（）是建设实施阶段首要和主导的环节。A.项目建议书B.可行性研究C.工程勘察与设计D.工程施工 [填空题]民主集中制是民主基础上的集中和集中指导下的民主相结合。它既是党的（），也是群众路线在党的生活中的运用。 [单选]《女职工劳动保护特别规定》的适用范围是（）。A、国家机关、人民团体、企业、事业单位的女职工B、国家机关、企业、事业单位、社会团体、个体经济组织C、国家机关、企业、事业单位、社会团体、个体经济组织以及其他社会组织等用人单位D、国家机关、企业、事业单位、社会团体 [单选]油罐进油前应提前（）h投运采暖管线预热。A、3B、2C、
中考数学复习两圆的公切线3[人教版]
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3.已知⊙O1的半径4cm， ⊙O2 的半径1cm，两圆的圆心距为 6cm，那么两圆的外公切线长 为 ，内公切线长 为 ，连心线与外公切 线的夹角为 ，连心 线与内公切线夹角的正弦值 是 .
4、已知⊙O1和⊙O2的外切于 点P，AB切⊙O1于A，切⊙O2于 B. A
⑴若连结PA、PB， 求证：PA⊥PB.
O1
Q B
P O2
⑵若R1=5cm， R2=3cm，PQ⊥AB于Q， 求PQ的长 .
引伸1.如图， ⊙O1与⊙O2外切于点P， AB是两圆的公切线，切点为B，A.连结 BP并延长交⊙O2于C，过C作AB的平行 线交⊙O1于D，E. ⑴求证：AC是 ⊙O1的直径； ⑵试判断线段BD、 E BA、BE的大小关系， 并证明.
1.已知两等圆和另一个圆两两互 相外切,且都与同一条直线相切, 求等圆与另一个圆的半径之比.
o1 o
o2
2.圆心Ａ（０，３），⊙Ａ与Ｘ轴相 切，⊙Ｂ的圆心在Ｘ轴的正半轴上， 且⊙Ｂ与⊙Ａ外切于点Ｐ，两圆的公 切线ＭＰ交Ｙ轴于点Ｍ，交Ｘ轴于Ｎ. Ｙ (１).若 sin∠OAB=0.8，求 Ａ 直线MP的解析式及 Ｐ 经过M,N,B三点的 Ｏ Ｎ Ｂ 抛物线的解析式 Ｍ Ｃ
ห้องสมุดไป่ตู้
设两圆的半径分别为R和r（R﹥r）， 圆心距为d，则两圆的外公切线长=
d (R r)
2
2
（d﹥R-r）
若两圆连心线与两圆外公切线 的夹角为α，则 sin
Rr α= d
设两圆的半径分别为R和r（R﹥r）， 圆心距为d，则两圆的内公切线长= 2 2 d ( R r ) （d﹥R+r）
若两圆连心线与两圆内公切线 Rr 的夹角为α，则sin α= d
人教版数学中考复习训练专题三 函数图象与性质综合题 附答案
专题三 函数图象与性质综合题类型一 交点问题典例精析例 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，2)，点B (3，2)，点C (－2，－3)是平面内3个点．(1)连接AB ，若直线y ＝34x ＋b 与线段AB 有交点，求b 的取值范围；(2)连接BC ，若直线y ＝34x ＋b 与线段BC 在第三象限内有交点，求b 的取值范围；(3)若直线y ＝kx ＋3与直线BC 无交点，求k 的值；(4)若直线AB 、直线y ＝kx ＋3与直线BC 能够围成三角形，求k 的取值范围；(5)若双曲线y ＝k x 过点A 且与直线y ＝34x ＋b 在(－5≤x ≤－1)有交点，求b 的取值范围；(6)连接AB ，若抛物线y ＝x 2＋c 与线段AB 有公共点，求c 的取值范围；(7)若抛物线y ＝x 2＋c (－2≤x ≤2)与直线BC 有一个交点，求c 的取值范围；(8)连接AB ，若抛物线y ＝(x －k )2与线段AB 有公共点，求k 的取值范围；(9)若双曲线y ＝k x过点B 且与抛物线y ＝x 2 ＋c 在2≤x ≤6有交点，求c 的取值范围．1. (2020河北24题10分)表格中的两组对应值满足一次函数y ＝kx ＋b ，现画出了它的图象为直线l ，如图．而某同学为观察k ，b 对图象的影响，将上面函数中的k 与b 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l ′.(1)求直线l 的解析式；(2)请在图上画出．．直线l ′(不要求列表计算)，并求直线l ′被直线l 和y 轴所截线段的长； (3)设直线y ＝a 与直线l ，l ′及y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接．．写出a 的值．第1题图2. (2016河北26题12分)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t )(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线y ＝k x(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA ·MP ＝12. (1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标；(4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接．．写出t的取值范围．第2题图针对演练3. (2020承德二模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C三点的坐标分别为(2，0)，(1，2)，(4，3)，直线l的解析式为y＝kx＋4－3k(k≠0)．(1)当k＝1时，直线l与x轴交于点D，则点D的坐标为________，S△ABD＝________；(2)小明认为点C也在直线l上，他的判断是否正确，请说明理由；(3)若线段AB与直线l有交点，求k的取值范围．第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 位于第二象限，且AB ∥x 轴，点B 在点C的正下方，双曲线y ＝1－2m x(x <0)经过点C. (1)求m 的取值范围；(2)若点B (－1，1)，判断双曲线是否经过点A ；(3)设点B (a ，2a ＋1)．①若双曲线经过点A ，求a 的值；②若直线y ＝2x ＋2交AB 于点E ，双曲线与线段AE 有交点，求a 的取值范围．第4题图5.(2020石家庄模拟)如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C(－1，－2)，抛物线F：y＝x2－2mx＋m2－2与直线x＝－2交于点P.(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；(2)设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＜x2≤－2，比较y1与y2的大小；(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．第5题图6. 如图，已知抛物线y ＝ax 2－2x ＋3a (a ＞0)与x 轴相交于不同的两点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1＜x 2.点P 为双曲线y ＝k x(1≤x ≤4)上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于点C ，交抛物线y ＝ax 2－2x ＋3a (a ＞0)于点Q .(1)若△POC 的面积为6，求k 值；(2)若k ＝3.①当a ＝12时，求点A 、B 的坐标，并求当点P 到抛物线对称轴的距离最大时，PQ 的值； ②若抛物线与双曲线有一个交点，直接写出a 的取值范围．第6题图7. (2020唐山开平区一模)已知，如图，二次函数L ∶y ＝mx 2＋2mx ＋k (其中m ，k 是常数，k 为正整数)，(1)若L 经过点(1，k ＋6)，求m 的值；(2)当m ＝2，若L 与x 轴有公共点时且公共点的横坐标为非零的整数，确定k 的值；(3)在(2)的条件下，将L ∶y ＝mx 2＋2mx ＋k 的图象向下平移8个单位，得到函数图象M ，求M 的解析式；(4)在(3)的条件下，将M 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N ，请结合新的图象解答问题，若直线y ＝12x ＋b 与N 有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．第7题图8.如图①，二次函数y＝ax2－3ax＋c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y＝－x＋4经过点B、C.(1)求抛物线的表达式；(2)过点A的直线y＝kx＋k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx＋k平分△ABC 的面积时，求点M的坐标；(3)如图②，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx＋k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．第8题图类型二整点问题例我们把横，纵坐标都是整数的点叫作整点．在平面直角坐标系中，点A(5，0)，B(0，5)，C(－1，0)．(1)若直线l过点A，B，求直线l与坐标轴围成的区域W1内(含边界)整点的个数；(2)连接AB，BC，AC，求△ABC所围成的区域W2内(不含边界)整点的个数；(3)若直线y＝a、线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰有6个整点，求a的取值范围；(4)若直线y＝x＋b与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)恰有4个整点，求b的取值范围；(5)若直线y＝kx＋2与直线BC及x轴所围成的区域W5内(不含边界)恰有4个整点，求k的取值范围；(6)若双曲线y ＝4x (x >0)与线段AB 交于D ，E 两点(点D 在点E 的上方)，求曲线DE 与线段DE 所围成的区域W 6内(含边界)整点的个数；(7)在(6)的条件下，若直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝4x 交于点F ，与y 轴交于点G ，连接DG ，若线段DG ，FG ，曲线DF 所围成的区域W 7内(含边界)恰有5个整点，求b 的取值范围；(8)若抛物线y ＝x 2－2x ＋m －2与过点B 的直线y ＝5所围成的区域W 8内(不含边界)有4个整点，求m 的取值范围；(9)若抛物线y ＝x 2－2x ＋m －2与直线y ＝－x ＋2交于M ，N 两点(点M 在点N 的左侧)，将曲线MN 与线段MN 所围成的区域记为W 9，若W 9内(不含边界)恰好有4个整点，求m 的取值范围．1.(2019河北26题12分)如图，若b是正数．．，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴正半轴的交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上．．写出b．．．，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．第1题图针对演练2.在平面直角坐标系xOy中，直线x＝5与直线y＝3，x轴分别交于点A，B，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A且与x轴交于点C(9，0)．(1)求直线y＝kx＋b的表达式；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W.①结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②将直线y＝kx＋b向下平移n个单位，当平移后的直线与区域W没有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．第2题图3. 已知点A (4，1)，若直线y 1＝14x ＋b 与双曲线y 2＝4x(x >0)交于点B ，与y 轴交于点C.探究：由双曲线y 2＝4x (x >0)与线段OA ，OC ，BC 围成的区域M 内(不含边界)整点的个数(点的横、纵坐标都是整数的点称为整点)．(1)当b ＝－1时，如图，求区域M 内的整点的个数；(2)当b <0时，若区域M 内恰好有4个整点，求b 的取值范围．第3题图4. 如图，函数y 1＝－x 2＋12x ＋c (－2020≤x ≤1)的图象记为L 1，最大值为M 1；函数y 2＝－x 2＋2cx ＋1(1≤x≤2020) 的图象记为L 2，最大值为M 2.L 1的右端点为A ，L 2的左端点为B ，L 1，L 2合起来的图形记为L .(1)当c ＝1时，求M 1，M 2的值；(2)若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A ，B 重合时，求L 上“美点”的个数； (3)若M 1，M 2的差为4716，直接写出c 的值．第4题图5. 如图，在平面直角坐标系中，设抛物线y ＝－x 2＋bx ＋b －1为L 1，A (－5，－2)，B (5，－2)． (1)若L 1经过原点，求抛物线L 1的解析式，并求出此时抛物线的顶点坐标；(2)无论b 取何值，L 1总经过一个定点M ，随着b 的变化，抛物线L 1的顶点总在另一条抛物线上运动，且这条抛物线的顶点为M ，若设另一条抛物线为L 2.①求点M 的坐标； ②求出抛物线L 2的解析式；(3)若把抛物线L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1经过线段AB 端点时与线段AB 所围成的封闭图形称为C ，图形C 边界上横、纵坐标都是整数的点为“理想点”，求图形C 上“理想点”的个数．第5题图专题三 函数图象与性质综合题类型一 交点问题例 解：(1)∵直线y ＝34x ＋b 与线段AB 有交点，即直线y ＝34x ＋b 与线段AB 两端点交点为临界点，如解图①②，将A (－1，2)代入y ＝34x ＋b ，得b ＝114，将B (3，2)代入y ＝34x ＋b ，得b ＝－14，∴b 的取值范围为－14≤b ≤114；例题解图①例题解图②(2)设线段BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将B (3，2)，C (－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋m ＝2－2k ＋m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴线段BC 的解析式为y ＝x －1(－2≤x ≤3)， ∴线段BC 与y 轴的交点为(0，－1)． 当y ＝34x ＋b 过点(0，－1)，如解图③，∴即b ＝－1，当y ＝34x ＋b 过点C (－2，－3)，如解图④，∴－3＝－32＋b ，∴b ＝－32，∴当直线y ＝34x ＋b 与线段BC 在第三象限内有交点，b 的取值范围为－32≤b <－1；例题解图③例题解图④(3)由(2)知，直线BC 的解析式为y ＝x －1， 若y ＝kx ＋3与直线BC 无交点，∴直线y ＝kx ＋3与直线BC 平行，如解图⑤， ∴当k ＝1时，直线y ＝kx ＋3与直线BC 无交点；例题解图⑤(4)由(2)知直线BC 的解析式为y ＝x －1， 由题可知直线AB 的解析式为y ＝2，若直线AB ，直线y ＝kx ＋3与直线BC 能够围成三角形， 即直线y ＝kx ＋3与直线AB 、直线BC 都有交点， ∴k ≠1，k ≠0.∵直线AB 与直线BC 交于点B ，∴当直线y ＝kx ＋3过点B (3，2)时，直线AB 、直线y ＝kx ＋3与直线BC 交于一点，不能围成三角形．∴将B (3，2)代入y ＝kx ＋3，得3k ＋3＝2，∴k ＝－13.综上所述，k ≠－13，0，1；(5)∵双曲线y ＝kx 过点A (－1，2)，∴k ＝－2，∴双曲线的解析式为y ＝－2x .∵－5≤x ≤－1. ∴令x ＝－5，则y ＝25.当直线y ＝34x ＋b 与双曲线y ＝－2x 相切时，如解图⑥，∴34x ＋b ＝－2x ，整理得34x 2＋bx ＋2＝0， ∴b 2－6＝0，∴b ＝6或b ＝－6(舍去)．当直线y ＝34x ＋b 过点(－5，25)，如解图⑦，∴25＝－5×34＋b ， ∵b ＝8320.由解图可知，b 的取值范围为6≤b ≤8320；例题解图⑥例题解图⑦(6)由题可知A (－1，2)，B (3，2)， 抛物线y ＝x 2＋c 的对称轴为直线x ＝0，∴当抛物线顶点在线段AB 上时，如解图⑧， ∴c ＝2.当抛物线过点B 时，如解图⑨， ∴2＝9＋c ，∴c ＝－7， ∴c 的取值范围为－7≤c ≤2；例题解图⑧例题解图⑨(7)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝x 2＋c ，整理得x 2－x ＋c ＋1＝0，如解图○10， ∴(－1)2－4(c ＋1)＝0， ∴c ＝－34.例题解图○10对于抛物线y＝x2＋c，当x＝2时，y＝4＋c，当点(2，4＋c)在直线BC上时，如解图⑪，此时抛物线与直线BC有两个交点，将(2，4＋c)代入直线BC解析式y＝x－1，得2－1＝4＋c，解得c＝－3；例题解图⑪当x＝－2时，y＝4＋c，当点(－2，4＋c)在直线BC上时，如解图⑫，此时抛物线与直线BC有一个交点，将(－2，4＋c)代入直线BC解析式y＝x－1，得－2－1＝4＋c，解得c＝－7；例题解图⑫综上所述，抛物线y＝x2＋c(－2≤x≤2)与直线BC有一个交点，c的取值范围为－7≤c＜－3，或c＝－34；(8)∵A(－1，2)，B(3，2)，抛物线y＝(x－k)2与线段AB有公共点，则当y＝(x－k)2过点A(－1，2)，如解图⑬，∴2＝(－1－k)2，∴k＝－1－2或k＝－1＋2(舍)．当y＝(x－k)2过点B(3，2)，如解图⑭，∴2＝(3－k)2，∴k＝3＋2或k＝3－2(舍)．∴k 的取值范围为－1－2≤k ≤3＋2；例题解图⑬ 例题解图⑭(9)∵双曲线y ＝kx 过点B (3，2)，∴2＝k 3，∴k ＝6，∴双曲线的解析式为y ＝6x .∵2≤x ≤6， ∴当x ＝2时，y ＝3， 当x ＝6时，y ＝1，当抛物线过点(2，3)时，如解图⑮，将(2，3)代入y ＝x 2＋c ， 即3＝4＋c ， ∴c ＝－1，同理当抛物线过点(6，1)时，将(6，1)代入y ＝x 2＋c ， 即1＝36＋c ，∴c ＝－35， ∴c 的取值范围为－35≤c ≤－1.例题解图⑮1. 解：(1)∵(－1，－2)，(0，1)在函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－k ＋b 1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝1.∴直线l 的解析式为y ＝3x ＋1；(3分) (2)依题意，直线l ′的解析式为y ＝x ＋3， ∴直线l ′的图象如解图，第1题解图联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，(5分)∴直线l 与直线l ′的交点坐标为(1，4)． 又∵直线l ′与y 轴的交点坐标为(0，3)，∴直线l ′被直线l 和y 轴所截得的线段长为（1－0）2＋（4－3）2＝2；(7分) (3)a 的值为52或175或7.(10分)2. 解：(1)设点P (x ，y )，则MP ＝y ，由OA 的中点为M ，知OA ＝2x ，代入OA ·MP ＝12，得2x ·y ＝12，即xy ＝6， ∵点P 在双曲线y ＝kx (k ＞0，x ＞0)上，∴k ＝xy ＝6；(3分)(2)当t ＝1时，令y ＝0，则0＝－12(x －1)(x ＋3)，解得x 1＝1，x 2＝－3，∵点B 在点A 左边， ∴B (－3，0)，A (1，0)， ∴AB ＝4.(5分)∴L 的对称轴为直线x ＝－1，∵点M 的坐标为(12，0)，∴MP 与L 对称轴的距离为32；(6分)(3)∵A (t ，0)，B (t －4，0)， ∴L 的对称轴为直线x ＝t －2.(7分) 又∵点M 的横坐标为t2，∴当t －2≤t2，即t ≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t －2>t 2，即t ＞4时，L 与MP 的交点(t 2，－18t 2＋t )就是G 的最高点；(10分)(4)5≤t ≤8－2或7≤t ≤8＋ 2.(12分)第2题解图3. 解：(1)(－1，0)，3；4. 解：(1)∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)位于第二象限，∴1－2m <0， ∴m >12；(2)∵点B (－1，1)， ∴A (－3，1)，C (－1，3)， ∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)经过点C ，∴双曲线的解析式为y ＝－3x ，∵－3×1＝－3， ∴双曲线经过点A ； (3)①∵点B (a ，2a ＋1)，∴A (a －2，2a ＋1)，C (a ，2a ＋3)．∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)经过点A 、C ，∴(a －2)(2a ＋1)＝a (2a ＋3)， 解得a ＝－13；②∵点E 在AB 上， ∴点E 的纵坐标为2a ＋1， 代入y ＝2x ＋2得，x ＝a －12，∴E (a －12，2a ＋1)，∵C (a ，2a ＋3)，双曲线y ＝1－2mx(x <0)经过点C ， ∴双曲线为y ＝a （2a ＋3）x，把E (a －12，2a ＋1)代入得，2a ＋1＝a （2a ＋3）a －12，解得a ＝－16，由①知，双曲线过点A 时，a ＝－13.∴双曲线与线段AE 有交点，a 的取值范围是－13≤a ≤－16.5. 解：(1)∵抛物线F 经过点C (－1，－2)， ∴－2＝1＋2m ＋m 2－2. ∴m ＝－1.∴抛物线F 的表达式是y ＝x 2＋2x －1；(2)当x ＝－2时，y P ＝4＋4m ＋m 2－2＝(m ＋2)2－2. ∴当m ＝－2时，y P 的最小值为－2. 此时抛物线F 的表达式是y ＝(x ＋2)2－2. ∴当x ≤－2时，y 随x 的增大而减小． ∵x 1＜x 2≤－2， ∴y 1＞y 2；(3)－2≤m ≤0或2≤m ≤4. 6. 解：(1)∵△POC 的面积为6，∴12x P ·y P ＝6. ∴x P ·y P ＝12. ∴k ＝12； (2)①∵a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x ＋32.当y ＝0时，12x 2－2x ＋32＝0，解得x 1＝1，x 2＝3.∵x 1<x 2，∴A (1，0)，B (3，0)．∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x ＋32，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∵k ＝3，∴y ＝3x(1≤x ≤4)．当点P 位于(4，34)时，点P 到x ＝2的距离最大，当x ＝4时，y ＝12×42－2×4＋32＝32，∴PQ ＝32－34＝34；②3576≤a ≤54. 7. 解：(1)将点(1，k ＋6)代入y ＝mx 2＋2mx ＋k 中，得m ＝2； (2)y ＝mx 2＋2mx ＋k ＝2x 2＋4x ＋k ，由题意得：b 2－4ac ＝16－8k ≥0，解得k ≤2， ∵k 为正整数， ∴k ＝1或2.当k ＝1时，方程2x 2＋4x ＋0没有整数解，故舍去， 则k ＝2；(3)由(2)得m ＝2，k ＝2，∴y ＝2x 2＋4x ＋2，向下平移8个单位，平移后的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12<b <32或b >27332.第7题解图8. 解：(1)由直线y ＝－x ＋4知，点B 、C 的坐标分别为(4，0)、(0，4)， 把点B 、C 的坐标分别为(4，0)、(0，4)， 代入y ＝ax 2－3ax ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝416a －12a ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝4，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋3x ＋4； (2)由y ＝－x 2＋3x ＋4，得A (－1，0)． 如解图，过点N 作NG ⊥AB 于点G ，第8题解图∵直线y ＝kx ＋k 平分△ABC 的面积， ∴NG ＝12OC ＝2，∴当y ＝2时，2＝－x ＋4，∴x ＝2， ∴N (2，2)．把N (2，2)代入y ＝kx ＋k ，得k ＝23，∴直线AM 的解析式为k ＝23x ＋23，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋23y ＝－x 2＋3x ＋4，解得⎩⎨⎧x 1＝103y 1＝269，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1y 2＝0.∴M (103，269)；(3)翻折后的整个图象包括两部分：分别是抛物线y ＝x 2－3x －4(－1≤x ≤4)与y ＝－x 2＋3x ＋4(x ＞4或x ＜－1)．①当直线y ＝kx ＋k 与抛物线y ＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254(－1≤x ≤4)相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋ky ＝x 2－3x －4，得x 2－3x －4＝kx ＋k ， 整理，得x 2－(k ＋3)x －(k ＋4)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝k ＋4. ∴y 1＝0，y 2＝k 2＋5k . ∴两个函数图象有两个交点，其中一个交点为A (－1，0)，另一个交点坐标为(k ＋4，k 2＋5k )．观察图象可知：另一个交点在x 轴下方，横坐标在－1与4之间，纵坐标在－254与0之间．∴－1＜k ＋4＜4，解得－5＜k ＜0. －254＜k 2＋5k ＜0，整理，得 4k 2＋20k ＋25＞0且k 2＋5k ＜0， 解得，(2k ＋5)2＞0且－5＜k ＜0. k 为任意实数，(2k ＋5)2＞0恒成立， ∴－5＜k ＜0；②当直线y ＝kx ＋k 与图象y ＝－x 2＋3x ＋4(x ＞4或x ＜－1)相交时， －x 2＋3x ＋4＝kx ＋k ， 整理得x 2＋(k －3)x ＋(k －4)＝0 解得x 1＝－1，x 2＝4－k ，∴y 1＝0，y 2＝5k －k 2. ∴两个函数图象有两交点，其中一个是点A (－1，0)，另一个交点坐标为(4－k ，5k －k 2)． 观察图象可知：另一个交点的横坐标大于4，纵坐标小于0， 即4－k ＞4，解得k ＜0. 5k －k 2＜0，∴k (5－k )＜0， ∵k ＜0，∴5－k ＞0，∴k ＜5. ∴k ＜0.∴综上所述，当直线y ＝kx ＋k 与翻折后的整个图象只有三个交点时，k 的取值范围是－5＜k ＜0.类型二 整点问题例 解：(1)如解图①，设直线l 的解析式为y ＝px ＋q ， 将A (5，0)，B (0，5)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧5p ＋q ＝0，q ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝5. ∴直线l 的解析式为y ＝－x ＋5.结合图象可知，线段OA 上共有6个整点，线段OB (不含原点)上共有5个整点，线段AB 上(不含端点)共有4个整点，△AOB 内部共有6个整点，∴直线l 与坐标轴围成的区域W 1内(含边界)整点的个数为6＋5＋4＋6＝21个；例题解图①(2)如解图②，设直线BC 的解析式为y ＝p 1x ＋q 1， 将B (0，5)，C (－1，0)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧q 1＝5，－p 1＋q 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝5，q 1＝5， ∴直线BC 的解析式为y ＝5x ＋5，结合图象，△BOC(不含边界)所围成的区域内无整点，由(1)知，△AOB(不含边界)所围成的区域内有6个整点，∴△ABC所围成的区域W2内(不含边界)整点的个数等于线段OB(不含端点)上的整点个数加上△AOB 内部的整点个数为4＋6＝10个；例题解图②(3)如解图③，当a＝3时，直线y＝3，线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰好有6个整点，∴结合图象可知，当2＜a≤3时，直线y＝a，线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰好有6个整点；例题解图③(4)如解图④，当b＝0时，y＝x，此时y＝x与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)有2个整点，当b＝－1时，y＝x－1，此时y＝x－1与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)有4个整点，结合图象可知，－1≤b＜0；例题解图④(5)如解图⑤，x ＜时当直线y ＝kx ＋2过(－5，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有4个整点，将(－5，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝15，当直线y ＝kx ＋2过(－4，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有3个整点，将(－4，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝14，结合图象可知，15≤k ＜14；同理，x ＞0时，当直线y ＝kx ＋2过(3，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有3个整点，将(3，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝－13，当直线y ＝kx ＋2过(4，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有4个整点，将(4，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝－14，∴－13≤k ＜－14，综上可得，15≤k ＜14或－13≤k ＜－14；例题解图⑤(6)如解图⑥，由图象可知曲线DE 上有(1，4)(2，2)，(4，1)共3个整点，线段DE (不含端点)上有(2，3)，(3，2)共2个整点，曲线DE 与线段DE 围成的区域内部无整点，∴曲线DE 与线段DE 所围成的区域W 6内(含边界)有5个整点；例题解图⑥(7)如解图⑦，当G 点与原点重合时，此时线段DG ，FG 与曲线DF 所围成的区域W 7内(含边界)有6个整点，此时b＝0，如解图⑧，当点G的纵坐标在0与－1之间时，此时线段DG，FG与曲线DF所围成的区域W7内(含边界)有5个整点，如解图⑨，当G点与过(0，－1)时，此时线段DG，FG与曲线DF所围成的区域W7内(含边界)有8个整点，此时b＝－1，∴－1＜b<0；例题解图⑦例题解图⑧例题解图⑨(8)由抛物线y＝x2－2x＋m－2可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线恒过点(0，m－2)，如解图○10，当抛物线的顶点为(1，2)时，此时抛物线与直线y＝5所围成的区域W8内(不含边界)有4个整点，分别为(1，3)，(0，4)，(1，4)，(2，4)，将(1，2)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝2，解得m＝5，当抛物线的顶点为(1，3)时，此时抛物线与直线y＝5所围成的区域W8内(不含边界)有1个整点(1，4)，将(1，3)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝3，解得m＝6，结合图象可知，5≤m＜6.例题解图○10(9)由抛物线y＝x2－2x＋m－2可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线恒过点(0，m－2)，如解图⑪，当抛物线的顶点为(1，－2)时，此时抛物线与直线y＝－x＋2所围成的区域W9内(不含边界)有4个整点，分别为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，－1)，将(1，－2)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝－2，解得m＝1，当抛物线的顶点为(1，－1)时，此时抛物线与直线y＝－x＋2所围成的区域W9内(不含边界)有2个整点，分别为(0，1)，(1，0)，将(1，－1)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝－1，解得m＝2，∴综上所述，1≤m＜2.例题解图⑪1.解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b)，∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4；(2分)∴L 的解析式为y ＝－x 2＋4x ， ∴L 的对称轴为直线x ＝2，将x ＝2代入直线a 的解析式中得y ＝2－4＝－2， ∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(4分) (2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－(x －b 2)2＋b 24， ∴L 的顶点C 的坐标为(b 2，b 24)．∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24＝－14(b －2)2＋1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为1；(7分)(3)由题意可得，y 1＝b ，y 2＝x 0－b ，y 3＝－x 20＋bx 0， ∵y 3是y 1，y 2的平均数， ∴y 3＝y 1＋y 22，即－x 20＋bx 0＝x 02， 化简得x 0(2x 0－2b ＋1)＝0， 解得x 0＝0或x 0＝b －12，∵x 0≠0， ∴x 0＝b －12，对于L ，当y ＝0时，0＝－x 2＋bx ，即0＝－x (x －b )．解得x 1＝0，x 2＝b ， ∵b ＞0，∴D 点坐标为(b ，0)，∴点(x 0，0)与点D 间的距离为b －(b －12)＝12；(10分)(4)当b ＝2019时，“美点”的个数为4040；(11分) 当b ＝2019.5时，“美点”的个数为1010.(12分) 2. 解：(1)如解图，则点A 的坐标为(5，3)， ∵直线y ＝kx ＋b 过点A (5，3)，点C (9，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝39k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝274， 即直线y ＝kx ＋b 的表达式是y ＝－34x ＋274；(2)①3个；第2题解图3. 解：(1)∵A (4，1)， ∴直线OA 的解析式为y ＝14x .∵直线y 1＝14x ＋b ，∴直线y 1与OA 平行，当b ＝－1时，直线解析式为y 1＝14x －1，解方程4x ＝14x －1得x 1＝2－25(舍去)，x 2＝2＋25，则B (2＋25，5－12)，∵C (0，－1)，∴区域M 内的整点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，共3个；(2)当直线y 1在OA 的下方时，当直线y 1＝14x ＋b 过点(1，－1)时，b ＝－54，则直线y 1＝14x ＋b 经过(5，0)，∴区域M 内恰有4个整点，则b 的取值范围是－54≤b ＜－1.当直线l 在OA 的上方时，∵点(2，2)在函数y 2＝4x(x ＞0)的图象上，当直线y 1＝14x ＋b 过(1，2)时，b ＝74，此时区域M 内有3个整点．当直线y 1＝14x ＋b 过(1，3)时，b ＝114，∴区域M 内恰有4个整点时，b 的取值范围是74＜b ≤114.综上所述，区域M 内恰有4个整点时，b 的取值范围是－54≤b ＜－1或74＜b ≤114.4. 解：(1)当c ＝1时，y 1＝－x 2＋ 12x ＋c ＝－x 2＋ 12x ＋1＝－(x －14)2＋1716 .又∵－2020≤x ≤1，∴M 1＝1716. y 2＝－x 2＋2cx ＋1＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2. 又∵1≤x ≤2020， ∴M 2＝2；(2)当x ＝1时，y 1＝－x 2＋12x ＋c ＝c －12；y 2＝－x 2＋2cx ＋1＝2c .若点A ，B 重合，则c －12＝2c ，解得c ＝－12.∴L 1∶y 1＝－x 2＋12 x －12(－2020≤x ≤1)；L 2∶y 2＝－x 2－x ＋1(1≤x ≤2020)．在L 1上，x 为奇数的点是“美点”，则L 1上有1011个“美点”， 在L 2上，x 为整数的点是“美点”，则L 2上有2020个“美点”． 又∵点A ，B 重合，则L 上“美点”的个数是1011＋2020－1＝3030； (3)c ＝－238或2.5. 解：(1)∵L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1经过原点， ∴将(0，0)代入得b ＝1，∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2＋x ， 将y ＝－x 2＋x 配方得y ＝－(x －12)2＋14，∴顶点坐标为(12，14)；(2)①对于抛物线L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1＝(x ＋1)b －x 2－1，当x ＝－1时，y ＝－2，故抛物线y ＝－x 2＋bx ＋b －1总经过一个定点M (－1，－2)；②∵抛物线L 2的顶点为M ， ∴设它的解析式为y ＝a (x ＋1)2－2， 又∵抛物线L 1的顶点总在抛物线L 2上， ∴将点(12，14)代入解得a ＝1，∴抛物线L 2的解析式为y ＝(x ＋1)2－2，即y ＝x 2＋2x －1；(3)当抛物线L 1经过点B 时，将B (5，－2)代入抛物线L 1解析式y ＝－x 2＋bx ＋b －1得b ＝4， ∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋3，令y ＝－2，得－2＝－x 2＋4x ＋3，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴抛物线L 1与线段AB 交于(－1，－2)，(5，－2)两点，由解析式可以得出，只要x 取整数，则抛物线L 1上点的纵坐标也一定是整数．∴抛物线L 1经过端点B 时形成的封闭图形C 上的“理想点”个数为12个；当抛物线L 1经过点A 时，将A (－5，－2)代入抛物线L 1解析式y ＝－x 2＋bx ＋b －1得b ＝－6， ∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2－6x －7，从解析式可以得出，只要x 取整数，则抛物线L 1上点的纵坐标也一定是整数，令y ＝－2，得－2＝－x 2－6x －7，解得x 1＝－5，x 2＝－1， ∴抛物线L 1与线段AB 交于(－5，－2)，(－1，－2)两点，故当抛物线L 1经过端点A 时形成的封闭图形C 上的“理想点”的个数为8个； 综上所述，封闭图形C 上的“理想点”的个数为8个或12个．。
2020年中考数学人教版专题复习：有理数的加法
2020年中考数学人教版专题复习：有理数的加法一、学习目标：1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数的加法法则，并能运用法则准确地进行有理数的加法运算.2. 掌握有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算；运用正负数的实际意义和加法法则解决简单的实际问题.二、重点、难点：重点：有理数的加法法则，利用有理数加法的运算律简化运算.难点：正确掌握有理数的加法运算法则，特别注意异号两数相加时的方法.三、考点分析：有理数的加法是有理数运算的开始，它是进一步学习有理数运算的关键和基础.是从小学数学进入初中数学的一个重要的转折点.对有理数加法的考查主要以和其他内容相结合的形式出现，直接考查的题目不多见.知识梳理1. 有理数的加法运算法则：先确定类型，再确定符号，最后确定绝对值.（1）同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加若a ＞0且b ＞0，则a ＋b ＝＋（︱a ︱＋︱b ︱）；若a ＜0且b ＜0，则a ＋b ＝－（︱a ︱＋︱b ︱）.（2）异号的两数相加①若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 若a ＞0、b ＜0且︱a ︱＞︱b ︱，则a ＋b ＝＋（︱a ︱－︱b ︱）；若a ＞0、b ＜0且︱a ︱＜︱b ︱，则a ＋b ＝－（︱b ︱－︱a ︱）.②若绝对值相等，则和为0，也就是互为相反数的两个数的和为0若a ＞0、b ＜0，且︱a ︱＝︱b ︱，则a ＋b ＝0.（反过来，若a ＋b ＝0，说明a 与b 互为相反数.）（3）一个数与0的和仍得这个数，即a ＋0＝a .2. 运用运算律对有理数的加法进行简便运算（1）加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；（2）加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）.典例精析知识点一：有理数的加法例1：计算：（1）（＋3）＋（＋6）；（2）（－4）＋（－9）；（3）（－4）＋（＋6）；（4）（＋213）＋（－213）；（5）（－35）＋0.思路分析：题意分析：本题考查有理数的加法法则.解题思路：按照法则先分清类型，再确定和的符号和绝对值.解答过程：（1）（＋3）＋（＋6）＝＋（3＋6）＝＋9＝9；（2）（－4）＋（－9）＝－（4＋9）＝－13；（3）（－4）＋（＋6）＝＋（6－4）＝＋2＝2；（4）（＋213）＋（－213）＝0；（5）（－35）＋0＝－35.解题后的思考：运用有理数的加法法则，进行有理数加法运算要遵循的一般步骤为“一观察，二确定，三求和”，即第一步先观察两个加数的符号是同号还是异号，有没有零；第二步确定用哪条法则进行运算；第三步求出结果.例2：填空题：（1）若a ＜0，b ＜0，则a ＋b _____0；（2）若a ＞0，b ＞0，则a ＋b _____0；（3）若a ＞0，b ＜0，且︱a ︱＜︱b ︱，则a ＋b _____0；（4）若a ＞0，b ＜0，且︱a ︱＞︱b ︱，则a ＋b _____0；（5）若a ＞0，b ＜0，且︱a ︱＝︱b ︱，则a ＋b _____0.思路分析：题意分析：根据有理数加法法则填空.解题思路：先根据两个加数的符号确定和的符号，再判断和是大于0还是小于0. 解答过程：（1）因为a ＜0，b ＜0，则和的符号不变，所以a ＋b ＜0；（2）因为a ＞0，b ＞0，则和的符号不变，所以a ＋b ＞0；（3）因为a ＞0，b ＜0，且︱a ︱＜︱b ︱，所以取b 的符号，所以a ＋b ＜0；（4）因为a ＞0，b ＜0，且︱a ︱＞︱b ︱，所以取a 的符号，所以a ＋b ＞0；（5）因为a ＞0，b ＜0且︱a ︱＝︱b ︱，所以a 、b 互为相反数，所以a ＋b ＝0. 解题后的思考：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，而不是取较大的加数的符号.小结：两个有理数相加，和的符号由两个加数的符号共同确定.两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数；绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同；互为相反数的两个数相加，和为0，结果前没有符号.知识点二：运用有理数的加法运算律化简计算例3：计算：（1）－213＋5.5＋213；（2）－3＋5＋（－4）；（3）－713＋612＋223；（4）7.2＋0.5＋5.6＋2.3；（5）3＋（－2.3）＋（－5）＋6＋7.2.思路分析：题意分析：在有理数的运算中，加法的交换律、结合律仍然成立.解题思路：（1）中－213与213互为相反数，先相加；（2）中把－3和－4两个负数先相加；（3）中－713和223分母相同，先相加；（4）中把7.2、0.5、2.3相加可得到一个整数，先相加；（5）中3、－5、6都是整数，－2.3和7.2都是小数，分别相加.解答过程：（1）－213＋5.5＋213＝（－213＋213）＋5.5＝0＋5.5＝5.5；（2）－3＋5＋（－4）＝－3＋（－4）＋5＝－7＋5＝－2；（3）－713＋612＋223＝（－713＋223）＋612＝－143＋612＝116；（4）7.2＋0.5＋5.6＋2.3＝（7.2＋0.5＋2.3）＋5.6＝10＋5.6＝15.6；（5）3＋（－2.3）＋（－5）＋6＋7.2＝[3＋（－5）＋6]＋[（－2.3）＋7.2]＝4＋4.9＝8.9.解题后的思考：在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的.例4：计算：（1）－316＋（－734）＋316＋7.75；（2）（＋1.125）＋（－325）＋（－18）＋（－0.6）；（3）（－234）＋（＋2.47）＋（＋112）＋（－125）＋（－1.07）；（4）4.4＋（－13）＋（－13）＋（－323）＋（－2.4）.思路分析：题意分析：本例算式中含有多个加数，且加数有正数，有负数，有小数，也有分数，计算时应进行合理的分类，正确运用运算律.解题思路：（1）－316与316互为相反数，－734与7.75互为相反数，可利用互为相反数之和为0的性质进行计算；（2）将代分数变为小数，凑整进行计算；（3）－234与＋112易通分；＋2.47、－125、－1.07的和为整数且是0；（4）－13与－323的和为整数，其余三数的和也为整数.解答过程：（1）原式＝（－316＋316）＋（－734＋734）＝0；（2）原式＝[1.125＋（－18）]＋[－3.4＋（－0.6）]＝1＋（－4）＝－3；（3）原式＝[（－234）＋124]＋[2.47＋（－1.4）＋（－1.07）]＝－114＋[2.47＋（－2.47）]＝－114；（4）原式＝[（－13）＋（－323）]＋[4.4＋（－13）＋（－2.4）]＝（－4）＋（－11）＝－15.解题后的思考：（1）做带分数加法时，可将带分数化为整数和分数两部分，然后分别相加，再把结果相加，但要注意分开的整数部分和分数部分都要保持原带分数的符号.（2）运算符号和性质符号要区分开.如2－（－4）中前一个“－”号是运算符号，后一个“－”号是性质符号.运算中不要出现符号错误.小结：运用有理数的加法运算律时，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加—“同号结合法”；③分母相同的数先相加—“同分母结合法”；④几个数相加得整数，则这几个数先相加—“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加—“同形结合法”.知识点三：有理数加法运算的综合运用例5：若︱x ︱＝3，︱y ︱＝2，且x ＜y ，求x ＋y 的值.思路分析：题意分析：先根据已知条件确定x 和y 的值，再求和.解题思路：由绝对值的意义可知x ＝±3，y ＝±2，要分情况计算x ＋y 的值.解答过程：因为︱x ︱＝3，︱y ︱＝2，所以x ＝±3，y ＝±2，又因为x ＜y ，所以x ＝－3，y ＝2，或x ＝－3，y ＝－2.当x ＝－3，y ＝2时，x ＋y ＝－3＋2＝－1；当x ＝－3，y ＝－2时，x ＋y ＝－3＋（－2）＝－5.所以x ＋y 的值是－1或－5.解题后的思考：由于绝对值等于正数的数有两个，所以关于绝对值的运算问题一定要分情况讨论.例6：某摩托车厂本周计划每日生产450辆摩托车，由于工人实行轮休制，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的辆数记为正，减少的辆数记为负）：（1（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少了？增加或减少了多少？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？思路分析：题意分析：表格中的正、负数表示该厂每日实际生产摩托车的数量与计划生产摩托车的数量的差值情况，正数表示比计划生产的多，负数表示比计划生产的少.解题思路：（1）每天生产的摩托车数量等于计划每天生产的数量加实际每天的误差.本周三生产的数量为450＋（－3）＝447（辆）.（2）计算出实际每天的误差和就可知道本周总生产量与计划生产量相比是增加还是减少，即误差和为正表示本周总生产量增加，误差和为负表示本周总生产量减少，误差和的绝对值就是增加或减少的数量.（3）由表中数据可知，周五的生产量最大，为450＋（＋10）＝460（辆）；周日的生产量最小为450＋（－25）＝425（辆）.周五比周日多生产了460－425＝35（辆）. 解答过程：（1）450＋（－3）＝447（辆），即本周三生产了447辆摩托车.（2）（－5）＋（＋7）＋（－3）＋（＋4）＋（＋10）＋（－9）＋（－25）＝－21（辆），即本周总生产量与计划生产量相比减少了，减少了21辆.（3）450＋（＋10）＝460（辆），450＋（－25）＝425（辆），460－425＝35（辆），即产量最多的一天（周五）比产量最少的一天（周日）多生产了35辆.解题后的思考：遇到实际生活问题，要从题意出发，分析题目，寻找解决问题的切入点，在利用有理数加法进行计算时也要注意使用运算律使计算简便.小结：有理数加法运算贯穿于整个数学运算过程中，可以说它是解决各类问题的一种工具，有时可以进行多种数学知识的综合运用，也可以用来解决一些实际问题.提分技巧有理数的加法是在小学算术四则运算的基础上，将数的领域扩充到有理数以后学习的.它与小学的算术运算既有联系又有区别，小学的加法运算不需要确定和的符号，运算简单，而有理数的加法，既要确定和的符号，又要计算和的绝对值.实质上，有理数的加法运算，在确定了和的符号后，进行的是算术的加减运算，这里包含有数学的化归思想.同步测试一、选择题1. 计算－2＋3的值是（ ）A . －5B . －1C . 1D . 52. 某天股票A 开盘价18元，上午11∶30跌1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A 这天的收盘价为（ ）A . 0.3元B . 16.2元C . 16.8元D . 18元3. 计算756＋（－513）＋214＋（－434）＝（ ）A . 18B . －9C . 0D . －184. 足球循环赛中，红队以4∶1胜黄队，黄队以1∶0胜蓝队，蓝队以1∶0胜红队，则红队.黄队.蓝队的净胜球数分别为（ ）A . 2，－2，0B . 4，2，1C . 3，－2，0D . 4，－2，1 5. 一个数是10，另一个数比10的相反数大2，则这两个数的和为（ ） A . 18B . －2C . －18D . 2 6. 若x 是－3的相反数，︱y ︱＝5，则x ＋y 的值为（ ）A . －8B . 2C . 8或－2D . －8或2 *7. 如果一个有理数与－7的和是正数，那么这个有理数一定是（ ）A . 负数B . 零C . 7D . 大于7的正数**8. 下列说法中正确的有（ ）①两正数相加，和为正；②两负数相加，和为负；③异号两数相加，和的符号与较大加数的符号相同；④两数和是正数，则这两个有理数都是正数；⑤两数的和大于每一个加数；⑥若两数的和小于每一个加数，则这两个数都是负数.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9. 比＋7大－2的数是__________，比＋1的相反数大3的数是__________.10. 数轴上A .B 两点所表示的有理数的和是__________.*11. 若︱a ︱＝10，︱b ︱＝12，且a ＞0，b ＜0，则a ＋b ＝__________.*12. 绝对值不小于3，但小于5的所有整数的和是__________.三、计算题13. 计算：（1）（－13）＋（－34）；（2）12＋（－23）；（2）（－34）＋（＋76）；（4）（－334）＋（＋213）.*14. 计算：（1）（＋8.4）＋（－12）＋（－8）＋（＋3.6）；（2）（－23）＋12＋45＋（－12）＋（－13）； （3）12＋（－16）＋（－112）＋（－120）＋（－130）＋（－142）；（4）4.5＋[（－2.5）＋913＋（－1523）]＋213.*15. 一只蜗牛从某点O 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：cm ）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10.（1）蜗牛最后是否爬回出发点？（2）蜗牛在离开出发点O 最远时是多少cm ？（3）在爬行过程中，如果每爬1cm 奖励两粒芝麻，则蜗牛共得多少粒芝麻？**16. 若︱x －4︱与︱y ＋2︱互为相反数，求x ＋y ＋4的值.试题答案一、选择题1. C2. C3. C4. A5. D6. C 解析：根据题意x ＝3，y ＝5或－5，所以x ＋y ＝8或－2.7. D 解析：一个有理数与－7相加，和为正数.根据有理数的加法法则，这个数一定是绝对值大于︱－7︱的正数.8. C 解析：①②⑥都正确.③不正确，如2＋（－5）＝－3，和的符号为“－”，较大加数2的符号为“＋”；④⑤也不正确.二、填空题9. 5，210. －111. －2 解析：因为︱a ︱＝10，︱b ︱＝12，所以a ＝±10，b ＝±12.因为a ＞0，b ＜0，所以a ＝10，b ＝－12，所以a ＋b ＝－2.12. 0 解析：可结合数轴观察，绝对值不小于3但小于5的所有整数有：＋3和－3，＋4和－4.其和为0.三、计算题13.（1）－1112；（2）－16；（3）42；（4）－1712.14.解：（1）原式＝[（＋8.4）＋（＋3.6）]＋（－12）＋（－8）＝－8；（2）原式＝[（－23）＋（－13）]＋[12＋（－12）]＋45＝－15；（3）因为－16＝13－12，－112＝14－13，…，所以原式＝12＋13－12＋14－13＋…＋17－16＝17；（4）原式＝4.5＋（－2.5）＋[（913＋213）＋（－1523）]＝－2.15. 解：（1）（＋5）＋（－3）＋（＋10）＋（－8）＋（－6）＋（＋12）＋（－10）＝0，故是爬回到出发点.（2）12cm .（3）把所有各数绝对值相加，再乘以2，故是108粒.16. 解：因为︱x －4︱≥0，︱y ＋2︱≥0，由题意得：︱x －4︱＋︱y ＋2︱＝0，只有当两个加数都为0时和才能为0.所以︱x －4︱＝0，︱y ＋2︱＝0，即x －4＝0，y ＋2＝0.所以x ＝4，y ＝－2，所以x ＋y ＋4＝4＋（－2）＋4＝6.解析：此题利用互为相反数的两个数的和为零，以及绝对值的非负性，求出x .y 的值，再利用有理数的加法法则进行计算.。
初中数学知识点中考总复习总结归纳(人教版)
初中数学知识点中考总复习总结归纳（人教版）2023年初中数学知识点中考总复习总结归纳第一章有理数考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7,32等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）一些三角函数，如sin60o等π+8等；3第二章整式的加减考点一、整式的有关概念（3分）1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如?4ab，这种表示就是错误的，应写成?132132ab。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如3?5a3b2c是6次单项式。
考点二、多项式（11分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3、去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。
（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。
4、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
2019-2020学年中考数学总复习第三部分图形与几何第7单元平行四边形与几何变换第32课时平移与旋转新人教版
Q
P
C
A
点悟:掌握旋转变换的性质是解题的关键,作出图形更形象直观.
【考点 3】中心对称与中心对称图形
在平面内,把一个图形绕着某一点旋转 180o ,
中心 对称
如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两
个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫
做对称 中心 ,这两个图形在旋转后能重合
中心 对称 图形
如果直接平移△ABC,使点 A 移到点 N, 所得到的三角形和前面得到的三角形 位置相同.
M
E
N
D G
F
2.[2017 东营中考]如图,把△ABC 沿着 BC 的方向平移到△DEF
的位置,它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半,若 BC 3 , 则△ABC 移动的距离是( D )
A.
3 2
B.
第 32 课时 平移与旋转
【考点 1】平移
定 把一个图形整体沿着某一直线方向移动,会得
义 到一个新的图形,图形的这种移动,叫做平移.
①平移后的图形与原图形的形状和大小
完全相同
；
性 ②平移后的图形与原图形的对应线段 相等
质
且 平行
(或在同一条直线上)；
③平移后的图形与原图形的对应点连线 相等
且 平行 (或在同一条直线上).
①对应点到旋转中心的距离 相等 ；
性 ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
质
旋转角
；
③旋转前、后的图形 全等
.
5.[教材原题]如图,△ABC 中, C 90 .
(1)将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90 ,画出旋转后的三角形；
(2)若 BC 3,AC 4 ,点 A 旋转后的对应点为 A′,求 AA 的长.
人教版九年级数学中考总复习《直角三角形与勾股定理》课件20张 (共20张PPT)
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角 边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021
新人教版初中数学中考总复习：统计与概率--知识点整理及重点题型梳理
新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：统计与概率—知识讲解【考纲要求】1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算；3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件；5.加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．【知识网络】「I 统计图表——।阅读图表提取信息T 集中程度I 怦均数中位教嬴【考点梳理】考点一、数据的收集及整理1 .一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展 开调查、记录结果、得出结论.2 .调查收集数据的方法:普查与抽样调查. 要点诠释：(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的.(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行 普查；或调查具有破坏性时，不允许普查，这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想 (3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本.统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样 3 .数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图. 要点诠释：这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额.收集数据媒体查询抽样调查-抽样的基本要求总体个体样本T 整理数据借助统计活动研究概率从概 率角度分析善数据特征离散程度限差方差标准差实验估计概必然事不可能事游戏的 公平与模拟等效实考点二.数据的分析 1 .基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体； 个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本； 样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组 数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数； 极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的 情况，这个结果通常称为方差.计算方差的公式：设一组数据是/,无是这组数据的平均数。
中考数学压轴试题复习 第三部分 专题一 代数计算及通过代数计算进行说理问题-人教版初中九年级全册数学
§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2014年某某省某某市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P(2, m)是反比例函数nyx=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx＋s－1（k、s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a、b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A(x1, x1)、B(x2, x2)，且满足－2＜x1＜2，| x1－x2|＝2，令2157 248t b b=-+，试求t的取值X围．动感体验请打开几何画板文件名“14某某25”，拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a，有两个对应的b和b′，但是t随b、t随b′变化时对应的t的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y＝x上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t关于b的二次函数的最值，b的取值X围由“梦之点”、－2＜x1＜2和| x1－x2|＝2三个条件决定，而且－2＜x1＜2还要分两段讨论．图文解析（1）因为点P(2, m)是“梦之点”，所以P(2, 2)．所以4yx =．（2）“梦之点”一定在直线y＝x上，直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时k ＝13，s ＝1．②如图2，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 平行时，没有“梦之点”．此时k ＝13，s ≠1．③如图3，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 相交时，有1个“梦之点”．此时k ≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s s k k ----． （3）因为A (x 1,x 1)、B (x 2,x 2)两点是抛物线与直线y ＝x 的交点，联立y ＝ax 2＋bx ＋1和y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．所以x 1x 2＝1a＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧． 如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2．已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值X 围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8．②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8． 综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8．所以0＜1a ＜8．所以a ＞18． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++．如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176． 所以t 的取值X 围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0． 所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18．例 2 2014年某某省某某市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m-的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值． 动感体验请打开几何画板文件名“14某某23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．思路点拨1．先确定m 的取值X 围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点． 图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0． 由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1．又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+． 整理，得210m m --=．解得m =m =．所以323(12m -=-=．所以132m -2． （2）2121211mx mx m x x +---＝121211x x m m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦ ＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m变化时，抛物线y＝x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y＝(m－2)2－2(m－2)2＋m2－3m＋3＝m－1．因为x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1为定值，所以y＝－x＋1．也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线y＝－x＋1（如图2所示）．图2例 3 2014年某某省某某市中考第26题如图1，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过原点，直线AC的解析式为y＝kx＋4，直线AC与y轴交于点A，与二次函数的图象交于B、C两点．（1）求二次函数解析式； （2）若1=3AOB BOC S S △△，求k 的值； （3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14某某26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ．思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．图文解析（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x (x －4)＝－x 2＋4x ．（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ． 将点B (m , km ＋4)、C (4m , 4km ＋4)分别代入y ＝－x (x －4)，得4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①② ①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）．（3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B (x 1,kx 1＋4)，C (x 2,kx 2＋4)． 联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2＋(k －4)x ＋4＝0．所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°．作BM ⊥y 轴，⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ．根据BM ON MO NC=，得1212(4)4x kx kx x -+=+． 所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54k =-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组． 将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得 2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①②①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2014年某某省株洲市中考第24题已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行．思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD //BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．图文解析（1）因为222(52)17(2)42()424k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C (－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．由根与系数的关系，得x 1·x 2＝(52)4k +． 所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4k k -++． 因此710x =-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980． （3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CG AB GE =． 所以AG //BE ，即AD //BE ．所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222(1)1k x +=． 所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A (1, 0)．再将点A (1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得5201(2)4k k +=-++． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．图2 图3考点伸展把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B (k ＋1, 0)． 将点B (k ＋1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．。
人教版初中数学中考考点系统复习 方法技巧微专题(三) 角平分线三大模型
模型2 过角平分线上的点向角的两边作垂线 模型展示
口诀：点在线，垂两边.
对点训练 2.（永州中考）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，D为OC上一点，过点
D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，如图所示.若DE＝2，则 DF＝ 4 .
3.感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝ DC； 探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证： DB＝DC；
证明：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC，交AC的延长线于点F. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠F＝90°. ∵∠EBD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠EBD＝∠FCD.
第5题图
∴△DEB≌△DFC（AAS）， ∴DB＝DC.
模型3 过角平分线上的点作角平分线的垂线 模型展示
口诀：线被垂，顺势垂，“三线合一”来相见.
对点训练 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，若BD＝
2，则AE＝ 4 .
第4题图
5于 点E，且EC平分∠BED.若AB＝6，则CD＝ 3 .
第一轮 中考考点系统复习
第四章 图形初步与三角形 方法技巧微专题（三） 角平分线三大模型
模型1 作角平分线的平行线构造等腰三角形 模型展示
口诀：遇平行，等腰现.
对点训练 1.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5.求AC的长.
又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠ADE， ∴AE＝DE. 设CE＝3x，则AE＝DE＝5x. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE2＝CE2＋CD2，
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