江苏省宿迁市高中数学第2章推理与证明第8课时本章复习与小结导学案(无答案)苏教版选修2-2
高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明学案 苏教版选修2-2-苏教版高中选修2-2数学学
2.2.1 直接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理直接证明阅读教材P82～P84“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论.2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.(2)推证过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件.1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )(3)证明不等式“2＋7<3＋6”最合适的方法是分析法.( )(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( )【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√2.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝1＋cos 2θ2－1－cos 2θ2＝cos2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法. 【答案】 综合法3.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件为________.【导学号：01580044】【解析】 要证∠A 为钝角，只需证cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0即可，也就是b 2＋c 2<a 2.【答案】 b 2＋c 2<a 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解惑：____________________________________________[小组合作型]综合法的应用(1)在△ABC 中， 已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 的形状一定是__________.(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m－n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________.【自主解答】 (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0， 又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形.(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知，x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立).②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14. ③当a 与b 异号时，不成立.④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.【答案】 (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1.综合法处理问题的三个步骤2.用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0).[再练一题] 1.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法 B.由因导果的顺推证法 C.因果分别互推的两头凑法 D.原命题的证明方法 【答案】 B分析法的应用设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ). 【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键. 【自主解答】 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.[再练一题]2.已知a >0，1b －1a>1，求证：1＋a >11－b.【导学号：01580045】【证明】 由已知1b －1a>1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1， 只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab>1， 即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证.[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【精彩点拨】 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决. 【自主解答】 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，化简，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立.∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立. 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3.设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .【证明】 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1). 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立.1.已知x >0，y >0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为______________.【解析】 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy12＝xy3.∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立.【答案】 32.如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________. 【解析】 要使a a >b b ， 只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2， 即a >b >0. 【答案】 a >b >0 3.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.【解析】 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.【答案】 a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04.设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________.【导学号：01580046】【解析】 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·ab ＋2c b ·b c ＋2c a ·a c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立. 【答案】 95.已知a >0，b >0，试用分析法证明不等式a b ＋ba≥a ＋b . 【证明】 要证原不等式成立只需证：a a ＋b b ≥ab (a ＋b )，即只需证(a )3＋(b )3≥ab (a ＋b )， 只需证(a ＋b )(a －ab ＋b )≥ab (a ＋b )， 只需证a －ab ＋b ≥ab ， 即(a －b )2≥0，而上式显然成立，故原不等式得证.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。
江苏省宿迁市高中数学第二章统计第8课时方差与标准差导学案无答案苏教版必修3
第8课时 方差与标准差【学习目标】1．通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用； 2．学会计算数据的方差、标准差；3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 【问题情境】有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：2/mm kg ），通过计算发现，两个样本的平均数均为125．甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙115100125130115125125145125145哪种钢筋的质量较好？【合作探究】将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如下图所示．由图可以看出，乙样本的最小值 ，低于甲样本的最小值 ，最大值 高于甲样本的最大值 ，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．我们把一组数据的 称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．那又该如何刻画抗拉强度的稳定性呢？【知识建构】1．设一组样本数据12,,,n x x x L ，其平均数为x ，则方差2s ＝___________________________________________=________________； 标准差s ＝____________________________________________=________________． 2．方差和标准差的意义：描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 【展示点拨】例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：2/hm t ）如下，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．例3．⑴若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为10，方差为2，则样本x 1+2，x 2+2，……，x n +2的平均数为_________；方差为__________；⑵若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为10，方差为2，则样本5x 1，5x 2，……，5x n的平均数为_________；方差为__________；⑶若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为10，方差为2，则样本5x 1+6，5x 2+6，……，5x n +6的平均数为_________；方差为__________； 【学以致用】1．已知一个样本为8，14，12，18，那么样本的方差是______ _；标准差是_ ．2．若821k k k ，，， 的方差是3，则)3(2)3(2)3(2821 k k k ，，， 的方差是 ．3．设一组数据的方差是2s ，将这组数据的每个数据都乘以10，所得的一组新数据的方差是 ．4．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：5．两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：（1）哪台机床的次品数的平均数较小？（2）哪台机床生产状况比较稳定？第8课时方差与标准差【基础训练】1．以下4个说法：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有量纲的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍．其中正确的是________．2．(2020年常州调研)已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝________.3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：4．(2020年高考山东卷改编)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________．5．样本x1，x2，x3，…，x10的平均数为5，方差为7，则3(x1－1)，3(x2－1)，…，3(x10－1)的平均数、方差、标准差分别是________、________、________．6．某人5次上班途中花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．7．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：8．若样本x1＋1，x2＋1，…，x n＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x1＋2，x2＋2，…，x n＋2的平均数为________，方差为________．9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是________．①甲地：总体均值为3，中位数为4；②乙地：总体均值为1，总体方差大于0；③丙地：中位数为2，众数为3；④丁地：总体均值为2，总体方差为3．【思考应用】10．某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试的分数情况如下表：11．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)的平均数和标准差，并判断选谁参加比赛更合适？【拓展提升】12．为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学的50名男生进行了身高测量，结果如下(单位：cm)：175 168 170 176 167 181 162 173 171 177 179 172 165 157 172 173 166 177 169 181 160 163 166 177 175 174 173 174 171 171 158 170 165 175 165 174 169 163 166 166 174 172 166 172 167 172 175 161 173 167(1)列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图； (2)计算样本平均数和标准差；(3)由样本数据估计总体中有多少数据落在区间(x －s ，x ＋s)内？第8课时 方差与标准差答案1．①④ 2．96 3．25 4．92,2.8 5．12 63 37 6．4 7．丙 8．11 2 9．④10．解：设第一组20名学生的成绩为x 1，x 2，x 3，…，x 20，第二组20名学生的成绩为x 21，x 22，…， x 40.根据题意得 90＝x 1＋x 2＋…＋x 2020，80＝x 21＋x 22＋…＋x 4020，x ＝x 1＋x 2＋…＋x 4040＝90×20＋80×2040＝85，第一组的方差s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220)－902，①第二组的方差s 22＝120(x 221＋x 222＋…＋x 240)－802，②由①＋②得36＋16＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220＋x 221＋…＋x 240)－(902＋802)，∴x 21＋x 22＋…＋x 24040＝7276.s 2＝x 21＋x 22＋…＋x 24040－852＝7276－7225＝51，∴s ＝51.11．解：(1)画出茎叶图如下图所示.甲乙78 7 5 1 0238 93 4 6 8乙的中位数是33.5，甲的中位数是33，因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)用科学计算器求得x甲＝33，x乙＝33，s甲＝3.96，s乙＝3.56，故s甲＞s乙．综合比较，选乙参加比赛较为合适．12．解：(1)频率分布表如下：分组频数频率[156.5,161.5) 4 0.08[161.5,166.5) 11 0.22[166.5,171.5) 11 0.22[171.5,176.5) 18 0.36[176.5,181.5] 6 0.12合计50 1.00频率分布直方图如上图所示．(2)由计算器可得到平均数x＝170.1 cm，标准差s≈5.6 cm.(3)因为x＝170.1，s≈5.6，所以区间(x－s，x＋s)为(164.5,175.7)．又因为样本中落在区间(164.5,175.7)内的数据有36个，所以样本数据中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内，因此估计总体中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内．。
苏教版高二数学选修2-2 推理与证明.数学归纳法 学案
高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导一、数学归纳法的概念与注意事项1.数学归纳法的概念(1)归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法.(2)数学归纳法：在证明某些与自然数有关的命题时，如果先证明当n 取第一个值n 0(例如n 0=1或n 0=2)时命题成立，然后假设当n=k(k ∈N *,k≥n 0)时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立.因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n 取第一个值n 0后面的所有正整数也都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.2.用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时结论成立;(2)假设当n=k(k ∈N *,k≥n 0)时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n 0开始的所有自然数n 都成立.3.数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题又称“归纳递推”.数学归纳法用框图表示如下:4.运用数学归纳法证明有关命题注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可.(2)在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n=n 0，n 0＋1等)，证明应视具体情况而定.(3)第二步中证明n=k+1时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效.(4)证明n=k+1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n=k+1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性.(5)用数学归纳法可证明有关正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析.数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A ，若(1)1∈A;(2)由k ∈A 可推出k+1∈A,则A 含有所有的正整数.二、运用数学归纳法时易犯的错误1.在证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n ，因此，n 不一定是1. 如证明凸n 边形的对角线的条数为f(n)=21n(n-3)，第一步要验证n=3.因为边数最少的凸n 边形是三角形.又如证明对于足够大的正整数n ，总有不等式2n ＞n 3.虽然n=1时，21＞13不等式成立，但是n=2,3,…8,9时，不等式均不成立，所以第一步要验证n=10时不等式成立.此外，即使第一步是验证n=1，但n=1时，所验证的式子不一定是一项.如证明1+2+3+…+n+(n+1)+(n+2)=2)3)(2(++n n ，n=1时，等式左边有三项，即1+2+3. 2.第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n=k+1时，一定要运用它，否则就不是数学归纳法.如在证明等式1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·32n +31时， 第二步假设n=k 时等式成立，即1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1=(-1)k-1·3132+k ， 则当n=k+1时，有1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k ·2k =31)2(1)2(11=----+k +(-1)k ·321+k 成立， 这种证明根本就没有用到归纳假设，而是利用等比数列求和公式直接算出来，因此是套用数学归纳法步骤的一种伪证，这是利用数学归纳法证题之大忌.又如有人用数学归纳法证明不等式12+<+n n n (n ∈N *)时，第二步如下： 假设n=k 时，不等式成立，即12+<+k k k ，则当n=k+1时，4423)1()1(222++<++=+++k k k k k k =(k+1)+1，所以n=k+1时不等式成立.由(1)、(2)知，不等式12+<+n n n (n ∈N +)成立. 以上证明过程是错误的.错在n=k+1时，直接用放缩法而没有使用归纳假设.3.注意由n=k 到n=k+1的证明过程中，待证式中的项数的变化.如在证明不等式11312111>++++++n n n (n ∈N *)时，第二步假设n=k 时，不等式成立，即 11312111>++++++k k k ， 则当n=k+1时，有123112311312111>++>++++++++k k k k k 成立，从而得证. 在这里，错以为由n=k 到n=k+1时，只增加一项.事实上，本题由n=k 到n=k+1时增加的项是431331231+=+++k k k ，而减少的项是11+k .象这种每一项都与n 有关的“和、差、积、商”式，由n=k 到n=k+1时一定要仔细计算其增加和减少的项数.4.注意不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，要明确在递推步骤中，两步相差的是否为1.例如有人证明当n 为正奇数时，7n +1能被8整除时是这样证的：(1)当n=1时，7+1=8能被8整除.命题成立.(2)假设n=k 时命题成立.即7k +1能被8整除.则当n=k+1时，7k+1+1=7(7k +1)-6不能被8整除.由(1)、(2)知n 为正偶数时，7n +1就不能被8整除.上述证法机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n 是正奇数的条件.事实上，第二步证明应如下：假设n=k 时命题成立，即7k +1能被8整除，则当n=k+2时，7k+2+1=72(7k +1)+1-72=49(7k +1)-48.因7k +1能被8整除，且48能被8整除.所以7k+2+1能被8整除，所以当n=k+2时命题成立.由(1)、(2)知当n 为正奇数时，7k +1能被8整除.数学归纳法应用广泛，可证明恒等式、不等式、整除问题、几何问题等.证整除问题时，要注意“添”项、“减”项技巧，同时还应注意数或式的整除性知识.证几何问题时，关键在于寻找由n=k 到n=k+1时的递推公式，同时应用到一些几何图形的性质.如一些几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等.活学巧用1.比较2n 与n 2的大小(n ∈N +).解析：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n ＞n 2下面用数学归纳法证明：(1)当n=5时，25＞52成立，(2)假设n=k(k ∈N *，k≥5)时2k ＞k 2，那么2k+1=2·2k =2k +2k ＞k 2+(1+1)k ＞k 2+110-++k k k k C C C =k 2+2k+1=(k+1)2. ∴当n=k+1时，2n ＞n 2.由(1)(2)可知，对n≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n ＞n 2；当n=2，4时，2n =n 2；当n=3时,2n ＜n 2.2.用数学归纳法证明： )1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯n n n n . 证明:(1)当n=1时，左边=81421=⨯，右边=81，等式成立. (2)假设n=k 时， )1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯k k k k 成立. 当n=k+1时,)42)(22(1)22(21861641421++=+++⨯+⨯+⨯k k k k =)2)(1(4)1()2)(1(41)2()2)(1(41)1(42+++=++++++++k k k k k k k k k k k =]1)1[(41)2(41+++=++k k k k . ∴n=k+1时，等式成立.由(1)(2)可得对一切正整数n ∈N *,等式成立.3.已知a n =n131211++++ (n ∈N *),是否存在n 的整式q(n),使得等式a 1+a 2+…+a n-1=q(n)(a n -1)对于大于1的一切自然数n 都成立？证明你的结论.解析：假设存在q(n)，去探索q(n)等于多少.当n=2时，由a 1=q(2)(a 2-1),即1=q(2)(1211-+)， 解得q(2)=2.当n=3时，由a 1+a 2=q(3)(a 3-1)，即1+(211+)=q(3)(31211++-1)， 解得q(3)=3.当n=4时,由a 1+a 2+a 3=q(4)(a 4-1),即1+(211+)+(31211++)=q(4)(14131211-+++), 解得q(4)=4.由此猜想q(n)=n(n≥2,n∈N *).下面用数学归纳法证明：当n≥2,n∈N *时,等式a 1+a 2+…+a n-1=n(a n -1)成立.①当n=2时，由以上验证可知等式成立.②假设当n=k(k≥2,k∈N *)时等式成立，即a 1+a 2+…+a k-1=k(a k -1)，则当n=k+1时，a 1+a 2+…+a k-1+a k=k(a k-1)+a k =(k+1)a k -k=(k+1)a k -(k+1)+1 =(k+1)(111-++k a k )=(k+1)(a k+1-1). ∴当n=k+1时,等式亦成立.由①②知，对于大于1的自然数n ，存在整式q(n)=n,使得等式a 1+a 2+…+a n-1=q(n)(a n -1)总成立.4.已知数列{a n }的通项公式为a n =2)12(4-n ,数列{b n }的通项满足b n =(1-a 1)(1-a 2)…-a n ),用数学归纳法证明b n =nn 2112-+. 证明:(1)当n=1时，a 1=4,b 1=1-a 1=1-4=-3,b 1=21112-+⨯=-3成立. (2)假设当n=k 时等式成立，即b k =kk 2112-+, 那么b k +1=(1-a 1)(1-a 2)…-a k )(1-a k+1)=b k (1-a k+1) =)1(211)1(2])12(41[21122+-++=+--+k k k k k . 这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可以断定，对任何正整数n ，b n =n n 2112-+都成立. 5.试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：1+4+7+…3n-2)=n 21(3n-1) 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1∴当n=1时命题成立.(2)假设当n=k 时命题成立，即1+4+7+…(3k-2)=k 21(3k-1) 则当n=k+1时，需证 1+4+7+…3k-2)+［3(k+1)-2］=k 21(k+1)(3k+2)(*) 由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为k+1的等差数列的前n 项和，其和为21(k+1)(1+3k+1)=21(k+1)(3k+2) ∴(*)式成立，即n=k+1时，命题成立，根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *，命题成立.解析：以上用数学归纳法证明的过程是错误的.在证明当n=k+1时等式成立时，没有用到当n=k 时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求.第二步正确的证明方法是：假设当n=k 时命题成立，即1+4+7+…3k-2)=k 21(3k-1)，则当 n=k+1时，1+4+7+…(3k-2)+［3(k+1)-2］=k 21 (3k-1)(3k+1)=21(3k 2+5k+2) =21(k+1)(3k+2)=21(k+1)［3(k+1)-1］ 即当n=k+1时，命题成立.6.证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n-1)，其中n∈N*.证明：(1)当n=1时，左边=1+1=2，右边=21·1=2，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3…(2k-1).则当n=k+1时，(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)=2k·1·3…(2k-1)·2(2k+1)=2k+1·1·3…(2k-1)(2k+1)即当n=k+1时，等式也成立.由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.。
高中数学教案选修2-2《第2章 推理与证明》
目标定位：1．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法．和过去的教学内容（例如函数）相比，在本章中是把基本的数学（思维）方法（而不是某个数学对象）作为正面研究对象的．因此，本章的学习过程，是中学生第一次对数学活动过程的正面的系统的审视——这就是我们对本章教学活动的定位．2．推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的“对象”．我们不能离开数学思维活动来谈论数学思维方法，不能满足于把数学方法看成是既定的程序、步骤和规则，不能满足于对方法做静态的逻辑的分析（这正是过去传统的教材中所强调的），而应当从（数学）活动本身，特别是从数学活动的过程来考察推理方法和证明方法建构的过程，以及这些方法是如何被运用到数学活动中成为“活”的方法的？应当着重于体会方法的特点、联系和作用（这正是传统教材中忽略的，而在苏教版教材中特别强调的）．这样一来，考察和研究数学思维过程就应该成为本模块学习的出发点和归宿了．3．与数学知识（如概念）的建构不同，在数学方法建构的过程中，数学思维活动过程本身就是被考察的对象并提供了抽象的原型．例如，在本章的引言中，教材就是通过对“摸球中的思维过程”的分析，抽象出推理、证明方法的．在这里，摸球中的思维过程本身就成为抽象的原型！正是这样的特点，决定了在有关“方法”的教学必须建立在对数学思维活动做“正面”考察的基础之上．4．课程标准明确指出：设置本模块的目的是让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识．课程标准的上述要求．决定了本章中对思维过程的考察与分析应该是系统的，因为只有进行系统的考察才能让学生形成对数学较为完整的认识，才能通过对各种方法的比较，掌握各种方法的特点、作用以及它们之间的关系，更好地把它们运用到数学活动中去．5．本章具体的教学目标是：（1）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含意，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．（2）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．（6）通过对实例的介绍（如欧基里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．（7）了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用．教材解读：1．根据对本章教学的基本定位，为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景，大框架．（注意引言的作用），在分别阐述了归纳、类比、演绎等推理方法以后，又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些，都为对思维过程进行系统的考察提供了条件．（2）教科书充分地利用案例，通过案例（这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的）提供数学思维活动的素材，把案例当成学习活动的出发点和载体，把案例分析看成是教学活动的主要形式．因为惟有如此，才能使学生进行深刻的思考（反思），对思维活动过程做“正面的”审视．（3）教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括．因为惟有如此，才能把对思维过程分析的成果固定下来，形成数学方法并运用到思维活动中去．以上各点可以从第一节〈合情推理与演绎推理〉的展开框图中看出：2．和其他模块相比，在本章中，案例分析更具有举足轻重的作用．因为除了案例分析，我们实在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”，让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程，看到活生生的数学方法．因此，案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体，为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台，同时，案例分析也应该是教学活动的主要手段．教学方法与教学建议：1．在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行（静态）分析，更要重视这些方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）．从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的．2．本章所学习的大部分内容如：合情推理、演绎推理、证明方法（包括反证法）都是学生熟悉的，他们早就在自觉或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了．在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础．3．在教学中，要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯．4．教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中，应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想．教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理（它们的作用、特点、关系），理解数学发现过程，而不必追求对概念的抽象表述．在证明方法的教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，而对证明的技巧性不宜作过高的要求．5．数学的推理方法和证明方法，不仅运用在数学中，而且在生活中的其它领域都有广泛的应用．在教学中要引用生活中和其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值．6．公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值．在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神，和机器化证明中的算法思想．下面是具体的教学建议，供参考．引言1．华罗庚教授“摸球”的例子，为推理与证明的学习提供了一个大的背景．它具有丰富的教学意义．在教学中不仅应该让学生体会到，“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节，让学生体会到，探索活动是一个不断的“提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想”的过程，而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现！而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的！2．引言中提出的两个问题（我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？）是本大节的中心问题．本节的教学内容就是依据它展开的．2．1 合情推理与演绎推理1．合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用．本节先分别研究它们的特点和作用，然后再通过对具体的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用．2．演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式．教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察．教学中可以让学生举出更多的例子．3．通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念．并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点．2．1．1 合情推理1．合情推理是由G·波利亚提出的概念．他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）．G·波利亚并没有为合情推理下定义．实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了．据此，教科书按照G·波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（《课程标准》给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程．）2．归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等．2．1．1．1 归纳推理1．归纳推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用．2．归纳推理的一般模式为：S具有P，1S具有P，2……S n具有P（S，S2，…，S n是A类事物的对象）1——————————————————————————所以，A类事物具有P．教学中可以介绍给学生．3．“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考．（1）观察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n1) = n2．（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：220+ 1 = 3，221+ 1 = 5，222+ 1 = 17，223+ 1 = 257，224+ 1 = 65 537都是素数，由此，他猜想：任何形如22n+ 1（n N）的数（通常称为费马数，记作F n）都是素数．此后，一直未有人怀疑过这个结论．直到1732年，欧拉发现F= 225+ 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜5想．此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n > 1时，F n的末位数字是7（猜想）．2．要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度．欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西．”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现．要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！3．在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论．例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n＞1时，F n的末位数字是7的结论（猜想）．4．完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理．2．1．1．2 类比推理1．类比推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察．2．类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a'，b'，c'，（a，b，c与a'，b'，c'相似或相同）————————————————所以，B类事物可能具有性质d'．教学中可以介绍给学生．3．例1是根据等式的性质类比不等式的性质．4．例2可以看成是系统间的类比．用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理．数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比．在教学中要注意对类比过程的分析．5．类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理．在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的．6．在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来．只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来．2．1．2 演绎推理1．演绎推理是一种重要的推理形式，通过数学学习，学生已经在广泛地使用它，在教学中，要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理，是必然性推理的特点．2．三段论是演绎推理的主要形式．三段论有多种格式，教科书介绍了其中常用的一种，其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理，而不是正面讲“三段论”，因此，在教学中不必拓展补充．3．除了三段论以外，演绎推理还有直接推理，关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式．4．三段论也有多种形式，三段论的依据是不言自明的三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物的部分也是什么或不是什么．对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明，其目的是帮助学生理解三段论．（教学中不必提出三段论公理）5．三段论推理在数学中有重要的应用，特别是在理论初建或概念性质运用的初期．但是数学推理过程不全是三段论组合，直接用三段论推理的并不多，有些数学证明过程（如教科书中例2），虽然可以归结为三段论的组合，但却太为繁琐了，所以并不实用．6．数学并不等同于逻辑，它已独自发展几千年，尤其是它的符号系统，使得它有自身的一套简单的推理形式或规则，尽管它能用三段论解释，但大可不必去追溯它的三段论本源．因而在数学中，直接选定了若干演绎推理的规则．如：“如果q P ⇒，P 真，则q 真”、“如果b c ，，a b ⇒⇒，则c a ⇒”（三段论的“数学形式”）等等．（如课本中例2的证明就使用了这些规则）应该告诉学生，数学中的运算也是演绎推理的一种形式．7．在数学中学习演绎推理，并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑，课程标准规定，本小节的学习目标是，“体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理”，相信注意到这些，就可以理解教科书的编写意图，并掌握教学的分寸了．8．在叙述演绎推理的特点时，要和归纳、类比的特点对照，让学生理解它们是两类不同的推理．9．教科书中说“演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性”，这并不是说，演绎推理就完全没有发现功能，更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用．为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用，教科书提供了阅读材料：“海王星的发现和探索性演绎法”，这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的．2．1．3 推理案例赏析1．《推理案例赏析》是推理方法的综合应用，是对推理方法更深层次的考察．这样，教科书就为推理的教学提供了一个“总——分——总”的结构，而本小节正是后一个“总”．它引导学生在前面学习的基础上，对各种推理方法做综合的动态的考察，帮助学生体会不同推理方法的特点和联系，感受它们在数学思维过程中的作用．2．在教学中，要注意对思维过程的分析．课本中提供的思维过程只是几种典型的解决问题的思路．面对着这些问题，学生可能会有更多的想法，应该鼓励学生谈谈自己的想法，并对课本中的思考过程做出评价．3．关于例1的教学．（1）“提出问题”是数学发现活动中重要的环节．教学中要注意分析提出问题的过程．在例1和例2中，都是通过类比提出研究课题的．（2）课本中的思路1是“归纳的方案”，总的说，它是通过归纳提出猜想的．但是应该注意到，作为归纳基础的“表”中的每个数据都是由运算提供的，也就是说，演绎提供了归纳的基础．所以说：在数学发现活动中，演绎起到了类似“实验”的作用，在这里演绎为归纳提供了前提．（3）在“归纳的方案”中，解题者原本希望从表2-1-5中归纳出一般结论，可是却失败了，但是正是失败引导他尝试计算S1（n）和S2（n）的比，找到了通向成功的路．要让学生体会到发现活动都是具有尝试的性质的，失败是经常会遇到的，所以常说“失败是成功之母”．通过教学要让学生体会到，对思维过程进行调控的重要性．对此，在“思路2”和例2中，都有体现．教学中，要让学生体会到发现过程是一个曲折的艰苦的过程，认识到思维调控的重要性．（4）尝试计算S1（n）和S2（n）的比，是导致发现的关键，这个念头是由“联想”激发的．联想也是合情推理的一种方法．（5）思路2是一个“演绎的方案”，但这并不是说，在这个方案中没有使用合情推理的方法，相反地，应该说合情推理在这个方案中同样起了关键的作用．比如，这个方案中的“初始念头”——“尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和”就是由合情推理提供的．（6）在思路2的教学中，设置了“（2）从失败中汲取有用的信息，进行新的尝试”的环节，是为了让学生体会到思维调控的重要性，注意对思维过程的分析，进而养成反思的习惯．（7）“既然能用上面的方法求出S1（n），那么我们也应该可以用类似的方法求出S2（n）”，这也是一个猜想，它是由类比得到的．4．关于例2的教学．（1）例2通过具体的问题对类比推理的方法做了更深入的介绍．类比在数学发现活动中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉地科学地把类比方法运用到发现活动中去．（2）把棱台和梯形类比，开始只是模糊的念头，通过分析，清晰地认识到它们之间的“相似性”，这时才会有科学的“类比推理”．因此，“确定类比对象”和“对类比对象的进一步分析”都是重要的思维环节，是进行类比推理的前提．学生在使用类比时，经常忽略这些环节．（3）验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程．在这个过程中，合情推理仍然发挥着重要的作用．教学中请注意合情推理在“验证猜想”中的作用．（4）从美感出发做出的判断，可以称为审美推断．本例在“验证猜想”的环节中，使用了这种方法．审美推断也是一种合情推理的方法，在科学发现活动中具有重要的价值．通过案例的分析，应该让学生体会到审美在发现活动中的作用．（5）在公式（猜想）的调整过程中，实际上使用的是“探索性演绎法”（即在猜想的基础上进行的演绎推理），这可以让学生更好地体会到“演绎推理”在数学发现活动中所具有的类似于“实验”的功能．5．关于实习作业．学生可以通过查找资料来完成实习作业．例如可以引用本书提到的数学史中的例子：如欧拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以从教科书中选取案例如：“正弦定理的发现”、“余弦定理的发现”、“和差化积公式的推导”等等．通过反思，对自己的思维活动进行分析（如你是怎样解决某个问题的）．6．在思考以及实习作业中，教材反复提出了相同的问题，其用意是希望为学生分析思维活动时提供一个反思的框架．2．2 直接证明与间接证明教学的重点是让学生了解直接证法与间接证法的特点，知道证明的一般步骤，能使用它们证明问题，在教学中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫．2．1 直接证明1．课本中选用的两个例子都是学生熟知的，在《数学（必修5）》的基本不等式中就采用了这两个证明．现在教科书把它用作讨论综合法和分析法的素材，是为了让学生能集中精力关注这两种证明方法形式结构上的特点和区别，进而展开对证明方法的研究．2．一般地，分析法和综合法是两种常见的思维方法，人们利用它们来寻求证明问题的思路．在教科书中是把它们看成两种证明方法的（指呈现出来的证明过程）．思维方法和证明方法当然有微妙的差别，但是如果把“证明”看成是思维过程，这样做也就没有什么不可以．3．综合法，从条件出发，“由因导果”，分析法，紧抓证题目标，“执果索因”．在实际的解题活动中，总是把两者结合起来使用的．2．2 间接证明1．反证法是一种重要的间接证法（同一法也是一种重要的间接证法）．在教学中应先让学生弄清直接证明和间接证明的区别，然后再转入反证法．2．学生在学习立体几何初步时，已经使用反证法，因此他们是有经验的，但当时并没有正面介绍反证法．3．反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律．反证法的实质在于：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是从原题的反论题“既p又┐q”入手，由p与┐q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假，断定反论题“既p又┐q”为假；进而再根据排中律，两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真．由此肯定命题“若p则q”为真．虽然学生没有学过排中律和矛盾律，但是由于这两个定律的“准公理性”，学生还是能理解反证法的思想的，因而在教学中没有必要提出排中律和矛盾律．2．3 公理化思想1．公理化思想体现了数学中的理性精神和求真意识.为了确保命题真实性,数学对命题提出了演绎证明的要求,这种要求直接导致公理化产生.教学中要让学生体会到这一点.2.公理是“公认正确而不需证明的命题”,是“证明其它一切命题的基础”,是“选定”和“设置”的,都体现了现代公理法的思想,在教学中不要过多地强调公理是“经过长期的实践证明的”说法.3.可以建议有兴趣的学生阅读《数学史初步》中有关非欧几何的材料．教学案例:归纳推理执教:高建国(扬州大学附属中学)点评:张乃达(江苏省扬州中学)1.概念、技能、能力、态度我们可以从不同的层面来看归纳．第一种是把它看成一个概念，这要弄清什么是推理？什么是归纳推理？这是从知识层面来看归纳的；第二种是把归纳看成是一种方法，这就要弄清怎样进行归纳？归纳有哪几步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等，这是从技能层面来看归纳的．第三种是把归纳看成是一种能力，提高学生的归纳能力——归纳的能力实质上就是分析，分析到位了，思维能力提高了，归纳才能得到有价值的东西．这是从能力的层面看归纳的．长期以来，我们的教师大都习惯于从上面三个层次看归纳，并以此确定本节课的教学内容和重点，这正是习惯于从知识与能力的层面看待数学教育的体现！其实，如果从文化的视角来分析，就可以看到归纳还可以被看成是一种态度，一种对待事物的态度．归纳的态度实际上就是探究的态度，它总是用探究者的眼光来看世界——看到某些现象，总想从中归纳出某种规律！促使哥德巴赫提出那个著名的猜想的正是这种态度，向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度！这种态度正是理性精神的表现！也是这节课中最有教育价值的东西！通过上面的分析，对这节课应该怎么上就清楚了．通过这节课当然应该让学生知道什么是推理？什么是归纳？怎样进行归纳？但是这并不是重点，其实学生早就在使用归纳的方法了，现在只要正面的小结一下就可以了！提高归纳的能力也不是这节课能够实现的目标，归纳的能力，是思维能力的体现，它不能独立于思维能力之外，也不是通过这节课就能实现的目标！这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发！在本节课中，执教老师对课的定位是比较准确的，较好地处理了概念、技能、能力和态度的关系．渗透了归纳态度的培养，探求欲望的激发，让学生体会到，在我们的周围，到处都存在着值得探索的问题，到处都可以运用归纳的方法来提出猜想，进而展开探索的活动，这对学生理性精神的形成是很有意义的．2．用数学（家）的眼光看世界。
高中数学 第2章 推理与证明章末复习课课件 苏教版选修1-2.pptx
章末复习课
1
学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳、类比进行简单的推理. 2.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并会利用分析法 和综合法证明简单的问题. 3.了解反证法的思想，并能灵活应用.
2
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
3
知识梳理
4
1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义：从个别事实中推演出 一般性 的结论的推理称为归纳推理.归纳推 理的思维过程大致是：实验、观察 →概括、推广→ 猜测一般性结论 . ②特点：由 部分 到整体、由个别 到一般的推理. (2)类比推理 ①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它 们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理 的思维过程为：观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 . ②特点：类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理.
24
1
1
跟踪训练2 已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2)2 >(x3＋y3)3.
1
1
证明 要证明(x2＋y2)2>(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2.
只需证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
只需证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.
又x>0，y>0，∴x2y2>0，
5
(3)合情推理 合情推理是根据 已有的事实、 正确的结论、 实验和实践的结果， 以及个人的 经验 和直觉等推测某些结果的推理过程. 归纳推理 和
类比推理 都是数学活动中常用的合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理.简言之， 演绎推理是由 一般到特殊的推理.
【高中课件】高中数学苏教版选修22第二章推理与证明复习与小结课件ppt.ppt
是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于
dn＞0，则dn＝
时，数列{dn}也是等比数列．
二、数学运用
例2 若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法
和分析法证明：
c a＋b
＋
a b＋c
＝1
．
分析法和综合法是两种常用的直接证明方法． 分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果. 分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．
二、数学运用
例4 已知数列{an}，an ≥0， a1 ＝0，an＋12＋an＋1 －1＝ an 2(n∈N*)
记Sn ＝ a1 ＋a2＋…＋an
Tn＝1＋1a1
＋
(1＋a1
1 )(1＋a2
)
＋
＋
(1＋a1
1 )(1＋a2
)
(1＋an
)
求证：当n∈N*时，（1） an＜an＋1
（2） Sn＞n－2
（3） Tn＜3
三、课堂总结
从知识、方法、收获三个方面进行小 结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间关 系．认识数学本质，把握数学本质，增强创 新意识，提高创新能力．
四、课后作业 教材第102-103页复习题 第3题，第4题，第5题，
第9题，第12题，第13题.
二、数学运用
例3 已知A，B，C∈(0，1)， 求证：(1－a)b， (1－b)c， (1－c)a不能同时大于
1
．
4
用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况： （1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； （2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； （3）导出一个恒假命题．
最新高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》本章归纳整合课件
4．三种证明方法的总结 在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用： 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据 结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出 Q成立，就可以证明结论成立．在证明一个问题时，如果 不容易从条件到结论证明时，采取分析的方法或者是间 接证明的方法——反证法．有时证明一道题需从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知， 其逐步推理，实际上是寻找它成立的充分条件．
3．反证法 (1)定义：一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确 的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． (2)用反证法导出的矛盾主要有：①与假设矛盾；②与数 学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾； ③与公认的简单事实矛盾． (3)步骤：①分清命题的条件和结论；②作出命题结论相 矛盾的假设；③由假设出发，应用正确的推理方法，推 出矛盾的结果；④否定假设，从而间接的证明了结论．
(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察一系列情形发现 某些相同的性质．②从已知的相同的性质中推出一般性 命题． 2．类比推理 (1)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理称为类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推 理．类比的结论不一定为真，在一般情况下，如果类比 的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结 论也就越可靠．
本章归纳整合
知识网络
要点归纳 (一)合情推理与演绎推理 1．归纳推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征， 推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者 由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推 理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推 理．显然归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广 的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新 的结论．
苏教版高中数学高二选修1-2课件 第2章《推理与证明》章末复习
章末复习提升
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2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是 数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推 理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的， 前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
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3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接 证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条 件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证 明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接 证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发， 推出矛盾的证明方法.
第2章——
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1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
知识网络
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系统盘点，提炼主干
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要点归纳
整合要点，诠释疑点
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分 到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能 由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真， 有待进一步证明.
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2.使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词” 列表如下：
原结论词 反设词
原结论词
反设词
至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x不成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x成立
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至少有n个 至多有n－1个
p或q
至多有n个
n＋1个
p且q
¬p且¬ q ¬p或 ¬q
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反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立
体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所 反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反
苏教版高中数学选修22推理与证明复习与小结教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 第2章复习与小结教课设计教课要点：认识本章知识构造，进一步感觉和领会常用的思想模式和证明方法，形成对数学的完好认识．教课难点：认识数学实质，掌握数学实质，灵巧选择并运用所学知识解决问题．教课过程：一、知识回首本章知识构造：基础知识过关：（1）合情推理包含推理、推理．（2）称为概括推理；它是一种由到，由到的推理．（3）称为类比推理；它是一种由推理．（4）概括推理的一般步骤是：①，②（5）类比推理的一般步骤是：①，②到．．的（6）从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们称这类推理为，它是一种到的推理．（7）和是直接证明的两种基本方法．（8）反证法证明问题的一般步骤：①，②，③；④．（9）数学概括法的基本思想数学概括法证明命题的步骤：①；，②，③．（二、数学运用（例1（1）观察以下一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，．将上述不等式在左右两头仍为两项和的状况下加以推行，（使以上的不等式成为推行不等式的特例，则推行的不等式能够是．（（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶（4，近似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比（为．3）若数列{a n}是等差数列，关于b n＝1(a1＋a2＋＋a n)，则数列{b n}也是n等差数列．类比上述性质，若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，关于d n＞0，则d n＝时，数列{d n}也是等比数列．解（1）a m＋n＋b m＋n＞a m b n＋a n b m(a，b＞0，a≠b，m，n∈N)；（2）体积比为1∶8；（3）n c1c2c n，n∈N．说明（1）是从个别状况到一般状况的合情推理；2）是从平面到空间的类比推理；3）是从等差数列到等比数列的类比推理．例2若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和剖析法证明：c＋a＝1．a＋b b＋cc＋a＝1，证明（剖析法）要证a＋b b＋c 只要证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2，∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60，即c2＋a2＝ac＋b2，故原命题建立．（综合法）∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60，即c2＋a2＝ac＋b2，或c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，c a两边同除以(a＋b)(b＋c)得＋＝1．1说明剖析法和综合法是两种常用的直接证明方法．剖析法的特色是执果索因，综合法的特色是由因导果，剖析法常用来探访解题思路，综合法常用来书写解题过程．2例3已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可以同时大于．41剖析“不可以同时大于”包含多种情况，不易直接证明，可考虑反证法．1证明：假定(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于，即(1－a)b＞1，(1－b)c＞1，(1－c)a＞1，∵444∵a，b，c∈(0，1)，1∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，又(1－a)a≤(1－a＋a)2＝1，24同理(1－b)c≤1，(1－c)a≤1，44∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞1，这与假定矛盾，故原命题得证．64（说明反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思虑问题的证明方法．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种状况：（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；2）导出q为真，即与假定“非q为真”矛盾；（3）导出一个恒假命题．使用反证法证明问题时，正确地作出反设（即否认结论） ，是正确运用反证法 的前提．当碰到否认性、唯一性、无穷性、至多、起码等种类问题时，常用反证 法．例4已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a n ＋12＋a n ＋1－1＝a n 2(n ∈N *) 记S n ＝a 1＋a 2＋＋a n ．T n＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋1．＋ ＋ ＋ ＋ ＋a 1 ＋1 (1 a 1)(1a 2) (1 a 1)(1a 2) (1a n )求证：当n ∈N *时，（1）a n ＜a n ＋1；（2）S n ＞n －2；（3）T n ＜3． 解 （1）证明：用数学概括法证明． ①n ＝1时，由于a 2是方程x 2＋x －1＝0的正根，因此a 1＜a 2． ②设当n ＝k(k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1， 由于a k ＋12－a k 2＝(a k ＋22＋a k ＋2－1)－(a k ＋12＋a k ＋1－1) (a k ＋1－a k ＋1)(a k ＋1＋a k ＋1＋1)， 因此a k ＋1＜a k ＋2． 即当n ＝k ＋1时，a n ＜a n ＋1也建立． 依据①和②，可知 a n ＜a n ＋1对任何n ∈N *都建立．（2）证明：由a k ＋12＋a k ＋1－1＝a k2，k ＝1，2，，n －1（n ≥2），2＋(a 2＋a 3＋＋a n － － ＝2． 得a n1)(n1)a2由于a 1＝0，因此S n ＝n －1－a n ．1由a n ＜a n ＋1及a n ＋1＝1＋a n 2－2a n ＋12＜1，得a n ＜1，2 因此S n ＞n －2．33）证明：由a k ＋12＋a k ＋1＝1＋a k 2≥2a k ，得≤a k ＋1(k ＝2，3，，n －1，n ≥3)1＋a k ＋12a k因此1≤a n(a ≥3)，(1＋a 3)(1＋a 4) (1＋a n )(a 2 2＋a 2)2n2于是1≤n2a n＝a n ＜1 (n ≥3)，(1＋a 3)(1＋a 4) (1＋a n ) (a 2 22n2n22 ＋a 2)2故当n≥3时，＜＋＋1＋＋1＜，T n11n－232213又由于T1＜T2＜T3，14因此T n＜3．15三、学生总结16指引学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、概括推理的观点及相互间的关系．认识数学实质，掌握数学实质，加强创新意识，提升创新能力．17四、课后作业18教材第102—103页复习题第3题，第4题，第5题，第9题，第12题，第题．。
高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》word导学案(含解析)
第2章推理与证明第1课时合情推理——归纳推理教学过程一、问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2.归纳推理的思维规程大致为:概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.[3](见学生用书P33)[处理建议]题目简单,让学生自己解答.[规范板书]解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解对于凸n边形,n=3时,内角和180°=180°×1;n=4时,内角和360°=180°×2;n=5时,内角和540°=180°×3;……由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.(2)<,<,<,…由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5][处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).[题后反思]根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)(例3)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.[题后反思]根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1)寻找它们的共同特征,如例1;(2)寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;(3)结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,===+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{a n}的一个通项公式.(见学生用书P34)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.[规范板书]解当n=1时,a 1=1=;当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;……由此我们猜想{a n}的一个通项公式为a n=.四、课堂练习1.(1)一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2)先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…1+3+5+…+(2n-1)=n2.2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为9.3.应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、课堂小结1.归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2.归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b∈a+c=b+c(2)减法法则:a=b∈a-c=b-c(3)乘法法则:a=b∈ac=bc(4)除法法则:a=b∈a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b∈a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)[处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) ↔ 乘(×)加数、被加数↔ 乘数、被乘数和↔ 积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d ↔ =q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d ↔ b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d ↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2 ↔ =b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q ↔ b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∈BFD=∈A,DE∈BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行, (大前提)∈BFD与∈A是同位角,且∈BFD=∈ A,(小前提)所以,DF∈EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∈BA且DF∈EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:∈mb<ma∈ab+mb<ab+ma∈<∈<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)[处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0), (大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为∈ABC三边长依次为3,4,5,所以∈ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)∈ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)∈ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线, (大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;①演绎推理得到的结论一定是正确的;①演绎推理一般模式是“三段论”形式;①演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①①①.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?①问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=.①公式①的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔ 平面三角形↔ 棱锥梯形↔ 棱台进而有梯形底边长↔ 棱台底面积三角形面积↔ 棱锥体积梯形面积↔ 棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),①其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式: V棱台=h(S上+S下),①其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.①式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式①中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想①是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)①的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与①式相比,公式①的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式①从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式①比公式①更合理.既然①式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台==h(S上+k=+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0= ,①式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.。
宿迁市高中数学第2章推理与证明第8课时本章复习与小结导学案苏教版
第8课时 本章复习与小结【教学目标】1.能利用合情推理提出猜想，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它进行一些简单的推理；2.3.【自主学习】【合作探究】1.给出一个“三角形”的数表如下：0 1 2 3 … 996 997 998 9991 3 5 … 1993 1995 19974 8 … 3988 399212 (7980)此表构成的规则是：第一行是0,1,2，……999，以后下一行的数是上一行相邻两个数的和。
问第四行的数中能被999整除的数是什么？2.已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求证：8)11)(11)(11(≥---cb a .3.已知)1,0(,,∈c b a ，求证： a c c b b a )1(,)1(,)1(---不等能都大于41.4.(理科做)试比较n n+1与(n+1)n(n *N ∈)的大小，分别取n=1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明【学以致用】1. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO 、BO 、CO 并延长交边于A 1,B 1,C 1,则1111111OA OB OC AA BB CC ++=,这是一道平面几何题，其证明采用“面积法”：111111OA OB OC AA BB CC ++=1==++∆∆∆∆∆∆∆∆ABCABCABC OAB ABC OCA ABC OBC S S S S S S S S ，那么在空间四面体A-BCD 中存在怎样的结论？2. 已知x>0，由不等式 ,34224,2122≥++=+≥+x x x xx x x ，启发我们可以得到推广结论：*)(1N n n xmx n ∈+≥+，则m=_________________。
3. (理科做)已知点P n (a n ,b n )满足a n+1=a n b n+1,b n+1=2(*)14nnb n N a ∈-且点P 1的坐标为（1，-1）. （1） 求过点P 1，P 2的直线l 的方程；（2） 试用数学归纳法证明：对于*n N ∈，点P n 都在（1）中的直线l 上。
江苏省宿迁市高中数学推理与证明第2课时类比推理导学案无答案苏教版2_2180117387
第2课时类比推理【学习目标】结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解类比推理的含义，能利用类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【问题情景】1.有个人的母亲，笃信佛，一天到晚念“南无阿弥陀佛”。
于是有一天，这个人一早起来便喊：“妈！”母亲答应了他。
过一会他又喊：“妈！”母亲又答应了他。
可这个人还是没完没了地喊。
母亲终于被喊烦了，便没好气地说：“不在！不在！你烦呀不烦？”这个人笑着说：“我才喊了您几声，您就不高兴了。
那阿弥陀佛每天不知被您喊多少遍，不知他该怎样发脾气呢2鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理【合作探究】1. 根据___________ ___推演出_______ ____的结论，这样的推理通常称为类比推理. 类比推理的思维过程大致是：2.类比推理的基本形式：∵A类事物具有性质a,b,c,d;B类事物具有性质a′,b′,c′; 性质a,b,c与a′,b′,c′相同或相近；∴B类事物具有性质d′.【展示点拨】1. 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.2. 试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义： .圆 截面弦 大圆 直径周长 表面积 圆面积 球体积3. 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．拓展延伸： 【学以致用】1.若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V ＝______ __. 2.已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.3.已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m；现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝________.4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为。
高中数学第2章推理与证明章末小结与测评学案苏教版选修1_
第2章推理与证明一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝25．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x＋2， f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x ＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12.∴S ＝3 2. 答案：3 27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________________________________________________________________________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”．已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列3，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________．解析：由题意知T 500＝2 004＝S 1＋S 2＋…＋S 500500，则T 501＝3＋（S 1＋3）＋（S 2＋3）＋…＋（S 500＋3）501＝500×2 004＋3×501501＝2 003.答案：2 003 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（m －n ）a ，y ＝（m ＋n ）b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则第n 个图形中共有______________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n ，24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4.(当a ＝12，b ＝12时等号成立)∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n(n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos （60°＋2α）2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．(本小题满分16分)若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2，即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc .因a ＋d ＝b ＋c ，则只需证ad ＜bc ，即证ad ＜bc .设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )·(c ＋d －t )＜0. 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．19．(本小题满分16分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，已知a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0.求证：(1)a ＞0，且－2＜b a＜－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根．证明：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，f (0)＝c ＞0，f (1)＝3a ＋2b ＋c ＝2a ＋b ＞0， 而b ＝－a －c ，则a －c ＞0，所以a ＞c ＞0. 又2a ＞－b ，所以－2＜b a，而a ＋b ＜0，则b a ＜－1，因此有－2＜b a＜－1.(2)Δ＝(2b )2－12ac ＝4[(a ＋c )2－3ac ]＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12c 2＋3c 2，则Δ＞0，f (x )的对称轴为x ＝－b 3a ，由(1)可得13＜－b 3a ＜23，又f (0)＞0，f (1)＞0且a ＞0，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实数根． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝12，2a n ＋1＝a n a n ＋1＋1.(1)猜想数列{a n }的通项公式(不用证明)；(2)已知数列{b n }满足b n ＝(n ＋1)a n ＋2，求证：数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．证明：(1)由条件可得：a 1＝12，a 2＝23，a 3＝34，……猜想：a n ＝nn ＋1.(2)由(1)可知：b n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在不同的三项b p ，b q ，b r 使其成等比数列，则b 2q ＝b p ·b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，则有q 2＋2＋22q ＝pr ＋2＋2(p ＋r )， 化简得q 2＋22q ＝pr ＋2(p ＋r )．因为p ，q ，r ∈N *，所以有⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，2q ＝p ＋r ，消去q 得(p ＋r )2＝4pr ，即(p －r )2＝0，所以p＝r .这与假设b p ，b q ，b r 为不同的三项矛盾，所以数列{b n }中的任意不同的三项都不可能成等比数列．。
江苏省宿迁市高中数学 第2章 推理与证明 第7课时 数学归纳法(2)导学案(无答案)苏教版选修22
第7课时 数学归纳法(2)【教学目标】会用数学归纳法证明有关正整数n 的整除、不等式、数列等问题.【自主学习】一般地，证明一个与自然数n 有关的命题P(n ），有如下步骤：（1）证明当n 取第一个值0n 时命题成立;（2）假设当n=k （ ）时命题成立，证明当 时命题也成立 ，综合（1）（2），对一切自然数n （n≥0n ），命题P(n ）都成立.【合作探究】例1 设*N n ∈,1325)(1+⨯+=-n n n f .(1)当4,3,2,1=n ，计算)(n f 的值；(2)你对)(n f 的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想.例2 在平面上画n 条直线，且任何两条直线都相交，其中任何3条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少个部分？例3 数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2， a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【回顾反思】1.用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等.2.解决数列问题“归纳—猜想—证明”题的关键环节：(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论．(3)用数学归纳法证明之．【学以致用】1.三个连续自然数的立方和能被9整除.2.设*N n ∈，,1>n 求证：n n >++++1312113.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．。
高中数学第2章推理与证明第3课时演绎推理导学案(无答案)苏教版选修2-2(2021学年)
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第3课时演绎推理【学习目标】结合已经学习的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的推理.【问题情境】填一填：1）所有的金属都能够导电，铜是金属,所以 ____________＿_＿___＿__＿_____ ;２）奇数都不能被２整除,2007是奇数，所以______＿＿＿___＿_________________ ;3）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此＿_＿_＿_＿＿_＿_________________＿_____＿_＿＿＿＿____＿＿____＿_____＿______＿___ ＿_ ．【合作探究】讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?1.演绎推理从_____＿_____命题推演出＿______＿_命题的推理方法,通常称为演绎推理。
演绎推理是根据＿_______＿____＿＿__＿＿_＿＿＿、＿___＿__＿＿_______＿_＿____＿＿_(包括＿＿、＿＿_、＿_＿＿＿等),按照严格的_＿____＿____得到新结论的推理过程。
2.___＿__＿_＿＿＿__________＿_＿__＿＿_是演绎推理的主要形式,常用格式为:M—P(Ｍ是P）_________＿提供了_＿___＿_＿_＿____＿＿______＿S—M（S是Ｍ) ＿__________指出了＿___＿___＿_____________＿S—P(S是Ｐ) ___＿＿_＿___＿揭示了_＿______＿____＿_＿______注:１）演绎推理是由____＿______＿_____＿到_＿__________________＿＿_的推理。
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第8课时本章复习与小结
【教学目标】
1. 能利用合情推理提出猜想，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它进行一些简单的推理;
2. 能选择恰当的方法证明命题；
3. 了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
【自主学习】
证明
【合作探究】
1.给出一个“三角形”的数表如下:
996 997 998 999
777 7 7 7
1993 1995 1997
\/ \/
3988 3992
问第四行的数中能被999整除的数是什么?
推
理
与
证
明
1 3 5
77
12 7980
此表构成的规则是：第一行是0,1,2，999，以后下一行的数是上一行相邻两个数的和。
推理
1 1 1
2.已知 a,b,c R ，且 a b c 1，求证：( 1)( 1)( 1) 8.
a b c 1
(1 a)b,(1 b)c, (1 c)a 不等能都大于 •
4
N * )的大小，分别取 n=1,2,3,4,5 加以试验，根据试验 结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明
【学以致用】
1. 已知点O 是厶ABC 内任意一点，连接 AO BO CO 并延长交边于 A,B 1,C 1,则 OA OB ! OG OA OB 0G
- - -1,这是一道平面几何题，其证明采用“面积法”： - - -
AA BB - CC - AA - BB - CC - S OB ^ S ^AB S A BC 1，那么在空间四面体 A-BCD 中存在怎样的结论? 3.已知 a,b,c (0,1)，求证: 4.(理科做)试比较n n+1与(n+1) n (n
S ABC S ABC S ABC S ABC
3.(理科做)已知点 P n (a n ,b n )满足 a n+1=a n b n+1,b n+1= — (n N*)且点 P l 的坐标为(1 ,-1 ).
1 4a n
(1) 求过点P 1，P2的直线l 的方程;
(2) 试用数学归纳法证明：对于 n N *，点P n 都在(1)中的直线l 上 2.已知x>0,由不等式X
2, x 2 x x 2 2 x 2 3, ,启发我们可以得到推广结 论：X
n 1(n N*)，贝H m= _______________ 。