三角函数恒等变换教案
三角函数恒等变换教案
复杂恒等变换问题解析
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
02
03
多项式型恒等式
对于包含多个三角函数项 的多项式型恒等式，通过 分组、提取公因式、配方 等方法进行化简和证明。
分式型恒等式
对于分式形式的恒等式， 通过通分、约分、分子有 理化等手段进行化简和证 明。
含有参数的恒等式
对于含有参数的恒等式， 先对参数进行讨论，再根 据不同情况选择合适的方 法进行证明。
正弦为负，余弦、正切为 正。
诱导公式及周期性
诱导公式
通过加减整数倍的$pi/2$或$pi$，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数 值。例如，$sin(pi - x) = sin x$，$cos(pi - x) = -cos x$等。
周期性
正弦、余弦函数的周期为$2pi$，正切函数的周期为$pi$。即对于任意整数$k$， 有$sin(x + 2kpi) = sin x$，$cos(x + 2kpi) = cos x$，$tan(x + kpi) = tan x$。
05
典型例题解析与讨论
简单恒等变换问题解析
1 2
利用基本恒等式进行变换 通过观察和运用基本的三角函数恒等式，如正弦、 余弦、正切的和差公式，将表达式化简为更简单 的形式。
角度变换 利用角度的加减、倍角、半角等关系，将复杂的 三角函数表达式转换为更易于处理的形式。
3
引入辅助角 通过引入辅助角，将原表达式转换为与辅助角相 关的三角函数形式，从而简化计算过程。
角的变换技巧
利用$sin(A+B)$、$cos(A+B)$等公式将 复杂角拆分为简单角。
倍角公式
如$sin 2A = 2sin A cos A$，用于将倍 角转换为单角。
三角恒等变换备课教案
三角恒等变换备课教案备课教案：三角恒等变换一、引言三角恒等变换是高中数学中的重要内容，对于学生深入理解三角函数的性质和应用具有重要意义。
本教案将通过引导学生发现和探究三角恒等变换的规律，帮助学生理解和掌握相关的变换技巧。
二、知识背景1. 三角函数的基本关系：(1) 正弦函数：sinθ = 对边/斜边(2) 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边(3) 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的周期性：(1) 正弦函数、余弦函数的周期是2π(2) 正切函数的周期是π3. 三角函数的基本恒等式：(1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方和为1：cos^2θ + sin^2θ = 1(2) 正切函数与余切函数的乘积始终等于1：tanθ · cotθ = 1(3) 正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数的关系：sinθ/cotθ = cosθcosθ/tanθ = sinθ三、教学过程1. 引入：通过提问的方式引导学生回顾三角函数的基本关系和周期性规律。
2. 发现：给出一个具体的三角函数等式，例如sinθ = cos(π/2 - θ)，请学生尝试寻找与之相关的恒等式。
3. 探究：根据学生的发现，引导学生使用初等三角函数的定义和已知的三角函数恒等式，进行推导和证明，找出恒等式的变换规律。
4. 总结：整理学生的发现和推导过程，总结三角恒等变换的基本规律，并给出示例进行演示和讲解。
5. 练习：提供一些练习题，让学生运用所学的三角恒等变换规律，解决相关的三角函数等式和问题。
四、教学评价1. 通过观察学生的推导过程和解题思路，评价他们对三角恒等变换规律的理解和掌握情况。
2. 提供针对性的反馈和指导，帮助学生纠正错误和加深对知识点的理解。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和解题过程，培养他们的合作和思考能力。
五、课后作业1. 题目一：证明sin(π/2 - θ) = cosθ。
2. 题目二：利用三角恒等变换，化简并求解tanθ + 1 = secθ的解。
三角函数的恒等变换与解题备课教案
三角函数的恒等变换与解题备课教案1. 恒等变换的概念及基本公式三角函数的恒等变换是指通过变换角度，得到与原来三角函数值相等的新三角函数表达式。
这种变换是用来简化、补充或者改变三角函数表达式的形式，从而更方便地进行计算和解题。
1.1 正弦函数的恒等变换对于正弦函数sin(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- sin(-x) = -sin(x)：正弦函数具有奇函数性质，即sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
- sin(x + 2kπ) = sin(x)，k为整数：正弦函数具有周期性，周期为2π，所以sin(x + 2kπ)与sin(x)等价。
- sin(π - x) = sin(x)：正弦函数满足sin(π - x) = sin(x)，即正弦函数关于x = π/2直线对称。
- sin(π + x) = -sin(x)：正弦函数满足sin(π + x) = -sin(x)，即正弦函数关于x = -π/2直线对称。
1.2 余弦函数的恒等变换对于余弦函数cos(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- cos(-x) = cos(x)：余弦函数具有偶函数性质，即cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
- cos(x + 2kπ) = cos(x)，k为整数：余弦函数具有周期性，周期为2π，所以cos(x + 2kπ)与cos(x)等价。
- cos(π - x) = -cos(x)：余弦函数满足cos(π - x) = -cos(x)，即余弦函数关于x = π直线对称。
- cos(π + x) = -cos(x)：余弦函数满足cos(π + x) = -cos(x)，即余弦函数关于x = 0直线对称。
1.3 正切函数的恒等变换对于正切函数tan(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- tan(-x) = -tan(x)：正切函数具有奇函数性质，即tan(-x) = -tan(x)，即正切函数关于原点对称。
三角函数恒等变换教案
课题： 三角函数恒等变换教学目标：1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2、能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3、能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
高考链接：1、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换，对三角式进行简单的三角函数化简、求值和证明2、能联系平面向量、解三角形等知识结合解题教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学难点：运用公式进行简单的三角恒等变换，对三角式进行简单的三角函数化简、求值和证明教学方法：讲练结合、以练为主教学设计：一、高考通关1、解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化2、三角函数恒等变形的基本策略：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
3、基本的技巧有 ：（1）常值代换：特别是用“1”的代换 （2）项的分拆与角的配凑（3）三角函数次数的降升 ，即二倍角公式的变形（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）（5）引入辅助角 （6）公式变形使用二、知识回顾1、两角和、差角的余弦公式2、两角和、差角的正弦公式3、二倍角的正、余弦公式4、两角和的正切公式5、两角差的正切公式6、二倍角的正切公式7、合一变换 8、常用公式变形三、典例分析化简： βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222⋅-⋅+⋅ 四、高考仿真训练1、求值：（1） 105sin 15sin 105cos 15cos -（2）15sin 15cos 15sin 15cos +- 2、求函数x x y cos 3sin += )20(π≤≤x 的值域3、化简：)32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ 4、已知171cos =α，5147)cos(-=+βα，2,0πβα<<， 求βcos 的值5、已知54)cos(=+βα，54)cos(-=-βα，且)2,47(ππβα∈+ ),43(ππβα∈-，求α2cos 五、课时小结同学们在第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系. 高考对三角计算与恒等式部分的考查无论是填空题还是解答题中出现都是较容易的．主要有三方面：（1）以填空形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；（2）以填空形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教
的三角函数表达式化简为基本的三角函数形式。
学生自我评价报告
1 2
知识掌握程度
大部分学生表示能够理解和掌握本节课所学的三 角恒等变换公式，并能够运用它们解决一些实际 问题。
学习方法
学生认为通过推导公式、举例验证以及大量练习 的方式，有助于加深对知识点的理解和记忆。
3
学习态度
学生表示在学习过程中保持积极的学习态度，认 真听讲、思考并积极参与课堂讨论。
02
实例2
证明$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$。该恒等式可通过三角函
数的定义和商数关系式进行证明，也可通过几何意义进行解释。
03
实例3
证明$sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta$。
该恒等式是三角函数和差化积公式的基础，可通过向量的数量积或复数
方法三
利用三角恒等式。通过已知的三角恒等式，如正弦、余弦定理等，推导出三角形内角和定 理。
三角形外角定理证明
方法一
利用平行线的性质。通过延长三角形的一条边，并在延长线上取一点，连接该点与三角形的另外两个顶点，形成新的 三角形。根据平行线的性质，可以证明原三角形的外角等于新三角形的两个内角之和。
方法二
分析法
从已知条件出发，逐步推导出结论 ，证明过程中需注意逻辑严密性。
综合法
将归纳法和分析法相结合，既考虑 特殊情况，又考虑一般情况，从而 证明恒等式的正确性。
实例分析与讨论
01
实例1
证明$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$。该恒等式是三角函数的基本
恒等式之一，可通过勾股定理或三角函数定义进行证明。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案教案标题：三角恒等变换教案教案概述：本教案针对高中数学课程中的三角函数学习内容，以“三角恒等变换”为主题。
通过引导学生理解三角恒等变换的定义、性质和运用方法，培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力，提高他们解决实际问题的能力。
教案目标：1. 了解三角恒等变换的概念和性质；2. 能够正确运用三角恒等变换的方法和技巧进行数学推导和证明；3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
教案重点：1. 三角恒等变换的定义和性质；2. 学生针对具体问题，灵活运用三角恒等变换进行推导和证明。
教案难点：学生对三角恒等变换的抽象性理解以及如何熟练运用于解决问题。
教学准备：1. 教师准备幻灯片、黑板、白板等教学工具；2. 学生准备笔记本、教材等学习工具。
教学过程：步骤一：导入1. 引入数学公式和恒等式的概念，向学生介绍三角恒等变换是一类特殊的恒等变换。
2. 通过具体的示例和问题，引发学生对三角函数之间关系的思考。
步骤二：讲解1. 结合幻灯片或黑板，向学生逐步展示三角恒等变换的基本定义和性质。
2. 通过示例演算和详细讲解，帮助学生理解三角恒等变换的运用方法和技巧。
步骤三：练习1. 发放练习题，让学生运用所学的三角恒等变换方法解决具体问题。
2. 在学生独立完成后，进行试卷讲解，鼓励学生积极参与并解答问题。
步骤四：拓展1. 提出更加复杂的问题，引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 引导学生思考三角恒等变换的实际应用，例如在工程、物理等领域中的具体运用。
步骤五：总结1. 对三角恒等变换内容进行小结，强调重要概念和方法。
2. 提醒学生在复习中注意三角恒等变换的细节，以及如何灵活运用于解决问题。
教学辅助：1. 幻灯片或黑板白板；2. 教材和练习题。
教学延伸：1. 将三角恒等变换与其他数学知识进行整合，拓展学生的数学思维；2. 引导学生自主探究和发现更多三角恒等变换的性质和应用场景；3. 带领学生进行相关的作业和实践项目，综合运用所学的知识。
第三章三角恒等变换教案
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
三角恒等变换教案优质课教案
三角函数的图像与变换
三角函数的基本图像
01
正弦、余弦、正切函数在坐标系中的图像及其特点。
图像的平移与伸缩
02
通过平移和伸缩变换，可以得到不同振幅、周期和相位的三角
函数图像。
图像的对称与周期性
03
三角函数图像具有对称性和周期性，可以通过这些性质进行图
像分析和变换。
三角函数的和差化积与积化和差公式
和差化积公式
05
06
$tan(A - B) = frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$
倍角公式与半角公式
倍角公式 $sin 2A = 2sin A cos A$
$cos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A$
解释三角恒等变换在几何图形中的应用，如角度、边长等的计算。
02
三角恒等变换在物理中的应用
阐述三角恒等变换在物理学中的应用，如振动、波动等问题的分析。
03
三角恒等变换在工程学中的应用
介绍三角恒等变换在工程领域中的应用，如建筑设计、机械制造等。
拓展：三角恒等变换在其他领域的应用
三角恒等变换在数学分析中的应用
三角恒等变换在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，是解决实际问题的重要 工具之一。
掌握三角恒等变换的方法和技巧，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有 重要意义。
课程目标与要求
知识与技能目标
掌握三角恒等变换的基本方法和技巧， 能够熟练地进行三角函数的化简和计 算。
过程与方法目标
情感态度与价值观目标
将两个角的三角函数和差转化为 单个角的三角函数形式，便于计
三角恒等变换教案(优质课教案)
课题三角恒等变换课型复习授课人余伟1、利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知考情分析识相结合命题2、命题形式多种多样，既有选择题、填空题也有综合性解答题1、通过同类型题目的训练，加深对三角恒等变换中各个公式的理解和记忆，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
2、通过三角恒等变换中公式的运用，会进行简单的化简、求值，体会转化教学目标思想在数学中的应用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、通过本节课的学习，使学生体会探究的乐趣，激发学生分析、探求的学习乐趣。
教学重点和差角、倍角公式、辅助角公式的灵活运用教学难点给值求值问题中合理运用和差角公式教学过程知识梳理：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：3.降幂公式：4.辅助角公式：典例讲评：题型 1三角函数式的化简、求值给角求值”： 一般所给出的角都是非特殊角， 从表面上来看是很难的， 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时， 要利用观察得到的关系， 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．【例 1】（ 1）（ 2015 年课标全国Ⅰ） sin 20 cos10cos160 sin 10（ ）3 3 1 1 A.B.C.D.2222sin 110 sin 20 ）（ 2）计算sin 2 的值为（ cos 2 155 1553 3 1 1 A.B.C.D.22 22cos40等于（）（3）化简cos 25 1 sin 40A.1B. 3C. 2D.2（4） sin 50 1 3 tan10【规律方法】三角函 数式的化简要遵循“三看”原则(1) 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2) 二看“函数名称”， 看函数名称之间的差异， 从而确定使用的公式， 常见的有“切化弦”；(3) 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．题型 2 给值求值问题 ( 已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值 )“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．【例 2】（ 1）（教材课后练习）已知sin 303，60150 ，则 cos 5（ 2）已知cos sin 437的值是，则 sin665（3）已知02，且 cos21， sin2，则923cos的值为（ 4）已知、为锐角， cos 153， sin，则 cos 714（ 5）（ 10 月月考）已知cos2，为锐角，则 cos 21084题型 3给值求角问题( 已知某角的三角函数值，求另一角的值)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【典例 3】(1)设、为钝角，且 sin 5， cos310的值为（）5，则10A.3B.5C.7D.5或7 44444（ 2）若sin 2510，，3，则， sin，且，51042的值为（）A.7B.9C.5或9D.5或7444444【规律方法】(1)角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等等；如， 2．(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，，选正、余弦皆可；若角的范围是(0 ，2π) ，选余弦较好；若角的范围为, ，选正弦较好．22(3) 解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．课堂小结本节课复习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，思考：1、如何求解给值求值的问题2、如何求解给值求角的问题3、在化简中哪些技巧值得我们注意。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-简单的三角恒等变换
第2课时简单的三角恒等变换【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tan1-tan2.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=2sin22,1+cosα=2cos22.(升幂公式) (2)1±sinα=(sin2±cos2)2.(升幂公式) (3)sin2α=1-cos22,cos2α=1+cos22,tan2α=1-cos21+cos2.(降幂公式)3.半角公式sin2=±cos2=±tan2=±=sin 1+cos=1-cos sin.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A .半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B .存在实数α,使tan 2α=2tan αC .cos 22=1-cos2D .tan 2=sin 1+cos =1-cos sin【解析】选ABD .由半角公式、二倍角公式可知,选项A 正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B 正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos 22-1,所以cos 22=1+cos2,因此选项C 错误;因为tan2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=sin 1+cos ,tan 2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=1-cossin ,所以选项D 正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos 2π12-cos 25π12=()A .12B .33C .22D .32【解析】选D .因为cos5π12=sin(π2-5π12)=sin π12,所以cos 2π12-cos 25π12=cos 2π12-sin 2π12=cos(2×π12)=cos π6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin2=()A .3-58B .-1+58C .3-54D .-1+54【解析】选D .cos α=1+54,则cos α=1-2sin 22,故2sin 22=1-cos α=3-54,即sin 22=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin2>0,所以sin 2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan2=()A .2B .12C .2或不存在D .12或不存在【解析】选D .当α=2k π+π(k ∈Z )时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 2不存在;当α≠2k π+π(k ∈Z )时,tan2=sin1+cos =12.【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12可以化简为()A .f (x )=sin(2x -π3)B .f (x )=sin(2x -π6)C .f (x )=sin(2x +π3)D .f (x )=sin(2x +π6)【解析】选B .f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12=1-cos22+32sin 2x -12=32sin 2x -12cos 2x =sin(2x -π6).(2)已知0<θ<π,(1+sinrcos )(sin 2-cos 2)________.【解析】由θ∈(0,π)得0<2<π2,所以cos2>0,所以2+2cos =2.又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2)=(2sin 2cos2+2cos 22)(sin 2-cos2)=2cos2(sin 22-cos 22)=-2cos2cos θ.故原式=-2cos2cos 2cos2=-cos θ.答案:-cos θ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos 4-2cos 2r122tan(π4-psin 2(π4+p =__________.【解析】原式=12(4cos 4-4cos 2r1)2×sin(π4-pcos(π4-p ·cos 2(π4-p =(2cos 2-1)24sin(π4-pcos(π4-p =cos 222sin(π2-2p =cos 222cos2=12cos 2x.答案:12cos 2x2.化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=________.【解析】原式=1-cos22·1-cos22+1+cos22·1+cos22-12cos 2αcos 2β=1-cos2-cos2rcos2vos24+1+cos2rcos2rcos2vos24-12cos 2α·cos 2β=12+12cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=12.答案:12【加练备选】化简:2sin (π-)+sin2cos 22=________.【解析】2sin (π-)+sin2cos 22=2sinr2sinvos 12(1+cos )=2sin (1+cos )12(1+cos )=4sin α.答案:4sin α考点二三角函数式的求值角度1给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cos αsin β=16,则cos(2α+2β)=()A .79B .19C .-19D .-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟______.【解析】=14sin48°2sin48°=18.答案:18【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3给值求角[例4]若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α,π,β∈π则α+β的值是() A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【解析】选A.因为α4π,所以2α2π,因为sin2α=55,所以2α,π.所以αcos2α=-255,又因为sin(β-α)=1010,β∈π,所以β-α(β-α)=-31010,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=---1010×55=22,又α+β2π,所以α+β=7π4.【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θ-π4)=223,则sin2θ的值为()A.79B.-79C.29D.-29【解析】选B.由sin(θ-π4)=223,得sin(θ-π4)=sinθcosπ4-cosθsinπ4=22(sinθ-cosθ)=223,即sinθ-cosθ=43,等式两边同时平方,得1-sin2θ=169,所以sin2θ=-79.2.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),则tan2=()A.-12或2B.2C.-13或3D.3【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),所以sinα=45,cosα=-35,所以tan2=sin1+cos=451-35=2.3.已知sin(α-2)=55,sin(β-2)=1010,且α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),则r2=__________.【解析】因为α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),所以0<r2<π,cos(α-2)=255,cos(β-2)=31010.因为cos r2=cos[(α-2)+(β-2)]=cos(α-2)cos(β-2)-sin(α-2)sin(β-2)=255×31010-55×1010=22,所以r2=π4.答案:π44.化简求值:3-4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°.【解析】原式=3-4sin20°(1-2sin 220°)2sin20°sin480°=3-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (20°+40°)-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (40°-20°)2sin20°sin480°=1sin480°=1sin120°=233.【加练备选】若tan 2α=-34,则sin2rcos 21+2sin 2=()A .-14或14B .34或14C .34D .14【解析】选D .由tan 2α=2tan1-tan 2=-34,可得tan α=3或tan α=-13.故sin2rcos 21+2sin 2=2sinvosrcos 23sin 2rcos 2=2tanr13tan 2r1,当tan α=3时,2×3+13×32+1=728=14;当tan α=-13时,2×(-13)+13×(-13)2+1=1343=14.考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ 中,半径OP =1,圆心角∠POQ =π3,C 是扇形弧上的动点,矩形ABCD 内接于扇形.记∠POC =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.【解题导思】看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP =1,圆心角∠POQ =3,矩形ABCD 内接于扇形,∠POC =α定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD 的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,D D=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OB-OA=cosα-33sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36(32sin2α+12cos2α)-36=α+π6)-36.由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大-36=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧P 上),则矩形ABCD面积的最大值为__________.【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OC sinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα,则OF=32AD=23sinα,OE=OC cosα=2cosα,则AB=2cosα-23sinα,所以矩形ABCD的面积S=BC·AB=4sinα(2cosα-23sinα)=4sin2α+43cos2α-43=8sin(2α+π3)-43,当2α+π3=π2,即α=π12时,S取得最大值8-43,所以矩形ABCD面积的最大值为8-43.答案:8-43[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交AD,BC于点F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案三角恒等变换教案一、教学目标：1.能够掌握三角恒等变换的概念和基本性质；2.能够灵活运用三角恒等变换求解简单的三角函数值；3.能够理解三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
二、教学内容：1.三角恒等变换的定义和基本性质；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系；3.使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。
三、教学重难点：1.三角恒等变换的基本性质的理解和运用；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
四、教学方法：1.讲授结合练习，理论与实际相结合；2.举例分析和解题演练。
五、教学过程：第一步：引入新知识（10分钟）向学生简单介绍三角恒等变换的概念，并与他们讨论三角函数的图像、周期、奇偶性。
通过讨论的方法，激发学生的兴趣，引导学生主动思考。
第二步：讲解三角恒等变换的基本性质（15分钟）1.角的关系：讲解正弦、余弦、正切函数之间的关系，以及正角、负角之间的关系。
2.平方关系：讲解正弦、余弦、正切函数的平方和、平方差以及积与商之间的关系。
3.倒数关系：讲解正弦、余弦、正切函数的倒数之间的关系。
第三步：练习应用（20分钟）1.通过示例的方式，向学生展示如何使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。
2.组织学生进行练习，让学生分小组进行解题，及时给予指导和反馈。
第四步：总结归纳（10分钟）请学生总结三角恒等变换的基本性质，并与他们讨论三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
第五步：小结（5分钟）对本节课学习的内容进行小结，并激发学生对三角函数的兴趣，鼓励他们进一步实践和研究。
六、教学反思本节课采用了理论与实际相结合的教学方法，通过讨论、演示和练习，使学生能够深入理解三角恒等变换的基本性质，并能够熟练灵活地应用。
课堂上，我积极引导学生思考和互动，激发了学生的学习兴趣和积极性。
但是，部分学生在练习环节遇到了一些困难，建议将练习题目难易程度适当调整，以使学生在解题过程中能够灵活运用所学知识。
三角恒等变换教学设计
三角恒等变换教学设计在教三角恒等变换的时候，其实有点像是在教大家如何用魔法去解决那些让人头疼的数学问题。
想想看，三角形就像是数学界的小明星，时不时就会在课堂上跳出来，给我们带来惊喜。
大家一看到三角函数，可能就像看到了大灰狼，心里就开始打鼓。
不过，别怕，今天我们就来聊聊怎么用轻松的方式，把这些看似复杂的恒等变换变得简单有趣。
想要掌握三角恒等变换，最重要的就是要了解一些基本的三角函数，像是正弦、余弦和正切。
就像我们平常聊天一样，三角函数们也是有自己的性格和特点。
正弦就像是那种外向的朋友，总是积极向上，余弦则更稳重一些，像个思考问题的老好人。
而正切呢？它时不时就会冒出一些意外，给大家带来惊喜。
了解了这些，之后我们再来看恒等变换，其实就像是把这些朋友们重新组合起来，玩一场变形游戏。
再说到恒等变换，其实就像我们平常生活中所遇到的各种变化，比如说换衣服、换发型，都是为了让自己看起来更好。
在数学中，恒等变换也是在不停地“换衣服”，让我们可以更轻松地找到答案。
比如，咱们熟悉的( sin^2 x + cos^2 x = 1 )这个公式，就像是一个超级无敌的万能钥匙，能帮助我们打开很多难题的大门。
谁说数学就得一板一眼？我们可以让它变得活泼起来。
然后，教学的时候，不妨可以用一些生动的例子来帮助大家理解。
比如说，想象一下你在一家咖啡店，点了一杯摩卡，咖啡师告诉你，这杯摩卡可以用不同的配方来做出来。
三角恒等变换也有类似的感觉。
我们可以用不同的恒等式来“调配”出不同的结果。
只要把不同的恒等式组合起来，就能得到一个新的表达式，这样大家就会觉得数学也可以很美味。
而在课堂上，咱们可以通过游戏来提高气氛。
比如说，分组比赛，看看哪一组能最快地运用恒等变换解出题目。
这样一来，大家不仅能学到知识，还能增进友谊，互相帮助。
谁能想到，原本枯燥的数学，竟然也能变得像运动会一样热闹？不过要注意，千万别让竞争变得太激烈哦，毕竟大家都是为了共同进步。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
三角恒等变换—教学设计
三角恒等变换—教学设计教学设计：三角恒等变换一、教学目标：1.理解三角函数的基本概念和常见三角恒等变换；2.掌握三角恒等变换的推导和证明方法；3.能够运用三角恒等变换解决与三角函数相关的问题。
二、教学内容：1.三角函数的基本概念回顾：弧度与角度制、正弦、余弦、正切函数及其图像特点等。
2.三角函数的基本关系：正弦定理、余弦定理、正切定理等。
3.三角恒等变换的基本内容：（1）同角三角函数的基本关系；（2）倒角公式与半角公式；（3）和差化积公式；（4）倍角公式与降幂公式；（5）万能公式等。
4.三角恒等变换的推导方法：（1）辅助角变换法；（2）三角均值不等式法；（3）利用三角函数图像性质法等。
5.三角恒等变换的证明方法：（1）代数证明法；（2）几何证明法；（3）视觉证明法等。
6.运用三角恒等变换解决问题的方法：（1）化简表达式；（2）证明等式或不等式；（3）求解三角方程；（4）求特殊值。
三、教学过程：1.导入新知识利用引人兴趣的例子或实际问题导入新知识，例如：假设有一个棱长为1的正方体，现在将其沿对角线切割成两半请问两半的体积是否相等？设计实验来验证。
2.知识讲解通过PPT或板书，讲解三角函数的基本概念、基本关系以及三角恒等变换的基本内容。
3.案例分析选择一些典型的问题或例子，引导学生运用三角恒等变换解决问题，例如：求证：（cotθ-1）/（cotθ+1）= tan(π/4 - θ)；4.合作探究将学生分成小组，提供一些已知条件和问题，要求学生合作探究解决方案，例如：已知sinA = 2/3，求cosA的值。
5.拓展应用让学生运用所学知识解决一些拓展应用问题，例如：求解三角方程sin2θ - 3sinθ = 0。
6.归纳总结学生通过比较、归纳和总结，总结三角恒等变换的相关规律和方法。
7.练习巩固布置一些课后练习题，让学生巩固所学知识，并提供解题思路和答案。
8.总结反思教师与学生共同总结本节课的重点内容和学习体会，澄清问题，提出疑问。
三角恒等变换教案
（1）同角三角函数的关系）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
：， ， ；：， ， ；：， ， ；： ， ，；： ， ， ；p：， ， ；p：， ， ；p：， ， ；p：， ， ；p平方关系平方关系 sin 2a + cos 2a =1， 1+tan 2a =a 2cos 1， 1+cot 2a =a 2sin 1 a2sin 1倒数关系倒数关系 tan a ·cot a =1商数关系商数关系aacos sin =tan aaa0 6p4p 3p 2p p23p sin a cos aa tan a cot用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数即利用三角函数23OA=(cosα,sinα),OB =(cosβ,sinβ),∠AOB AOB=α=α=α--β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α|·cos(α--β)=cos(αβ)=cos(α--β), 由向量数量积的坐标表示有由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α,cos(α--β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α0≤α--β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α,α--β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(αcosθ=cos(α--β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =cosθ=cos(α=cosθ=cos(α--β).若θ∈［π,2π］,则2π2π--θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π=cos(2π--θ)=cosθ=cos(αθ)=cosθ=cos(α--β). 由此可知,对于任意角α、β都有都有c os(αos(α--β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C (α(α--β)) 此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α(α--β).有了公式C (α(α--β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(αcos(α--β)的值了. 例1 利用差角余弦公式求cos15°的值. 变式训练例2 不查表求sin75°sin75°,sin15°,sin15°的值. 例3 不查表求值:cos110°:cos110°cos20°cos20°＋sin110°sin110°sin20°sin20°sin20°. . 例4 已知sinα=54,α∈(0(0,π),cosβ=,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(αcos(α--β)的值. 利用两角差余弦公式推导两角和余弦，两角差的正切和余切 在公式中令()cos cos cos sin sin a b a b a b-=+ 令b 等于b -于是得到()cos cos cos sin sin a b a b a b +=-()()sin cos cos cos cos sin sin2222p p p p a b a b a b a b a béùéùæöæöæö+=-+=-+=-+-ç÷ç÷ç÷êúêúëûèøèøèøëûsin cos cos sin a b a b =+．a b a b a b()a b()a b a ba a ap a a a aaa+221cos aaa a 三、两角和与差的三角函数关系两角和与差的三角函数关系sin(a ±b )=sin a ·cos b ±cos a ·sin b cos(a±b )=cos a ·cos bsin a ·sin bba ba b a tan tan 1tan tan )tan(×±=± 倍角公式倍角公式sin2a =2sin a ·cos a cos2a =cos 2a -sin 2a=2cos 2a -1=1-2sin 2aaaa 2tan 1tan 22tan -=。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案引言：本教案旨在介绍三角恒等变换的概念和应用。
我们将详细解释什么是三角恒等变换，为什么它们在数学和物理中如此重要，并提供一些实用的例子来帮助读者更好地理解和应用这些变换。
一、什么是三角恒等变换？三角恒等变换是指关于三角函数的一类等式，可以在不改变等式的真实性的前提下，通过变换三角函数的自变量、系数或其他形式来简化或改写等式。
三角恒等变换的目的是为了更好地理解和研究三角函数在各类问题中的性质和应用。
二、常见的三角恒等变换1. 基本恒等变换基本恒等变换是指最基础的一类三角恒等变换，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数的一些基本等式。
例如，最常见的正弦函数的基本恒等变换是：sin²θ + cos²θ = 1这个等式表明，在任意角度θ下，正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。
这个等式在很多计算中会被频繁使用到。
2. 三角函数的互余变换三角函数的互余变换是指三角函数的相互关系。
例如，正弦函数和余弦函数是互余的。
具体来说，正弦函数与余弦函数在给定角度θ下的值互为倒数，即：sinθ = 1/cosθ这个等式可以帮助我们在解决某些问题时，通过已知的三角函数的值，快速推导出其他三角函数的值。
3. 角度和的恒等变换角度和的恒等变换是指用于变换三角函数中两个角度和的等式。
在这类变换中，我们可以通过已知的三角函数的值和角度和的关系，求解其他三角函数的值。
例如，常见的角度和的恒等变换包括：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ这个等式可以帮助我们在计算复杂的三角函数表达式时，通过将角度和转化为乘积或其他形式，简化计算过程。
三、三角恒等变换的应用领域1. 几何学中的应用三角恒等变换在几何学中有广泛的应用。
例如，我们可以利用三角恒等变换求解各类三角形的边长和角度，以及解决三角形的面积和周长等问题。
2. 物理学中的应用三角恒等变换在物理学中也有重要的应用。
例如，在机械波的传播和振动问题中，三角恒等变换可以用于描述波函数和振动函数之间的关系。
三角函数恒等变换教案
三角函数恒等变换教案一、引言三角函数是高中数学中重要的概念之一，在解析几何、解方程、级数等数学领域都有广泛的应用。
三角函数的恒等变换是指一组等式或关系，可以将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式。
掌握三角函数的恒等变换可以帮助学生简化复杂的三角函数表达式，化简解析几何题目等。
本教案将介绍常见的三角函数恒等变换及其应用。
二、基本恒等变换1. 正弦函数的基本恒等变换正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其基本恒等变换包括以下几种：(1) 基本正弦函数恒等变换$$\\sin(\\frac{\\pi}{2} - x) = \\cos(x)$$$$\\sin(\\frac{\\pi}{2} + x) = \\cos(x)$$(2)倍角正弦函数恒等变换$$\\sin(2x) = 2\\sin(x)\\cos(x)$$2. 余弦函数的基本恒等变换余弦函数是与正弦函数相对应的三角函数，其基本恒等变换包括以下几种：(1)基本余弦函数恒等变换$$\\cos(\\frac{\\pi}{2} - x) = \\sin(x)$$$$\\cos(\\frac{\\pi}{2} + x) = -\\sin(x)$$(2)倍角余弦函数恒等变换$$\\cos(2x) = \\cos^2(x) - \\sin^2(x)$$3. 正切函数的基本恒等变换正切函数是另一个重要的三角函数，其基本恒等变换包括以下几种：(1)基本正切函数恒等变换$$\\tan(\\frac{\\pi}{2} - x) = \\cot(x)$$(2)倍角正切函数恒等变换$$\\tan(2x) = \\frac{2\\tan(x)}{1 - \\tan^2(x)}$$三、扩展恒等变换1. 正弦函数的扩展恒等变换正弦函数的扩展恒等变换包括以下几种：(1)半角正弦函数恒等变换$$\\sin(\\frac{x}{2}) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 - \\cos(x)}{2}}$$(2)和差正弦函数恒等变换$$\\sin(x \\pm y) = \\sin(x)\\cos(y) \\pm \\cos(x)\\sin(y)$$2. 余弦函数的扩展恒等变换余弦函数的扩展恒等变换包括以下几种：(1)半角余弦函数恒等变换$$\\cos(\\frac{x}{2}) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 + \\cos(x)}{2}}$$(2)和差余弦函数恒等变换$$\\cos(x \\pm y) = \\cos(x)\\cos(y) \\mp \\sin(x)\\sin(y)$$3. 正切函数的扩展恒等变换正切函数的扩展恒等变换包括以下几种：(1)和差正切函数恒等变换$$\\tan(x \\pm y) = \\frac{\\tan(x) \\pm \\tan(y)}{1 \\mp\\tan(x)\\tan(y)}$$四、应用实例1. 解析几何中的应用实例(1)求等腰三角形的高已知等腰三角形的底边为2，顶角为$$\\frac{\\pi}{4}$$，求等腰三角形的高。
三角函数的恒等变幻教案
简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦和正切1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值．2．利用三角公式考查角的变换、角的范围．基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 经典例题：【例题1】已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的【例题2】（1）sin 72cos 42cos 72sin 42- ； （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-．【例题3】化简2cos 6sin x x -【题干】sin43°cos13°－sin13°cos43°的值等于( )A.12B.33C.22D.32【题干】已知sin(45°＋α)＝55，则sin2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45 B ．【题干】已知cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2 .【题干】化简x x sin cos 3-例1.已知sin α=-4/5, α是第三象限角，求sin2α，cos2α，tan2α值。
数学导学案：简单的三角恒等变换(第课时)
第1课时三角恒等变换1．了解半角公式（不要求记忆)的推导过程及其应用．2．能将函数y＝a sin x＋b cos x（ab≠0）化为y＝A sin（ωx＋φ)的形式．1．半角公式（不要求记忆)sin错误!＝______，cos错误!＝______，tan错误!＝______＝错误!＝错误!。
符号由错误!所在的象限决定．（1)积化和差公式(不要求记忆和应用)sin αcos β＝错误![sin(α＋β)＋sin(α－β）]，cos αsin β＝错误![sin(α＋β)－sin（α－β)］，cos αcos β＝错误![cos(α＋β）＋cos(α－β)］，sin αsin β＝－错误!［cos(α＋β）－cos（α－β)］．(2）和差化积公式（不要求记忆和应用）sin x＋sin y＝2sin错误!cos错误!，sin x－sin y＝2cos错误!sin错误!，cos x＋cos y＝2cos错误!cos错误!,cos x－cos y＝－2sin错误!sin错误!。
【做一做1－1】若cos α＝错误!,且α∈(0，π),则cos错误!的值为( ）A。
错误!B．－错误!C．±错误!D．±错误!【做一做1－2】已知sin α＝错误!，cos α＝错误!错误!，则tan错误!等于（)A．2－错误!B．2＋错误!C。
错误!－2D．±(错误!－2)【做一做1－3】已知cos α＝错误!，α∈错误!,则sin错误!等于（）A．－错误! B.错误! C.错误!错误!D．－错误!2．常见的三角恒等变换（1)a sin x＋b cos x＝______sin(x＋φ）（ab≠0），其中tan φ＝错误!，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论错误!＝±1，±错误!，±错误!的情况．（2）sin2x＝错误!，cos2x＝______，sin x cos x＝错误!________.【做一做2－1】3sin x－错误!cos x＝( ）A．sin错误!B．3sin错误!C。
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课题： 三角函数恒等变换
教学目标：1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式
2、能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
3、能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二
倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
高考链接：1、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换，对三角式进行简单的三角函数
化简、求值和证明
2、能联系平面向量、解三角形等知识结合解题
教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
教学难点：运用公式进行简单的三角恒等变换，对三角式进行简单的三角函数化简、求值和证明
教学方法：讲练结合、以练为主
教学设计：
一、高考通关
1、解答三角高考题的一般策略：
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”
（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系
（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化
2、三角函数恒等变形的基本策略：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
3、基本的技巧有 ：
（1）常值代换：特别是用“1”的代换 （2）项的分拆与角的配凑
（3）三角函数次数的降升 ，即二倍角公式的变形
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）
（5）引入辅助角 （6）公式变形使用
二、知识回顾
1、两角和、差角的余弦公式
2、两角和、差角的正弦公式
3、二倍角的正、余弦公式
4、两角和的正切公式
5、两角差的正切公式
6、二倍角的正切公式
7、合一变换 8、常用公式变形
三、典例分析
化简： βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2
222⋅-⋅+⋅ 四、高考仿真训练
1、求值：（1） 105sin 15sin 105cos 15cos -
（2）
15
sin 15cos 15sin 15cos +- 2、求函数x x y cos 3sin += )20(π≤≤x 的值域
3、化简：)3
2cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++ππ
π 4、已知171cos =α，51
47)cos(-=+βα，2,0πβα<<， 求βcos 的值
5、已知54)cos(=+βα，5
4)cos(-=-βα，且)2,47(ππβα∈+ ),4
3(ππβα∈-，求α2cos 五、课时小结
同学们在第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系. 高考对三角计算与恒等式部分的考查无论是填空题还是解答题中出现都是较容易的．主要有三方面：
（1）以填空形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；
（2）以填空形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；
（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
复习时要重视相关的思想方法与化简技能，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法、化归思想、换元思想、解方程思想等等．
六、课后作业 1、已知20πα<<，252cot 2tan =+α
α，求)3
sin(πα-的值。
2、若31)6sin(=-απ，则=+)232cos(απ 3、化简： 40cos 270tan 10sin 310cos 20
cot -+ 4、若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则=βαtan tan。