3.2.1几类不同增长的函数模型
高中新人教A版必修1数学课件 3.2.1 几类不同增长的函数模型1
• 【答案】 D
第六页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 4．已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1 个单位时，y的变化情况是________． • 【解析】 ∵[1－3(x＋1)]－(1－3x)＝－3 ， • ∴当x增加1个单位时，y减少3个单位． • 【答案】 减少3个单位
第七页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝ logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是____增_函_数___，但___增_长__速_度___不同 ，且不在同一个“档次”上．
• 2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)的增
长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度
•
(3)指数函数y＝ax(a＞1)模型，其增长迅速．
•
2．函数模型选取的择优意识
•
解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行
抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
第二十四页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 3．要注意化归思想和数形结合思想的运 用．
第二十五页，编辑于星期一：点 四十五分。
，而y＝logax(a>1)的增长速度则会_________． 越来越慢
•
3．存在一个x0，使得当x>x0时，有______lo_ga_x<_x_n<_ax．
第三页，编辑于星期一：点 四十五分。
• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) • (1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．( ) • (2)当x＞100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度 快．( ) • (3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a ＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型 ，也常称为“爆炸型”函数．( ) • 【答案】 (1)× (2)√ (3)√
几类不同增长的函数模型
人教A版必修一·新课标·数学
(3)由04.≤75xx≤－50.5x2－0.5≥0 或x1>25－0.25x≥0 得 0．1≤x≤5 或 5<x≤48，即 0.1≤x≤48. ∴产品年产量在 10 台到 4800 台时工厂不亏本．
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类型三
指数函数、对数函数模型应用题
●想一想：当0<a<1，n<0时，y＝ax，y＝xn，y＝logax为减函 数，其“衰减”速度如何？你能借助图象，类比分析吗？
提示：如下图所示：
对于函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)尽管都是 减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x 的增大，y＝ax(0<a<1)的衰减速度越来越慢，会远远小于y＝xn(n<0)的 衰减速度，而y＝logax(0<a<1)的衰减速度则越来越快，因此总会存在 一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.
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温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了正比例函 数(一次函数)．本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这 些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关 系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系．
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际 问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的 单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等 问题．
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热点提示 学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些 特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类 函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律．熟练掌握这一规律 后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.
人教版A版高中数学必修一_第3章_321几类不同增长的函数模型(有答案)
人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型3一、单选题1. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.乙比甲跑的路程多B.甲比乙先出发C.甲比乙先到达终点D.甲、乙两人的速度相同2. y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有（）A.y2>y1>y3B.y1>y2>y3C.y2>y3>y1D.y1>y3>y23. 有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是()A. B.C. D.4. 若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.5. 如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过年可增长到原来的倍，则函数的图象大致为() A. B. C. D.参考答案与试题解析人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型3一、单选题1.【答案】此题暂无答案【考点】在实三问葡中建湖三量函数模型函数根气居调与导数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质函表的透象对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理相验周数极差、使差与标香差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象指数表数层图象对数函数表础象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
3.2.1几类不同增长的函数模型
3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是() A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x答案 D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是() A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x答案 B解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只 答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300. 5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)．解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧30＝k ×80＋b 20＝k ×120＋b，解得k ＝－14，b ＝50， ∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)．三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快．。
3.2.1几类不同增长的函数模型(一)课件
(1) 0< x< 2或x>4时,
(2) 2< x < 4时,
log2 x x 2 ;
2 x
log 2 x 2 x .
x 2
3.2.1几类不同增长的函数模型
观察函数y = 2x 与 y=x2之间的增长情况 y 观察图象,试求出可使下 16 列不等式成立的x的取值 2 x x 2 范围.x 2 ; 2 x . (1)0<x<2或x>4时,
当 x >x0时,就会有
log a x a x .
x n
3.2.1几类不同增长的函数模型
你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？
奖励模型符合公司要求就是依据这个模 型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%.
因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个 函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到 初步的结论,再通过具体计算确认结果.
3.2.1几类不同增长的函数模型
3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0<a<1), y=ax(0<a<1)与幂函数y=xn(n<0)在区间(0,+∞)上 衰减情况吗? 结 论 : 在 区 间 (0,+∞) 上 , 尽 管 对 数 函 数 y=logax (0<a<1), y = ax (0<a<1)与y=xn (n<0) 都是减函数, 但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次” 上. 随着x的增大, y=log x (0<a<1)的衰减速度 a 越来越快,会超过并远远大于y = ax (0<a<1)的衰 减速度,而y=xn (n<0)的衰减速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0,
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
高一数学教案321几类不同增长的函数模型(人教A版
3.2.1几类不同增长的函数模型教案【教学目标】1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.【教学重难点】教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数变化剧烈。
（三）典型例题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映(2)你会选择哪种投资方案？思考：选择投资方案的依据是什么？反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.解析：我们可以先建立三种投资方案所对应的模型，在通过比较他们的增长情况，为选择方案的依据。
高一数学必修1课件：3.2.1 几类不同增长的函数模型
y=0.4×2x-1 (x∈N*)
第五页，编辑于星期日：二十二点 十七分。
(1)比较三种方案每天回报量：
x/天
方案一
y/元 增长量/元
方案二
y/元 增长量/元
方案三
y/元
增长量/元
1 40 0 10
0.4
2 40 0 20 10
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
高一年级数学 3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型 第一课时 线性函数、指数函数和
对数函数模型
湖南师大附中 彭萍
第一页，编辑于星期日：二十二点 十七分。
所谓“模型”，通俗的解释就是一种固定 的模式或类型,在现代社会中，我们经常 用函数模型来解决实际问题.那么，面对 一个实际问题，我们怎样选择一个恰当的 模型来刻画它呢？
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.4
51.2
…… … … …
…
…
30 40
0
300 10 214748364.8 107374182.4
方案一
方案二 方案三
天数
回报/元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
方案
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520
3.2.1第二课时_几类不同增长的函数模型
3.2.1第二课时。
几类不同增长的函数模型1、某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到( )A．300只 B．400只 C．500只D．600只2、马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( )A．1535.5元 B．1440元C．1620元D．1562.5元3、为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是( )4、某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10 m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为( ) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3D．26 m35．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x6、某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.711B.712C.127－1 D.117－17、假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A，那么广告效应D＝a A－A，当A ＝________时，取得最大值．8、将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．9、燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？10、众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润．生产成本(a 元)与饼干重量成正比，包装成本(b 元)与饼干重量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试写出该种饼干1000克装的合理售价．11、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？12、 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.13、 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a21x + b ，y = ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？。
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
3.2.1几类不同增长的函数模型
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长
差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函
数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛
应用．
情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其
在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆
炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：。
人教A版必修一3.2.1几类不同增长的函数模型
上升
上升
上升
增函数
增长速度
越来越慢 （3）存在一个x0，使得当x>x0时，有 logax<. xn<ax 。
D
Hale Waihona Puke A3.一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，若弹簧未达到 最大弹性限度，则弹簧伸长（ D ） （A）3 cm （B）5 cm （C）25 cm （D）30 cm
（1）计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ （2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
探究要点一：几种函数模型 一次函数型模型：f（x）=kx+b（k、b为常数，k≠0）； 二次函数型模型：f（x）=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）； 指数函数型模型：f（x）=abx+c（a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1）； 对数函数型模型：f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，a>0，a≠1）； 幂函数型模型：f（x）=axn+b（a、b、n为常数，a≠0，n≠1）. 探究要点二：几类函数模型的增长差异
4.已知放射性物质镭经过100年剩留原来的95.76%，则经过200年剩留原来的___________. 解析：设每年的衰减率为x，则（1－x） 100=95.76%， 令（1－x）200=y，将第一个式子两边平方 ， 得（1－x）200=y=（95.76%） 2≈0.9170=91.70%. 答案：91.70%
规律方法：指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考 查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型 表示，通常可以表示为y=N·（1+p）x（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的 形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.
几类不同增长的函数模型
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值， 列不等式求k的范围．
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m－ x 解：(1)由题意得 y＝ kx( ) m x ＝ kx(1－ )(0≤x<m)． m k k m km (2)y＝－ x2＋ kx＝－ (x－ )2＋ . 2 4 m m m km ∴当 x＝ 时， y 最大＝ ， 2 4 即鱼群年增长量的最大值为 km t. 4
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增 长．
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温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题， 如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值y， 可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示，解决平均增长率的问题，要用 到这个函数式．
＝13(1＋1%)3(亿)． ∴经过年数与(1＋1%)的指数相同， ∴经过x年人口数：13(1＋1%)x(亿)． ∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.
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(2)理论上指数函数定义域为R. ∵此问题以年作为单位时间，∴N*是此函数的定义域． (3)y＝f(x)＝13(1＋1%)x是指数函数， ∵1＋1%>1,13>0，
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际 问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的
单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等
问题．
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2 某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入) 为 0.5 万元， 但 每生产 100 台，需要追加可变成本(即另增加投入)0.25 万元．市场对 x2 此产品的年需求量为 500 台，销售收入的函数为 R(x) ＝ 5x － ( 万 2 元)(0≤x≤ 5)，其中 x 是年产量(单位：百台) ． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
高中数学必修一几类不同增长的函数模型 (2)
【知识点拨】 1.三类函数模型的增长差异 (1)对于幂函数y=xn,当x＞0，n＞0时，y=xn才是增函数，当n 越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数的递增前提是 a＞1，又它们的图象关 于y=x对称，从而可知，当a越大时，y=ax增长越快；当a越小 时，y=logax(a＞1)增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0,
【变式训练】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元， 一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和 为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本 息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到 大排列为( A.B,A,C C.A,B,C ) B.A,C,B D.C,A,B
确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型 .
【变式训练】若x∈(0,1)，试分析三个函数模型y=2x，
yx ，
1 2
y=lgx的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来
为______.
【解题指南】关键看在(0,1)上它们的大小关系，可借助中间
值“0”与“1”比较.
【解析】当x∈(0,1)时，2x＞1,1＞
【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二
次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数型函数是“爆炸
式”增长，不符合“增长越来越慢”，因此，只有对数型函
数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢 .
2.设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一 个单位时间里可制7张课桌或10把椅子， ∴制作100张课桌所需时间为函数 P x ＝100 ，制作200把椅子所需 时间为函数 Q x ＝
2 0.5ex0 2 x 0 1, 当x＞x0时,
高中数学几类不同增长的函数模型
3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼】三种函数模型的性质y=a x(a>1)y=log x(a>1)y=x n(n>0)a在(0,+∞)上增函数增函数 增函数的增减性______________图象的变化随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近随n 值而不同 趋势与 y 轴 平行 似与 x 轴平行②存在一个x0,当x>x0时,有x n a【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x<x n<a x成立?提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x<x n<a x成立.(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12B.(1.02)11C.(0.98)12D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异观察图形,回答下列问题:问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y22.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog a x+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2tB.v=tC.v=D.v=2t-2【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v==-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.经计算可知最接近的一个是选项C.类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)> g(6)>f(6).【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1) 呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2015)>g(2015).又因为g(2015)>g(8),所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系 .【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=l gx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1<1;由于f(10)=l g10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),根据图象,可知x2<10.2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.(2015·邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1<y2,所以应选择方案二处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.。
321《几类不同增长的函数模型》.docx
课题：§3.2.1儿类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对儿种常见增长类型的两 数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差界性；收集一些社会生活中普遍使用的函数 模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函 数、对数函数等函数与现实批界的密切联系及其在刻呦现实问题屮的作用. 教学重点：重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模 型的增长差界，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学程序与环节设计:选择变址、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论 模型，体会不同函数模型增长的含义及其差界.总结例题的探究方法，并进一步探索研究幕函数、指 数函数、对数函数的增反差异，形成结论性报告.师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求 解方法步骤. 强化基木方法，规范基木格式.收集一些社会住活■ I 噌遍使丿U 的函数模型, 模型的广泛应川.实际问题引入，激发学生兴趣.了解函数教学过程与操作设计:环节教学内容设计师生双边互动材料：澳大利亚兔了数“爆炸”师：指出：一般而言，在在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、理想条件（食物或养料充嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了足，空间条件充裕，气候创脑筋.1859年，冇人从欧洲带进澳洲儿只兔子，适宜，没有敌害等）下，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，利|群在一定时期内的增长设兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了大致符合“J”型曲线；在整个澳大利亚，数量达到75亿只.对爱的兔子变有限环境（空间有限，食情得可恶起来，75亿只兔了吃掉了相当于75亿只物有限，有捕食者存在等）羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊中,种群增长到一定程度境是澳人利亚的主要牲口.这使澳人利亚头痛不已，后不增长，曲线呈“S”他们采用各种方法消灭这些兔了，直至二十世纪型.可用指数函数描述一五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分Z个种群的前期增长，用对九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气. 数函数描述后期增长的例1.假设你有一•笔资金用于投资，现有三师：创设问题情境，以问种投资方案供你选择，这三种方案的冋报如下：题引入能激起学生的热方案一：每天冋报40元；情，使课堂里的有效思维方案二：笫一天回报10元，以后每天比前一天多回报1（）元；增强.方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回生：阅读题目，理解题意，组报比前•天翻•番. 思考探究问题.请问，你会选择哪种投资方案？师：引导学生分析本例中织探究：的数量关系，并思考应当1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函选择怎样的函数模型來描数描述这些数量关系？述.探究生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差界，特别是指数爆炸，说2）分析解答（略）出白己的发现，并进行交流.师：引导学生观察表格中3）根据例1表格中所提供的数据，你对三三种方案的数量变化情种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么况，对于“增加量”进行认识？比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等.环节教学内容设计师生双边互动组织探究4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势.生：对三种方案的不同变化趙势作出描述，并为方案选择捉供依据.师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每犬的收益，还要考虑一段时间内的总收益.生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出木全的完整解答，然后全班进行交流.例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到1（）万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润兀（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x y = log7 x + ly = 1.002、・问：其屮哪个模型能符合公司的要求？探究：1）本例涉及了哪儿类函数模型？本例的实质是什么？2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的彫响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况.生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异.师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模烈的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择.环节呈现教学材料师生互动设计组织探究3)通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答.生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合耍求.师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程.生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答.探究与发现幕函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幕函数y = x n (n > 0) >指数函数y = a ' (a>l)、对数函数y = log。
§3.2.1 几类不同增长的函数模型
第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 §3.2.1 几类不同增长的函数模型【学习目标】1.认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长。
2.应用函数模型解决简单问题。
【预习提纲】1.请你在同一直角坐标系中做出三个函数xy 2=，2x y =，x y 2log =的图象。
观察：在图中分别标出使不等式222log x x x<<，xx x 2log 22<<成立的自变量x 的取值范围。
我们知道，对数函数)1(log >=a x y a ，指数函数 与幂函数 在区间),0(+∞上都是增函数，这三类函数的增长有差异吗？结合上面的图像进行探究。
2.三个变量321,,y y y 随着变量x 的变化情况如下表：则与x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是（ ）A. 321,,y y yB. 312,,y y yC. 123,,y y yD. 213,,y y y3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时后，这种细菌可由1个分裂 成 。
yOx4.假设银行1年定期的年利率为%2。
某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01万元） 。
【例题精讲】例1. 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随x 的变化的函数式。
如果存入本金1000元，每期利率%25.2，试计算5期后的本利和是多少？例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的%25.现有三个奖励模型：xy x y x y 002.1,1log ,25.07=+==，其中哪个模型能符合公司的要求？【归纳点拨】 1.复利及应用复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。
3.2.1几类不同增长的函数模型(二)
例1 同一坐标系中，函数 y y＝x2＋7和y＝2x的图象 50 如图.试比较x2＋7与2x的
大小.
30 20 10 40
y＝x2＋7
y＝2x
5 10
O
x
例2 已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象 如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小. y
4
3
y＝x2
2 2 4
2
y log 2 x
6 8
O
-2
x
比较函数 y 2 , y x , y log 2 x y 的增长快慢.
x
2
你能分别求出使
log 2 x 2 x
x 2
8
6 4
y 2x
log 2 x x 2 2 x
成立的x的取值 范围吗？
y x
2 2 4
2
y log 2 x
A. 函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数 B. 函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数 C. 存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立 D. 存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立
Байду номын сангаас
练习
2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)， 下列说法正确的是 ( ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快 B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢
x
2
8
6 4 2
y 2x
O
-2
2
4
6
8
x
比较函数 y 2 , y x , y log 2 x y 的增长快慢.
x
2
8
6 4
y 2x
y x
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x 说明按模型y=log7x+1 奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.
3.2.1几类不同增长的函数模型
三个函数的图象如下
可以看到：在 区间 [10,1000]上 只有模型 y=log7x+1的 图象始终在 y=5的下方
数学问题的解
3.2.1几类不同增长的函数模型
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一 个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按 销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖 金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
3.2.1几类不同增长的函数模型
通过计算确认上述判断
对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增， 当x=20时， y=5 ，因此x∈(20,1000)时，y>5， 因此该模型不符合要求。
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计 算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 1.002x0 =5，由于它在[10,1000]上递增，因此 当x>x0时，y>5，因此该模型也不符合要求。
10元。函数关系为y=10x (x∈N*)； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天
翻一番。函数关系为y=0.4×2x-1 (x∈N*)。
3.2.1几类不同增长的函数模型
我们来计算三种方案所得回报的增长情况：
方案一
方案二
x/天 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元
1 40
10
2 40
累计回报表
天数 方案
1
2
3
4
5
6
78
9
10 11
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360
400
440
二
10 30 60 100 150 210 280 360 450
550
660
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
结 根投资据1以~6天上，分应析选,择你方认案一为；该投作资出7天何，种应选选择择方?案一或方案二；
论
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天(含11天)以上，应选择方案三。
3.2.1几类不同增长的函数模型
由例1得到 解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演 算
推 理
实际问题的解
还 原 检 验
3.2.1几类不同增长的函数模型
3.2.1
几类不同增长 的函数模型
3.2.1几类不同增长的函数模型
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供 你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？
3.2.1几类不同增长的函数模型
对于模型y=log7x+1
(1) 由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上 递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5, 所以它符合奖金不超过5万元的要求。
(2) 再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超 过利润的25%，即当x∈ [10,1000]时，是否有
25.6 51.2 … 107374182.4
三个函数的图象
3.2.1几类不同增长的函数模型
我们看到，底数 为2的指数函数 模型比线性函数 模型增长速度要 快得多.从中你 对“指数爆炸” 的含义有什么理 解？
3.2.1几类不同增长的函数模型
除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值.你能 把前11天回报的累积值算出来吗?
投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优.
(1)比较三种方案每天回报量； (2)比较三种方案一段时间内的累计回报量.
3.2.1几类不同增长的函数模型
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型， 再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。 解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元。函数关系为y=40 (x∈N*) ； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报
0
20
10
3 40
0
30
10
4 40
0
40
10
5 40
0
50
10
6 40
0
60
10
7 40
0
70
10
8 40
0
80
10
9 40
0
90
10
……
…
…
…30 400来自30010方案三
y/元
增长量/元
0.4
0.8
0.4
1.6
0.8
3.2
1.6
6.4
3.2
12.8
6.4
25.6
12.8
51.2 102.4
… 214748364.8
1.由表格数据观察三者的增长情况。
3.2.1几类不同增长的函数模型
函数 y=2x，y=x2，y=log2x的函数值表:
思考本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么?
本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数 模型,实质是比较三个函数的增长情况。
3.2.1几类不同增长的函数模型
思考 怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的 要求呢?
要求1：每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万 元。要求2：奖励比例不能超过25% 由于公司总的 利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会 超过公司总的利润。于是只需在区间[10,1000]上， 检验三个模型是否符合公司的要求即可。
y log7 x 1 0.25 成立。
x
x
3.2.1几类不同增长的函数模型
3.2.1几类不同增长的函数模型
令 f(x)= log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用计算机 作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此 f(x) ≤f(10) ≈-0.3167<0,
即 log7x+1<0.25x
3.2.1几类不同增长的函数模型
探究：
y kx(k 0), y ax (a 1), y loga x(a 1), y xn (n 0)
函数在（ 0，+∞）上的增长情况。
3.2.1几类不同增长的函数模型
以三个函数为例探究三类函数的增长差异：
y 2 x , y x2 , y log 2 x