山东省泰安市宁阳四中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年山东省泰安市宁阳四中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是（）A．B．C．4D．92．（5分）化简的结果是（）A．a B．C．a2D．3．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2} 4．（5分）化简﹣得（）A．6B．2x C．6或﹣2x D．6或2x或﹣2x5．（5分）设集合M={x|x=，k∈Z}，集合N={x|x=，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊊N C．M⊋N D．M⊇N6．（5分）函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=3ax﹣1在[0，1]的最大值是（）A．6B．1C．5D．7．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，9]B．（0，27]C．（0，9]D．（﹣∞，27]8．（5分）已知a＞0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（）A．y=log a x与y=（log x a）﹣1B．y=alog a x与y=xC．y=2x与y=log a a2x D．y=log a x2与y=2log a x9．（5分）偶函数y=f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（）A．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C． f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）10．（5分）函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上）11．（5分）已知log32=a，log37=b，则log27=．12．（5分）已知对数函数f（x）过点（4，2），则f（8）=．13．（5分）某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为．14．（5分）若集合M=﹛2，lg a﹜，则实数a的取值范围是．15．（5分）下列命题中所有正确的序号是．①函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0且a≠1）的图象一定过定点P（1，4）；②已知x=log23，4y=，则x+2y的值为3；③f（x）=﹣为奇函数．④已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为1或﹣1．三、解答题：（本题共6个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）已知指数函数f（x）=（3m2﹣7m+3）m x是减函数，求实数m的值．17．（10分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x，2≤x＜3}：分别求：（1）A∩B；（2）∁R B∪A．18．比较下列各题中值的大小：（1）0.8﹣0.1，0.8﹣0.2（2）1.70.3，0.93. 1（3）a1.3，a2.5（4）P=log45，Q=log32，T=log20.3．19．（12分）计算：（1）（2a﹣3b）•（﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4b）；（2）lg14﹣2lg+lg7﹣lg18．20．（10分）已知﹣1≤x≤0，求函数y=2x+2﹣3•4x的最大值和最小值．21．（15分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．2014-2015学年山东省泰安市宁阳四中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是（）A．B．C．4D．9考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数，先求f（）的值，然后求f[f（）]的值即可．解答：解：由分段函数可知f（）=，所以f[f（）]=f（﹣2）=．故选A．点评：本题主要考查分段函数的应用，以及指数函数和对数函数的求值问题，比较基础．2．（5分）化简的结果是（）A．a B．C．a2D．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：变根式为分数指数幂，由内向外逐次脱掉根式．解答：解：．故选B．点评：本题考查有理指数幂的化简求值，解答的关键是化根式为分数指数幂，是基础题．3．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．解答：解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．点评：此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．4．（5分）化简﹣得（）A．6B．2x C．6或﹣2x D．6或2x或﹣2x考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化简﹣=|x+3|﹣（x﹣3）=．解答：解：﹣=|x+3|﹣（x﹣3）=，故选C．点评：本题考查了指数幂的化简与运算，属于基础题．5．（5分）设集合M={x|x=，k∈Z}，集合N={x|x=，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊊N C．M⊋N D．M⊇N考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据集合N={x|x=，k∈Z}，分当k=2m（为偶数）时，和当k=2m﹣1（为奇数）时，两种情况分析集合M，N的关系，进而根据集合包含的定义，得到答案．解答：解：当k=2m（为偶数）时，N={x|x=，k∈Z}={x|x=+，m∈Z}，当k=2m﹣1（为奇数）时，N={x|x=，k∈Z}={x|x=+，m∈Z}=M，∴M⊊N，故选：B点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用，难度不大，属于基础题．6．（5分）函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=3ax﹣1在[0，1]的最大值是（）A．6B．1C．5D．考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=a x在[0，1]上为单调减函数，根据函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a②a＞1，函数y=a x在[0，1]上为单调增函数，根据函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a，最后代入函数y=3ax﹣1，即可求出函数y=3ax﹣1在[0，1]上的最大值．解答：解：①当0＜a＜1时函数y=a x在[0，1]上为单调减函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2（舍）②当a＞1时函数y=a x在[0，1]上为单调增函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2∴函数y=3ax﹣1=6x﹣1在[0，1]上的最大值是5故选C点评：本题考查了函数最值的应用，但阶梯的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．7．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，9]B．（0，27]C．（0，9]D．（﹣∞，27]考点：对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由二次根式的定义可知3﹣log3x≥0，结合对数函数的性质可推导出函数的定义域．解答：解：由题设条件知3﹣log3x≥0解得0＜x≤27．∴函数的定义域为{x|0＜x≤27}．故选B．点评：本题考查对数函数的特点，解题时要注意等于0的情况，属于基础题．8．（5分）已知a＞0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（）A．y=log a x与y=（log x a）﹣1B．y=alog a x与y=xC．y=2x与y=log a a2x D．y=log a x2与y=2log a x考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的定义域是否相同，对应法则是否相同，即可判断是否是相同的函数．解答：解：选项A中函数y=log a x的定义域为（0，+∞），函数y=（log x a）﹣1的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故A错；选项B中函数y=alog a x的定义域为（0，+∞），函数y=x的定义域为R，故B错；选项C中的函数y=log a a2x可化为y=2x，且定义域相同，故C正确；选项D中函数y=log a x2定义域为{x|x≠0}，函数y=2log a x的定义域为（0，+∞），故D错．所以正确答案为C．故选：C点评：本题考查函数的基本知识，两个函数相同的判断方法．9．（5分）偶函数y=f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（）A．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C． f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：由函数y=f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），从而有f（﹣1）=f（1），f（﹣π）=f（π），结合函数y=f（x）在[0，4]上的单调性可比较大小解答：解：∵函数y=f（x）为偶函数，且在[0，4]上单调递减∴f（﹣x）=f（x）∴f（﹣1）=f（1），f（﹣π）=f（π）∵1＜＜π∈[0，4]f（1）＞f（）＞f（π）即f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）故选A点评：本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的综合应用，解题的关键是由偶函数把所要比较的式子转化为同一单调区间上可进行比较10．（5分）函数f（x）=ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：研究函数性质，选择与之匹配的选项．解答：解：因为定义域为R，且f（﹣x）=f（x），所以函数为偶函数，排除C项；又f（0）=ln2＞0，排除A、B两项；只有D项与之相符．故选：D．点评：本题考查了函数的性质与识图能力，属基础题，一般先观察四个选项的不同，再差别函数对应的性质，即得正确选项．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上）11．（5分）已知log32=a，log37=b，则log27=．考点：换底公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用换底公式化简所求表达式，即可得到结果．解答：解：因为log32=a，log37=b，所以log27==．故答案为：．点评：不通过考查换底公式的应用，基本知识的考查．12．（5分）已知对数函数f（x）过点（4，2），则f（8）=3．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由对数的性质推导出f（x）=log2x，由此能求出f（8）=log28=3．解答：解：∵对数函数f（x）=log a x过点（4，2），∴log a4=2，解得a=2，∴f（x）=log2x，∴f（8）=log28=3．故答案为：3．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．13．（5分）某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出现在的成本是x元，根据题意列出方程，求出x即可．解答：解：设现在的成本是x元，根据题意得；x（1﹣p%）3=a∴x=故答案为；．点评：本题考查了指数函数模型的应用问题，解题时应根据题意，建立函数模型，求出答案来，是基础题．14．（5分）若集合M=﹛2，lg a﹜，则实数a的取值范围是a≠100．考点：集合的确定性、互异性、无序性．专题：集合．分析：根据集合中的元素的互异性可得．解答：解：由于集合M=﹛2，lg a﹜，所以2≠lga，∴a≠100．故答案为：a≠100．点评：本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．15．（5分）下列命题中所有正确的序号是①②③．①函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0且a≠1）的图象一定过定点P（1，4）；②已知x=log23，4y=，则x+2y的值为3；③f（x）=﹣为奇函数．④已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为1或﹣1．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；集合；简易逻辑．分析：①指数函数y=a x（a＞0且a≠1）过（0，1）平移得到，②将4y=化为对数，统一形式，利用对数运算性质求解，③利用奇函数的定义先判断定义域是否关于原点对称，然后判断f（﹣x）=f（x），④A∪B=A得B⊆A，漏掉了B=∅的情况．解答：解：①指数函数y=a x（a＞0且a≠1）过（0，1），则令x﹣1=0，a x﹣1+3=4，函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0且a≠1）的图象一定过定点P（1，4），①正确；②4y=⇒y=log2（），则x+2y=log23+2log2（）=log28=3，②正确；③函数有意义则1﹣2x≠0，函数定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（x）=﹣=，f（﹣x）===﹣f（x）为奇函数，③正确；④由A∪B=A得B⊆A，B=∅，{﹣1}或{1}，④错误．故答案为：①②③点评：本题①②考查指数，对数的定义和性质，③考察奇函数的定义，④考察集合的包含关系，易错点是④中忽略∅．三、解答题：（本题共6个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）已知指数函数f（x）=（3m2﹣7m+3）m x是减函数，求实数m的值．考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：由指数函数的概念得3m﹣7m+3=1，求出m的值，再由指数函数的单调性和f（x）是减函数，对m的值进行取舍．解答：解：由题意得，得3m﹣7m+3=1，解得m=或m=2，又f（x）是减函数，则0＜m＜1，所以m=．点评：本题考查指数函数的概念，以及指数函数的单调性，属于基础题．17．（10分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x，2≤x＜3}：分别求：（1）A∩B；（2）∁R B∪A．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由指数函数的性质求出集合B，由补集的运算求出∁R B，（1）由题意和交集的运算求出A∩B；（2）由并集的运算求出∁R B∪A．解答：解：由2≤x＜3的，4≤2x＜8，则集合B=[4，8），所以∁R B=（﹣∞，4）∪[8，+∞），（1）集合A={x|3≤x＜6}=[4，6），所以A∩B=[4，6）；（2）集合A={x|3≤x＜6}=[4，6），所以∁R B∪A=（﹣∞，6）∪[8，+∞）．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．18．比较下列各题中值的大小：（1）0.8﹣0.1，0.8﹣0.2（2）1.70.3，0.93.1（3）a1.3，a2.5（4）P=log45，Q=log32，T=log20.3．考点：对数值大小的比较；不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：（1）考察指数函数y=0.8x在R上的单调递减，即可得出；（2）由于1.70.3＞1，0.93.1＜1，即可得出；（3）对a分类讨论，利用指数函数的单调性即可得出；（4）由于P=log45＞1，0＜Q=log32＜1，T=log20.3＜0．即可得出．解答：解：（1）考察指数函数y=0.8x在R上的单调递减，可得0.8﹣0.1＞0.8﹣0.2；（2）∵1.70.3＞1，0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1；（3）当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5；当a＞1时，a1.3＜a2.5；（（4）∵P=log45＞1，0＜Q=log32＜1，T=log20.3＜0．∴P＞Q＞T．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．19．（12分）计算：（1）（2a﹣3b）•（﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4b）；（2）lg14﹣2lg+lg7﹣lg18．考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则即可得出．解答：解：（1）原式=a﹣3﹣1﹣（﹣4）=．（2）原式==lg1=0．点评：本题考查了指数幂与对数的运算法则，属于基础题．20．（10分）已知﹣1≤x≤0，求函数y=2x+2﹣3•4x的最大值和最小值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：先化简，然后利用换元法令t=2x根据变量x的范围求出t的范围，将原函数转化成关于t的二次函数，最后根据二次函数的性质求在闭区间上的最值即可．解答：解：令y=2x+2﹣3•4x=﹣3•（2x）2+4•2x（3分）令t=2x，则y=﹣3t2+4t=（6分）∵﹣1≤x≤0，∴（8分）又∵对称轴，∴当，即（10分）当t=1即x=0时，y min=1（12分）点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用换元法转化成二次函数求解值域的问题，属于基础题．21．（15分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=﹣f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；（Ⅱ）设x1＜x2然后确定f（x1）﹣f（x2）的符号，根据单调函数的定义得到函数f（x）的单调性；（III）结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即⇒b=1，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．。