高中数学人教A版选修2-2课件：1.1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念
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数学：1.1.1《变化率与导数》课件(新人教A版选修2-2)
4.9t 13.1
一个稳定值 13.1 h h(2 t ) h(2) lim lim t 0 用右式表示 t 0 t t lim (4.9t 13.1)
t 0
13.1
h t
h lim t 0 t
v(2)
体现了什么数学思想？
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t
结论：
当t 0时, v h t
h(2 t ) h(2) t
数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
y f 2 lim lim (x 3) 3 x 0 x x 0
'
f 2 为原油温度在t =2时的瞬时变化率,
'
反映了原油温度在t =2时附近的变化情况.
【例3】 求函数y x 5 x在x 3处的导数.
2
【点评】根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x0处的导
【平均变化率的几何意义】
y y=f(x)
f(x2) △ y =f(x2)-f(x1)
割线AB 的斜率
直线 AB 的斜率 f(x1) O △ x= x2-x1 x1 x2 x
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9时, 求△x和 △ y.
解 △x＝1.9－２＝0.1
△y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
或 y | x x0 , 即
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
第一章 导数及其应用
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
课前探究学习
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活页规范训练
误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
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活页规范训练
Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
活页规范训练
题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
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1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
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【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
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误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
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Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
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题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
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高中数学人教A版选修2-2(同步课件)：1.1 变化率与导数1.1.1-1.1.2
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 A.1 C.2
(1)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的 B.－1 D.－2
平均变化率等于( B )
解析
Δy f3－f1 由图知， 函数 y＝f(x)在 A， B 两点间的平均变化率为 ＝ Δx 3－1
Δy fx2－fx1 则平均变化率 Δx＝ 表示割线P1P2的 斜率 . x2－x1
答案
知识点二 瞬时速度
思考1
Hale Waihona Puke 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段
时间内的平均速度.
Δs 答 Δs＝5(1＋Δt) －5＝10Δt＋5(Δt) ， v ＝ ＝10＋5Δt. Δt
答案
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δy fx2－fx1 (1)定义式：Δx＝ . x2－x1
(2)实质： 函数值 的增量与 自变量 增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，
2 2
思考2
当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一
速度？
答
Δs 当Δt趋近于0时， 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度. Δt
答案
瞬时速度
(1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度.
(2)一般地，设物体的运动规律是 s＝s(t)，则物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内 Δs st0＋Δt－st0 Δs 的平均速度为 Δt ＝ . 如果 Δ t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 Δt Δt Δs 极限 是 v，这时 v 就是物体 某个常数 v，我们就说当 Δt 趋近于 0 时，Δt 的_____ st0＋Δt－st0 Δs 在时刻 t＝t0 时的瞬时速度，即瞬时速度 v＝ lim ＝ lim . Δt Δx→0 Δt Δx→0
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 A.1 C.2
(1)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的 B.－1 D.－2
平均变化率等于( B )
解析
Δy f3－f1 由图知， 函数 y＝f(x)在 A， B 两点间的平均变化率为 ＝ Δx 3－1
Δy fx2－fx1 则平均变化率 Δx＝ 表示割线P1P2的 斜率 . x2－x1
答案
知识点二 瞬时速度
思考1
Hale Waihona Puke 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段
时间内的平均速度.
Δs 答 Δs＝5(1＋Δt) －5＝10Δt＋5(Δt) ， v ＝ ＝10＋5Δt. Δt
答案
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δy fx2－fx1 (1)定义式：Δx＝ . x2－x1
(2)实质： 函数值 的增量与 自变量 增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，
2 2
思考2
当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一
速度？
答
Δs 当Δt趋近于0时， 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度. Δt
答案
瞬时速度
(1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度.
(2)一般地，设物体的运动规律是 s＝s(t)，则物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内 Δs st0＋Δt－st0 Δs 的平均速度为 Δt ＝ . 如果 Δ t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 Δt Δt Δs 极限 是 v，这时 v 就是物体 某个常数 v，我们就说当 Δt 趋近于 0 时，Δt 的_____ st0＋Δt－st0 Δs 在时刻 t＝t0 时的瞬时速度，即瞬时速度 v＝ lim ＝ lim . Δt Δx→0 Δt Δx→0
高中数学人教A版选修2-2(同步课件)：1-1 变化率与导数1-1-3
2
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).
解析答案
规律与方法
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的
fx0＋Δx－fx0 斜率，即 k＝ lim →
Δx 0
Δx
＝f′(x0)
，物理意义是运动物体在某一时刻
的瞬时速度. 2.“ 函数 f(x) 在点 x0 处的导数 ” 是一个数值，不是变数， “ 导函 数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0) 是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
解析答案
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
反思与感
解析答案
跟踪训练1
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方
程.
解析答案
类型二 求切点坐标
例2
标.
已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐
(1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x－y－2＝0； (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
f2－f1 ∵k3＝ 表示割线 AB 的斜率， 2－1
∴k 1 > k 3 > k 2 .
解析答案
2 3 (2)设点P是曲线 y＝x － 3x＋ 3
上的任意一点， P 点处的
切线倾斜角为α，则α的取值范围为________.
反思与感
解析答案
跟踪训练3
(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， )
反思与感
解析答案
跟踪训练2 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相 切，求a的值及切点坐标.
解析答案
类型三 导数几何意义的应用 例3 (1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).
解析答案
规律与方法
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的
fx0＋Δx－fx0 斜率，即 k＝ lim →
Δx 0
Δx
＝f′(x0)
，物理意义是运动物体在某一时刻
的瞬时速度. 2.“ 函数 f(x) 在点 x0 处的导数 ” 是一个数值，不是变数， “ 导函 数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0) 是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
解析答案
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
反思与感
解析答案
跟踪训练1
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方
程.
解析答案
类型二 求切点坐标
例2
标.
已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐
(1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x－y－2＝0； (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
f2－f1 ∵k3＝ 表示割线 AB 的斜率， 2－1
∴k 1 > k 3 > k 2 .
解析答案
2 3 (2)设点P是曲线 y＝x － 3x＋ 3
上的任意一点， P 点处的
切线倾斜角为α，则α的取值范围为________.
反思与感
解析答案
跟踪训练3
(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， )
反思与感
解析答案
跟踪训练2 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相 切，求a的值及切点坐标.
解析答案
类型三 导数几何意义的应用 例3 (1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如
(人教A版)数学【选修2-2】1-1-1《变化率问题》ppt课件
势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间
[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，
π 2
]上的平均变化率为
sinπ2π2－ －s0in0＝2π.
在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也 可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 求函数的平均变化率
(3)平均变化率的几何意义是函数 y＝f(x)图象上两点 P1(x1， f(x1))，P2(x2，f(x2))所在直线的斜率；
(4)平均变化率的物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数 s ＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 v ＝st2t2－－ts1t1.
随堂训练
1.一物体的运动方程是 s＝2t2，则从 2 s 到 3 s 这段时间内路
误区警示 本题1不要认为 t＝0 时，S＝0.所以初速度是零.
二 平均变化率的快慢比较
【例 2】 求正弦函数 y＝sinx 在 0 到6π之间及π3到2π之间的 平均变化率．并比较大小．
【分析】 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变 化率，再比较大小．
【解】 设 y＝sinx 在 0 到6π之间的变化率为 k1，则
2．求平均变化率的步骤 求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
3．对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋
【例1】 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S ＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度．
高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：111_2变化率问题导数的概念
)
解析
Δy （1＋Δx）2＋1－（12＋1） ＝ ＝2＋Δx. Δx Δx
答案 C
4.函数f(x)＝1在x＝2处的导数等于________.
解析
答案
f（x）－f（2） 1－1 f′(2)＝ lim ＝ lim ＝0. x － 2 x － 2 x2 x2
0
类型一
平均变化率
【例1】 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从x＝1到x＝1＋Δ x的平均变化率，其中Δ x的值为①2；② 1；③0.1；④0.01； (2)根据(1)中的计算，当|Δ x|越来越小时，函数h(x)在区间[1，1
解 (1)∵物体在 t∈[3，5]内的时间变化量为 Δ t＝5－3＝2， 物体在 t∈[3，5]内的位移变化量为 Δ s＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， Δ s 48 ∴物体在 t∈[3，5]上的平均速度为 ＝ 2 ＝24(m/s). Δt
(2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t＝0 时的瞬时速度. Δ s s（0＋Δ t）－s（0） ∵物体在 t＝0 附近的平均变化率为 ＝ Δt Δt 29＋3[（0＋Δ t）－3]2－29－3（0－3）2 ＝ ＝3Δ t－18， Δt Δs ∴当Δ t 趋于 0 时， 趋于－18， Δt ∴物体在 t＝0 处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.
即 时 自 测
1.思考题
(1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？当Δ x＝0.000 01 Δy 时， 等于多少？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？ Δx
提示 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度 h(单位：m) 与起跳后的时间 t(单位： s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 65 h49－h（0） 65 － 易知 h49＝h(0)，v ＝ ＝0， 65 49－0 而运动员依然是运动状态. Δy ＝－4.9Δ x－3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时 Δx 候平均速度约等于一个常数，这个常数就是 x＝1 这一时刻的速 度.
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课件：1.1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念
“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直 Δy 位移与水平位移之比 越大，山路越陡；反之，山路越缓． Δx Δy 问题 5：从 A 到 B 与从 A 到 C，两者 相同吗？ Δx
提示：不相同．
[导入新知]
1．函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，给定自变量的两个值 x1 和 x2，当自变 量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，我们把式子 fx2－fx1 x2－x1 _______________ 称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率． 习惯上用 Δx 表示 x2－x1，即 Δx＝ x2－x1 ，可把 Δx 看作 是相对于 x1 的一个“增量”，可用 x1＋Δx 代替 x2；类似地， Δy Δx Δy＝ f(x2)－f(x1) ．于是，平均变化率可表示为_____.
[化解疑难]
导数概念的解读 (1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0 处及其附近的函数值有关，与Δx无关． (2) f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数 fx0＋Δx－fx0 Δy 与 无限接近．如果当Δx→0时， lim 不 Δx Δ x Δx→0 存在，则称函数f(x)在x＝x0处不可导．
[类题通法] 求瞬时速度的步骤 (1)求位移增量，Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； Δs (2)求平均速度，v＝ ； Δt
－
st0＋Δt－st0 Δs (3)取极限，Δ lim ＝Δ lim ； x→0 Δt t→0 Δt Δs (4)若极限存在，则t0时刻的瞬时速度为v＝Δ lim . t→0 Δt
解：对于图①，Δh＝h(3)－h(0)＝10－0＝10， Δh 10 10 10 ∴ ＝ ＝ ，即平均变化率为 .同理可以算得图 Δt 3－0 3 3 10 ②、图③中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为 . 3
提示：不相同．
[导入新知]
1．函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，给定自变量的两个值 x1 和 x2，当自变 量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，我们把式子 fx2－fx1 x2－x1 _______________ 称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率． 习惯上用 Δx 表示 x2－x1，即 Δx＝ x2－x1 ，可把 Δx 看作 是相对于 x1 的一个“增量”，可用 x1＋Δx 代替 x2；类似地， Δy Δx Δy＝ f(x2)－f(x1) ．于是，平均变化率可表示为_____.
[化解疑难]
导数概念的解读 (1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0 处及其附近的函数值有关，与Δx无关． (2) f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数 fx0＋Δx－fx0 Δy 与 无限接近．如果当Δx→0时， lim 不 Δx Δ x Δx→0 存在，则称函数f(x)在x＝x0处不可导．
[类题通法] 求瞬时速度的步骤 (1)求位移增量，Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； Δs (2)求平均速度，v＝ ； Δt
－
st0＋Δt－st0 Δs (3)取极限，Δ lim ＝Δ lim ； x→0 Δt t→0 Δt Δs (4)若极限存在，则t0时刻的瞬时速度为v＝Δ lim . t→0 Δt
解：对于图①，Δh＝h(3)－h(0)＝10－0＝10， Δh 10 10 10 ∴ ＝ ＝ ，即平均变化率为 .同理可以算得图 Δt 3－0 3 3 10 ②、图③中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为 . 3
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题型一题型二题型三题四题型一题型二
题型三
反思求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄 清自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy,求平均变化率的主要步 骤是:
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
2.导数的概念
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) , 我们称它为函数������ Δ������ Δ������ →0
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim Δ������ = Δ������ →0 = ������ (������)在������ =
lim
3.如果函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增(或减)函数,那么函数f(x)在 任意闭区间[x1,x2]上的平均变化率的值的正负如何? 剖析:如果函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增(或减)函数,那么函数f(x) 在任意区间[x1,x2]上的平均变化率为正(或负)数;反之,如果函数f(x) 在任意区间[x1,x2]上的平均变化率为正(或负)数,那么f(x)在区间(∞,+∞)内也一定是增(或减)函数.
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
反思求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度,很容易误认为 v0=0,有些函数解析式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直 线运动.
������y
������x →0 ������x
【做一做1-1】 设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数 值的改变量Δy为( )
高二数学人教A版选修2-2课件：1.1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念
Δ ������→0
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一、求函数的平均变化率
1.对平均变化率的四点说明
(1)函数f(x)在x1处有定义. (2)Δx为自变量的改变量,所以Δx≠0,可正、可负.
Δy为函数值的改变量,所以Δy可正、可负、可为零,即Δy∈R.
(3)注意自变量与函数值的对应关系.公式中Δx=x2-x1,则
目标导航
预的定义 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 处的导数.
lim
Δ ������ →0
������ ������
=
Δl���i���m →0称������它(������为0函+数ΔΔy=������������f()x-)���在���(x���=���0x0)
������ +2
化率.
思路分析:按照平均变化率的定义分三步求得平均变化率的值或表达式.
解:f(x)= 1 在区间[-1,0]上的平均变化率为
������ +2
������ = ������(0)-������(-1) = 12-1=-1;
Δ ������
0-(-1)
12
f(x)= 1 在区间[1,3]上的平均变化率为
Δ ������
Δ ������
因此 lim ������s
Δ ������→0 ������t
=
������������������ (4a+aΔt)=4a,
������t →0
依题意有 4a=12,∴a=3.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一、求函数的平均变化率
1.对平均变化率的四点说明
(1)函数f(x)在x1处有定义. (2)Δx为自变量的改变量,所以Δx≠0,可正、可负.
Δy为函数值的改变量,所以Δy可正、可负、可为零,即Δy∈R.
(3)注意自变量与函数值的对应关系.公式中Δx=x2-x1,则
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预的定义 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 处的导数.
lim
Δ ������ →0
������ ������
=
Δl���i���m →0称������它(������为0函+数ΔΔy=������������f()x-)���在���(x���=���0x0)
������ +2
化率.
思路分析:按照平均变化率的定义分三步求得平均变化率的值或表达式.
解:f(x)= 1 在区间[-1,0]上的平均变化率为
������ +2
������ = ������(0)-������(-1) = 12-1=-1;
Δ ������
0-(-1)
12
f(x)= 1 在区间[1,3]上的平均变化率为
Δ ������
Δ ������
因此 lim ������s
Δ ������→0 ������t
=
������������������ (4a+aΔt)=4a,
������t →0
依题意有 4a=12,∴a=3.
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2018年数学(人教版选修2-2)课件：1-1-1、1-1-2 变化率问题 导数的概念
fx2－fx1 fx3－fx2 [x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为： ， ， x2－x1 x 3 －x 2 fx4－fx3 ， 结合图象可以发现函数 y＝f(x)的平均变化率最大的一 x4－x3 个区间是[x3，x4]． 答案：[x3，x4]
对平均变化率的三点说明
x2－x1 习惯上用 Δx 表示 x2－x1， 即 Δx＝________. 可把 Δx 看做是相
对于 x1 的一个“增量”，可用 x1 ＋ Δx 代替 x2. 类似地， Δy ＝ Δy f ( x ) － f ( x ) 2 1 ___________ ．于是，平均变化率可表示为 . Δx (2)函数平均变化率的几何意义 已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数 y＝f(x)的图象上两点， Δy fx2－fx1 斜率 则平均变化率Δx＝ 表示割线 P1P2 的______Байду номын сангаас_ ． x 2 －x 1
2．瞬时速度、导数的概念 (1)瞬时速度
某一时刻 ①物体在__________ 的速度称为瞬时速度．
②一般地， 设物体的运动规律是 s＝s(t)， 则物体在 t0 到 t0＋Δt Δs st0＋Δt－st0 这段时间内的平均速度为 Δt ＝ .如果 Δt 无限趋近于 Δt Δs Δs 0 时，Δt 无限趋近于某个常数 v， 我们就说当 Δt 趋向于 0 时，Δt 的
(1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线 y＝f(x)在区间 [x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的 “直观化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数 y＝f(x)图象上两点 P1(x1， f(x1))，P2(x2，f(x2))所在直线(即割线)的斜率．
对平均变化率的三点说明
x2－x1 习惯上用 Δx 表示 x2－x1， 即 Δx＝________. 可把 Δx 看做是相
对于 x1 的一个“增量”，可用 x1 ＋ Δx 代替 x2. 类似地， Δy ＝ Δy f ( x ) － f ( x ) 2 1 ___________ ．于是，平均变化率可表示为 . Δx (2)函数平均变化率的几何意义 已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数 y＝f(x)的图象上两点， Δy fx2－fx1 斜率 则平均变化率Δx＝ 表示割线 P1P2 的______Байду номын сангаас_ ． x 2 －x 1
2．瞬时速度、导数的概念 (1)瞬时速度
某一时刻 ①物体在__________ 的速度称为瞬时速度．
②一般地， 设物体的运动规律是 s＝s(t)， 则物体在 t0 到 t0＋Δt Δs st0＋Δt－st0 这段时间内的平均速度为 Δt ＝ .如果 Δt 无限趋近于 Δt Δs Δs 0 时，Δt 无限趋近于某个常数 v， 我们就说当 Δt 趋向于 0 时，Δt 的
(1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线 y＝f(x)在区间 [x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的 “直观化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数 y＝f(x)图象上两点 P1(x1， f(x1))，P2(x2，f(x2))所在直线(即割线)的斜率．
数学：1.1.1《变化率问题》课件(新人教a版选修2-2)
身高 2.26 2.12
姚明身高变化曲线图(部分)
●
● ●
1.61
● ●
●
0.8
●
●
●
4
7
10
13
16
19
22
年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是 V r r , 3
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
y f ( x2 ) f ( x1 ) (2)计算平均变化率： x x2 x1
很多想买办公家具厂及办公家具公司为了迎合美观的客户弄出来很多促销的办公家具，有的甚者美观性都超出了实用性，使得办公家具的实用性 降低，作为购买者，一定要把握好实用性这个标准。 办公家具公司 / 办公家具公司 jzh30kbe
在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
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65 探究 计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
思考 观察函数 f x 的图象图1.1.1, 平均 变化率 y f x2 f x1 x x2 x1 表示什么?
直线AB的斜率
B A
f x2 f x1
x 2 x1
O
x1
x2
x
1[1].1.1-2变化率问题及导数的概念 同步课件(人教A版选修2-2)
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1.1.1~1.1.2
跟踪训练1
(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均
变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)思考：当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的
本 课 时 栏 目 开 关
平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12
1.1.1~1.1.2
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时
本 课 时 栏 目 开 关
变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0＋ ①瞬时速度： 瞬时 Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的 物体在某一 变化 fx0＋Δx－fx0 时刻的速度； lim 率 极限，即 Δ Δx x→0 ________________ ＝ ②切线斜率 Δy lim Δx→0 Δx
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 fx0＋Δx－fx0 Δy lim ＝ lim ， Δx Δx→0 Δx→0Δx 我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x ，即
0
fx0＋Δx－fx0 Δy f′(x0)＝ lim ＝ lim . Δx Δx→0 Δx→0Δx
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.1.1~1.1.2
1．函数的变化率
本 课 时 栏 目 开 关
定义 函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变 平均
实例 ①平均速度；
fx2－fx1 变化 x2－x1 ，简记作： ② 曲 线 割 线 化率为___________ 率 Δy 的斜率 Δx
填一填· 知识要点、记下疑难点
由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运 动的快慢．