2020版新设计一轮复习数学(文)江苏专版讲义：第二章第四节函数的图象含答案

合集下载

(课标通用)2020版高考数学大一轮复习第二章4第四节函数的图象课件理

函数图象的识辨
典例2 (1)(2018课标全国Ⅲ,7,5分)函数y=-x +x +2的图象大致为(
4 2
D
)
ax b (2)函数f(x)= 2 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ( x c)
C
)
A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0
B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
( )
1 2.函数f(x)= -x的图象关于 ( x
C
)
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称
答案 C
D.直线y=x对称
1 ∵f(x)= -x是奇函数, x
∴图象关于原点对称.
3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑
y=f(x) y =⑩ f(|x|) ;
y=f(x)
y=
|f(x)| .
3.函数图象的对称性
(1)函数图象自身的轴对称 ①f(-x)=f(x)⇔y=f(x)的图象关于y轴对称; ②函数y=f(x)的图象关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)= f(2a+x);
由题中图象可知-c=xP>0,即c<0,排除B.
b b 令f(x)=0,可得x=- ,则xN=- , a a b <0.所以a,b异号,排除A,D.故选C. 又xN>0,则 a
规律总结
已知函数解析式判断函数图象的方法 (1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置; (2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势;

苏教版高考总复习一轮数学精品课件主题二函数第四章第四节三次函数的图象与性质

[解析]′ = − − + − − ，由题意得
− − ⋅ + − − ≥ 恒成立，∴ = −

− ൫
− − ൯ = − + − + + = ( − + ) ≤ ，
主题二函数
第四章一元函数的导数及其应用
第四节三次函数的图象与性质
1
1 强基础知识回归
2
2 研考点题型突破
课 1.借助一元三次函数了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性.
标 2.能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
解 3.借助导数，会求闭区间上一元三次函数的最大值与最小值，体会导数与单调性、极
1 , 2
增区间为____________
____；减区间为______
−∞, 1 2 , +∞
____________
_______
1 ，2
三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个.
无增区间；减区
−∞, +∞
间为__________
无
____
4.奇偶性
==0
（1）不可能为偶函数；（2）当且仅当__________时是奇函数.
涉及求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数范围等问题.
题型二三次函数的零点与切线问题
典例2（1）函数 = 3 + + 2存在3个零点，则实数的取值范围是()
B
A. −∞, −2 B. −∞, −3 C. −4, −1 D. −3,0
[解析]由 = + + ，得′ = + ，若存在3个零点，则要

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章三角函数、解三角形 4.4含解析

§4.4　函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用考情考向分析　以考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为填空题，中档难度．1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ≥0AT ＝2πωf ＝＝1T ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1．怎样从y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？提示　向左平移个单位长度．φω2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的对称轴是什么？提示　x ＝＋－(k ∈Z )．k πωπ2ωφω题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin 的图象是由y ＝sin 的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)(x －π4)(x ＋π4)π2(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．(　×　)(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　T2√　)(4)函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析12式为y ＝sin x .(　×　)12题组二　教材改编2．[P39T2]为了得到函数y ＝2sin 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象向________(2x －π3)平移________个单位长度．答案　右　π63．[P40T5]y ＝2sin 的振幅、频率和初相分别为__________________．(12x －π3)答案　2，，－14ππ34．[P41T1]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案　y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x ＋3π4)解析　从题图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝×(30－10)＝10，12b ＝×(30＋10)＝20，12又×＝14－6，所以ω＝.122πωπ8又×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝，π83π4所以y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14]．(π8x ＋3π4)题组三　易错自纠5．将函数y ＝2sin 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(2x ＋π6)14________________．答案　y ＝2sin (2x －π3)解析　函数y ＝2sin 的周期为π，将函数y ＝2sin 的图象向右平移个周期，即(2x ＋π6)(2x ＋π6)14个单位长度，π4所得函数为y ＝2sin＝2sin .[2(x －π4)＋π6](2x －π3)6．y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．答案　π2＋4解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.π2＋47.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．(π4)答案　3解析　由题干图象可知A ＝2，T ＝－＝，3411π12π63π4∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝时，函数f (x )取得最大值，π6∴2×＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝＋2k π(k ∈Z )，π6π2π6又0<φ<π，∴φ＝，∴f (x )＝2sin ，π6(2x ＋π6)则f＝2sin ＝2cos ＝.(π4)(π2＋π6)π63题型一　函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的最小正周期是π，且当x ＝时，f (x )取得最大值2.π6(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．解　(1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x ＝时，f (x )取得最大值2.π6所以A ＝2，同时2×＋φ＝2k π＋，k ∈Z ，π6π2φ＝2k π＋，k ∈Z ，π6因为－<φ<，所以φ＝，π2π2π6所以f (x )＝2sin .(2x ＋π6)(2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋∈，π6[π6，13π6]列表如下：2x ＋π6π6π2π3π22π13π6x 0π65π122π311π12πf (x )12－21描点、连线得图象：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解　由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ＝2sin 是偶函数，[2(x －m )＋π6][2x －(2m －π6)]所以2m －＝(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝＋，k ∈Z ，π6π2k π2π3又因为m >0，所以m 的最小值为.π3思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练1　(1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin 的(2x ＋π3)图象向右平移φ个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为(0<φ<π2)________．答案　π6解析　y ＝sin 的图象向右平移φ个单位长度后得到y ＝sin ，(2x ＋π3)(2x －2φ＋π3)又sin ＝0，∴－2φ＋＝k π(k ∈Z )，(－2φ＋π3)π3又0<φ<，∴φ＝.π2π6(2)已知函数f (x )＝sin (0<ω<2)满足条件：f ＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图象，(ωx ＋π6)(－12)可将函数g (x )＝cos ωx 的图象向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为________．答案　1解析　由题意得sin ＝0，即－ω＋＝k π(k ∈Z )，则ω＝－2k π(k ∈Z )，(－12ω＋π6)12π6π3结合0<ω<2，得ω＝，所以f (x )＝sin ＝cos ＝cos ，π3(π3x ＋π6)(π2－π3x －π6)[π3(x －1)]所以只需将函数g (x )＝cos x 的图象向右至少平移1个单位长度，π3即可得到函数y ＝f (x )的图象．题型二　由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝f 取得最(ω>0，|φ|<π2)(x ＋π6)小值时x 的集合为________________．答案　Error!解析　根据题干所给图象，周期T ＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，(7π12－π3)2πω因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，(7π12，0)7π12再由|φ|<，得φ＝－，∴f (x )＝sin ，π2π6(2x －π6)∴f ＝sin ，(x ＋π6)(2x ＋π6)当2x ＋＝－＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－＋k π(k ∈Z )时，y ＝f 取得最小值．π6π2π3(x ＋π6)(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数f (x )＝6cos 2＋sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如ωx23图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．①求ω的值及函数f (x )的值域；②若f (x 0)＝，且x 0∈，求f (x 0＋1)的值．835(－103，23)解　①由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋sin ωx ＝2sin ，33(ωx ＋π3)∴函数f (x )的值域为[－2，2]，33∴正三角形ABC 的高为2，从而BC ＝4，3∴函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即＝8，ω＝.2πωπ4②∵f (x 0)＝，835由①有f (x 0)＝2sin ＝，3(π4x 0＋π3)835即sin ＝，(π4x 0＋π3)45由x 0∈，知x 0＋∈，(－103，23)π4π3(－π2，π2)∴cos ＝＝.(π4x 0＋π3)1－(45)235∴f (x 0＋1)＝2sin 3(π4x 0＋π4＋π3)＝2sin3[(π4x 0＋π3)＋π4]＝23[sin (π4x 0＋π3)cos π4＋cos (π4x 0＋π3)sinπ4]＝2＝.3(45×22＋35×22)765思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的部分图象如图所示，将函(A >0，ω>0，|φ|<π2)数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点对称，则m(π3，32)的最小值为________．答案　π12解析　依题意得Error!解得Error!＝＝－＝，T 2πω2π3π6π2故ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)＋.332又f＝sin ＋＝，(π6)3(π3＋φ)32332故＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，即φ＝＋2k π(k ∈Z )．π3π2π6因为|φ|<，故φ＝，π2π6所以f (x )＝sin ＋.3(2x ＋π6)32将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后，得到g (x )＝sin ＋的图象，3(2x ＋π6＋2m )32又函数g (x )的图象关于点对称，即h (x )＝sin 的图象关于点对(π3，32)3(2x ＋π6＋2m )(π3，0)称，故sin＝0，即＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝－(k ∈Z )．3(2π3＋π6＋2m )5π6k π25π12又m >0，所以m 的最小值为.π12题型三　三角函数图象、性质的综合应用命题点1　图象与性质的综合问题例3 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，若f (0)＝，且·＝(ω>0，|φ|<π2)3AB → BC → －8，B ，C 分别为最高点与最低点．π28(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间上π6[0，π2]的最大值和最小值．解　(1)由f (0)＝，可得2sin φ＝，即sin φ＝.3332又∵|φ|<，∴φ＝.π2π3由题意可知，＝，＝，AB → (14T ，2)BC →(12T ，－4)则·＝－8＝－8，∴T ＝π.AB → BC → T 28π28故ω＝2，∴f (x )＝2sin .(2x ＋π3)由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π3π2解得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，5π12π12∴函数f (x )的单调递增区间为，k ∈Z .[－5π12＋k π，π12＋k π](2)由题意将f (x )的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，π6∴g (x )＝f ＝2sin (x ＋π6)[2(x ＋π6)＋π3]＝2sin .(2x ＋2π3)∵x ∈，[0，π2]∴2x ＋∈，sin ∈.2π3[2π3，5π3](2x ＋2π3)[－1，32]∴当2x ＋＝，即x ＝0时，sin ＝，2π32π3(2x ＋2π3)32g (x )取得最大值，3当2x ＋＝，即x ＝时，sin ＝－1，2π33π25π12(2x ＋2π3)g (x )取得最小值－2.命题点2　函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －sin 2x ＋m －1＝0在上有两个不同的实数根，则m3(π2，π)的取值范围是____________．答案　(－2，－1)解析　方程2sin 2x －sin 2x ＋m －1＝0可转化为3m ＝1－2sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x 33＝2sin ，x ∈.(2x ＋π6)(π2，π)设2x ＋＝t ，则t ∈，π6(76π，136π)∴题目条件可转化为＝sin t ，t ∈有两个不同的实数根．m 2(76π，136π)∴y ＝和y ＝sin t ，t ∈的图象有两个不同交点，如图：m 2(76π，136π)由图象观察知，的取值范围是，m 2(－1，－12)故m 的取值范围是(－2，－1)．引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________．答案　[－2,1)解析　由上例题知，的取值范围是，m 2[－1，12)∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3　三角函数模型例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最(A >0，ω>0，|φ|<π2)低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元．答案　6 000解析　作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，12T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.2πT π6将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，π6π2故f (x )＝2 000sin x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．π6∴f (7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．7π6故7月份的出厂价格为6 000元．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上的两个相邻的最高(ω>0，－π2≤φ≤π2)点和最低点的距离为2，且过点，则函数f (x )的解析式为______________．2(2，－12)答案　f (x )＝sin(πx 2＋π6)解析　根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为2，可得＝2，解得T 2(T 2)2＋(1＋1)22＝4，故ω＝＝，即f (x )＝sin .2πT π2(πx2＋φ)又函数图象过点，(2，－12)故f (2)＝sin＝－sin φ＝－，(π2×2＋φ)12又－≤φ≤，解得φ＝，π2π2π6故f (x )＝sin.(πx 2＋π6)(2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数f (x )＝4sin x ·cos ＋.(x ＋π3)3①求f (x )在区间上的最大值和最小值及取得最值时x 的值；[－π4，π6]②若方程f (x )－t ＝0在x ∈上有唯一解，求实数t 的取值范围．[－π4，π2]解　①f (x )＝4sin x ＋(cos x cos π3－sin x sin π3)3＝2sin x cos x －2sin 2x ＋33＝sin 2x ＋cos 2x 3＝2sin .(2x ＋π3)因为－≤x ≤，所以－≤2x ＋≤，π4π6π6π32π3所以－≤sin ≤1，所以－1≤f (x )≤2，12(2x ＋π3)当2x ＋＝－，即x ＝－时，f (x )min ＝－1；π3π6π4当2x ＋＝，即x ＝时，f (x )max ＝2.π3π2π12②因为当－≤x ≤时，－≤2x ＋≤，π4π12π6π3π2所以－1≤2sin ≤2，且单调递增；(2x ＋π3)当≤x ≤时，≤2x ＋≤，π12π2π2π34π3所以－≤2sin ≤2，且单调递减，3(2x ＋π3)所以f (x )＝t 有唯一解时对应t 的取值范围是t ∈[－，－1)或t ＝2.3三角函数图象与性质的综合问题例 (14分)已知函数f (x )＝2sin ·cos －sin(x ＋π)．3(x 2＋π4)(x 2＋π4)(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上π6的最大值和最小值．规范解答解　(1)f (x )＝2sin cos 3(x 2＋π4)(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝cos x ＋sin x [3分]3＝2sin ，[5分](x ＋π3)于是T ＝＝2π.[6分]2π1(2)由已知得g (x )＝f ＝2sin ，[8分](x －π6)(x ＋π6)∵x ∈[0，π]，∴x ＋∈，π6[π6，7π6]∴sin ∈，[10分](x ＋π6)[－12，1]∴g (x )＝2sin ∈[－1,2]．[12分](x ＋π6)故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝·；a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)第三步：(求性质)利用f (x )＝sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．a 2＋b 21．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长π6度得到g (x )的图象，则g的值为________．(π2)答案　－12解析　由题意得，将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长度，得到g (x )＝cos 的π6(2x －π3)图象，所以g＝cos ＝－.(π2)(π－π3)122．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案　3π8解析　f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝cos ，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得2(2x －π4)图象对应的函数为y ＝cos ，且该函数为偶函数，2(2x －π4－2φ)故2φ＋＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为.π43π83．函数f (x )＝cos (ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后对应函(ωx ＋π6)π3数的单调递减区间是________________．答案　(k ∈Z )[π4＋k π，3π4＋k π]解析　由题意知ω＝＝2，将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )＝cos 2πππ3＝cos ＝sin 2x 的图象，由2k π＋≤2x ≤2k π＋(k ∈Z )，解得所求函数[2(x －π3)＋π6](2x －π2)π23π2的单调递减区间为(k ∈Z )．[k π＋π4，k π＋3π4]4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为(ω>0，|φ|<π2)________．答案　[－3＋8k,1＋8k ](k ∈Z )解析　由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，2πT π4所以f (x )＝sin .把(1,1)代入，得sin ＝1，即＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，(π4x ＋φ)(π4＋φ)π4π2又|φ|<，所以φ＝，所以f (x )＝sin .由2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π4(π4x ＋π4)π2π4π4π2得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z )．5．(2018·江苏泰州中学月考)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)，使得平移后的图象仍过点，则φ的最小值为________．(π3，32)答案　π6解析　将y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到y ＝sin 2(x －φ)，代入点得＝sin ，(π3，32)32(2π3－2φ)因为φ>0，所以当－2φ＝时，第一个正弦值为的角，此时φ最小，为.2π3π332π66．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )(|φ|<π2)π6在上的最小值为________．[0，π2]答案　－32解析　将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y ＝sin ＝sin π6[2(x ＋π6)＋φ]的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝k π(k ∈Z )，(2x ＋π3＋φ)π3又|φ|<，所以φ＝－，即f (x )＝sin .π2π3(2x －π3)当x ∈时，2x －∈，[0，π2]π3[－π3，2π3]所以当2x －＝－，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－.π3π3327.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________.(ω>0，|φ|<π2)(π24)答案　3解析　由题干图象知＝2×＝，πω(3π8－π8)π2所以ω＝2.因为2×＋φ＝k π＋(k ∈Z )，π8π2所以φ＝k π＋(k ∈Z )，π4又|φ|<，所以φ＝，π2π4这时f (x )＝A tan .(2x ＋π4)又函数图象过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan .(2x ＋π4)所以f＝tan ＝.(π24)(2×π24＋π4)38.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈，且f (x 1)＝(ω>0，|φ|<π2)(－π6，π3)f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案　32解析　由题图可知，＝－＝，T 2π3(－π6)π2则T ＝π，ω＝2，又＝，－π6＋π32π12所以f (x )的图象过点，(π12，1)即sin ＝1，(2×π12＋φ)所以2×＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，π12π2又|φ|<，可得φ＝，所以f (x )＝sin .π2π3(2x ＋π3)由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈，(－π6，π3)可得x 1＋x 2＝－＋＝，π6π3π6所以f (x 1＋x 2)＝f＝sin ＝sin ＝.(π6)(2×π6＋π3)2π3329．(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中，函数y ＝sin (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝(x ＋π3)12的交点的个数是________．答案　2解析　方法一　令sin ＝，可得x ＋＝2k π＋或x ＋＝2k π＋，k ∈Z ，(x ＋π3)12π3π6π35π6即x ＝2k π－或x ＝2k π＋，k ∈Z ，又x ∈[0,2π]，所以x ＝或x ＝，π6π211π6π2故原函数图象与y ＝的交点的个数是2.12方法二　在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2.10．已知函数f (x )＝cos ，其中x ∈，若f (x )的值域是，则m 的取值(3x ＋π3)[π6，m ][－1，－32]范围是________．答案　[2π9，5π18]解析　画出函数的图象如图所示．由x ∈，可知≤3x ＋≤3m ＋，[π6，m ]5π6π3π3因为f ＝cos ＝－且f ＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是，(π6)5π632(2π9)[－1，－32]只要≤m ≤，即m ∈.2π95π18[2π9，5π18]11．已知函数f (x )＝2sin (其中0<ω<1)，若点是函数f (x )图象的一个对称中心．(2ωx ＋π6)(－π6，0)(1)求ω的值，并求出函数f (x )的单调递增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解　(1)因为点是函数f (x )图象的一个对称中心，(－π6，0)所以－＋＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋(k ∈Z )，ωπ3π612因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝.12所以f (x )＝2sin .(x ＋π6)令2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π6π2解得2k π－≤x ≤2k π＋(k ∈Z )，2π3π3所以函数的单调递增区间为(k ∈Z )．[2k π－2π3，2k π＋π3](2)由(1)知，f (x )＝2sin ，x ∈[－π，π]，(x ＋π6)列表如下：x ＋π6－5π6－π20π2π7π6x －π－2π3－π6π35π6πf (x )－1－202－1作出函数部分图象如图所示：12．设函数f (x )＝sin ＋sin ，其中0<ω<3.已知f ＝0.(ωx －π6)(ωx －π2)(π6)(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在上的最小值．π4[－π4，3π4]解　(1)因为f (x )＝sin ＋sin ，(ωx －π6)(ωx －π2)所以f (x )＝sin ωx －cos ωx －cos ωx 3212＝sin ωx －cos ωx ＝32323(12sin ωx －32cos ωx )＝sin .3(ωx －π3)由题设知f＝0，(π6)所以－＝k π，k ∈Z ，ωπ6π3故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝sin ，3(2x －π3)所以g (x )＝sin ＝sin .3(x ＋π4－π3)3(x －π12)因为x ∈，[－π4，3π4]所以x －∈，π12[－π3，2π3]当x －＝－，即x ＝－时，g (x )取得最小值－.π12π3π43213．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数(－π2<θ<π2)g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为________．(0，32)答案　5π6解析　g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，(0，32)所以sin θ＝，sin(－2φ＋θ)＝，3232又－<θ<，π2π2所以θ＝，sin ＝.π3(π3－2φ)32又0<φ<π，所以－<－2φ<，5π3π3π3所以－2φ＝－.π34π3即φ＝.5π614．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若3相邻交点距离的最小值为，则f (x )的最小正周期为________．π3答案　π解析　f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ω>0)．3(ωx ＋π6)由2sin ＝1，得sin ＝，(ωx ＋π6)(ωx ＋π6)12∴ωx ＋＝2k π＋或ωx ＋＝2k π＋(k ∈Z )．π6π6π65π6令k ＝0，得ωx 1＋＝，ωx 2＋＝，π6π6π65π6∴x 1＝0，x 2＝.2π3ω由|x 1－x 2|＝，得＝，∴ω＝2.π32π3ωπ3故f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π215．已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝对称．该函数的部分13图象如图所示，AC ＝BC ＝，C ＝90°，则f的值为________．22(12)答案　34解析　依题意知，△ABC 是直角边长为的等腰直角三角形，22因此其边AB 上的高是，函数f (x )的最小正周期是2，12故M ＝，＝2，ω＝π，f (x )＝sin(πx ＋φ)．122πω12又f (x )的图象关于直线x ＝对称，13∴f＝sin ＝±.(13)12(π3＋φ)12∴＋φ＝k π＋，k ∈Z ，又0<φ<π，π3π2∴φ＝，π6∴f＝sin ＝.(12)12(π2＋π6)3416．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x12(A >0，0<φ<π2)＝对称，若存在x ∈，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为______________．π12[0，π2]答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)解析　∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象在y 轴上的截距为1，12(A >0，0<φ<π2)∴A sin φ－＝1，即A sin φ＝.1232∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象关于直线x ＝对称，12π12∴2×＋φ＝k π＋，k ∈Z ，π12π2又0<φ<，∴φ＝，∴A ·sin ＝，π2π3π332∴A ＝，∴f (x )＝sin －.33(2x ＋π3)12当x ∈时，2x ＋∈，[0，π2]π3[π3，4π3]∴当2x ＋＝，即x ＝时，π34π3π2f (x )min ＝－－＝－2.3212令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章函数 2.4 Word版含解析

高清试卷下载可打印
的大小关系是________．(用“>”连接)
高清试卷下载可打印
答案 a>b>c>d
解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知 a>b>c>d.
＋1
＋1
3．若 (a＋ 1) 3 < (3＋ 2a) 3 ，则实数 a 的取值范围是____________．
1
(3)函数 y = 2x 2 是幂函数．( × )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．( × )
题组二教材改编
( )1 2
2．[P89 练习 T3]已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点，，则 k＋α＝________. 22
∴－2a≥6，解得 a≤－3.
题组三易错自纠
4．幂函数 f (x)＋ xa2＋ 10a＋ 23 (a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则 a＝
________. 答案 5 解析因为 a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
高清试卷下载可打印
f (x)＋ x(a＋ 5)2＋ 2 (a∈Z)为偶函数，
1
x
1
2
2 f(x) 1
2
答案 [－4,4]
( ) 2 1
1
1
解析由题意知，＝ α，∴α＝，∴f(x)＝ x 2 ，
22
2
1
1
∴f(|x|)＝ x 2 ，由 x 2 ≤2，得|x|≤4，故－4≤x≤4.
思维升华 (1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数 α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

2020版高考数学江苏专版(文科)一轮复习学案第二章第四节函数的图象含解析

第四节函数的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线． 2．图象变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． (2)对称变换①y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象―――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象．(4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． [小题体验]1．f (x )的图象如图所示，则f (x )＝________.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈(0，2]2．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝________.解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的解析式为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，所以f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.答案：e－x －13．(2018·扬州期末)若函数y ＝f (x )的图象经过点(1,2)，则函数y ＝f (－x )＋1的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y ＝f (－x )＋1的图象．把函数y ＝f (x )的图象上的点(1,2)关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得点(－1,3)，故函数y ＝f (－x )＋1的图象必定经过的点的坐标是(－1,3)．答案：(－1,3)1．函数图象的每次变换都针对自变量“x ”而言，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x 变成x －12.2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y ＝f (|x |)的图象属于自身对称，而y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称是两个函数．[小题纠偏]1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于________对称．答案：原点2．把函数y ＝f (2x )的图象向右平移________个单位得到函数y ＝f (2x －3)的图象．答案：32考点一作函数的图象 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.图象如图1.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.图象如图3.[谨记通法]作函数图象的3种常用方法考点二识图与辨图 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝________.解析：由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x ＜－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：－12．(2019·启东检测)若函数f (x )＝|a x ＋b |(a ＞0，a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f (x )的零点为12，即a ＋b ＝0.由图可得，当x ＞12时，函数f (x )为增函数，故a ＞1，所以a ＋b ＝a －a ＝⎝⎛⎭⎫a －122－14∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)[由题悟法]识图3种常用的方法[即时应用]1．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．解析：由图象易知f (x )的值域为(－∞，－1]∪(1,3)．答案：(－∞，－1]∪(1,3)2．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝________.解析：由图象知f (3)＝1，所以1f (3)＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：2考点三函数图象的应用 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有： (1)研究函数的性质； (2)求参数的值或范围； (3)研究不等式；(4)确定方程根(零点)的个数．(详见本章第八节考点二)[题点全练]角度一：研究函数的性质 1．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1，x ∈(1，3).作出函数f (x )的图象如图所示．(1)由图知函数f (x )的单调递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]和[2,3]． (2)由图象可知，若y ＝f (x )与y ＝m 图象有四个不同的交点，则0＜m ＜1，所以集合M ＝{m |0＜m ＜1}．角度二：求参数的值或范围2．(2019·苏州实验中学测试)定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：设g (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把g (x )的图象向上平移4个单位长度，可得f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，可得m 的取值范围为(4,5)．答案：(4,5)角度三：研究不等式3．(2018·启东中学测试)如图所示，函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，则不等式f (x )＞f (－x )－2x 的解集是________．解析：由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )＞－x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．答案：(－1,0)∪(1，2]4．若不等式(x －1)2＜log a x (a ＞0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立；当a ＞1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1＜a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．答案：(1,2][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (3－a 2)＜f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，因为f (3－a 2)＜f (2a )，所以3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.答案：(－3,1)2．(2019·扬州中学高三调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＜0，log a x (a ＞0，a ≠1)，x ＞0的图象上关于y 轴对称的点恰有9对，则实数a 的取值范围是________．解析：若x ＞0，则－x ＜0， ∵x ＜0时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，∴f (－x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2x －1＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，则若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＜0关于y 轴对称，则f (－x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1＝f (x )，设g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＞0，作出函数g (x )的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＞0与f (x )＝log a x ，x ＞0的图象恰有9个交点，则0＜a ＜1，且满足f (17)＞g (17)＝－2，f (21)＜g (21)＝－2，即－2＜log a 17，log a 21＜－2，解得2121＜a ＜1717. 答案：⎝⎛⎭⎫2121，1717一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数f (x )＝x 2＋1，若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：作出函数图象(图略)，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)＜f (x 2)．答案：f (x 2)＞f (x 1)2．(2018·常州一中期末)将函数y ＝e x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y ＝e x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y ＝e 2x ，再向右平移2个单位，可得y ＝e 2(x －2)＝e 2x －4.答案：y ＝e 2x －43．(2018·前黄中学月考)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．解析：y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎨⎧ x ＞1，f (x )≤0或⎩⎨⎧x ＜1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2]．答案：(－∞，0]∪(1,2]4．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．答案：(－1,0)5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a ＞0. 答案：(0，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象如图所示，令t ＝f (a )，则f (t )≤2，由图象知t ≥－2，所以f (a )≥－2，当a ＜0时，由a 2＋a ≥－2，即a 2＋a ＋2≥0恒成立，当a ≥0时，由－a 2≥－2，得0≤a ≤2，故a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图象上．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132－x ＝3x －2，即g (x )＝3x －2. 答案：g (x )＝3x －22．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ＞0)， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14，∴当x ＞0时，f (x )＝14(x －2)2－1＝14x 2－x .故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x ＞0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x ＞03．(2019·江阴中学检测)方程x 2－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y ＝x 2－|x |的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，作出两函数的图象如图，易知－14＜1－a ＜0，所以1＜a ＜54.答案：⎝⎛⎭⎫1，544．(2019·启东中学期中)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )x －1≤0的解集为________．解析：不等式f (x )x －1≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，x －1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，x －1＞0.由图象可知：当1＜x ≤5时，由f (x )≤0，解得2≤x ≤5. 当0≤x ＜1时，由f (x )≥0，解得0≤x ＜1，因为f (x )为奇函数，当－2＜x ＜0时，由f (x )≥0，此时无解，当－5≤x ≤－2时，由f (x )≥0，解得－5≤x ≤－2，故不等式的解集为[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]．答案：[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________．解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1， 0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1. 故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)6．(2019·镇江中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，0＜x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，则b ＋c ＝2×12＝24，a ∈(1,10)，则a ＋b ＋c ＝24＋a ∈(25,34)．答案：(25,34)7．(2019·徐州调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，若直线y ＝kx ＋k (k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，∴作出函数f (x )的图象如图所示．∵y ＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，故该直线的图象一定过点(－1,0)，若y ＝kx ＋k 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根， ∵k ＞0，∴当y ＝kx ＋k 过点(2,1)时，k ＝13，当y ＝kx ＋k 过点(3,1)时，k ＝14，要使f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根，则实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，13. 答案：⎣⎡⎭⎫14，138．(2019·金陵中学月考)已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是________．解析：f (x )·g (x )＜0⇒f (x )与g (x )在同一区间内符号相反，由图可知，当x ∈[0，π]时，两者异号的区间为⎝⎛⎭⎫π3，π. 又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴当x ∈[－π，0)时，两者异号的区间为⎝⎛⎭⎫－π3，0， ∴f (x )·g (x )＜0的解集是⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π. 答案：⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π 9．(2018·盐城一中测试)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)因为f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x ＜4.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－4，x ≥4，－(x －2)2＋4，x ＜4，所以函数f (x )的图象如图所示．由图象知函数f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜4或x ＞4}． (5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0＜m ＜4，所以集合M ＝{m |0＜m ＜4}． 10．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确命题的个数为________．解析：因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数；由y ＝lg x ――――――――――→图象向左平移1个单位长度y ＝lg(x ＋1)――――――――――――――――――――――――――→去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象y ＝lg(|x |＋1)――――――――――→图象向右平移2个单位长度y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．答案：22．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ， g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0,2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．命题点一函数的概念及其表示1．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}2．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．解析：要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．答案：[－3,1]3．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2， x ∈R ，则实数a ＝____，b ＝________.解析：因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1，所以f (a )＝a 3＋3a 2＋1，所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2 ＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3， ①a 2＋2ab ＝0， ②a 3＋3a 2＝a 2b . ③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案：－2 14．(2018·全国卷Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是________．解析：法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为1＜2－2x ，解得x ＜0. 因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，2x ＜0，2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x ＜0，∴x ＜0.答案：(－∞，0)1.(2016·江苏高考[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得 f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35. 所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－252．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.由f (x )＞x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＞x ，x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ＞x ，x ＜0，解得x ＞5或－5＜x ＜0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.解析：法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案：24．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________．解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是 (－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：由已知得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，又函数f (x )是奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝12. 答案：126．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈ [－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：6命题点三函数的图象1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m .答案：m2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________. 解析：因为f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，所以4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.答案：－2。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章函数 2.2含解析

§2.2　函数的单调性考情考向分析　以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有填空题，又有解答题．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2定义当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示　对∀x 1，x 2∈D ，>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 22．写出对勾函数y ＝x ＋(a >0)的增区间．a x提示　(－∞，－]和[，＋∞)．a a题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(　×　)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)(3)函数y ＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)1x(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　√　)题组二　教材改编2．[P40练习T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________．答案　[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．[P54测试T6]若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m ＝________.答案　10解析　函数y ＝5x 2＋mx ＋4的图象为开口向上，对称轴是x ＝－的抛物线，要使函数y ＝5x 2m 10＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－＝－1，m 10∴m ＝10.题组三　易错自纠4．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．答案　f (－3)>f (－π)解析　由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可知函数f (x )为增函数，又－3>－π，∴f (－3)>f (－π)．5．函数的单调递减区间为________．212log (4)y x =-答案　(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．答案　－6解析　由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是，[－a 2，＋∞)令－＝3，得a ＝－6.a 2题型一　求函数的单调区间1．函数的单调递减区间为________．212log (231)y x x =＋＋答案　(1，＋∞)解析　由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为∪(1，＋∞)．(－∞，12)令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈∪(1，＋∞)．(－∞，12)则，12log y t =∵t ＝2x 2－3x ＋1＝22－，(x －34)18∴t ＝2x 2－3x ＋1的一个单调递增区间为(1，＋∞)．又是减函数，12log y t =∴函数的单调递减区间为(1，＋∞)．212log (231)y x x =＋＋2．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________．答案　[－1,0]，[1，＋∞)解析　由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．3．函数的单调增区间为________．2213x x y -æö÷ç=÷ç÷çèø答案　(－∞，1]解析　易得函数的定义域为R ，令u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则u 在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．又y ＝u 在(－∞，＋∞)上为减函数，(13)∴的单调增区间为(－∞，1]．2213x x y -æöç=ççèø4．设函数f (x )＝Error!g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________．答案　[0,1)解析　由题意知g (x )＝Error!该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．题型二　判断函数的单调性命题点1　证明函数单调性例1 求证：f (x )＝e x ＋在(0，＋∞)上是增函数．1e x 证明　设x 1>x 2>0，则()()12121211(e e )e e x x x x f x f x æöç-ççèø＋＋＋＋121212e 1(e e )e x x x x x x ++æö-÷ç÷×ç÷÷çèø＋＋∵x 1>x 2>0，1212e e 0e 10x x x x \>>＋＋＋＋＋∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )＝e x ＋在(0，＋∞)上是增函数．1e x 引申探究如何用导数法求解本例？解　f ′(x )＝e x －，1e x ∵x >0，∴e x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )＝e x ＋在(0，＋∞)上是增函数．1e x 命题点2　讨论函数单调性例2 判断函数f (x )＝(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性．ax x 2－1解　任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝.a (x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 2－1)由－1<x 1<x 2<1得>0，(x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 2－1)∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上单调递减；同理，当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增．思维升华证明或判断函数的单调性要严格按照函数单调性的定义，尤其在判断符号时可将f (x 1)－f (x 2)转化为几个因式积商的形式，也可利用导数法证明或判断函数的单调性．跟踪训练1 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋(其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．1x解　函数f (x )＝ax 2＋(1<a <3)在[1,2]上单调递增．1x证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax ＋－ax －21x 2211x 1＝(x 2－x 1)，[a (x 1＋x 2)－1x 1x 2]由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－<－.1x 1x 214又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－>0，1x 1x 2从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．题型三　函数单调性的应用命题点1　比较函数值的大小例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．(－12)答案　b>a>c解析　根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ＝f ，且2<<3，所以b>a>c.(－12)(52)52命题点2　解函数不等式例4 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．答案　(－，－2)∪(2，)55解析　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<.55命题点3　求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ改编)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是________．答案　3π4解析　∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin，2(x－π4)∴当x －∈，即x ∈时，π4[－π2，π2][－π4，3π4]y ＝sin 单调递增，(x －π4)f (x )＝－sin 单调递减，2(x －π4)∴是f (x )在原点附近的单调减区间，[－π4，3π4]结合条件得[0，a ]⊆，∴a ≤，即a max ＝.[－π4，3π4]3π43π4(2)已知函数f (x )＝Error!若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案　(1,2]解析　由题意，得12＋a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的12取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围为__________．答案　[－12，＋∞)解析　若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立．当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图象的对称轴为x ＝－<0，所以g (x )在(0,1)上单调递增，且有g (x )>0，符合题意；当a <0时，12a需满足g (x )图象的对称轴x ＝－≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－，则－≤a <0.12a 1212综上，a ≥－.12思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝Error!满足对任意x 1≠x 2，都有>0成立，那么a 的取f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2值范围是________．答案　[32，2)解析　对任意x 1≠x 2，都有>0，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以Error!解得≤a <2.32故实数a 的取值范围是.[32，2)(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ＝0，则不等式(12)19(log )0f x >的解集为________________．答案　Error!解析　由题意知，f ＝－f ＝0，(－12)(12)f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴或，191(log )2f x f æö÷ç>÷ç÷çèø191(log )2f x f æöç>-ççèø∴或，191log 2x >191log 02x -<<解得0<x <或1<x <3.13∴原不等式的解集为Error!.1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(1,3)上是________函数．(填“增”“减”)答案　减解析　作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(1,3)上是减函数．2．函数的单调递增区间为________．212log (6)y x x ＋＋＋＋答案　(12，3)解析　由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则12log y t=，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为.(12，3)3．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ，b ＝f ，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c (log 215)(log 24.1)的大小关系为________________．答案　a >b >c解析　∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ＝f ＝f (log 25)．(log 215)(－log 215)又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案　[－14，0]解析　当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－≥4，1a 1a解得－≤a <0.14综上，实数a 的取值范围是.[－14，0]5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．a x ＋1答案　(0,1]解析　f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.6．已知函数f (x )＝Error!则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案　充分不必要解析　若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由c ＝－1能得出c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知函数f (x )＝Error!当x 1≠x 2时，<0，则a 的取值范围是________．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2答案　(0，13]解析　当x 1≠x 2时，<0，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2∴f (x )是R 上的减函数．∵f (x )＝Error!　∴Error!∴0<a ≤.138．已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案　(134，＋∞)解析　依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－2＋(－1≤x ≤2)，(x －32)134当x ＝时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ＝，因此a >.32(32)1341349．若函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b 在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案　[0，＋∞)解析　因为f (x )＝x 2＋|x －a |＋b ＝Error!由图象知(图略)，若函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b 在区间(－∞，0]上为减函数，则应有a ≥0.10．设函数f (x )＝Error!若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)解析　作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝(x ≠a )．x x －a(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明　当a ＝－2时，f (x )＝.x x ＋2设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝－＝.x 1x 1＋2x 2x 2＋22(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解　设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－x 1x 1－a x 2x 2－a＝.a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝Error!(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解　(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝Error!(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k ≤－2或k ≥6.2－k 22－k 2即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )＝Error!若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案　(－2,1)解析　∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )＝Error!不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案　(－∞，－2)解析　二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为x 2＋1____________．答案　(14，＋∞)解析　由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >，14∴原不等式的解集为.(14，＋∞)16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．22解　(1)由Error!得<x<2或－2<x<－.22∴原不等式的解集为(－2，－)∪(，2)．(2)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数，∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)＝1，∴不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1,1]恒成立．设g(a)＝－2ma＋m2，a∈[－1,1]，需满足Error!即Error!解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m＝0，即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章函数 2.10含解析

§2.10　函数模型及其应用考情考向分析　考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度．1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)反比例函数模型f (x )＝＋b (k ，b 为常数且k ≠0)k x二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上单调递增单调递增单调递增的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x概念方法微思考请用框图概括表示解函数应用题的一般步骤．提示　解函数应用题的步骤题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　×　)(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．(　×　)(3)不存在x 0，使<x <log a x 0.(　×　)0xa n 0(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　×　)题组二　教材改编2．[P104习题T1]某县目前人口100万人，经过x 年后为y 万人，若人口年增长率是1.2%，则y 关于x 的函数关系式是________．答案　y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)解析　本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．3．[P99例3]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C (x )＝x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该12企业一个月应生产该商品数量为________万件．答案　18解析　利润L (x )＝20x －C (x )＝－(x －18)2＋142，12当x ＝18时，L (x )有最大值．4．[P77例8]某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是______________年．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg 2≈0.30)答案　2020解析　设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥≈＝3.8，lg2013lg 1.120.30－0.110.05由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.题组三　易错自纠5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．答案　－1(p ＋1)(q ＋1)解析　设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )，∴x ＝－1.(1＋p )(1＋q )6．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案　200解析　由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)．当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.题型一　已知函数模型的实际问题例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案　3.75解析　根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得Error!消去c 化简得Error!解得Error!所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－＋－2＝－2＋，所以当t ＝＝3.7515(t 2－152t ＋22516)451615(t －154)1316154时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________元．答案　23 000解析　设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练1 (1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．答案　4.24解析　∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －Q 2，则总利润L (Q )的最大值是120________万元．答案　2 500解析　L (Q )＝40Q －Q 2－10Q －2 000120＝－Q 2＋30Q －2 000＝－(Q －300)2＋2 500.120120则当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．题型二　构建函数模型的实际问题命题点1　构造一次函数、二次函数模型例2 某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.答案　19解析　由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.命题点2　构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已14知到今年为止，森林剩余面积为原来的.22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解　(1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝a ，即(1－x )10＝，1212解得11011.2x æö÷çççèø－－(2)设经过m 年剩余面积为原来的，22则a (1－x )m ＝a ，即22110211,22mæöæö÷÷çç=÷çç÷ççèøèø即＝，解得m ＝5.m 1012故到今年为止，该森林已砍伐了5年．引申探究若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解　设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为a (1－x )n .22令a (1－x )n ≥a ，即(1－x )n ≥，221424即≤，解得n ≤15.310211,22n æöæö÷÷çç÷çç÷ççèøèø≥n 1032故今后最多还能砍伐15年．命题点3　构造y ＝x ＋(a >0)型函数a x例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案　5解析　根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11，∴年平均利润＝12－，y x (x ＋25x )∵x ＋≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．25x∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于米．记33防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案　23解析　由题意可得BC ＝－(2≤x <6)，18x x 2∴y ＝＋≥2＝6.18x 3x 218x ×3x 23当且仅当＝(2≤x <6)，即x ＝2时等号成立．18x 3x 23命题点4　构造分段函数模型例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝Error!(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润．解　(1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－－16x ＋7 360.40 000x所以W ＝Error!(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－－16x ＋7 360，40 000x由于＋16x ≥2＝1 600，40 000x40 000x ×16x 当且仅当＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，40 000x 所以W 取最大值5 760.综合①②，当年产量x ＝32万只时，W 取最大值6 104万美元．思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 132≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)答案　8解析　设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%n ≤0.1%，即n ≤，(1－13)(23)120所以n lg ≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.23(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )＝Error!则当总利润最大时，该门面经营的天数是________．答案　300解析　由题意，总利润y ＝Error!当0≤x ≤400时，y ＝－(x －300)2＋25 000，12所以当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征．例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg /mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)答案　4解析　设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．答案　3 300解析　设利润为y 元，租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤502，当且仅当58＋x ＝(58＋x ＋70－x 2)70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．素养提升　例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题．1．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．答案　3解析　设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，24－4x 2∴当x ＝3时，y 最大．2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2018年5月1日1235 0002018年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为______升．答案　8解析　5月1日到5月15日，汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米)，实际耗油48升，所以该车每100千米平均耗油量为＝8(升)．4863．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．答案　95解析　设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)[400－(x －90)·20]＝－20·[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．4．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是________万元．答案　320解析　设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有＝(p ＋0.25)%，280×p %＋(x －280)(p ＋2)%x解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元．5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________ m 3.答案　13解析　设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝Error!则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案　24解析　由题意得Error!∴e 22k ＝＝，4819214∴e 11k ＝，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝3·192＝×192＝24(小时)．12(12)187.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿______千克．答案　1909解析　前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得Error!解得k ＝，b ＝，209709所以y ＝x ＋，则当x ＝6时，y ＝.20970919098.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案　20解析　设内接矩形另一边长为y m ，则由相似三角形性质可得＝，解得y ＝40－x ，x 4040－y 40所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，所以当x ＝20时，S max ＝400.9．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a (a 为常数)，广告效应为D ＝a －A .那A A 么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案　a 214解析　令t ＝(t ≥0)，则A ＝t 2，A ∴D ＝at －t 2＝－2＋a 2，(t －12a )14∴当t ＝a ，即A ＝a 2时，D 取得最大值．121410．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km ，那么这批物资(v 20)全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计)答案　12解析　设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了 km 所用的时间，因此，t ＝≥12，[36×(v 20)2＋400]36×(v 20)2＋400v 当且仅当＝，即v ＝时取“＝”．36v 400400v 2003故这些汽车以 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.200311．渔场中鲜鱼的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求其定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围．解　(1)y ＝kx ·＝kx (0≤x <m )．m －x m (1－x m )(2)y ＝－2＋，当x ＝时，y 取到最大值，即鱼群年增长量的最大值为.k m (x －m 2)km 4m 2km 4km 4(3)依题意0≤x ＋y <m ，则有0≤＋<m ，m 2km 4解得－2≤k <2，但k >0，所以0<k <2.12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解　(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．105(2)每套丛书售价定为x 元时，由Error!解得0<x <150.依题意，单套丛书利润P ＝x －＝x －－30，(30＋1015－0.1x )100150－x 所以P ＝－＋120.[(150－x )＋100150－x ]因为0<x <150，所以150－x >0，则(150－x )＋100150－x≥2＝2×10＝20，(150－x )·100150－x当且仅当150－x ＝，100150－x即x ＝140时等号成立，此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最小．答案　40解析　设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，10v 故总费用为W ＝y ＝(0.06v 2＋96)＝0.6v ＋≥2＝48，10v 10v 960v0.6v ×960v 当且仅当0.6v ＝，即v ＝40时等号成立．960v故总费用最小时轮船的速度为40海里/时．14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________.答案　5－12解析　由题意得x ＝，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，c －a b －a∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝.∵0<x <1，∴x ＝.－1±525－1215．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则，其中T a 称为环境温度，h 称01()2t ha a T T T T æö÷ç÷ç÷çèø－－－为半衰期．现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案　8解析　由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得∴h ＝8.1613721(8521),2h æö÷ç×ççè－－－令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则∴t ＝8.812921(3721),2tæö÷ç×ççèø－－－16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．解　(1)由题中图象，设y ＝Error!当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4；由1－a ＝4，得a ＝3.所以y ＝Error!(12)(2)由y ≥0.50，得Error!或Error!解得≤t ≤4，18因此服用毒品后重度躁动状态持续4－＝(小时)．18318。

(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲函数的奇偶性与周

3.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_存__在__一__个__最__小__的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__最__小___正周期. (3)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，
答案 1e，e
5.(2018·江苏卷 ) 函数 f(x) 满足 f(x ＋ 4) ＝ f(x)(x∈R) ，且在区间 ( － 2 ， 2] 上， f(x) ＝
cos π2x，0<x≤2，
则
x＋12，－2<x≤0，
f(f(15))的值为________.
解析因为函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝cxo＋s 12π2x，，－0<2x<≤x≤2，0，所以 f(f(15))＝f(f(－1))＝f 12＝cos π4＝ 22.
2.(2019·苏州暑假测试)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x－x2，则f(0) ＋f(－1)＝________. 解析因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，因此f(0)＋f(－1)＝－1. 答案－1
3.(2017·全国 Ⅰ 卷改编 ) 已知函数 f(x) ＝ ln x ＋ ln(2 － x) ，则下列说法正确的是 ________(填序号). ①f(x)在(0，2)上单调递增； ②f(x)在(0，2)上单调递减； ③y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称； ④y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第二章函数 §2.8

由图象知，当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.
1234567
2 题型分类深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一作函数的图象
分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg(x－1)|；
解首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分).
知识梳理
ZHISHISHULI
1.函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)， x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象.
大一轮复习讲义
第二章函数
§2.8 函数的图象
考情考向分析
KAOQINGKAOXIANGFENXI
函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以填空题为主，中档难度．
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业
1 基础知识自主学习
PART ONE
1234567
题组二教材改编
x＋1，x∈[－1，0]，
2.[P30练习T3]若f(x)的图象如图所示，则f(x)＝__－__12_x_，__x_∈__0_，__2_]_____.
1234567
3.[P31 习题 T6]方程|x－1|＝1x的正实数根的个数是____1____.
1234567
ìïïïíïïïî

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章函数 2.5 Word版含解析

§2.5　指数与对数考情考向分析　幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，对数的概念和运算性质，换底公式等是研究指数函数、对数函数的前提，在高考中涉及面比较广．1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根n >1且n ∈N *当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数na0的n 次实数方根是0当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数±n a负数没有偶次方根(2)两个重要公式①＝Error!(n 为偶数)；na n ②()n ＝a (注意a 必须使有意义)．na na 2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是＝(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；m na na m ②正数的负分数指数幂是＝＝(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；m na-1m na1na m③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t ＝a s ＋t (a >0，t ，s ∈Q )；②(a s )t ＝a st (a >0，t ，s ∈Q )；③(ab )t ＝a t b t (a >0，b >0，t ∈Q )．3．对数的概念(1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a (a >0且a ≠1)log a N 常用对数底数为10lg N 自然对数底数为eln N4.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①＝N (a >0且a ≠1，N >0)；log a Na②log a a N ＝N (a >0且a ≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝(a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；log a Nlog a b ②log a b ＝(a ，b 均大于零且不等于1)．1log b a(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a ＝log a M －log a N ；MN ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④＝log a M .log m na M n m概念方法微思考根据对数的换底公式，(1)思考log a b ，log b a 的关系；(2)化简.log m na b 提示　(1)log a b ·log b a ＝1；(2)＝log a b .log m na b n m题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝()n ＝a (n ∈N *)．(　×　)na n na (2)分数指数幂可以理解为个a 相乘．(　×　)m na mn (3)2a ·2b ＝2ab .(　×　)(4)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(　×　)(5)若lg x 2＝1，则x ＝.(　×　)10题组二　教材改编2．[P61例2]计算：＝ .1222309273(9.6)482-æöæöæö÷ççç+--´ççççççèøèøèø答案　323．[P80习题T6]计算：(lg 5)2＋lg 2×lg 50＝ .答案　14．[P80习题T12]已知lg 6＝a ，lg 12＝b ，那么用a ，b 表示lg 24＝ .答案　2b －a题组三　易错自纠5．要使＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是．4a －2答案　[2,4)∪(4，＋∞)解析　要使原式有意义，则满足Error!解得2≤a <4或a >4.6．有下列结论：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是．答案　①②③④⑤解析　①lg 10＝1，则lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③底的对数等于1，则x ＝10；④底的对数等于1；⑤log m n ＝，log 3m ＝，则＝2，lg n lg m lg m lg 3lg nlg 3即log 3n ＝2，故n ＝9.题型一　指数幂的运算1.(a >0)的值是．a 3a ·5a 4答案　1710a解析　＝a 3a ·5a 414173325104152.a aa a a--==×2(a >0)＝.23a -æç-´çççè答案　a 2解析　原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅511162333111336(2).2a a a a b a a bb⨯⨯-＋＋3．已知x ＋x －1＝3，则的值为．3322x x -+答案　25解析　＝x ＋2＋x －1＝5，11222()x x-+1122x x -\+=331112222()(1)x xx x x x ---\+=+-+＝(3－1)＝2.554．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则＝ .a －ba ＋b答案　55解析　由已知得，a ＝3＋，b ＝3－，55所以a ＋b ＝6，ab ＝4，所以2＝＝＝.(a －b a ＋b)a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab 6－246＋2415因为a >b >0，所以>，所以＝.a b a －b a ＋b55思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二　对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且＋＝2，则m ＝.1a 1b 答案　10解析　由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则＋＝＋＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.1a 1b 1log 2m 1log 5m 解得m ＝.102．计算：＝ .121lg lg 251004-æö÷ç-¸÷ç÷çèø答案　－20解析　原式＝(lg 2－2－lg 52)×＝lg ×1012100(122×52)＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：＝.(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64答案　1解析　原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝＝＝＝1.2(1－log 63)2log 62log 66－log 63log 62log 62log 62思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型三　指数与对数的综合运算例 (1)已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z ，且＋＋＝0，求abc 的值．1x 1y 1z 解　令a x ＝b y ＝c z ＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故＝，＝，＝.1x lg a lg k 1y lg b lg k 1z lg c lg k 因为＋＋＝0，1x 1y 1z 所以＝0，lg a ＋lg b ＋lg clg k即＝0.lg (abc )lg k故lg(abc )＝0，得abc ＝1.(2)设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求的值．log a bC 解　由题意，得Error!即Error!于是有Error!(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝±.5于是＝－1＝＝±.log a bC (log Ca b)1log C a －log C b 55思维升华指数、对数的综合运算，要充分利用对数的定义、指数、对数的运算性质，建立已知条件和所求式子间的联系．跟踪训练 (1)若a log 23＝1，b log 35＝1，则9a ＋5b ＝ .答案　7解析　a ＝log 32，b ＝log 53，于是3533log 2log 32log 2log 495953333437.ab＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋(2)方程－＝3x －1的实数解为．33x 56答案　x ＝log 32解析　原方程可化为2(3x )2＋5·3x －18＝0，即(3x －2)(2·3x ＋9)＝0,3x ＝2(2·3x ＝－9舍去)，得x ＝log 32.(3)若log 2log 3x ＝log 3log 2y ＝log 2log 2z ＝1，则x 2，y 3，z 4从小到大的排列为．答案　x 2<z 4<y 3解析　由题设得log 3x ＝2，log 2y ＝3，log 2z ＝2，即x ＝32，y ＝23，z ＝22，故x 2＝34，y 3＝29，z 4＝28，所以x 2<z 4<y 3.1．化简的结果为．21123333243a b a b --æö÷ç÷×¸-ç÷ç÷èø答案　－6a b解析　原式＝2112()3333243a b ----æö÷ç¸-÷ç÷çèø＝－6ab －1＝－.6ab2．设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为．答案　27解析　∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.3．已知a －＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为．1a 答案　11＋13解析　由a －＝3，得2＝9，1a (a －1a)即a 2＋－2＝9，故a 2＋a －2＝11.1a2又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝.13于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋.134．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝.答案　107解析　∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b ＝＝.3a 3b 1075．lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝.答案　1解析　lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1)(lg 1 0004)＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.6．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为．答案　a －2解析　log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.7．若3x ＝4y ＝36，则＋＝ .2x 1y答案　1解析　3x ＝4y ＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2，∴＝log 63，＝log 64，即＝log 62，2x 2y 1y故＋＝log 63＋log 62＝1.2x 1y8．设f (x )＝Error!则f (f (－2))＝ .答案　12解析　因为f (－2)＝2－2＝，14所以f (f (－2))＝f ＝1－＝1－＝.(14)1412129．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则＝ .22yx a +答案　95解析　11222222()()35yx x y a a a +=×=×=10．(2018·徐州、连云港、宿迁检测)设函数f (x )＝Error!则f (f (－1))的值为．答案　－2解析　因为f (－1)＝4－1＝，14所以f (f (－1))＝f ＝log 2＝－2.(14)1411．化简下列各式：(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；(279)2310227-æö÷ç÷ç÷çèø3748解　(1)原式＝＋＋－3＋12259æö÷çççèø10.12236427-æöçççèø3748＝＋100＋－3＋＝100.539163748(2)¸＝÷＝.3a 23a －243a 12．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求的值．x y解　由已知得lg [(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )，则(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，也即(x －2y )(x ＋y )＝0.因为x >0，y >0，所以x ＋y >0，于是有x ＝2y ，即＝2.x y13．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝2，则a b －a －b ＝ .2答案　－2解析　∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.14．已知log a 18＝p ，log a 24＝q ，用p ，q 表示log a 1.5.解　依题意有Error!即Error!变形为Error!解得Error!所以log a 1.5＝log a ＝log a 3－log a 232＝－＝，3p －q 52q －p 54p －3q 5即log a 1.5＝.4p －3q 515．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝，a b ＝b a ，则ab ＝ .52答案　8解析　∵a >b >1，∴log b a >1，又由log a b ＋log b a ＝，得＋log b a ＝，521log b a 52可得log b a ＝2，∴a ＝b 2，又a b ＝b a ，∴b 2b ＝，2b b ∴b ＝2(b ＝0舍去)，∴a ＝4，故ab ＝8.16．已知m ，n 为正整数，a >0，a ≠1，且 log a (m ＋n )＝log a m ＋log a n ，求m ，n 的值．解　log a (m ＋n )＝log a m ＋log a n ＝log a (mn )．比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1.∵m ，n 为正整数，∴Error!解得Error!。

2020版高考数学(江苏专用)一轮教师用书(PDF)：第二章§2.2 函数的基本性质

§ ２．２函数的基本性质
第二章函数１１
考点一函数的单调性
高频考点
１．单调函数的定义
设函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｉ，如果对于定义域Ｉ内某个区间Ｄ
上的任意两个自变量的值ｘ１，ｘ２，当ｘ１＜ｘ２时，（１）若ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２），则ｆ（ｘ）在区间Ｄ上是增函数；（２）若ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则ｆ（ｘ）在区间Ｄ上是减函数．２．单调区间的定义
（１）对于任意的ｘ∈Ｉ，都有ｆ（ｘ） ≥Ｍ；（２）存在ｘ０ ∈Ｉ，使得ｆ（ｘ０）＝Ｍ
结论Ｍ为最大值
Ｍ为最小值
对应学生用书起始页码Ｐ１６
考点二函数的奇偶性与周期性
１．奇函数、偶函数的概念
一般地，如果对于函数ｆ（ｘ）的定义域内任意一个ｘ，都有
ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）就叫做偶函数．
②若函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ｆ（ａ－ｘ）（ａ≠０）且ｆ（ｘ）为奇函
数，则ｆ（ｘ）为周期函数，Ｔ＝４｜ａ｜；
③若函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝－ｆ（ｘ）（ａ≠０），则ｆ（ｘ）为周期
函数，Ｔ＝２｜ａ｜；
④若函数
ｆ（
ｘ）
满足
ｆ（
ｘ
＋ａ）
解得０≤ｘ≤１，即不等式的解集为［０，１］．
（２）画出函数图象如图所示．
当ｘ＝２时，ｌｏｇ２ｘ＝１，ａｘ－１＝２ａ－１，
{ａ＞０，
因为函数ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，所以
２ａ－
解得１≤１，
０＜ａ
≤１．故ａ的取值范围为（０，１］．

江苏省2020版高考数学第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲函数的奇偶性与周期性课件

从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由1|x－－x22|>≠0，2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg（1－－xx2）. 又∵f(－x)＝lg[1－（x－x）2]＝lg（1－x x2）＝－f(x)，
(2)∵f(x)是周期为 2 的奇函数，当 x∈(0，1)时，f(x)＝x2－8x＋30＝(x－4)2＋14，∴f( 10) ＝f( 10－4)＝－f(4－ 10)＝－[(4－ 10－4)2＋14]＝－24.
答案 (1)0 (2)－24
考点三函数性质的综合应用角度1 求函数值
【例 3－1】 (1)(2019·南师大附中等四校联考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的函数，在区间(－2，2]上，其函数解析式是 f(x)＝|x1＋－ax，|，－0<2x<≤x≤2，0，其中 a∈R.若 f(－5)＝ f(5)，则 f(2a)的值是________. (2)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，f x＋12＝f x－12.则 f(6)＝________.
法二由题意可设 f(x)＝2sinπ2x，作出 f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝ 12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(2)f(x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝－f（x＋1 2）＝f(x).

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章函数 2.10 Word版含解析

§2.10函数模型及其应用考情考向分析考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度．1．几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括表示解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．(×) (3)不存在x 0，使<x n 0<log a x 0.(×)(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)题组二教材改编 2．[P104习题T1]某县目前人口100万人，经过x 年后为y 万人，若人口年增长率是1.2%，则y 关于x 的函数关系式是________．答案y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)解析本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)． 3．[P99例3]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．答案18解析利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 4．[P77例8]某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是______________年．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) 答案2020解析设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2016＝2020.题组三易错自纠5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.6．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案200解析由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)．当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.题型一已知函数模型的实际问题例1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案3.75解析根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________元．答案23000解析设毛利润为L (p )元，则由题意知 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0,30)时，L ′(p )>0，当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0，故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．答案4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．答案2500解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120Q 2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元．题型二构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.命题点2构造指数函数、对数函数模型例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2 2.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得11011.2x 骣÷ç÷ç÷ç桫＝－(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即110211,22m 骣骣鼢珑=鼢珑鼢珑桫桫即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．引申探究若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 310211,22n 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑桫桫≥即n 10≤32，解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年．命题点3构造y ＝x ＋ax (a >0)型函数例4(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案5解析根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案2 3解析由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．命题点4构造分段函数模型例5已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x≤40，7400x －40000x2，x>40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润．解(1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40000x －16x ＋7360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x2＋384x －40，0<x≤40，－40000x －16x ＋7360，x>40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104，所以W max ＝W (32)＝6104；②当x >40时，W ＝－40000x －16x ＋7360，由于40000x＋16x ≥240000x×16x ＝1600，当且仅当40000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值5760.综合①②，当年产量x ＝32万只时，W 取最大值6104万美元．思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．跟踪训练2(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)答案8解析设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x2，0≤x≤400，80000，x>400，则当总利润最大时，该门面经营的天数是________．答案300解析由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x2－100x －20000，0≤x≤400，60000－100x ，x>400，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25000，所以当x ＝300时，y max ＝25000；当x >400时，y ＝60000－100x <20000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元．用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征．例(1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg /mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时) 答案4解析设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．答案3300解析设利润为y 元，租金定为3000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．素养提升例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题．1．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．答案3解析设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为______升．答案8解析5月1日到5月15日，汽车行驶了35600－35000＝600(千米)，实际耗油48升，所以该车每100千米平均耗油量为486＝8(升)．3．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．答案95解析设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)[400－(x －90)·20]＝－20·[(x －95)2－225]， ∴当x ＝95时，y 最大．4．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是________万元．答案320解析设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有 280×p%＋(x －280)(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元．5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________m 3. 答案13解析设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x≤10，10m ＋(x －10)·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．答案24解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧eb ＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14， ∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123·192＝18×192＝24(小时)． 7.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿______千克．答案1909解析前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909. 8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案20解析设内接矩形另一边长为y m ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，所以当x ＝20时，S max ＝400.9．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A－A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案14a 2 解析令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2， ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值． 10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______h ．(车身长度不计)答案12解析设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v≥12，当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取“＝”．故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h. 11．渔场中鲜鱼的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求其定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大时，求k 的取值范围．解(1)y ＝kx ·m －x m＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0≤x <m )． (2)y ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4，当x ＝m 2时，y 取到最大值km 4，即鱼群年增长量的最大值为km 4. (3)依题意0≤x ＋y <m ，则有0≤m 2＋km 4<m ，解得－2≤k <2，但k >0，所以0<k <2.12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x>0，x>0，解得0<x <150.依题意，单套丛书利润P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x－30，所以P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120. 因为0<x <150，所以150－x >0，则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立，此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最小．答案40解析设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v×960v＝48，当且仅当0.6v ＝960v，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/时．14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________. 答案5－12解析由题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x＝5－12.15．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则01()2t ha a T T T T 骣÷ç÷ç÷ç桫－＝－，其中T a称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min ，那么这杯咖啡要从37℃降到29℃，还需要________min. 答案8解析由题意知T a ＝21℃.令T 0＝85℃，T ＝37℃，得1613721(8521),2h骣÷ç×÷ç÷ç桫－＝－∴h ＝8.令T 0＝37℃，T ＝29℃，则812921(3721),2t 骣÷ç×÷ç÷ç桫－＝－∴t ＝8. 16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．解(1)由题中图象，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t>1. 当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4；由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t>1. (2)由y ≥0.50，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t≤1，4t≥0.50或⎩⎪⎨⎪⎧ t>1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.50，解得18≤t ≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4－18＝318(小时)．。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章函数 2.6

§2.6 指数函数考情考向分析直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题以及实际应用问题，题型一般为填空题，中低档难度．1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . 2．指数函数的图象与性质概念方法微思考1．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c >d >1>a >b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集跟a 的取值有关．提示当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为{x |x <0}．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(2)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) (3)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数．( √ )(4)函数y ＝a x 与y ＝a －x (a >0，a ≠1)的图象关于y 轴对称．( √ )题组二教材改编2．[P71习题T11]若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝________. 答案2解析由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 3．[P70习题T4]已知113344333,,,552a b c ---骣骣骣鼢?珑?=鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫＝＝则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，11034333,555--骣骣骣鼢?珑?\>>鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫即a >b >1，又304331,22c -骣骣鼢珑=<=鼢珑鼢珑桫桫 ∴c <b <a .4．[P70习题T8]设2323420.5xx <－－，则实数x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－13，1 解析 223234324320.522x x x x <\<Q －－－－，， ∴3－2x <4－3x 2，∴3x 2－2x －1<0，∴－13<x <1.题组三易错自纠5．若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝______. 答案 2解析由指数函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＝1，a >0，a ≠1，解得a ＝2.6．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2.7．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案 12或32解析当0<a <1时，a －a 2＝a2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a >1时，a 2－a ＝a2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.题型一指数型函数的图象例1 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是________．答案①解析f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有①.(2)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．答案(－∞，0]解析函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1 方程2x＝2－x的解的个数是________．答案 1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型二指数函数的性质命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知4213532,4,25,a b c ＝＝＝则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 b <a <c解析由a 15＝4153(2)＝220，b 15＝4155(2)＝212，c 15＝255>220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c . (2)若－1<a <0，则3a，13a ，a 3的大小关系是__________．(用“>”连接) 答案 3a >a 3>13a解析易知3a>0，13a <0，a 3<0，又由－1<a <0，得0<－a <1，所以(－a )3<13()a -，即－a 3<13a -，所以a 3>13a ，因此3a >a 3>13a .命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______．答案 12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________________．答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．思维升华指数函数的单调性和底数大小有关，应用函数的单调性最重要的是“同底”原则．跟踪训练2 (1)已知f (x )＝2x －2－x ，114579,,97a b -骣骣鼢珑==鼢珑鼢珑桫桫则f (a )，f (b )的大小关系是__________．答案 f (b )<f (a )解析易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数，又111445799,977a b -骣骣骣鼢?珑?==>=鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫∴f (a )>f (b )．(2)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是________．答案 f (b x )≤f (c x )解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )， ∴f (x )关于x ＝1对称，易知b ＝2，c ＝3，当x ＝0时，b 0＝c 0＝1，∴f (b x )＝f (c x )，当x >0时，3x >2x >1，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (b x )<f (c x )，当x <0时，3x <2x <1，又f (x )在(－∞，1)上单调递减， ∴f (b x )<f (c x )，综上，f (b x )≤f (c x )．题型三指数函数图象性质的综合应用例4 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，4]解析令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．(3)若函数2431()3ax x f x -+骣÷ç=÷ç÷ç桫有最大值3，则a ＝________.答案 1解析令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案 e解析 f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x <1，当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 解析从已知不等式中分离出实数a ，得a ≥－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x . ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数， ∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－34，＋∞.1．若指数函数f (x )＝(a 2－3)x 满足f (2)<f (3)，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题意知，指数函数f (x )为增函数，从而a 2－3>1，即a 2>4，得a <－2或a >2. 2．已知函数f (x )＝5x ，若f (a ＋b )＝3，则f (a )·f (b )＝________. 答案 3解析 ∵f (x )＝5x ，∴f (a ＋b )＝5a ＋b ＝3，∴f (a )·f (b )＝5a ×5b ＝5a ＋b ＝3.3．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 b <a <c解析因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1. 又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c . 4．不等式242122x x x+骣÷ç>÷ç÷ç桫－＋的解集为________．答案 (－1,4)解析原不等式等价于22422x x x >－＋－－，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4，即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．答案 [1,9]解析由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0)解析当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)．8．若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．答案－1解析 f (0)＝m ＋23，∴函数f (x )的图象不过第三象限等价于m ＋23≥0，即m ≥－23，∵“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，∴a <－23，则实数a 能取的最大整数为－1.9．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 0解析当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,2)解析原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2的最大值和最小值．解由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0，解得1≤3x ≤9，即0≤x ≤2.令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝⎛⎭⎫t －122＋1. 当t ＝12，即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫23，＋∞解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2，当t <1时，g ′(t )>0，g (t )在(－∞，1)上单调递增，即g (t )<0，则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得a <1，且3a －1≥1，解得23≤a <1；a ≥1，且2a ≥1，解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 14．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是______________．答案 (0,4]解析因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1，所以f (x )＝2|x －1|. 作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．由题意知n －m >0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值(2＋1)－(－2＋1)＝4，所以n －m 的取值范围是(0,4]．15．设f (x )＝|2x －1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，则2a ＋2c ______4.(选填“>”“<”“＝”) 答案 <解析 f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1. 若c ≤1，则2a <2,2c ≤2，故2a ＋2c <4；若c >1，则由f (a )>f (c )，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c <4. 综上知，总有2a ＋2c <4.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)．设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74，故函数f (x )的值域为⎣⎡⎤74，5316.(2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)．设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4，当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2；当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658. ∴函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章函数 2.7 Word版含解析

姓名，年级：时间：§2。

7 对数函数考情考向分析对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主，考查形式主要是填空题，难度为中低档．同时也有综合性较强的解答题出现，难度为中低档．1．对数函数的定义形如y＝log a x(a〉0,a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过点(1,0）,即当x＝1时，y＝0在（0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3。

反函数指数函数y＝a x（a〉0且a≠1）与对数函数y＝log a x(a〉0且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．概念方法微思考如图给出4个对数函数的图象．比较a,b,c，d与1的大小关系．提示 0〈c 〈d <1<a 〈b 。

题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)对数函数y ＝log a x (a 〉0且a ≠1）在（0，＋∞)上是增函数．（ × ) (2）函数y ＝ln 错误!与y ＝ln （1＋x ）－ln （1－x )的定义域相同．( √ ) (3）对数函数y ＝log a x （a 〉0且a ≠1）的图象过定点（1，0)且过点（a ，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．（ √ ）(4)若a m >a n(a >0，a ≠1)，则m 〉n 。

（ × )题组二教材改编2．［P83例2］已知132,a ＝b ＝log 213，121log ,3c则a ,b ，c 的大小关系为________．答案 c 〉a 〉b解析 ∵0〈a 〈1，b <0，121log 3c ＝log 23〉1.∴c >a 〉b 。

3．［P85练习T2］函数23log (21)y x 的定义域是________．答案错误!解析由23log (21)0,x ≥得0〈2x －1≤1。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第四节函数的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)． (2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线． 2．图象变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． (2)对称变换①y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象―――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． [小题体验]1．f (x )的图象如图所示，则f (x )＝________.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈(0，2]2．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝________. 解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的解析式为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，所以f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.答案：e－x －13．(2018·扬州期末)若函数y ＝f (x )的图象经过点(1,2)，则函数y ＝f (－x )＋1的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y ＝f (－x )＋1的图象．把函数y ＝f (x )的图象上的点(1,2)关于y 轴对称，再向上平移1个单位，可得点(－1,3)，故函数y ＝f (－x )＋1的图象必定经过的点的坐标是(－1,3)．答案：(－1,3)1．函数图象的每次变换都针对自变量“x ”而言，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x 变成x －12.2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y ＝f (|x |)的图象属于自身对称，而y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称是两个函数．[小题纠偏]1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于________对称．答案：原点2．把函数y ＝f (2x )的图象向右平移________个单位得到函数y ＝f (2x －3)的图象．答案：32考点一作函数的图象 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.图象如图1.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.图象如图3.[谨记通法]作函数图象的3种常用方法考点二识图与辨图 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝________.解析：由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x ＜－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：－12．(2019·启东检测)若函数f (x )＝|a x ＋b |(a ＞0，a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f (x )的零点为12，即a ＋b ＝0.由图可得，当x ＞12时，函数f (x )为增函数，故a ＞1，所以a ＋b ＝a －a ＝⎝⎛⎭⎫a －122－14∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)[由题悟法]识图3种常用的方法[即时应用]1．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．解析：由图象易知f (x )的值域为(－∞，－1]∪(1,3)．答案：(－∞，－1]∪(1,3)2．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝________.解析：由图象知f (3)＝1，所以1f (3)＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：2考点三函数图象的应用 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有： (1)研究函数的性质； (2)求参数的值或范围； (3)研究不等式；(4)确定方程根(零点)的个数．(详见本章第八节考点二)[题点全练]角度一：研究函数的性质 1．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1，x ∈(1，3). 作出函数f (x )的图象如图所示．(1)由图知函数f (x )的单调递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]和[2,3]． (2)由图象可知，若y ＝f (x )与y ＝m 图象有四个不同的交点，则0＜m ＜1，所以集合M ＝{m |0＜m ＜1}．角度二：求参数的值或范围2．(2019·苏州实验中学测试)定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：设g (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把g (x )的图象向上平移4个单位长度，可得f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，可得m 的取值范围为(4,5)．答案：(4,5)角度三：研究不等式3．(2018·启东中学测试)如图所示，函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，则不等式f (x )＞f (－x )－2x 的解集是________．解析：由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )＞－x ，在同一平面直集为(－1,0)∪(1，2]．角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解答案：(－1,0)∪(1，2]4．若不等式(x －1)2＜log a x (a ＞0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜loga x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立；当a ＞1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1＜a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．答案：(1,2][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略 (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (3－a 2)＜f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，因为f (3－a 2)＜f (2a )，所以3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.答案：(－3,1)2．(2019·扬州中学高三调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＜0，log a x (a ＞0，a ≠1)，x ＞0的图象上关于y 轴对称的点恰有9对，则实数a 的取值范围是________．解析：若x ＞0，则－x ＜0， ∵x ＜0时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，∴f (－x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2x －1＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，则若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＜0关于y 轴对称，则f (－x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1＝f (x )，设g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＞0，作出函数g (x )的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2x －1，x ＞0与f (x )＝log a x ，x ＞0的图象恰有9个交点，则0＜a ＜1，且满足f (17)＞g (17)＝－2，f (21)＜g (21)＝－2，即－2＜log a 17，log a 21＜－2，解得2121＜a ＜1717. 答案：⎝⎛⎭⎫2121，1717一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数f (x )＝x 2＋1，若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：作出函数图象(图略)，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)＜f (x 2)．答案：f (x 2)＞f (x 1)2．(2018·常州一中期末)将函数y ＝e x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y ＝e x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y ＝e 2x ，再向右平移2个单位，可得y ＝e 2(x－2)＝e 2x －4.答案：y ＝e 2x －43．(2018·前黄中学月考)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．解析：y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2]．答案：(－∞，0]∪(1,2]4．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．答案：(－1,0)5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a ＞0. 答案：(0，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象如图所示，令t ＝f (a )，则f (t )≤2，由图象知t ≥－2，所以f (a )≥－2，当a ＜0时，由a 2＋a ≥－2，即a 2＋a ＋2≥0恒成立，当a ≥0时，由－a 2≥－2，得0≤a ≤2，故a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图象上．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132－x ＝3x －2，即g (x )＝3x －2. 答案：g (x )＝3x －22．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1. ∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ＞0)， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14，∴当x ＞0时，f (x )＝14(x －2)2－1＝14x 2－x .故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x ＞0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x 2－x ，x ＞03．(2019·江阴中学检测)方程x 2－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y ＝x 2－|x |的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，作出两函数的图象如图，易知－14＜1－a ＜0，所以1＜a ＜54.答案：⎝⎛⎭⎫1，544．(2019·启东中学期中)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )x －1≤0的解集为________．解析：不等式f (x )x －1≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，x －1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，x －1＞0.由图象可知：当1＜x ≤5时，由f (x )≤0，解得2≤x ≤5. 当0≤x ＜1时，由f (x )≥0，解得0≤x ＜1，因为f (x )为奇函数，当－2＜x ＜0时，由f (x )≥0，此时无解，当－5≤x ≤－2时，由f (x )≥0，解得－5≤x ≤－2，故不等式的解集为[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]．答案：[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________．解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1，0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)6．(2019·镇江中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，0＜x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，则b ＋c ＝2×12＝24，a ∈(1,10)，则a ＋b ＋c ＝24＋a ∈(25,34)．答案：(25,34)7．(2019·徐州调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，若直线y ＝kx ＋k (k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，∴作出函数f (x )的图象如图所示．∵y ＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，故该直线的图象一定过点(－1,0)，若y ＝kx ＋k 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根， ∵k ＞0，∴当y ＝kx ＋k 过点(2,1)时，k ＝13，当y ＝kx ＋k 过点(3,1)时，k ＝14，要使f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根，则实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，13. 答案：⎣⎡⎭⎫14，138．(2019·金陵中学月考)已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是________．解析：f (x )·g (x )＜0⇒f (x )与g (x )在同一区间内符号相反，由图可知，当x ∈[0，π]时，两者异号的区间为⎝⎛⎭⎫π3，π. 又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴当x ∈[－π，0)时，两者异号的区间为⎝⎛⎭⎫－π3，0， ∴f (x )·g (x )＜0的解集是⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π. 答案：⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π 9．(2018·盐城一中测试)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)因为f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x ＜4.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－4，x ≥4，－(x －2)2＋4，x ＜4，所以函数f (x )的图象如图所示．由图象知函数f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜4或x ＞4}． (5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0＜m ＜4，所以集合M ＝{m |0＜m ＜4}． 10．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确命题的个数为________．解析：因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数；由y ＝lg x ――――――――――→图象向左平移1个单位长度y ＝lg(x ＋1)――――――――――――――――――――――――――→去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象y ＝lg(|x |＋1)――――――――――→图象向右平移2个单位长度y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．答案：22．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ， g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0,2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．命题点一函数的概念及其表示1．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}2．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．解析：要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．答案：[－3,1]3．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2， x ∈R ，则实数a ＝____，b ＝________.解析：因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1，所以f (a )＝a 3＋3a 2＋1，所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2 ＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3， ①a 2＋2ab ＝0， ②a 3＋3a 2＝a 2b . ③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案：－2 14．(2018·全国卷Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是________．解析：法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，2x ＜0，2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x ＜0， ∴x ＜0. 答案：(－∞，0)1.(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得 f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35. 所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－252．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.由f (x )＞x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＞x ，x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ＞x ，x ＜0，解得x ＞5或－5＜x ＜0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.解析：法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案：24．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________．解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是 (－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 解析：由已知得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，又函数f (x )是奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝12. 答案：126．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈ [－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：6命题点三函数的图象1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m .答案：m2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 解析：因为f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，所以4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案：－2。

2020版新设计一轮复习数学(文)江苏专版讲义：第二章 第四节 函数的图象 含答案

(课标通用)2020版高考数学大一轮复习第二章4第四节函数的图象课件理

苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第四章 第四节 三次函数的图象与性质

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.4含解析

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章 函数 2.4 Word版含解析

2020版高考数学江苏专版(文科)一轮复习学案第二章第四节函数的图象含解析

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章 函数 2.2含解析

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章 函数 2.10含解析

(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲 函数的奇偶性与周

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第二章 函数 §2.8

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章 函数 2.5 Word版含解析