第一章部分习题解答

第 一 章 部 分 习 题 解 答习题一4．用定义证明：若) ,2 ,1(0 =>n x n 且0lim ≥=∞→a x n n ，则a x n n =∞→lim。

证明：∵a x n n =∞→lim ，∴0>ε∀，∃+∈N N ，∍N n >时，恒有ε<-a x n 。

当0>a 时，aaax a x a x a x a x a x n n n n n n ε<-≤+-=+-=-，当0=a ，ε<=-n n x x 0综上可得a x n n =∞→lim。

5．证明 lim lim lim 212a x x a x n n n n n n ==⇔=∞→-∞→∞→。

证明：先证“⇒”， 若 lim a x n n =→∞，则0>ε∀，∃+∈N N ，∍N n >时，恒有ε<-a x n ， ∵N n n n >>->122，∴ε<--a x n 12和ε<-a x n 2成立， ∴ lim lim 212a x x n n n n ==→∞-→∞。

再证“⇐”，若 lim lim 212a x x n n n n ==→∞-→∞, 则0>ε∀，∃+∈N N N 21,，∍1N n >时，恒有ε<--a x n 12； ∍2N n >时，恒有ε<-a x n 2，取) 2 ,12 ( max 21N N N -=，则当N n >时，恒有ε<-a x n ，故 lim a x n n =→∞。

综上可知， lim lim lim 212a x x a x n n n n n n ==⇔=∞→-∞→∞→。

6（2）证明)1( 0lim2>=∞→a an nn 。

证明：设h a +=1)0(>h ，∵n n n n n n n h C h C h C h a )()(1)1(221++++=+=nhh n n n hn n nh ++--+-++= 326)2)(1(2)1(136)2)(1(hn n n -->，∴332322)3(6)23(66)2)(1(hn hn nnhn n n n an n-<+-=--<，>ε∀，要使ε<-02nan ，即ε<-3)3(6hn ，只要363+ε>hn ，故取⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ε=363h N ， ∵0>ε∀，∃⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ε=363h N ，∍当N n >时， 有ε<-<-32)3(60hn an n，∴)1( 0lim2>=∞→a an nn 。

习题二2．证明：（1）若a x n n =→∞lim ，b y n n =→∞lim ，且n n y x ≤，则b a ≤。

证明：用反证法。

假设b a >，根据数列极限的性质3， 必存在∃+∈N N ，∍N n >时，有n n y x >， 与已知条件n n y x ≤矛盾。

于是b a ≤。

（2）若a x n n =→∞lim ，且b a <（或b a >），则∃+∈N N ，∍b x N n n <⇒>（或b x n >）。

证明：若a x n n =∞→lim ，且b a <，取a b -=ε，则∃+∈N N ，∍N n >时， 恒有a b a x n -<-， 从而得b x a b a x n n <⇒-<-。

若a x n n =∞→lim ，且b a >时，同理可证。

3．证明：（1）若n n x q x ≤+1（10<<q ， ,2 ,1=n ）， 则0lim =→∞n n x 。

证明：∵n n x q x ≤+1（ ,2 ,1=n ）∴11210x q x q x q x n n n n ≤≤≤≤≤-+ ， ∵0lim lim 11==∞→∞→n n n n q x x q (10<<q )，∴0lim 0lim 0lim 11=⇒=⇒=∞→+∞→+∞→n n n n n n x x x 。

（2）若0>n x ，且1lim1<=+∞→r x x nn n ，则0lim =→∞n n x 。

证明：∵1lim1<=+∞→r x x nn n ，由极限的保序性知，∃+∈N N ，∍N n >时，11<+nn x x ，∴当Nn >时，{}n x 单调减少。

又∵0>n x ，∴{}n x 有下界。

故由单调有界原理知，{}n x 必收敛，设A x n n =∞→lim 。

∵)(lim lim 11n nn n n n x x x x ⋅=+∞→+∞→，∴Ar A ⋅=，0)1(=⋅-A r ，∵1<r ，∴0)1(≠-r ，故0=A ，即0lim =→∞n n x 。

4．利用单调有界数列必有极限，证明下列数列的极限存在，并求出它们。

（2）1= x ，x x x ++=111，nn n x x x ++=+111（ 2, 1, =n ）解：∵1= x ，23111=++=x x x ，11<+nnx x ，∴2111<++=+nn n x x x ，即{}n x 有上界。

12x x >，假设) ,2 ,1(1 =>+k x x k k 成立，则有)11()11(1112kk k k k k x x x x x x ++-++=-++++kk k k x x x x +-+=++11110)1)(1(11>++-=++k k k k x x x x ，由数学归纳法知，) ,2 ,1(1 =>+n x x n n 成立，故{}n x 单调增加。

由单调有界原理知，{}n x 必有极限，设A x n n =→∞lim 。

∵nn n x x x ++=+1211，∴nn nn n n x x x →∞→∞+→∞++=lim 1lim 21lim 1，即AA A ++=121，012=--A A ，解得251±=A （负值应舍去），∴251lim +=→∞n n x 。

（3）设0>a ，01>x ，)(211nn n x a x x +=+（ ,2 ,1=n ）。

解：显然，0>n x ，∴{}n x 有下界。

∵a x a x x a x x nn nn n =⋅≥+=+)(211（ ,2 ,1=n ）， ∴1)1(2121≤+=+nnn x a x x （ ,3 ,2=n ），故{}2≥n x n 单调减少， 由单调有界原理知，{}n x 必有极限，设A x n n =→∞lim 。

∵)(21limlim 1nn n n n x a x x +=→∞+→∞，∴)(21Aa A A +=aA =⇒2，a A ±=（负值应舍去），故a x n n =→∞lim 。

（4）10<<n x ，且),2 ,1(41)1(1 =≥-+n x x n n证：∵1x 0n <<，∴{}n x 有界。

∵41)1(1≥-+n n x x ，110<-<n x ，∴)1(411n n x x -≥+，∵0)1(4)21()1(4441)1(41221≥--=-+-=--≥-+n n n nn n n n n x x x x x x x x x ，∴{}n x 单调增加。

由单调有界原理知，{}n x 必有极限，设A x n n =→∞lim 。

∵)1(41limlim 1n n n n x x -≥→∞+→∞，∴)1(41A A -≥，0412≤+-A A ，0)21(2≤-A ，21=A ，即21lim =∞→n n x 。

（6）) ,2 ,1(!==n n ax nn ，解：①当0=a 时，) ,2 ,1(0 ==n x n ，显然有0lim =→∞n n x 。

②当0≠a 时，∵11+=+n a x x nn ，而101limlim1<=+=∞→+∞→n a x x n nn n ，∴+∈∃N N ，N n >∍时，恒有11<+nn x x ，故当N n >时{}n x 单调减少。

又∵0>n x ，∴{}n x 有下界。

由单调有界原理知，{}n x 必收敛。

设A x n n =∞→lim ，则0≥A 。

∵n n x n a x 11+=+，∴nn n n n x n a x ∞→∞→+∞→⋅+=lim 1limlim 1，00=⋅=A A即0lim 0lim =⇒=∞→∞→n n n n x x 。

习题三7并作出函数的图象。

（2）][)(x x f =，在n x =（Z n ∈解：1)0(-=-n n f ，n n f =+)0(。

（3）][)(x x x f -=，在n x =（Z n ∈ 解：1)0(=-n f ，0)0(=+n f 。

习题四1． 用极限的定义证明：若A x f x x =→)(lim，而0>A ，则存在0>δ，使得当),(δ∈x N x 时，0)(>x f 。

x证明：∵A x f x x =→)(lim，∴取02>=εA ，0>δ∃，∍),(δ∈x N x 时，恒有2)(A A x f =ε<-，从而23)(22)(2A x f A A A x f A A <<⇒+<<-，∵0>A ，∴02)(>>A x f 。

2．求下列极限（9）xx nx 11lim-+→（N n ∈）解：设n x a +=1，则1-=n a x ，当0→x 时，1→a ，)1)(1(1lim11lim11lim2111++++--=--=-+--→→→a aa a a a a xx n n a na nxna aan n a 111lim211=++++=--→ 。

（7）1lim21--+++→x nx x x nx ；解：1)1()1()1(lim1lim2121--++-+-=--+++→→x x xx x nx x x nx nx1)1]()2()1([lim121--++-+-+=-→x x xx n x n n n x])2()1([lim 121-→++-+-+=n x x x n x n n2)1()1()2(21+=+-+-++++=n n n n n 。

（8）2)1()1(limxnx mx mn x +-+→（+∈N n m ,）解：2)1()1(limxnx mx nnx +-+→2221221])()()(1[)()()(1limxnx C nx C nx C mx C mx C mx C mmm m m nnn n n x +++-+++=→2)()(lim)(lim)()(lim222222022222220m n mn xx o n C mC xx o x n C mC x m n x m n x -=+-=+-=→→→。