10暑假第19节初定稿立体图形的的截面与三视图
立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
立体图形的截面与三视图
表示三个立方体叠加，那么图中由 7
个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形
例 题 讲 解
是（
）
A
B
D C
-3-
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教 学 过 程
1．一个物体的三视图如图所示， 则： （1）该物体有 （2）该物体长 长为 1 个单位； （3）最高部分位于前起第 ` 列． （从俯视图看） 行，左起第 层高； 个单位（设一个正方体边
-5-
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教 学 过 程 小结与作业 课 堂 与 小 结
教学方法与手段
看立体图形就是要展开丰富的想象力，能够根据给定的题意和图形，进行空间想象 的图形的转变 1．有一个由小立方块搭成的几何体，它的主视图，俯视图如图所示，则这样的几 何体共有（ A．4 个 C．10 个 ） B．9 个 D．12 个 主视图 俯视图
4． 一个立方组合体的三视图如下， 试回答下列问题： （1） 该组合体最高有几层？（2）最高部分位于哪里？（3）该 组合体共有多少个小正方体？
主视图
左视图
-4-
俯视图
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教 学 过 程
5．将一个长方体（三条棱长分别为 4，5，6）截去一个 几何体，使截面为正方形，有几种截法？
教学方法与手段
基 本 知 识 讲 解
3．多边形： ．多边形： 在平面内， 由一些线段首尾顺次相连接组成的图形叫 做多边形．三角形、四边形，五边形、六边形等都是多边 形 4．欧拉公式： ．欧拉公式： 顶点+面数-边数=2
-1-
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教 学 过 程
例 1．一个平面截一个正方体，截面的形状不可能是 （ ） A．长方形 B．三角形 C．梯形 D．七边形 ． 例 2．如图：是飞行棋的一颗股子，根据图中（A）（B） 、 、 （C） 三种状态所示的数字， 推出 x 的数字是：
几何体的截面、三视图、平面展开图
1.截面可能是圆的几何体，请打“√”正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥2.截面可能是三角形的几何体，请打“√”正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥3.截面可能是矩形的几何体，请打“√”正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥4.截面可能是梯形的几何体，请打“√”正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥5.截面可能是平行四边形的几何体，请打“√”正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、三棱锥6.用一个平面截下面的几何体，截面不可能是三角形的是_______A 圆锥B圆柱C长方体 D 六棱柱7. 正方体的截面不可能是________A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形E 七边形8. 基本几何体的三视图(主视图反映物体的长和高，俯视图是长和宽，左视图是高和宽）几何体主视图左视图俯视图圆柱圆锥四棱锥空心圆柱9.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为___,最少为____。
___．10. 如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数不可能是( )A．6个B．7个C．8个D．9个11. 如图是由若干个大小相同的正方体搭成的几何体 的三视图，则该几何体所用的正方形的个数是________12.由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图 如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是13. 几个棱长为1的正方体组成的几何体的 三视图如图所示，则这个几何体的体积是＿＿＿＿14．几个立方块所搭几何体的俯视图如图所示，小正方形的数字表示在该位置小立方块的个数.请画出这个几何体的主视图和左视图.15.下图，该几何体是_______. 16. 下图，则这个几何体是______17. 下图，该几何体是_______. 18. 下图,三视图表示的几何体是________19.主视图、俯视图和左视图都是．．长方形的几何体是_________(填一个即可) 20. 三视图都相同的几何体可能是_________、____________.(有两种类型)3 2 1 1 2 24 1 3主视图左视图2 2 1 3421.下列四个水平放置的几何体中，三视图如图所示的是( )A．B．C．D22.中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )A．B．C．D．23.如图所示，下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是( )A．B．C．D．24. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是( )A．B．C．D．25. 下列几何体中，俯视图相同的是( )A①② B①③C②③ D ②④26.下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有 ( )A 1 个B 2个C 3个D 4个27.下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有( )A.1个B.2个C.3个D.4个28.球和圆柱在水平面上紧靠在一起，组成如图所示的几何体，托尼画出了它的三视图，其中他画的俯视图应该是( )A．两个相交的圆B．两个内切的圆C．两个外切的圆D．两个外离的圆29.我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( )。
立体图形的截面与三视图
1．截面：一个平面与一个几何体相交所截得的图形叫做截面。 2．三视图法：
（1）主视图：从正面看到的图形叫做主视图； （2）左视图：从左面看到的图形叫做左视图； （3）俯视图：从上面看到的图形叫做俯视图。 【经典例题】 例1 用一个平面去截一个正方体，可能出现哪些图形？请分别画出。 例2 用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形；用一个平面去截四棱 柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形； 如果用一个平面去截n个棱柱，最多能截得 边形。 例3 从一个正方体上截去一角（一个四面体）使得剩下部分的棱分别为 12条、13条、14条、15条，问应该怎样去截，并画出示意图。
15 经过一个多边形的一个顶点共有六条对角线，这个多边形是＿＿＿
边形，这个多边形被这六条对角线分成＿＿＿个三角形。
16 电视剧《西游记》中六小龄童在演孙悟空时，手中的“金箍棒”飞速
转动，形成的图形是＿＿＿，这种现象是________的例子。
三计算与作图
17 如图，有一个正方体，边长是5，如果在它的左上方截去一个边长分
A C D
A′ O A
B
2．下列图形中左视图和主视图不一样的图形是( ) A 长方体 B 圆柱、圆锥 C 圆、圆柱 D 正方体木块
3 如图4所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是图中的
（）
4 观察下列几何体，分类合理的是
（）
A ①②为一类，③④⑤为另一类 B ①②⑤为一类，②④为一 类
C ①②④为一类，③⑤为一类 D ②③④为一类，①⑤为一类 5 如图5所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其中俯视图应该是 （）
3 2 2 4 （2） 1 3 2 （1）
9．如图是由若干块小立方体积木堆成的实体,在这个基础上要把它堆成一 个大立方体,至少需要多少块立方体积木?
高中数学-空间几何体与截面三视图
高中数学-立体几何知识点与截面三视图三.球的截面.圆柱的截面.圆锥的截面四.三棱锥的截面五.正方体的截面（需补充两面截图）正方体的戡面图立体几何基础知识点与考点三垂线定理(及逆定理)：PA丄面，AO为P0在内射影，a 面，则a丄OA a丄PO; a丄PO a丄AO线面垂直：a丄b, a丄c, b, c面面垂直：a丄面，a 面面丄面，a丄面，b丄面，b c O a 丄丄l，a ，a 丄l a 丄a// b//三类角的定义及求法(1)异面直线所成的角e,0 ° <e< 90°(2)直线与平面所成的角e, 0 ° <e< 90°=0o时，b// 或b(3)二面角：二面角I 的平面角三类角的求法：①找岀或作岀有关的角。
②证明其符合定义，并指岀所求作的角。
直线。
证明：cos cos • cos(为线面成角，/ AOC =，/ BOC =)知识点应用空间角：如图，正四棱柱ABCD —A I B I C I D I中对角线BD i = 8, BD i与侧面B i BCC i所成的为30°①求BD i和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD i和AD所成的角；③求二面角C i—BD i—B i的大小。
（① arcsin —:② 60°:③ arcsin —6）4 3空间距离：点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD —A i B i C i D i中，棱长为a,则:（1）____________________________________ 点C到面AB i C i的距离为；（2）____________________________________ 点B到面ACB i的距离为（3）____________________________________ 直线A i D i到面AB i C i的距离为（4）____________________________________ 面AB i C与面A i DC i的距离为（5）点B到直线A i C i的距离为 ____________ 。
2021国考新大纲 三视图、截面图、立体拼合解题技巧 (讲义 笔记)
三视图、截面图、立体拼合解题技巧（讲义）启智职教的店一、三视图1.下面四个选项中，符合左边立体图形的俯视图和左视图的是：2.左边为给定的立体图形，右边哪项是该立体图形的俯视图和主视图？3.左图为给定的多面体，从任一角度观看，下面哪一项不可能是该多面体的视图？4.请从所给的这几个选项中，选择最合适的一个填在问号处，使之呈现一定的规律：二、截面图1.从一个圆柱体中挖去一个圆柱体和一个圆锥体，得到的立体图形如左图所示。
则右边不可能是它的截面的是（）。
2.左图给定的是在立方体中挖掉两个圆锥体的立体图形，将该立体图形从任一面剖开，右边哪一项不可能是该立体图形的截面？3.左图为给定的立体，从任意角度剖开，右边哪一项不可能是它的截面图？4.左图是给定的立体图形，将其从任一面剖开，右边哪一项不可能是该立体图形的截面？三、立体拼合1.正方形切掉一块后剩余部分如下图左侧所示，右侧哪一项是其切去部分的形状？2.下图所示的多面体为 20 个一样的小正方体组合而成，问①、②和以下哪个多面体可以组合成该多面体？3.下图为同样大小的正方体堆叠而成的多面体正视图和后视图。
该多面体可拆分为①、②、③和④共 4 个多面体的组合，问下列哪一项能填入问号处？三视图、截面图、立体拼合解题技巧（笔记）【注意】1.本节课讲解“空间类”中的三大题型，分别为三视图、截面图和立体拼合。
上述为国考近 5 年“空间类”考点分布及正确率统计，按照趋势，2020 年国考考查立体拼合的概率很大，剩余的 1 道题，截面图题的考频更高。
若为立体拼合和三视图的组合，2 道题可以做到全对。
若为立体拼合和截面图的组合，至少要对 1 道题，因为截面图题有一定难度。
2.对于每年必考的立体拼合而言，正确率很高，而 2019 年只有 40.29%的正确率，该题目本节课会进行讲解，讲解后基本能够全对，没有难度，不考查拼合，而是考查选项的技巧问题。
本节课要将重点放在截面图和立体拼合，三视图相对比较简单，节奏会偏快。
几何体的截面、三视图.doc
1）用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截H 截面的形状既与被截面的几何体有例2：如图, 用一个平面去截一个正方体, 所得的截面形状应是（）1.3截一个几何体学习目标——目标明确、行动有效1）正方体的截面及截面形状2）常见柱体、锥体的截面知识点一正方体的截面及截面形状关,还与截面的角度和方向有关。
2）用平面去截正方体，其截面形状：三角形、四边形、五边形、六边形例1：如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（④D.①与②，③与④知识点二常见柱体、锥体的截面1）用平面去截圆柱，截面形状：圆、椭圆、长方形、梯形、类似于拱形2）用平面去截圆锥，截面形状：圆、椭圆、三角形、类似于拱形3）用平面去截球，截面形状:例3：用平面去截下列几何体，能截得长方形、三角形、等腰梯形三种形状的截面，这① ② ③A.①与②B.③与④C.①与③④2个3个4个5个个几何体是（例4：用一个平面去截下列六个几何体，能得到长方形截面的几何体有（例5：用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是（ ）A.球B.圆锥C.圆柱D.正方体例6： —个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的（ ）A.圆柱和圆锥B.球体和圆锥C.球体和圆柱D.正方体和圆锥巩固练习1. 下列关于截面的说法正确的是（ ）A.截面是一个平面图形B.截面的形状与所截几何体无关C.同一个几何体，截面只有一个D.同一个几何体，截面的形状都相同 2. 用一个平面截去正方体的一个角，则截面不可能是（ ）A.锐角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形3. 如图①，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图②的几何体.设原大正方体的表 面积为S,图②中几何体的表面积为S\那么S ，与S 的大小关系是（理色 图①图②A. S F>S B. S ，=S C. S ，VS D.不能确定 4.有一个圆锥体，用一个平面从不同的位置去截它，如图①〜④，能得到不同的截面，正确的有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种1.4从三个方向看物体的形状学习目标——目标明确、行动有效1）组合体的视图可转化为基本几何体的视图，然后根据位置关系确定组合体的视图.知识点一画出从三个方向看到几何体的图形例1.如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）例2.下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其他三个不一样，这个几何体是（））平方厘米。
七年级数学秋季竞赛第2讲 立体图形的截面与三视图
1立体图形的截面与三视图姓名： 日期：【知识要点】2．三视图法：（1）主视图：从 看到的图形叫做主视图； （2）左视图：从看到的图形叫做左视图； （3）俯视图：从 看到的图形叫做俯视图。
它们的关系：（1）主视图列数＝俯视图列数；主视图行数＝左视图行数；俯视图行数＝左视图行数（2）主视图中每列正方体的个数就是俯视图中每列数中最大的数值； 主视图中每行正方体的个数就是坐视图中相应的行中数字最大的数； 3．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。
【典型例题】例1 用一个平面去截一个正方体，可能出现哪些图形？请分别画出。
例22几条棱、几个面？例3：用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形；用一个平面去截四棱 柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形；如 果用一个平面去截n 个棱柱，最多能截得几边形？例4:.把两个长 3 厘米、宽2厘米、高1厘米的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它分成两个大小相同的小长方体，末了一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面积大多少？例5:用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如图2-1，试确定该几何体用了多少块小方块。
例6:如图2-2，是由几个小正方体所搭成的两个几何体的俯视图.小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，请画出相应几何体的主视图主视图 左视图 图2-1和左视图。
【练习与拓展】一：选择题：1．一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（）A．长方形 B．三角形 C．梯形D．七边形2. 把一个正方体截去一个角剩下的几何体最多有（）A．4个面 B．5个面 C．6个面 D．7个面3. 一个球的内部挖去一个最大的正方体（正方体的八个顶点都在球的表面上），用一个平面去截这个几何体，是截面形状的有（）4. 如图是一个立体图形的三视图,这个立体图形是由一些相同的小正方形搭成的( )A 6B 7C 8D 9二：解答题1.一个正方体的积木堆在桌上，从前、左两个方向看去，看到的主视图、左视图都如图2-5所示，从上面看下去，看到的俯视图如图2-6所示。
立体几何体的截面及三视图
立体几何专题（部分内容）一.圆柱的截面用一个平面去截（分三种情形：①用与圆柱的底面平行的平面去截；②用与圆柱的底面垂直的平面去截；③用与圆柱的底面不垂直的平面去截.），观察图1，很容易得出它们分别是：圆、长方形、椭圆.图1二.圆锥的截面用一个平面去截一个圆锥体，圆、三角形、椭圆.图2三.球的截面用一个平面去截一个球体图3四.三棱锥的截面请同学们尝试用一个平面去截一个三棱锥，试判断所截得的平面图形是什么？观察图4图4五.正方体的截面（需补充两面截图）补充：三视图或投影经典考题公式：空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2Srl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24SR π=扇形的面积公式2211=36022n R S lr r πα==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积 柱体的体积 ：VS h =⨯底锥体的体积 ：13V S h =⨯底 台体的体积 ： 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（ 球体的体积：343V R π=空间几何体的三视图和直观图：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
1、线线平行的判断：（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
几何体的截面、三视图
1.3截一个几何体学习目标——目标明确、行动有效1）正方体的截面及截面形状2）常见柱体、锥体的截面知识点一正方体的截面及截面形状1）用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面，截面的形状既与被截面的几何体有关，还与截面的角度和方向有关。
2）用平面去截正方体，其截面形状：三角形、四边形、五边形、六边形例1：如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是( )A. ①与②B. ③与④C. ①与③④D. ①与②，③与④例2：如图，用一个平面去截一个正方体，所得的截面形状应是( )知识点二常见柱体、锥体的截面1）用平面去截圆柱，截面形状：圆、椭圆、长方形、梯形、类似于拱形2）用平面去截圆锥，截面形状：圆、椭圆、三角形、类似于拱形3）用平面去截球，截面形状：圆例3：用平面去截下列几何体，能截得长方形、三角形、等腰梯形三种形状的截面，这个几何体是( )A. B. C. D.例4：用一个平面去截下列六个几何体，能得到长方形截面的几何体有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个例5：用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是( )A. 球B. 圆锥C. 圆柱D. 正方体例6：一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )A. 圆柱和圆锥B. 球体和圆锥C. 球体和圆柱D. 正方体和圆锥巩固练习1.下列关于截面的说法正确的是( )A. 截面是一个平面图形B. 截面的形状与所截几何体无关C. 同一个几何体，截面只有一个D. 同一个几何体，截面的形状都相同2.用一个平面截去正方体的一个角，则截面不可能是( )A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形3.如图①，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图②的几何体．设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S′，那么S′与S的大小关系是( )A. S′＞SB. S′＝SC. S′＜SD. 不能确定4.有一个圆锥体，用一个平面从不同的位置去截它，如图①～④，能得到不同的截面，正确的有( )A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种1.4从三个方向看物体的形状学习目标——目标明确、行动有效1）组合体的视图可转化为基本几何体的视图,然后根据位置关系确定组合体的视图.知识点一画出从三个方向看到几何体的图形例1．如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）例2．下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其他三个不一样，这个几何体是（）A. 正方体B. 圆柱C.圆锥D.圆例3.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，该几何体的侧面积是（）平方厘米。
七年级上册数学立体图形的截面与三视图同步讲义
立体图形的截面与三视图【知识要点】1．截面：一个平面与一个几何体相交所截得的图形叫做截面．2．三视图：（1）主视图（2）左视图（3）俯视图三视图之间有什么关系？3．多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形．【典型例题】# 例1 用一个平面去截一个正方体，可能出现哪些图形？请分别画出．# 例2 如果用一个平面截一个正方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点、几条棱、几个面？# 例3桌子上放着一个长方体和圆柱(如下图)，说出下列三幅图分别是_____.# 例4 如图是11个小立方体搭成的几何体,从不同方向看几何体,分别画出它们的三种视图，并在小正方形内填上表示该位置的小正方体的个数.（1）（2）例5 如图，是由几个小正方体所搭成的两个几何体的俯视图.小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图．例6 用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小方块．主视图左视图（1）（2）* 例7 如图所示的积木是由16块棱长为1cm的正方体堆积而成的，请求出它们的表面积.* 例8 用小立方块搭一几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数，请问：（1）a，b，c各表示几？（2）这个几何体最少由几个小正方块搭成？最多呢？（3）当d=e=1，f=2时，画出这个几何体的左视图.* 例9 如图：是由几个小立方体所搭的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，如果每个小正方体的棱长是1，求该几何体的表面积．** 思考：棱长为a的正方体，摆放成如下图所示的形状. （1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积：（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积；（3）第n层，该物体的表面积是多少？初试锋芒姓名： 成绩：一：选择题：# 1、在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）A ．正方体B ．三棱柱C ．长方体D ．圆锥体# 2、下列图形中左视图和主视图不一样的图形是( )A ．C ．长方体B ．圆柱C ．圆锥D ．球# 3、如下图，是由几个小立方体块搭成的几何体，小正方形内的数字表示在该位置小立方块的个数，其主视图、左视图正确的是（ ）二：解答题：1、如右图是由小立方体搭成的几何体的俯视图，小立 方体的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出 它的主视图和左视图．2、如右图，是由小正方体块搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字是表示在该位置的小立方体块的个数，再根据左视图所提供的信息，求x,y的值，并画出主视图．* 3、如右图是由若干块小立方体积木堆成的实体,在这个基础上要把它堆成一个大立方体, 至少需要多少块立方体积木?大显身手姓名：成绩：# 1．截去四边形的一个角，剩余图形不可能是（）A．三角形; B．四边形;C．五边形; D．圆# 2．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则这个几何体不可能是（）A．圆柱; B．圆锥;C．正方体; D．球3、正方体被一个平面所截，所得边数最多的多边形是（）A、四边形B、五边形C、六边形D、七边形4．用平面去截一个三棱柱，很容易截出一个三角形，你还能截出一个平行四边形吗？能截出一个梯形吗？能截出一个五边形吗？（借助下图进行分析，不必画出截面）5、一个平面去截一个几何体两次，一次所成截面是圆，另一次是等腰三角形，那么这个几何体是．6、如图是由一些相同的小正方体构成的主体图形的三种视图构成这个立体图形的小正方体的个数是（）A．3; B．4; C．5; D．67、观察图形，问：圆锥的三视图是（）A. 主视图和俯视图是三角形，侧视图是圆．B. 主视图和侧视图是三角形，俯视图是圆．C. 主视图和侧视图是三角形，俯视图是圆和圆心．D. 主视图和俯视图是三角形，侧视图是圆和圆心．8、观察长方体，判断它的三视图是（）A. 三个大小不一样的长方形，但其中有两个可能大小一样．B. 三个正方形．C. 三个一样大的长方形．D.两个长方形，一个正方形# 9、物体的形状如图所示，则此物体的俯视图是（）# 10、甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边11、如图，是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三视图这些小正方体的个数是（）A 4B 5C 6D 7主视图左视图俯视图# 12、下面是用几个小正方体搭成的四种几何体，分别画出它们的三视图．13.由几个小立方体组成的几何体的俯视图如右图所示，小正方形中的数字和字母表示叠在该位置上的小立方块的个数.根据主视图求出y x ,的值并说明你的理由.14. 如图是一个立体图形的三视图,这个立体图形是由一些相同的小正方形搭成的,这些小正方的个数为( ) A 6 B 7 C 8 D 9# 15.如图1-4-16是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的俯视图是（ ）x 3 2 y 俯视图主视图 左视图 主视图 俯视图16.作出如下图所示立体图形的三视图.* 17. 把一个正方体截去一个角剩下的几何体最多有（ ）A ．4个面B ．5个面C ．6个面D ．7个面* 18.一个球的内部挖去一个最大的正方体（正方体的八 个顶点都在球的表面上），用一个平面去截这个几何体， 是截面形状的有（ ）* 19.一个画家有14个边长为1的正方体，他在地 上把它们摆成如下图所示的形式，然后他把露出的 表面涂上颜色，求：涂上颜色的表面积．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个。
七年级数学辅导： 立体图形的截面与三视图
几何（二）立体图形的截面与三视图【知识要点】2．三视图法：（1）主视图：从看到的图形叫做主视图；（2）左视图：从看到的图形叫做左视图；（3）俯视图：从看到的图形叫做俯视图。
它们的关系：（1）主视图列数＝俯视图列数；主视图行数＝左视图行数；俯视图行数＝左视图列数（2）主视图中每列正方体的个数就是俯视图中每列数中最大的数值；主视图中每行正方体的个数就是左视图中相应的行中数字最大的数；3．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。
【典型例题】例1 用一个平面去截一个正方体，可能出现哪些图形？请分别画出。
例2：如果用一个平面截一个正方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点、几条棱、几个面？例3：用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形；用一个平面去截四棱柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形；如果用一个平面去截n 个棱柱，最多能截得几边形？例4:把两个长 3 厘米、宽2厘米、高1厘米的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它分成两个大小相同的小长方体，末了一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面积大多少？例5:用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如图2-1，试确定该几何体用了多少块小方块。
例6:如图2-2，是由几个小正方体所搭成的两个几何体的俯视图。
小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图。
例7：如图2-3：是由几个小立方体所搭的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，如果每个小正方体的棱长是1，求该几何 体的表面积。
例8：棱长为a 的正方体，摆放成如图2-4所示的形状.主视图 左视图 俯视图 图2-1（1（2图2-2 图2-3（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积：（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积；（3）第n 层，该物体的表面积是多少？思考：有一个正方体,它的6个面被分别涂上了不同的颜色,并且在每个面上至少贴有一张纸条.用不同的方法来摆放这个正方体,并从不同的角度拍下照片.(1)洗出照片后,把所拍摄的面的颜色种类不同的照片全部挑选出来,最多可以选出多少张照片?(2)观察(1)中选出的照片,发现各张照片里的纸条数各不相同.问:整个正方体最少贴有多少张纸条?【练习与拓展】一．选择题：1．一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（ ）。
立体图形的截面与三视图讲义知识点经典例题练习
立体图形的截面与三视图【知识要点】1．截面：一个平面与一个几何体相交所截得的图形叫做截面. 2．三视图法：（1）主视图：从正面看到的图形叫做主视图； （2）左视图：从左面看到的图形叫做左视图； （3）俯视图：从上面看到的图形叫做俯视图. 3．欧拉公式：面数＋顶点数－边数=2（2=-+e v f ）【典型例题】例1． 用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形；用一个平面去截四棱柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形；如果用一个平面去截n 棱柱，最多能截得几边形？例2． 如图所示是由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出它的主视图和左视图.例3．如图是由小立方体搭成的几何体,从不同方向看几何体,分别画出它们 的三种视图， 并在小正方形内填上表示该位置的小正方体个数的数字.例4．用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如图所示，试确定该几何体用了多少块小方块.主视图左视图例5. 用小立方块搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小立方体？最少需要多少个立方体？如何摆放？【初试锋芒】1. 三棱柱的表面展开图是________形和_________形2. 一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（）A．长方形B．三角形C．梯形D．七边形3. 正方体的截面中，边数最多的多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形4. 把一个正方体截去一个角剩下的几何体最多有（）A．4个面B．5个面C．6个面D．7个面5. 如图所示．是一个几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，那么这个几何体的主视图和左视图是（）6. 在下列立体图形中，不属于多面体的是（）A．正方体B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥体7. 下图是一些立体图形的三视图，请在括号内填上立体图形的名称.8.请画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图.9.一些正方体的积木堆在桌上，从前、左两个方向看去，看到的主视图、左视图都如图1所示，从上面看下去，看到的俯视图如图2所示.试求该物体由几个小正方体组成？22 112 11B22 112 221 212 11C22 123D2 12俯视图图1 图2 从10.下图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置 小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图.【大显身手】1．用一个平面去截一个几何体,截出的面叫 .2．用一个平面去截一个几何体,如果截面是梯形,那么这个几何体可能为 3．如图是11个小立方体搭成的几何体,从不同方向看几何体,分别画出它们 的三种视图，并在小正方形内填上表示该位置的小正方体个数的数字.4．如图是小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置 的小立方块的个数，请你画出它们的主视图与左视图.。
截面与三视图
第二讲截面与三视图（一）截一个几何体截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。
（1）用一个截面去截长方体或正方体，截面可能是等腰三角形、等边三角形、但不可能是三角形，也可能是正方形，长方形，梯形，五边形等，最多可截得边形。
可能出现：锐角三角形，等边、等腰三角形；正方形，长方形，平行四边形，菱形，不等腰梯形，等腰梯形；五边形；六边形，正六边形。
不可能出现：钝角、直角三角形，直角梯形，正五边形，七边形或更多变形（2）用一个截面去截圆柱，截面可能是正方形，长方形，圆或椭圆。
（3）用一个截面去截圆锥，截面可能是等腰三角、圆、抛物线形或椭圆。
（4）三棱锥的截面可以是三角形、长方形、四边形。
其中四边形可以是特殊的矩形、梯形。
截面的形状多为圆和多边形，也可能是不规则图形，一般与下面两点有关：（1）几何体的形状；（2）切截的方向和角度一般的，截面与几何体的几个面相交，就得到几条交线，截面与平面相交就得到几边形;截面与曲面相交，得到曲线，截面是圆或不规则图形。
（二）从三个不同方向观察物体我们从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图叫做俯视图。
典型例题讲解：例1.用一个平面去截圆锥，截面图形不可能是（）A．B．C．D．例2.把正方体的八个角切去一个角后，余下的图形有（）条棱．A．12或15B．12或13C．13或14D．12或13或14或15例3.如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（A．锐角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形例4.如图，由三个小立方体搭成的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．例5.如图是某几何体的三视图，其侧面积（）A．6B．4πC．6πD．12π例6.如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的两种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A．7B．6C．5D．4例7.如图所示，几何体是由一些大小相同的小正方体组成，其三视图中面积最小的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．都一样例8.如图是一个由相同小正方体搭成的几何体俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．随堂练习：1（易）．一个平面截圆柱，则截面形状不可能是（）A．圆B．三角形C．长方形D．梯形2（易）．给出以下四个几何体，其中不能截出圆的几何体是（）A．球B．圆锥C．正方体D．圆柱3（易）．用平面去截下列几何体，不能截出三角形的是（）A．B．C．D．4（易）．用平面去截如图所示的三棱柱，截面形状不可能是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形5（易）．用一个平面分别去截：①球；①四棱柱；①圆锥；①圆柱；①正方体．截面可能是三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6（易）．用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体7（易）．用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．正方体8（易）.如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．9（易）．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的全面积是（）A．14πB．24πC．26πD．36π10（中）.下图是由大小一样的小正方块摆成的立体图形的三视图，它共用多少个小正方块摆成（）A．5B．8C．7D．611（中）．由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的主视图、俯视图如图所示，那么搭成这个几何体最少用的小立方块的个数是（）A．8B．7C．6D．512（中）．某物体的展开图如图，它的左视图为（）A．B．C．D．13（难）．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（）A．24πB．32πC．36πD．48π14（难）．如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与侧视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，侧视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（）A．320cm B．395.24cm C．431.77cm D．480cm15（中）．在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（）A．9箱B．10箱C．11箱D．12箱16（中）．用若干个小立方块搭一个几何体，使得它的左视图和俯视图如图所示，则所搭成的几何体中小立方块最多有（）A．15个B．14个C．13个D．12个17（难）．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其主视图与俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（）A．7个B．6个C．5个D．4个18（难）．若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有（）A．6桶B．7桶C．8桶D．9桶19（难）如图①是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，请类比梯形面积公式的推导方法（如图①），推导图①几何体的体积为．（结果保留π）。
截面与三视图 (讲义及答案)
截面与三视图（讲义）➢课前预习1.制作一个长方体的土豆块，试着切一刀，观察切出的面是什么形状．再换一种切法，看能否切出不同形状的面．下面是几种不同的切法，请你观察切出的面形状分别是什么，并填在对应的横线上．_________ _______ ________ ________2.我们知道从不同的角度观察同一个物体时，可能会看到不同形状的图形，如图，桌面上放着一个圆柱体和一个三棱锥，请说出下面的三幅图分别是从“上面”、“正面”、“左面”中哪个方向看到的？________ ________ ________➢知识点睛1.正方体截面有_______________________________________．2.观察一个几何体的形状通常从三个方向看，从正面看（主视图），从左面看（左视图），从上面看（俯视图）．从正面看可以看到物体的_______和_________；从左面看可以看到物体的_______和_________；从上面看可以看到物体的_______和_________．➢精讲精练1.圆柱体截面的形状可能是______________（至少写出两个）．2.用一个平面去截：①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的几何体是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④3.如图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为（）A．B．C．D．4.圆锥的截面不可能为（）A．三角形B．四边形C．圆D．椭圆5.如图所示，用一个平面沿与棱平行的方向去截一个棱柱，则截面的形状是_______________．6.正方体的截面不可能是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形7.写出两个三视图形状都一样的几何体：________________．8.一个直立在水平面上的圆柱的主视图、俯视图、左视图分别是（）A．长方形、圆、长方形B．长方形、长方形、圆C．圆、长方形、长方形D．正方形、长方形、圆9. 如图，该物体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10. 下图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 下图是由五块积木搭成的几何体，这几块积木都是相同的立方块，请画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图．12. 下图是由五块积木搭成的几何体，这几块积木都是相同的立方块，请画出它的三视图．13. 如图，这是一个由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，请你画出它的主视图与左视图．4213214. 如图，这是一个由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，请你画出它的主视图与左视图．31121115. 如图是由一些相同的小立方块构成的几何体的三视图，那么构成这个立体图形的小立方块有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个16. 如图是由一些相同的小立方块构成的几何体的三视图，那么构成这个立体图形的小立方块有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个17. 用小立方块搭一几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最多要_____个立方块，最少要_____个立方块．俯视图主视图18. 如图是一个由若干个相同的小立方块组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小立方块的个数最多是________个，最少是________个．俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图主视图俯视图19.用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下．它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？请画出最多和最少时的左视图．主视图俯视图20.用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下．它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？请画出最多和最少时的左视图．主视图俯视图21.如图是由大小相同的小立方块组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小立方块最多为________个．主视图左视图22.一个几何体是由若干个相同的小立方块组成的，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体需要的小立方块的个数最多是23.已知下图为一几何体的三视图：（1）写出这个几何体的名称；（2）任意画出它的一种表面展开图；（3）若主视图的长为8 cm ，俯视图中圆的半径为3 cm ，求这 个几何体的表面积和体积．（结果保留π）俯视图：圆左视图：长方形主视图：长方形【参考答案】➢课前预习1.长方形；平行四边形；梯形；三角形2.左面；上面；正面➢知识点睛1.三角形；四边形；五边形；六边形2.列数；层数行数；层数行数；列数➢精讲精练1.圆；长方形（答案不唯一，圆、长方形、椭圆任选两个即可）2. B3. B4. B5.长方形6. D7.球体；正方体8. A9. C10.A11.略12.略13.略14.略15.B16.B17.13；918.13；919.最多需要8个立方块；最少需要7个立方块；图略．20.最多需要14个立方块；最少需要10个立方块；图略．21.722.1323.（1）圆柱；（2）略；（3）表面积为(66π) cm2，体积为(72π) cm3．。
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大话庐山真面目
____立体图形的切截与视图
【要点提示】
1．截面：一个平面与一个几何体相交所截得的图形叫做截面。
2．三视图法：
（1）主视图：从正面看到的图形叫做主视图； （2）左视图：从左面看到的图形叫做左视图； （3）俯视图：从上面看到的图形叫做俯视图。
3．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。
4．欧拉公式：顶点数＋面数－边数=2
【典型例题】
例1．用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形；用一个平面去截四棱柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形；如果用一个平面去截n 个棱柱，最多能截得几边形？
例2．如图所示是由小立方体搭成的几何体的俯视图，小立方体的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出它的主视图和左视图。
例3．用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如图所示，试确定该几何体用了多少块小方块。
1 2
1 3
1
主视图
左视图 俯视图 图2-2
例4、用小立方块搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如下图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小立方体？最少需要多少个立方体？如何摆放？
【冲刺练习】
1、一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（ ） A ．长方形
B ．三角形
C ．梯形
D ．七边形
2、三棱柱的表面展开图形是________形和_________形。
3、正方体的截面中，边数最多的多边形是（ ） A ．四边形
B ．五边形
C ．六边形
D ．七边形
4、把一个正方体截去一个角剩下的几何体最多有（ ） A ．4个面
B ．5个面
C ．6个面
D ．7个面
5、如图所示．是一个几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方块的个数，那么这个几何体的主视图和左视图是（ ）。
6、在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ） A ．正方体
B ．三棱柱
C ．长方体
D ．圆锥体
7、.球体的三视图是( )
A .球体的三视图是圆
B . 三个圆且其中一个圆包括圆心
C ．两个圆和一个半圆弧
8、 图4-11中的长方体的三视图是（ ） A 三个正方形 B 三个一样大的长方形
C 三个大小不一样的长方形但其中可能有两个大小一样。
9、下面的三视图是图4-15中四棱锥的三视图，反映物体的长和高的是（ ） A 俯视图 B 正视图 C 左视图 D 都可以
2 2
1 A
1 2
1
1 B
2 2
1 1 2
2
2 1
2 1 2
1
1 C
2 2
1 2 3
D
2 1
2
俯视图
图2-13
10、请画出图中几何体的主视图、左视图、与俯视图。
11、下图中是一些立体图形的三视图，请在括号内填上立体图形的名称。
12、一个正方体的积木堆在桌上，从前、左两个方向看去，看到的主视图、左视图都如图1所示，从上面看下去，看到的俯视图如图2所示。
试求该物体由几个小正方体组成？
13下图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的正视图和左视图。
立体图形的切截与视图作业
姓名： 成绩
图1
图2
从正面
1、用一个平面去截一个几何体,截出的面叫 .
2、用一个平面去截一个几何体,如果截面是梯形,那么这个几何体可能为 .
3、如图4-14是一个物体的直观图，它对应的视图为（ ）
4、一块方形蛋糕,一刀切成两块,两刀最多可切成四块,那么五刀最多可切成( ) A 、7块
B 、12块
C 、14块
D 、16块
5、把一个正方体截去一个角，剩下的几何体最多有 个面.
6、如图是11个小立方体搭成的几何体,从不同方向看几何体,分别画出它们的三种视图， 并在小正方形内填上表示该位置的小正方体的个数.
7、如图是小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请你画出它们的主视图与左视图.
（1）
（2）
（3）
1
3
2
（1） 3
2
2 4 （2）。