第六章 第二节 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法一、知识回顾一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x <<∅∅二、例题讲解⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x .例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.2．分式不等式的解法 例4 解不等式：073<+-x x .例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x .例6． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0. 三、练习【1】设关于x 的不等式x >ax+23的解集为{x 4<x<m}，求实数a 和m 的值。
【2】已知关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集是{x x<-2或x>21-}，求ax 2-bx+c>0的解集。
【3】若对x ∈R 恒有n x x x x >++++122322，(n ∈N ＊)，试求n 的值。
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值 恒大于零，求x的取值范围．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 ＜0，即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所 以 m＜x2－6x＋1． 因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需 m＜67即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，67．
一元二次不等式及其解法
2 1 ∴原不等式的解集为{x|－ ≤ x≤ }． 3 2 (2)∵ Δ＝(－ 4)2－ 4× 2× 7＝－ 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解为－ <x< ， 2 3
2
求 2x2＋bx＋a<0 的解．
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax ＋5x＋c>0 的解集为{x| <x< }， 3 2
2．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(
)
A．(0,2)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的 解集，解得0<x<2，故选A. 答案：A
3．不等式－ 6x2－ x＋ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A． {x|－ ≤ x≤ } 3 2 1 C． {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时，(x－1)(x－ )<0⇔1<x< ； a a 1 ②当 a＝1 时，(x－1)(x－ )<0⇔(x－1)2<0⇔x∈Ø； a 1 1 ③当 a>1 时，(x－1)(x－ )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述：当 a<0 时，解集为{x|x< 或 x>1}；当 a a 1 ＝0 时， 解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时， 解集为{x|1<x< }； a 1 当 a＝1 时，解集为 Ø；当 a>1 时，解集为{x| <x<1}． a
)
2 1 B．{x|x≤－ 或 x≥ } 3 2 2 D． {x|x≤－ } 3
高三数学第六章第2课时精品课件
目录
②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由 2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求 a 的取值范围为[－3,1]． 法二： g(x)＝x2－2ax＋2－a， 令 由已知， x2－2ax＋2－a≥0 得 在[－1，＋∞)上恒成立，
Δ>0， 2 即 Δ＝4a －4(2－a)≤0 或a<－1， g－1≥0，
目录
判别式 Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋ c>0 (a>0) 的解集 ax2＋bx＋ c<0 (a>0) 的解集
Δ>0
{x|x>x2或x<x1} _____________
Δ＝0
b x|x≠－ 2a ___________
Δ<0
R __
{x|x1<x<x2} ____________
目录
【规律小结】 (1)解一元二次不等式的一般步骤： ①对不等式变形，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2 ＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②计算相应的判别式； ③当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次， 一般按下面次序进行讨论： 首先根据二次项系数的符号进行 分类，其次根据根是否存在，即 Δ 的符号进行分类，最后 方程的根存在时，根据根的大小进行分类．
2m＋6＝－a， 与系数的关系得 解得 c＝9. a2 mm＋6＝ 4 －c，
目录
【答案】
9
解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
【名师点评】
(1)二次项若含有参数应讨论其是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要 讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数 且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式 的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、 不等式的性质以及数轴等方法，逐步 化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平 面区域来表示，通过确定临界点和约 束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物 线的开口方向和顶点坐标来表示，一 元高次不等式的解集可以通过相应函 数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不 等式的解集，有助于解决复杂的不等 式问题。
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函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到 一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体 等问题时，可以通过一元二次不等式来描述 物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一 元二次不等式可以用来描述波的传播范围以 及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为 两个一次不等式的乘积形式，从而求解 。
高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件
12/8/2021
第十八页，共三十九页。
当2a<－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
பைடு நூலகம்
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0
的解集为 R.( × )
(3)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－
4ac≤0.( × )
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第二十二页，共三十九页。
2．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为 －∞，－a4∪a3，＋∞； 当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a<0 时，不等式的解集为 12/8/202－1 ∞，a3∪－a4，＋∞.
解析：当 k＝0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 化为 8≥0，其 对任意的 x∈R 恒成立；当 k<0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 不 能恒成立；当 k>0 时，要使不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 对任意的 x ∈R 恒成立，对于方程 kx2－6kx＋k＋8＝0，需 Δ＝36k2－4(k2＋ 8k)≤0，得 0<k≤1.综上，实数 k 的取值范围是[0,1]，故选 A．
高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)
高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。
【重点难点】1。
教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
由常见问题的解决和总结，使学。
2015届高考数学总复习第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理
由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
所以原不等式等价于
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1或1<x≤4} 点评:(1)解分式不等式的指导思想是将分式不等式转化为整 式不等式 , (2)解分式不等式或高次不等式常用穿根法．利用穿根法解不
等式时，分解因式后各因式中x的最高次项系数须为正．
变式探究
给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函
数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
变式探究
4．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a
恒成立，则a的取值范围是__________．
解析：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成 立，令g(x)＝x2－2ax＋2－a， Δ＞0， 2 即Δ＝4a －4(2－a)≤0或a≤－1， 解得－3≤a≤1. g－1≥0， 答案：[－3,1]
－6<0，可以用一次函数的单调性求解．
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题 等价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2. 答案：(－1,2)
第六章
第二节 一元二次不等式及其解法
解一元二次不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)19x－3x2≥6； (2)0＜x2－x－2≤4.
自主解答：
解析：(1)(法一)原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝
，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点
第六章不等式第二节一元二次不等式及其解法课件理
(2)若 a<f(x),x∈D 有解,则 a<f(x)max,x∈D.
第十四页，编辑于星期五：二十二点 十九分。
第六章
第二节
一元二次不等式及其解法
-14-
【变式训练】
若(0,3)内的每一个数都是不等式 2x2+mx-1<0 的解,则 m 的取值
范围是
.
17
-∞,- 3
【解析】由题意可知不等式 22+ − 1 <
0 对(0,3)内的每一个数恒成立, 所以 <
1
− 2对(0,3)内的每一个数恒成立, 所以
1
1
−
2在(0,3)内单调递减,
故
≤
−6=
3
17
17
− , 故的取值范围是 -∞,- .
3
3
<
1
-2
min
, 而 =
第六章
第二节
一元二次不等式及其解法
-11-
考点 2 一元二次不等式恒成立、有解问题
典例 2
(2016·太原模拟)设函数 f(x)=x -1,对任意 x∈
2
恒成立,则实数 m 的取值范围是 (
A.
C.
3 3
- ,
2 2
3
0,
2
B.
D.
3
,+∞
2
3
-∞,2
∪
3
,+∞
2
,f
-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)
)
3
一元二次不等式及其解法
第一课时
探究新知：
解不等式： x 5x 6
2
解：原不等式可变形为：x 5x 6 0
2
方程x 5x 6 0的两个根为：
2
x1＝2，x2＝3
∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.
探究新知： 二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式是一个有机的整体。通过函数把方程与不等 式联系起来，我们可以通过对方程的研究利用 函数来解一元二次不等式。 方程的解即对应函数图象与x轴交点的横坐 标;不等式的解集即对应函数图象在x轴下方或 上方图象所对应x的范围,且解集的端点值为对 应方程的根。
,
a a 16 x1 2 显然 x1 x 2
2
；
,
a a 2 16 x2 2
a a 2 16 a a 2 16 固：
1 1、若0 a 1, 则不等式（x a） ( x ) 0的解是（ A ） a 1 1 A．a＜x＜ C．x＞ 或x＜a a a 1 1 B． ＜x＜a D．x＜ 或x＞a a a
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
2
二、按判别式 的符号分类，即分 0, 0, 0 三种情况
三、按对应方程 ax bx c 0 的根 x1 , x 2 的大小分类，即分 x1 x2 , x1 x2 , x1 x 2 三种情况．
2
1 2a 2 1 3 a
第六章 第二节 一元二次不等式及其解法
1. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次 函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等 式，会设计求解的程序框图．
[理要点] 一元二次不等式的解集 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
R
{x|x1<x<x2}
c<0(a>0)
∅
∅
若a<0时，可以先将 二次项系数化为正数 ，对照上表求解．
[究 疑 点]
1．当a＝0时，不等式ax>b有解吗？
提示：当a＝0时，ax>b不是一元一次不等式；当a ＝0，b≥0时，它的解集为∅；当a＝0，b<0时，它的
综上可知 m 的取值范围是(－∞，1－ 2)．
(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的 一次函数，由x2＋1>0知g(m)在[－2,2]上为增函数， 则由题意只需g(2)<0即可， 即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1.
即x的取值范围是(0,1)．
[归纳领悟]
1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数， 一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围， 谁就是参数． 2．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次
判别式Δ＝
b2－ 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a>0)的
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图象
判别式Δ＝b2－ 一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝(a≠0)的 根 一元 ax2＋bx＋
一元二次不等式及其解法
1 2 (5)－2x ＋3x－5>0；
(6)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项 系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应 方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方 程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝_________. (2)已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是－2,3， a>0， 那么 ax2－bx＋c>0 的解集是__________________．
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有 其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪 一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (2)“次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他 参数，则次数不受此条件限制． (3)必须是整式不等式．
3.2.1一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的定义 只含有 1 个 未知数，并且未知数的 最高次数为 2 的 不等式，称为一元二次不等式．即形如 ax2＋bx＋c>0(≥0) 或 ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等 式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 式的 解
【跟踪训练 2】
解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0.
题型三 例3
“三个二次”之间的转化关系
若不等式 ax2， 求
不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．
高考一轮总复习 数学 第六章 第2讲 一元二次不等式及其解法
延伸探究 1 例 2 中(1)变为：若不等式 mx2－mx－1<0 对 m∈[1,2]恒成立，求实数 x 的取值范围．
解 设 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
其图象是直线，
当 m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则gg12<<00， ，
x2－x－1<0， 即2x2－2x－1<0，
解得1－2
3 1＋ <x< 2
3，
故 x 的取值范围为1－2
3，1＋2
3 .
延伸探究 2 例 2 中(2)条件“f(x)<5－m 恒成立”改为“f(x)<5－m 无解”，如何求 m 的取值范围？
解 若 f(x)<5－m 无解，即 f(x)≥5－m 恒成立， 即 m≥x2－6x＋1恒成立，又 x∈[1,3]， 得 m≥6.即 m 的取值范围为[6，＋∞)．
A．{x|1≤x≤2}
B．{x|x≤1 或 x≥2}
C．{x|1<x<2}
D．{x|x<1 或 x>2}
解析 因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0， 所以结合二次函数的性质可得 1≤x≤2.故选 A.
3．[2016·辽阳统考]不等式xx－ ＋21≤0 的解集是(
)
A．(－∞，－1)∪(－1,2]
所以不改革时的纯收入为：70n－3n＋nn－ 2 1·2万元，
90＝a＋b，
a＝80，
由题设知170＝2a＋b， 所以b＝10，
由题意建立不等式：80n＋10－300－n>70n－3n－(n－1)n，
解得－
3<k<0.
(2)[2015·兰州模拟]已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，则实数 a 的取值 范围是_(_－__3_，__＋__∞__) __．
2015届高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课时精练试题 文(含解析)
第二节 一元二次不等式及其解法1．(2012·南昌调研)不等式1x≤1的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：1x ≤1⇔1－1x ＝x －1x≥0，解得x <0或x ≥1.故选C.答案：C2．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}解析：A ＝[0，＋∞)，B ＝[2,4]，∴A ∩∁R B ＝[0,2)∪(4，＋∞)．故选C. 答案：C3．(2012·青岛模拟)关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大的充要条件是( )A ．－1＜a ＜1B ．a ＜－1或a ＞1C ．－2＜a ＜1D ．a ＜－2或a ＞1解析：设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，由题意知f (1)＜0，∴1＋a 2－1＋a －2＜0. ∴a 2＋a －2＜0.∴－2＜a ＜1.故选C. 答案：C4．(2012·天津六校联考)已知集合M ＝{x |log 2x ≤1}，N ＝{x |x 2－2x ≤0}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为M ＝{x |0<x ≤2}，N ＝{x |0≤x ≤2}，由a ∈M 可推得a ∈N ，但由a ∈N 推不出a ∈M .故选A.答案：A5．(2013·常州质检)已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－35或a ＞1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ＜1C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1或a ＝－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＜0，Δ＝a －2＋a 2－＜0. 解得－35<a <1.综合①②③可知，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35<a ≤1. 答案：D6．设二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，满足f (x ＋3)＝f (3－x )，则使f (x )＞c －8的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞)解析：∵f (x ＋3)＝f (3－x )， ∴x ＝3是y ＝f (x )的对称轴，∴－b2＝3，解得b ＝－6，∴f (x )＝x 2－6x ＋c ，∴f (x )＞c －8，即x 2－6x ＋8＞0， 解得x ＜2或x ＞4.故选D. 答案：D7．(2013·云南昆明一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)解析：f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1.⇔x 0≥1或x 0<－1.答案：B8．(2013·潮州二模)已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相同，则a ＋b 的值为________．解析：不等式|x －2|＞1，得x －2＞1或x －2＜－1，即x ＜1或x ＞3，∴不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞3}，则方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－a ，1×3＝b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3， ∴a ＋b ＝－4＋3＝－1. 答案：－19．(2013·南京师大附中月考)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≤0，x 2－9≥0或x 2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x ≥3或x ＝±3，即x ≤－3或x ＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}10．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＜5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，x 2＋4x ＜5，得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案：{x |－7<x <3}11．(2013·珠海一模)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．解析：(1)A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3＝{x |－3＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}；(2)由题意及(1)知－3,1是方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1＝－2，b 2＝－3×1＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.12．已知f (x )是R 上的单调函数，且对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式f ⎝⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.解析：(1)f (x )为R 上的减函数．理由如下： ∵对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立， ∴f (x )是R 上的奇函数． ∴f (0)＝0.∵f (x )是R 上的单调函数，f (0)＜f (－3)＝2， ∴f (x )为R 上的减函数．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )＜0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＜－f (m )＝f (－m )， 结合(1)得m －xx＞－m ， 整理得－m x －mx＜0.当m ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞0或x ＜m1－m ； 当m ＝1时，{}x |x ＞0；当0＜m ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜m1－m .。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第二节一元二次不等式及其解法 理
第二节 一元二次不等式及其解法知识梳理一、一元二次不等式的概念1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.四、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号和b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)，此时Δ＝b 2－4ac >0，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求得解集．五、高次不等式与分式不等式的解法1．高次不等式的解法：先将最高次项的系数化为正数，然后分解因式，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集．数轴标根法的操作过程：(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式； (2)各因式中x 的系数全部变为1，约去偶次因式； (3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向右端依次取根判断，并“引线”； (4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内．2．分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，通过“穿针引线”法得出不等式的解集．f(x)g(x)>0(<0)可转化为f(x)g(x)>0(<0)；f(x)g(x)≥0(≤0)可以转化为⎩⎪⎨⎪⎧f(x)g(x)，g(x)≠0.,基础自测1．不等式x 2>x 的解集是( ) A.()－∞，0B.()0，1C.()1，＋∞D.()－∞，0∪()1，＋∞解析：由x 2>x 得x (x －1)>0，所以解集为()－∞，0∪()1，＋∞.故选D. 答案：D2．(2013·青海质检)不等式x 2－4>3|x |的解集是( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：因为|x |2－3|x |－4>0，所以(|x |－4)(|x |＋1)>0，所以|x |>4，得x >4或x <－4，故选A.答案：A3．不等式x －1x ＋2>1的解集是________________．解析：∵x －1x ＋2>1⇒x －1x ＋2－1>0⇒－3x ＋2>0，∴x ＋2<0⇒x <－2. 答案：{}x |x <－24．(2012·江西卷改编)若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，则集合A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为__________．解析：因为全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，所以∁U A ＝{x ∈R |0<x ≤2}．答案：{x |0<x ≤2}1．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}解析：由已知条件知不等式f (x )＞0的解集为x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12，所以－1＜10x＜12，但10x ＞0，所以有0＜10x＜12，解得x ＜lg 12＝－lg 2.答案：D2．(2012·重庆卷)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)1，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[)1，＋∞解析：x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，2x ＋1≠0，⇒－12<x ≤1.故选A.答案：A1．(2013·韶关二模)已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|＞2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，则∁U A ∩B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(－2,3]解析：A ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，∁U A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以(∁U A )∩B ＝(2,3]，故选C.答案：C2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －10，x ≤2，log 3x －－6，x >2，若f (6－a 2)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )为定义在R 上的单调递增函数，∴6－a 2>5a ，即a 2＋5a －6<0，解得－6<a <1. 答案：(－6,1)。
一元二次不等式及解法
(1)a 0 a 4
1 （2）m m 且m 0 4
深化练习
(1)若对于x 1,3, mx mx 1 m 5
2
恒成立，求m的取值范围.
6 (1)m m 7
(2)已知不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3＞0
延伸训练
解关于x的不等式 ax (a 1) x 1 0, (a R )
2
综上所述： 1 a＜－1 时，解集为{x|－1＜x＜ }； a a＝－1 时，原不等式无解； 1 －1＜a＜0 时， 解集为{x| ＜x＜－1}； a a＝0 时，解集为{x|x＜－1}； 1 a＞0 时，解集为{x|x＜－1 或 x＞ }． a
1 ， 3
(4)a, b均为负值;
a 3, b 2
考点二
解含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式x 2 (a 1) x a 0, (a R)
( x 1)( x a) 0
当a 1时，解集为x a x 1 当a 1时，解集为 当a 1时，解集为x 1 x a 综上所述：
有参变量时，往往需要针对这个系数是否为0进行分类讨论，并且如果对应的一
元二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要再次针对这 两根的大小进行分类讨论．
3．有关一元二次不等式的恒成立问题 此类问题关键提炼出问题有关于一元二次不等式的本质，对变量进行 分类讨论及借助数形结合等方法进行求解计算.
b 4ac
2
0
y
0
y
x1 x2
0
y
y ax bx c
2
x
x1
x2
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所以0＜x＜5，所以所求x的范围是(0,5).
3.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出 厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场 需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投 入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例
为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利
答案：6
5.a＜0时，不等式x2－2ax－3ax2＜0的解集是
.
解析：∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.又a＜0，
∴不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}. 答案：{x|3a＜x＜－a}
1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.
在的z倍.
(1)用x和y表示z； (2)设x与y满足y＝kx(0＜k＜1)，利用k表示当每月售货总金 额最大时x的值； (3)若y＝ ，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.
用所给出的已知量表示出定价、卖出数量、售
货总金额，列出关系式.
【解】 p(1＋
(1)按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为 )元，每月卖出数量为n(1－ )件，
)(x－1)＜0.(*)
＜x＜1； .
＝1，所以不等式(*)解集为∅；
＞1，所以(*)⇒1＜x＜
当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜
当a＝1时，解集为∅； 当a＞1时，解集为{x| ＜x＜1}.
}；
1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般 地， 知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是 参数.
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1. 法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a， 由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
1.实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的
考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次
【解】
(1)∵Δ＝42－4×2×3＜0，
∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根， 二次函数y＝2x2＋4x＋3的图象开口向上，与x轴没有交点， 2x2＋4x＋3＞0恒成立， 所以不等式2x2＋4x＋3＞0的解集为R.
(2)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
∵Δ＝100＞0， ∴方程3x2＋2x－8＝0的两根为 结合二次函数y＝3x2＋2x－8的图象可知原不等式的解集为
不等式应用题常以二次函数为模型.解题时要理清题意，准 确找出其中不等关系再利用不等式解法求解.
2.不等式应用题一般可按如下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等 关系.
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系.
(3)解不等式. (4)回归实际问题.
某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价 上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现
1 2
1 1 故原不等式的解集为 { x x }. 3 2
答案：A
2.不等式组
A.{x|－1＜x＜1} C.{x|0＜x＜1} 解析：
的解集为
B.{x|0＜x＜3} D.{x|－1＜x＜3}
(
)
答案：C
1 1 3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为 { x x },则a＋b 2 3 的值为 ( )
润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的
关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本 增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000 (1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1).
对于这类问题，应紧抓“定义”，转化为一般关系式，从而 进行求解.若运算法则不变，试求满足x⊙(x－m)＜0的实数x 的取值范围.
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有 即
1 解得0 x . 3 ∴投入成本增加的比例应在(0，
)范围内.
从近几年的高考试题看，高考中常常以小题的形式考
查简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不 等式的解法，或已知二次函数零点的分布以小题形式考查相 应一元二次方程中未知参数的取值范围，或以解答题形式出 现单独考查含参数的一元二次不等式的解法，也可能与函数 相结合考查参数的取值范围等.2009年山东卷第5题以“自定义 ”形式考查了一元二次不等式的解法.
(
)
1 1 解析：不等式 ( x )( x ) 0, 2 3
1 3 1 1 又∵相应方程 ( x )( x ) 0 的两根为： 2 3 1 1 x1 , x2 , 3 2
同解于 ( x )( x ) 0,
1 1 1 1 ( x )( x ) 0的解集为 x . 2 3 3 2
(2009· 山东高考)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满
足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为
A.(0,2) C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) B.(－2,1) D.(－1,2)
(
)
[解析] ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0， ∴x2＋x－2＜0.∴－2＜x＜1. [答案] B
再结合上表进行求解.
(2)当首项系数含有字母参数时，要注意对首项系数是 否为0进行讨论，当首项系数为0时，不是一元二次不
等式，当首项系数不为0时，才是一元二次不等式.
二、用程序框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)
的求解的算法过程为：
1 1 1.不等式 ( x )( x ) 0 的解集为 2 3
法二：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0
⇒(3x－1)(x－6)≤0⇒(x－
∴原不等式的解集为{x| (2)原不等式等价于
)(x－6)≤0.
≤x≤6}.
结合数轴知，原不等式的解集为 {x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}.
(3)因a＞0，则原不等式等价于(x－
①当a＝1时， ②当a＞1时， ＜1，所以(*)⇒ ③当0＜a＜1时， 综上所述，
解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对 称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
(3)由12x2－ax－a2＞0⇔(4x＋a)(3x－a)＞0
a a ( x )( x ) 0, 4 3
①a>0时， 解集为 {x|x＜ 或x＞－ }.
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，
或x＞－
解集为 {x|x＜
}.
1.解下列关于x的不等式
(1)19x－3x2≥6，
2.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数
的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0 的解集是全体实数.
若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则先考虑a＝0的
情形，然后按照
求解.
每月售货总金额是npz元，
因而npz=p 所以z=
(2)在y＝kx的条件下，z＝
，整理可得
z＝
· {100＋－
k· [x－
]2}，
由于0＜k＜1，所以
所以使z值最大的x值是x=
(3)当y＝
x时，z＝
要使每月售货总金额有所增加，即z＞1， 应有(10＋x)· (10－ x)＞100，即x(x－5)＜0，
【解】
①当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的
条件是
解之得
＜a＜1.
②当a2－1＝0，即a＝±1时， 若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立.
若－1，则原不等式为2x－1＜0，
即x＜ ，不符合题目要求，舍去. ＜a≤1时，原不等式的解集为全体实数.
综上所述，当
2.已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x) ≥a恒成立，求a的取值范围.
A.－14
B.－15
C.－16
D.－17
解析：由题设知
和是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，得.
∴a＋b＝－14. 答案：A
4.设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有
个
元素.
解析：由(x－1)2＜3x＋7得－1＜x＜6， ∴集合A＝{x|－1＜x＜6}，
∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5共6个元素.
(2)0＜x2－x－2≤4， (3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0).
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝ ，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点
( ，0)和(6,0). ≤x≤6}.
所以原不等式的解集为{x|
(1)2x2＋4x＋3＞0；
(2)－3x2－2x＋8≥0； (3)12x2－ax＞a2(a∈R).
首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项
式能否因式分解，若能，则可得方程的两根， 可大于号取两边，小于号取中间，若不能，则 再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后 写出解集，(3)小题中对a要分类讨论.