第0-1章3滤波器2015修课堂用

设计线性时移不变滤波器，等于构造冲击响应函数 h ( t ) 对于线性时移不变滤波器，可写为
L( f ) = f ∗ h
4. 因果滤波器
定义 在输入信号到达后才开始有输出的滤波器称为因果滤波器。 下面的定理告诉我们，什么样的滤波器才是因果的。
定理2.5 设 L 是时移不变的滤波器，其响应函数为 h 则当且仅当 h ( t ) = 0, t < 0 成立时， L 构成因果滤波器
( 初始设定 A=α =10)
完成上机报告
A =α
，画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果
．
实际应用的都是因果滤波器，非因果不可用
5. 几种常见的滤波器
⑴ 低通滤波器
从0～ f 2 频率之间，幅频特性平 直，它可以使信号中低于f 2 的频率 成分几乎不受衰减地通过，而高于 f 2 的频率成分受到极大地衰减。
⑵
高通滤波器
与低通滤波相反，从频率f1～∞，其幅频 特性平直。它使信号中高于f1的频率成分 几乎不受衰减地通过，而低于f1的频率成 分将受到极大地衰减。
的函数值 f (tn )完全而唯一地确定，并可以通−∞
∑
+∞
f(
nπ sin(Ωt − nπ ) ) Ω Ωt − nπ
过采样加速收敛，降采样产生混叠(aliasing)
§5
Hersenberg测不准原理 1. 时窗中心，频窗中心
u=
1 f 1 f
2 2
∫
1 2
§5
Hersenberg测不准原理 3. 时频窗口
[u − σ t , u + σ t ] × [ξ − σ ω , ξ + σ ω ]
(是一种分辨率的概念，越小，越集中，局部化性能越好) 4. Hersenberg测不准原理(位置，动量测不准) 1 σ tσ ω ≥ 设 f ∈ L2 ( R ) 则 2 当且仅当 5. 例子
−t 3 ⑶. 对于信号 f (t ) = e (sin 2t + 2sin 4t + 0.4sin 2t sin 40t ), 0 ≤ t ≤ π
，画出
f (t )图形
⑷. 画出滤波后图形 f ∗ h(t ) ，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取 A =α =10
−t ⑸. 取 f (t ) = e (sin 5t + sin 3t + sin t + sin 40t ), 采用不同的变量值
则称 滤波器时移不变
时移不变例子
设函数 l (t ) 具有紧支集， 对于信号
( Lf )(t ) = (l ∗ f )(t ) = ∫ l (t − x) f ( x)dx
−∞ ∞
f
，令 ，对每个
t
线性算子 L 是时移不变的。 非时移不变例子
令
( Lf )(t ) = ∫ f (τ )dτ
0
t
则线性算子 L 是非时移不变的。
§3. FT与线性滤波器 1. 线性滤波器
L ——变换
①加性： L f + g = L f + L g ②齐性： L cf = cL f
,其中c为常数
2. 时移不变
记 f a (t ) = f (t − a ) 若
L [ f a ] (t ) = ( Lf )(t − a)
(或L[ f a ] = ( Lf )a )
5. 几种常见的滤波器
⑶ 带通滤波器 它的通频带在f1～f2之间。它使信号中高于f1而低于f2的频率成分可以不受衰减地通过， 而其它成分受到衰减。 ⑷ 带阻滤波器 与带通滤波相反，阻带在频率f1～f2之间。它使信号中高于f1而低于f2的频率成分受到 衰减，其余频率成分的信号几乎不受衰减地通过。
§4 采样定理
Ω 2π ⎞ ⎛ , T= ⎜υ = ⎟ 2π Ω⎠ ⎝
§4 采样定理
2. （Shannon-Whittater采样定理）
ˆ 假定 fˆ (ω ) 是分段光滑的连续函数，并且 f (ω ) = 0 对于某个正数 Ω
当
ω > Ω 时成立，则 f = F −1[ fˆ ] 可以通过采样点
tn =
nπ , n = 0, ±1, ±2," Ω
3. 定理1.2
设变换 L是线性时不变的，其作用的信号是分段连续的，则存在 一个可积函数，对信号空间中的所有元素 f ，满足：
L( f ) = f ∗ h
特别的，对于 f (t ) = eitω 有
ˆ(ω )eiωt L (eitω ) = h
h ( t ) ——冲击响应函数
ˆ(ω ) h ——系统函数（传输函数）
f (t ) = ae
iξ t −b ( t −u )2
, a ≠ 0, b ∈ R 式中的等号成立。
课后作业 1. Butterworth滤波器 ,其冲击响应函数为
⎧ Ae−α t , 若t ≥ 0 h(t ) = ⎨ 若t < 0 ⎩0,
ˆ (ω ) ⑴. 求 h
⑵. 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？
+∞
−∞ +∞
t f (t ) dt ,
2
ξ=
∫
−∞
ω fˆ (ω ) d ω
1 2
2
2. 时窗半径，频窗半径
⎛ 1 σt = ⎜ 2 ⎜ f ⎝ ⎛ 1 σω = ⎜ 2 ⎜ f ⎝
⎞ ∫−∞ (t − u ) f (t ) dt ⎟ ⎟ ⎠
+∞ 2 2 +∞ 2 2
⎞ ∫−∞ (ω − ξ ) f (ω ) dω ⎟ ⎟ ⎠
1. 频率带限信号 （频谱有限）
定义：如果存在常数 Ω > 0 ，使得
ˆ (ω ) = 0, ω > Ω f
成立，则称 f (t ) 为频率带限信号。 当 Ω 为满足上述等式的最小频率时， υ = 而 2υ =
Ω 2π
称之为Nyquist频率，
Ω
π
称之为Nyquist速率。（抽样率）
Ω 称为Nyquist带