数学人教版七年级上册工程问题.5-列一元二次方程解应用题教案(一)
一元二次方程的应用教案
一元二次方程的应用教案一、课题：一元二次方程的应用二、教学目标：知识和技能目标：能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并正确解释方程的根。
过程和方法目标：列出方程并总结运用方程解决实际问题的步骤，提高学生逻辑推理能力和解决问题能力。
态度和情感目标：体会一元二次方程是刻画现实社会数量关系的工具，正确认识到数学的实际价值。
三、教学重难点：教学重点：找出等量关系并列出一元二次方程教学难点：从实际问题中抽象提炼出一元二次方程四、教学过程设计（一）提出问题，导入新课教师提出问题：“列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？”、“一元二次方程都有哪些解法？”“如果两个连续整数的积是60，求这两个数？（列出方程并猜一猜这两个数）”。
通过学生的回答，复习一元二次方程解应用题的一般步骤以及一元二次方程的解法。
同时，在通过方程的例题，很容易猜出这两个数，教师可以适时提出：“是不是所有问题都可以用方程的方法解决？本节课我们就一起学习一元二次方程的应用。
”（二）出示课件，讲解新课教师出示PPT，列出一元二次方程的解题步骤是：审→设→找→列→解→验→答。
其中，审：主要是指审题，全面分析题意，分析题干中哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
设：主要是指用字母设未知数。
找：主要是找出应用题中的等量关系。
列：主要是指列一元二次方程，这也是一元二次方程解应用题的关键步骤，先找出等量关系，再根据代数式表示等量关系中的各个量，从而列出一元二次方程。
解：主要是解一元二次方程，求出一元二次方程，未知数的值。
验：主要是指检验方程的解是否符合题意。
答：写出答案。
在掌握一元二次方程解题步骤的基础上，教师列出一元二次方程的常见题型是：传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题、营销问题、利息问题等。
（三）设计任务，小组讨论根据一元二次方程的主要题型，设计相应题目，引导学生分小组进行讨论、解决。
例如：某镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷，①求该镇2012年到2014年绿地面面积的年平均增长率？②若增长率不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？针对增长率的问题，学生经过探究和讨论发现，增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率、平均降低率等关键因素，这种情况下，如果平均增长率百分率为x ,增长前基数为a，增长n次的最后产量是b,则数量关系可以表示为：a（1+x）n=b,如果是降低率则可以表示为：a（1-x）n=b，其中1与x的位置不能调换。
一元二次方程应用教案
一元二次方程应用教案教案标题：一元二次方程应用教案教案目标：1. 学生能够理解和运用一元二次方程的概念和性质。
2. 学生能够解决实际问题，运用一元二次方程进行建模和求解。
3. 学生能够将一元二次方程应用于实际生活中的各种情境。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾一元二次方程的定义和基本形式。
2. 提出一个实际问题，例如：“小明要在一块长方形的花坛中种植一圆形的花坛，已知长方形的周长为20米，求圆形花坛的半径。
”引导学生思考如何用一元二次方程表示和解决这个问题。
探究：1. 提供一些实际问题的例子，例如：“一个炮弹从地面射出，以抛物线的形式飞行，已知炮弹的运动方程为h = -5t^2 + 20t + 10，其中h表示炮弹的高度（单位：米），t表示时间（单位：秒）。
请问炮弹的最高飞行高度是多少？炮弹什么时候落地？”引导学生分析问题并尝试用一元二次方程解决。
2. 引导学生总结一元二次方程的解法，包括因式分解、配方法和求根公式。
应用：1. 分组活动：将学生分成小组，每个小组设计一个实际问题，并用一元二次方程进行建模和求解。
鼓励学生选择与他们日常生活相关的问题，例如跳伞运动员的落地时间、投掷物体的最远距离等。
2. 学生展示：每个小组向全班展示他们的问题、建模过程和解决方案。
其他学生可以提出问题和建议，以促进讨论和交流。
拓展：1. 提供更复杂的问题，例如：“一个人从海边沿着一条直线跑步，已知他的速度为v（单位：米/秒），他在t秒后离海边的距离为d（单位：米）。
如果他从海边出发后，经过5秒后与另一个人相遇，而这个人的速度是他的一半，求他们的速度和离海边的距离。
”引导学生运用一元二次方程解决这个问题。
2. 鼓励学生自主学习更多关于一元二次方程的应用领域，例如物理学、经济学等，并分享他们的发现和心得。
评估：1. 设计一份综合性的评估题目，要求学生应用一元二次方程解决一个实际问题。
2. 观察学生在小组活动和展示中的表现，评估他们对一元二次方程应用的理解和运用能力。
一元二次方程及其应用教学设计
一元二次方程及其应用教学设计一元二次方程是中学数学中的重要内容，本文将介绍一份针对初中学生的一元二次方程及其应用的教学设计。
一、教学目标1. 理解一元二次方程的定义和基本形式，掌握解一元二次方程的方法。
2. 了解一元二次方程的应用场景，能够将实际问题转化为一元二次方程并解决。
二、教学内容1. 一元二次方程的定义和基本形式2. 解一元二次方程的方法：配方法、公式法、因式分解法3. 一元二次方程的应用：如何将实际问题转化为一元二次方程三、教学过程1. 引入通过一些实际问题引入一元二次方程的概念和应用，如：如果一个长方形的长比宽多10，而它的面积是60，那么长和宽各是多少？2. 知识点讲解讲解一元二次方程的定义和基本形式，解一元二次方程的方法，以及一元二次方程的应用。
3. 练习1）练习一元二次方程的解法，包括配方法、公式法、因式分解法，并进行多种类型的练习。
2）通过实例，练习如何将实际问题转化为一元二次方程，如：一个人从A点出发，以每小时5公里的速度向B点行进，如果他从B 点返回A点时速度为每小时8公里，整个来回路程共需要7小时，那么AB之间的距离是多少？4. 总结总结一元二次方程的定义和解法，以及一元二次方程在实际问题中的应用。
四、教学评估通过小测验和课堂练习，检测学生对于一元二次方程的理解和掌握程度。
同时，可以通过学生在实际问题中的应用情况来评估教学效果。
五、教学拓展1. 可以引导学生深入研究一元二次方程的性质和应用，如如何判断一元二次方程有解，一元二次方程的图像等。
2. 可以引导学生探究其他与一元二次方程相关的数学内容，如函数、不等式等。
六、教学反思通过反思教学中的不足之处，不断完善教学设计，提高教学效果。
同时，也需要关注学生的学习情况，及时调整教学策略，确保教学质量。
实践操作：利用解一元二次方程解决实际问题教案
实践操作：利用解一元二次方程解决实际问题教案利用解一元二次方程解决实际问题教案教学目标：通过本课程的学习，学生将掌握解一元二次方程的方法，了解在实际生活中如何利用解一元二次方程解决问题，并能够运用已学的方法解决一些简单的实际问题。
教学重点：掌握解一元二次方程的方法，了解解一元二次方程在实际生活中的应用方法。
教学难点：理解解一元二次方程在实际生活中的应用方法，运用已学的方法解决复杂实际问题。
教学过程：一、导入教师根据学生之前学习的内容，提问：二次函数的图像有哪些？求二次函数的零点的方法有哪些？帮助学生进行复习。
二、新课讲解1.一元二次方程的定义一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数，x是未知数。
2.一元二次方程的求解方法（1）配方法将一元二次方程化为(a1x+b)²+c=0的形式，然后利用开方、乘法公式求解。
（2）公式法利用求根公式x=(-b±√b²-4ac)/2a即可求解。
3.一元二次方程在实际生活中的应用（1）求直线与圆的交点坐标。
（2）求抛物线的焦点坐标。
（3）求三角形的面积。
（4）街灯投射范围的计算。
三、实例分析在教师的指导下，学生们进行以下示例的练习：已知一个游泳池的长和宽分别为6米和4米，并且有一个水平面往里倒进去。
在水平面下方1米处，水深为3米，试求这个游泳池的最大深度。
解：设游泳池的最大深度为x米，则在水平面下方1米处水深是(3-x)米。
因为水平面下方1米处的游泳池截面是一个矩形，所以游泳池的容积为：V=6×4×(3-x)+1/2×(6-2x)×(4-2x)×x化简得：V=-2x³+18x²-45x+72将V'=0代入得到最大深度：x≈2.5米。
四、实践应用教师和学生一起思考以下实际问题：一个五边形ABCDE，已知AB=2cm，BC=4cm，CD=6cm，DE=8cm，EA=10cm，求这个五边形的面积。
初中数学(人教版)第二十二章一元二次方程教案
初中数学(人教版)第二十二章一元二次方程教案1000字
一、教学目标
1.了解一元二次方程的概念及特征。
2.学会解一元二次方程，掌握常用解法。
3.掌握应用一元二次方程解决实际问题的方法。
4.发扬实验探究科学精神，培养探究和创新能力。
二、教学重难点
1.重点：一元二次方程的解法及问题应用。
2.难点：运用一元二次方程解决实际问题。
三、教学内容及方法
1.内容：一元二次方程
2.方法：实验探究法、讲练结合法、归纳总结法。
四、教学过程
（一）热身阶段
通过学生简单生活例子引入，旨在让学生了解一元二次方程的学习目的。
（二）学习阶段
1.学生进行实验探究，探究一元二次方程和一元二次方程的特征。
2.通过教师讲解和学生自主探究，学习一元二次方程的解，并更深入地了解一元二次方程的解法。
3.学习如何选取合适的解法，提高解决问题的能力。
（三）巩固阶段
1.教师提供一些实际问题，让学生进行解决。
2.通过真实场景展示，引导学生应用所学知识，将数学与现实联系起来。
（四）拓展阶段
对于已掌握知识的学生，教师可以提供更复杂的问题，以扩展知识面。
五、教学手段
1.教师讲解
2.实验探究
3.讨论交流
4.试题分析
六、教学评价
1.学生的课堂参与情况。
2.学生的问题解决能力。
3.学生的实际应用能力。
人教版七年级上册实际问题与一元一次方程-工程问题(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与工程问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示工程问题中的工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。
人教版七年级上册实际问题与一元一次方程-工程问题（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版七年级上册数学教材第五章“实际问题与一元一次方程”中的工程问题。教学内容主要包括以下两个方面：
1.工程问题的基本概念：通过实例引出工程问题的特点，使学生理解并掌握工程问题中的工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
2.应用一元一次方程解决工程问题：结合教材例题和练习题，让学生掌握如何将工程问题转化为数学模型，列出相应的一元一次方程，并通过求解方程来解决实际问题。
具体内容包括：
（1）教材例题：某工程队计划完成一项工程，若甲、乙两队合作，需要4天时间；若甲、乙两队分别单独完成，甲队需要6天，乙队需要8天。求甲、乙两队单独完成工程的效率。
（2）课后练习：根据工程问题的特点，设计相关练习题，巩固学生对一元一次方程解决工程问题的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生能够从现实情境中抽象出数学模型，提高数学建模的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解工程问题的基本概念，掌握工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
（2）学会将工程问题转化为数学模型，列出相应的一元一次方程。
（3）掌握求解一元一次方程的方法，并能将其应用于解决工程问题。
《一元二次方程》教案1（5篇模版）
《一元二次方程》教案1（5篇模版）第一篇：《一元二次方程》教案122.1一元二次方程教学内容本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标知识技能探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。
数学思考在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。
解决问题培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。
情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、情境引入【问题情境】问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？/ 5问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、探索新知【活动方略】学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【设计意图】主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．三、范例点击/ 5例1 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得3x2-3x=5x+10，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．【活动方略】学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．【设计意图】进一步巩固一元二次方程的基本概念．例2 猜测方程x2-x-56=0的解是什么？【活动方略】学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x ＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【设计意图】探究一元二次方程根的概念以及作用．四、反馈练习课本P32 练习1，2 课本P33 练习1、2题补充习题：1．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中/ 5 的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）x2-36=0；【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.五、应用拓展例3：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．例4：有人解这样一个方程(x+5)(x-1)=7．解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？由(x+5)(x-1)=7得到x+5=1或x－1=7，应该是x+5=1且x－1=7，同时成立才行，此时得到x=－4且x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的．【活动方略】教师活动：操作投影，将例3、例4显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
利用一元二次方程求解实际问题教案
利用一元二次方程求解实际问题教案：一元二次方程是高中数学中比较重要的一章，也是考试中的高频知识点。
在学习一元二次方程的时候，我们可以学习到如何用一元二次方程去解决一些实际问题，例如物理问题，经济问题，几何问题等等。
在本文中，我们将学习如何利用一元二次方程去解决一些实际问题，希望能对大家的学习有所帮助。
第一节、教学目标1.了解什么是一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式。
2.能够由实际问题建立一元二次方程。
3.掌握通过一元二次方程求解实际问题的具体方法。
4.能够在实际问题中灵活应用所学的知识。
第二节、教学重点1.一元二次方程的概念和基本形式。
2.通过实例掌握如何由实际问题建立一元二次方程。
3.通过实例掌握如何利用一元二次方程求解实际问题。
第三节、教学难点1.在不同实际问题中找到正确的建立方程的方法。
2.对于某些较为复杂的实际问题，需要较强的推理能力和运算能力。
3.学生需要在实践中灵活运用所学的知识。
第四节、课前预习1.阅读相关教材中有关一元二次方程的原理和方法。
2.做相关习题和练习，掌握一元二次方程的计算方法。
3.查看相关的实际问题，了解如何将实际问题转换为一元二次方程。
第五节、课堂教学1.师生共同讨论一些典型的实际问题，并通过这些问题建立相应的一元二次方程。
2.引导学生想出正确的解题思路，通过一元二次方程求解实际问题。
3.园丁为一家公园设计了一个长方形花坛，长比宽大 10 米，圆形花坛面积是长方形花坛面积的 3/4，求长方形花坛的面积。
先建立方程：设长为 x 米，宽为 y 米，则有：x = y + 10 （长比宽大 10 米）3/4 (πr²) = xy （圆形花坛面积是长方形花坛面积的 3/4）将圆形花坛的半径r表示为 x/2 - 5，则πr² = π(x/2 - 5)² = π(x²/4 - 5x + 25)则方程为：3/4 π(x²/4 - 5x + 25) = xy整理可得：3x² - 40x + 300 = 0求解方程，得：x₁ = 10， x₂ = 10/3由题可知长方形花坛的长比宽大 10 米，因此长为 20 米，宽为10 米，则长方形花坛的面积为 200 平方米。
一元二次方程的实际问题解决教案
一元二次方程是初中数学中一个重要的概念，既然是一个常规的数学概念，它和我们的日常生活有什么关系呢？其实，一元二次方程在我们的日常生活中也有非常广泛的应用。
比如，我们可以通过一元二次方程解决一些与面积、体积、速度、加速度等相关的实际问题。
对于任何一个初中数学教师来说，能够准确地教授学生如何解决这些实际问题，也是非常必要的。
下面，我将分享一份关于如何让学生掌握一元二次方程的实际问题解决方法的教案。
一、教学目标1、让学生掌握一元二次方程与实际问题的联系；2、让学生了解一元二次方程在面积、体积、速度、加速度等实际问题中的应用；3、让学生能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点让学生能够运用所学知识解决实际问题。
三、教学难点让学生理解一元二次方程在实际问题中的应用。
四、教学步骤1、导入环节通过提出一个实际问题来引起学生的兴趣和注意力，例如，“在我们生活的城市中，经常可以看到建筑物上挂着玻璃幕墙。
如果一个幕墙面积为100平方米，长和宽之比为3：2，你能通过一元二次方程求出这个幕墙的长和宽吗？”2、展示知识点介绍一元二次方程的定义和相关知识点，例如，在定义方程ax²+bx+c=0中，a、b、c分别为已知数，x为未知数，a≠0，方程通常需要通过求解x，从而得到问题的解答。
3、学生案例解析通过一个面积问题的例子，让学生了解如何通过一元二次方程求解实际问题。
例如，“现有一块方形草皮，长和宽之和为40米，求这块草皮的最大面积是多少平方米？” 教师将解题思路、公式、步骤与学生一一讲解，帮助学生理解。
4、实例操练让学生在课堂上进行实际问题的解题练习，例如，“一辆汽车以60km/h的速度在一个起伏的公路上行车，加速度为1.2m/s²，求汽车需要行驶多少米才能停下来？” 通过实例操练，帮助学生巩固所学知识并加深对一元二次方程与实际问题的理解。
5、总结和归纳对本节课所学知识进行总结和归纳，让学生能够回顾自己所掌握的知识点和解题方法。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的应用题;2、进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。
学习重点：会列一元二次方程解关于增长率问题的应用题。
学习难点：如何分析题意，找出等量关系，列方程。
学习过程：一、复习提问：列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么?二、探索新知1.情境导入问题：“坡耕地退耕还林还草”是国家为了解决西部地区水土流失生态问题、帮助广大农民脱贫致富的一项战略措施，某村村长为带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动，率先示范.将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包了30亩耕地的还林还草及管理任务，而实际完成的亩数比承包数增加的百分率为x，并保持这一增长率不变，村长完成了36.3•亩坡耕地还林还草任务，求①增长率x是多少?②该村有50户人家，每户均地村长•年完成的亩数为准，国家按每亩耕地500斤粮食给予补助，•则国家将对该村投入补助粮食多少万斤?2.合作探究、师生互动教师引导学生分析关于环保的情境导入问题，•这是一个平均增长率问题，它的基数是30亩，平均增长的百分率为x，那么第一次增长后，•即实际完成的亩数是30(1+x)，第二次增长后，即实际完成的亩数是30(1+x)2，而这一年村长完成的亩数正好是36.3亩.教师引导学生运用方程解决问题：①30(1+x)2=36.3;(1+x)2=1.21;1+x=±1.1;x1=0.1=10%，x2=-2.1(舍去)，所以增长的百分率为10%.②全村坡耕地还林还草为50×36.3=1 815(亩)，•国家将补助粮食1 •815•×500=907 500(斤)=90.75(万斤).三、例题学习说明：题目中求平均每月增长的百分率，直接设增长的百分率为x，好处在于计算简便且直接得出所求。
例、某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两降价的百分率相同，求每次降价百分之几?(小组合作交流教师点拨)时间基数降价降价后价钱第一次 600 600x 600(1-x)第二次 600(1-x) 600(1-x)x 600(1-x)2(由学生写出解答过程)四、巩固练习一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分率是多少(精确到0.1%)?五、课堂总结：1、善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据间相互关系，正确列出方程。
运用一元二次方程解决实际问题教案
运用一元二次方程解决实际问题教案一元二次方程是初中数学中比较重要和常见的一种形式。
它可以用来解决许多实际问题，如抛物线运动、图像对称等。
在初中数学的教学中，学习及掌握一元二次方程的解法方法和应用至关重要。
本文将围绕运用一元二次方程解决实际问题这一主题，探讨初中数学教师如何设计一份科学合理、具有可操作性的教案，帮助学生更好地理解和应用这个知识点。
一、教学目的1. 知道一元二次方程的定义和特征。
2. 熟练掌握一元二次方程的解法方法，包括因式分解法和配方法。
3. 学会运用一元二次方程解决实际问题，如抛物线问题、图像对称等。
二、教学内容1. 一元二次方程的定义和特征（1）什么是一元二次方程？（2）一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0。
（3）一元二次方程的特征：二次项系数a ≠ 0；方程的解可以是实数、复数或无解。
2. 一元二次方程的解法方法（1）因式分解法：将一元二次方程左右两边因式分解得到结果。
（2）配方法：通过变形使一元二次方程成为一个完全平方三项式。
3. 运用一元二次方程解决实际问题（1）抛物线问题：使用一元二次方程的解法方法，求出抛物线的顶点、对称轴、焦点等信息。
（2）图像对称问题：使用一元二次方程的特征和解法方法，求出图像关于哪条线对称。
三、教学过程1. 前置知识引入通过提问和讨论的方式，引入一元二次方程的概念和特征，激发学生对该知识点的兴趣。
2. 一元二次方程的解法方法（1）因式分解法利用例题的方式，详细讲解因式分解法的步骤和注意事项。
并鼓励学生举一些实例，熟悉这个解法方法。
（2）配方法与因式分解法一样，我们也可以通过例题的方式来详细介绍配方法的使用步骤和注意事项。
3. 运用一元二次方程解决实际问题（1）抛物线问题通过一些抛物线的例题来具体让学生掌握如何运用一元二次方程解决实际问题，如求出抛物线的顶点、对称轴、焦点等信息。
（2）图像对称问题同样的，我们可以利用例题，让学生通过运用一元二次方程的特征和解法方法，解决一些图像对称问题。
一元二次方程的应用教案
一元二次方程的应用教案一、教学目标：1.了解一元二次方程的定义和性质；2.掌握解一元二次方程的方法；3.能够通过实际问题建立一元二次方程，并求解；4.培养学生分析和解决问题的能力。
二、教学过程：1.引入（10分钟）通过一个生活实例引入一元二次方程的概念，如一架抛物线轨道上的过山车，让学生思考和讨论如何描述这种运动的规律。
2.知识讲解（20分钟）（1）回顾一元二次方程的定义，解释其中的各个部分，如常数项、一次项和二次项；（2）讲解一元二次方程的基本形式：ax²+bx+c=0，并介绍一元二次方程的性质。
3.解题方法（30分钟）（1）列举解一元二次方程的常用方法，如因式分解法、配方法、求根公式等，并逐一讲解其步骤和应用条件；（2）通过例题演示各种方法的应用，帮助学生理解和掌握。
4.实际问题应用（40分钟）（1）给出一些实际问题，如抛物线的最高点、飞行物体的落地点等，引导学生建立相应的一元二次方程；（2）教师引导学生分析问题，提取关键信息，并帮助他们进行方程的建立；（3）学生根据建立的方程，运用所学的方法求解问题，并进行结果的验证。
5.小结与反思（10分钟）总结一元二次方程的应用及解题方法，检查学生的学习情况，解答疑惑，并鼓励学生思考如何在实际生活中应用所学知识。
三、教学资源：1.教师准备的抛物线轨道模型或图片；2.教师准备的课件或黑板写字工具；3.实际问题的案例。
四、教学评估：通过课堂练习、作业完成情况和问题解决能力的评估，考察学生对一元二次方程应用的理解和掌握程度。
五、教学延伸：1.引导学生进行更多实际问题的探究，提升解决实际问题的能力；2.拓展一元二次方程的应用领域，如物理、经济等；3.引导学生运用一元二次方程解决生活中的实际问题，培养数学思维和解决实际问题的能力。
六、教学反思：本节课通过引入生活实例，激发了学生的兴趣，帮助他们理解了一元二次方程的概念和性质。
在解题方法环节，通过例题演示和实际问题应用，使学生掌握了不同方法的应用条件和步骤。
数学教案：列一元二次方程解应用题
数学教案：列一元二次方程解应用题一、教材内容及教学目标教材内容：解一元二次方程应用题。
教学目标：通过本节课的学习，学生将能够：1.掌握如何将实际问题转化为一元二次方程；2.掌握解一元二次方程的方法；3.了解一元二次方程的应用。
二、教学基本流程1.导入新知识开始本节课，先通过课堂互动引起学生的注意，并列出如下问题：题目：目前班级男生人数为x，女生人数为y，学校要求男女比例为3:5，请问班级至少要有多少人？这个问题呼之欲出的是一个一元二次方程，现让学生思考如何列式子求解这个问题，为学生提供必要的帮助。
2.解题方法的介绍和演示通过提供一些常见的应用问题，让学生明白将实际问题转换成一元二次方程的过程。
1.一个音箱与一台功率为500W的功放相连，如果想要使音箱发出的声音能达到120dB，需要多少功率的功放？2.一艘船在水里静止不动，船底下放着一块砖，当砖的质量为100kg时，船的水面上线标为A，当砖下放到水中，砖的重量变成了50kg，船的水面线标变成了B。
请问，水面的面积是多少？3.结合练习巩固所学知识在讲解完解题方法后，提供一系列的练习题让学生巩固所学知识。
练习：1.一辆汽车行驶了5小时，行驶距离为450公里。
如果该车在行驶到终点的1小时时，速度增加了10公里/小时，那么这辆汽车的原来的时速是多少？2.甲、乙两人同走一条路线，他们从起点A出发，往返所花费的时间之比为3：4，乙人用10小时完成往返行程，问甲乙两人在同一方向走了多少时间？4.课堂练习在学生掌握了转化实际问题为一元二次方程和解一元二次方程的方法以后，通过课堂小组竞赛的方式，让学生在一个限定时间内进行一系列的实战练习。
三、教学重点和难点教学重点：掌握将实际问题转化为一元二次方程的方法。
教学难点：对于一些复杂的应用题，学生可能会无从下手，需要引导学生考虑用逆向思维和逻辑推理寻找解题方法。
四、教学方法在本节课的教学中，我们采用了以下教学方法：1.启发式教学法：在引入问题之后，让学生通过小组讨论的方式互相交流彼此的想法，并在分析每种方法的优缺点后，在课堂上进行广泛的讨论。
初中数学教案：解决一元二次方程的应用问题
初中数学教案：解决一元二次方程的应用问题一、引言二元一次方程是初中数学中的重要内容，它在现实生活中有广泛的应用。
本文旨在提供一套完整的初中数学教案，帮助学生掌握解决一元二次方程的应用问题的方法。
二、理解一元二次方程1. 方程和未知数的概念在介绍一元二次方程之前，首先需要让学生了解方程的基本概念和未知数的含义。
简单地说，方程就是一个等式，其中包含未知数。
2. 一元二次方程的定义引导学生明确一元二次方程是指只包含一个未知数，并且该未知数的最高次幂为2的方程。
3. 解读一元二次方程解释一元二次方程中各个部分的意义，例如系数、常项和次项。
帮助学生理解如何将一个实际问题转化为一元二次方程。
三、应用问题解决步骤详解1. 理清问题思路学生首先需要仔细阅读和理解具体问题，确定所给信息以及需求。
通过绘制图形或列出条件等方式辅助理清思路。
2. 建立关系式根据所给信息，建立一元二次方程。
关系式中的未知数可以是长度、面积、体积等具体物理量。
3. 解方程运用解方程的技巧将一元二次方程简化，并通过因式分解、配方法等方式求得方程的解。
4. 答案验证将求得的解代入原问题检验答案是否符合实际意义。
四、应用问题示例分析以一个典型的题目为例，详细讲解如何应用初中数学知识解决一元二次方程应用问题。
例题：田径场边长为180米，其中有一条越野跑道，宽8米。
已知田径场内设有9条跑道，每条跑道间隔为1米。
求整个田径场占地面积。
1. 确定问题需求通过审题可发现本题需要求解整个田径场占地面积。
2. 列出关系式设田径场长为 x 米，则由题意可得：长度 = 180米 = x + 2(1+8) + (9-1)×1 秒倍数转换后取 x 的表达式为:x=(πx)^23. 解方程将以上关系式化为一元二次方程：x^2 - 2x - 170 = 0运用求根公式或配方法，求解得：x = 174. 答案验证将 x = 17代入原问题中，计算占地面积：面积 = (2(1 + 8) + (9 - 1) × 1) × (x + 8)= (2 × 9 + 8) × (17 + 8)= (18 + 8) × 25= 26 × 25=650 平方米五、教学活动设计1. 讲解一元二次方程的基本概念和应用问题的思路。
列一元二次方程解应用题数学教案
列一元二次方程解应用题数学教案
列一元二次方程解应用题数学教案
一、教学目标
1、能分析应用题中的数量关系，并找出等量关系。
2、能用列一元二次方程的方法解应用题。
3、培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点
教学重点：能分析应用题中的数量间的关系，列出一元二次方程解应用题。
教学难点：例2涉及比例、平均增长率与多年的'增长量之间的关系。
三、教学过程
（一）引入新课
设问：已知一个数是另一个数的2倍少3，它们的积是135，求这两个数。
（由学生自己设未知数，列出方程）。
问：所列方程是几元几次方程？由此引出课题。
（二）新课教学
1、对于上述问题，设其中一个数为x，则另一个数是2x—3，根据题意列出方程：。
数学教案-一元二次方程的应用(一)_七年级数学教案_模板
数学教课方案－一元二次方程的应用（一）_七年级数学教课方案 _模板一元二次方程的应用（一）一、素质教育目标（－）知识教课点：使学生会用列一元二次方程的方法解相关数与数字之间关系的应用题．（二）能力训练点：经过列方程解应用问题，进一步提升剖析问题、解决问题的能力．二、教课要点、难点1．教课要点：会用列一元二次方程的方法解相关数与数字之间的关系的应用题．2．教课难点：依据数与数字关系找等量关系．三、教课步骤（一）明确目标（二）整体感知：（三）要点、难点的学习和目标达成过程1．复习发问（1）列方程解应用问题的步骤？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1， 2n-1； 2n-1，2n-3；（n表示整数）．2．例 1两个连续奇数的积是323，求这两个数．剖析：（ 1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（ 2）设元（几种想法）．设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2 ，设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1 ；设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1．以上剖析是在教师的指引下，学生回答，有三种想法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，而后进行比较、鉴识，选出最简单解法．解法（一）设较小奇数为x，另一个为x+2，据题意，得x（ x+2 ）=323．整理后，得x2+2x-323=0 ．解这个方程，得x1=17 ， x2=-19 ．由 x=17 得 x+2=19 ，由 x=-19 得 x+2=-17 ，答：这两个奇数是 17， 19 或许 -19， -17．解法（二）设较小的奇数为 x-1，则较大的奇数为 x+1．据题意，得（ x-1 ）（ x+1） =323 ．整理后，得 x2=324 ．解这个方程，得 x1=18 ， x2=-18 ．当x=18 时， 18-1=17 ， 18+1=19 ．当 x=-18 时， -18-1=-19 ， -18+1=-17 ．答：两个奇数分别为 17， 19；或许 -19， -17．解法（三）设较小的奇数为2x-1 ，则另一个奇数为2x+1 ．据题意，得（ 2x-1 ）（ 2x+1） =323．整理后，得4x2= 324 ．解得， 2x=18 ，或 2x=-18 ．当 2x=18 时， 2x-1=18-1=17 ；2x+1=18+1=19 ．当 2x=-18 时， 2x-1=-18-1=-19 ； 2x+1=-18+1=-17答：两个奇数分别为 17， 19；-19， -17．指引学生察看、比较、剖析解决下边三个问题：1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x 值，影响最后的结果吗？2．解题中的 x 出现了负值，为何不舍去？答：奇数、偶数是在整数范围内议论，而整数包含正整数、零、负整数．3．选出三种方法中最简单的一种．练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数．2．三个连续奇数的和是321，求这三个数．3．已知两个数的和是12，积为 23，求这两个数．学生板书，练习，回答，评论，深刻领会方程的思想方法．例 2 有一个两位数等于其数字之积的 3 倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．剖析：数与数字的关系是：两位数 =十位数字×10+个位数字．三位数 =百位数字×100+十位数字×10+ 个位数字．解：设个位数字为 x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（ x-2）+x ．据题意，得 10（ x-2） +x=3x （ x-2 ），整理，得 3x2-17x+20=0 ，当 x=4 时， x-2=2 ， 10（x-2 ） +x=24 ．答：这个两位数是 24．练习 1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，假如把十位数字与个位数字调动后，所得的两位数乘以本来的两位数就得1855，求本来的两位数．（ 35， 53）2．一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调动后所得的数与原数之积为 976，求这个两位数．教师指引，启迪，学生笔答，板书，评论，领会．（四）总结，扩展1 奇数的表示方法为2n+1， 2n-1 ，（n为整数）偶数的表示方法是2n（ n 是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数能够是正数，也能够是负数．数与数字的关系两位数 =（十位数字×10） +个位数字．三位数 =（百位数字×100） +（十位数字×10） +个位数字．2．经过本节课内容的比较、鉴识、剖析、综合，进一步提升剖析问题、解决问题的能力，深刻领会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、部署作业教材 P.42 中 A1 、2、教课建议（一）教材剖析1、知识构造2、要点、难点剖析要点：找出命题的题设和结论．因为找出一个命题的题设和结论，是对该命题深刻理解的前提，而对命题理解能力是我们此后研究数学必备的能力，也是研究其余学科能力的基础．难点：找出一个命题的题设和结论．因为理解和掌握一个命题，必定要分清它的题设和结论，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题．但有些命题的题设和结论不明显．比如，“对顶角相等”，“等角的余角相等”等．一些没有写成“假如那么”形式的命题，学生常常搞不清哪是题设，哪是结论，又没有一个通用的方法能够套用，所以分清题设和结论是教课的一个难点．（二）教课建议1、教师在教课过程中，组织或指引学生从详细到抽象，联合学生熟习的案例，来理解命题的观点、找出一个命题的题设和结论，并能判断一些简单命题的真假．2、命题是数学中一个特别重要的观点，固然高中阶段我们还要学习，但关于程度好的A 层学生还要理解：（ 1）假命题可分为两类状况：①题设只有一种情况，并且结论是错误的，比如，“1+3=7”就是一个错误的命题．②题设有多种情况，此中起码有一种情况的结论是错误的．比如，“内错角互补，两直线平行”这个命题的题设可分为两种情况：第一种情况是两个内错角都等于 90°，这时两直线平行；第二种情况是两个内错角不都等于 90°，这时两直线不平行．整体说来，这是错误的命题．（ 2）是不是命题：命题的定义包含两层涵义：①命题一定是一个完好的句子；②这个句子一定对某件事情做出必定或许否认的判断．即命题是判断某一件事情的句子．在语法上，这样的句子叫做陈说句，它由“题设 +结论”构成．此外也有一些句子不是陈说句，比如，祈使句(也叫做命令句) “过直线AB 外一点作该直线的平行线．”疑问句“∠ A 能否等于∠ B?”叹息句“居然获取 5＞ 9 的结果 ! ”以上三个句子都不是命题．（ 3）命题的构成每个命题都是由题设、结论两部分构成．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．命题常写成“假如，那么”的形式．拥有这类形式的命题中，用“假如”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．有些命题，没有写成“假如，那么”的形式，题设和结论不明显．关于这样的命题，要经过分折才能找出题设和结论，也能够将它们改写成“假如那么”的形式．此外命题的题设 (条件 )部分，有时也可用“已知”或许“若”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述．教课方案示例 1教课目的1．使学生对命题、真命题、假命题等观点有所理解．2．使学生理解几何命题的构成，能够划分命题的题设和结论两部分，并能将命题改写成“假如，那么”的形式．3．会判断一些命题的真假．教课要点和难点本节的要点和难点是：找出一个命题的题设和结论．教课过程设计一、剖析语句，理解命题1．教师让学生任意说一句完好的话，每个小组能够派一名同学说，如：(1)我是中国人．(2)我家住在北京．(3)你吃饭了吗？(4)两条直线平行，内错角相等．(5)画一个 45°的角．(6)平角与周角必定不相等．2．找出哪些是判断某一件事情的句子？学生答： (1) ，(2) ，(4) ，(6) ．3．教师给出命题的观点，并举例．命题：判断一件事情的句子，叫做命题，剖析(3) ，(5) 为何不是命题．教师剖析以上命题中，每句话都判断什么事情．所谓判断，就是必定一个事物是什么或不是什么，不可以含混不清．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子，每组再选一个同学说．(不要让说过的再说)如：(1)对顶角相等．(2)等角的余角相等．(3)一条射线把一个角分红两个相等的角，这条射线必定是这个角的均分线．(4)假如 a＞ 0， b＞ 0，那么 a+b＞ 0．(5)当 a＞ 0 时， |a|=a．(6)小于直角的角必定是锐角．在学生举例的基础上，教师存心说出以下两个例子，并问这是不是命题．(7)a＞ 0， b＞ 0， a+b＝ 0．(8)2 与 3 的和是 4．有些学生可能给与否认，这时教师再与学生共同回想命题的定义，加以必定，先不要给出假命题的观点，而是从“判断”的角度来加深对命题这一观点的理解．4．剖析命题的构成，改写命题的形式．例两条直线平行，同位角相等．(l)剖析此命题的构成，前一部分是后一部分建立的条件，后一部分是在前一部分条件下所得的结论．已知事项为“题设”，由已知推出的事项为“结论”．(2)改写命题的形式．因为题设是条件，能够写成“假如”的形式，结论写成“那么”的形式，所以上述命题能够改写成“假如两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等．”请同学们将以下命题写成“假如，那么”的形式，例：①对顶角相等．假如两个角是对顶角，那么它们相等．②两条直线平行，内错角相等．假如两条直线平行，那么内错角相等．③等角的补角相等．假如两个角是等角，那么它们的补角相等．(注意不只是限于两个角，假如多个角相等，它们的补角也相等．)以上三个命题的改写由学生进行，对(2) 要改正为“假如两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等．”提示学生注意：题设的条件要全面、正确．假如条件不只一个时，要一一列出．如：两条直线订交，有一个角是直角，则这两条直线相互垂直，可改写为：“假如两条直线订交，并且有一个角是直角，那么这两条直线相互垂直．” 二、剖析命题，理解真、假命题1．让学生剖析两个命题的不同之处．(l)若 a＞0， b＞ 0，则 a+b＞ 0．(2)若 a＞ 0， b＞ 0，则 a+b＜ 0．相同之处：都是命题．为何？都是对 a＞ 0， b＞ 0 时， a+b 的和的正负，做出判断，都有题设和结论．不同之处： (1) 中的结论是正确的，(2)中的结论是错误的．教师实时指出：同学们发现了命题的两种状况．结论是正确的或结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．2．给出真、假命题定义．真命题：假如题设建立，那么结论必定建立，这样的命题，叫做真命题．假命题：假如题设建立，结论不建立，这样的命题都是错误的命题，叫做假命题．注意：(1)真命题中的“必定建立”不可以有一个例外，如命题：“a≥0，b＞0，则 ab＞ 0”．明显当a=0 时， ab＞ 0 不建立，所以该题是假命题，不是真命题．(2)假命题中“结论不建立”是指“不可以保证结论老是正确”，如：“a的倒数必定是”，明显当 a=0 时命题不正确，所以也是假命题。
列一元二次方程解应用题(教案)
11．10 列一元二次方程解应用题（教案）执教：石春晓教学目标：学会列一元二次方程解简单应用题；（寻求等量关系列方程，体会设元方法、编写模型思想）教学重点：列一元二次方程解简单应用题；教学难点：学会解例2类应用题；教具准备：AW 课件教学方法：动手实验、演示，自主探究、合作教学过程：一、复习引入：1、初一我们学习过列一元一次方程和列二元一次方程组解应用题，列方程解应用题的一般步骤是怎样的？⑴审题；（分析题意，找出等量关系，分析题中的数量关系，设未知数）⑵列有关的一次式；⑶列方程；⑷解方程；⑸检验作答（二层含义：①检验准确性；②是否符合实际）．2、今天我们要学习的列一元二次方程解应用题的步骤和以前基本上相同二、新课学习：例1 ：在长方形钢片上冲去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框（如图）已知 长方形钢片的长为30cm ，宽为20cm ，要使制成的长方形框的面积为400cm 2，求这个长方形框图边宽。
分析：如果设长方形框的框边宽为X cm ，那么要冲去的长方形的长为（30—2x ）cm ，宽为（20—2x ）cm 。
（动画）（由学生自己列出方程）练习1、 为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米；⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米；⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．练习2：有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的 一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门， 另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？图1图2引例：某镇产粮大户，2000年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，2002年粮食产量上升到60.5吨．求平均每年增长的百分率．平均每年的增长百分率——指从2000年到达2001年和从2001年到2002年的增长率相同 增长百分率是一个比值，年增长量是一个数值；设末知数时不必把平均增长率设成x%（列出方程）例2：某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为1995年的社会总产值，可视为1） x 解：设平均每年增长的百分率为，根据题意，得答：平均每年增长的百分率为练习3、某工厂1996年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到1998年共捐款4.75万元，问该厂捐款的平均增长率是多少？三、课堂小结：说说这堂课你的最大收获课后练习：练习一：放铅笔的V 形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层？（动画）课后反思：这节课我临时改变主意，不同于在前一个班级的做法：让学生亦步亦趋地跟从我的一个个问题进行回答，层层推进，作好铺垫，化解难点，师生双边活动处理较满意；课前根据教材提供的丰富教学资源进行再创造，利用开放性的问题，培养学生提问题的能力；利用多媒体，动画，让学生直观感知，激发自主探究的积极性，培养学生观察、概括能力，发展学生的符号感和推理能力。
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D
C B A 第17章 一元二次方程
二 一元二次方程的应用
教学课题§17．3列方程解应用题
第1课时 面积问题
教学目标：1．学会列一元二次方程解有关面积、体积方面的应用问题；
2．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意
识．
教学重点 列一元二次方程解面积、体积方面应用题；
教学难点 找等量关系；
教学过程：
一、复习引入：
1、初一我们学习过列一元一次方程和列二元一次方程组解应用题，列方程解应用题的一般步骤是怎样的？（教师板书）
⑴审题；（分析题意，找出等量关系，分析题中的数量关系，设未知数）
⑵列有关的一次式；
⑶列方程；⑷解方程；⑸检验作答（二层含义：①检验准确性；②是否符合实际）．
2、今天我们要学习的列一元二次方程解应用题的步骤和以前基本上相同
二、新课学习：
引例：用80米长的篱笆在墙边为一个矩形草坪（如图），当矩形面积是750平方米时，它的长和宽应是多少米？
解：设矩形的宽AC 为x 米，则长CD 为（80-2x ）米。
x(80-2x)=750 整理，得：2
403750x x -+=
解得：1225,15x x ==所以，矩形草坪的长为30米或50米。
例1．用一块长28cm ．宽 20cm 的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长
方体盒子，使它的底面积为180 cm 2，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少cm ？
分析 设截去的正方形的边长为xcm 之后，关键在于列出底面长和宽的代数式．结合
图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式．
解：设截去的正方形的边长为xcm ，根据题意，得 (28-2x)(20-2x)=180
x 2-24x+95=0
解这个方程，得：x 1=5,x 2=19
经检验：x 2＝19不合题意，舍去．
所以截去的正方形边长为５cm.
本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．
（1）因为要做成底面积为180cm 2的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代
数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．
（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为19时，得到底面的宽为负数，则不合题意，所以x=19舍去．
（3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．
三、巩固练习，拓展提高 变式练习：
在宽20m ，长32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的道路， 余下的部分做绿地，要使绿地面积为540m 2，路宽为多少m ？
引申练习
如图所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路,使其中两条
与AB 平行,另一条与AB 垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?
分析:为了使问题简化,不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩形草整体思考,问题便显得轻而易举. 解:可设甬路宽为x 米,依题意,得
6144)26)(240(⨯=--x x
解得44,221==x x (不合题意,舍去).
答:甬路的宽度为2米.
课堂小结：
列方程解应用题的步骤是：
1.仔细了解题意及有关的事物的概念.
2.找题中给出的等量关系和隐含的等量关系.
3.选设未知数，并用含这个未知数的代数式表示其他未知量(这种代数式叫做关系式).
4.利用未曾用过的等量关系列方程.
5.解方程.
6.检验得数是否符合题意，然后做答.
布置作业：
40 26。