高考理科数学刷题练习高考仿真模拟卷(一)

第三部分·刷模拟2020高考仿真模拟卷(一)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{0,1,3} C ．{0,1,2,3} D ．{1,2,3,4}答案 A解析 因为A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，所以2a ＝2，解得a ＝1，所以A ＝{3,2}，B ＝{1,2}, 所以A ∪B ＝{1,2,3}．2．(2019·湖北八校联考)已知复数z ＝2－3i ，若z －是复数z 的共轭复数，则z ·(z －＋1)＝( )A ．15－3iB ．15＋3iC ．－15＋3iD ．－15－3i 答案 A解析 依题意，z ·(z －＋1)＝(2－3i)(3＋3i)＝6＋6i －9i ＋9＝15－3i. 3．(2019·河南郑州三模)下列命题中，正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝32B ．复数z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3 C ．“a >0，b >0”是“b a ＋ab ≥2”的充要条件D ．命题“∃x ∈R ，x 2－x －2≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －2<0” 答案 D解析 对于A ，由于sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故sin x 0＋cos x 0的最大值为2，故A 不正确．对于B ，当z 1＝1，z 2＝1－i ，z 3＝－i 时，(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝[1－(1－i)]2＋[1－i －(－i)]2＝i 2＋1＝0，而z 1≠z 3，故B 不正确．对于C，当a>0，b>0时，ba＋ab≥2ba·ab＝2成立；反之，当ba＋ab≥2时，可得a>0，b>0或a<0，b<0，所以“a>0，b>0”是“ba＋ab≥2”的充分不必要条件，故C不正确．对于D，由题意得，命题“∃x∈R，x2－x－2≥0”的否定是“∀x∈R，x2－x －2<0”，故D正确．4．(2019·江西南昌师大附中三模)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝()A．2 B.7C.14 D．28答案 C解析∵2＋a5＝a6＋a3，∴2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d，解得a4＝2，∴S7＝7(a1＋a7)2＝7a4＝14，故选C.5．(2019·河北衡水十三中质检四)平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为() A．16 B．20C．21 D．22答案 D解析由题意得由k条直线增加到k＋1条直线时增加k＋1个平面，所以平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为6＋5＋4＋3＋2＋2＝22，故选D.6．(2019·太原摸底考试)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是( ) 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )；概率不超过0.025的前提下认为药物有效；③能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效；④不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效．A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 由表格数据可得K 2＝105×(10×30－20×45)230×75×50×55≈6.1.又6.1>3.841，所以由参考数据知能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，故①正确；又6.1>5.024，所以由参考数据知能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，故②错误；又6.1<6.635，所以由参考数据知不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，故③错误；又6.1<7.879，所以由参考数据知不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，故④正确．综上所述，正确结论的个数为2，故选B.7．(2019·海南海口调研测试卷)⎝⎛⎭⎫32＋x 5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )A ．1B ．20C ．21D ．31答案 C解析 因为⎝⎛⎭⎫32＋x 5展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫325－k x k ＝C k525－k3 x k ，所以要使系数为有理数，只需5－k 3为整数，又因为0≤k ≤5且k ∈Z ，所以k ＝2,5，所以系数为有理数的项为C 25⎝⎛⎭⎫323x 2，x 5，故所求系数之和为20＋1＝21，故选C.8．已知双曲线C 1：x 24－y 23＝1的一条渐近线与双曲线C 2的一条渐近线垂直，则双曲线C 2的离心率为( )A ．72B ．213C ．213或72D ．74或73答案 C解析 双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±32x ，当双曲线C 2的焦点在x 轴上时，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意得b a ＝23，离心率e ＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213，当双曲线C 2的焦点在y 轴上时，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，由题意得a b ＝23，离心率e ＝1＋b 2a 2＝1＋34＝72.所以双曲线C 2的离心率为213或72.9．运行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－10，则判断框内的条件应该是( )A ．k <3?B ．k <4?C ．k <5?D ．k <6?答案 C解析 按照程序框图依次执行为k ＝1，S ＝1，条件是； S ＝2×1－1＝1，k ＝2，条件是；S ＝2×1－2＝0，k ＝3，条件是； S ＝2×0－3＝－3，k ＝4，条件是；S ＝2×(－3)－4＝－10，k ＝5，条件否，退出循环，输出S ＝－10. 所以判断框内的条件应该是k <5？.10．(2019·福建三明质检)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5，…画出来的螺旋曲线．如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1,2,3,5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．π4B ．39π160C ．19π＋180D ．19π＋280答案 D解析 由图可知，阴影部分的面积为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋14×π×12＋14×π×22＋14×π×32＋14×π×52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＋π4＋π＋9π4＋25π4＝1＋19π2，矩形ABCD 的面积为S 1＝5×8＝40，故此点取自阴影部分的概率为1＋19π240＝2＋19π80，故选D.11．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点，设FG ︵的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 因为半圆O 的半径r ＝1，则等边△ABC 的边长为1sin60°＝233.当x ＝0时，y ＝EB ＋BC ＋CD ＝BC ＝233；当x ＝π时，此时y ＝AB ＋BC ＋CA ＝3×233＝23；当x ＝π3时，∠FOG ＝π3，三角形OFG 为正三角形，此时AM ＝OH ＝32.在正△AED 中，AE ＝ED ＝DA ＝1，所以y ＝EB ＋BC ＋CD ＝AB ＋BC ＋CA －(AE ＋AD )＝3×233－2×1＝23－2，如图．又当x ＝π3时，图中y 0＝233＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－233＝1039>23－2. 故当x ＝π3时，对应的点(x ，y )在图中线段PQ 的下方，故D 正确． 12．(2019·天津塘沽一中、育华中学三模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－ln x ，x ≤1，x 2－4x ＋6，x >1，若不等式f (x )≥|2x －a |对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1e ，3B ．[3,3＋ln 5]C ．[3,4＋ln 2]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1e ，5答案 C解析 由题意得，设g (x )＝|2x －a |， 可得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≥a2，－2x ＋a ，x <a2.(1)当x ≥a2，由不等式f (x )≥|2x －a |对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，计算临界值，由f (x )与g (x )相切．①当f (x )＝x 2－4x ＋6，x >1，g (x )＝2x －a ，x ≥a2时，可得f ′(x )＝2x －4，此时切线斜率为2，即2x －4＝2，解得x ＝3，即切点坐标为(3,3)，切线方程为y ＝2x －3，即a ＝3，综合函数图象可得a ≥3.②当f (x )＝3－ln x ，x ≤1，g (x )＝2x －a ，x ≥a 2，可得f ′(x )＝－1x ，此时切线斜率为2，即－1x ＝2，即x ＝－12，又因为－12<0，所以不符合题意，舍去．(2)同理，当x <a2，由f (x )与g (x )相切，①当f (x )＝x 2－4x ＋6，x >1，g (x )＝－2x ＋a ，x <a2时，可得f ′(x )＝2x －4，此时切线斜率为－2，则2x －4＝－2，所以x ＝1，与x >1不符，故无临界值．②当f (x )＝3－ln x ，x ≤1，g (x )＝－2x ＋a ，x <a2，由f (x )与g (x )相切，得f ′(x )＝－1x ，此时切线斜率为－2，即－1x ＝－2，则x ＝12，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3＋ln 2，切线方程为y －(3＋ln 2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋4＋ln 2，即a ＝4＋ln 2，综合函数图象得a ≤4＋ln 2.综上所述可得3≤a ≤4＋ln 2，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 9解析 不等式组表示的可行域是以A (5,4)，B (1,2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9.14．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p，当x ＝q p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，q 为整数，q p 为既约分数，0，当x ＝0，1或[0，1]上的无理数.若f (x )是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝________.答案 13解析 由函数的最小正周期为1可得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋23＋f (lg 2＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋f (lg 2)＝13＋0＝13. 15．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝2与y 轴的交点为M ，与抛物线的交点为N ，且4|NF |＝5|MN |，则p 的值为________．答案 1解析 将y ＝2代入抛物线方程，可以求得x ＝2p ， 利用题中条件，结合抛物线定义， 可以求得4⎝ ⎛⎭⎪⎫2p ＋p 2＝5×2p ，解得p ＝1.16．如图，正方形ABCD 的边长为2，顶点A ，B 分别在y 轴的非负半轴、x 轴的非负半轴上移动，E 为CD 的中点，则OE →·OD→的最大值是________．答案 5＋17解析 根据题意，设∠OBA ＝α，则A (0,2sin α)，B (2cos α，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α<π2，根据正方形的特点，可以确定出C (2cos α＋2sin α，2cos α)，D (2sin α，2sin α＋2cos α)，根据中点坐标公式，可以求得E (cos α＋2sin α，sin α＋2cos α)，所以有OE →·OD →＝2sin α(cos α＋2sin α)＋(2sin α＋2cos α)·(sin α＋2cos α) ＝4＋8sin αcos α＋2sin 2α＝5＋4sin2α－cos2α ＝5＋17sin(2α－φ)，其中sin φ＝1717，cos φ＝41717，当2α－φ＝π2时，存在符合题意的角α，使sin(2α－φ)取得最大值1.所以其最大值为5＋17.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ac 是cos C bc 和cos Aab 的等差中项．(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求BC 边上高的值．解(1)∵cos Bac是cos Cbc和cos Aab的等差中项，∴2cos Bac＝cos Cbc＋cos Aab，∴2b cos B＝a cos C＋c cos A，4分由正弦定理得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A，∴2sin B cos B＝sin(A＋C)＝sin B.∵sin B≠0，∴cos B＝12，∴角B为π3.8分(2)由余弦定理，b2＝c2＋a2－2ac cos B，解得c＝3.设BC边上的高为h，则h＝c sin B＝3×32＝332.12分18. (2019·四川攀枝花第二次统考)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD 中，P A⊥底面ABCD，∠BAD为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E，F分别为PC，CD的中点．(1)证明：平面APD∥平面BEF；(2)设P A＝kAB(k>0)，且二面角E－BD－C的平面角大于60°，求k的取值范围．解(1)证明：∵AB∥CD，且∠BAD为直角，CD＝2AB，F为CD的中点，∴FD＝AB，故四边形ABFD是矩形，∴AD∥BF，∴BF∥平面APD，又∵E，F分别为PC，CD的中点．∴EF∥PD，∴EF∥平面APD，3分又∵⎩⎨⎧BF ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，EF ∩BF ＝F ，EF ，BF ⊄平面APD ，∴平面APD ∥平面BEF .5分(2)以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0，k )，C (2,2,0)，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，k 2，从而BD→＝(－1,2,0)，BE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，k 2，设平面BCD 的法向量为m 1＝(0,0,1)，平面BDE 的法向量为m 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2·BD→＝0，m 2·BE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋kz2＝0，取y ＝1，可得m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－2k ，8分设二面角E －BD －C 的大小为θ，因为k >0，则cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|＝2k22＋1＋4k 2<12，化简得k 2>125，则k >2155.12分 19．(2019·贵州贵阳5月适应性考试二)(本小题满分12分)过点M (2,0)的直线l与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB .(1)求p 的值；(2)若l 与坐标轴不平行，且A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点．解 (1)当直线l ⊥x 轴时，可得A (2,2p )，B (2，－2p )， 由OA ⊥OB 得4－4p ＝0，∴p ＝1，当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)代入y 2＝2px 得ky 2－2py －4pk ＝0(k ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4p ，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝4，由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4－4p ＝0，所以p ＝1，综上所述p ＝1.5分(2)证明：由(1)知，抛物线方程为y 2＝2x ，由于A ，D 关于x 轴对称，故D 的坐标为(x 1，－y 1)，所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)＝y 2＋y 1y 222－y 212⎝⎛⎭⎪⎫x －y 212，即2x ＋(y 1－y 2)y －y 1y 2＝0，又y 1y 2＝－4p ＝－4，所以2x ＋(y 1－y 2)y ＋4＝0，所以直线BD 恒过点(－2,0).12分20．(2019·山西吕梁一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e ax －b ln x ＋b (a >0)，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为(2e 2－1)x －y ＋2－e 2＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)证明：f (x )>3＋ln 2.解 (1)因为f (x )＝e ax －b ln x ＋b (x >0)， 所以f ′(x )＝a e ax －b x ，又f (1)＝e 2＋1，f ′(1)＝2e 2－1， 所以⎩⎨⎧e a ＋b ＝e 2＋1， ①a e a －b ＝2e 2－1， ② ①＋②可得(a ＋1)e a ＝3e 2，2分构造函数g (x )＝(x ＋1)e x －3e 2(x >0)，则g ′(x )＝(x ＋2)e x 在区间(0，＋∞)内恒大于0，所以g (x )在区间(0，＋∞)内单调递增，又g (2)＝0，所以关于a 的方程(a ＋1)e a ＝3e 2的根为a ＝2，把a ＝2代入e a ＋b ＝e 2＋1，解得b ＝1，所以a ＝2，b ＝1. 5分(2)证明：由(1)知f(x)＝e2x－ln x＋1，则f′(x)＝2e2x－1 x，因为f′(x)＝2e2x－1x在区间(0，＋∞)上单调递增，f′⎝⎛⎭⎪⎫110<0，f′⎝⎛⎭⎪⎫12>0，所以f′(x)＝0有唯一实根，记为x0，即e2x0＝12x0>1，且x0∈⎝⎛⎭⎪⎫110，12，由e2x0＝12x0得ln e2x0＝ln12x0，整理得－ln x0＝2x0＋ln 2，8分因为x∈(0，x0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(x0)＝e2x0－ln x0＋1＝12x0＋2x0＋ln 2＋1≥3＋ln2，当且仅当12x0＝2x0，即x0＝12时取等号，因为x0∈⎝⎛⎭⎪⎫110，12，所以f(x)min>3＋ln 2，即f(x)>3＋ln 2. 12分21．(2019·福建3月质量检测)(本小题满分12分)“工资条里显红利，个税新政人民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：预估他们2019年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2∶1∶1∶1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：(1)设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；(2)根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴的个税之和就超过2019年的月收入？解(1)既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000－5000－1000＝18000，月缴个税X＝3000×0.03＋9000×0.1＋6000×0.2＝2190；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000－5000－1000－1000＝17000，月缴个税X＝3000×0.03＋9000×0.1＋5000×0.2＝1990；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为24000－5000－1000－2000＝16000，月缴个税X ＝3000×0.03＋9000×0.1＋4000×0.2＝1790；既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为 24000－5000－1000－1000－2000＝15000，月缴个税X ＝3000×0.03＋9000×0.1＋3000×0.2＝1590, 4分所以X 的可能值为2190,1990,1790,1590.依题意，上述四类人群的人数之比是2∶1∶1∶1，所以P (X ＝2190)＝25，P (X ＝1990)＝15，P (X ＝1790)＝15，P (X ＝1590)＝15， 所以X 的分布列为所以E (X )＝2190×25＋1990×15＋1790×15＋1590×15＝1950. 7分(2)因为在旧政策下该收入层级的IT 从业者2019年每月应纳税所得额为24000－3500＝20500，其月缴个税为1500×0.03＋3000×0.1＋4500×0.2＋11500×0.25＝4120，因为在新政策下该收入层级的IT 从业者2019年月缴个税为1950，所以该收入层级的IT 从业者每月少缴的个税为4120－1950＝2170, 10分设经过x 个月，该收入层级的IT 从业者少缴的个税的总和就超过24000，则2170x ≥24000，因为x ∈N ，所以x ≥12，所以经过12个月，该收入层级的IT 从业者少缴的个税的总和就超过2019年的月收入. 12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋3sin α，y ＝sin α－3cos α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：|P A |·|PB |为定值．解 (1)由题意，得x 2＋y 2＝(cos α＋3sin α)2＋(sin α－3cos α)2＝4, 化简得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝4.3分由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2得32ρcos θ－12ρsin θ＝2，故l 的直角坐标方程为3x －y －4＝0.5分(2)证明：显然P 的坐标为(0，－4)，不妨设过点P 的直线方程为⎩⎨⎧x ＝t cos β，y ＝－4＋t sin β(t 为参数)，7分代入x 2＋y 2＝4得t 2－8t sin β＋12＝0，所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12为定值. 10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a >0，b >0，a ＋b ＝2. 求证：(1)a b ＋b a ≤2； (2)2≤a 2＋b 2<16.证明 (1)因为a ＋b ＝2，且a >0，b >0，所以2≥2ab >0，当且仅当a ＝b＝1时，取“＝”，所以0<ab ≤1，3分所以a b ＋b a ＝ab (a ＋b )＝2ab ≤2. 5分(2)由a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，得a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ， 所以a 2＋b 2＝16－16ab ＋4ab －2ab ＝2ab －16ab ＋16＝2(ab －8ab ＋16)－16＝2(ab －4)2－16＝2(4－ab )2－16，8分因为0<ab ≤1，所以3≤4－ab <4，所以9≤(4－ab )2<16，所以18≤2(4－ab )2<32，所以2≤a 2＋b 2<16. 10分。