东华大学高数

东华大学 2012----2013 学年第 一 学期 试卷A 卷 踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称 高等数学（1） 使用专业 卓越工程师计划相关专业 教师 班号 姓名 学号 考试教室
一．填空题（每小题 4分，总计 40 分 ） 1、=---→1
45lim
1
x x
x x 。

2、计算1
)1
232(
lim +∞
→++x x x x = 。

3、设⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<--=1,
11,1)
1sin(3)(x e x x x x f ax 在+∞-∞,(）上连续，则常数a = 。

4、设)
1tan(23
+=x y ,则=dy 。

5、设)(x f ''存在，函数)(ln x f y =,则y ''= 。

6、设函数)(x y y =由方程1=++xy e y x 所确定，求
=x dx
dy。

7、求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x arctan 1ln 2
在1=t 点处的切线方程 。

8、曲线3
1x y =的拐点坐标是 。

9、曲线x y arctan =的上凸区间是 。

10、写出x e x x f 2)(=的带佩亚诺余项的n 阶麦克劳林公式 。

二．选择题（每小题 3分，总计18分 ） 1、若3)(lim 2
=→x f x ，则必定有[ ]
（A ）3)2(=f ；（B ）)(x f 在2=x 处无定义；（C ）在2=x 的某去心邻域中，4)(<x f ；
（D ）在2=x 的某去心邻域中，3)(≠x f 。

2、设1
1
21
1)(---=
x e x x x f ，则下面结论正确的是[ ] （A ）)(lim 1
x f x →存在，但)(x f 在1=x 处不连续；
（B ）)(lim 1
x f x -→和)(lim 1
x f x +→存在，但)(lim 1
x f x →不存在；
（C ）)(lim 1
x f x -→存在，)(lim 1
x f x +→不存在；（D ）)(lim 1
x f x -→不存在，)(lim 1
x f x +→存在
3、下列极限正确的是[ ]
（A ）1sin lim =→x x x π； （B ）11
sin lim =∞→x
x x ；
（C ）x x x 1sin 1lim ∞→不存在； （D ）1sin lim =∞→x
x
x ；
4、设方程n n n n n a a a a x a x a x ,,,(021111 =++++--为常数）,且0<n a ,则[ ] （A ）方程没有实根； （B ）方程至少有一个负实根；
（C ）方程至少有一个正实根； （D ）方程至少有一个正实根和一个负实根
5、设α是实数,⎪⎩⎪
⎨⎧≤>--=1,
01,1
1cos )1(1
)(x x x x x f α在1=x 处可导,则α满足[ ] （A ）1-<a ； （B ）01<≤-a ； （C ）10<≤α； （D ）1≥α。

6、设)(x f 具有二阶连续导数，且2
1
)1()(lim
,0)1(21=-''='→x x f f x ，则[ ]
（A ）)1(f 为)(x f 的极大值； （B ）)1(f 为)(x f 的极小值； （C ）))1(,1(f 为曲线()y f x =的拐点； （D ）以上都不对。

三．解答下列各题（每小题6分，总计24 分 ） 1、求)
1sin 1)(11(tan sin lim 3
2
-+-+-→x x x
x x 。

2、计算)1
tan 1(
lim 20
x
x x x -→。

3、设函数x e x y -=2，求)50(y 。

4、设n
n x x
x f 211lim )(++=∞→，讨论)(x f 的间断点。

四、（7分）气球充气时，半径r 以1s cm /的速度增大，设在充气过程中气球保持球形，求当半径cm r 10=时，气球体积V 增加的速率。

五、（7分）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采取提高售出价、减少进货量的办法增加利润。

已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少时，才能使每天得到的利润最大？并求此最大利润。

六、（4分）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，又0>>a b 。

求证：)
,(,b a ∈∃ηξ使得a
b a b f f -'='ln
)()(ηηξ。