栈-四染色问题
地图染色-四色定理
地图染⾊-四⾊定理四⾊定理指出每个可以画出来的地图都可以⾄多⽤4种颜⾊来上⾊，⽽且没有两个相接的区域会是相同的颜⾊。
被称为相接的两个区域是指他们共有⼀段边界，⽽不是⼀个点。
主要原理：从第⼀个区域开始染⾊，到每⼀个区域依次遍历相邻的区域，若未出现重⾊则将该⾊⼊栈，遍历下⼀个区域。
若出现重⾊，进⾏换⾊直⾄四种颜⾊都出现重复，就回溯到上⼀个区域，更换颜⾊。
#include <iostream>using namespace std;#define NUM 100//⽤图存储typedef struct graph{int edges[NUM][NUM];int v[NUM];int vnum, edgenum;} Graph;//⾸先⽤邻接矩阵作图 v[i][j]=1表⽰俩个国家相邻,v[i][j]=0表⽰不相邻void Coloring(Graph G){int area = 1; //代表当前染⾊数量给第⼀个点染⾊颜⾊为1 国家序号为0——NUM-1int nowcolor = 1; //当前颜⾊最⼤为4//第⼀个地⽅染⾊为1 如果当前区域染⾊不冲突则上⾊后将顶点⼊栈，否则出栈进⾏再次染⾊G.v[0] = 1;while (area < G.vnum){while (nowcolor <= 4 && area < G.vnum){int k = 1;//判断是否重⾊while (k < area && G.edges[area][k] * G.v[k] != nowcolor){k++;}if (k == area){//说明没有重复则G.v[area] = nowcolor;area++;nowcolor = 1;}else{nowcolor++;}}//回溯到上⼀个位置换⼀个颜⾊继续染if (nowcolor > 4){area--;nowcolor = G.v[area] + 1;}}}。
第三章栈和队列
续8
//循环队列实现方案二 在SqQueue结构体中增设计数变量c，记录队列中当前 元素个数 void clearQueue(SqQueue &q) { q.r=q.f=-1; q.c=0; //r=f=-1~n-1区间任意整数均可 } int empty(SqQueue &q) { return q.c==0; } int full(SqQueue &q) { return q.c==q.n; } //队空、队满时q.f==q.r均为真 //优点：队满时没有空闲元素位置(充分利用了空间)
西南交通大学信息科学与技术学院软件工程系‐赵宏宇 数据结构A 第3章‐19
西南交通大学信息科学与技术学院软件工程系‐赵宏宇
数据结构A 第3章‐20
3.3 栈的应用
续1
3.3 栈的应用
续2
2. 栈与递归 (1) 递归程序的存储空间消耗 由于函数调用的指令返回地址、形式参数以及断 点状态均用系统堆栈实现存储，因此递归调用的层次 数(深度)决定了系统堆栈必须保留的存储空间容量大小。 例1 以下函数用递归法实现n元一维数组元素逆序存储， 试分析所需栈的深度。 void reverse(ElemTp a[], int i, int j) //数组a下标范围i..j实现元素逆序存储 { if(i<j) { a[i]a[j]; reverse(a, i+1, j-1); } }
西南交通大学信息科学与技术学院软件工程系‐赵宏宇 数据结构A 第3章‐7
3. 堆栈习题举例 例1 若元素入栈次序为ABC，写出所有可能的元素出栈 次序。 答: 所有可能的元素出栈次序共5种，即 ABC 操作PXPXPX (P表示入栈，X表示退栈) ACB PXPPXX BAC PPXXPX BCA PPXPXX CBA PPPXXX
地图着色问题
课程名称：Advanced Artificial Intelligence 项目名称：Hw1-Map-Coloring姓名：学号：教师：2020年3 月25 日目录地图着色问题 (3)1 问题描述 (3)2 问题分析与解决思路 (3)3 算法设计 (5)3.1 算法思想 (5)3.2 算法分析 (6)3.3 算法流程图 (6)4 状态空间 (8)5 算法程序设计 (9)6 运行截图 (12)地图着色问题1 问题描述已知澳大利亚地图，对各个区域进行着色，要求相邻区域所用的颜色不同。
使用红、绿、蓝三种颜色进行着色，设计对图进行的算法，求出一种解，并利用该算法实现对澳大利亚地图的着色。
2 问题分析与解决思路首先将地图区域之间的邻接关系抽象为图上的点与点的关系邻接关系，所以可以将地图着色问题转换为一个图问题：已知一个无向图G=(V,E)，其中V为顶点集合，E为边集合，要求给图上每个点vi上色，并保证该点的颜色与它的邻接点的颜色都不相同。
抽象出来的约束图如下所示：抽象成为图形如下：由于CSP的形式化定义我们知道：变量：X={WA,NT,Q,MSW,V,SA,T}范畴：Di= {red, green, blue}约束：相邻区域必须有不同的颜色，如C={SA≠WA, SA≠NT, SA≠Q, SA≠NSW, SA≠V, WA≠NT, NT≠Q, Q≠NSW, NSW≠V}其中SA≠WA是<(SA, WA), SA≠WA>简写，我们可以将这个约束显式地写成<(SA, WA), {(red, green), (red, blue), (green, red), (green, blue), (blue, red), (blue, green)}>因此我们需要设计的算法需要满足全部约束，并且能够在搜索过程中出现不满足约束时，即使更改搜索路径。
基于以上要求，我们提出回溯搜索解决上述问题。
3 算法设计地图染色问题可以根据四色定理来解决。
一种平面图四着色算法及其实现
一种平面图四着色算法及其实现作者：朱安平来源：《硅谷》2011年第07期摘要：在对四色问题模型分析的基础上，采用深度优先搜索和回溯法，给出对于任意平面图的四着色算法，并对算法进行评价和复杂性分析。
用计算机程序实现一个基于该算法的平面四着色的图形演示系统，可对用户现场定义的平面图进行着色。
对于深入理解四色问题及用计算机程序实现平面图的四着色具有一定的意义。
关键词：四色问题；深度优先搜索；回溯法中图分类号：TP311文献标识码 A文章编号：1671－7597（2011）0410100－020 引言四色问题是指：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”本文并不准备进行四色问题的证明，而是对“四色问题”进行验证。
四色问题虽然很通俗，但为了简化算法实现，本文把问题转换为原图对偶图的四着色。
对一个图的每一个顶点标一种颜色，如果相邻任意两顶点不能用同一颜色，则至多4种颜色就够了。
1 着色算法1.1 算法设计本文采用了一种创新性的方法。
因为对于计算机来说，面的表示比起点的表示要复杂的多，处理也要困难的多。
因此，对于一个平面的着色如果用面来处理，无疑是很复杂的，不仅算法本身的复杂性增加，就是图存的图的表示都变得很困难。
考虑到一个平面图和其对偶图具有等价的特性。
对于一个平面图的着色实际上就是对其对偶图的顶点的着色。
因此本文对问题进行了转换，采用对其对偶图的顶点着色的解决方案。
但这样会带来一个问题：不是任何一个图的对偶图都有对应的平面图，因此就会出现有些图不能4着色。
本文算法对此的解决办法是，一旦完成对所有空间的搜索却没有找到相应的4着色方案，则说明该图作为对偶图，不存在对应的平面图，从而原图不可4着色。
1.2 算法的伪语言描述1）设计思想采用迭代过程，利用深度优先遍历。
迭代终止条件：①未染色栈已空，且没有任何点和相邻点同色；②在回滚过程中，未染色点栈为空。
迭代过程：①起始状态先将图的拓扑始点染成颜色1，放入已染色栈里，设置迭代方向为前进；②进入迭代过程，判断是否满足迭代终止条件，满足则退出迭代过程，不满足转③；③检查已染色点栈中最顶端的那个点的颜色和其相邻点是否相同，或目前的方向是否为回滚状态，是转④，否转⑤；④此时，证明当前已染色点栈中最顶上的元素染色错误，需要更改颜色，则先弹出此节点，改变颜色后加入已染色点栈。
美术色彩绘画染色方法之烘染法
用软毫笔或软毛刷于将颜色着于纸上，然后向四外润开，也可以用饱蘸清水的软毫笔帮助染，形成中间深，向外渐浅的效果。
采用烘柒方法，于要为了以大面积的、润泽的色块，衬托画面中比较细腻的主体形象。
供染的颜色可以是单纯的—种颜色．也可以是多种混合的颜色。
一般用这种方法染天空、烟云、较平静的水面、草坪，以及模糊的背景等等。
在熟纸、个生熟的宣纸上，比较弃场烘染，冈为这样的纸吸水侵，能容画者慢慢用水将颜色赶开。
生育纸吸水快，颜色上占很快被吸仕，难以润开。
所以．在染色前先用清水把纸打湿．再进行烘染，这样效果会汾，促也不能蘸过节的颜色落纸，应由栈入深，可反复多遍。
如果落色很互，量也大．很难润得浅．达个到理想的效果．而很难有补救的办法。
所以，用色应慎重。
在湿的生它纸上用力烘染，很容易将纸弄破，运笔要轻快。
对宣纸的了解也很重要。
只有熟悉纸件，才能变通方法，控制好水量，把握住用色的分寸。
（图13）来自顶尖美术/thread-776-1-1.html作品。
染色问题解决方法
染色问题解决方法1. 引言在计算机科学和图论中，染色问题是一个经典的问题，在很多实际应用中都有重要的应用价值。
染色问题可以简单地描述为给定一个图，如何为图中的每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
在本文档中，我们将探讨染色问题的解决方法以及其在计算机科学中的应用。
2. 染色问题的定义染色问题可以用一个简单的数学模型来描述。
给定一个无向图G(V, E)，其中V 表示顶点的集合，E表示边的集合。
染色问题的目标是为图中的每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
3. 解决方法为了解决染色问题，我们将介绍两种常用的解决方法：贪心算法和回溯算法。
3.1 贪心算法贪心算法是一种通过做出局部最优选择来达到全局最优解的算法。
在染色问题中，贪心算法是一种简单且有效的解决方法。
基本思想是逐个顶点地遍历图中的每个顶点，并为每个顶点选择一个合适的颜色。
贪心算法的步骤如下： 1. 将图中的顶点按照某种顺序进行排序。
2. 从第一个顶点开始，为其分配一个颜色。
3. 遍历剩余的顶点，为每个顶点选择一个颜色，使得与其相邻的顶点颜色不同。
4. 返回最终的染色方案。
贪心算法的优势在于简单快速，但可能无法保证得到最优解。
3.2 回溯算法回溯算法是一种通过逐步构建解决方案，并在发现无法继续时回退并尝试其他可能的方法的算法。
在染色问题中，回溯算法通过递归的方式遍历所有可能的染色方案，并找到满足条件的解决方案。
回溯算法的步骤如下： 1. 将图中的顶点按照某种顺序进行排序。
2. 递归地遍历每种可能的染色方案，从第一个顶点开始。
3. 对于每个顶点，尝试为其分配一个颜色。
4. 若遇到无法满足条件的情况，回溯并尝试其他颜色。
5. 返回满足条件的染色方案。
回溯算法的优势在于可以找到最优解，但当图的规模较大时，可能会消耗大量的计算资源。
4. 应用案例染色问题在实际应用中有着广泛的应用。
以下是某些领域中常见的应用案例：4.1 地图着色在地理学和地图制作中，染色问题可以用于为地图上的国家、州或城市分配不同的颜色，以确保相邻区域具有不同的颜色。
美术色彩绘画染色方法之勾染法
所谓勾染是以勾的用笔动作．兼具柒的方法的一种染色技法，不是指光勾后染的程序。
勾染有接近于写的方式，有较为明确的笔触。
但与用墨勾线相比要虚得多，又没有那么明确的笔触，勾而似染，染而似勾。
颜色用得也需要很栈。
通常用这种方法沿着勾勒线条的外轮廓勾染．主要表现白花或处理成白色的叶子。
花和叶子虽未染白粉．却产生隐约染白的效果，使花和叶的形象更为突出。
用白粉染色，处理得不好非常呆板．有时也不需要染得很白．采用勾染法既简便又自然。
勾染的颜色一定要浅，有时似有似无，意到为止，不要过于拘泥于形，有时偶然勾染到形内，只要不影响整体也不必在意。
用的颜色人多是花育、草绿、据石等，根据画面需要，可匀染也可以略分深浅，但是，颜色都不可深。
颜色一深会欺墨线，墨色不和就显得花。
勾染也不必笔笔接实，有实接有虚接，有的地方向积大一些，有的地方面积小一些，以协调润泽为原则，以能衬托出花、叶的完整形象为目的。
为了使深色的花、叶更富有变化．有时也再用一些浅色，如淡赫色、淡筋墨、淡草绿、淡花青、谈藕合等色，勾染在花、叶的周围，其目的是使所圆的形象只有厚重感，在有形与无形之间，造成一些模糊效果和层次。
（图6）
来自顶尖美术/thread-739-1-1.html作品。
染色问题数论
染色问题数论
染色问题是指在一个图中对节点进行染色，使得相邻的节点染的颜色不同。
数论与染色问题的关系在于，染色问题可以转化为数论问题，通过数论的方法解决染色问题。
染色问题是一个经典的数学问题，也是图论中一个重要的研究方向。
在数论中，有一个重要的定理叫做四色定理，它是染色问题的一个重要结果。
四色定理指出，对于任意的平面图，只需要四种颜色就可以对所有的节点进行染色，使得任意两个相邻节点的颜色不同。
这个定理的证明过程运用了多个数论的工具和方法，包括图的边界颜色距离的计算，集合交并运算等等。
染色问题也可以转化为数论中的模运算问题。
例如，对于一个正整数n，可以将图中的节点编号为1到n，然后通过求模运算来确定每个节点的颜色。
另外，染色问题也与欧拉图和哈密顿图等图论概念有关。
通过分析图的结构和特性，可以运用数论的方法解决染色问题。
例如，对于一个欧拉图，可以通过分析其度数序列来确定颜色的分配方案。
总之，数论在染色问题中发挥了重要的作用，通过数论的方法可以解决染色问题并给出具体的染色方案。
染色问题和数论相辅相成，相互促进，共同推动了数学的发展。
表面活性剂在锦纶酸性染料染色中的应用
收稿时间 ：０ １一ｌ —ｌ ２１ ｌ ４ 第一作者 ： 庆双（ ９ ６ 宋 １ ８ 一）， ， ｔｔ 女 Ｉ ｌ ￣Ｊ泸州人 ， 硕士研究生 ， 主要从事印染助剂 的开发与应用研究 。
第 ２期
宋庆双 ， 郑庆康 ， 冯西宁 ： 表面 活性剂在锦纶酸性染料染色 中的应用
１ ３
１３ 织物性 能测试 ． １３ １ 上染 百分 率 ．．
本文通 过单 因素试 验并测 量酸性染 料 上染锦 纶６ ６后 的上 染 率 、／ Ｋ Ｓ值 、 色差等 指标 ， 分析 了不 同表 面活性 剂 对锦 纶 染 色 匀 染性 的影 响 ， 一 的 单
工艺 流 程 ： 物 人 染 （ ５Ｉ， Ｈ ５～６ 浴 比 织 ４ｃ ｐ ＝ ，
１５ 染 料 １ （ ． ． ） 表 面 活 性 剂 ２ （ ． ． ：０， ％ ＯＷ ｆ， ％ Ｏ Ｗ ｆ ） 升温染 色一 保温 染 色 （ ０ ｎ９ ￣ ＿ 热 水 ）一 ９ ｍｉ，０Ｃ） ÷ 洗 （０— Ｏ ，０ ｎ ＿冷 水洗 一 晾干 ７ ８ ℃ １ｍｉ）÷
成 都 纺 织 高 等 专 科 学 校 学 报
Ｊｕ ａ ｏｒ ｌ ｎ ｏ ｆ Ｃ ｅｇｕ ｈ ｎｄ Ｔ ｘｉ ｅｔ ｅ ｌ Ｃ Ｕｇ ｏ ｅｅ
第 ２ 卷 第 ２ （ 第 １ ４ ） ２ ２ ４ ９ 期 总 期 ０１ 年 月 ０
文章编号 ： ０ － ５０ ２ １ ）２— １ ０ １ ８ ５ ８ （０ ２ ０ ０ ２— ３ ０
红、 酸性灰 、 酸性翠 兰 、 酸性 艳 兰 、 性 翠 兰 （ 海 酸 上 万得 化工厂 ）
过 与染 料结合 随着染 浴 中染 料不 断上染纤 维而缓 慢 释放 出来 ， 从而 达到 匀染 的 目的 ； 也可 以通过匀 染 剂先 上染纤 维 ， 料 与 之竞 染 而 辅 助纤 维对 染 染 料 均匀 吸收 ， 进染 料 的迁移 能力 ， 促 在短 时间 内获 得 良好 的匀染 性 － 。因此 ， 择 合适 的匀 染剂 对 ４ Ｊ 选
中国地图四色染色问题
中国地图四色染色问题一、问题描述将中国地图用四种不同的颜色红、蓝、绿、黄来染色，要求相邻的省份染色不同，有多少种不同的方案？二、问题分析本文将中国地图的34个省、直辖市、自治区、以及特别行政区转化为图论中的图模型。
其中每个省、市、自治区、特别行政区用图中的一个结点表示，两个结点间联通仅当两个板块接壤。
则问题转化为图论中的染色问题。
由于海南、台湾省不与其它任何省份相邻，所以如果除海南、台湾外如果有n种染色方法，那么加上海南和台湾省后，有4*4*n种染色方法。
下面考虑除海南和台湾后的32个结点的染色方法。
三、中国地图染色方法采用分开海南和台湾省的分析方法，一方面的原因是除海南和台湾后的32个结点，可以组成一个联通图，因为海南省和台湾省不和任何其它省份邻接。
另一方面，我们建立一个联通图模型后，染色问题可以用深度优先遍历算法DFS，或者广度优先遍历算法BFS来解决，由于该方法的时间复杂度较高，属于暴力法，少考虑两个省份可以减少计算机处理此问题的时间。
本文采用DFS算法来解决这个染色问题。
3.1 DFS算法简介DFS算法是图的一种图的深度遍历算法，即按照往深的地方遍历一个图，若到一个分支的尽头，则原路返回到最近一个未被遍历的结点，继续深度遍历。
DFS遍历的具体步骤可为下：1）标记图中所有结点为“未访问”标记。
2）输出起始结点，并标记为“访问”标记3）起始结点入栈4）若栈为空，程序结束；若栈不为空，取栈顶元素，若该元素存在未被访问的邻接顶点，则输出一个邻接顶点，并置为“访问”状态，入栈；否则，该元素退出栈顶。
3.2 染色问题中的DFS算法设计我们先对任一结点染色，然后用DFS从该结点出发，遍历该图，遍历的下一结点颜色染为与之相邻的结点不同的颜色即可。
如果该结点无法染色则回到上一个结点重新染色，直到所有的结点都被染色即可。
最后统计染色种数。
染色问题的算法伪代码可以描述如下：color_DFS(当前染色结点):for i in 所有颜色{ while j的已染色邻接点if 结点j相邻接点被染成i颜色标记并breakif 未被标记{当前结点染为i色if 当前结点为最后一个结点endelsecolor_DFS(next)｝}3.3 数据结构设计为了实现DFS染色算法，我们需要设计相应的数据结构。
四色问题与邻接矩阵
四色问题与邻接矩阵1. 引言四色问题是图论中的一个经典问题，它要求给定一个地图，如何用最少的颜色对地图上的每个区域进行着色，使得任意相邻的区域颜色不同。
这个问题最早由英国数学家弗朗西斯·戈斯特提出，并在1852年被正式命名为“四色问题”。
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它将图中的顶点和边分别表示为矩阵的行和列，并使用0和1来表示是否存在边。
在解决四色问题时，邻接矩阵可以帮助我们理清地图上各个区域之间的关系，从而找到最少的颜色方案。
本文将详细介绍四色问题以及如何使用邻接矩阵解决该问题。
首先，我们将介绍四色问题的背景和相关概念；然后，我们将介绍邻接矩阵的基本概念和构造方法；最后，我们将结合实例演示如何使用邻接矩阵解决四色问题。
2. 四色问题2.1 背景四色问题是一个关于地图着色的问题，它最早由英国数学家弗朗西斯·戈斯特提出。
该问题的背景是，给定一个地图，如何用最少的颜色对地图上的每个区域进行着色，使得任意相邻的区域颜色不同。
2.2 相关概念在讨论四色问题之前，我们需要了解一些相关概念：•地图：地图是一个由若干个区域组成的平面图形。
每个区域代表一个特定的地理区域，如国家、省份或城市等。
•着色：着色是对地图上的每个区域分配一种颜色。
在四色问题中，我们希望用尽可能少的颜色对地图进行着色。
•相邻：两个区域被称为相邻区域，如果它们在地图上有公共边界，并且没有其他区域将它们分隔开。
2.3 四色猜想根据经验观察，人们普遍认为任何一个平面地图都可以使用四种颜色进行着色。
这就是著名的“四色猜想”，即任何平面地图都可以用四种颜色进行合理的着色。
然而，在数学上证明这个猜想并不容易。
直到1976年，美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·哈肯提出了一种新的证明方法，他们使用了计算机来验证大量的特殊情况，并最终证明了四色猜想的正确性。
3. 邻接矩阵3.1 基本概念邻接矩阵是一种表示图的方法，它使用一个二维矩阵来表示图中各个顶点之间的关系。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。
在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。
一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。
着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。
定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。
根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。
定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。
根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。
二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。
其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。
而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。
三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。
同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。
总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。
通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。
愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。
四色定理 c++算法
四色定理是一个经典的图论问题，可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法来解决。
以下是使用DFS算法的C++代码实现：c复制代码#include<iostream>#include<vector>#include<queue>using namespace std;const int MAXN = 100; // 最大顶点数vector<int> G[MAXN]; // 邻接表存储图int color[MAXN]; // 记录每个顶点的颜色bool vis[MAXN]; // 记录每个顶点是否被访问过bool dfs(int u) {vis[u] = true; // 标记顶点u为已访问for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {int v = G[u][i];if (!vis[v]) { // 如果顶点v未被访问过，则继续递归访问vif (color[v] == -1 || dfs(color[v])) { // 如果顶点v未染色或染色后可以与顶点u相邻，则将v染色为与u不同的颜色，并返回truecolor[v] = color[u];return true;}} else if (color[v] == color[u]) { // 如果顶点v已被染色且与顶点u颜色相同，则说明存在环，返回falsereturn false;}}return true; // 无法染色，返回true}bool check(int n) { // 检查是否可以通过n种颜色染色for (int i = 0; i < n; i++) {memset(color, -1, sizeof(color)); // 初始化染色数组为-1memset(vis, false, sizeof(vis)); // 初始化访问数组为falseif (!dfs(i)) { // 从第i个顶点开始进行DFS染色，如果无法染色，则说明需要更多颜色，返回falsereturn false;}}return true; // 所有顶点都可以通过n种颜色染色，返回true}int main() {int n, m; // n为顶点数，m为边数cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++) {int u, v; // u和v之间有一条有向边cin >> u >> v;G[u].push_back(v); // 将v加入u的邻接表中}if (check(4)) { // 检查是否可以通过4种颜色染色，如果是，则输出“四色定理成立”，否则输出“四色定理不成立”cout << "四色定理成立" << endl;} else {cout << "四色定理不成立" << endl;}return0;}这段代码首先通过输入顶点和边的数量，构造一个有向图。
4个元素a、b、c、d,按所列次序依次进栈,写出所有可能的出栈序列 算法原理
4个元素a、b、c、d,按所列次序依次进栈,写出所有可能的出栈序列算法原理一、问题描述给定四个元素a、b、c、d，按顺序依次进栈，需要找出所有可能的出栈序列。
二、算法原理为了解决这个问题，我们可以使用栈这种数据结构的特性，以及递归和循环的结合，来生成所有可能的出栈序列。
1. 栈的基本特性栈是一种先入后出（First In First Out，FIFO）的数据结构，它的主要操作包括压入（push）和弹出（pop）。
在栈中，最先进入的元素将会是最先被弹出的元素。
2. 递归思想为了生成所有可能的出栈序列，我们可以使用递归的思想。
每一个可能的出栈序列，都对应着一种可能的入栈顺序。
因此，我们可以通过递归地尝试所有可能的入栈顺序，来得到所有的出栈序列。
3. 循环迭代由于栈的容量有限（本题中为4），我们不能无限制地递归下去。
因此，我们需要使用循环来迭代地尝试所有的入栈顺序。
4. 具体实现基于上述原理，我们可以设计如下的算法：* 首先，初始化一个空栈。
* 然后，对于每一个元素a，将其压入栈中。
* 接着，使用循环迭代的方式，尝试所有可能的入栈顺序：+ 将元素b压入栈中。
+ 将元素c压入栈中。
+ 将元素d压入栈中。
+ 弹出栈顶元素，得到一个可能的出栈序列。
+ 如果还有剩余的元素未入栈，继续上述步骤。
* 最后，对所有的出栈序列进行输出。
三、算法流程1. 初始化一个空栈。
2. 对于元素a，将其压入栈中。
3. 使用循环迭代的方式，尝试以下四种入栈顺序： * 将元素b压入栈中。
* 将元素c压入栈中。
* 将元素d压入栈中。
* 弹出栈顶元素，得到一个可能的出栈序列。
4. 对所有的出栈序列进行输出。
四、代码实现（伪代码）假设使用Python语言实现：```pythoninitialize empty stack Spush element a into Sfor each element b in sequence:push element c into Spush element d into Spop out stack top element to get a possible sequenceif there are remaining elements:continue for next iteration with b, c, d and next element as aprint all sequences obtained from above process```五、总结本算法通过利用栈的特性、递归和循环的结合，可以有效地找出给定四个元素按顺序依次进栈的所有可能出栈序列。
【数据结构及算法】2.图像染色问题
2.3.20③假设以⼆维数组g(1..m,1..n)表⽰⼀个图像区域，g[i,j]表⽰该区域中点(i,j)所具颜⾊，其值为从0到k的整数。
编写算法置换点(i0,j0)所在区域的颜⾊。
约定和(i0,j0)同⾊的上、下、左、右的邻接点为同⾊区域的点。
实现下列函数： void ChangeColor(GTYPE g, int m, int n, char c, int i0, int j0); /* 在g[1..m][1..n]中，将元素g[i0][j0] */ /* 所在的同⾊区域的颜⾊置换为颜⾊c */ 表⽰图像区域的类型定义如下： typedef char GTYPE[m+1][n+1]; Stack是⼀个已实现的栈。
可使⽤的相关类型和函数： typedef int SElemType; // 栈Stack的元素类型 Status StackInit(Stack &s, int initsize); Status Push(Stack &s, SElemType e); Status Pop(Stack &s, SElemType &e); Status StackEmpty(Stack s); Status GetTop(Stack s, SElemType &e);------------------------------------------------------------------------------------------------- 像这种关于图像区域的染⾊问题，⼤多的处理⽅法是使⽤递归算法，当然，使⽤栈来实现也是可以的，我在这⾥是使⽤⾃⼰设计的递归算法，算法⽐较简单，能看懂基本的递归算法的同学都能够看懂。
另外在这⾥要注意⼀些细节，⽐如调⽤函数时的参数的正确性判断，还有就是下标是否越界的判断，这些细节决定了算法的成败。
具体思路： 1.⾸先将指定的点A进⾏染⾊； 2.然后分别⽐较其上、下、左、右位置的四个点，若它们的颜⾊与A点原来的颜⾊相同，则分别对其调⽤染⾊函数。
四色问题的简介
四色问题的简介
四色问题是一道关于地图着色的问题，即如何用最少的颜色给一个地图的各个区域着色，使相邻的区域颜色不同。
这道问题最初由英国数学家弗朗西斯·戈登（Francis Guthrie）在1852年提出，他被他的朋友挑战，问是否可以将英国地图分成四个不同的颜色，使得相邻的区域不同色。
戈登尝试了很多方案，但是都无法满足这个要求，于是他将这个问题提交给了他的哥哥格雷厄姆·戈登（Graham Guthrie），后者随即将问题传给了他的朋友华尔夫·卡洛·海廷（August Wilhelm Kienzel）。
海廷经过长时间的思考和实验，最终证明了四色问题的正确性，即任何地图都可以只用四种颜色完成着色。
这个问题引起了数学界的广泛关注和研究，直到1976年，美国数学家肯尼斯·阿普尔（Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）才用计算机证明了四色问题的正确性。
这个问题的解决不仅推动了计算机算法和图论等领域的发展，也为其他类似的问题提供了思路和方法。
- 1 -。
七巧板染色
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【题目名称、来源】
七巧板染色（经典问题qiqiaob.pas）
【问题述】
count:=0;
{初始化数组和变量}
readln(n);
for i:=1 to n do begin
readln(head,tail);
tu[head,tail]:=1;
tu[tail,head]:=1;
end;
go(1);
writeln('count=',count);
close(input);
color:array[1..4] of boolean;{标志数组，该颜色是否使用过}
【测试数据】
【源程序】
program qiqiaob;
var tu:array [1..7,1..7] of integer{有七巧板抽象出来的图};
s:array[1..7] of integer;{栈，用来记录每一块板染成什么颜色Four Color:1,2,3,4}
if can(step,i) then begin
if step=7 then begin
for j:=1 to 7 do write(s[j],' ');
writeln;count:=count+1;
end
else go(step+1);
s[step]:=0;{回溯}
end;
end;
end;
begin
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I=2,J=2
k=2
IF (J>4) THEN { I=I-1; J=s[I]+1 }}
}
Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { s[1]=1; // 1号区域染1色
1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7
2
1
ELSE{ s[I]=J; I=I+1; J=1; }//相邻且不重色
}
I=3,J=1
k=2
IF (J>4) THEN { I=I-1; J=s[I]+1 }}
}
Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { …… I=2; J=1; // I为区域号，J为染色号 while ( I<=n) { while(( J<=4)&&(I<=n)) { k=1; // k表示已经着色的区域号
0
1 1
Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { s[1]=1; // 1号区域染1色
1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5
6 7
while(( k<I)&&(s[k]R[I,k]!=J))
IF (K<I) //相邻且重色 THEN J=J+1=2
1
1
1
0
1
2
1
0
3
1
1
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0
1
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1
0
6
0
0
7
k=k+1=2; // 若不相邻，或若相邻且不重色，对下一个区域判断。
0
1
0
0
0
0
0
0
ELSE{ s[I]=J; I=I+1; J=1; }//相邻且不重色
I=2; J=1; // I为区域号，J为染色号 while ( I<=n) { while(( J<=4)&&(I<=n)) { k=1; // k表示已经着色的区域号
5
6 7
while(( k<I)&&(s[k]R[I,k]!=J))
IF (K<I) //相邻且重色 THEN J=J+1=2
k=k+1=2; // 若不相邻，或若相邻且不重色，对下一个区域判断。
I=2; J=1; // I为区域号，J为染色号 while ( I<=n) { while(( J<=4)&&(I<=n)) { k=1; // k表示已经着色的区域号
5
6 7
while(( k<I)&&(s[k]R[I,k]!=J))
IF (K<I) //相邻且重色 THEN J=J+1
k=k+1; // 若不相邻，或若相邻且不重色，对下一个区域判断。
1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5
6 7
while(( k<I)&&(s[k]R[I,k]!=J))
(7) (2) (1) (3) (4) (5)
1# 粉色
2# 黄色 3# 红色 4# 绿色
(6)
}
}
} IF (J>4) THEN { I=I-1; J=s[I]+1
K=K+1; // 若不相邻，或若相邻且不重色，对下一个区域判断。 IF (K<I) THEN J=J+1 S[1:7] ELSE{ s[I]=J; I=I+1; J=1; }
0
1
0
2
0பைடு நூலகம்
2
0
3
0
4
0
0
ELSE{ s[I]=J; I=I+1; J=1; }//相邻且不重色
}
Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { …… I=6; J=1; // I为区域号，J为染色号 while ( I<=n) { while(( J<=4)&&(I<=n)) { k=1; // k表示已经着色的区域号
1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
I=2; J=1; // I为区域号，J为染色号 while ( I<=n) { while(( J<=4)&&(I<=n)) { k=1; // k表示已经着色的区域号
5
6 7
while(( k<I)&&(s[k]R[I,k]!=J))
1
0
1
1 2
1
0
3
1
1
4
0
1
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1
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6
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0
7
k=k+1;
// 若不相邻，或若相邻且不重色，对下一个区域判断。
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while(( k<I)&&(s[k]R[I,k]!=J))
1
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1
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k=k+1;
// 若不相邻，或若相邻且不重色，对下一个区域判断。
1 0
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IF (K<I) //相邻且重色 THEN J=J+1
0
0
0
0
0
0
ELSE{ s[I]=J; I=I+1; J=1; }//相邻且不重色
}
k=1 I=2,J=1
IF (J>4) THEN { I=I-1; J=s[I]+1 }}
}
Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { s[1]=1; // 1号区域染1色
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0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0
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}
k=1 I=2,J=2
IF (J>4) THEN { I=I-1; J=s[I]+1 }}
}
Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { s[1]=1; // 1号区域染1色
}
Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { …… I=6; J=1; // I为区域号，J为染色号 while ( I<=n) { while(( J<=4)&&(I<=n)) { k=1; // k表示已经着色的区域号
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I=6,J=1
IF (J>4) THEN { I=I-1; J=s[I]+1 }}
}
Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { …… I=6; J=1; // I为区域号，J为染色号 while ( I<=n) { while(( J<=4)&&(I<=n)) {k= 1; // k表示已经着色的区域号
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Void mapcolor(int R[][],int n,int s[]) { s[1]=1; // 1号区域染1色 I=2; J=1; // I为区域号，J为染色号 while ( I<=n) { while(( J<=4)&&(I<=n)) { k=1; // k表示已经着色的区域号 while(( K<I)&&(s[K]R[I,K]!=J))
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