高考数学一轮复习 37 数列求和学案 理

第三十七课时 数列求和
课前预习案
1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n 项和公式．
2．熟练掌握常考的倒序相加法，错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和：
（1）等差数列的求和公式：_______________________n S ==
（2）等比数列的求和公式______________________________
n S ⎧
⎪⎪
=⎨⎪⎪⎩（切记：公比含字母时一定要讨论）
2.倒序相加法：如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的（阅读课本39页回顾等差数列求和公式的推导过程）。

3.错位相减法：数列{}n n a b ⋅，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求（阅读课本49页回顾等比数列的前n 项和推导过程）。

[深入探究]：错位相减法步骤是怎样进行的？需要注意哪些问题？
4.分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和。

5.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：
1()n n k =+___________
=____________1
(21)(21)n n =-+___________；
若{}n a 是等差数列，公差为d 则
11n n a a +=___________
=
___________；
[究疑点]：通过上述裂项方式思考①裂项相消法适合于哪一类数列求和？ ②裂项相消法的前提是什么？③求和过程有哪些需要注意的问题？
1．数列}{n a 的通项14-=n a n ，n
a a a
b n
n +++=
21，则数列}{n b 的前n 项和为( )
A ．2
n B ．)1(+n n C ．)2(+n n D ．)12(+n n 2.已知数列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-
,则{}n a 的前10项和等于（ ） A.()
10
613--- B.
()101
139
-- C.()10313-- D.()1031+3- 3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2
n n n n S a n N *
=--∈则
(1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.
4.（课本题再现）设()442
x
x f x =+求证：（1）()(1)1f x f x +-=
（2）计算121000100110011001f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值.
课堂探究案
考点1 分组求和
【典例1】已知数列{}n a 的通项公式321n n a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

考点2裂项相消法
【典例2】已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a n 2
－1
(n ∈*
N )，求数列{b n }的前n 项和T n .
【变式1】求数列1
{
}(2)
n n +的前n 项和.
考点3 错位相减法
【典例3】设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3
n －1
a n ＝n
3
，n ∈N *.
(1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)设21
n n
n b a -=，求数列{b n }的前n 项和S n
【变式2】设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n
n
n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T .
1．数列}{n a 的通项公式是)(1
1
+∈++=N n n n a n )(*∈N n ，若它的前n 项和为10，则其项数n 为 ( )
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121 2．数列 ,211,,3211,211,
1n ++++++的前n 项和为 ( ) A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D ．1
2+n n
课后拓展案
组全员必做题
1.已知数列{a n }满足a n +2=－a n （n ∈N *
），且a 1=1，a 2=2，则该数列前2005项的和为( )
A.0
B.－3
C.3
D.1
2.设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =( ) （A ）
152 (B)314 (C)334
(D)17
2
3.设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2
Y XZ =
D 、()()Y Y X X Z X -=-
4.函数y=x 2
(x>0)的图像在点(a k ,a k 2
)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,*
∈N R ，若a 1=16，则a 1+a 3+a 5的值是_________
组提高选做题
1.数列{a n }的通项公式为)12n ()1(a n n --=，求数列{}n a 前n 项和n S .
2. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的*
∈N n ，点(,)n n S ，均在函数
(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图象上.
（1）求r 的值； （2）当b=2时，记 1()4n n
n b n N a ++=
∈ (*
∈N n ) 求数列{}n b 的前n 项和n T . 参考答案
1.C
2.C
3.（1）116
-
；（2）10011(1)32-.
4.（1）略；（2）500.
【典例1】21
342
2
n n n ++-+
【典例2】（1）221,2n n a n S n n =+=+；（2）
4(1)
n
n +.
【变式1】2354(1)(2)
n n n n +++
【典例3】（1）略；（2）3(1)3n n S n +
=+-13213+⨯-n
【变式2】（1）1242,4n n n a n b -=-=；（2）565499
n
n n T -=+
⨯
1.C
2.B
组全员必做题
1.D
2.B
3.D
4.21
组提高选做题
1.⎩⎨
⎧-=)
()(是奇数是偶数n n n n S n .
2.（1）-1；（2）1
33
22n n n T ++=
-.。