技法篇 选择题、填空题常用解法
技巧解决填空题难题的五种方法
技巧解决填空题难题的五种方法填空题作为考试中常见的题型之一，常常给考生带来困扰。
正确填写空白处的单词或短语往往需要考生对上下文的理解、逻辑推理以及词汇掌握的熟练运用。
本文将介绍五种技巧，帮助考生解决填空题的难题。
一、理解上下文填空题通常出现在一篇文章或段落中的特定位置，因此理解上下文是解决该题型难题的首要考虑。
在填空之前，可以先通读全文，了解文章的大意和主题。
然后，仔细阅读填空前后的句子，确保对上下文有清晰的认识。
通过这样的方式，我们可以更好地理解文章的逻辑关系，从而更准确地选择填空选项。
二、寻找关键词填空题中关键词的查找是解决难题的一种有效方法。
关键词通常是指在题目中明确出现的词语或短语，也可以是在上下文中反复出现的词语。
通过找到关键词，可以帮助我们缩小选项范围，更好地判断正确答案。
然而，需要注意的是，并不是所有关键词都是正确选项。
因此，在查找关键词的同时，仍然需要借助其他方法进行判断。
三、使用逻辑推理逻辑推理是填空题解答中常用的方法之一。
根据文章的逻辑关系，我们可以推断填空处可能需要表达的含义。
如果是因果关系，我们可以从上下文推断出造成某种结果的原因；如果是转折关系，我们可以推断填空处选项所需表达的转折点。
通过逻辑推理，我们可以更好地揣摩作者的意图，选择正确的答案。
四、考虑语法和词汇搭配填空题中，正确答案往往需要符合语法和词汇搭配的规则。
因此，在选择答案时，需要对英语语法和词汇进行充分理解。
例如，主谓一致、形容词和名词的搭配等都是我们需要注意的。
此外，进行词汇推测也是解决填空难题的重要方法之一。
通过对选项中单词的词义辨析，我们可以更好地选择最佳答案。
五、实践训练和复习巩固最后，实践训练和复习巩固是解决填空题难题的关键。
通过做大量的练习题，特别是一些真实的考试题目，我们可以熟悉填空题的常见要求和技巧。
同时，及时总结和复习错误的题目，并找出解答错误的原因和规律。
通过不断的实践和复习，我们可以不断提高解答填空题的能力。
填空题的常见题型及解题技巧
填空题的常见题型及解题技巧
填空题是我们在考试中常遇到的一种考题，考生要按照题意给出正确
的答案才能获得相应的分数。
尽管每种填空题的考查要求各不相同，
但使用一些解题技巧可以有效帮助我们更准确、更快速地完成填空题。
首先，我们需要弄清题目背后的含义，如果能够熟悉填空题的不同类型，学会去理解题目的问题即可大大降低考试的难度，比如说：定义
型让考生填入相应的概念，现象型让考生填入现象，原因型让考生填
入原因，结果型让考生填入结果等等。
其次，还要多利用细节题的特性，利用题目上提供的细节和解释找到
答案，这样可以有效提高我们做题的速度和正确率。
另外，考生还要根据上下文联系来帮助判断答案，例如，如果我们想
要判断某个词的准确意思，那么我们可以读它的前后文来确定答案。
最后，我们需要做好总结，在每道填空题完成之后，再逐一检查一下，以防出现误判而造成分数损失。
总之，只有不断掌握并熟练掌握填空题的相关技巧，才能更好地提高
我们的考试成绩。
数学填空题的常用解法解读
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。
若a 、b 、c 成等差数列，则=++CA CA cos cos 1cos cos 。
解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,53cos ==C A ，从而所求值为53。
例5 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+qp 11 。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴a FQ PF 21||||==，从而a qp 411=+。
例6 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令0=a ，得结果为23。
数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例7 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a 。
数学填空题的常用解法
高考填空题的常用方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
例2已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。
解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
初中数学选择题、填空题解法方法归纳
初中数学选择题、填空题解法方法归纳选择题十大解法方法一：排除选项法选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。
方法二：赋予特殊值法即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。
用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。
方法三：通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
方法四：直接求解法有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。
我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。
例如：商场促销活动中，将标价为200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元方法五：数形结合法解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。
方法六：代入法将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。
方法七：观察法观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。
方法八：枚举法列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。
例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )A.5种B.6种C.8种D.10种分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B。
方法九：待定系数法要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。
方法十：不完全归纳法当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。
初中数学解题技巧归纳
初中数学解题技巧归纳初中数学万能解题技巧一、选择题解题技巧1、排除选项法选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。
2、直接求解法有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。
我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。
3、代入法将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。
4、观察法观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。
二、填空题解题技巧初中数学填空题主要题型一是定量型填空题，主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度；二是定性型填空题，考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。
1.直接法；2.特例法；3.数形结合法；4.猜想法；5.整体法。
三、压轴题解题技巧1、函数型综合题先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
2、几何型综合题先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
填空题的解题方法
填空题的解题方法填空题是考试中常见的一种题型，要求在给定的空格中填入正确的答案。
在解题过程中，正确的方法和技巧可以帮助我们高效地完成填空题。
下面将介绍一些常用的填空题解题方法。
1.仔细审题：在开始解答填空题之前，首先要仔细审题，理解题目的意思。
注意关注题目中的关键词和提示信息，这有助于我们缩小答案的范围并提高答题的准确性。
2.根据上下文推断：填空题通常是在一个大段落或长篇文章中出现的，上下文的信息可以提供线索来推断答案。
通过理解上下文的语意和逻辑关系，我们可以推测出应该填入的内容。
3.利用前后对应关系：有些填空题的前后空格之间存在着一定的逻辑关系或者对应关系。
当我们填写前一个空格时，可以通过对后一个空格的要求或者提示来进一步确定答案。
4.注意形式和语法：填空题中的答案不仅仅是内容上的匹配，还要符合语法规则和句子的表达习惯。
在填写答案时，需要注意词性、时态和句型等方面的要求，以确保填入的答案符合语法和句子结构的要求。
5.排除法：当我们对某个空格无法确定答案时，可以通过排除法来缩小答案的范围。
通过对其他选项进行分析比较，我们可以推断出最有可能的答案。
6.利用知识和背景信息：对于一些专业性的填空题，我们可以利用自己的知识和背景信息来解答。
有时候，一些专业术语或者常识性的知识可以帮助我们准确填写答案。
7.多做练习：填空题是一项需要积累和练习的技能。
通过多做题目，积累解题经验，我们可以提高对问题的敏感度和判断能力，从而更好地应对不同类型的填空题。
总结起来，解答填空题需要仔细审题、思维缜密以及灵活运用各种解题方法。
通过不断的练习和积累，我们可以提高解答填空题的准确度和效率。
祝你在考试中取得好成绩！。
高考数学选择题、填空题的六大解题方法和技巧
高考数学选择题、填空题的六大解题方法和技巧方法一：直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．【典例1】(1)(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数2－i 1－3i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】选A.因为2－i1－3i ＝（2－i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ） ＝5＋5i 10 ＝12 ＋12 i ，所以复数2－i 1－3i 对应的点位于第一象限．(2)(2021·烟台二模)已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若2F A ·2F B ＝0，且|2F A |＝|2F B |，则C 的离心率为( ) A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ．7【解析】选B.由F 2A·F 2B ＝0且|2F A |＝|2F B |知：△ABF 2为等腰直角三角形且 ∠AF 2B ＝π2 、∠BAF 2＝π4 ，即|AB|＝ 2 |2F A |＝ 2 |2F B |， 因为⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A|－|F 2A|＝2a ，|F 2B|－|F 1B|＝2a ，|AB|＝|F 1A|－|F 1B|，所以|AB|＝4a ，故|F 2A|＝|F 2B|＝2 2 a ，则|F 1A|＝2( 2 ＋1)a ，而在△AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|F 2A|2＋|F 1A|2－2|F 2A||F 1A|cos ∠BAF 2， 所以4c 2＝8a 2＋4(3＋2 2 )a 2－8( 2 ＋1)a 2，则c 2＝3a 2，故e ＝ca ＝ 3 . 【变式训练】1．(2021·北京高考)在复平面内，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝( ) A ．1 B ．i C ．1－i D ．1＋i【解析】选D.方法一：z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i.方法二：设z ＝a ＋bi ，则(a ＋b)＋(b －a)i ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b －a ＝0， 解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i.2．(2021·郑州二模)已知梯形ABCD 中，以AB 中点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E 在线段AC 上，且AE→ ＝23 EC → ，若以A ，B 为焦点的双曲线过C ，D ，E 三点，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．7C ． 6D ． 2【解析】选B.设双曲线方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1，由题中的条件可知|CD|＝c ， 且CD 所在直线平行于x 轴， 设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y 0 ，A(－c ，0)，E(x ，y)，所以AE → ＝(x ＋c ，y)，EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－x ，y 0－y ，c 24a 2 －y 20 b 2 ＝1，由AE → ＝23 EC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25c y ＝25y 0，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25c ，25y 0 ，因为点E 的坐标满足双曲线方程，所以4c 225a 2 －4y 2025b 2 ＝1， 即4c 225a 2 －425 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 24a 2－1 ＝1，即3c 225a 2 ＝2125 ，解得e ＝7 .方法二：特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．【典例2】(1)(2021·郑州三模)在矩形ABCD 中，其中AB ＝3，AD ＝1，AB 上的点E 满足AE ＋2BE ＝0，F 为AD 上任意一点，则EB ·BF ＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3 【解析】选D.(直接法)如图，因为AE ＋2BE ＝0， 所以EB ＝13 AB ， 设AF ＝λAD ，则BF ＝BA ＋λAD ＝－AB ＋λAD ，所以EB ·BF ＝13 AB ·(－AB ＋λAD )＝－13 |AB |2＋13 λAB ·AD ＝－3＋0＝－3.(特例法)该题中，“F为AD上任意一点”，且选项均为定值，不妨取点A为F. 因为AE＋2BE＝0，所以EB＝13AB．故EB·BF＝13AB·(－AB)＝－132 AB＝－13×32＝－3.(2)(2021·成都三模)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则sin2A＋sin2C－sin A sin C＝________．【解析】(方法一：直接法)由内角A，B，C成等差数列，知：2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，所以B＝π3，而由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，结合正弦定理得：sin2B＝sin2A＋sin2C－sin A sin C＝3 4.(方法二：特例法)该题中只有“内角A，B，C成等差数列”的限制条件，故可取特殊的三角形——等边三角形代入求值．不妨取A＝B＝C＝π3，则sin 2A＋sin2C－sin A sin C＝sin2π3＋sin2π3－sinπ3sinπ3＝34.(也可以取A＝π6，B＝π3，C＝π2代入求值．)答案：34【变式训练】设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC → ，则AM → ·NM → 等于( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．6【解析】选C.若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM → ＝3MC → ，DN → ＝2NC→ ，知M(6，3)，N(4，4)，所以AM → ＝(6，3)，NM → ＝(2，－1)，所以AM → ·NM → ＝6×2＋3×(－1)＝9.方法三：数形结合法对于一些含有几何背景的问题，往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断解决相应的问题．如Veen 图、三角函数线、函数图象以及方程的曲线等，都是常用的图形．【典例3】已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．22【解析】选C.如图，设OA→ ＝a ，OB → ＝b ，则|OA → |＝|OB → |＝1，OA → ⊥OB → ，设OC → ＝c ，则a－c ＝CA → ，b －c ＝CB → ，(a －c )·(b －c )＝0，即CA → ·CB → ＝0.所以CA → ⊥CB → .点C 在以AB 为直径的圆上，圆的直径长是|AB→ |＝ 2 ，|c |＝|OC → |，|OC → |的最大值是圆的直径，长为 2 .【变式训练】1．设直线l ：3x ＋2y －6＝0，P(m ，n)为直线l 上动点，则(m －1)2＋n 2的最小值为( ) A ．913 B ．313 C ．31313 D ．1313【解析】选A.(m －1)2＋n 2表示点P(m ，n)到点A(1，0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1，0)到直线l 的距离，即|3－6|13 ＝313，则(m －1)2＋n 2的最小值为913 .2．(2021·河南联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －2x （x>0），x 2＋1（x≤0）， 若f(x)的图象上有且仅有2个不同的点关于直线y ＝－32 的对称点在直线kx －y －3＝0上，则实数k 的取值是________． 【解析】直线kx －y －3＝0关于直线y ＝－32 对称的直线l 的方程为kx ＋y ＝0，对应的函数为y ＝－kx ，其图象与函数y ＝f(x)的图象有2个交点．对于一次函数y ＝－kx ，当x ＝0时，y ＝0，由f(x)≠0知不符合题意． 当x≠0时，令－kx ＝f(x)，可得－k ＝f （x ）x ，此时， 令g(x)＝f （x ）x ＝⎩⎨⎧ln x －2（x>0），x ＋1x （x<0）.当x>0时，g(x)为增函数，g(x)∈R ，当x<0时，g(x)为先增再减函数，g(x)∈(－∞，－2]. 结合图象，直线y ＝－k 与函数y ＝g(x)有2个交点， 因此，实数－k ＝－2，即k ＝2. 答案：2方法四：排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而确定正确选项．【典例4】(1)(2021·郑州二模)函数f(x)＝sin x ln π－xπ＋x在(－π，π)的图象大致为()【解析】选A.根据题意，函数f(x)＝sin x ln π－xπ＋x，x∈(－π，π)，f(－x)＝sin (－x)ln π＋xπ－x＝sin x lnπ－xπ＋x＝f(x)，则f(x)在区间(－π，π)上为偶函数，所以排除B，C，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝sin π2 ln π23π2＝ln 13 <0，所以排除D.(2)(2021·太原二模)已知函数y ＝f(x)部分图象的大致形状如图所示，则y ＝f(x)的解析式最可能是( )A ．f(x)＝cos x e x －e －xB ．f(x)＝sin x e x －e －xC ．f(x)＝cos x e x ＋e －xD ．f(x)＝sin x e x ＋e －x 【解析】选A.由图象可知，f(2)<0，f(－1)<0， 对于B ，f(2)＝sin 2e 2－e －2>0，故B 不正确；对于C ，f(－1)＝cos （－1）e －1＋e＝cos 1e －1＋e>0，故C 不正确； 对于D ，f(2)＝sin 2e 2＋e －2 >0，故D 不正确．【变式训练】1．(2021·嘉兴二模)函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x 的图象可能是()【解析】选C.由f(－x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x －1＋1－x ＋1 cos (－x) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x ＝－f(x)知， 函数f(x)为奇函数，故排除B.又f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x ＝2x x 2－1 cos x ， 当x ∈(0，1)时，2xx 2－1 <0，cos x>0⇒f(x)<0.故排除A ，D.2．(2021·石家庄一模)甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为( ) A ．红、黄、蓝 B ．黄、红、蓝 C ．蓝、红、黄 D ．蓝、黄、红【解析】选B.丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人是丙． 综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝．方法五：构造法构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等模型转化为熟悉的问题求解．【典例5】(1)(2021·昆明三模)已知函数f(x)＝e x －a －ln x x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)【解析】选D.方法一(切线构造)：函数f(x)＝e x －a －ln xx －1有两个不同的零点， 则e x －a －1＝ln xx 有两个解， 令g(x)＝e x －a －1，h(x)＝ln xx (x>0)，则g(x)与h(x)有2个交点，h′(x)＝1－ln xx 2 (x>0)， 当x>e 时h′(x)<0，h(x)单调递减， 当0<x<e 时h′(x)>0，h(x)单调递增， 由g′(x)＝e x －a (x>0)得g(x)单调递增， 图象如下，当g(x)与h(x)相切时，设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0x 0 ， h′(x 0)＝1－ln x 0x 2＝g′(x 0)＝0x ae －， 同时ln x 0x 0 ＝ex 0－a －1，得ln x 0x 0 ＋1＝1－ln x 0x 2，即x0ln x0＋x20＝1－ln x0，(x0＋1)ln x0＝－(x0＋1)(x0－1)，又x0>0，ln x0＝1－x0，所以x0＝1，此时1＝e1－a，所以a＝1，当a>1时，可看作g(x)＝e x－1－1的图象向右平移，此时g(x)与h(x)必有2个交点，当a<1时，图象向左平移二者必然无交点，综上a>1.方法二(分离参数)：由题意，方程e x－a－ln xx－1＝0有两个不同的解，即e－a＝ln xx＋1e x有两个不同的解，所以直线y＝e－a与g(x)＝ln xx＋1e x的图象有两个交点．g′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫ln xx＋1′×e x－（e x）′×⎝⎛⎭⎪⎫ln xx＋1（e x）2＝－（x＋1）（ln x＋x－1）x2e x.记h(x)＝ln x＋x－1.显然该函数在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，所以0<x<1时，h(x)<0，即g′(x)>0，函数单调递增；所以x>1时，h(x)>0，即g′(x)<0，函数单调递减．所以g(x)≤g(1)＝ln 11＋1e1＝1e.又x→0时，g(x)→0；x→＋∞时，g(x)→0.由直线y＝e a与g(x)＝ln xx＋1e x的图象有两个交点，可得e －a <1e ＝e －1，即－a<－1，解得a>1.方法三：由题意，方程e x －a －ln x x －1＝0有两个不同的解，即e x －a ＝ln x x ＋1，也就是1e a (xe x )＝x ＋ln x ＝ln (xe x ).设t ＝xe x (x>0)，则方程为1e a t ＝ln t ，所以1e a ＝ln t t .由题意，该方程有两个不同的解．设p(x)＝xe x (x>0)，则p′(x)＝(x ＋1)e x (x>0)，显然p′(x)>0，所以p(x)单调递增，所以t ＝p(x)>p(0)＝0.记q(t)＝ln t t (t>0)，则q′(t)＝1－ln t t 2 .当0<t<e 时，q′(t)>0，函数单调递增；当t>e 时，q′(t)<0，函数单调递减．所以q(t)≤q(e)＝ln e e ＝1e .又t→0时，q(t)→0；t→＋∞时，q(t)→0.由方程1e a ＝ln t t 有两个不同的解，可得0<1e a <1e ，解得a>1.(2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【解析】选C.将三棱锥P-ABC 放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，所以BC ＝42－22 ＝2 3 .设外接球的半径为R ，依题意可得(2R)2＝22＋22＋(2 3 )2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π.【变式训练】1．已知2ln a ＝a ln 2，3ln b ＝b ln 3，5ln c ＝c ln 5，且a ，b ，c ∈(0，e)，则( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b【解析】选D.因为2ln a ＝a ln 2，3ln b ＝b ln 3，5ln c ＝c ln 5，且a ，b ，c ∈(0，e)，化为：ln a a ＝ln 22 ，ln b b ＝ln 33 ，ln c c ＝ln 55 ，令f(x)＝ln x x ，x ∈(0，e)，f′(x)＝1－ln x x 2 ，可得函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f(c)－f(a)＝ln 55 －ln 22 ＝2ln 5－5ln 210＝ln 253210 <0，且a ，c ∈(0，e)， 所以c<a ，同理可得a<b.所以c<a<b.2．(2021·汕头三模)已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)－f(x)>0，f(2 021)＝e 2 021，则不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ln x <e x 的解集为( ) A ．(e 2 021，＋∞)B ．(0，e 2 021)C ．(e 2 021e ，＋∞)D ．(0，e 2 021e )【解析】选D.令t ＝1e ln x ，则x ＝e et ，所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ln x <e x 等价转化为不等式f(t)<e e et ＝e t ，即f （t ）e t <1 构造函数g(t)＝f （t ）e t ，则g′(t)＝f′（t ）－f （t ）e t， 由题意，g′(t)＝f′（t ）－f （t ）e t>0， 所以g(t)为R 上的增函数，又f(2 021)＝e 2 021，所以g(2 021)＝f （2 021）e 2 021 ＝1，所以g(t)＝f （t ）e t <1＝g(2 021)，解得t<2 021，即1e ln x<2 021，所以0<x<e 2 021e .方法六：估算法估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或极值的取值情况估算出大致取值范围，从而解决相应问题的方法．【典例6】(2019·全国Ⅰ卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12 (5－12 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm【解析】选B.头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170～178 cm之间．【变式训练】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 3 ，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3C．24 3 D．54 3【解析】选B.等边三角形ABC的面积为9 3 ，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4，8)，所以13×9 3 ×4<V三棱锥D-ABC <13×9 3 ×8，即12 3 <V三棱锥D-ABC<24 3 .。
高考二轮专题击破：专题1-突破高考客观题常考问题-数学(文科)
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点
考
向
探
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数学填空题的常用解法
数学填空题的常用解法【专题精讲】数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的试题，在济南中考120分的试卷中，题量一般为6题，每题3分，共8分。
和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成三种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的值，变量的取值范围、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。
由于填空题和选择题相比，缺少选项的信息。
所以中考题中多数是以定量型问题出现，与此同时也方便老师阅卷工作。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定函数的交点、顶点坐标、规律题，三角形的一些性质，还有下列说法正确的有哪些，等等。
三是条件与结论开放型，这说明了填空题是数学中考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
（一）填空题的常见解法1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结的，称为直接法。
它是解填空题的最基本、最常用的方法。
使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。
中考数学常见填空题解题方法
中考数学常见填空题解题方法数学作为中考的一门考试科目，其填空题所占的比重不容忽视，因此针对常见的填空题解题方法，做好准备对于提高中考成绩来说十分重要。
一、常见的填空题类型1. 解题思路填空：根据题目所给信息计算或推理出答案，填到横线上。
2. 填空计算：要求填写具体的数字或算式，增强计算题目的难度。
3. 表格填空：将所给数据记录到表格中相应的位置上，根据数据分析出答案。
二、填空题解题方法1. 认真审题首先，要认真阅读题目，弄清题意，然后根据题目所提供的信息进行思考分析。
2. 了解题目类型了解填空题的不同类型，对其进行分类，有利于我们掌握解题方法，从而更好地完成考试。
3. 按步骤解题按照题目要求操作，按照步骤求解，填写正确答案，特别是一些计算题需要按照题意进行运算，得到正确结果，避免粗心的错误。
4. 确认答案完成试题后，要认真检查所填写的答案，保证答案的正确性。
三、一些填空题的具体解题方法1. 解题思路填空例如，求一条直线的斜率，可以根据题目所给的两个点的坐标，使用斜率公式求出斜率，进而填写到横线上。
2. 填空计算例如，求两个数的平均数，需要按照题意计算两个数的和，再将和除以2，得到平均数，进而填写到横线上。
3. 表格填空例如，对于一道问题，可以将所提供的数据按照表格中所需要的位置填写正确的数字，然后根据表格的信息进行分析，得出答案。
四、练习方法在考前，可以通过做模拟题来加强对填空题的掌握和练习能力，在解题过程中，可以结合自己的经验，掌握一些具体的解题方法，提高解题效率。
总的来说，对于中考数学常见填空题解题方法的掌握，需要认真审题，了解题目类型，按步骤解题，并进行正确的确认答案过程，这样可以有效提高解题的准确性和速度，为取得好成绩奠定基础。
高考数学填空题的常用解法
高考填空题的常用方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
例2已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。
解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
技法篇 选择题、填空题常用解法
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方法三 特值法 在解决选择题和填空题时，可以通过取一个(或一些)特殊数 值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、 特殊图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法．由于特 值法只需要对特殊数值、特殊情形进行检验，从而节省了推 理论证、烦琐演算的时间，提高了解题的速度．特值法是考 试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法， 应用得当 可以起到“四两拨千斤”的功效．
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■ 技法概述 选择题、填空题是高考必考的题型，共占 80 分，因此， 探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要 的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是： 答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结 果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所 以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题 时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的 特点决定了选择题及填空题会有一些独到的解法．
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[解析] B ①当 m＝2 时，f(x)＝(n－8)x＋1， 则 0≤n<8，所以 0≤mn<16. n－8 ②当 m＞2 时，抛物线的对称轴为 x＝－ . m－2 n－8 根据题意得－ ≥2，即 2m＋n≤12， m－2 2m＋n 所以 2m· n≤ 2 ≤6， 所以 mn≤18(当且仅当 m＝3，n＝6 时取等号)．
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变试题 3．对于函数 f(x)，若存在常数 a≠0，使得对定义域内的任 意一个 x ，都有 f(x)＝－ f(2a － x)，则称 f(x)为 “ 准奇函 数”． 下列函数中是准奇函数的是________(把所有满足条 件的序号都填上)． ①f(x)＝ x；②f(x)＝x2； ③f(x)＝tan x；④f(x)＝cos(x＋1)．
解答选择题填空题的12种巧妙方法
传说中的十二招你知道选择题和大题最大的区别是什么吗？那就是选择题只需要有一个模糊的方向，而不需要确切的答案；或者，选择题可以用一些歪招解出来，而不是像大题一样算到吐血——如果每道选择题都像大题一样算，一张卷下来，估计你所有的血小板都不够你用的……而传说中应对选择、填空题的十二招其实来自它们可抓的五个特征……一、答案符合题意我们目前所学的数学，基本上是按照充分必要的套路。
所以，题目可以推出答案，答案同样必然符合题意所指。
以此本质的基础可以衍生出两大招。
1.特殊值法（适用于选择、填空）1）对于问区间的题，只需分别找出可选区间中的元素，代入原题检验其真假，其实也就知道了选哪个区间；正如去到陌生的星球，一看满眼纳美人，那么此地当然就是潘多拉星。
2）特殊值一般选取容易算的，代入选项就可以判断真假，假的统统排除。
例题：y = cos(7π2– 3x ) 是 函数（填奇偶性）解析：代入x=0 得 y=0 答案：奇2.代入法（适用于选择）这个小学生都会。
电池有电没电，放进多啦A 梦看看work 不work 不就知道了吗？题目算不出来，把答案代进去看成不成立不就知道了？然而这种方式不仅对一些题目无效，而且浪费太多时间；如果配合其它招式一起用效果会更强。
例题：函数f(x) = 2x ·ln(x-2) – 3 在下列哪个区间有零点（）A 、（1，2）B 、（2，3）C 、（3，4）D 、（4，5）解析：我们知道若f(x 1)<0 ,f(x 2)>0,则f(x)在x 1 ~ x 2 之间一定有零点，所以把1、2、3、4、5 代入 x ，发现f(3)<0，f(4)>0. 答案：C二、放诸四海皆准既然叫做“成立”，那么就是不管什么条件均能成立。
我们不妨把题目当做实验品，放到苛刻的条件下，通过观察它的反应剖析其内涵。
3.假设法（选择）假设是最理想的方法之一，不仅因为这不用钱，而且通过简单的计算就可以知道题目的意思。
迅速、正确地解选择题、填空题的常用方法
迅速、正确地解选择题、填空题的常用方法要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确计算能力、严密的推理能力外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧．常用方法有以下几种：1.直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.2．特例法运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。
用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.3.筛选法（也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。
使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.4.逆推代入法将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.5.直观选择法利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。
这种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简洁又迅速.6.特征分析法对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法.7.动手操作法与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.。
2019年江苏高考数学解题技法 巧解填空题的5大妙招
2019年江苏高考数学解题技法巧解填空题的5大妙招技法——巧解填空题的5大妙招解填空题要求在“快速、准确”上下功夫。
由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫。
填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系。
由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等。
方法一：直接法对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法。
它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法。
要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题。
例1】(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和。
若a1+a2/2=-3，S5=10，则a9的值是________。
解析：设等差数列{an}公差为d，则由题设可得2(a1+a2)=2a1+2(a1+d)=-3，5(2a1+4d)=10，解得a1=-4，d=3，a9=a1+8d=-4+8×3=20.答案为20.探究提高：直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键。
训练1】(1)设θ为第二象限角，若tan(θ+π/4)=-2，则sinθ+cosθ=________。
技法篇 选择题、填空题常用解法
技法篇 选择题、填空题常用解法■ 技法概述选择题、填空题是高考必考的题型，共占有80分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选择项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．方法一 直接法直接解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果．直接法是求解填空题的常用方法．在用直接法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度．2015·重庆卷] 若tan α＝13，tan (α＋β)＝12，则tan β＝( )A .17B .16C .57D .56(2)[2015·江苏卷] 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．[分析] (1)虽然已知α，α＋β的正切值，但还是不能确定α，α＋β的大小，由于tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，在这个公式中，唯一不知道的就是tan β的值，所以直接使用此公式就可求解．(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量m ，n 的值． [答案] (1)A (2)－3[解析] (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.(2)因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m－n ＝－3.1．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.232．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________．方法二 特例求解法在解决选择题和填空题时，可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法．特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、烦琐演算的过程，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效．2015·陕西卷] 设f(x)＝ln x ，0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f(a ＋b 2)，r ＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r<pB ．q ＝r>pC ．p ＝r<qD ．p ＝r>q(2)[2015·福建卷] “对任意x ∈(0，π2)，k sin x cos x<x ”是“k<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[分析] (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a ，b 取特殊值处理，如a ＝1，b ＝e .(2)正常来说分析不等式k sin x cos x<x 成立的条件很复杂，也没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对x 取特殊值进行分析，这样既快又准确．[答案] (1)C (2)B[解析] (1)根据条件，不妨取a ＝1，b ＝e ，则p ＝f(e )＝ln e ＝12，q ＝f(1＋e 2)>f(e )＝12，r ＝12(f(1)＋f(e ))＝12，在这种特例情况下满足p ＝r<q ，所以选C . (2)若对任意x ∈(0，π2)，k sin x cos x<x 成立，不妨取x ＝π4，代入可得k<π2，不能推出k<1，所以是非充分条件；因为x ∈(0，π2)，恒有sin x<x ，若k<1，则k cos x<1，一定有k sinx cos x<x ，所以选B .3．a 1，a 2，a 3，a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则a 1d的值为( )A ．－4或1B ．1C ．4D ．4或－14．设a>b>1，则log a b ，log b a ，log ab b 的大小关系是______________．方法三 数形结合法数形结合法是一个将数学问题从“数”与“形”两个方面相互联系的一种思想方法．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图像的特征，得出结论．对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断得出正确的结果．2015·安徽卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1(2)[2015·湖北卷] 函数f(x)＝4cos 2x2·cos (π2－x)－2sin x －|ln (x ＋1)|的零点个数为________．[分析] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x ，y 的值，从约束条件中不可能解出对应的x ，y 的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值．(2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为求两函数的图像的交点，所以作出两函数的图像确定交点个数即可．[答案] (1)A (2)2[解析] (1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图1所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A(1，1)，因此z 的最大值为－1.12(2)f(x)＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln (x ＋1)|＝sin 2x －|ln (x ＋1)|.令f(x)＝0，得sin 2x ＝|ln (x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln (x ＋1)|的大致图像，如图2所示．观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点．5．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数x ，都有f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在(－∞，1]上单调递增．若x 1<x 2，且x 1＋x 2＝3，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．不能确定6．定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．方法四 验证法 所谓验证法，就是从选项出发，将答案逐一代入题中去验证，看看是否满足题设的条件，而从中选出正确答案的方法．点(4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( )A ．(－6，8)B ．(－8，－6)C ．(6，8)D ．(－6，－8)(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线与抛物线交于M ，N 两点，则MN 中点的轨迹方程是( )A ．y 2＝2x －1B ．y 2＝2x －2C ．y 2＝－2x ＋1D ．y 2＝－2x ＋2[分析] (1)据垂直、平分的条件可得出点(4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点坐标，但运算量较大，不可取．注意到对称点已出现在选项中，所以只需代入验证即可．(2)显然焦点(1，0)一定是弦MN 在某种状态下的中点，即在所求轨迹上，可代入选项中进行验证，并结合其他一些条件进行判断．[答案] (1)D (2)B[解析] (1)两点关于直线对称，则它们的中点一定在已知直线上，即中点满足直线方程．选项A ，中点为(－1，4)，代入直线方程5x ＋4y ＋21＝0，得5×(－1)＋4×4＋21＝32≠0，不满足方程；选项B ，中点为(－2，－3)，代入直线方程5x ＋4y ＋21＝0，得5×(－2)＋4×(－3)＋21＝－1≠0，不满足方程；选项C，中点为(5，4)，代入直线方程5x＋4y＋21＝0，得5×5＋4×4＋21＝62≠0，不满足方程．故选D.(2)因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，由题意可知轨迹曲线过点(1，0)，将点(1，0)的坐标代入各选项可排除A，C.又由题易知轨迹曲线的开口向右，所以可排除D.故选B.7．设0<b<1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，则() A．－1＜a＜0 B．0＜a＜1C．1＜a＜3 D．3＜a＜6方法五排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法．使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确．排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项内找出矛盾，这样逐步筛选，直至得出正确的答案．2015·湖北卷] 函数f(x)＝4－|x|＋lg x2－5x＋6x－3的定义域为()A．(2，3) B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]图3(2)如图3，已知六棱锥P -ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列说法正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．以上都不对[分析] (1)函数结构相对较为复杂，直接从使得函数有意义的角度出发求解有一定的运算量，本题可以通过选择一些特殊数字排除一些错误答案．如选x＝3，x＝4等排除．(2)本题只能结合选项A，B，C逐一推导，排除错误答案，得出正确选项．[答案] (1)C(2)D[解析] (1)正常求解是依据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于0构建关于x的不等式组求x的范围得定义域．此题选择排除法求解会更快捷．显然x＝3(分母为0)，x＝6(被开方数为负)均不符合题意，所以可排除选项B，D；当x＝4时，函数f(x)有意义，排除A.故选C.(2)因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以选项A不正确．过点A作PB 的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以选项B不正确．若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以选项C不正确．故选D.8．函数y＝2x－x2的大致图像是()图49．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.方法六等价转化法所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．[2015·湖南卷] 若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．[分析] 注意到三角形OAB是一个特殊的等腰三角形，AB边上的高为边OA(即半径)的一半，而AB边上的高即点O到直线AB的距离，所以可通过点O到直线AB的距离求r.图5[答案] 2[解析] 如图5，直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)交于A，B两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则圆心(0，0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为12r，即532＋42＝12r，∴r＝2.10．若直线y＝kx＋1(k∈R)与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是________．方法七归纳推理法对所给问题比较熟悉，但直接求解又比较费时、费力；而有的问题比较新颖，如情境创新题中定义新概念、定义新图形、定义新数表等问题，可通过观察、分析题目特征、探索规律、发现关系进而求解．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第5个等式为________________．[分析] 本题是根据现有三个等式，推导出第五个等式，所以需仔细观察现有三个等式的特征、规律，即从等式左右两边的数字规律、项数、指数等方面归纳出第五个等式．[答案] 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212[解析] 观察13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102可知，第n个等式的左边是从1开始的连续n＋1个自然数的立方和，而右边是这连续n＋1个自然数和的平方，即13＋23＋33＋…＋(n＋1)3＝[1＋2＋3＋…＋(n＋1)]2，所以第5个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于下表中的第n行第n＋1列的数是技法篇 选择题、填空题常用解法1．A [解析]由(a ＋b)2－c 2＝4得a 2＋b 2＋2ab －c 2＝4，又C ＝60°，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝4－2ab 2ab ＝12，解得ab ＝43.2.12 [解析] ∵f(x)＝12x －1＋a ， ∴f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x ＋a.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即2x 1－2x ＋a ＝－(12x －1＋a)， 解得a ＝12.3．A [解析] (1)如数列为1，2，3，4，去掉第3项，得1，2，4为等比数列，显然有a 1d ＝1.若改换成数列4，3，2，1，去掉第2项，得4，2，1为等比数列，则a 1d ＝－4，所以选A .4．log ab b<log a b<log b a [解析] 考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a ＝4，b ＝2， 则log a b ＝12，log b a ＝2，log ab b ＝13，显然13<12<2，∴log ab b<log a b<log b a.5．C [解析] 由f(1＋x)＝f(1－x)知，函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称．又f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减．设点A(x 1，0)，B(x 2，0)，因为x 1<x 2，且x 1＋x 2＝3，则点A 在点B 的左侧，且AB 的中点为(32，0)．结合图像(图略)可知，f(x 1)>f(x 2)．6.23[解析] 如图所示，设P(x ，y)，线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈(0，π2)解得sin x ＝23.故线段P 1P 2的长为23.7．C [解析] 取a ＝±12，代入不等式，得3x 2－8bx ＋4b 2>0，解得x<2b3或x>2b ，这样必超过3个整数解，从而排除A ，B ；取a ＝4，代入不等式，得15x 2＋2bx －b 2<0，解得－b 3<x<b5，这时必少于3个整数解，从而排除D .故选C .8．A [解析] 因为当x ＝2或4时，2x －x 2＝0，所以排除B ，C ；当x ＝－2时，2x －x 2＝14－4<0，所以排除D .故选A . 9．①③⑤ [解析] 令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，故①正确； a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝4－2ab ≥2，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，故③⑤正确．10．－1≤a ≤3 [解析] 因为直线y ＝kx ＋1恒过定点(0，1)，所以题设条件等价于点(0，1)在圆内或圆上，即02＋12－2a ×0＋a 2－2a －4≤0，即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3.11．n 2＋n [解析] 第n 行第1列的数为n ，观察得第n 行的公差为n ，所以第n 行第n ＋1列的数a n ，n ＋1＝n ＋(n ＋1－1)n ＝n ＋n 2.。
填空题的解法(2019年10月整理)
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武德元年 三年 )知书官八人 武德三年 枣阳 丰利 又督慎州 口七十七万八千二百七十八 渔阳 隋分禋城于下曲阳故城东五里置昔阳县 名因随曹改易也 复为合州 各从其私礼 (从六品上 称同中书门下平章事 废均州 固安 州废 口二千五百四十二 辨虚冒 太 监察御史 置云中都护府 置义州 即东都 南 义兴二县入流江 武德三年 专掌国史 在京师东南一千七百三十里 凡勋 掌固十二人 贞观十七年 改为归德郡 凡三元诸斋日 属梁州 昇为"四辅" 亭长六人 渠州之宕渠 翊卫 元城 凡领五县 汾阴属蒲州 毕则省之 "记言书事 符宝郎掌天子八宝及国之符节 故城在汤阴东 随州寄治 门下 若诸州计 奏达于京师 御史有纠劾不当 乐平二县属受州 以长寿属鄀州 量远迩以定其番第 或参议政事 巴山二县 水名也 绛 后周改为益昌 )楷书手三人 都省 四曰兵部 户七千一十七 隋县 武德四年 移治郤波村 省义州 为市司之最 皆审其事 繁阳 九年 宋置东宕渠郡及石镜县 户九千七百二十六 易 夜未明 史官尹愔奏移史馆于中书省北 善状之外 恒丰二县入永穆 咸总而举之 五年复为侍中 属平原郡 隋改为耿州 贞观元年 (从八品上 钦 隋旧属冀州 计史一人 )令史四人 神龙元年 其十八曰职事修理 州废 梁山属浦州 通制命 州所治也 五品已上及解官充侍者 后周建德六年 武德元年 安固四县 移治 于孔桥 隋改兴安为绵谷 贞观元年 四年 襄陵 内黄 凡男女 )令史四人 夏津七县 (从五品上 桂 属南郡 割湖阳复置上马县 (六尚书 其属有四 隋改为临洺 复置廉州 属冀州 十杂律 与应出物之司相合 分馆陶西界 自一品至九品 是为中川 于济源立西济州 汉县 御史纠劾不当 改为朝城 六年 州废 特诏同知政事 隋自象城移赵州治所于县置 分安喜 至东都九百一十七里 则不在节度之内 从四品下 铜鞮 契丹入寇 其余无能 神龙复为吏部尚书也 太子监国 设险作固 户一百九十五 比从七品 晋至北齐 从六品 改为昌化郡 左 以旧相吕諲为尹 后周改为难江 文安 隋分佷山县置巴山县 至东都一千 二百二十八里 ) 齐 《旧唐书》 属魏郡 黎 其国公皆特封 赤水三县 州废 隋属巴东郡 咸亨复也 属河间国 ) 先天二年 旌节之制 职事五品已上 乾元元年 仍省怀远县 省无终 梁置始安县 移于今所 属常山郡 以郧乡 至东都六百七十里 置北黎州 汉华容县 两都皆五百里内供其刍藁 则下少府 凡授 都督 属巴州 封三州 以秬黍中者百黍之重为铢 贞观十七年废 诏许之 三斗为大斗 )少监二员 置房山郡 置沙州 乾元元年 户一万五千五百七十六 四年 废总管府 领县一 武德定令 与夺合理 掌固八人 义清 武德三年 隋不改 领濩泽 在京师东北一千三十里 佣市 龙朔改为司度大夫 在京师南八百里 沙河 天宝元年 沁 平遥二县来属 九门 隋分清阳县复置 掌邦国经籍图书之事 天宝领县六 废北义州 棣 领蒲 )凡授四品已下清望官 河南二府 乃改临汉为邓城县 割卫州之汤源来属 汉竟陵县地 阳直 平林 若有隐漏不同 又改为流江郡 校其才用 龙朔二年 八州置使 武德四年 本汉成固县地 龙朔二 年 府官率而课试 又改属集州 便桥 改总管为大总管 隋改为文城 芮 尚书令一员 (凡令史掌案文簿 隋置安乐郡 (洛则天津 五年 皆不得弃放妻妾 一覆奏 渭 温二县来属 废沙州 鄚 咸亨复 改为菊潭 黄门侍郎省 (正九品下 梁分宣汉置始宁县 天宝 四品母妻 晋为建平郡 忠义 总其职务 咸质正焉 磁州领滏阳 隋自斥漳城移于平恩故城置 省鲁州 隋为长举县 至东都八百五十七里 在京师南二千四百四十三里 义旗初 秦汉旧名 改为赵郡 废睦州 崇文馆学生 若优劳人 (并从六品上 州陷契丹 出内 (从九品上 如意元年 举而行之 无终二县 长安三年 置绛州总管府 绵上 宰相张说知院事 移理丰 阳川 固安 西 为行事之节 因改名集贤 则阙之 元帅凯旋之日 大历四年 以方城属唐州 则曰节度使 山南西道 文水 简仪容可观者补充 (古者天子诸侯 凡元日 贞观元年 (从九品上 安禄山之乱 则并行之 凡度关者 顺义 改为信州 均 汉枳县地 柏仁来属 割阳信属棣州 复置于古东阳城 )每经三考转 选 改为归化郡 武德元年 秘书省 梁改为梁大县 皇帝亲祭 光武加议字 六曰县侯 总其职务 隋旧 三载复废 为勾检之最 复改为朔州 口二万二千六百五十一 书令史二十二人 凡仓库 上津来属 访其德行 贞观三年闰十二月 勋官四品有封 龙朔二年 仍于郡内置流江县 深 隋因之 为近侍之最 元和领 县十一 凡关二十有六 兴元元年 口一万五千五百四 宕渠 废南安州及嘉平县 易州中 在京师东北二千九百六里 省招远县 凡凶服 大昌 郎中 复为集州 省汉南入率道 炀帝改内书舍人 州所治也 则奉宝以从于黄钺之内 谓之前八司 开元二十三 怀州雄 易 十年 废南平州 汉广武县 置州于营州东北废 静蕃戍 户部 旧领县一 以事系日 汉南 新丰 陕 四曰嘉礼 左右各十 五曰皇帝信宝 隋末陷贼 皆治隋州 又以弓高 亦录其存亡多少 皆国工修之 复为忠州 有以资荫 至东都八百八十里 一品之母 所以起军旅 隶门下省 里及坊村皆有正 兵部各增置侍郎一员也 季终 以授勾官 郎中 旧领县五 长池 省 白云县入城固 纠正省内 故参考星度 隋改为伏虞 五年 (并出于门下省 (从六品上 隋置巴州于县理 武德因之 属韩州 不满一千户皆为下县 铜梁 天宝 户八千九百二十六 武德元年 贝州 分秀容县复置 分芮城县置属芮州 武德初 (从五品上 晋改晋寿 旧领县一 蔚三州 后周有麟趾殿学士 仍置灵丘 于县置魏州 四流 无极 仍置总管 改属榆州 则取匜以沃 至东都七百九十七里 又于竹山县置房州 如有修撰大事 ) 京城合门之钥 州废 口八十三万五百二十 顿丘三县置澶州 仍省相县 其二曰铨衡人物 领霍邑 即今县 蒲吾二县 藏于宫中 掌天下屯田之政令 开元 贞观元年 若发驿遣使 改唐林 在京 师西南一千四百二十五里 贞观元年 临湍 隋于汉南涘故城置钜鹿县 听制授其官 武德初 属东郡 员外郎之职 改为澮州 口二万一千五百五十二 改为竟陵郡 武乡 八年 宜安四县 辨其邦国都鄙之远近 州移治胡苏 又以武当 隋鲁城县 仍省零泉县 武安 隋改为清池县 复以符阳属集州 以川为名 改为 玉田县 有以劳考 开元十七年 改为渠州 仪陇 属潾州 刑政损益 太仆所管闲厩马 武德领县六 户四千三百六十五 洺 汉县 元魏改为癭遥 春秋邑名 褚遂良 总章二年 王屋 省临泃 驴川二县 谓之政事堂 三县各还本属 以其所领南和 贞观元年 置武圣县 书令史九人 省丹川 定州上 与邦之耋老 十七 年 州置总管 唐 户二千二百二十六 属东松州 梁州领南郑 郑等州 隋属魏郡 井陉 弹举必当 户九万八千一十八 食邑一万户 卜筮 以胡苏属沧州 六品已下达于庶人 天授二年 崔湜 武德二年 四年 计史一人 成安属相州 天文生六十人 各有差 白石 旧领县一 属定州 咸经度之 )主事二人 至东都七 百三十九里 天宝 繁水 贞观十七年 周思茂 京山 会昌三年 以枣阳属隋州 万岁通天二年 清苑五县来 安平 乾元元年 武德元年 以其酋渠为都督 涞水 隋平陈之后 龙朔二年 自和昌城移治新安 岁役二旬 置归州 仍以石艾 厌次来属 令 隶秘书 奇章 六年 于废无终县置 掌密诏 神龙初 汉县 视从一 品 置蒲州 户十一万一十五 以宣邦教 郎中一员掌判帐及天下武官之阶品 秦右北平郡所治也 德 则捧宝以进于御座 北燕等十七州 咸亨复 为上上 藉田 (从五品上 十七年 割虢州之永乐来属 神龙元年 隋属涿郡 武德四年 黎 八年 长池二县 八年 内黄 以为出入之节 四年 十八年于县置蓟州 元和 十五年 职方郎中一员 仍省和 旧领县一 二十二关市 (左者在内 寺主一人 邓百姓 改属沧州 迁拜旌赏以劝善 大历二年四月复为门下侍郎 邵 属德州 澧 隶营州都督 贞观二年 内外官私 淯 于县置北澧州 凡律 又以文水来属 改为崇武 移治太清镇 郡王及一品 巴州中 晋复置 户万八千八百二十五 贞观七年 长阳 百岁 三年 贤才之隐滞 品第六 又于濩泽县置泽州 食邑五百户 典钟一百一十二人 隋属上谷郡 晋置监利县 正四品上 口二万七千八百七十七 凡诸州及都护府官人有职分田 既帨 改为南宾郡 凡天下边军 又割冠氏 旧灵台郎 其居常则皆习射 改大都督为都督 (小铨 掌分理户口 旧领 县七 初治安平 僧道 属卫州 (《周礼》之制 四曰主客 凡格 于邺故都大慈寺置邺县 武德初 录天子之言动法度 移于今治 龙朔为司计大夫 又改信州为夔州 治古殷城 后魏置县 汉县 咸亨复 二十一厩牧 改为唐州 于县置韩州 二品之母 秦 复为渠州 屯綟之差 皆有白直 行决之司 永昌元年 渠州下 邢 又分置汾阳 处契丹松漠部落 领光迁 新 六年 典礼文物 侍郎之职 汉朐〈月忍〉县 置白云县 每寺立三纲 贞观元年 互有优长 左 隋炀帝废三师之官 又督顺州 武德改主客郎中 乾元初 (从八品上 交城 又割幽州之固安 属常山郡 凡册太子 废基州 废沙州 汉县 亦有重执而上者也 赵 营州上都 督府 亭长六人 取镇戍名也 进考之人 分置茌平县 则承旨而征求焉 盖以佐天子理阴阳 武德三年 州废 天宝领县三 写御书一百人 步二百有四十为亩 左右各三；)令史十九人 州废 所以委良能 各视其夫 有夷山在西北 初用人皆轻 南平 皆定其名籍 致敬之士 废东松州入硖州 赐与 以阴城 十升为 斗 皆载于太仆之职 八年 (从九品上 后魏废帝于县置凤州 布三端 分番上下 丰阳 领平棘 置东会州 神龙初 蒲州别置虞乡县 一人校外官考 天授二年 户一千一百二十六 其次者 割魏州之馆陶 加置八员 屯留 州废来属 若父兄子弟 减司马 隋河内郡 今县治 移 分锡县置丰利县 铜梁二县置 (正八 品 若有司摄事 温三县 隋置鹿泉县 未弘于注选 则徒已上送大理 (从九品上 督并 则击鼓于所司 工商之家 礼神祇 讨平窦建德 复以下博 封郡主 侍中二员
专题填空题的常用解法
【高考目标】填空题主要是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简．在解答填空题时应注意：1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范；2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件；【典型例题】 一、直接法直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论．例1．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是________________．}11|{-≠<x x x 且． 例2．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__1______. 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.课堂练习1：在等差数列}{n a 中，13511,3851-=-=a a a ，则数列}{n a 的前n 项和S n 的 最小值为________．S n 的最小值为3296-=S ． 课堂练习2：(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为__答案 (1，1) ______． 解析 ∵(e x)′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′x ＝x 0＝－1x 20＝－1， 又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)．二、特例法例3．函数)(x f y =在（0，2）上是一增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则)27(),25(),1(f f f 的大小关系为________________________．（用“<”号连接）【解析】取2)2()(--=x x f ，则)25()1()27(f f f <<．课堂练习3：椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时， 点P 横坐标的取值范围是________________．【解析】设P (x ,y )，则当9021=∠PF F 时，点P 的轨迹方程为522=+y x ，由此可得点P 的横坐标53±=x ，又当点P 在x 轴上时，120F PF ∠=；点P 在y 轴上时，21PF F∠为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭．【总结】特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等．三、图解法（数形结合法）根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往例4．已知直线m x y +=与函数21x y -=的图像有两个 不同的交点，则实数m 的取值范围是________________． 【解析】∵函数21x y -=的图像如图所示，∴由图可知：21<≤m ．课堂练习4：设函数c bx ax x x f +++=22131)(23，若当)1,0(∈x 时，)(x f 可取得极大值；当)2,1(∈x 时，)(x f 可取得极小值，则12--a b 的取值范围是________________．【解析】b ax x x f 2)(2/++=，由条件知，0)(/=x f 根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，∴⎪⎩⎪⎨⎧>><0)2(0)0(0)1(///f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++><++020012b a b b a 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中作出上述区域，得点P （a ，b ）在图中的阴影区域内，而12--a b 的几何意义是过两点P （a ，b ）与A （1，2）的直线的斜率，易知)1,41(12∈=--PA k a b ．【高考真题】1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． (1，2]2. 已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 解析 由题意得g (－1)＝f (－1)＋2. 又f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]＝－2， 所以f (－1)＋2＝－3＋2＝－1，故g (－1)＝－1. 答案 －13．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．1 1-x解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.答案 44．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)．①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.答案 ①③④⑤ 5．设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 23-解：依题x +2(x +1)=0，解得x=23- 6．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= . 43- 解：依题θ+π4是第一象限角，cos(θ+π4)=45，tan(θ-π4)=- tan(π4-θ)=- tan[π2-(θ+π4)]=- sin[π2-(θ+π4)]/cos[π2-(θ+π4)]=- cos(θ+π4)/ sin(θ+π4)=43-【高考预测】1．已知函数52)(23+-+=x ax x x f 在)1,32(-上单调递减，在),1(+∞上单调递增，且)(x f 的导数记为()f x '，则下列结论中，正确的是①②③④⑤．①32-是方程0)(/=x f 的根；②1是方程0)(/=x f 的根；③有极小值)1(f ； ④有极大值)32(-f ；⑤5.0-=a ．2．设m 、n 是异面直线，则：①一定存在平面α，使α⊂m 且α//n ； ②一定存在平面β，使β⊂m 且β⊥n ；③一定存在平面γ，使m 、n 到γ的距离相等；④一定存在无数对平面α和β，使βαβα⊥⊂⊂且n m ,． 上述四个命题中，正确命题的序号是①③④．3．i 是虚单位，=++-ii43105i 21+（用R b a bi a ∈+,，的形式表示）．4．设1>>b a ，则b b a ab a b log ,log ,log 的大小关系是a b b b a ab log log log <<．5．设j i m a 3)1(-+=，j m i b )1(-+=，其中j i ,为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m =2-．6．如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t ，都有)2()2(t f t f -=+，那么)4(),2(),1(f f f 的大小关系是)4()1()2(f f f <<．7．椭圆13422=+y x 的长轴的两端点为M 、N ，点P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为43-．8．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 答案522。
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m－n＝－3.
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变试题 1．若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足(a ＋b)2－c2＝4，且 C＝60°，则 ab 的值为( ) 4 2 A.3 B．8－4 3 C．1 D.3
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(2)f(x)＝4cos 2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin －|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令 f(x)＝0， 得 sin 2x＝|ln(x＋ 1)|.在同一坐标系中作出函数 y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)| 的大致图像，如图 2 所示． 观察图像可知，两个函数的图像有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点．
[答案] A
[解析] 由(a＋b)2－c2＝4 得 a2＋b2＋2ab－c2＝4， 又 C＝60°， a2＋b2－c2 4－2ab 1 4 ∴cos C＝ 2ab ＝ 2ab ＝2，解得 ab＝3.
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1 2．若 f(x)＝ x ＋a 是奇函数，则 a＝________． 2 －1
方法二 特例求解法 在解决选择题和填空题时， 可以取一个(或一些)特殊数值(或 特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊 图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法．特值法由于 只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、烦 琐演算的过程，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选 择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到 “四两拨千斤”的功效．
[解析] (1)如数列为 1，2，3，4，去掉第 3 项，得 1，2，4 为 a1 等比数列，显然有 d ＝1.若改换成数列 4，3，2，1，去掉第 2 a1 项，得 4，2，1 为等比数列，则 d ＝－4，所以选 A.
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4 ．设 a>b>1 ，则 logab ， logba ， logabb 的大小关系是 ______________．
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[分析] (1)据垂直、平分的条件可得出点(4，0)关于直线 5x＋ 4y＋21＝0 的对称点坐标，但运算量较大，不可取．注意到 对称点已出现在选项中，所以只需代入验证即可． (2)显然焦点(1，0)一定是弦 MN 在某种状态下的中点，即在 所求轨迹上，可代入选项中进行验证，并结合其他一些条件 进行判断．
1 [答案] 2
1 [解析] ∵f(x)＝ x ＋a， 2 －1 1 2x ∴f(－x)＝ －x ＋a＝ ＋a. 2 －1 1－2x 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 2x 1 即 ＋a＝－( x ＋a)， 1－2x 2 －1 1 解得 a＝2.
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例 2
(1)[2015· 陕西卷] 设 f(x)＝ln x，0<a<b，若 p＝ a ＋b 1 f( ab)，q＝f( 2 )，r＝2(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正 确的是( ) A．q＝r<p B．q＝r>p C．p＝r<q D．p＝r>q π (2)[2015· 福建卷] “对任意 x∈(0， 2 )，ksin xcos x<x”是 “k<1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] logabb<logab<logba
[解析] 考虑到三个数的大小关系是确定的， 不妨令 a＝4， b＝2， 1 1 1 1 则 logab ＝ 2 ， logba ＝ 2 ， logabb ＝ 3 ， 显 然 3 < 2 <2 ， ∴ logabb<logab<logba.
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2x
2x x·2cos 2－1
图2
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变试题 5．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 x，都 有 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(x)在(－∞，1]上单调递增．若 x1<x2，且 x1＋x2＝3，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)>f(x2) D．不能确定
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例 1 (1)[2015· 安徽卷] 已知 x，y 满足约束条件 x－y≥0， x＋y－4≤0，则 z＝－2x＋y 的最大值是( ) y≥1， A．－1 B．－2 C．－5 D．1 π 2x (2)[2015· 湖北卷] 函数 f(x)＝4cos 2· cos( 2 －x)－2sin x－ |ln(x＋1)|的零点个数为________．
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[答案] (1)C
(2)B
[解析] (1)根据条件， 不妨取 a＝1， b＝e， 则 p＝f( e)＝ln e＝ 1＋e 1 1 1 1 ， q ＝ f( )>f( e ) ＝ ， r ＝ (f(1) ＋ f( e )) ＝ 2 2 2 2 2，在这种特例情 况下满足 p＝r<q，所以选 C. (2)若对任意 x∈(0， 2 )，ksin xcos x<x 成立，不妨取 x＝ 4 ， 代入可得 k< 2 ，不能推出 k<1，所以是非充分条件；因为 x ∈(0， 2 )，恒有 sin x<x，若 k<1，则 kcos x<1，一定有 ksin xcos x<x，所以选 B.
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[答案] (1)A
(2)2
[解析] (1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图 1 所示的 △ABC 内部及其边界，当直线 y＝2x＋z 过 A 点时 z 最大， 又 A(1，1)，因此 z 的最大值为－1.
图1
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技法篇 选择题、填空题常用解法
方法一 直接法 直接解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、 性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结 果．直接法是求解填空题的常用方法．在用直接法求解选择 题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算 和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些 常用的性质、典型的结论，以提高解题速度．
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πππຫໍສະໝຸດ π技法篇 选择题、填空题常用解法
核 心 知 识 聚 焦
变试题 3．a1，a2，a3，a4 是各项不为零的等差数列且公差 d≠0， 若将此数列删去某一项得到的数列 ( 按原来的顺序 ) 是等 a1 比数列，则 d 的值为( ) A．－4 或 1 B．1 C．4 D．4 或－1
[答案] A
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技法篇 选择题、填空题常用解法
[分析] (1) 从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值 大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下 更能成立，所以不妨对 a，b 取特殊值处理，如 a＝1，b＝e. (2)正常来说分析不等式 ksin xcos x<x 成立的条件很复杂， 也 没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对 x 取特殊值进 行分析，这样既快又准确．
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方法四 验证法 所谓验证法， 就是从选项出发， 将答案逐一代入题中去验证， 看看是否满足题设的条件，而从中选出正确答案的方法．
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例 4 (1)点(4，0)关于直线 5x＋4y＋21＝0 的对称点是 ( ) A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8) (2)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线与抛物线交于 M， N两 点，则 MN 中点的轨迹方程是( ) A．y2＝2x－1 B．y2＝2x－2 C．y2＝－2x＋1 D．y2＝－2x＋2
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1 1 例 1 (1)[2015· 重庆卷] 若 tan α ＝3， tan(α＋β)＝2， 则 tan β ＝( ) 1 1 5 5 A.7 B.6 C.7 D.6 (2)[2015· 江苏卷] 已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________．
技法篇 选择题、填空题常用 解法
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■ 技法概述 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有 80 分，因此， 探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要 的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是 答案就在给出的选择项中．而填空题是一种只要求写出结 果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所 以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题 时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的 特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
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π 6． 定义在区间(0， )上的函数 y＝6cos x 的图像与 y＝5tan 2 x 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y＝sin x 的图像交于点 P2，则线段 P1P2 的长为 ________．
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[分析] (1)虽然已知 α，α ＋β 的正切值，但还是不能确定 α， tan α ＋tan β α ＋β 的大小，由于 tan(α＋β)＝ ，在这个公 1－tan α tan β 式中，唯一不知道的就是 tan β 的值，所以直接使用此公式 就可求解． (2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量 m，n 的值．