2012年上海高考数学理科试题及答案

2012年上海⾼考数学理科试题及答案
2012年上海⾼考数学(理科)试卷
⼀、填空题(本⼤题共有14题，满分56分)
1.计算：i
i
+-13= (i 为虚数单位).
2.若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .
3.函数1
sin cos 2)(-=
x x
x f 的值域是 .
4.若)1,2(-=是直线l 的⼀个法向量，则l 的倾斜⾓的⼤⼩为 (结果⽤反三⾓
函数值表⽰). 5.在6
)2(x
x -
的⼆项展开式中，常数项等于 . 6.有⼀列正⽅体，棱长组成以1为⾸项，21
为公⽐的等⽐数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞
→)(lim 21n n V V V .
7.已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .
8.若⼀个圆锥的侧⾯展开图是⾯积为2π的半圆⾯，则该圆锥的体积为 .
9.已知2
)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .
10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹⾓6
π
α=
.若将l 的极坐标⽅程写成)(θρf =的形式，则
=)(θf .
11.三位同学参加跳⾼、跳远、铅球项⽬的⽐赛.若每⼈都选择其中两个项⽬，则有且仅有两⼈选择的项⽬完全相同的概率是(结果⽤最简分数表⽰).
12.在平⾏四边形ABCD 中，∠A=3π
, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD |
|||CD CN BC BM =
，则AN AM ?的取值范围是 . 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (
2
1,5)，C (1,0).函数
)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的⾯积为 .
14.如图，AD 与BC 是四⾯体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四⾯体ABCD 的体积的最⼤值是 .
⼆、选择题(本⼤题共有4题，满分20分)
15.若i 21+是关于x 的实系数⽅程02
=++c bx x 的⼀个复数根，则 ( )
(A)3,2==c b .
(B)3,2=-=c b .
(C)1,2-=-=c b .(D)1,2-==c b .
16.在ABC ?中，若C B A 2
2
2
sin sin sin <+，则ABC ?的形状是 ( )
(A)锐⾓三⾓形.
(B)直⾓三⾓形.
(C)钝⾓三⾓形.
(D)不能确定.
17.设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值
2
2
1x x +、
2
3
2x x +、
2
4
3x x +、
2
5
4x x +、
2
15x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、
2ξD 分别为1ξ、2ξ的⽅差，则
( )
(A)1ξD >2ξD .
(B)1ξD =2ξD .
(C)1ξD <2ξD .
(D)1ξD 与2ξD 的⼤⼩关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.
18.设25
1sin π
n
n n a =，n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 ( )
(A)25. (B)50. (C)75. (D)100.
三、解答题(本⼤题共有5题，满分74分)
19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底⾯ABCD 是矩形，P A ⊥底⾯ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，AD=22，P A=2.求：(1)三⾓形PCD 的⾯积；(6分) (2)异⾯直线BC 与AE 所成的⾓的⼤⼩.(6分)
A
B
C
D
A B C
D P E
20.已知函数)1lg()(+=x x f .
(1) 若1)()21(0<--
(2) 若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数
)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.(8分)
21.海事救援船对⼀艘失事船进⾏定位：以失事船的当前位置为原点，以正北⽅向为y 轴正⽅向建⽴平⾯直⾓坐标系(以1海⾥为单位长度)，则救援船恰在失
事船的正南⽅向12海⾥A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径
可视为抛物线249
12x y =
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救
援；③救援船出发t ⼩时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.
(1)当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的⼤⼩和⽅向；(6分)
(2)问救援船的时速⾄少是多少海⾥才能追上失事船?(8分)
22.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .
(1)过1C 的左顶点引1C 的⼀条渐近线的平⾏线，求该直线与另⼀条渐近线及x 轴围成
的三⾓形的⾯积；(4分)
(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；
(6分)
(3)设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O
到直线MN 的距离是定值.(6分)
23.对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集
},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=?a a ，则称X
具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . (1)若x >2，且},2,1,1{x -，求x 的值；(4分)
(2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n >1时，x 1=1；(6分)
(3)若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q (q 为常数)，求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.(8
分)
2012年上海⾼考数学(理科)试卷解答
⼀、填空题(本⼤题共有14题，满分56分)
1.计算：i
i
+-13= 1－2i (i 为虚数单位).
[解析] i i i i i i i i 212
413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-.
2.若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A =)3,(21- . [解析] ),(21∞+-=A ，)3,1(-=B ，A ∩B =)3,(2 1-.
3.函数1
sin cos 2)(-=
x x
x f 的值域是],[2
325-- . [解析]x x x x f 2sin 2cos sin 2)(21--=--=∈],[2
325--. 4.若)1,2(-=是直线l 的⼀个法向量，则l 的倾斜⾓的⼤⼩为 arctan 2 (结果⽤反三⾓
函数值表⽰). [解析] ⽅向向量)2,1(=，所以2=l k ，倾斜⾓α=arctan 2.
5.在6
)2(x
x -
的⼆项展开式中，常数项等于－160 . [解析] 展开式通项r
r r r r r r r r r x C x x C T 2666612)1(2)1(---+-=-=，令6－2r =0，得r =3，
故常数项为160233
6-=?-C .
6.有⼀列正⽅体，棱长组成以1为⾸项，
2
1
为公⽐的等⽐数列，体积分别记为
V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞
→)(lim 21n n V V V 7
8 .
[解析] 易知V 1,V 2,…,V n ,…是以1为⾸项，3为公⽐的等⽐数列，所以
781218
11)(lim ==+++-∞
→V
n n V V V .
7.已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范
围是 (－∞, 1] . [解析]令||)(a x x g -=，则)()(x g e x f =，由于底数1>e ，故)(x f ↑ )(x g ↑，由)(x g 的图像知)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数时，a ≤1. 8.若⼀个圆锥的侧⾯展开图是⾯积为2π的半圆⾯，则该圆锥的体积为π3
3 .
[解析] 如图，ππ221=l ?l =2，⼜2πr2=πl =2π?r =1，所以h=3，故体积ππ3
32
3
1
=
=
h r V .
9.已知2
)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g －1 .
[解析] 2)(x x f y +=是奇函数，则4]1)1([)1()1(2
2-=+-=-+-f f ，所以3)1(-=-f ， 1. 10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l
6πα=.若将l 的极坐标⽅程写成
)(θρf =的形式，则 =)(θ
f )sin(1θπ- .
[解析] )0,2(M 的直⾓坐标也是(2,0)，斜率3
1=
k ，所以其直⾓坐标⽅程为23=-y x ，
化为极坐标⽅程为：2sin 3cos =-θρθρ，1)sin cos (2
3
2
1=-θθρ，
1)s i n (6
=-θρπ，)
sin(16
θπ
ρ-=，即=)(θf )
sin(16
θπ
-.(或=
)(θf )cos(13
πθ+)
11.三位同学参加跳⾼、跳远、铅球项⽬的⽐赛.若每⼈都选择其中两个项⽬，则有且仅有两⼈选择的项⽬完全相同的概率是3 2(结果⽤最简分数表⽰). [解析] 设概率p=n
k ，则27232323=??=C C C n ，求k ，分三步：①选⼆⼈，让他们选择的项⽬相同，有23C 种；②确定上述⼆⼈所选择的相同的项⽬，有1
3C 种；③确定另⼀⼈所选的项⽬，有12C 种. 所以18121323=??=C C C k ，故p=3
22718=. 12.在平⾏四边形ABCD 中，∠A=3π
, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别
是边BC 、CD ||||CD CN BC BM ，则
的取值范围是 [2, 5] . [解析] 如图建系，则A (0,0)，B (2,0)，D (1,2
3
)，C (5,2
3
).
t CD BC ==|
|||∈[0,1]，则t =||，t 2||=，所以M (2+2t
,2
3t )，N (25－2t ,23
)，故AN AM ?=(2+2t
)(2
5－2t )+2
3t ?
2
3=)(6)1(522
2t f t t t =++-=+--，
因为t ∈[0,1]，所以f (t )递减，(AN AM ?)max = f (0)=5，(AN AM ?)min = f (1)=2.
[评注] 当然从抢分的战略上，可冒⽤两个特殊点：M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D )，⽽本
案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，⼜省了时间!出题⼤虾太给蒙派⼀族⾯⼦了! 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，
若中A (0,0)，B (2
1,5)，C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的⾯积为
5. [解析]如图1，
≤<-≤≤=1
,10100,10)(21
21x x x x x f ，
所以?
≤<+-≤≤==1,10100,10)(21
22
1
2x x x x x x xf y ，易知，y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开⼝⽅向及顶点
位置不同，如图2，封闭图形MND 与OMP 全等，⾯积相等，故所求⾯积即为矩形
ODMP 的⾯积S=4
5
2
521=?.
[评注]对于曲边图形，上海现⾏教材中不出微积分，能⽤微积分求此⾯积的考⽣恐是极少
的，⽽对于极⼤部分考⽣，等积变换是唯⼀的出路。

14.如图，AD 与BC 是四⾯体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.
若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为
常数，则四⾯体ABCD 的体积的最⼤值是12232
--c a c .
[解析] 作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平⾯BEC ，所以CE ⊥AD ，由题设，B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都
垂直于焦距AD ，所以BE =CE . 取BC 中点F ，
连接EF ，则EF ⊥BC ，EF =2，122
1-=?=?BE EF BC S BEC ， B
C
D
E
四⾯体ABCD 的体积123
21-=?=?BE S AD V c
BEC ，显然，当E 在AD 中点，
B 是短轴端点时，BE 有最⼤值为b =22c a -，所以1223
2max --=c a V c .
[评注] 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考⽣打击甚⼤!当然，作为填空押轴题，
区分度还是要的，不过，就抢分⽽⾔，胆⼤、灵活的考⽣也容易找到突破点：AB=BD (同时AC=CD )，从⽽致命⼀击，逃出⽣天!
⼆、选择题(本⼤题共有4题，满分20分)
15.若i 21+是关于x 的实系数⽅程02
=++c bx x 的⼀个复数根，则 ( B )
(A)3,2==c b . (B)3,2=-=c b . (C)1,2-=-=c b .(D)1,2-==c b . [解析] 实系数⽅程虚根成对，所以i 21-也是⼀根，所以－b =2，c
=1+2=3，选B. 16.在ABC ?中，若C B A 2
2
2
sin sin sin <+，则ABC ?的形状是 ( C )
(A)锐⾓三⾓形. (B)直⾓三⾓形. (C)钝⾓三⾓形. (D)不能确定. [解析] 由条件结合正弦定理，得2
2
2
c b a <+，再由余弦定理，得0cos 22
22<=-+ab
c b a C ，
所以C 是钝⾓，选C.
17.设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的
概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、
2
3
2x x +、
2
4
3x x +、
2
5
4x x +、
2
15x x +的概率也为0.2.
若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的⽅差，则 ( A )
(A)1ξD >2ξD . (B)1ξD =2ξD . (C)1ξD <2ξD . (D)1ξD 与2ξD 的⼤⼩关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.
解
析])
(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ，
2
22
1(
2.0x x E +=ξ+
23
2x x ++
2
4
3x x ++
2
5
4x x ++
21
5x x +)=t ，
2
11)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x -+2
3)(t x -+24)(t x -+25)(t x -]
]5)(2)[(2.02543212
524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=；
记
12
2
1x x x '=+，2232x x x '=+，…，5
21
5x x x '=+，同理得 2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221
t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=，只要⽐较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2
5
24232221x x x x x ++++有⼤⼩， ])()()[(2
21232221412524232221x x x x x x x x x x x ++++++='+'+'+'+' )]22222()(2[155443322125242322211x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++= )]()()()()()(2[21252524242323222221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++< 2
5
24232221x x x x x ++++=，所以12ξξD D <，选A. [评注] 本题的数据范围够阴的，似乎为了与选项D 匹配，若为此范围⾯困
惑，那就中了阴
招!稍加计算，考⽣会发现1ξE 和2ξE 相等，其中的智者，更会发现第⼆组数据是第⼀组数据的两两平均值，故⽐第⼀组更“集中”、更“稳定”，根据⽅差的涵义，⽴得1ξD >2ξD ⽽迅即攻下此题。

18.设25
1sin π
n
n n a =，n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 ( D ) (A)25. (B)50. (C)75.
[解析] 对于1≤k ≤25，a k ≥0(唯a 25=0)，所以S k (1≤k ≤25)都为正数.
当26≤k ≤49时，令απ=25，则απ
k k =25，画出k α终边如右，其终边两两关于x 轴对称，即有)50sin(sin ααk k --=，
所以αsin 11=k S +α2sin 2
1+…+α23sin 231+α24sin 241+0 +
α26sin 26
1+α27sin 27
1…+αk k
sin 1 =αsin 11+α2sin 21+…+α24sin )(261241-+sin )(271
231-+α)50sin()(1501k k k ---，其中k =26,27,…,49，此时k k <-<500，所以01501>--k
k ，⼜παα<≤-<24)50(0k ，所以0)50sin(>-αk ，从⽽当k =26,27,…,49时，S k 都是正数，S 50=S 49+a 50=S 49+0=S 49>0.对于k 从51到100的情况同上可知S k 都是正数. 综上，可选D.
[评注] 本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析S k 的符号，为此，需借
助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。

⽽重中之重，是看清楚⾓序列的终边的对称性，此为攻题之关键。

三、解答题(本⼤题共有5题，满分74分)
19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底⾯ABCD 是矩形， P A ⊥底⾯ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求： (1)三⾓形PCD 的⾯积；(6分)
(2)异⾯直线BC 与AE 所成的⾓的⼤⼩.(6分) [解](1)因为P A ⊥底⾯ABCD ，所以P A ⊥CD ，⼜AD ⊥CD ，所以CD ⊥平⾯P AD ，从⽽CD ⊥PD . ……3分因为PD=32)22(22
2
=+，CD =2，
所以三⾓形PCD 的⾯积为323222
1=??. (2)[解法⼀]如图所⽰，建⽴空间直⾓坐标系，则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，
)1,2,1(=，)0,22,0(=. ……8分
设AE 与BC 的夹⾓为θ，则 22
224cos =
=
=
BC AE θ，θ=4
π. 由此可知，异⾯直线BC 与AE 所成的⾓的⼤⼩是4π
……12分
[解法⼆]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从⽽∠AEF (或其补⾓)是异⾯直线 BC 与AE 所成的⾓ ……8分
在AEF ?中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ?是等腰直⾓三⾓形，所以∠AEF =4
π. 因此异⾯直线BC 与AE 所成的⾓的⼤⼩是4π ……12分 20.已知函数)1lg()(+=x x f .
(1)若1)()21(0<--
(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数
)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.(8分)
A
B C
D P
E y
[解](1)由??
>+>-0
10
22x x ，得11<<-x .
由1lg )1lg()22lg(01
22<=+--<+-x x
x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3
1
32<<-x . 由<<-<<-31
3
211x x 得31
32<<-x . ……6分 (2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此
)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .
因为y
x 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分
21.海事救援船对⼀艘失事船进⾏定位：以失事船的当前位置为原点，以正北⽅向为y 轴正⽅向建⽴平⾯直⾓坐标系(以1海⾥为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南⽅向12海⾥A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线2
12x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t ⼩时后，失事船所在位置的横坐标为.
(1)当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的⼤⼩和⽅向；(6分)
(2)问救援船的时速⾄少是多少海⾥才能追上失事船?(8分) [解](1)5.0=t 时，P 的横坐标x P =2
7
7=
t ，代⼊抛物线⽅程249
12x y =
中，得P 的纵坐
标
y P =3. ……2分由|AP |=
2
949，得救援船速度的⼤⼩为949海⾥/时. ……4分
由tan ∠OAP =72
7=，得∠OAP =arctan 307
，故救援船速度的⽅向
为北偏东arctan 307
弧度. ……6分
(2)设救援船的时速为v 海⾥，经过t ⼩时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337) (1442122++=t
t v .……10分
因为22
12≥+
t t ，当且仅当t =1时等号成⽴，
所以2
2
253372144=+?≥v ，即25≥v .
因此，救援船的时速⾄少是25海⾥才能追上失事船. ……14分 22.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .
(1)过1C 的左顶点引1C 的⼀条渐近线的平⾏线，求该直线与另⼀条渐近线及x 轴围成的三⾓形的⾯积；(4分)
(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆12
2=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；(6分)
(3)设椭圆14:2
22=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.(6分) [解](1)双曲线1: 212
12
=-y C x ，左顶点)0,(2
2-
A ，渐近线⽅程：x y 2±=.
过点A 与渐近线x y 2=平⾏的直线⽅程为)(22
2+
=x y ，即12+=x y .
解⽅程组+=-=122x y x y ，得=-
=2
1
4
2
y x . ……2分
所以所求三⾓形的⾯积1为2
1||||==y OA S . ……4分
(2)设直线PQ 的⽅程是b x y +=.因直线与已知圆相切，
故
12
||=b ，即22=b . ……6分
由??
=-+=1
22
2y x b x y ，得0122
2=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则--==+122
2
121b x x b
x x . ⼜))((2121b x b x y y ++=，所以
221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=? 022)1(2222=-=+?+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分 (3)当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=
2
2，则O 到直线MN 的距离为
3
3.
当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的⽅程为kx y =(显然2
2||>
k )，则直线OM 的⽅程为x y k
1-=. 由=+=142
2y x kx y ，得==
++2
2242
412k k k y x ，所以2
2
412
||k k ON ++=
.
同理1
212
22||-+=
k k OM . ……13分
设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以31
33||1||11222
2
2==+=
++k k ON OM d ，即d =
3
3
.
综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分
23.对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集
},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=?a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .
(1)若x >2，且},2,1,1{x -，求x 的值；(4分)
(2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n >1时，x 1=1；(6分)
(3)若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q (q 为常数)，求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.(8分)
[解](1)选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分所以x =2b ，从⽽x =4. ……4分 (2)证明：取Y x x a ∈=), (111.设Y t s a ∈=),(2满⾜021=?a a .
由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.
因为－1是X 中唯⼀的负数，所以s 、t 中之⼀为－1，另⼀为1，
故1∈X . ……7分假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.
选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满⾜021=?a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从⽽s 、t 之中恰有⼀个为－1. 若s =－1，则11x t tx x n ≥>=，⽭盾；若t =－1，则n n x s sx x ≤<=1，⽭盾.
所以x 1=1. ……10分
(3)[解法⼀]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.
任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现－1时，显然有2a 满⾜021=?a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.
因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=?a a ，从⽽1s 和1t 中有⼀个是－1，不妨设1s =－1.
假设1t ∈1+k A 且1t ?k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-?+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与
s ∈k A ⽭盾.所以1t ∈k A .从⽽k A 也具有性质P. ……15分
现⽤数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . 当n =2时，结论显然成⽴；
假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -= 也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .
取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满⾜021=?a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t 中有且只有⼀个为－1.
若1-=t ，则1≥s ，所以q x s
q k ≤=
+1，这不可能；
所以1-=s ，k k k q q q qt x =?≤=-+11，⼜11-+>k k q x ，所以k k q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, ..., n . (18)
分 [解法⼆]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=?a a 等价于
2
2
1
1s
t t s -=.
记|}|||,,|{t s X t X s B t s >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分
注意到－1是X 中的唯⼀负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n －1个数，所以),0(∞+ B 也只有n －1个数. 由于1
2
2
1
x x x x x x x x n n n n n n <
<
<<
-- ，已有n －1个数，对以下三⾓数阵 1
2
2
1
x x x x x x x x n n n n n n <
<
<<
--
1
13
121x x x x x x n n n n n -----<
<<
……
1
2x x
注意到
1
21
11
x x x x x x n n >
>>
- ，所以
1
22
11
x x x x x x n n n n =
==
--- ，从⽽数列的通项公式为
11
1)(1
2--==k k x x k q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分。